1.3大学物理(上)刚体力学基础
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2 2 0
L
A
L/2
C L/2
B
X
J C r dm
2
x 2dx mL2 / 12
L 2 L 2
[例3.2]: 求质量为m、半径为R的均匀圆环和圆盘分别 绕各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的 转动惯量。 [分析] 先求圆环的转动惯量：
Jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ r dm
2
R dm R dm mR
1 1 2 由0 mg l sin J 可求出 2 2
[例3.6]: 物体的质量为m1，m2，且m1>m2。圆盘状定滑 轮质量为M1和M2，半径为R1与R2，质量分布均匀。绳轻 且不可伸长，绳与滑轮无相对滑动。试求物体m1下降了x 距离时，两物体的速度和加速度。
[分析]: 考虑整个系统，其机械能守恒。以m1下降了x时 的位置为零势能点，则有：
当
2
时，L rmv mr 2
直角坐标系中角动量的分量表示
Lx ypz zp y Ly zp x xpz
Lz xp y yp x
2、质点的角动量定理
L r mv
d ( mv ) dr dL d mv ( r mv ) r dt dt dt dt
平均角速度
角速度
t
t 0
转动平面
lim
d t dt
角加速度
d lim t 0 t dt
2、角量与线量的关系
当刚体绕固定轴转动时，若刚体上某质元 i 到转轴的 距离为ri ,则该质元的线速度为
vi ri
切向加速度和法向加速度分别为
θ
二、刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量 定理
1、刚体对轴的角动量
刚体对转轴的角动量就是刚体上各质元的角动量 之和
Li mi ri
2
L Li (mi ri ) (mi ri ) J
2 2
刚体对某定轴的角动量等于刚体对该轴的转动 惯量与角速度的乘积．方向沿该转动轴，并与这 时转动的角速度方向相同
3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 一、质点的角动量及守恒定律
1、质点的角动量 L
O
mv
d
质点相对O点的矢径 的动量 mv 的矢积定义为该时 刻质点相对于O点的角动量， 用 L 表示: L r mv r p
r 与质点
大小L rmv sin ; 方向由r 与mv 按 右手法则定 ， 与 相同
则 k 2 J k 2 即 J (2)求时间t d d 2 由M J J , 则 k J dt dt 1 0 1 t k 3 即 d dt 2 0 0 J
3-3
刚体定轴转动的动能定律
一、转动动能 n 1 1 n 1 2 2 2 2 2 Ek mi ri ( mi ri ) J 2 i 1 2 i 1 2
作用在质点上的力矩等于角动量对时间的变化率。
t
t0
Mdt L2 L1
角动量定理的积分形式
外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。
注意：力矩与角动量必须是对同一点而言。
3、质点角动量守恒定律
若M 0
L r mv 常矢量
dL M dt
l 2
dm dl gdm
1 M mg l cos 2 由M J
M 1 1 得 mg l cos J J 2
1 2 由 Md Ek J 0 2
1 1 2 则 mgl sin ＝ J 2 2 1 于是 mgl sin J
也可由机械能定恒求解：
练习：右图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动惯
mL
量如何计算？(棒长为L、球
半径为R）
mO
J L1
1 2 mL L 3
2 2 J o mo R 5
2 2
J L 2 J 0 m0 d J 0 m0 ( L R)
1 2 2 2 2 J mL L mo R mo ( L R) 3 5
当θ=θ1时，ω=ω1 所以：
2
1
1 1 2 2 M d J2 J1 2 2
刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体 转动动能的增量。
[例3.5]: 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一 端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内 转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时 的角加速度和角速度。 [分析]：棒下摆为加速过程， 外力矩为重力对O的力矩。 O 当下摆角时棒的力矩为：
dL d ( mv ) dr d (mv ) dr r mv F , v dt dt dt dt dt dL v mv 0, r F M r F v mv dt dL 角动量定理的微分形式 M dt
三、转动惯量的计算
与转动惯量有关的因素： 质量分布与转轴的位置。 单个质点的转动惯量 质点系的转动惯量
J (mi ri )
2 i 1
n
质量连续分布的刚体的转动惯量
J r 2 dm
m
单位为千克· 米2（kg· m2）
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
dm dl
其中、、分别 为质量的线密度、
2 2
2
O
I是可加的，所以若为薄圆筒 （不计厚度）结果相同。
R
dm
求圆盘的的转动惯量可分二步：
(1) 求半径为r宽为dr的薄圆环的的转动惯量dI dm dV 2rdr l
dI r dm 2lr dr
2 3
Z
(2) 再求圆盘的的转动惯量J
O
R
J dI
dri
Fi
i
M i Fi ri
对i求和，得： dA (
2 1
M )d Md
i
A M d
力矩的功率为：
dA d P M M dt dt
当输出功率一定时, 力矩与角速度成反比。
三、刚体定轴转动的动能定理
d d d d M J J J J dt d dt d
四、转动定律的应用
[例3.3]: 质量为m的二物体A、B。A放在倾角为α的光滑 斜面上，经定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连。定滑轮半 径R，质量为m。物体运动m时，绳与滑轮无相对滑动。 求绳中张力T1和T2及物体的加速度。 [分析]: 要采用隔离体法
T1 mg NA a T1 A mg β T2 T2 B a
ai ri
ain ri
2
刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速 度)相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加 速度)大小与质元到转轴的距离成正比．
3-2 一、力矩
力矩 刚体的定轴转动的转动定理
为定量描述角动量变化，引入力矩：
大小M rF sin ; 方向为r 与F以右手法则定 M 单位：牛· 米 （N · m）
称此时的力为有心力。因此时物体所受的力始终 指向（或背离）某一固定点 力心
二、刚体定轴转动的转动定律
理论与实践证明：
d M iz J J dt i 1
n
dv (与 F m ma对应) dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚 体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量 成反比。 刚体定轴转动的转动定律
dm ds dm dV
面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
注 意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。
[例3.1]: 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。 [分析]：取如图坐标，dm=dx
A B
L
X
J A r dm
2
x dx mL / 3
质点所受外力对固定点的力矩为零，则质点 对该固定点的角动量守恒。 ——质点的角动量守恒定律。
[例3.7]:光滑的桌面上有质量为M的木块，木块与弹簧相连， 弹簧的另一端固定在O点，弹簧的劲度系数为k，设一质量 为m的子弹以速度v0垂直于OA射向M并嵌在M内，弹簧原长l0， 子弹击中木块后，木块运动到B点时刻，弹簧长度为l，此 时OB垂直于OA ，求在B点时木块的运动速度v2 。
O
M r F
r p
力矩的分量式:
M x yFz zF y M y zFx xFz
M z xFy yFx
对 轴 的 力 矩
M r F
力矩为零的情况:
（1）力F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线即( sin 0 )。
T1 mg sin ma 1 2 T2 R T1 R J mR 2 mg T2 ma
a R
mg
[例3.4]: 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度 为ω0。此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度 ω的平方成正比，比例系数为k（k>0）,当ω= ω0/3时，飞 轮的角速度及从开始制动到现在的时间分别是多少？ [分析]: (1)已知 M k 2
R
0
m 1 2 I mR R 2 l 2
1 4 2lr dr R l 2
3
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的 转动惯量也是mR2/2。
刚体转动惯量的二个性质
(1)若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对 其转动惯量为J，则有：J＝JC＋md2。 这个结论称为平行轴定理。（由例2.18可验证） (2)刚体的转动惯量具可加性。
3-1 刚体
刚体的定轴转动的描述
一、刚体的引入
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的 物体. （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）
通常把刚体分成许多部分，每一部分都小到可看作质 点，叫作刚体的质元．各质元间的距离保持不变的质点 系叫作不变质点系．
二、刚体的基本运动
刚体的运动形式：平动、转动.
2、刚体定轴转动的角动量定律
对定轴，转动惯量为常数。于是，
d d ( J ) dL M J J dt dt dt
即 d dL M ( J ) dt dt (微分形式)
Mdt
t0
t
L
L0
dL J J0 （ 积分形式）
v2
[分析]：运动分二个过程：
(1)击中瞬间 : 系统动量守恒 mv 0 ( m M )v1
v0
O
B
M
m
A
( 2) A B过程 : 只弹性力作功 , 机械能守恒 1 1 1 2 2 ( m M )v1 ( m M )v 2 k (l l 0 ) 2 2 2 2
v 的方向可由对 O点的角动量守恒来计算 : L2 l (m M )v 2 sin L1 l 0 (m M )v1
1、刚体的平动 若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说 刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置 间的连线. 刚体平动
2、刚体的转动 刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 . 分定轴转动和非定轴转动 . 转动又
质点运动
三、刚体定轴转动的描述
1、角位移、角速度和角加速度
刚体在一段时间内转过的角 度Δθ＝θ2－θ1称为角位移
m1 gx m2 gx 1 1 1 1 2 2 2 2 m2 g 2 x m1v m2 v J11 J 22 2 2 2 2 而 v R11 R22
1 且 J1 m1 R12，J 2 合力是恒力 ， a是常量
则 v 2 2ax
2
1 2 m2 R2 2
刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半。 比较：
1 2 Ek J 2
L2 Ek 2J p2 Ek 2m
1 2 E k mv 2
二、力矩的功
dAi Fi dsi Fi ri d M i d
式中 F F cos i i i
O
d ri
L
A
L/2
C L/2
B
X
J C r dm
2
x 2dx mL2 / 12
L 2 L 2
[例3.2]: 求质量为m、半径为R的均匀圆环和圆盘分别 绕各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的 转动惯量。 [分析] 先求圆环的转动惯量：
Jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ r dm
2
R dm R dm mR
1 1 2 由0 mg l sin J 可求出 2 2
[例3.6]: 物体的质量为m1，m2，且m1>m2。圆盘状定滑 轮质量为M1和M2，半径为R1与R2，质量分布均匀。绳轻 且不可伸长，绳与滑轮无相对滑动。试求物体m1下降了x 距离时，两物体的速度和加速度。
[分析]: 考虑整个系统，其机械能守恒。以m1下降了x时 的位置为零势能点，则有：
当
2
时，L rmv mr 2
直角坐标系中角动量的分量表示
Lx ypz zp y Ly zp x xpz
Lz xp y yp x
2、质点的角动量定理
L r mv
d ( mv ) dr dL d mv ( r mv ) r dt dt dt dt
平均角速度
角速度
t
t 0
转动平面
lim
d t dt
角加速度
d lim t 0 t dt
2、角量与线量的关系
当刚体绕固定轴转动时，若刚体上某质元 i 到转轴的 距离为ri ,则该质元的线速度为
vi ri
切向加速度和法向加速度分别为
θ
二、刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量 定理
1、刚体对轴的角动量
刚体对转轴的角动量就是刚体上各质元的角动量 之和
Li mi ri
2
L Li (mi ri ) (mi ri ) J
2 2
刚体对某定轴的角动量等于刚体对该轴的转动 惯量与角速度的乘积．方向沿该转动轴，并与这 时转动的角速度方向相同
3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 一、质点的角动量及守恒定律
1、质点的角动量 L
O
mv
d
质点相对O点的矢径 的动量 mv 的矢积定义为该时 刻质点相对于O点的角动量， 用 L 表示: L r mv r p
r 与质点
大小L rmv sin ; 方向由r 与mv 按 右手法则定 ， 与 相同
则 k 2 J k 2 即 J (2)求时间t d d 2 由M J J , 则 k J dt dt 1 0 1 t k 3 即 d dt 2 0 0 J
3-3
刚体定轴转动的动能定律
一、转动动能 n 1 1 n 1 2 2 2 2 2 Ek mi ri ( mi ri ) J 2 i 1 2 i 1 2
作用在质点上的力矩等于角动量对时间的变化率。
t
t0
Mdt L2 L1
角动量定理的积分形式
外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。
注意：力矩与角动量必须是对同一点而言。
3、质点角动量守恒定律
若M 0
L r mv 常矢量
dL M dt
l 2
dm dl gdm
1 M mg l cos 2 由M J
M 1 1 得 mg l cos J J 2
1 2 由 Md Ek J 0 2
1 1 2 则 mgl sin ＝ J 2 2 1 于是 mgl sin J
也可由机械能定恒求解：
练习：右图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动惯
mL
量如何计算？(棒长为L、球
半径为R）
mO
J L1
1 2 mL L 3
2 2 J o mo R 5
2 2
J L 2 J 0 m0 d J 0 m0 ( L R)
1 2 2 2 2 J mL L mo R mo ( L R) 3 5
当θ=θ1时，ω=ω1 所以：
2
1
1 1 2 2 M d J2 J1 2 2
刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体 转动动能的增量。
[例3.5]: 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一 端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内 转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时 的角加速度和角速度。 [分析]：棒下摆为加速过程， 外力矩为重力对O的力矩。 O 当下摆角时棒的力矩为：
dL d ( mv ) dr d (mv ) dr r mv F , v dt dt dt dt dt dL v mv 0, r F M r F v mv dt dL 角动量定理的微分形式 M dt
三、转动惯量的计算
与转动惯量有关的因素： 质量分布与转轴的位置。 单个质点的转动惯量 质点系的转动惯量
J (mi ri )
2 i 1
n
质量连续分布的刚体的转动惯量
J r 2 dm
m
单位为千克· 米2（kg· m2）
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
dm dl
其中、、分别 为质量的线密度、
2 2
2
O
I是可加的，所以若为薄圆筒 （不计厚度）结果相同。
R
dm
求圆盘的的转动惯量可分二步：
(1) 求半径为r宽为dr的薄圆环的的转动惯量dI dm dV 2rdr l
dI r dm 2lr dr
2 3
Z
(2) 再求圆盘的的转动惯量J
O
R
J dI
dri
Fi
i
M i Fi ri
对i求和，得： dA (
2 1
M )d Md
i
A M d
力矩的功率为：
dA d P M M dt dt
当输出功率一定时, 力矩与角速度成反比。
三、刚体定轴转动的动能定理
d d d d M J J J J dt d dt d
四、转动定律的应用
[例3.3]: 质量为m的二物体A、B。A放在倾角为α的光滑 斜面上，经定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连。定滑轮半 径R，质量为m。物体运动m时，绳与滑轮无相对滑动。 求绳中张力T1和T2及物体的加速度。 [分析]: 要采用隔离体法
T1 mg NA a T1 A mg β T2 T2 B a
ai ri
ain ri
2
刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速 度)相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加 速度)大小与质元到转轴的距离成正比．
3-2 一、力矩
力矩 刚体的定轴转动的转动定理
为定量描述角动量变化，引入力矩：
大小M rF sin ; 方向为r 与F以右手法则定 M 单位：牛· 米 （N · m）
称此时的力为有心力。因此时物体所受的力始终 指向（或背离）某一固定点 力心
二、刚体定轴转动的转动定律
理论与实践证明：
d M iz J J dt i 1
n
dv (与 F m ma对应) dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚 体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量 成反比。 刚体定轴转动的转动定律
dm ds dm dV
面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
注 意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。
[例3.1]: 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。 [分析]：取如图坐标，dm=dx
A B
L
X
J A r dm
2
x dx mL / 3
质点所受外力对固定点的力矩为零，则质点 对该固定点的角动量守恒。 ——质点的角动量守恒定律。
[例3.7]:光滑的桌面上有质量为M的木块，木块与弹簧相连， 弹簧的另一端固定在O点，弹簧的劲度系数为k，设一质量 为m的子弹以速度v0垂直于OA射向M并嵌在M内，弹簧原长l0， 子弹击中木块后，木块运动到B点时刻，弹簧长度为l，此 时OB垂直于OA ，求在B点时木块的运动速度v2 。
O
M r F
r p
力矩的分量式:
M x yFz zF y M y zFx xFz
M z xFy yFx
对 轴 的 力 矩
M r F
力矩为零的情况:
（1）力F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线即( sin 0 )。
T1 mg sin ma 1 2 T2 R T1 R J mR 2 mg T2 ma
a R
mg
[例3.4]: 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度 为ω0。此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度 ω的平方成正比，比例系数为k（k>0）,当ω= ω0/3时，飞 轮的角速度及从开始制动到现在的时间分别是多少？ [分析]: (1)已知 M k 2
R
0
m 1 2 I mR R 2 l 2
1 4 2lr dr R l 2
3
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的 转动惯量也是mR2/2。
刚体转动惯量的二个性质
(1)若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对 其转动惯量为J，则有：J＝JC＋md2。 这个结论称为平行轴定理。（由例2.18可验证） (2)刚体的转动惯量具可加性。
3-1 刚体
刚体的定轴转动的描述
一、刚体的引入
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的 物体. （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）
通常把刚体分成许多部分，每一部分都小到可看作质 点，叫作刚体的质元．各质元间的距离保持不变的质点 系叫作不变质点系．
二、刚体的基本运动
刚体的运动形式：平动、转动.
2、刚体定轴转动的角动量定律
对定轴，转动惯量为常数。于是，
d d ( J ) dL M J J dt dt dt
即 d dL M ( J ) dt dt (微分形式)
Mdt
t0
t
L
L0
dL J J0 （ 积分形式）
v2
[分析]：运动分二个过程：
(1)击中瞬间 : 系统动量守恒 mv 0 ( m M )v1
v0
O
B
M
m
A
( 2) A B过程 : 只弹性力作功 , 机械能守恒 1 1 1 2 2 ( m M )v1 ( m M )v 2 k (l l 0 ) 2 2 2 2
v 的方向可由对 O点的角动量守恒来计算 : L2 l (m M )v 2 sin L1 l 0 (m M )v1
1、刚体的平动 若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说 刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置 间的连线. 刚体平动
2、刚体的转动 刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 . 分定轴转动和非定轴转动 . 转动又
质点运动
三、刚体定轴转动的描述
1、角位移、角速度和角加速度
刚体在一段时间内转过的角 度Δθ＝θ2－θ1称为角位移
m1 gx m2 gx 1 1 1 1 2 2 2 2 m2 g 2 x m1v m2 v J11 J 22 2 2 2 2 而 v R11 R22
1 且 J1 m1 R12，J 2 合力是恒力 ， a是常量
则 v 2 2ax
2
1 2 m2 R2 2
刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半。 比较：
1 2 Ek J 2
L2 Ek 2J p2 Ek 2m
1 2 E k mv 2
二、力矩的功
dAi Fi dsi Fi ri d M i d
式中 F F cos i i i
O
d ri