常系数微分方程组的解法

步骤:
１． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
dy (1) dx 3 y 2 z , 例1 解微分方程组 dz 2 y z . ( 2) dx 解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得
x 3C1e t 3C 2e t 3C 3 cos t 3C 4 sin t 2e t .
方程组通解为
x 3C1e t 3C 2e t 3C 3 cos t 3C 4 sin t 2e t t t t y C1e C 2e C 3 cos t C 4 sin t e
用记号 D 可表示为
( D a1 D
n
n 1
a n 1 D a n ) y f ( x )
注意:
D n a1 D n1 a n1 D a n 是 D 的多项式
可进行相加和相乘的运算．
d 2 x dy x et dt 2 dt 例2 解微分方程组 d 2 y dx dt 2 dt y 0. d 解 用记号D 表示 ,则方程组可记作 dt 2 t (１) ( D 1) x Dy e (２) Dx ( D 2 1) y 0
1 dz y z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz 2 , 两边求导得， dx 2 dx dx
把(3), (4)代入(1)式并化简, 得
பைடு நூலகம்
( 4)
d 2z dz 2 z0 2 dx dx
解之得通解 z (C1 C 2 x )e x ,
解得特征根为
r1, 2 1 5 , r3 , 4 i 2 5 1 , 2
易求一个特解 y e t , 于是通解为
y C1e t C 2e t C 3 cos t C 4 sin t e t .
(６)
将(６)代入(３)得
( 5)
1 y ( 2C1 C 2 2C 2 x )e x . (6) 再把(5)代入(3)式, 得 2
原方程组的通解为
1 y ( 2C1 C 2 2C 2 x )e x 2 , z (C C x )e x 1 2
d 用 D 表示对自变量 x 求导的运算 , dx (n) ( n 1 ) a n 1 y a n y f ( x ) 例如， y a1 y
常系数线性微分 方程组的解法
一、微分方程组
微分方程组 由几个微分方程联立而成的方程组 称为微分方程组． 注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几 个具有同一自变量的函数． 常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一个 微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线 性微分方程组．
二、常系数线性微分方程组的解法
注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另 一个未知函数的通解时，一般不再积分．
三、小结
１．注意微分算子D的使用；
２．注意求出其中一个解，再求另一个解时 ，宜用代数法，不要用积分法．避免处理两 次积分后出现的任意常数间的关系．
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 x
(1) ( 2) D : ( 2) ( 3) D :
x D3 y et ,
( D 4 D 2 1) y De t .
4 2 t
(３)
(４)
(５)
即
( D D 1) y e
非齐线性方程
其特征方程为 r 4 r 2 1 0