圣彼得堡悖论
尼科尔森《微观经济理论—基本原理与扩展》(第11版)笔记和课后习题详解-不确定性【圣才出品】
第7章不确定性7.1复习笔记1．风险描述——概率、期望值与方差面对未来的不确定性，消费者和经理人员要经常进行决策。
在各种可能性结果和发生的概率可知的情况下，这种不确定性常常用“风险”来描述。
（1）概率由于在存在风险的条件下，决策者不能确定经济行为的最后结果，需要用概率来描述某种结果发生的可能性。
在实际生活中，概率的形成主要是取决于经济主体自身的主观判断，既可以根据历史的经验，也可以根据直觉来判断经济行为出现的可能性，而不必拘泥于以前曾经发生过的某个具体事件。
因此对于同样的经济行为，不同的个体做出的判断可能不同，基于这些判断的经济决策也可能不同。
在对风险的描述中，概率是一个必不可少的概念，可以利用概率衡量一项决策行为的收益期望值及其风险波动性。
（2）期望值期望值衡量的是，结果不确定的事件所有可能性结果的加权平均数，权数就是经济主体的主观概率。
作为一个统计变量，期望值反映的是事件的总体趋势，即各种可能性的一个平均结果。
计算期望值的一般公式：如果经济中有n 种可能性结果X 1、X 2、…、X n ，其发生的概率分别为P 1、P 2、…、P n ，则其期望值为：11221()nn n i i i E X P X P X P X P X ==+++=∑L （3）方差方差σ2是实际值与期望值之差平方的平均值，而方差的平方根σ就是标准差，可以衡量不确定事件发生结果的波动程度。
由于方差衡量的是事件结果的波动程度，可以利用它来判断某一决策行为的风险性。
方差越大，风险越大。
2．公平赌博与期望效用假说（1）圣彼得堡悖论掷硬币直到出现正面为止。
如果在第n 次才第一次出现正面，则参与者可以得到2n 美元。
圣彼得堡悖论中赌博的期望值为：111211112ii i i i i x π∞∞=====+++++=∞∑∑期望值L L 上述期望值是无限大的，然而，没有人会花很多的钱（更不会多到无穷）去进行这种赌博。
这便产生一个悖论：在某种意义上，贝努利的赌博不值其（无穷的）期望值。
圣彼得堡实验的MATLAB模拟分析
圣彼得堡实验的MATLAB模拟分析一、圣彼得堡悖论圣彼得堡悖论来自于一个掷币游戏关于概率期望值的悖论。
掷币游戏规则：设定掷出正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；否则，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；以此类推，如果第n次投掷成功，得奖2n金元，游戏结束。
按照概率期望值的计算方法：将每一个可能结果的奖金乘以该结果发生的概率，即可得到该结果的奖金期望值，游戏的期望值即为所有可能结果的奖金期望值之和。
随着实验次数n的增加，虽然发生概率小，但奖金越来越多，且每一个结果的奖金期望值均为1，则游戏的期望值将为“无穷大”。
而且按照概率的理论，多次实验的结果将会接近于数学期望。
但是，以往经验表明“没有人愿意花25元去参加一次这样的游戏。
”这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”。
我们可以使用matlab软件模拟实验过程来解释这一问题。
二、圣彼得堡实验的matlab模拟分析由于投掷硬币得到正面和反面的概率相同（等概率事件），即p （正面）=p（反面）=0.5。
1.单轮圣彼得堡游戏的matlab模拟当游戏参与者投掷硬币出现正面时游戏结束，我们可以将每次投掷的随机值由函数rand产生。
如果该次rand函数运算结果小于等于0.5，定义为投掷出反面，游戏继续；反之，则定义为投掷出正面，游戏终止。
由于圣彼得堡游戏的不确定性，为了获得可信度较高的均值数据，需要进行多次模拟。
下面讨论中，对一次性连续多次的游戏模拟统称为一轮游戏模拟。
一轮圣彼得堡游戏由多个单次圣彼得堡游戏组成。
截取每次运行的投掷次数和奖金数额这两个结果，得到单轮多次圣彼得堡游戏的matlab模型（设本轮投掷运行为100次）。
从结果可以看出，在本轮模拟实验中单次游戏最高奖金达到32元，但是平均奖金只有10.62元，远小于32元。
同时单次游戏最大投掷次数为5，但平均投掷次数只有1.98。
为了增加实验的可靠性，减少不确定性，增加单轮游戏的次数，以此观察实验结果与单轮100次模拟实验的结果的异同，以此找出规律（程序运行5000次）。
圣彼得堡悖论名词解释
圣彼得堡悖论名词解释圣彼得堡悖论，又称为彼得堡悖论，是一种经典的悖论问题，它在数学和哲学领域都有着广泛的应用和研究。
这个悖论问题最初由俄罗斯大作家和哲学家达斯金所提出，后来又被数学家伯努利和欧拉等人深入研究，成为了现代数学中的一个重要课题。
本文将从名词解释的角度，对圣彼得堡悖论进行详细的阐述和解释。
一、圣彼得堡悖论的定义圣彼得堡悖论是一种概率论中的悖论问题，它涉及到一个赌博游戏，游戏规则如下：在一个赌场里，有一个游戏机，它会不断地抛出一枚硬币，直到这枚硬币首次出现正面朝上为止。
每当硬币出现反面朝上时，游戏机就会停止抛硬币，然后赌徒可以选择离开游戏，或者继续玩下去。
如果赌徒决定继续玩下去，那么游戏机会再次抛出硬币，如果这次硬币正面朝上，那么赌徒就会赢得2美元，否则游戏就会继续进行下去，继续抛硬币，直到出现正面朝上为止。
每次硬币出现反面朝上，游戏机就会将赌注翻倍，也就是说，第一次出现反面朝上时，赌注为1美元，第二次出现反面朝上时，赌注为2美元，第三次出现反面朝上时，赌注为4美元，以此类推。
现在问题来了，假设你是这个赌场的赌徒，你带了100美元来玩这个游戏，你打算一直玩下去，直到赢得1000美元，那么你需要准备多少钱呢？这个问题看起来很简单，但是仔细分析一下就会发现，它涉及到一些概率论和数学问题，很容易陷入悖论的境地。
二、圣彼得堡悖论的分析为了更好地理解圣彼得堡悖论，我们需要对概率论中的一些基本概念进行解释和分析。
首先，我们需要了解期望值的概念。
期望值是指一系列数据中每个数据值乘以其概率的总和，也就是平均值。
例如，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是50%，那么这个硬币的期望值就是(0.5*1+0.5*0)=0.5。
其次，我们需要了解几何级数的概念。
几何级数是指一个数列中每一项与前一项的比值相等的数列，例如1，2，4，8，16，32，64……就是一个几何级数，其中公比为2。
现在我们开始分析圣彼得堡悖论。
圣彼得堡悖论
20.解释并阐述圣彼得堡悖论数学家丹尼尔·贝诺里1725-1733年在圣彼得堡做研究时研究了这样一个问题：这是一个掷硬币的游戏，参加者先付门票，然后开始掷硬币，直至第一个正面出现时为止。
在此之前出现的反面的次数决定参加者的报酬，计算报酬R的公式为R(n)=2n公式中的n为参加者掷硬币出现反面的次数，参加者可能获得的报酬取决于他掷硬币时，在掷出第一个正面前可以掷出多少个反面。
参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬见表。
如果n为0，他可以得到的报酬为20=1元，期望报酬为1/2；如果n为1，他可以得到的报酬为21=2元，期望报酬仍为1/2；余此类推，如果n为n，他可以得到的全部期望报酬为E(R)=∑Pr(n)R(n)=1/2+1/2+……=∞。
由于门票的价格是有限的，而期望报酬却是无穷大的，这就成为了一个悖论。
贝诺里运用边际效用递减的道理解决了这个问题。
他指出，参加者赋予所有报酬的每一元不同的价值，随着报酬的增加，每新获得的1元价值是递减的。
因此，函数log(R)给报酬为R元的参加者一个主观价值，报酬越高，每一元的价值就越小。
最后，他计算出风险报酬应为2元，这是参加者愿付的最高价。
我们将风险溢价为零时的风险投资称为公平游戏(fair game)，风险厌恶型的投资者不会选择公平游戏或更糟的资产组合，他们只愿意进行无风险投资或投机性投资。
当他们准备进行风险投资时，他们会要求有相应的风险报酬，即要求获得相应的超额收益或风险溢价。
投资者为什么不接受公平游戏呢？公平游戏看上去至少不坏，因为它的期望收益为0，而不是为负。
圣彼得堡悖论反映了一个人选择是否进行投资不仅与该项目的风险与收益有关，也与投资者对于风险的态度有关。
案例：平安银行对养老保险的投资者进行的风险爱好评估。
圣彼得堡悖论 柯西分布
圣彼得堡悖论柯西分布圣彼得堡悖论是一个著名的概率问题，它以俄罗斯圣彼得堡城市命名。
这个问题的核心是一个赌博游戏，游戏规则如下：每次掷一枚公平的硬币，如果正面朝上则赌金翻倍，如果反面朝上则游戏结束并且玩家输掉所有的赌金。
问题是，当游戏结束时，玩家可以预期赢得多少钱？在这个问题中，柯西分布是一个重要的概率分布。
柯西分布是一个具有无限方差的概率分布，它的形状类似于钟形曲线，但是尾部非常重。
柯西分布在圣彼得堡悖论中起到了关键的作用。
圣彼得堡悖论的精髓在于，尽管每次掷硬币的胜率只有50%，但是游戏可以无限次进行下去。
因此，玩家有可能在某次游戏中连续翻到很多次正面，从而赢得大量的钱。
虽然这种情况出现的概率非常小，但是当它发生时，赢得的金额非常高。
然而，根据柯西分布的特性，我们可以知道，柯西分布的方差是无限大的。
这意味着，圣彼得堡悖论中玩家可能赢得的金额也是无限大的。
尽管这种情况的概率非常小，但是它的存在使得玩家可以预期赢得的金额无限大。
尽管圣彼得堡悖论中玩家可以无限次地赢得金额，但是从长期来看，玩家的平均收益仍然是有限的。
这是因为每次掷硬币的胜率只有50%，玩家在大部分情况下会输掉赌金。
因此，尽管圣彼得堡悖论中存在着赢得无限金额的可能性，但是玩家在长期内的平均收益是有限的。
总结来说，圣彼得堡悖论是一个有趣的概率问题，它展示了概率和赌博的奇特性质。
柯西分布在这个问题中起到了关键的作用，它揭示了玩家可以赢得无限金额的可能性。
然而，从长期来看，玩家的平均收益仍然是有限的。
这个问题引发了对概率和赌博的深入思考，也为人们带来了对胜率和收益的重新认识。
对圣彼得堡悖论的思考
对圣彼得堡悖论的思考
关于圣彼得堡悖论,课堂上我们亲身体验了伯努利试验,通过掷硬币的试验,也加深了自己对圣彼得堡悖论的认识.理论上来讲,圣彼得堡游戏的期望应该是无穷大的,但是通过现场投掷硬币的试验,不难发现硬币投掷者所获得的奖金的实际值并非如此.
由于首次抛掷正面向上,获5＊2＝10元奖金,第二次出现正面,5＊2＊2＝20元奖金….第n次出现正面,则或5＊2＊2＊….(n个2)元奖金,通过两轮的试验发现,第一轮庄家定价35元是稳赚不赔的,可见游戏参与者的奖金期望值,也与理论期望值是相差甚远的,在第二轮的游戏中,由于双方的竞价,庄家的定价在25元左右,游戏参与者获得了一些奖金,但每次的数额并不是很多.从游戏中发现,理论与实际的差别是很大的,在决策问题的时候,也是必须注意这种差别的,而不应该硬套理论.
若要作为本游戏的庄家,对参与游戏的人给下定价,使自己作为庄家能够获利,从实际出发来考虑的话,游戏者获得10元奖金的概率是0.5,获得20元的奖金的概率是0.25,获得40元奖金的概率是0.125,获得80元的概率也将会变得更小,获得更高奖金的几率也将是越来越小,在实际的试验中,若想出现获得高奖金的结果,一定是重复游戏多次的,在实际的游戏中,由于各种因素的限制,游戏的次数也是非常的有限的,故出现高奖金的几率也是微小的.获得40元的奖金几率几经比较小了,连续几次均获40元以上奖金的几率,将会更小,故庄家的定价定在40以内,是有利可图的.再者来看,获二十元奖金的概率也只有0.25,连续数次获得20元以上的奖金几率也是很小的,故庄家长时间经营自己的生意的话,即从长远来看,二十元钱的定价对庄家来说也是有利可图的, 故我的观点是20元以上的定价,作为庄家都是可以接受的.。
决策的三个参照点
1738年，数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的堂兄尼古拉·伯努利（Nicolaus Bernoulli）提出了一个在决策学上知名的悖论—圣彼得堡悖论。
它源自一种掷币游戏—圣彼得堡游戏：假如掷出正面为赢，若玩家第一次掷出正面得奖金2元，第二次得4元，第三次得8元……直到无穷。
这个游戏的回报期望值是无穷大，但玩家中没有人愿意花25元去参加一次这样的游戏。
这是为什么呢？丹尼尔·伯努利的解释是，财富增加带给人的幸福感或曰效用（utility）是递减的。
比起这个游戏，管理者在决策时往往不知道具体的结果都有哪些、是如何分布的。
这正是经济学家弗兰克·奈特（Frank Knight）界说的“不确定性”，而“风险”是指决策者了解结果的概率分布时面临的决策情境。
比如投资5000万，一年后亏损1000万的概率是20%，盈利5000万的概率是20%，而盈亏平衡的概率是60%。
在不确定和风险情境中进行决策，是全世界管理者共同的挑战，也吸引了大量经济学家、博弈论专家、数学家、心理学家的探究。
三个参照点：现状、底线和目标人们做决策时，关注的是结果将带来的幸福感（经济学家的用语是“效用”）。
不难发现，一个人的幸福感与其总财富的多少关系并不大，而是和财富的变化密切相关。
比如，一个刚刚损失了一半身家的亿万富翁，和一个刚刚身家翻倍的农民工相比，前者的幸福感不会因为其总财富仍远远高于后者而更高。
毕竟人不是机器，对幸福的感知是相对的。
要衡量财富变化，就必须要在决策者心里设定参照点（reference point）。
2002年诺贝尔经济学奖得主丹尼尔·卡尼曼（Daniel Kahneman）和合作者艾默思·特沃斯基（Amos Tversky）提出的前景理论（prospect theory），就是以“现状”为参照点做出的理论贡献。
它以财富的现状作为零点，将其变化分为获益和损失—人们面对收益时会倾向规避风险，而面对损失时则不惜铤而走险。
圣彼得堡悖论新解与不确定性估值
圣彼得堡悖论新解与不确定性估值内容提要：著名数学家Bernoulli为解决“圣彼得堡悖论”提出了货币的边际效用递减理论（下称“效用函数解决方案”），本文通过以下两个方面证明了Bernoulli的“效用函数解决方案”是不成立的：1、用Bernoulli和克莱默的“效用函数”构造了新的悖论；2、设计并实施了不存在边际效用递减效应的“新型圣彼得堡游戏”，该游戏同样产生了“圣彼得堡悖论”。
本文进一步分析论证了人们面对不确定性前景的风险调整才是导致“圣彼得堡悖论”产生的真正原因，由此给出了不确定性决策的风险调整模型，用此模型解决了“圣彼得堡悖论”及其它相关悖论。
本文对基于不确定性的经济学理论研究提出了一个全新的研究思路和方向。
关键词：不确定性估值，圣彼得堡悖论，效用，风险调整模型，经济实验1.圣彼得堡悖论与Bernoulli的效用函数解决方案“圣彼得堡悖论”来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏。
设定掷币掷出正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。
如果第n次投掷成功，得奖金2n元，游戏结束。
按照概率期望值的计算方法，此游戏的期望收益为所有可能结果的得奖期望值之和：1111 ()2482 2482n nE=⨯+⨯+⨯++⨯+――――――――――――由于对于游戏中投币的次数没有理论上的限制，很显然，上式是无数个1的和，它等于无穷大，即该抽奖活动收益的数学期望值是无限的。
那么对于这样一个收益的数学期望值是无穷大的“圣彼得堡游戏”当支付多大的费用呢？试验表明，大多数人只准备支付几元钱来参加这一游戏。
于是，个人参与这种游戏所愿支付的有限价格与其收益的无穷数学期望之间的矛盾就构成了所谓的“圣彼得堡悖论”。
Bernoulli对于这个问题给出一种解决办法。
他认为人们真正关心的是奖励的效用而非它的绝对数量；而且额外货币增加提供的额外效用，会随着奖励的价值量的增加而减少，即后来广为流传的“货币边际效用递减律”。
圣彼得堡悖论解法
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管理决策4.2讲义
§4.2 效用函数的概念4.2.1 圣彼得堡悖论设有一个赌局，下赌注者掷一枚均匀的硬币，当出现正面反复掷下去，直到出现反面为止，如果前n 次都连续出现正面，第1+n 次出现反面，则下赌注者赢n 2元，第1次出现反面赢0元。
请问下赌注者愿意付多少赌金进行这个赌博？ 下赌注者期望赢利()+∞=⋅∑∞=1212n n n 元，虽然期望赢利为无穷大，但在实际生活中多数博彩者只愿意付不到10元才肯参与这一博彩，由此可见，人们实际决策行为与期望最优准则理论相悖。
这就是著名的圣彼得堡悖论(St.Petersburg Paradox)，由伯努利(Daniel Bernouli,1783)发现的，4.2.2 效用及效用函数（1）效用的概念（2）效用的测定 辨优设有决策系统(A,Q,V)，其结果值集合为{}n ,c ,,c c V 21=，记*c ≥()n ,c ,,c c ⋅⋅⋅21max ，0c ≤()n ,c ,,c c ⋅⋅⋅21min ，测定各结果值j c 的效用值)(j c u ，其步骤如下：①设1)(=*c u ，0)(0=c u 。
②建立简单事态体)]1([0*x c x c L -=，；，，其中x 称为可调概率。
③通过反复提问，不断改变可调概率值x ，让决策者权衡比较，当)]1(*[,0j j j p c p c L p x -==，；，时，得到无差异关系：)]1(*[~0j j j p c p c L c -=，；，。
④测得结果值j c 的效用：j j *j j p ))u(c p ()u(c p c u =-+=01)(。
不难看出，j c 的效用值就等于概率值j p 。
设决策问题的结果值集合{}n ,c ,,c c V 21=，且*c ≥()n ,c ,,c c ⋅⋅⋅21max ，0c ≤()n ,c ,,c c ⋅⋅⋅21min ，定义在c 上的实值函数)(c u 满足条件：①0)(0=c u ， 1)(*=c u ，存在V c ∈，使)(c u 满足无差异关系)),(1;),((~0*c c u c c u c -。
圣彼得堡悖论 是经济学内容
圣彼得堡悖论是经济学内容圣彼得堡悖论是经济学中一个著名的悖论，它揭示了人们在面对不确定性时的决策行为。
圣彼得堡悖论的名字来源于俄罗斯圣彼得堡市的赌场，这个悖论的实验是在赌场中进行的。
在圣彼得堡悖论实验中，参与者需要支付一定的入场费来参与游戏，游戏规则如下：一开始，一枚公平的硬币被抛掷，如果硬币正面朝上，参与者会得到1个游戏币，并且有机会继续游戏，再次抛掷硬币；如果硬币反面朝上，游戏结束，参与者不再获得任何游戏币。
每次正面朝上时，参与者得到的游戏币数量会翻倍，即第一次正面朝上得到1个游戏币，第二次正面朝上得到2个游戏币，第三次正面朝上得到4个游戏币，以此类推。
根据游戏规则可以算出，参与者在每次游戏中获得的期望收益是无限的。
因为每次抛掷硬币都有50%的概率正面朝上，所以参与者获得游戏币的次数不受限制。
而且每次获得的游戏币数量是指数增长的，所以参与者可以获得无限多的游戏币，期望收益无限。
然而，圣彼得堡悖论的关键在于人们对风险的态度。
虽然参与者可以获得无限期望收益，但每次参与游戏都需要支付入场费。
当入场费过高时，参与者可能会认为风险太大，不愿意参与游戏。
毕竟，付出很高的入场费却不一定能获得高额收益，这让人们感到不安。
圣彼得堡悖论揭示了人们在面对不确定性时的风险厌恶特征。
尽管理论上可以获得无限期望收益，但人们普遍对高风险的决策持谨慎态度。
这与经济学中的效用函数理论相关。
效用函数描述了人们对不同结果的偏好程度，而风险厌恶是效用函数的一个重要特征。
圣彼得堡悖论的实验结果显示，人们的风险厌恶特征会限制他们在面对不确定性时的行为。
在实际生活中，人们往往更愿意选择稳定的收益，而不愿意承担高风险。
这也解释了为什么很多人选择稳定的工作而不愿意冒险创业，或者选择保守的投资方式而不愿意追求高收益。
总结起来，圣彼得堡悖论揭示了人们在面对不确定性时的风险厌恶特征。
尽管参与者可以获得无限期望收益，但由于风险厌恶，他们可能不愿意承担高风险。
期望效用理论名词解释
期望效用理论名词解释
期望效用理论是一个体系，而不是专指某个理论，是二战以来研究决策的主要模式。
它和前景理论占住决策和判断的主导地位。
这个理论通常是把决策者当作是完全理性的人来看待，这种理性的人通常追求效用最大化和自我利益，且遵循理性行为的原则。
期望效用理论不是描述人们的实际行为，而是告诉我们该如何做出理性决策。
作为一个决策者，应该尽可能地理性点，所以这方面的理论必须了解。
这个体系包括：
一、圣彼得堡悖论——边际效益递减理论解释
二、冯诺依曼提出的理性决策的公理：用的是客观概率
1、有序性：要么一直偏好，要么都无所谓
2、占优性：不选择被其他策略占优的策略
A、弱势占优
B、强势占优
3、相同性：只比较结果不同的
4、可传递性：AB中更喜欢A，BC中更喜欢B，那么AC中更喜欢A，具有逻辑推理性
5、连续性：如果出现好的结果概率很大，那么应该选择最好或最坏的，绝对不能是中间值
6、恒定性：决策者不应受备选方案的影响
三、主观期望效用理论：有主观的、个人因素：对某件事可能发生的主观概率也概括进来。
圣彼得堡悖论名词解释
圣彼得堡悖论名词解释圣彼得堡悖论是一种经典的数学悖论，它涉及到概率论和决策理论，是一种非常有趣的思维实验。
本文将从名词解释的角度来探讨圣彼得堡悖论的本质和意义。
一、圣彼得堡悖论的定义圣彼得堡悖论是一种关于赌博的悖论，它源自18世纪初俄国圣彼得堡的一个赌场。
假设有一个赌局，每次掷一枚公正的硬币，若正面朝上，奖金翻倍，反面朝上则停止游戏，得到当前累计的奖金。
每次游戏的花费为1单位货币，而每次游戏的奖金是一个随机变量，它的期望值是无限大。
二、圣彼得堡悖论的表述圣彼得堡悖论的表述是：假设有一个赌局，每次掷一枚公正的硬币，若正面朝上，奖金翻倍，反面朝上则停止游戏，得到当前累计的奖金。
每次游戏的花费为1单位货币，而每次游戏的奖金是一个随机变量，它的期望值是无限大。
那么，如果赌博者有无限的财富，他是否应该参与这个赌局？三、圣彼得堡悖论的解释圣彼得堡悖论的解释是：虽然每次游戏的奖金的期望值是无限大，但是赌博者的风险承受能力是有限的。
如果他的财富是有限的，那么在进行多次游戏后，他的财富可能会被输光，从而无法继续游戏。
因此，赌博者需要考虑的是每次游戏的期望收益与风险承受能力之间的平衡。
四、圣彼得堡悖论的意义圣彼得堡悖论的意义在于揭示了人类决策的有限理性。
虽然理性决策应该考虑到每次游戏的期望收益，但是现实生活中，人们的决策往往受到风险厌恶、财富约束和时间偏好等因素的影响。
因此，圣彼得堡悖论提醒我们在决策时要充分考虑自身的风险承受能力和财富状况，以避免决策的不理性和后悔。
五、圣彼得堡悖论的拓展圣彼得堡悖论的拓展包括：1.考虑不同的风险偏好，即赌博者对风险的承受程度不同，可能会对决策产生影响；2.考虑不同的时间偏好，即赌博者对当前奖金和未来奖金的价值评估不同，也可能会对决策产生影响；3.考虑其他因素的影响，例如赌博者的心理状态、赌博的成瘾性等，也可能会对决策产生影响。
六、圣彼得堡悖论的启示圣彼得堡悖论的启示在于：在决策时要充分考虑自身的风险承受能力和财富状况，以避免决策的不理性和后悔。
圣彼得堡悖论 是经济学内容
圣彼得堡悖论是经济学内容以圣彼得堡悖论是经济学中的一个重要悖论，它对人们的决策行为和风险偏好提出了挑战。
圣彼得堡悖论由俄国数学家尼古拉·伯努利在18世纪提出，它揭示了人们在面对风险时的非理性行为。
圣彼得堡悖论的核心是一个赌博游戏。
游戏规则是这样的：一枚公平的硬币被抛掷，如果出现正面则玩家获得1美元，并且继续抛掷硬币，如果出现正面则奖金翻倍，一直持续下去，直到出现反面。
当出现反面时，游戏结束，玩家获得的奖金就是此时奖池中的金额。
例如，第一次出现反面时，奖池金额为2美元，第二次出现反面时，奖池金额为4美元，以此类推。
从理性的角度来看，玩家应该愿意为参与这个游戏支付一定的费用，因为奖池金额可能会非常大。
然而，圣彼得堡悖论揭示了人们对风险的态度，并表明人们的决策并不总是理性的。
根据概率理论，参与这个游戏的期望收益是无穷大的。
因为每次投掷硬币正面朝上的概率都是50%，所以奖池金额翻倍的概率也是50%。
根据期望值的计算公式，每次投掷硬币的期望收益为1美元（0.5 * 2美元），所以玩家参与游戏的期望收益是无穷大。
然而，实际情况是，大多数人并不愿意为参与这个游戏支付太多的费用。
这是因为人们对风险的态度是非线性的，即人们对可能损失的价值更加敏感。
在圣彼得堡悖论中，每次投掷硬币都有50%的概率失去之前累积的奖池金额，这对人们来说是很大的风险。
虽然期望收益是无穷大，但人们往往更加关注可能的损失。
圣彼得堡悖论揭示了人们在决策中存在的一种非理性行为，即风险规避。
人们更倾向于选择确定性的收益，而不是可能的高回报。
这与理性经济人的行为模式相悖，理性经济人会根据期望值来做出决策。
圣彼得堡悖论的研究对经济学和行为金融学有着重要的意义。
它提醒了人们在决策中存在的非理性行为，并对风险偏好的研究提供了新的思路。
在现实生活中，人们常常在面临风险时做出非理性的决策，这可能会导致损失或遗憾。
因此，了解圣彼得堡悖论对我们做出明智的决策具有重要的指导意义。
FRM模型丨效用函数和风险偏好的辨析
ＦRＭ模型丨效用函数和风险偏好的辨析1.效用历史沿革效用的概念是丹尼尔·伯努利（不是数学家伯努利，但是他们都是伯努利家族的。
)在解释圣彼得堡悖论时提出的，目的是挑战以金额期望值作为决策的标准,证明期望收益并不是人们在做决策时的唯一衡量标准。
经济学家对于效用的理解是有一个过程的。
●１9世纪的威廉姆·斯坦利·杰文斯、里昂·瓦尔拉斯和阿尔弗雷德·马歇尔等早期经济学家认为效用如同人们的身高和体重一样是可以测量的。
●而约翰·希克斯则尝试了只在序数性效用的假定下，也取得了很多的研究成果。
希克斯认为，效用的数值表现只是为了表达偏好的顺序,并非效用的数值。
因此,从分析消费者行为的方法来看,基数效用论者采用边际效用分析方法,序数效用论者采用无差异曲线分析方法。
从教科书等内容判断，现在比较通用的应该是后者的序数性效用。
1.1.效用概念的提出——圣彼得堡悖论圣彼得堡悖论是尼古拉·伯努利在173８年提出的一个概率期望值悖论。
它来自于一种掷币游戏，圣彼得堡游戏。
游戏规则为:掷出正面或者反面为成功，游戏者如果投掷成功，得奖金2元,游戏结束；若不成功，继续投掷，二次成功得奖金4元，游戏结束;这样,游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。
如果n 次投掷成功，得奖金2ｎ元，游戏结束。
首先,我们用公式1()k kk E X x p ∞==∑来计算这个游戏收益的数学期望值:23423411111()2222222222n n E X n n ==⨯+⨯+⨯+⨯++⨯= 从理论上来说，该游戏的期望值是无穷大的。
按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。
这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”。
如果仅仅以期望值标准,我们将无法给这个游戏进行定价。
圣彼得堡悖论反映了决策理论和实际之间的差别。
人们总是不自觉地把模型与实际问题进行比较,但决策理论模型与实际问题并不是一个东西;圣彼得堡问题的理论模型是一个概率模型,它不仅是一种理论模型，而且本身就是一种统计的 “近似的”模型。
圣彼得堡悖论
圣彼得堡悖论长期以来，不确定情况下的决策问题是与概率论这门学科相联系的。
当时这类问题大多用赌博的形式提出来的，并认为是否值得参加一场赌博决策，在可能情况下可通过计算局中人的期望收益来判断，如果期望收益为正，那么对参与者而言有利的，虽然这并不意味着每赌必赢，但不断赌下去平均收益为正；期望收益为负的情况恰恰相反。
而期望值为零，则意味着这场赌博为“公平游戏”。
这样，期望收益的大小是“理性赌徒”用来对赌博进行决策的主要依据，或者说期望收益可以给赌博进行“定价”。
然而，这样的决策分析很快被遭到质疑。
瑞士著名数学家丹尼尔•贝诺利（Daniel Bernoulli ）在1725-1733年在圣彼得堡研究一种投币游戏，并于1738年揭开了这个有趣的谜题。
后来，这个谜题以“圣彼得堡悖论”（St. Petersburg Paradox ）著称。
所谓“圣彼得堡悖论”涉及的是一场猜硬币正反面的赌博。
参加游戏者必须先支付门票，然后抛硬币，直到第1个正面出现为止。
若第1次抛到正面，就赚2元；若没有，继续抛，若第2次抛到正面,赚4元…依此类推。
问题是：为使得一个赌徒有权参加这样的游戏，他应该最多付多少钱才能使得这场赌博成为“公平游戏”？由于在抛到正面之前，反面出现的次数（用n 表示）用来计算参加者的报酬r ： r(n)=2n下表是各种结果的概率和报酬。
预期收益： ∞=++==∑∞= 2/12/1)(1n nn rp R E以上的1/2是掷出正面或反面的概率，这个算式沒有终结，所以这个游戏的期望值是无限，即你最多肯付出无限的金钱去玩着游戏！尽管游戏的预期报酬是无限的，但参加者的支付却是有限的。
问题是，你有可能只赚到2元，又或者4元，那你为何肯付出无限的金钱作“打和”呢？这就是悖论所在。
即圣彼得堡悖论内涵表明，一个机会的数学价值与人们通常给它的较低价值并不一致。
贝诺利研究发现，投资者赋予所有报酬的每1个美元的价值是不同的，并由此解决的此悖论。
圣彼得堡悖论的产生与解决-罗逸姝
二．悖论产生
设事件{前 k-1 次失败，第 k 次成功}为事件{X=k}，则
1 1 1 P{ X k} ( )k 1 ( ) k 2 2 2
获得的奖金数为 W，则 W 的分布列为： X=k W P 1 2 2 4 3 8 … … … k … … … n
1 2
1 ( )2 2
1 ( )3 2
参考文献
[1] 百 度 百 科 . 圣 彼 得 堡 悖 论 _ 百 度 百 科 [EB/OL]. [2014-3-8]. /view/1163899.htm. [2] 圣 才 学 习 网 . 博 弈 论 ： 圣 彼 得 堡 悖 论 [EB/OL]. [2012-12-26]. /view/otdetail/20121213/27e15cd9-633c-4dcd-8348-6fb6ede19888.html.
圣彼得堡悖论的产生与解决
罗逸姝 201241025
一．故事背景
设定掷出硬币的正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金 2 元，游戏结束；第 一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金 4 元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成 功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果第 n 次投掷成功，得奖金 2 ，游戏结束。 问：应先付多少钱才能使游戏公平？
P
1 2
1 ( )2 2
…
1 ( )k 2
…Leabharlann 1 ( )n 2效用期望 E (U )
2
k 1
n
k
k
2
3 2n
当 n 趋于无穷时，期望值 lim E (U ) 2 ，因此，将入场费用定位 2 元是公平的。
n
这一解释虽然符合实际情况，但仍有漏洞。如果把奖金额变动一下，将奖金额提高为
埃尔斯伯格悖论和圣彼德堡悖论
埃尔斯伯格悖论埃尔斯伯格悖论的提出1926年，拉姆齐(F．P．Ramsey)借助部分信念提出了主观概率的思想，可以对个体的概率进行数值上的测度，并且把主观概率和贝努里(D．Bemolli)的效用决策相结合，给出了一个主观期望效用决策的公理性轮廓。
1937年菲尼蒂(B．De Finetti)论证了概率论的逻辑规律能够在主观主义的观点中严格地被确立，决策或者预见有着深刻的主观根源，为主观效用决策理论的发展奠定了基础。
1954年，萨维奇(L．J．Savage)由直觉的偏好关系推导出概率测度，从而得到一个由效用和主观概率来线性规范人们行为选择的主观期望效用理论。
他认为该理论是用来规范人们行为的，理性人的行为选择应该和它保持一致性。
在他的理论中，有一个饱受争议的确凿性原则(The Sure-Thing Principie)，它表明行为中间的优先不取决于对两个行为有完全等同结果的状态，只要两个行为在某种情形之外是一致的，那么在这种情形之外发生的变化肯定不会影响此情形下行为人对两个行动的偏爱次序关系。
1961年，埃尔斯伯格(Daniel Ellsberg)在一篇论文中通过两个例子向主观期望效用理论提出了挑战。
他的第一个例子是提问式的，表述如下：在你面前有两个都装有100个红球和黑球的缸I和缸Ⅱ，你被告知缸Ⅱ里面红球的数目是5O个，缸I里面红球的数目是未知的。
如果一个红球或者黑球分别从缸I 和缸Ⅱ中取出，那么它们分别被标为红I、黑I、红Ⅱ和黑Ⅱ。
现在从这两个缸中随机取出一个球，要求你在球被取出前猜测球的颜色，如果你的猜测正确，那么你就获得$100，如果猜测错误，那么什么都得不到。
为了测定你的主观偏好次序，你被要求回答下面的问题：(1)你偏爱赌红I的出现，还是黑I，还是对它们的出现没有偏见?(2)你偏爱赌红Ⅱ，还是黑Ⅱ?(3)你偏爱赌红I，还是红Ⅱ?(4)你偏爱赌黑I，还是黑Ⅱ?埃尔斯伯格发现大多数人对问题1和问题2的回答是没有偏见。
圣彼得堡悖论
圣彼得堡悖论(矛盾)圣彼得堡悖论概述圣彼得堡悖论是决策论中的一个悖论。
圣彼得堡悖论是数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的表兄尼古拉·伯努利（Daniel Bernoulli）在１７３８提出的一个概率期望值悖论，它来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏。
设定掷出正面或者反面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金２元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金４元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。
如果第ｎ次投掷成功，得奖金２的ｎ次方元，游戏结束。
按照概率期望值的计算方法，将每一个可能结果的得奖值乘以该结果发生的概率即可得到该结果奖值的期望值。
游戏的期望值即为所有可能结果的期望值之和。
随着ｎ的增大，以后的结果虽然概率很小，但是其奖值越来越大，每一个结果的期望值均为1，所有可能结果的得奖期望值之和，即游戏的期望值，将为“无穷大”。
按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。
但是实际的投掷结果和计算都表明，多次投掷的结果，其平均值最多也就是几十元。
正如Hacking（１９８０）所说：“没有人愿意花２５元去参加一次这样的游戏。
”这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”，问题在哪里? 实际在游戏过程中，游戏的收费应该是多少？决策理论的期望值准则在这里还成立吗？这是不是给“期望值准则”提出了严峻的挑战？正确认识和解决这一矛盾对于人们认识随机现象、发展决策理论和指导实际决策无疑具有重大意义。
圣彼得堡问题对于决策工作者的启示在于，许多悖论问题可以归为数学问题，但它同时又是一个思维科学和哲学问题。
悖论问题的实质是人类自身思维的矛盾性。
从广义上讲，悖论不仅包括人们思维成果之间的矛盾，也包括思维成果与现实世界的明显的矛盾性。
对于各个学科各个层次的悖论的研究，历来是科学理论发展的动力。
圣彼得堡悖论所反映的人类自身思维的矛盾性，首先具有一定的哲学研究的意义；其次它反映了决策理论和实际之间的根本差别。
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圣彼得堡悖论
圣彼得堡悖论是决策论中的一个悖论。
1730年代，数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的堂兄尼古拉一世·伯努利，在致法国数学家皮耶·黑蒙·德蒙马特的信件中，提出一个问题：掷硬币，若第一次掷出正面，你就赚1元。
若第一次掷出反面，那就要再掷一次，若第二次掷的是正面，你便赚2元。
若第二次掷出反面，那就要掷第三次，若第三次掷的是正面，你便赚2*2元……如此类推，即可能掷一次游戏便结束，也可能反复掷没完没了。
问题是，你最多肯付多少钱参加这个游戏？
你最多肯付的钱应等于该游戏的期望值：
这个游戏的期望值是无限大，即你最多肯付出无限的金钱去参加这个游戏。
但是，你更
可能只赚到1元，或者2元，或者4元等，而不可能赚到无限的金钱。
那你为什么肯
付出无限的金钱参加游戏呢？
丹尼尔·伯努利在1738年的论文里，对这个悖论提出了解答，他以效用的概念，来挑战以金额期望值为决策标准，论文主要包括两条原理：
1. 边际效用递减原理：一个人对于财富的占有多多益善，即效用函数一阶导数大
于零；随着财富的增加，满足程度的增加速度不断下降，效用函数二阶导数小
于零。
2. 最大效用原理：在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得最大
期望效用值而非最大期望金额值。