第二节角平分线定理
八年级数学角平分线的性质定理及其逆定理
求证：PD=PE.
1
D
3
P E
Ｃ B
O
2
4
一.角平分线的性质
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A D P 1 2 E
驶向胜利 的彼岸
小结
拓展
回味无穷
一.定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等. 二.逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距 离相等的点,在这个角的平分线上.
三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一 点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理
思考题：2、若要在△MON内部全部覆盖绿化， 已知△MON的周长为2000米，∠OMN、∠MON 的平分线交于点O，OD⊥MN，垂足为D，且 OD=2米
求证：点P在∠MNO的平分线上
M
F
D P
O
E
N
挑战自我
如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD
是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD＝4cm，AC的长 (2)求证:AB＝AC＋CD.
A
E C B
D
独立作业
2
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的 角平分线相交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上. A
∵∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE.
O
B
交换定理的条件和结论得到的命题为：合Fra bibliotek探究′
逆命题 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平 分线上. A 它是真命题吗? D 如果是.请你证明它. 已知:如图, ∠AOB, P PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O C 别是D,E. E 求证:点P在∠AOB的平分线上. B 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可 以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠AOC=∠BOC.
八年级角平分线知识点总结
八年级角平分线知识点总结角平分线是几何知识中的一个重要概念，也是初中数学中常见的考点之一。
在八年级中学习了角平分线的相关知识后，许多同学还存在一定的困惑。
因此，本文将对八年级角平分线的知识点做一个总结，以帮助大家更好地掌握该知识。
一、角平分线的定义和性质1. 定义所谓“角平分线”，是指将一个角平分为两个角的线段。
在角上下方形成两个新的角，它们的大小相等。
2. 性质(1) 角平分线把原来的角分成两个大小相等的角。
(2) 角平分线的两侧所对的两个角相等。
(3) 在三角形中，若一条线段是一个角的平分线，则它所在的线段所对的两侧角的大小之比等于它所在的线段所对的两侧边的长度之比。
二、与角平分线有关的定理1. 外角定理所谓“外角”，是指一个三角形的一个内角所对的另一个角。
外角定理是指一个三角形的一个外角等于它的不相邻两个内角之和。
2. 内角定理一个多边形的内角和等于这个多边形的狄利克雷函数乘以180°。
三、角平分线的应用了解了角平分线的定义和性质以及与角平分线有关的定理，我们就可以在解题过程中灵活应用，其中最常见的就是角平分线定理的应用。
在三角形中，若已知一条角平分线及其所分割的两边长度，则可以利用角平分线定理求解三角形中其它角的大小。
例如，已知在三角形ABC中，角BAD的平分线交BC边于点E，且BE=7，EC=5，则可以利用角平分线定理求解角DAB和角DAC的大小。
根据角平分线定理，有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$因此，$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{7}{5}$又有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}$因此，$\dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angle DAC}=\dfrac{7}{5}$由于$\angle DAB+\angle DAC=180^\circ$，因此可以列出以下方程组：$\begin{cases} \dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angleDAC}=\dfrac{7}{5} \\ \sin \angle DAB+\sin \angle DAC=1\end{cases}$解得$\sin \angle DAB=\dfrac{7}{12}$，$\sin \angleDAC=\dfrac{5}{12}$，$\angle DAB=\sin^{-1} \dfrac{7}{12}$，$\angle DAC=\sin^{-1} \dfrac{5}{12}$，即$\angle DAB \approx 36.87^\circ$，$\angle DAC \approx 26.57^\circ$。
8.角平分线定理
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角平分线的定理
角平分线的定理
角平分线是数学中的一种概念，又称为“垂直”或“弓箭折线”。
它可以用来表示两个同心圆圆心之间的连线。
直角平分线的定理认为，给定任意一个直角，该直角的对角线可以被垂直分割成两条相等的折线，称为“角平分线”。
在几何学中，角平分线最重要的作用是可以将给定的任何直角分成两个相等的角。
这意味着，当绘制一个直角时，将绘制的对角线以等分的折线方式将整个直角分割，每一条折线都会落在与直角有着相同的角度的位置。
角平分线有多种用途，其中最重要的应用是可以用来计算复杂图形的位置，例如矩形，七边形，五边形等。
比如，假设一个矩形要被绘制出来，我们可以通过使用角平分线来计算矩形的对角线的位置，从而绘制出带有最佳对称性的矩形。
另外，角平分线还可以被用来研究同心圆的性质。
假设有两个同心圆在一起，通过使用角平分线，就可以计算出两个同心圆圆心之间的距离，而且它的位置也确定了，这样就可以方便地绘制出同心圆。
在三角形中，角平分线定理也被广泛使用。
比如，它可以用来确定三角形的外心的位置，同时也可以确定三角形的内接圆的位置。
此外，借助角平分线，还可以确定平行四边形和正多边形的形状，以及它们中心点的位置等等。
总之，角平分线的定理被广泛应用于数学和几何学中。
它最重
要的作用在于可以帮助我们准确计算复杂图形之间的位置关系，为我们提供了许多方便的工具。
第二节角平分线定理
第二节角平分线定理【知识点拨】1、三角形内角平分线的性质定理：三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。
（试证明）2、三角形外角平分线性质定理：三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。
3、常见问题对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明的目的。
【赛题精选】例1、在△ABC中，∠C＝900，CD是∠C的平分线，且CA＝3，CB＝4。
求CD的长。
例2、若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB＝4，PD＝3。
求A D·DC的值。
（2001年全国竞赛题）【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。
计算时要注意对应关系，正确书写比例式。
对于求线段ab 的值的题目，常由相关定理证出等积式ab ＝cd ，求出cd 的值即可。
例3、I 是△ABC 内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。
求证：BCAC AB ID AI +=。
例4、Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G 。
试求：CF 与GB 的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀请赛题）【说明】欲证线段a ＝b ，由线段成比例定理得出含a 、b 的比例式，111n m x a =、222n m x b =， 然后证2211n m n m =，从而得到21x b x a =，再证21x x =，从而得到a ＝b 。
本题证法较多，如过点E 作EH ∥BC 交AB 于H ，则EH ＝GB ，再证EH ＝EC 、EC ＝CF ；或过F 作FM ⊥AB 于M ，证Rt △CEG ≌Rt △FMB 。
例5、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 交AB 于G ，AM 是BC 边的中线，交CG 于F 。
角平分线定理
角平分线定理目录角平分线的定义提供四种证明方法：编辑本段角平分线的定义■ 角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC编辑本段提供四种证明方法：已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC已知和证明1图证明：方法1：（面积法）S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,∴S△ABM：S△ACM=AB:AC又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，证明2图即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM∴AB／AC=MB／MC方法2（相似形）过C作CN‖AB交AM的延长线于N则△ABM∽△NCM∴AB/NC=BM/CM又可证明∠CAN=∠ANC∴AC=CN∴AB／AC=MB／MC证明3图方法3（相似形）过M作MN‖AB交AC于N则△ABC∽△NMC,∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC又可证明∠CAM=∠AMN∴AN=MN∴AB/AC=AN/NC∴AB／AC=MB／MC方法4（正弦定理）作三角形的外接圆，AM交圆于D，由正弦定理，得，证明4图AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,∴AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180°sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, ∴AB／AC=MB／MC。
角平分线定理 口诀
角平分线定理口诀
角平分线定理（也称为角平分线定理或简称为角平分线）是初中阶段的一项重要的几何定理。
该定理说明了一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点平分这个角，且同时过另一个角的对边，那么这条线段将会把这个三角形分成两个面积相等的部分。
为了方便记忆，我们可以使用以下简单的口诀来帮助我们记住这个重要的定理：
“角平分线，分两等面。
分出的角，相等相似。
”
这个口诀帮助我们记住了角平分线定理的三个重要要点。
首先，角平分线将会把三角形分成两个面积相等的部分。
这意味着如果我们知道了三角形中一个角的平分线，我们就可以将这个角平分成两个面积相等的部分。
其次，角平分线将会分出两个相等的角。
这意味着如果我们知道了三角形中一个角的平分线，我们就可以得到这个角的两个相等的角度。
最后，这个口诀提示我们角平分线定理的一个重要衍生结果：由角平分线所分出的两个三角形是相似的。
这也就是说，这两个三角形的对应角度是相等的，而且它们的边长比也是相等的。
总体而言，这个口诀为我们记住角平分线定理提供了一个简单而有效的方法。
通过使用这个口诀，我们可以更好地理解这个重要的几何定理，并且在考试或者学习中更轻松地应用它。
最后，记住这个口诀，你就掌握了角平分线定理。
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
直角三角形 角平分线定理
直角三角形角平分线定理
直角三角形的角平分线定理是指：在一个直角三角形中，如果从直角顶点引一条线段，将对角线分成两段，那么这条线段所在的直线就是这个直角顶点的两个相邻角的平分线。
具体来说，设一个直角三角形ABC，其中∠C=90度，AD为BC的中线，DE是AC的垂线，则AD是∠A和∠B的平分线，即∠CAD=∠BAD=∠A/2，∠CBD=∠ABD=∠B/2。
这个定理的证明可以利用几何知识进行证明，例如相似三角形、角度和定理等。
但简单来说，我们可以利用三角函数的定义，根据正弦、余弦、正切等函数来计算证明。
总之，直角三角形的角平分线定理在几何学中有着重要的应用价值，可以帮助我们更好地理解和应用三角形的相关知识。
角平分线-性质定理与逆定理课件
D,E. 求证:PD=PE.
A D
分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在
的△OPD≌△OPB，
1
O
2
P C
而△OPD≌△OPB的条件由已知易知它 满足公理(AAS).
故结论可证.
E B
老师期望:你能写出规范的证明过程.
2
2019/4/23
开启 智慧 几何的三种语言
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
C● O
A
老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.
12
2019/4/23
3 独立作业
习题1.4
3.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且
BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
A
E
F
B
老师期望:
D
C
悟 做完题目后,一定要“ ”到点东
西,纳入到自己的3
1 独立作业
习题1.4
1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线. 你发现了什么？
老师期望:
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
11
2019/4/23
2 独立作业
习题1.4
2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB
的两边的距离相等.
B
D●
2019/4/23
13
A区
2019/4/23
8
小结 拓展
回味无穷
定理 角平分线上的点到这个角的两边
距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一
点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已
知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边
沪科版八上数学 第2课时 角平分线的性质及判定
角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分
别为 E，F. 求证：EB = FC. 证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，
A
DE⊥AB， DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF，
BD = CD，
E
F
B
D
∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14.
(1) 则点 P 到 AB 的距离为__4___； (2) 求 △APB 的面积.
B D
解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4，
P
故
S△APB
1 2
AB
·PD
=
28.
A
C
温馨提示：存在一条垂线段 — — 构造应用
知识与方法
1. 应用角平分线的性质：
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
A
试说明：PD = PE.
D C
解：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
P
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
O
在 △PDO 和 △PEO 中，
E
B
∠PDO = ∠PEO， ∠POD = ∠POE，
∴ △PDO≌△PEO(AAS).
OP = OP，
∴ PD = PE.
B
∴△AED 的周长为AE + ED + DA＝2 + 6＝8. 8
C
5. 如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线 的交点，PE⊥AB 于 E，且 PE = 3. 求 AD 与 BC 间的距离. 解：过点 P 作 MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 间的距离. ∵ AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB， ∴ PM = PE. 同理，PN = PE. ∴ PM = PN = PE =3. ∴ MN = 6， 即 AD 与 BC 之间的距离为 6.
直角三角形角平分线定理
直角三角形角平分线定理
直角三角形角平分线定理是指：在一个直角三角形中，从直角顶点引出一条直线，将直角分为两个角度相等的角，则该直线被称为直角三角形的角平分线。
这个定理是数学中基础的定理之一，在数学中经常应用。
一、角平分线的性质
1. 角平分线把对边分为相等的两部分。
2. 角平分线上的点，到对边两点的距离相等。
3. 对于同一条角平分线，可以作出两条垂直于这条角平分线的直线，这两条直线相交于直角。
二、角平分线的应用
1. 海伦公式：用于计算任意三角形的面积。
海伦公式中需要用到三条边的长度，以及半周长。
而角平分线可以将三角形分成两个相似的三角形，其中一个边长为三角形斜边的一半，而另一个边长可以通过勾股定理计算得出。
这样，我们就可以轻松地计算半周长和三条边的长度。
2. 证明两条直线垂直：假设我们有两条直线交于一点，现在需要证明它们垂直。
我们可以在这个交点处引出一条角平分线，将两条直线分为两个相等的角度。
然后，我们再作两条垂直于角平分线的直线，这两条直线将交于直角。
3. 证明三角形相似：如果我们有两个三角形，需要证明它们相似。
我们可以找到它们的一个顶点，然后从该顶点引出两条角平分线，将这两个三角形分成两个相似的三角形。
如果另外两个顶点所在的线段比例相等，则这两个三角形相似。
总之，角平分线定理是数学学习中非常重要的一条定理，它广泛应用于几何分析、数学证明等领域，具有非常高的实用性和普适性。
第2课时 角平分线的性质与判定的综合应用
求证：BD=2CD。
A
B 证明：
D
C
∵∠C=90°，∠B=30° ∴Rt△ABC中，AB=2BC，∠BAC=60° ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=30°，AD=BD ∴Rt△ACD中，AD=2CD ∴BD=2CD
3.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相
交于点F。
E
C
H
（三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等）
这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一，这个交点叫做三 角形的内心。
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定 理
三边角三角形
交点性质
交于三角形内一点 交于三角形外一点 交于斜边的中点
第二课时
角平分线
1.角平分线的性质定理 定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
A D
如图，
O1 2
P C
∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E（已知
E B
）
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边距
离这相个等结）论是经常用来证明两条线段相等的根据之一。
A
求证：点F在∠DAE的平分线上。
B
C
证明：
∵BF是∠CBD的角平分线 D ∴F到BC，AD的距离相等
F
E
∵BF是∠CBD的角平分线
∴F到BC，AE的距离相等
∴F到AD，AE的距离相等
从而点F在∠DAE的平分线上
4.已知：如图，P是∠AOB平分线上的一个点，并且
PC⊥OA，
PD⊥OB，垂足分别是C，D。 C A 求证：（1）OC=OD;
八年级上册数学第2课时 角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角 的平分线上．
几何语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB， PD = PE， ∴点P 在∠AOB的平分线 上（OP 平分 ∠AOB）．
你能证明这个结论的正确性吗？
这个结论与角的平分线的性质在应用上有 什么不同？
这个结论可以用来判定角的平分线，而角 的平分线的性质可用来证明线段相等．
A
M Q O
N
B
判断题： （2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N， 则OQ是∠AOB 的平分线； （ ×）
A M Q O N B
判断题： （3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上． A （ √）
M Q
O
N
如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公 路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉 处500 m. 这个集贸市场 应建于何处（在图上 标 出它的位置，比例尺为1：20 000）？
证明：过P 点作PD，PE， PF分别垂直于AB，BC，CA，垂 足分别为D，E，F. ∵BM 是△ABC的角平分线， 点P 在BM 上， ∴PD = PE . 同理 PE = PF . ∴ PD = PE = PF . 即点P 到三边AB，BC，CA 的距离相等．
D
F
E
练习1 判断题： （1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB； （ ×）
1 图上距离 解：∵ = 500m 20000
∴图上距离 = 0.025m = 2.5cm.
P
如图所示：P点即为所求 ; 理由：P点在这个交叉口的角平分线上，所 以P点到公路与铁路的距离相等.
练习2 要在三角形的内部找到一点，使这 一点到三角形的三边的距离都相等，这个点应 如何确定？ 作其中任意两角的平分线，交点即为所要 找的点.
相似三角形的角平分线和中线
相似三角形的角平分线和中线相似三角形是高中数学中的重要概念，它在几何学的研究中具有广泛的应用。
本文将讨论相似三角形中的两个重要线段：角平分线和中线。
通过研究它们的性质和关系，我们可以深入理解相似三角形的特点和性质。
一、角平分线的性质和定理角平分线是指将一个角分成两个等角的线段。
在相似三角形中，角平分线具有以下重要性质和定理：1. 定理一：相似三角形的两个相应角的角平分线互相平行。
证明：设两个相似三角形ABC和DEF，∠A和∠D为相应角。
分别连接∠A和∠D的角平分线，分别为AM和DN。
由角平分线的性质可知，∠BAM=∠DAN，∠ACM=∠DFN。
又因为相似三角形的对应角相等，所以∠BAM=∠DFN。
根据等角的性质，可知AM和DN是平行的。
由此可得，相似三角形的相应角的角平分线互相平行的结论。
2. 定理二：相似三角形的角平分线与对边成比例。
证明：设两个相似三角形ABC和DEF，∠A和∠D为相应角。
分别连接∠A和∠D的角平分线，分别为AM和DN。
根据定理一，可知AM∥DN。
通过平行线性质可得以下比例关系：AB/DE = AC/DF = BC/EF由此可得，相似三角形的角平分线与对边成比例的结论。
二、中线的性质和定理中线是指连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
在相似三角形中，中线具有以下重要性质和定理：1. 定理三：相似三角形的两个相应角的中线互相平行。
证明：设两个相似三角形ABC和DEF，∠A和∠D为相应角。
分别连接∠A和∠D的中线，分别为AM和DN。
由中线的性质可知，AM平分BC，DN平分EF。
又因为相似三角形的对应角相等，所以∠BAM=∠DFN。
根据等角的性质，可知AM和DN是平行的。
由此可得，相似三角形的相应角的中线互相平行的结论。
2. 定理四：相似三角形的中线与对边成比例。
证明：设两个相似三角形ABC和DEF，∠A和∠D为相应角。
分别连接∠A和∠D的中线，分别为AM和DN。
根据定理三，可知AM∥DN。
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第二节角平分线定理
【知识点拨】
1、三角形内角平分线的性质定理：
三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。
（试证明）
2、三角形外角平分线性质定理：
三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。
3、常见问题
对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明的目的。
【赛题精选】
例1、在△ABC中，∠C＝900，CD是∠C的平分线，且CA＝3，CB＝4。
求CD的长。
例2、若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB＝4，PD＝3。
求A D·DC的值。
（2001年全国竞赛题）
【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。
计算时要注意对应关系，正确书写比例式。
对于求线段ab 的值的题目，常由相关定理证出等积式ab ＝cd ，求出cd 的值即可。
例3、I 是△ABC 内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。
求证：BC
AC AB ID AI +=。
例4、Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，AF 平分
∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G 。
试求：CF 与GB 的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀
请赛题）
【说明】欲证线段a ＝b ，由线段成比例定理得出含a 、b 的比例式，111n m x a =、222n m x b =， 然后证2
211n m n m =，从而得到21x b x a =，再证21x x =，从而得到a ＝b 。
本题证法较多，如过点E 作EH ∥BC 交AB 于H ，则EH ＝GB ，再证EH ＝EC 、EC ＝CF ；或过F 作FM ⊥AB 于M ，证Rt △CEG ≌Rt △FMB 。
例5、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 交AB 于G ，AM 是BC 边的中线，交CG 于F 。
求证：AC ∥DF 。
【说明】三角形角平分线的性质为比例关系的转化提供了新的方法，从而开阔了解题思路，另外在证明几何题时，还应注意合比、等比性质的应用。
本题是由线段成比例证明两条直线平行的，这是证两条直线平行的新方法，对于题设中有平行、角平分线条件证平行的题目，常用此方法证明。
例6、在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＞b ＞c ，AS 、AS ’为∠A 的平分线与外角的平分线，BT 、BT ’为∠B 的平分线与外角平分线，CU 、CU ’为∠C 的平分线及外角平分线。
求证：
T T U U S S '='+'111。
（1990年上海市竞赛题）
【说明】通过本题的求解，我们得到
c
b a 111=+型几何题的又一种解法，即分别计算出a 、b 、
c 的值，再验证等式两边相等。
【针对训练】。