层次分析法例题

实验目的：

熟悉有关层次分析法模型的建立与计算，熟悉Matlab 的相关命令。

实验准备：

1. 在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；

2. 需要一台准备安装Windows XP Professional 操作系统和装有Matlab 的计算机。

实验内容及要求

试用层次分析法解决一个实际问题。问题可参考教材P296第4大题。

实验过程：

某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。以A 表示系统的总目标，判断层中1B 表示功能，2B 表示价格，3B 表示可维护性。1C ，2C ，3C 表示备选的3种品牌的设备。

解题步骤：

1、标度及描述

人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。

为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i 与要素j 相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。

5 因素i 与j 较强重要 7 因素i 与j 强烈重要 9 因素i 与j 绝对重要 2、4、6、8 两个相邻判断因素的中间值

倒数 因素i 与j 比较得判断矩阵a ij ，则因素j 与i 相比的判断为a ji =1/a ij

设备采购层次结构图

注：a ij 表示要素i 与要素j 相对重要度之比，且有下述关系：

a ij =1/a ji ；a ii =1； i ，j=1，2，…，n

显然，比值越大，则要素i 的重要度就越高。

2、构建判断矩阵A

判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。 根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：

●判断矩阵B A -(即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较)如表1所示；

●判断矩阵C B -1(相对功能，各方案的相对重要性比较)如表2所示； ●判断矩阵C B -2(相对价格，各方案的相对重要性比较)如表3所示； ●判断矩阵C B -3(相对可维护性，各方案的相对重要性比较)如表4所 示。

B A -

3、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标

一般来讲，在AHP 法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。

●求和法

1）将判断矩阵A 按列归一化（即列元素之和为1）：b ij = a ij /Σa ij ； 2）将归一化的矩阵按行求和：c i =Σb ij （i=1，2，3….n ）；

3）将c i 归一化：得到特征向量W =（w 1，w 2，…w n ）T ，w i =c i /Σc i ， W 即为A 的特征向量的近似值；

4）求特征向量W 对应的最大特征值：

●求根法

1）计算判断矩阵A 每行元素乘积的n 次方根；n

n

j ij

i a

w ∏==1

（i =1, 2, …, n ）

2）将i w 归一化，得到∑==

n

i i

i

i w

w w 1

；W =（w 1，w 2，…w n ）T 即为A 的特征向量的

近似值；

3）求特征向量W 对应的最大特征值：

(1)判断矩阵B A -的特征根、特征向量与一致性检验 ①计算矩阵B A -的特征向量。

计算判断矩阵B A -各行元素的乘积i M ，并求其n 次方根，如3

2

23111=⨯⨯=M ，

874.0311==M W ，类似地有，466.2322==M W ，464.0333==M W 。对向量T n W W W W ],,,[21 =规范化，有

230

.0464

.0466.2874.0874

.01

1

1=++=

=

∑=n

i i

W

W W 类似地有684.02=W ，122.03=W 。所求得的特征向量即为：

T W ]122.0,648.0,230.0[=

②计算矩阵B A -的特征根

T

AW ]122.0,648.0,230.0[15/12/151323/11⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡= 69.0122.02648.03

1

230.011=⨯+⨯+⨯=AW

类似地可以得到948.12=AW ，3666.03=AW 。 按照公式计算判断矩阵最大特征根：

004.3122.033666.0648.03948.1230.0369.0)(1

max

=⨯+⨯+⨯==∑=n

i i i nW AW λ

③一致性检验。

实际评价中评价者只能对A 进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错误。如，已判断C 1比C 2重要，C 2比C 3较重要，那么，C 1应该比C 3更重要。如果又判断C 1比C 3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。这就需要进行一致性检验。

根据层次法原理，利用A 的理论最大特征值λmax 与n 之差检验一致性。 一致性指标：

计算002.01

33

004.31max =--=

--=

n n

CI λ<0.1，1.0003.0<==RI CI CR ，查同阶平均随机一致性指标（表5所示）知58.0=RI ，（一般认为CI<0.1、 CR<0.1时，判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较）。

(2)判断矩阵C B -1的特征根、特征向量与一致性检验

类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵C B -1的特征根、特征向量与一致性检验如下：

T W ]637.0,258.0,105.0[=，039.3max =λ，1.0033.0<=CR (3)判断矩阵C B -2的特征根、特征向量与一致性检验

类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵刀：—C 的特征根、特征向量与一致性检验如下：

T W ]075.0,333.0,592.0[=，014.3max =λ，1.0012.0<=CR (4)判断矩阵C B -3的特征根、特征向量与一致性检验 类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵C B -3的特征根、特征向量与一致性检验如下：

T W ]785.0,066.0,149.0[=，08.3max =λ，1.0069.0<=CR 4、层次总排序

获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总体的综合重要度。设二级共有m 个要素c 1, c 2,…,c m ，它们对总值的重要度为w 1, w 2,…, w m ；她的下一层次三级有p 1, p 2,…,p n 共n 个要素，令要素p i 对c j 的重要度（权重）为v ij ，则三级要素p i 的综合重要度为：

方案C 1的重要度（权重）=0.230×0.105+0.648×0.529+0.122×0.149=0.426 方案C 2的重要度（权重）=0.230×0.258+0.648×0.333+0.122×0.066=0.283 方案C 3的重要度（权重）=0.230×0.637+0.648×0. 075+0.122×0.785=0.291

依据各方案综合重要度的大小，可对方案进行排序、决策。 层次总排序如表6所示。

表6 层次总排序