第六章习题汇编

解：(a) B(t) 是标准布朗运动，所以对于 t 0, B(t) − B(0) = B(t) N (0, t)
. 则 EB(t) = 0, V B(t) = t, cov(B(t), B(s)) = s, ∀t > s o.
(b) (a) 中已证明 B(t) 是正态过程，服从 N (0, t) 的正态过程。
(t))
=
E (eB (t) )
=
e1 2
t12
=
e1 2
t
(2)E(Y
(t))2
=
E (e2B (t) )
=
e1 2
t22
=
e2t
V ar(Y (t)) = E(Y (t))2 − (E(Y (t)))2 = e2t − et
6.5对标准布朗运动 B(t)，在条件 B(1) = 0 下,
(a) 计算 B(t)，0 t 1 的数学期望和协方差函数； (b) 验证 B(t)，0 t 1 是正态过程； (c) 验证 B(t)，0 t 1 是布朗桥。
dx
0 2πt
=t
V ar(Z(t)) = EZ(t)2 − (EZ(t))2 √2 2t
=t− π
2t =t−
π
6.4 用标准布朗运动 B(t) 定义几何布朗运动
Y (t) = exp(B(t))，t ≥ 0
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第六章 布朗运动
第六章 布朗运动
计算 EY (t)，V ar(Y (t))。
解:
(1)E(Y
所以 W (t) 是标准的布朗运动。
6.2 设 B(t) 是标准布朗运动，a 是正常数，证明一下的随机过程 W (t) 都是标准布朗运动。 (1)W (t) = −B(t),t ≥ 0; (2)W (t) = B(t + a√) − B(a), t ≥ 0; (3)W (t) = B(at)/ a,t ≥ 0; (4)W (0) = 0,W (t) = tB(1/t),t ≥ 0; (5) 对于正数 T，W (t) = B(T − t) − B(T ) 是时间段 [0, T ] 中的标准布朗运 动。 证明：因为 B(t) 是标准布朗运动，所以满足定理 2.1 的条件。我们只需要 验证 EW (t) = 0, EW (t)W (s) = s, t ≥ s ≥ 0 成立即可。
(c) 由 B(t) 是标准布朗运动得 B(0)=0，由题意知 B(1) = 0，所以 B(t) 是布朗桥。
6.6 对于布朗桥 X(t)，0 t 1, 验证
W (t) = (t + 1)X(t/(1 + t)), t 0
是标准布朗运动。 解：X(t) 为布朗桥，则存在一个标准布朗运动 B(t)，使得
标准布朗运动，且服从正态分布 N (0, t). 由 EX(t) = 0 与 EY (t) = 0, 可得 EW (t) = EX(t)cosθ + EY (t)sinθ = 0.
E(W (t)W (s)) = E(X(t)cosθ + Y (t)sinθ)(X(s)cosθ + Y (s)sinθ) = (cosθ)2EX(t)X(s) + (sinθ)2)E(Y (t)Y (s) + sinθcosθ)(EX(t)Y (s) + EY (t)X = ((cosθ)2 + (sinθ)2)s =s
E(W (t)W (s)) = E(B(t + a) − B(a))(B(s + a) − B(a)) = E(B(t + a)B(s + a) − E(B(t + a)B(a)) − E(B(a)B(s + a)) + E(B(a)B(a)) = s+a−a−a+a=s
所以 W (t) 是标准布朗运动√。
√
(3)EW (t) = E(B(at)/ a) = EB(at)/ a = 0
√
√
E(W (t)W (s)) = E(B(at)/ a)(B(as)/ a)
1 = E(B(at)B(as)
a 1 = × as = s a
所以 W (t) 是标准布朗运动。 (4)EW (t) = E(tB(1/t)) = tE(1/t) = 0
(1)EW (t) = E(−B(t)) = −EB(t) = 0
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第六章 布朗运动
第六章 布朗运动
EW (t)W (s) = E(−B(t))(−B(s)) = EB(t)B(s) = s 所以 W (t) 是标准布朗运动。
(2)EW (t) = E(B(t + a) − B(a)) = EB(t + a) − EB(a) = 0
所以 W (t) 是标准布朗运动。
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第六章 布朗运动
第六章 布朗运动
6.3 定义标准布朗运动 B(t) 的镜面反射：Z(t) = |B(t)|，t ≥ 0。计
算 EZ(t)，V ar(Z(t))。 解:
(1)
∫ ∞ |x| EZ(t) = E|B(t)| = √
e−
x2 2t
dx
∫∞ x =2 √
第六章习题解
习题 6.1 用 (X(t), Y (t)) 表示二维标准布朗运动，用定理 2.1 证明对 任何常数 θ,
W (t) = X(t)cosθ + Y (t)sinθ, t ≥ 0
是标准的布朗运动。 证明：因为 (X(t), Y (t)) 为二维标准布朗运动，所以 X(t) 于 Y (t) 都是
E(W (t)W (s)) = E(tB(1/t))(sB(1/s)) = tsE(B(1/t)B(1/s)) = ts × 1/t = s
所以 W (t) 是标准布朗运动。 (5)EW (t) = E(B(T − t) − B(T )) = EB(T − t) − EB(T ) = 0
E(W (t)W (s)) = E(B(T − t) − B(T ))(B(T − s) − B(T )) = E(B(T − t)B(T − s) − E(B(T − t)B(T )) − E(B(T )B(T − s) + B(T )B(T ) = (T − t) − (T − t) − (T − s) + T = s
−∞ 2πt
e−
x2 2t
dx
0∫
2πt ∞1
= −2t √
e de −
x2 2t
−
x2 2t
0 √2πt
2t
2t
=√ =
2πt
π
(2)
∫ EZ(t)2 = E|B(t)|2 =
∞
√|x|2
e−
x2 2t
dx
=Leabharlann Baidu
∫ −2t
∞
x √
−∞ 2πt
de−
x2 2t
∫ = 2t
0 ∞
2πt
1 √
e−
x2 2t