断裂力学讲义Ch5_3
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ik材料常数矩阵
ti ij h j
2 ik bk r
螺位错
Burger矢量沿x3方向
13 31
Gb3 sin 2 r
23 32
Gb3 cos 2 r
2 ik bk ti ij h j r
刃位错
21
2 3k bk t3 3 j h j r
位错
1905年提出Volterra模型描述位错
Vito Volterra
1934提出并发展位错理论成功解释塑性变形
Geoffrey Ingram Taylor
Michael Polanyi
Egon Orowan
刃位错（edge dislocation）
b Burger’s矢量
b┴l
l 线矢量（垂直于纸面）
螺位错（screw dislocation）
b Burger’s矢量
l 线矢量
b // l
位移场
u3
应力场
x b arctan 2 2 x1
13 31
Gbx2 2 2 x12 x2
23 32
Gbx1 2 2 x12 x2
J ij bb i j
裂纹表面对位错有吸引作用，称为镜像力（Image force）。
晶体材料的韧脆转变
脆性 裂纹解 理断裂
相互竞争
裂尖发射位错， 裂纹变钝
韧性
JR Rice and RM Thomson, "Ductile vs. Brittle Behavior of Crystals", Philosophical Magazine, 29, 1974, 73-97.
第五章：J积分和M积分
J积分
HRR场
J积分的实验测量和数值计算 讨论 M积分
断裂力学中的三个守恒积分 2D（线积分）
J积分 能量释放率（缺陷相互作用）
J wn t u , d
J1
M积分
M wx n t u , x d
Knowles-Sternberg
R
R 2 ik bk U U bi d dr ik bi bk ln r r0 r0 0
R 1
位错的J积分
d ij ij ij d ij ij ij
1 1 d d w ij ij ij ij ij ij 2 2 1 1 d d 1 d 1 d ij ij ij ij ij ij ij ij 2 2 2 2 1 1 d d d ij ij ij ij ij ui , j 2 2
M 代表与孔洞自相似生长相关的能量释放率
对于闭合路径（不含具有奇异性的缺陷），M积分为零
M
C
wn
i
jk
nk u j ,i xi ds 0
证明过程？
M积分是路径无关的守恒积分。
推导过程
C
wn x ds wx
i i A
i ,i
dA w,i xi wxi ,i dA
Physical meaning
J-integral: energy change associated with rigid translation of
defects.
L-integral: energy change associated with rigid rotation of
defects.
Peach-Koehler力（外在应力场对于位错的作用力）
FPK σ b l
晶体材料中的位错
位错应力场 量纲分析
ij
bk Fijk G r
ij r
ij
r
（ 1）
平衡方程
ij x j
ij r
0
0
cos sin e , h sin cos
0 0 G 4
22
各向同性材料
G 4 1 0
各向同性材料中位错的弹性应变能
C
ui ds bi s
ui bi
: 0 1
r0 位错芯半径
R 2 b ik k U ij h j ui dr bi dr r r r0 0
G 13 23 0, 33 4
Gb1 , 22 23 0 2 1 r Gb2 , 12 23 0 2 1 r
G 4 1 0 ij 0 0
G 11 , 21 31 0 4 1 G 22 , 12 32 0 4 1
M积分
M-integral: energy change associated with self-similar expansion of defects. 对于一个孔洞
U e w s x nds wxi ni ds M
M wxi ni ds
M M 1 M 2
J1
吸引
2ij bi b j
0
位错与裂纹的交互作用
取无穷大的闭合围道，可看作位错被 裂纹吸收
M 0
围绕裂尖的闭合围道
M 1 0
围绕位错的闭合围道
M2 J ij bb i j
注意
M M 1 M 2
刃位错滑移（slip）
刃位错攀移（climb）
刃位错攀移需要空位扩散（即增加或减少空位）辅助， 是一种非守恒的运动模式； 刃位错攀移在垂直于滑移面的方向上；
刃位错攀移过程涉及到割接（jog）的形成和运动。
刃位错的位移场与应力场
位移场
x2 x1 x2 b arctan u1 2 2 2 x 1 2 1 x1 x2
M-integral: energy change associated with self-similar expansion
of defects.
晶体材料的理论强度与实测强度
为什么？
Gb G th 2 a 2 G E th ~ ~ 10 30
exp 100 MPa ~1GPa
M1 ij bb i j
M 2
注意
2
wn t u
i j j ,i
1i
xi ds J1 ij bib j
为什么？
M M 1 M 2
异号位错（Burger矢量反方向）
J1
2ij bi b j
排斥
J1 0
M 0
A
w jk xi 2w dA x jk i A
A
jk
w jk
jk u j ,ki xi jk u j ,k dA jk u j ,ki xi u j ,i xi ,k dA jk u j ,i xi dA jk u j ,i xi dA
复合位错（mixed dislocation）
Peierls-Nabarro应力（晶格对于位错运动的阻力）
PN
2G 2 w exp 1 b
w 位错芯宽度
Orowan方程
bv
位错密度 v 位错运动平均速度
晶体材料的塑性变形是由于（具有一定位错密度）位错运动造成的。 给出了宏观塑性变形和微观位错运动之间的关联。
2 Gbx2 3x12 x2
2 2 2
12
2 2 1 x12 x2
2 Gbx1 x12 x2
2
2 1 x12 x
2 2 2
平面应变 33
Gb x2 2 1 x12 x2
平面应力（情况？）
A ,k A ,k A
jk kj
jk ,k 0
jk u j ,i xi nk ds
C
裂纹的M积分
M
位错的M积分
C
wn
i
jk
nk u j ,i xi ds 0
【作业题5-8】
M
C
wn
i
jk
nk u j ,i xi ds ij bi b j
j j, d ij i , j d d u n jk u j , nk jk u j , nk ds
d u n jk u j , nk ds
位错自平衡
d jk nk ds 0 c
J
c
d ij i , j
=1
能量力（Energetic force）
（ 3）
ej
ij h j r
h e e ,h （2）
（ 2）
ij h j ij h j 0 r r
ij h j 0
r hi ei , （ 3） xi xi r
Leabharlann Baidu
d d jk u j , jk jk u j , u j , d d d d jk u j , jk u j , jk u j , jk u j ,
J
c
C
wn t u ds
考虑一个II型裂纹，裂尖前方有一位错b1=b 裂纹对位错的镜像力
J ij bb i j
Gb2 4 1
J1
11b1b1
由于裂尖弹性场对位错的作用力（Peach-Koehler力）
L积分
L 3 wx n t u t u , x d
J. K. Knowles, Eli Sternberg, On a class of conservation laws in linearized and finite elastostatics. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 44, 187-211 (1972). B. Budiansky and J. R. Rice, Conservation laws and energy-release rates. Journal of Applied Mechanics, 40, pp. 201-203 (1973).
b u2 2
2 1 2 x12 x2 2 2 log x1 x2 2 2 4 1 4 1 x1 x2
应力场
11
22
2 1 x x
2 1
2 Gbx2 x12 x2
J1
c
d ij i , j 1
d u n jk u j ,1 nk ds 2 j
u
c
d j ,2
dx2 u d j ,1 dx 1 2 j bj
【作业题5-7】按照讲义中的推导，求解J2的表达式，并仿照讲 义中的解释，尝试说明J2的物理意义（针对于不同的Burgers矢 量）。
【作业题5-9】
M积分可以反映1/r的奇异性。
R U ik bi bk ln r0
r0 U U r0 ik bi bk r0 r0
U M r0
r0
位错之间的相互作用
同号位错（Burger矢量同方向）
M ij 2bi 2b j 4 ij bi b j
ti ij h j
2 ik bk r
螺位错
Burger矢量沿x3方向
13 31
Gb3 sin 2 r
23 32
Gb3 cos 2 r
2 ik bk ti ij h j r
刃位错
21
2 3k bk t3 3 j h j r
位错
1905年提出Volterra模型描述位错
Vito Volterra
1934提出并发展位错理论成功解释塑性变形
Geoffrey Ingram Taylor
Michael Polanyi
Egon Orowan
刃位错（edge dislocation）
b Burger’s矢量
b┴l
l 线矢量（垂直于纸面）
螺位错（screw dislocation）
b Burger’s矢量
l 线矢量
b // l
位移场
u3
应力场
x b arctan 2 2 x1
13 31
Gbx2 2 2 x12 x2
23 32
Gbx1 2 2 x12 x2
J ij bb i j
裂纹表面对位错有吸引作用，称为镜像力（Image force）。
晶体材料的韧脆转变
脆性 裂纹解 理断裂
相互竞争
裂尖发射位错， 裂纹变钝
韧性
JR Rice and RM Thomson, "Ductile vs. Brittle Behavior of Crystals", Philosophical Magazine, 29, 1974, 73-97.
第五章：J积分和M积分
J积分
HRR场
J积分的实验测量和数值计算 讨论 M积分
断裂力学中的三个守恒积分 2D（线积分）
J积分 能量释放率（缺陷相互作用）
J wn t u , d
J1
M积分
M wx n t u , x d
Knowles-Sternberg
R
R 2 ik bk U U bi d dr ik bi bk ln r r0 r0 0
R 1
位错的J积分
d ij ij ij d ij ij ij
1 1 d d w ij ij ij ij ij ij 2 2 1 1 d d 1 d 1 d ij ij ij ij ij ij ij ij 2 2 2 2 1 1 d d d ij ij ij ij ij ui , j 2 2
M 代表与孔洞自相似生长相关的能量释放率
对于闭合路径（不含具有奇异性的缺陷），M积分为零
M
C
wn
i
jk
nk u j ,i xi ds 0
证明过程？
M积分是路径无关的守恒积分。
推导过程
C
wn x ds wx
i i A
i ,i
dA w,i xi wxi ,i dA
Physical meaning
J-integral: energy change associated with rigid translation of
defects.
L-integral: energy change associated with rigid rotation of
defects.
Peach-Koehler力（外在应力场对于位错的作用力）
FPK σ b l
晶体材料中的位错
位错应力场 量纲分析
ij
bk Fijk G r
ij r
ij
r
（ 1）
平衡方程
ij x j
ij r
0
0
cos sin e , h sin cos
0 0 G 4
22
各向同性材料
G 4 1 0
各向同性材料中位错的弹性应变能
C
ui ds bi s
ui bi
: 0 1
r0 位错芯半径
R 2 b ik k U ij h j ui dr bi dr r r r0 0
G 13 23 0, 33 4
Gb1 , 22 23 0 2 1 r Gb2 , 12 23 0 2 1 r
G 4 1 0 ij 0 0
G 11 , 21 31 0 4 1 G 22 , 12 32 0 4 1
M积分
M-integral: energy change associated with self-similar expansion of defects. 对于一个孔洞
U e w s x nds wxi ni ds M
M wxi ni ds
M M 1 M 2
J1
吸引
2ij bi b j
0
位错与裂纹的交互作用
取无穷大的闭合围道，可看作位错被 裂纹吸收
M 0
围绕裂尖的闭合围道
M 1 0
围绕位错的闭合围道
M2 J ij bb i j
注意
M M 1 M 2
刃位错滑移（slip）
刃位错攀移（climb）
刃位错攀移需要空位扩散（即增加或减少空位）辅助， 是一种非守恒的运动模式； 刃位错攀移在垂直于滑移面的方向上；
刃位错攀移过程涉及到割接（jog）的形成和运动。
刃位错的位移场与应力场
位移场
x2 x1 x2 b arctan u1 2 2 2 x 1 2 1 x1 x2
M-integral: energy change associated with self-similar expansion
of defects.
晶体材料的理论强度与实测强度
为什么？
Gb G th 2 a 2 G E th ~ ~ 10 30
exp 100 MPa ~1GPa
M1 ij bb i j
M 2
注意
2
wn t u
i j j ,i
1i
xi ds J1 ij bib j
为什么？
M M 1 M 2
异号位错（Burger矢量反方向）
J1
2ij bi b j
排斥
J1 0
M 0
A
w jk xi 2w dA x jk i A
A
jk
w jk
jk u j ,ki xi jk u j ,k dA jk u j ,ki xi u j ,i xi ,k dA jk u j ,i xi dA jk u j ,i xi dA
复合位错（mixed dislocation）
Peierls-Nabarro应力（晶格对于位错运动的阻力）
PN
2G 2 w exp 1 b
w 位错芯宽度
Orowan方程
bv
位错密度 v 位错运动平均速度
晶体材料的塑性变形是由于（具有一定位错密度）位错运动造成的。 给出了宏观塑性变形和微观位错运动之间的关联。
2 Gbx2 3x12 x2
2 2 2
12
2 2 1 x12 x2
2 Gbx1 x12 x2
2
2 1 x12 x
2 2 2
平面应变 33
Gb x2 2 1 x12 x2
平面应力（情况？）
A ,k A ,k A
jk kj
jk ,k 0
jk u j ,i xi nk ds
C
裂纹的M积分
M
位错的M积分
C
wn
i
jk
nk u j ,i xi ds 0
【作业题5-8】
M
C
wn
i
jk
nk u j ,i xi ds ij bi b j
j j, d ij i , j d d u n jk u j , nk jk u j , nk ds
d u n jk u j , nk ds
位错自平衡
d jk nk ds 0 c
J
c
d ij i , j
=1
能量力（Energetic force）
（ 3）
ej
ij h j r
h e e ,h （2）
（ 2）
ij h j ij h j 0 r r
ij h j 0
r hi ei , （ 3） xi xi r
Leabharlann Baidu
d d jk u j , jk jk u j , u j , d d d d jk u j , jk u j , jk u j , jk u j ,
J
c
C
wn t u ds
考虑一个II型裂纹，裂尖前方有一位错b1=b 裂纹对位错的镜像力
J ij bb i j
Gb2 4 1
J1
11b1b1
由于裂尖弹性场对位错的作用力（Peach-Koehler力）
L积分
L 3 wx n t u t u , x d
J. K. Knowles, Eli Sternberg, On a class of conservation laws in linearized and finite elastostatics. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 44, 187-211 (1972). B. Budiansky and J. R. Rice, Conservation laws and energy-release rates. Journal of Applied Mechanics, 40, pp. 201-203 (1973).
b u2 2
2 1 2 x12 x2 2 2 log x1 x2 2 2 4 1 4 1 x1 x2
应力场
11
22
2 1 x x
2 1
2 Gbx2 x12 x2
J1
c
d ij i , j 1
d u n jk u j ,1 nk ds 2 j
u
c
d j ,2
dx2 u d j ,1 dx 1 2 j bj
【作业题5-7】按照讲义中的推导，求解J2的表达式，并仿照讲 义中的解释，尝试说明J2的物理意义（针对于不同的Burgers矢 量）。
【作业题5-9】
M积分可以反映1/r的奇异性。
R U ik bi bk ln r0
r0 U U r0 ik bi bk r0 r0
U M r0
r0
位错之间的相互作用
同号位错（Burger矢量同方向）
M ij 2bi 2b j 4 ij bi b j