人教版本高中数学选修22课后学习的练习习题参考标准标准答案.doc
新课程标准数学选修2— 2 第一章课后习题解答第一章导数及其应用
3． 1 变化率与导数
练习（ P6）
在第 3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为和 3. 它说明在第 3 h 附近，原油温度大约以 1 ℃／ h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3 ℃／ h 的速率上升 .
练习（ P8）
函数在附近单调递增，在附近单调递增 . 并且，函数在附近比在附近增加得慢.说明：体会“以直代曲” 1 的思想 .
练习（ P9）
函数的图象为
根据图象，估算出，.
说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数
的几何意义估算两点处的导数 .
习题 A 组（ P10）
1、在处，虽然，然而.
所以，企业甲比企业乙治理的效率高.
说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.
2、，所以， .
这说明运动员在s 附近以 m／s 的速度下降 .
3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数在时的导数.
，所以， .
因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m／ s，它在第 5 s 的动能
4、设车轮转动的角度为，时间为，则.
由题意可知，当时，.所以，于是.
车轮转动开始后第s 时的瞬时角速度就是函数在时的导数.
，所以 .
因此，车轮在开始转动后第s 时的瞬时角速度为 .
说明：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.
5、由图可知，函数在处切线的斜率大于零，所以函数在附近单调递增
函数在，，0，2 附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减明：“以直代曲”思想的应用. .
J.
. 同理可得，
说
6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数的图
象如图（ 1）所示；第二个函数的导数恒大于零，并且随着的增加，的值也在增加；
对于第三个函数，当小于零时，小于零，当大于零时，大于零，并且随着的增加，
的值也在增加 . 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种 .
说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.
习题 B 组（ P11）
1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.
2、
说明：由给出的的信息获得的相关信息，并据此画出的图象的大致形状.这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.
3、由（ 1）的题意可知，函数的图象在点处的切线斜率为，所以此点附近曲线呈下
降趋势 . 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象 . 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状 . 下面是一种参考答案 .
说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以
直代曲思想的领悟 . 本题的答案不唯一 .
1． 2 导数的计算
练习（ P18）
1、，所以，， .
2、（1）；（ 2）；
（3）；（ 4）；
（5）；（ 6）.
习题 A 组（ P18）
1、，所以， .
2、.
3、.
4、（1）；（ 2）；
（ 3）；（ 4）；
（ 5）；（6）.
5、.由有，解得.
6、（1）；（2）.
7、.
8、（1）氨气的散发速度 .
（2），它表示氨气在第7 天左右时，以克／天的速率减少.
习题 B 组（ P19）
1、（1）
（2）当越来越小时，就越来越逼近函数 .
（3）的导数为 .
2、当时， .所以函数图象与轴交于点.
，所以 .
所以，曲线在点处的切线的方程为.
2、.所以，上午6:00 时潮水的速度为m／h；上午 9:00 时潮水的速度为m／ h；中午12:00 时潮水的速度为 m／ h；下午 6:00 时潮水的速度为 m／h.
1． 3 导数在研究函数中的应
用练习（ P26）
1、（1）因为，所以 .
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
（2）因为，所以 .
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减 .
（3）因为，所以 .
当，即时，函数单调递增；
当，即或时，函数单调递减 .
（4）因为，所以 .
当，即或时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
2、
3、因为，所以 .
（1）当时，
注：图象形状不唯一.
，即时，函数单调递增；
，即时，函数单调递减.
（2）当时，
，即时，函数单调递
增；，即时，函数单调递
减 .
4、证明：因为，所以.
当时，，
因此函数在内是减函数.
练习（ P29）
1、是函数的极值点，
其中是函数的极大值点，是函数的极小值点.
2、（1）因为，所以 .
令，得 .
当时，，单调递增；当时，，单调递减 .
所以，当时，有极小值，并且极小值为 .
（2）因为，所以 .
令，得 .
下面分两种情况讨论：
①当，即或时；②当，即时 .
当变化时，，变化情况如下表：
3
＋0 －0 ＋
单调递增54 单调递减单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值为54；
当时，有极小值，并且极小值为 .
（3）因为，所以 .
令，得 .
下面分两种情况讨论：
①当，即时；②当，即或时.
当变化时，，变化情况如下表：
2
－0 ＋0 －
单调递减单调递增22 单调递减因此，当时，有极小值，并且极小值为；
当时，有极大值，并且极大值为22
（4）因为，所以 .
令，得 .
下面分两种情况讨论：
①当，即时；②当，即或时 .
当变化时，，变化情况如下表：
1
－0 ＋0 －
单调递减单调递增 2 单调递减因此，当时，有极小值，并且极小值为；
当时，有极大值，并且极大值为 2
练习（ P31）
（ 1）在上，当时，有极小值，并且极小值为.
又由于， .
因此，函数在上的最大值是20、最小值是 .
（2）在上，当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为；
又由于， .
因此，函数在上的最大值是 54、最小值是 .
（3）在上，当时，有极大值，并且极大值为 .
又由于， .
因此，函数在上的最大值是22、最小值是 .
（4）在上，函数无极值 .
因为， .
因此，函数在上的最大值是、最小值是 .
习题 A 组（ P31）
1、（1）因为，所以 .
因此，函数是单调递减函数.
（2）因为，，所以， .
因此，函数在上是单调递增函数 .
（3）因为，所以 .
因此，函数是单调递减函数 .
（4）因为，所以 .
因此，函数是单调递增函数.
2、（1）因为，所以 .
当，即时，函数单调递增.
当，即时，函数单调递减.
（2）因为，所以 .
当，即时，函数单调递增 .
当，即时，函数单调递减.
（3）因为，所以 .
因此，函数是单调递增函数 .
（4）因为，所以 .
当，即或时，函数单调递增 .
当，即时，函数单调递减.
3、（1）图略 .（2）加速度等于0.
4、（1）在处，导函数有极大值；
（2）在和处，导函数有极小值；
（3）在处，函数有极大值；
（4）在处，函数有极小值 .
5、（1）因为，所以 .
令，得 .
当时，，单调递增；
当时，，单调递减 .
所以，时，有极小值，并且极小值为.
（2）因为，所以 .
令，得 .
下面分两种情况讨论：
①当，即或时；②当，即时 .
当变化时，，变化情况如下表：
2
＋0 －0 ＋
单调递增16 单调递减单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值为16；
当时，有极小值，并且极小值为 .
（3）因为，所以 .
令，得 .
下面分两种情况讨论：
①当，即或时；②当，即时 .
当变化时，，变化情况如下表：
2
＋0 －0 ＋
单调递增22 单调递减单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值为22；
当时，有极小值，并且极小值为 .
（4）因为，所以 .
令，得 .
下面分两种情况讨论：
①当，即或时；②当，即时 .
当变化时，，变化情况如下表：
4
－0 ＋0 －
单调递减单调递增128 单调递减
因此，当时，有极小值，并且极小值为；
当时，有极大值，并且极大值为128.
6、（1）在上，当时，函数有极小值，并且极小值为.
由于，，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为9， .
（2）在上，当时，函数有极大值，并且极大值为 16；当
时，函数有极小值，并且极小值为 .
由于，，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为16，.
（3）在上，函数在上无极值.
由于，，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为，.
（4）当时，有极大值，并且极大值为128..
由于，，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为128，.
习题 B 组（ P32）
1、（1）证明：设， .
因为，
所以在内单调递减
因此，，即， .图略
（2）证明：设， .
因为，
所以，当时，，单调递增，
；
当时，，单调递减，
；
又 .因此，，.图略
（3）证明：设， .
因为，
所以，当时，，单调递增，
；
当时，，单调递减，
；
综上，， .图略
（4）证明：设， .
因为，
所以，当时，，单调递增，
；
当时，，单调递减，
；
当时，显然 .因此，.
由（ 3）可知，，.
.综上，，图略
2、（ 1）函数的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则
在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调
区间 .
（2）因为，所以 .
下面分类讨论：
当时，分和两种情形：
①当，且时，
设方程的两根分别为，且，
当，即或时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
当，且时，
此时，函数单调递增.
②当，且时，
设方程的两根分别为，且，
当，即时，函数单调递增；
当，即或时，函数单调递减.
当，且时，
此时，函数单调递减
1． 4 生活中的优化问题举例
习题 A 组（ P37）
1、设两段铁丝的长度分别为，，则这两个正方形的边长分别为，，两个正方形的面积和为， .
令，即， .
当时，；当时， .
因此，是函数的极小值点，也是最小值点.
所以，当两段铁丝的长度分别是时，两个正方形的面积和最小.
2、如图所示，由于在边长为的正方形铁片的四角截去
四个边长为的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无
盖方盒的底面为正方形，且边长为，高为.
（1）无盖方盒的容积， .
（2）因为，
所以 .
令，得（舍去），或 .
当时，；当时， .
因此，是函数的极大值点，也是最大值点.
所以，当时，无盖方盒的容积最大.
3、如图，设圆柱的高为，底半径为，
（第 2 题）则表面积
由，得 .
因此，， .
令，解得 .
当时，；
当时， .
因此，是函数的极小值点，也是最小值点.此时，.
所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.
4、证明：由于，所以.
令，得，
可以得到，是函数的极小值点，也是最小值点.
这个结果说明，用个数据的平均值表示这个物体的长度是合理的，
这就是最小二乘法的基本原理 .
5、设矩形的底宽为 m，则半圆的半径为 m，半圆的面积为，
矩形的面积为，矩形的另一边长为 m
因此铁丝的长为，
令，得（负值舍去）.
当时，；当时， .
因此，是函数的极小值点，也是最小值点.
所以，当底宽为m时，所用材料最省 .
6、利润等于收入减去成本，而收入等于产量乘单价.
由此可得出利润与产量的函数关系式，再用导数求最大利润.
收入，
利润， .
求导得
令，即， .
当时，；当时，；
因此，是函数的极大值点，也是最大值点.
所以，产量为84 时，利润最大,
习题 B 组（ P37）
1、设每个房间每天的定价为元，
那么宾馆利润， .
令，解得 .
当时，；当时， .
因此，是函数的极大值点，也是最大值点.
.
所以，当每个房间每天的定价为 350 元时，宾馆利润最大
2、设销售价为元／件时，
利润， .
令，解得 .
当时，；当时， .
当是函数的极大值点，也是最大值点.
所以，销售价为元／件时，可获得最大利润.
1． 5 定积分的概念
练习（ P42）
.
说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想 .
练习（ P45）
1、，.
于是
取极值，得
说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.
2、km.
说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路
程的方法和步骤 .
练习（ P48）
.说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.
从几何上看，表示由曲线与直线，，所围成的曲边梯形的面积.
习题 A 组（ P50）
1、（1）；
（2）；
（3） .
说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.
2、距离的不足近似值为：（ m）；
距离的过剩近似值为：（ m）.
3、证明：令 .用分点
将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点
作和式，
从而，
说明：进一步熟悉定积分的概念.
4、根据定积分的几何意义，表示由直线，，以及曲线所围成的曲边梯形的面积，即
四分之一单位圆的面积，因此.
5、（1） .
由于在区间上，所以定积分表示由直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积的相反数.
（2）根据定积分的性质，得 .
由于在区间上，在区间上，所以定积分等于位于轴上方的曲边梯形面积减去位于轴
下方的曲边梯形面积.
（3）根据定积分的性质，得
由于在区间上，在区间上，所以定积分等于位于轴上方的曲边梯形面积减去位于轴
下方的曲边梯形面积 .
说明：在（ 3）中，由于在区间上是非正的，在区间上是非负的，如果直接利用定义
把区间分成等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦 . 利用性质 3 可以将定积分化为，这样，在区间和区间上的
符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出，，进而得到定积分的值 . 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算 .
在（ 2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会
定积分的几何意义 .
习题 B 组（ P50）
1、该物体在到（单位：s）之间走过的路程大约为145 m.
说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计
物体走过的路程 .
2、（1） .
（2）过剩近似值：（m）；
不足近似值：（m）
（3）；（ m）.
3、（1）分割
在区间上等间隔地插入个分点，将它分成个小区间：
，，，，
记第个区间为（），其长度为
.
把细棒在小段，，，上质量分别记作：
，
则细棒的质量 .
（2）近似代替
当很大，即很小时，在小区间上，可以认为线密度的值变化很小，近似地等
于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点处的函数值 . 于是，细棒在小段上质量（） .
（3）求和
得细棒的质量 .
（4）取极限
细棒的质量，所以..
1． 6 微积分基本定理
练习（ P55）
（ 1） 50；（ 2）；（3）；（4） 24；
（ 5）；（ 6）；（ 7）0；（8）.
说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.
习题 A 组（ P55）
1、（1）；（ 2）；（3）；
（4）；（ 5）；（ 6） .
说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.
2、.
它表示位于轴上方的两个曲边梯形的面积与轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与轴下方的曲边梯形的面积（取
负值）的代数和 .
习题 B 组（ P55）
1、（1）原式＝；（2）原式＝；
（3）原式＝ .
2、（1）；
（2）；
（3）；
（4） .
3、（1） .
（2）由题意得 .
这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计的取值范围.
根据指数函数的性质，当时，，从而，
因此， .
因此，，
所以， .
从而，在解方程时，可以忽略不计.
因此， . ，解之得（s）.
说明： B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握 .
1． 7 定积分的简单应用
练习（ P58）
（1）；（ 2）1.
说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.
练习（ P59）
1、（m） .
2、（J） .
习题 A 组（ P60）
1、（1） 2；（2）.
2、.
3、令，即 .解得.即第4s时物体达到最大高度.
最大高度为（m）.
4、设 s 后两物体相遇，则，
解之得 .即两物体5s后相遇.
此时，物体离出发地的距离为（ m） .
5、由，得 .解之得.
所做的功为（J）.
6、（1）令，解之得 .因此，火车经过10s 后完全停止 .
（2）（ m） .
习题 B 组（ P60）
1、（1）表示圆与轴所围成的上
半圆的面积，因此
（2）表示圆与直线
所围成的图形（如图所示）的面积，
因此， . 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标
系，可设抛物线的
方程为，则，所以 .
从而抛物线的方程为.
于是，抛物线拱的面积.
3、如图所示 . 解方程组
得曲线与曲线交点的横坐标，.
于是，所求的面积为.
4、证明： .
第一章复习参考题 A 组（ P65）（第 1（ 2）题）
（第 2 题）
1、（1） 3；（2）.
2、（1）；（ 3）；
3、.
（ 2）；（ 4） .
4、（1） .因为红茶的温度在下降.
（2）表明在 3℃附近时，红茶温度约以
5、因为，所以 .
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减.
6、因为，所以 .
当，即时，有最小值.
由，得 .又因为，所以.
7、因为，
4℃／ min 的速度下降. 图略 .
所以 .
当，即，或时，函数可能有极值.
由题意当时，函数有极大值，所以.
由于
＋
单调递增
极大值
－
单调递减
极小值
＋
单调递增
所以，当时，函数有极大值. 此时，，.
8、设当点的坐标为时，的面积最小 .
因为直线过点，，
所以直线的方程为，即 .
当时，，即点的坐标是 .
因此，的面积 .
令，即 .
当，或时，，不合题意舍去 .
由于
2
－0 ＋
单调递减极小值单调递增
所以，当，即直线的倾斜角为时，的面积最小，最小面积为 2.
9、.
10、设底面一边的长为m，另一边的长为m. 因为钢条长为 .
所以，长方体容器的高为.
设容器的容积为，则
，.
令，即 .
所以，（舍去），或 .
当时，；当时， .
因此，是函数在的极大值点，也是最大值点.
3 所以，当长方体容器的高为 1 m 时，容器最大，最大容器为m .
旅行社费用为 .
令，即， .
又，， .
所以，是函数的最大值点.
所以，当旅游团人数为150 时，可使旅行社收费最多.
12、设打印纸的长为cm时，可使其打印面积最大.
因为打印纸的面积为，长为，所以宽为，
打印面积
，.
令，即，（负值舍去），.
是函数在内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.
所以，打印纸的长、宽分别约为，时，可使其打印面积最大.
13、设每年养头猪时，总利润为元.
则.
令，即， .
当时，；当时， .
是函数在内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.
所以，每年养 300 头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000 元.
14、（ 1）；（ 2）；（3）1；
（4）原式＝；
（5）原式＝ .
15、略 .说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.
16、.
17、由，得 .解之得.
所做的功为（J）
第一章复习参考题 B 组（ P66）
1、（1） .所以，细菌在与时的瞬时速度分别为0 和 .
（2）当时，，所以细菌在增
加；当时，，所以细菌在减少 .
2、设扇形的半径为，中心角为弧度时，扇形的面积为. 因
为，，所以 .
，.
令，即，，此时为 2 弧度 .
是函数在内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.
所以，扇形的半径为、中心角为 2 弧度时，扇形的面积最大.
3、设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么.
因此，，.
令，解得 .
容易知道，是函数的极大值点，也是最大值点.
所以，当时，容积最大.
把代入，得 .
由，得 .
所以，圆心角为时，容积最大.
4、由于，所以 .
设船速为 km／h 时，总费用为，则
，
令，即， .
容易知道，是函数的极小值点，也是最小值点.
当时，（元／时）
所以，船速约为24km／ h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941 元 .
5、设汽车以km／h 行驶时，行车的总费用，
令，解得（ km／ h） .此时，（元）
容易得到，是函数的极小值点，也是最小值点.
因此，当时，行车总费用最少.
所以，最经济的车速约为53km／ h；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是 114 元 .
6、原式＝ .
7、解方程组
得，直线与抛物线交点的横坐标为，.
抛物线与轴所围图形的面积.
由题设得
.
又因为，所以 .于是.
说明：本题也可以由面积相等直接得到，由此求出的值.但计算较为烦琐.
新课程标准数学选修2— 2 第二章课后习题解答
第二章推理与证明
2． 1 合情推理与演绎推理
练习（ P77）
1、由，猜想 .
2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是 1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和 .
3、设和分别是四面体和的体积，
则.
练习（ P81）
1、略 .
2、因为通项公式为的数列，
若，其中是非零常数，则是等比数列；大前提
又因为，则，则；小前提
所以，通项公式为的数列是等比数列.结论
3、由，得到的推理是错误的.因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边
对大角”，小前提是“”，而与不在同一个三角形中.
习题 A 组（ P83）
1、.
2、.
3、当时，；当时，；当时， .
4、（，且） .
5、（，且） .
6、如图，作∥交于 .
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边
形，又因为∥，∥ .
所以四边形是平行四边形.
因为平行四边形的对边相等.
又因为四边形是平行四边形.
所以 .
因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，
（第 6 题）又因为， ,所以
因为等腰三角形的两底角是相等的.
又因为△是等腰三角形,所以
因为平行线的同位角相等
又因为与是平行线和的同位角,所以
因为等于同角的两个角是相等的，
又因为， ,所以
习题 B 组（ P84）
1、由，，，，，猜想 .
2、略 .
3、略.
2． 2 直接证明与间接证明
练习（ P89）
1、因为，所以，命题得证.
2、要证，只需证，
即证，即证，
只需要，即证，这是显然成立的.所以，命题得证.
3、因为，
又因为
，
从而，所以，命题成立.
说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.
练习（ P91）
1、假设不是锐角，则.因此.
这与三角形的内角和等于180°矛盾 .
所以，假设不成立 .从而，一定是锐角.
2、假设，，成等差数列，则 .
所以，化简得，从而，即，
这是不可能的 .所以，假设不成立.
从而，，，不可能成等差数列.
说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点.
习题 A 组（ P91）
1、由于，因此方程至少有一个跟.
假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设是它的两个不同的根，
则①
②
①－②得
因为，所以，从而，这与已知条件矛盾，故假设不成立.
2、因为
展开得，即.①
假设，则，即
所以 .
因为，都是锐角，所以，从而，与已知矛盾.
因此 .
①式变形得，即.
又因为，所以 .
说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.
3、因为，所以，从而.
另一方面，要证，
只要证
即证，
即证
由可得，，于是命题得证 .
说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰 .
4、因为的倒数成等差数列，所以.
假设不成立，即，则是的最大内角，
所以（在三角形中，大角对大边），
从而 .这与矛盾.
所以，假设不成立，因此，.
习题 B 组（ P91）
1、要证，由于，所以只需要，即证.
因为，所以只需要，即证.
. 于是原命题成立.
由于为一个三角形的三条边，所以上式成立
2、由已知条件得①
，②
要证，只要证，只要证
由①②，得，
，
所以，，于是命题得证 .
3、由
得，即 .①
要证
即证
即证
化简得，这就是①式.
所以，命题成立 .
说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用. 2． 3 数学归纳法
练习（ P95）
1、先证明：首项是，公差是的等差数列的通项公式是.
（1）当时，左边＝，右边＝，
因此，左边＝右边 . 所以，当时命题成立 .
（2）假设当时，命题成立，即 .
那么， .
所以，当时，命题也成立.
根据（ 1）和（ 2），可知命题对任何都成立 .
再证明：该数列的前项和的公式是.
（1）当时，左边＝，右边＝，
因此，左边＝右边 . 所以，当时命题成立 .
（2）假设当时，命题成立，即 .
那么，
所以，当时，命题也成立.
根据（ 1）和（ 2），可知命题对任何都成立 .
2、略 .
习题 A 组（ P96）
1、（1）略 .
（2）证明：①当时，左边＝ 1，右边＝，
因此，左边＝右边 . 所以，当时，等式成立 .
②假设当时等式成立，即 .
那么， .
所以，当时，等式也成立.
根据①和②，可知等式对任何都成立.
（3）略 .
2、，
，
.
由此猜想： .
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当时，左边＝，右边＝，
因此，左边＝右边 .所以，当时，猜想成立.
（2）假设当时，猜想成立，即 .
那么， .
所以，当时，猜想也成立.
根据（ 1）和（ 2），可知猜想对任何都成立 .
习题 B 组（ P96）
1、略
2、证明：（ 1）当时，左边＝，右边＝，
因此，左边＝右边 .所以，当时，等式成立.
（2）假设当时，等式成立，
即.
那么， .
所以，当时，等式也成立.
根据（ 1）和（ 2），可知等式对任何都成立 .
第二章复习参考题 A 组（ P98）
1、图略，共有（）个圆圈.
2、（） .
3、因为，所以，，
猜想 .
4、运算的结果总等于 1.
5、如图，设是四面体内任意一点，连结，，，并延长交对面于，，，，则
用“体积法”证明：
6、要证
只需证
即证
由，得 .①
又因为，所以，变形即得①式.所以，命题得证.
7、证明：（ 1）当时，左边＝，右边＝，
因此，左边＝右边 .所以，当时，等式成立.
（2）假设当时，等式成立，
（第 5 题）即.
那么， .
所以，当时，等式也成立.
根据（ 1）和（ 2），可知等式对任何都成立 .
第二章复习参考题 B 组（ P47）
1、（1） 25 条线段， 16 部分；（2）条线段；
（3）最多将圆分割成部分 .
下面用数学归纳法证明这个结论 .
①当时，结论成立 . ②假设当时，
结论成立，
即：条线段，两两相交，最多将圆分割成部分
当时，其中的条线段两两相交，最多将圆分割成部分，第条线段与线段都相交，最多增加个部分，因此，条线段，两两相交，最多将圆分割成
部分
所以，当时，结论也成立.
根据①和②，可知结论对任何都成立.
2、要证
因为
只需证
由已知条件，得，，
代入上式的左端，得
因此，
新课程标准数学选修2— 2 第三章课后习题解答
第三章数系的扩充与复数的引入
3． 1 数系的扩充和复数的概念
练习（ P104）
1、实部分别是，，，0，0，0；
虚部分别是， 1， 0，，1，0.
2、，， 0，是实数；
，，，，，是虚数；
，，是纯虚数 .
3、由，得 .
练习（ P105）
1、：，：，：，：，
：，：，：，： .
2、略 .
3、略.
习题 A 组（ P106）
1、（1）由，得 .
（2）由，得
2、（1）当，即或时，所给复数是实数.
（2）当，即或时，所给复数是虚数 .
（3）当，即时，所给复数是纯虚数 .
3、（1）存在，例如，，等等 .
（2）存在，例如，，等等 .
（3）存在，只能是 .
4、（1）点在第一象限 .（2）点在第二象限.
（3）点位于原点或虚轴的下半轴上 .（4）点位于实轴下方.
5、（1）当，即或时，复数对应的点位于第四象限 .
（2）当，或，即或或时，复数对应的点位于第一、三象限.
（3）当，即时，复数对应的点位于直线上 .
6、（1）；（2）.
习题 B 组（ P55）
1、复数对应的点位于如图所示的图形上.
2、由已知，设（） .
则
解得
所以
3、因为，
所以，，，，这 4 个点都在以原点为圆心，半径为的圆上 . 3． 2 复数代数形式的四则运算
练习（ P109）
1、（1） 5；（ 2）；（ 3）；（4）0.2 、略 . 练习（ P111）
1、（1）；（2）；（3）；
2、（1）；（2）；（ 3）5.
3、（1）；（ 2）；（3）；（ 4） .
习题 A 组（ P112）
1、（1）；（2）；（3）；（4） .
2、对应的复数为 .
对应的复数为 .
3、.
向量对应的复数为.
向量对应的复数为.
(完整版)高中数学新课标学习心得体会
高中数学新课标学习心得体会 通过对新课标的学习，本人有一些心得体会，现汇报如下： 一、课程的基本理念 总体目标中提出的数学知识（包括数学事实、数学活动经验）本人认为可以简单的这样表述：数学知识是“数与形以及演绎”的知识。 1、基本的数学思想 基本数学思想可以概括为三个方面：即“符号与变换的思想”、“集全与对应的思想”和“公理化与结构的思想”，这三者构成了数学思想的最高层次。基于这些基本思想，在具体的教学中要注意渗透，从低年级开始渗透，但不必要进行理论概括。而所谓数学方法则与数学思想互为表里、密切相关，两者都以一定的知识为基础，反过来又促进知识的深化及形成能力。 2、重视数学思维方法 高中数学应注重提高学生的数学思维能力。数学思维的特性：概括性、问题性、相似性。数学思维的结构和形式：结构是一个多因素的动态关联系统，可分成四个方面：数学思维的内容（材料与结果）、基本形式、操作手段（即思维方法）以及个性品质（包括智力与非智力因互素的临控等）；其基本形式可分为逻辑思维、形象思维和直觉思维三种类型。 3、应用数学的意识 增强应用数学的意识主要是指在教与学观念转变的前提下，突出主动学习、主动探究。 4、注重信息技术与数学课程的整合 高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。在保证笔算训练的全体细致，尽可能的使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。 5、建立合理的科学的评价体系 高中数学课程应建立合理的科学的评价体系，包括评价理念、评价内容、评价形式评价体制等方面。既要关注学生的数学学习的结果，也要关注他们学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要关注他们在数学活动中表现出来的情感态度的变化，在数学教育中，评价应建立多元化的目标，关注学生个性与潜能的发展。 二、课程设置
普通高中数学新课程标准检测题(含答案)
实验中学普通高中数学新课程标准检测题 （总分 100 分，考试时间 40 分钟） 学校： ________________ 教师姓名： ____________ 考试成绩 :__________ 一、选择题（每题2分，共40分） 1.下面关于高中数学课程结构的说法正确的是（） A.高中数学课程可分为必修与选修两类 B.高中数学课程包括4个系列的课程 C.高中数学课程的必修学分为16学分 D.高中数学课程中的必修课程和选修课程的各模块没有先后顺序的必要 2.在教学中激发学生的学习积极性方法说法正确的是（） A.让学生大量做题，挑战难题 B.创设问题情境，让学生有兴趣、有挑战 C.让学生合作交流讨论、动手操作、有机会板演讲解 D.通过数学应用的教学使学生了解数学在现实生活中的作用和意义 3.高中数学新课程习题设计需要（） A.无需关注习题类型的多样性，只需关注习题功能的多样性 B.只需关注习题类型的多样性，无需关注习题功能的多样性 C.既要关注习题类型的多样性，也要关注习题功能的多样性 D.无需关注习题类型的多样性，也无需关注习题功能的多样性 4.高中数学课程在情感、态度、价值观方面的要求下面说法不正确的是（） A.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心 B.形成锲而不舍的钻研精神和科学态度 C.开阔数学视野，体会数学的文化价值 D.只需崇尚科学的理性精神 5.《高中数学课程标准》在课程目标中提出的基本能力是（） A.自主探究、数据处理、推理论证、熟练解题、空间想象 B.运算求解、数据处理、推理论证、空间想象、抽象概括 C.自主探究、推理论证、空间想象、合作交流、动手实践 D.运算求解、熟练解题、数学建模、空间想象、抽象概括 6.要实现数学课程改革的目标，关键是依靠（） A.学生 B.教师 C.社会 D.政府领导 7.在新课程中教师的教学行为将发生变化中正确的是（） A.在对待自我上，新课程强调反思
高二数学圆的一般方程 人教版
高二数学圆的一般方程人教版 (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径、掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件、 (2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程、 (3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题、 教学重点和难点 重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数， D、E、F、 难点：圆系的理解和应用、 教学过程设计 (一)教师讲授： 请同学们看出圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r、 把圆的标准方程展开，并整理：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0、 我们把它看成下面的形式： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 ① 这个方程是圆的方程、
反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线是圆、 ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？ (1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示 (2)当D2＋E2－4F=0时，方程②表示 (3)当D2＋E2－4F＜0时，方程②不表示任何图形 ∴当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0、 做圆的一般方程、 现在我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)①x2和y2的系数相同，不等于0、 ②没有xy这样的二次项、 同学们不难发现，x2和y2的系数相同，不等于0、且没有xy 这样的二次项，是方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件、但不是充分条件、 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了、 (二)研究问题1，求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标、 [解法一]设所求圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0、 把已知三点的坐标代入，得三个方程，解这三个方程组成的方程组
高中数学说课稿：《圆的标准方程》.doc
高中数学说课稿：《圆的标准方程》 "说课"有利于提高教师理论素养和驾驭教材的能力，也有利于提高教师的语言表达能力，因而受到广大教师的重视，登上了教育研究的大雅之堂。下面是我为大家收集的关于高中数学说课稿：《圆的标准方程》，欢迎大家阅读借鉴! 高中数学说课稿：《圆的标准方程》 【一】教学背景分析 1.教材结构分析 《圆的方程》安排在高中数学第二册(上)第七章第六节.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用. 2.学情分析 圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强. 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和
心理特征，我制定如下教学目标： 3.教学目标 (1) 知识目标：①掌握圆的标准方程; ②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程; ③利用圆的标准方程解决简单的实际问题. (2) 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力; ②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用; ③增强学生用数学的意识. (3) 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识; ②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣. 根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点： 4. 教学重点与难点 (1)重点:圆的标准方程的求法及其应用. (2)难点：①会根据不同的已知条件求圆的标准方程; ②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题. 为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析： 【二】教法学法分析 1.教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用"
高中数学新课程标准2017版-新旧课程标准对照
高中数学新课程标准2017版-新旧课程标准对照
新课标数学课程标准2017版与旧版本对照版一、课程的基本理念的不同 新课标的理念旧课标的理念 1.课程宗旨：高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培养和提高学生的数学核心素养。课程面向全体学生，实现：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。 2.课程内容：高中数学课程内容体现现代社会发展的需求、数学学科的特征、高中学生的认知规律，依据数学课程目标，特别是数学 1.构建共同基础，提供发展平台 2.提供多样课程，适应个性选择 3.倡导积极主
核心素养，精选课程内容。在课程内容安排上，注重处理好数学核心素养与课程内容、过程与结果、直接经验与间接经验的关系，注意与其他学科的联系；还关注与义务教育课程的衔接。 3.教学活动：高中数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考，引导学生会学数学、会用数学。根据数学学科的特点，深入挖掘数学的育人价值，增强数学教学的育人功能。树立以发展学生数学核心素养为导向的课程意识与教动、勇于探索的学习方式 4.注重提高学生的数学思维能力 5.发展学生的数学应用意识 6.与时俱进地认识“双基” 7.强调本质，注意适度形式化 8.体现数学的文化价值 9.注重信息技术与数学课程的整合 10.建立合理、科学的评价体系
学意识，将核心素养贯穿于数学教学的全过程。在教学中，教师应结合相应的教学内容，落实“四基”，培养“四能”，促进学生数学核心素养的形成与发展。【“四基”指基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。“四能”指从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。】 4.学习评价：评价的依据是相应学习阶段学生数学核心素养的发展水平。应建立目标多元、方法多样的评价体系。
新人教版必修二高中数学 《圆的标准方程》 教学设计
高中数学 《圆的标准方程》 教学设计 新人教版必修二2 知识与技能：1、掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径； 2、会用两种方法求圆的标准方程：(1)待定系数法；(2)利用几何性质 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。 教学过程： 情境设置： 问题：①圆的定义？ 学生回忆所学知识：①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，确定圆的要素是圆心和半径。 问题：②如果把直线放在直角坐标系下，那么其对应的方程是二元一次方程，那么如果把一个圆放在坐标系下，其方程有什么特征？如何写出这个圆的所在的方程？ 二、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出） P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222()()x a y b r -+-= ② 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （１）2200()()x a y b -+-=2r ?点在圆上 （２）2200()()x a y b -+-<2r ?点在圆内 （３）2200()()x a y b -+->2r ?点在圆外 三、知识应用与解题研究 （一）练习 １、指出下列方程表示的圆心坐标和半径： （１） 222=+y x ； （２） 5)1()3(22=-+-y x ； （３）222)1()2(a y x =+++（0≠a ）。
《普通高中数学课程标准(实验)》
《普通高中数学课程标准（实验）》 下的新教材特点（五） ——湖南版普通高中课程标准实验教科书分析 姜思洋笔者近来认真阅读了湖南教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书数学第一册》（以下简称教材I）与人教社出版的《全日制普通高级中学教科书数学第一册》（以下简称教材II），并作了认真的对比与研究。 《教材I》最大特点是一改过过去《教材II》严谨、抽象的味道，在每章均有人文色彩非常强的引言，作为一章内容的导入，使学生对该章学习的内容产生悬念，发生兴趣，从而初步了解学习该章内容的必要性。另外，像“问题探讨”、“阅读思考”、“数学实验”、“多知道一点”等这些不作教学要求的阅读材料，供学生课外阅读，扩大了学生知识面、激发了学生的学习兴趣，培养了学生应用数学的意识。《教材I》提倡有用的数学，有价值的数学，更注重学生创新意识和实践能力的培养，注意激发学生学习数学的好奇心，注意启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，使数学教学成为再创造、再发现的数学。 一、《教材I》的指导思想 《教材I》遵循“教学要面向现代化、面向世界、面向未来”的战略思想，全面贯彻党和国家的教育方针，按照新
大纲要求进一步提高学生的思想道德、文化科学、劳动技能、审美情趣和身体心理素质，培养学生创新精神、实践能力、终身学习能力和适应社会生活能力，促进学生个性的健康发展，为高等教育和社会各行各业输送素质良好的普通高中毕业生。因此新教材以现代观点建立合理的学科结构体系，以现代观点讲述科学知识的基本概念和原理。计算机的应用走进课堂，删改了部分陈旧繁琐的知识，大大减轻了学生的负担，使得有更多的时间空间进行新知识的探索思考。比如在讲授函数和映射的时候，将名字和映射联系了起来，知识给出的实用、自然。在用映射定义函数的时候，简洁透彻，课文的题目就是“函数是一类特殊的映射”，特别重视函数表示方法的应用，课文联系到了“某农场的防洪大堤”、“没有使用收款机的商店”、“医院及时了解住院病人的病情”等有价值的实际问题。还利用课后“多知道一点”补充了“标尺法”和“函数法”两种表示函数的方法，专门讲授利用图像研究函数的性质，并在阅读和思考中研究了计算机编程语言中的函数和在数学实验中用计算机做函数的图像及列函数表、笔者觉得《教材I》在这一部分知识的设计方面，明显要好于《教材II》。《教材I》有着浓浓的现代气息，重视科学方法的训练，包括数学学科学习方法的指导，这对提高学习效果，为学生终身学习奠定了基础。 二、教材内容变化
高中数学-圆的标准方程练习题
高中数学-圆的标准方程练习题 5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.圆心是O(-3,4),半径长为5的圆的方程为( ) A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2 =25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2 =25 解析：以(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 . 答案：D 2.以点A(-5，4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为( ) A.(x+5)2+(y-4)2=16 B.(x-5)2+(y+4)2 =16 C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2 =25 解析：∵圆与x 轴相切，∴r=|b|=4.∴圆的方程为(x+5)2+(y-4)2 =16. 答案：A 3.圆心在直线y=x 上且与x 轴相切于点(1，0)的圆的方程为____________. 解析：设其圆心为P(a,a)，而切点为A(1，0)，则P A⊥x 轴，∴由PA 所在直线x=1与y=x 联立，得a=1.故方程为(x-1)2+(y-1)2 =1.也可通过数形结合解决，若圆与x 轴相切于点(1，0),圆心在y=x 上,可推知与y 轴切于(0，1). 答案：(x-1)2+(y-1)2 =1 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.设实数x 、y 满足(x-2)2 +y 2 =3，那么 x y 的最大值是( ) A. 2 1 B.33 C.23 D.3 解析：令 x y =k,即y=kx ，直线y=kx 与圆相切时恰好k 取最值. 答案：D 2.过点A(1,-1)、B(-1,1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2 =4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2 =4 解：由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(2 1 1, 211+--),即(0,0)，直线AB 的斜率为k AB =11)1(1----=-1,则过点C 且垂直于AB 的直线方程为y-0=1 1--(x-0),即y=x.所以圆心坐标 (x,y)满足?? ?=-+=. 02, y x x y 得y=x=1. ∴圆的半径为])1(1[)11(2 2 --+-=2.因此，所求圆的方程为(x-1)2 +(y-1)2 =4. 答案：C 3.设点P(2,-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9上各点距离为d,则d 的最大值为_____________. 解析：由平面几何性质，所求最大值为P(2，-3)到圆(x+4)2+(y-5)2 =9的圆心距离加上圆的半径，即d max =2 2 )53()42(--+++3=13.
高中数学必修二《圆的标准方程》教案
教案说明 圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。 一、设计理念 设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。 二、设计思路 （1）突出重点抓住关键突破难点 求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路。在例题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。 （2）学生主体教师主导探究主线 本节课的设计用问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始终。从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下，由学生探究完成的。另外，我在例题2的教学，要求学生分组讨论，合作交流，为学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛，又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动并走向成功，他们体验到成功的快乐，感受到数学的魅力。在一个个问题的驱动下，高效的完成本节的学习任务。 三、媒体设计 本节采用powerpoint媒体，知识容量大，同时又有图形。为了在短时间内完成教学内容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，节省时间。同时
动态演示图形，刺激学生的感官，引起更强的注意，提高课堂教学效率。
高一数学教案：4.1.1 圆的标准方程
第一课时 4.1.1 圆的标准方程 教学要求：使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程 教学重点：圆的标准方程的推导步骤；根据具体条件正确写出圆的标准方程． 教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 教学过程： 一、 复习准备： 1.提问：两点间的距离公式？ 2.讨论：具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？ 二、讲授新课： 1. 圆的标准方程： ①建系设点： A. C 是定点，可设C(a ，b)、半径r ，且设圆上任一点M 坐标为(x ，y)． ②写点集:根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r} ④化简方程: 将上式两边平方得22 ()()x a y b r -+-= (建系设点→写点集→列方程→化简方程?圆的标准方程 (standard equation of circle)) ⑤思考：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？ ⑥师指出：只要a ，b ，r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a 、b 、r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决． 2. 圆的标准方程的应用 ①.写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3；(2)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； (指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．) ②.已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ (从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决) ③ ABC 的三个定点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程 （ 用待定系数法解） ④ .已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),却圆心C 在直线L:10x y -+=上，求圆心为C 的圆的标准方程。 3. 小结： ①．圆的方程的推导步骤：建系设点→写条件→列方程→化简→说明 ②．圆的方程的特点：点(a ，b)、r 分别表示圆心坐标和圆的半径； ③．求圆的方程的两种方法：（1）待定系数法；确定a ，b ，r ； (2)轨迹法：求曲线方程的一般方法． 三、巩固练习： 1. 练习：P131 14 2. 求下列条件所决定的圆的方程： (1) 圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切； (2) 过点A(3，2)，圆心在直线y=2x 上，且与直线y=2x+5相切． 3. 已知：一个圆的直径端点是A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)． 证明：圆的方程是(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0． 4. 作业 P134 习题4 1、2题. 第二课时 4.1.2圆的一般方程 教学要求：使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由
普通高中数学课程标准
普通高中数学课程标准（实验稿） 普通高中数学课程标准研制组 2002年11月 第一部分前言 数学是研究空间形式和数量关系的科学，也是研究模式与秩序的科学。数学是描述、探索自然和社会规律的科学语言和研究工具，数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素质已成为公民所必须具备的一种基本素质。 数学教育应该体现数学的价值和特点，并把当今数学发展所体现的理念适当地反映到新的高中数学课程中。 一、课程性质 高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程。它是参加社会生产、处理日常生活的基础，也是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础，对于认识数学的科学和文化价值，形成理性思维、发展智力，培养学生的创新意识和应用意识有积极作用。 高中数学课程有助于培养学生抽取事物的数、形属性的敏锐意识，利用抽象模式、结构研究事物的思维方式，借助符号和逻辑系统进行严密演绎的探索习性；可以对学生进行美感熏陶，培养学生的审美意识；为学生的终生发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要作用。 二、课程的基本理念 通过国际比较，剖析我国数学教育发展的历史与现状，从时代需求、国民素质、个性发展、全球意识等各个方面综合思考，形成了《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）的基本理念。 1．构建共同基础，提供发展平台 高中教育属于基础教育。高中数学课程应具有基础性，它包括两方面的含义：一.在义务教育阶段之后，为我国公民适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；二.为进入高一级学校的学生提供必要的数学准备。高中数学课程由必修课程和选修课程组成，必修课程应当满足所有学生共同的数学需求；为有不同需求的学生提供了选修课程，它仍然应是学生发展所需要的基础性数学课程。 2．提供多样课程，适应个性选择 与义务教育阶段不同，高中数学课程应具有多样性与选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展。 《标准》应为学生提供多层次、多种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来人生
(完整word版)2017版高中数学课程标准
《高中数学课程标准（2017版）》 河北孟村回民中学张万山 59号普通?中数学课程标准2017年版在实验版的基础上作了修订，总体是继承， 删减了?些内容，调整了内容的顺序，注重了数学知识内部的逻辑性，使得整体内容更趋合理。 ?、课程结构 ?中数学课程分为必修课程、选择性必修课程和选修课程。?中数学课程内容突出函数、?何与代数、概率与统计、数学建模活动与教学探究活动四条主线，它们贯穿必修、选择性必修和选修课程，数学?化融?课程内容。1、必修课程为学?发展提供共同基础，是?中毕业的数学学业?平考试的内容要求，也是?考的要求。如果学?以?中毕业为?标，可以只学习必修课程，参加?中毕业的数学学业?平考试。2、选择性必修课程是供学?选择的课程，也是?考的内容要求。如果学?计划通过参加?考进??等学校学习，必须学习必修课程和选择性必修课程，参加数学?考。3、选修课程为学?确定发展?向提供引导，为学?展示数学才能提供平台，为学?发展数学兴趣提供选择，为?学?主招?提供参考。如果学?在上述选择的基础上，还希望多学习?些数学课程，可以在选择性必修课程或选修课程中，根据?身未来发展的需求进?选择。 ?、课程内容 （?）必修和选修内容的调整常?逻辑?语、复数由原来的选修内容调整为现在的必修内容；数列、变量的相关性、直线线与?程、圆与?程由原来的必修内容调整为现在的必选修内容； （?）内容的删减与增加删去了必修三算法初步、选修2-2 推理与证明以及框图（?科）这三章内容，删去了简单的线性规划问题、三视图；“解三?形”由原来单独的?章内容合并到“平?向量”这?章?了。必修和必选修均增加了数学 建模与数学探究活动。 （三）具体各章节内容的细微变化 1、必修课程 主题?预备知识 预备知识包括了四个单元的内容：集合，常?逻辑?语，相等关系与不等关系，从函数的观点看?元?次?程和?元?次不等式。这四单元内容常?逻辑?语
高一数学教案[苏教版]圆的标准方程
4.1.1 圆的标准方程 三维目标： 知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆 的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问 题的能力。 情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情 和兴趣。 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程： 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条 件r = ① 化简可得：222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明222 ()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究 例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程， 并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。 （教师板书解题过程。） 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC 外接圆的标
(完整word版)普通高中数学课程标准(实验)doc
普通高中数学课程标准（实验） 第一部分前言 数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。 数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。在现代社会中，数学教育又是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要。数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。 一、课程性质 高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。 高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。 高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。 高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。 二、课程的基本理念 1. 构建共同基础，提供发展平台 高中教育属于基础教育。高中数学课程应具有基础性，它包括两方面的含义：第一，在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；第二，为学生进一步学习提供必要的数学准备。高中数学课程由必修系列课程和选修系列课程组成，必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求；选修系列课程是为了满足学生的不同数学需求，它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程。 2. 提供多样课程，适应个性选择 高中数学课程应具有多样性与选择性，使不同的学生在数学上得到不同的发展。 高中数学课程应为学生提供选择和发展的空间，为学生提供多层次、多种类的选择，以促进学生的个性发展和对未来人生规划的思考。学生可以在教师的指导下进行自主选择，必要时还可以进行适当地转换、调整。同时，高中数学课程也应给学校和教师留有一定的选择空间，他们可以根据学生的基本需求和自身的条件，制定课程发展计划，不断地丰富和完善供学生选择的课程。
《普通高中数学课程标准》
《普通高中数学课程标准》 [摘要]自教育部颁布《普通高中数学课程标准》以来，新课程标准以新的结构、新的内容、新的形式、新的体系，给数学教师带来全新的教育思考，这也将改革现有教育模式的一些弊端。面对新课程的挑战，结合课堂教学实际，本文对新课程标准执行后课程结构上的变化及教学方法进行分析，并结合实际情况阐述了作者的工作体会。 [关键词]高中数学新课程标准课程结构教学方法 一、课程结构的变化 1．课程结构的设置 课程具有多样性和选择性，是国际课程发展的潮流。《全日制普通高级中学数学教学大纲》（以下简称大纲）是通过选修课程和活动课程的实施来体现这一要求的，《大纲》的课程结构是必修课和限定选修课、任意选修一种的课程模式，高中按“二一分段、高三分流”的办法安排，即高中一年级、二年级设必修课，学完必修课进行会考，高三分流，学完理科和文科数学后参加相应的高考。 《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称为《标准》)改革课程结构，通过模块式的课程结构，扩大选择和发展空间，为不同基础、不同需要的学生提供多层次、多种类的选择。在《标准》中，高中课程由必修、选修1、选修2、选修3、选修4等5个课程系列构成。 在选修系列中，学生可以选择不同的课程组合，课程的组合具有一定的灵活性，不同的组合可以相互转换。学生做出选择之后，可以根据自己的意愿和条件向学校申请调整，经过测试获得相应的学分即
可转换。这样的课程设置，为学生在课程内容、方向、层次上进行更多的选择赋予了实实在在的意义，有利于实现学生的个性发展。 ２．课程时数 为提供更多选择空间，《标准》主要通过调整必修课时，在课程时数上给予了必要的保障，《标准》必修课总课时数从《大纲》上的280课时减少到180课时，而其余的课时转移到选修课程，即适当地限制体现对学生共性发展要求的必修课时，加大体现对学生个性发展要求的选修课时，这就使学生在高中三年学习期间可自主选择选修课的课时数大大增加，既统一，又灵活，增强教学的弹性，无疑使扩大选择性更可能落实到实处。 二、新课程标准中体现的教学方法 １．重视过程，引导学生参与 《标准》指出：学生的数学学习活动不应只限于教师、教育、模仿和练习。高中数学课程还应倡导自主探索、动手设计、合作交流、阅读自学等学习数学的方式；鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，让学生体验数学发现和创造的历程，发现他们的创新意识。教师应重视对学生参与意识的培养，力求在课堂中形成一种“研究问题”的气氛。充分发挥学生的主体性，倡导学生动手实践、自主探索和合作交流。 在数学概念与理论的教学中，引导学生亲历知识的发生、发展过程，即数学模式的建构过程，以培养学生的原创性思维。让学生通过探索、反思，修改、完善，经历曲折和反复，给学生创造一个实用、
高中数学-圆的标准方程教案
第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 三维目标： 知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方 程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程： 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明2 2 2 ()()x a y b r -+-=为圆的 方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究
例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程， 并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）22 00()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）22 00()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2 r ，点在圆内 例（2）： ABC V 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用 待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和 (2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长 等于CA 或CB 。 （教师板书解题过程。） 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、 例(3)可得出ABC V 外接圆的标准方程的两种求法： ①、根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 提炼小结： 1、 圆的标准方程。 2、 点与圆的位置关系的判断方法。 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。
数学名师整理普通高中数学课程标准2017年版
普通高中数学课程标准2017年版在实验版的基础上作了修订，总体是继承，删减了一些内容，调整了内容的顺序，注重了数学知识内部的逻辑性，使得整体内容更趋合理。 变化一：课程结构 修订的课标中课程分为必修课程、选择性必修课程以及选修课程。这三种课程非常明确： 1.必修课程：为学生的发展提供共同基础，是高中毕业的数学学生水平考试内容，当然也是高考内容。如果学生只想高中毕业，那么学习必修课程就够了； 2.选择性必修：是为学生提供选择的课程，也是高考的内容要求。如果学生要参加高考就必须学习必修和选择性必修课程； 3.选修课程：是为学生确定发展方向提供引导，为学生发展数学兴趣提供选择，为大学自主招生提供参考。如果学生要参加大学的自主招生，则必须根据自主招生学校要求选择其中的内容进行学习。 变化二：课程内容 （一）必修和选修内容的调整 常用逻辑用语、复数由原来的选修内容调整为现在的必修内容；数列、变量的相关性、直线线与方程、圆与方程由原来的必修内容调整为现在的必选修内容； （二）内容的删减与增加 删去了必修三算法初步、选修2-2推理与证明以及框图（文科）这三章内容，删去了简单的线性规划问题、三视图；“解三角形”由原来单独的一章内容合并到“平面向量”这一章里了。必修和必选修均增加了数学建模与数学探究活动。 （三）具体各章节内容的细微变化 1.必修课程 主题一：预备知识 预备知识包括了四个单元的内容：集合，常用逻辑用语，相等关系与不等关系，从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式。这四单元内容常用逻辑用语与相等关系和不等关系有变化外，其他内容与实验版课标内容基本一样。 变化的地方：
（1）删减了命题及其关系——原命题、逆命题、否命题、逆否命题； 删减了简单的逻辑连结词“或”、“且”、“非”； （2）增加了必要条件与性质定理的关系，充分条件与判定定理的关系以及充要条件与定义的关系。 （3）删去了简单的线性规划问题 主题二函数 函数内容包括四个单元：函数的概念与性质，幂函数、指数函数、对数函数，三角函数，函数应用。这些内容与实验版课标基本一致，仅有一些细微的变化： （1）在函数的概念的内容中删去了映射； （2）在三角函数里删去了三角函数线（正弦线、余弦线、正切线） 主题三几何与代数 几何与代数内容包括：平面向量及其应用、复数、立体几何初步。 这三章内容与实验版课标要求大致一样，有变化的是： （1）将原来单独的一章内容“解三角形”融入进“平面向量”这一章内； （2）“立体几何初步”删去了三视图这一内容。 主题四概率与统计 内容包括：概率、统计。 内容的变化： （1）概率中增加了随机事件的独立性； （2）统计中删去了系统抽样和变量的相关性，将“变量的相关性”移到了必选修中“统计”这一章内； （3）统计中新增了用样本估计“百分位数”这一内容。 主题五数学建模活动与数学探究活动 这个主题是新增的内容，要求学生以课题的形式来开展。课题研究过程包括选题、开题、做题、结题四个环节，要求学生撰写开报告、研究报告和报告研究结果。
《普通高中数学课程标准》“变与不变”的那点事
《普通高中数学课程标准》“变与不变”的那点事 《高中数学课程标准》已经新鲜出炉了!这预示着2018年高考命题以及教师招聘考试的重要参考标准，中公教育数学教研部将数学课程标准中变与不变”的那点事进行精析，希望对各位读者有所帮助。 一、课程标准整体结构的变化 从课程标准的结构来看，2017版普通高中数学课程标准，新增了学科核心素养、课程结构、学业质量三个重要的部分，同时课程标准还围绕核心素养和教学评价给予了相关案例，帮助高中数学老师在教学实践过程中更好地落实新课程标准。 二、课程性质与基本理念的变与不变 (一)课程性质 在2017年课程性质中明确了数学课程的社会功能和教育功能强调了高中数学课程，是义务教育阶段后普通高级中学的主要课程，具有基础性，选择性和发展性，必修课程，面向全体学生构建共同基础，选择性必修课程，选修课程，充分考虑学生的不同成长需求，提供多样性的课程，供学生自主选择，高中数学课程，为学生的可持续发展，和终身学习创造条件。 (二)课程基本理念 两版课程标准的核心指导思想均为以学生发展为本，相较于实验版课标着重强调教师注重学生能力发展转变为注重学生核心素养的培养倡导独立思考、自主学习、合作交流的学习模式，并在教育过程中强调重视过程性评价促进学生在不同的学习阶段数学核心素养水平的达成。 三、学科核心素养与课程目标的变与不变 (一)学科核心素养 与实验版课程标准相对比，可以发现，2017年课程标准首次提出了数学区别与其它学科的核心素养包括：数学抽象，逻辑推理，数学建模、直观想象，数学运算，数据分析。 并强调数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。这些数学核心素养既相互独立，又相互交融，是一个有机整体。 (二)课程目标 (1)由原来是“双基”转变为“四基”与“四能”。