《等差数列》的教学设计

《等差数列》的教学设计一．设计思想数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能在让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。

基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。

在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题解决问题的能力，培养了他们的创造力。

这正是新课程所倡导的数学理念。

本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。

二．教材分析高中数学必修五第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时。

研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。

通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。

本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。

在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。

同时也是培养学生数学能力的良好题材。

等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。

三．学情分析学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。

他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。

同时思维的严密性还有待加强。

四．教学目标1．知识目标：理解等差数列概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列与一次函数的关系。

2．能力目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。

3．情感目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，提高数学猜想、归纳的能力。

五．重点、难点教学重点：等差数列的概念及通项公式的推导。

教学难点：对等差数列概念的理解及学会通项公式的推导及应用。

六．教学策略和手段数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。

教学手段：多媒体计算机和传统黑板相结合。

通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。

而保留使用黑板则能让学生更好的经历整个教学过程。

七．课前准备学生预习，教师做好课件并安装好。

八．教学过程（一）创设情景，引入概念设计意图：希望学生能通过日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，体验数学发现和创造的过程。

师生活动：情景1：师—把班上学生学号从小到大排成一列：学生：52,51,,4,3,2,1师—这是数列吗？你能归纳出它的通项公式吗？学生—是，+∈≤≤=N n n n a n ,521,师—把上面的数列各项依次记为5221,,,,a a a a ，填空：()()()+=+=+=51522312,,,a a a a a a学生—填空并归纳出一般规律：11+=-n n a a ，（2≥n ）师—上面这个规律还有其他形式吗？学生—或者写成 11=--n n a a ，（2≥n ）注：要对强调2≥n ，原因在于1-n 有意义。

师—你能用普通语言概括上面的规律吗？学生—自由发言，选择最恰当的语言。

上面的数列已找出这一特殊规律，下面再观察一些数列并也找出它们的规律。

情景2：看幻灯片上的实例（1）2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg ）：48，53，58，63（2）水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。

如果一个水库的水位18m ，自然放水每天水位下降2.5m ，最低降至5m 。

那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m ）18，15.5，13，10．5，8，5．5（3）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。

按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金⨯（1+利率⨯存期）例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如下表（假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税）各年末本利和（单位：元）10072，10144，10216，10288，10360师：上面的三个数列又分别有什么规律呢？学生—（1）51=--n n a a ，2≥n ，+∈N n（2）5.21-=--n n a a ，2≥n ，+∈N n（3）721=--n n a a ，2≥n ，+∈N n师—归纳上面数列的共同特征： 1n n a a d --=（d 是常数），2≥n ，+∈N n ，师—满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？ 学生（共同）—等差数列。

提出课题《等差数列》师—给出文字叙述的定义（学生叙述，板书定义）：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d 为公差，a 1为数列的首项。

*2132431,,,......(2,)n n a a d a a d a a d a a d n n N --=-=-=-=≥∈ 对定义进行分析，强调：①同一个常数；②从第二项起。

师—这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？学生—某剧场前8排的座位数分别是52，50，48，46，44，42，40，38.学生—全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25抢答：观察下列数列是否为等差数列1，2，4，6，8，10，12，……0，1，2，3，4，5，6，……3，3，3，3，3，3，3……2，4，7，11，16，……-8，-6，-4，0，2，4，……3，0，-3，-6，-9，……注：常数列也是等差数列，公差是0。

（二）推进概念，发现性质设计意图：概括等差中项的概念。

总结等差中项公式，用于发现等差数列的性质。

师生活动：师—想一想，一个等差数列最少有几项？它们之间有什么关系？学生思考后回答，至少三项，然后老师引导学生概括等差中项的概念。

设三个数b A a ,,成等差数列，则A 叫a 与b 的等差中项。

同时有A-a=b-A,22b a A b a A +=⇒+=⇒ 说明：（1）上面式子反过来也成立。

（2）等差数列中的任意连续三项都构成等差数列++-∈≥+=⇒N n n a a a n n n ,2,211，反之亦成立。

（三）探究通项公式设计意图：通过具体数列的通项公式，总结一般等差数列的通项公式，体会特殊到一般的数学思想方法。

师生活动：师—对于一个数列，我们最关心的是每一项，而这就要求我们能知道它的通项公式。

下面一起来研究等差数列的通项公式。

先写出上面引例中等差数列的通项公式。

再推导一般等差数列的通项公式。

师—若一个数列123,,,......,,......n a a a a 是等差数列，它的公差是d ，那么数列{}n a的通项公式是什么？启发学生：（归纳、猜想）可用首项与公差表示数列中任意一项。

学生—d a a =-12即：d a a +=12d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=……由此可得：d n a a n )1(1-+=师—从第几项开始归纳的？学生—第二项，所以n ≥2。

师—n=1时呢？学生—当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+= （+∈N n ）师—很好!（归纳、猜想，培养学生合理的推理能力）还有没有其他的推导方法？ 学生—还可用下面的方法归纳：当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+= （+∈N n ）师—我们把这种方法称为迭代法。

还有其他的推导方法吗？（学生面露难色）启发：看方法一的第一个式子d a a =-12d a a =-23d a a =-34……1n n a a d --= 有何规律？学生—可以用累加的方法，左边累加后得1n a a -，右边累加的d+d+d+……+d 共122331223......(1)n n n n n n a a d a d d a d a d d a d a n d-----=+=++=+=++=++=+-n-1个即1n a a -=d+d+d+…….+d1n a a -=（n-1）dd n a a n )1(1-+=师—这种方法叫累加法总结通项公式的推导方法：递推归纳法；迭代归纳法；累加法。

注：通项公式中含有1,,,n a d n a 四个量，其中1,a d 为基本量，当1,a d 确定后，通项公式就确定了。

(四).通项公式的应用设计意图：通过具体问题，分析等差数列通项公式中的四个量，已知什么？求什么？怎么求？提高学生分析问题，解决问题的能力。

例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项？（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？（3）已知等差数列{}n a 中，35,20205-=-=a a ，求该数列的通项公式。

分析：（1）中求第20项，需要知道什么呢？——首项和公差（2）中怎样判断-401是不是数列中的项呢？ ——先求通项公式，再判断是否存在正整数n ，使得-401 = n a 成立。

（3）中已知两项，求通项公式的关键还是先求首项和公差。

这里可以通过列方程组求解。

答案：(1)4920-=a ；(2)-401是这个数列的第100项；(3)n a n --=15。

(3)的补充说明：由列两个等式d a a d a a 19,412015+=+=可知d a a 15520=-，你能类似的推出等差数列中任两项的关系吗？类比：d m a a m )1(1-+=d n a a n )1(1-+= 两式相减得nm a a d d n m a a n m n m --=⇒-=-)(—等差数列的性质。