第2讲 回转误差的测试原理

动产生影响，造成回转运动误差。轴系在回转过程中，回转轴线的各个
瞬时位置相对其平均回转轴线的位置和姿态都发生变化，其变化量的大 小定义为回转运动误差。回转运动误差可分为如下几种:
•
1.倾角回转误差(Wobble)
•
当轴系连续旋转时，瞬时轴线与平均回转轴线形成的连续变化的角
度。这些角度在与轴线垂直的平面内可在互相垂直的方向进行分解，它
• 平均值的求法： • 一次谐波两项幅值求法： • 一次谐波的讨论：轴系本身的一次谐波，李萨育图。 • 回转误差的求法： • 两个方向的回转误差 • 两个方向回转误差的合成 • 回转误差的评定
21
5 水平仪测试法
_____
_____
22
z0
z01 z1 z0
y1
x0
x0
1
y0
2
x0
o0,o1
y0
✓ 3.2测试的意义
✓ 国际生产工程学会(International Institution for Proudction Engineering Research， CIRP)是从事制造研究与开发的杰出专家的国际组织。学会的宗旨是通过 各成员之间及与其它公司和组织的合作与信息交流，以促进制造生产力的 发展。
y2
x2 y1 x1 y3
x3
y0
x0
z2
z1
z3
o4
z0
z0 z1 x
4
y1 y0 y 4x1 x0
1. 自准直仪 2. 主轴 3. 平面镜 图 坐标系建立过程示意图
1
T10
Rot(x0 , x ) Rot( y0, y )
0
0 1
y x
y x 1
T21 Rot(x1, x ( )) Rot( y1, y ( )) Rot(z1, )
可用二维自准直光管进行测试。
•
2.径向回转误差(Runout)
•
轴系连续回转时，瞬时回转轴线上某点至平均回转轴线垂直面上的
位移量。这些位移量在与轴线垂直的平面内可在互相垂直的方向进行分
解，因此可在相互垂直的方向上放置两个位移传感器进行测试。
•
3.轴向回转误差(Axial slip)
•
轴系在连续回转时，回转轴线上的某点在轴线方向上的位移量。
_____
_____
14
• 2.5.3 回转运动误差
•
作为回转运动的轴系，可将其看成为一刚体。它与自由运动之刚体
之差别在于：在固定坐标系中，它只有一个旋转运动的自由度，其它几
个自由度被约束。满足这种条件时，回转轴即为理想轴。事实上，任何
精密轴其被约束的自由度都在作微小量的运动，并对轴系预定的旋转运
第 2 讲 倾角回转误差的测试技术
哈尔滨工业大学 空间控制与惯性技术研究中心
2007年03月29日
1
1 讲课内容
➢ 向量与方向余弦阵的基本知识 ➢ 回转误差的基本定义、测试的意义、回转误
差的测试仪器、测试方法。 ➢ 自准直仪测量倾角回转误差的方法。 ➢ 水平仪测量倾角回转误差的方法。 ➢ 两种测试方法的比较。
的单位特征向量满足。
na nb
定理7(相对性) 对于姿态矩阵A和B
A
Rot(k
a
,
)
k
ak
T a
(1
cos
)
I
cos
k
a
sin
B
Rot(k
b
,
)
kbk
T b
(1
cos
)
I
cos
kb
sin
AB可表示先在参考坐标系中绕向量ka旋转形成构件坐标 系，再绕构件坐标系中的向量kb旋转形成新的坐标系相对 于参考坐标系的姿态矩阵；AB也可表示先在参考坐标系中
AAT I
AT A1
所以姿态矩阵为正交矩阵。
(3) 姿态矩阵行列式的值为1。
(4)对于任意姿态A及两个向量p和q，有
( Ap) (Aq) (Ap)T (Aq) pT AT Aq
pT Iq pTq p q
(Ap) (Aq) [[Ap]](Aq) A( p q)
定理6(有序性) 两姿态矩阵A和B，AB=BA的充要条件是A和B
j1，k1)相对于坐标系o0x0y0z0(与坐标轴o0x0，o0y0和o0z0固联的单 位向量分别为i0，j0，k0)的方向余弦阵A，即姿态矩阵为：
i1 i0
A
i1
j0
i1 k0
j1 i0 j1 j0 j1 k0
k1 i0
k1
j0
k1 k0
_____
_____
6
2.3 绕任意轴旋转变换的方向余弦阵
中T的30 h23就是自准直仪在o1y1方
fx
(2πi ) n
h13
y2
cos
2πi n
x 2
sin
2πi n
y
y
(
2πi n
)
f
y
(
2πi n
)
h23
y2
sin
2πi n
x 2
cos
2πi n
x
x
( 2πi n
)
• 数据处理：如何从自准直仪的读数中将回转误差，分离出来。主轴轴线与 自准直仪的光轴的平行度表现为常数项，需要消去，镜面与主轴轴线的垂 直度表现为一次谐波项，也需要消去。将这两项误差扣除掉，即可得出倾 角回转误差。
定理5 对三个相互正交的单位向量a，
b，c，即满足 a2=1，b2=1，c2=1，ab=c， bc=a，ca=b，ab= bc= ca=0，有
aaT bbT ccT I
定理6 对三个任意向量a，b，c，有
aTbc bTca cTab
5
2.2方向余弦阵的基本定义
✓ 按坐标轴单位向量的定义 ✓ 坐标系o1x1y1z1(与坐标轴o1x1，o1y1和o1z1固联的单位向量分别为i1，
n cos sin sin sin cos T
Rot(n, ) Rot(x, cos sin )Rot(y, sin sin )Rot(z, cos )
_____
_____
11
x cos sin
z cos
y sin sin
， ( x )2 ( y )2 ( z )2
_____
_____
2
2 向量与方向余弦阵的基本性质
✓ 向量的基本性质。 ✓ 方向余弦阵的基本定义。 ✓ 绕任意轴旋转的方向余弦阵的推导。 ✓ 方向余弦阵的基本性质：正交性，归一性，有序性，
相对性，特征值，特征向量。 ✓ 小角度旋转变换的性质与小角度向量的分解。
_____
_____
3
2.1 向量的基本性质
15
xt(z)
A
yt
B
B0
xt
ot
zt(z)
Βιβλιοθήκη Baiduyt(z) A0
yt(z)
zt xt(z)
图 轴系几何轴线的空间运动
1
zt (x )
yt (
0
x
)
zt (x )
1 0 0
yt (x )
0 1 0
xt (x )
yt
(
x
)
zt (
1
x
)
4 自准直仪-平面镜测试法
17
• 自准直仪
坐标系的建立过程： 自准直仪坐标系、轴套坐标系、轴坐标系、平面镜坐标系
m22
m23
i3
j0
m31 m32 m33 i3 k0
j3 i0 j3 j0 j3 k0
k3 i0
k3
j0
k3 k0
根据姿态矩阵的定义，
T30 中的m31为o3x3与o0z0夹角的余弦，因为这个夹角接近90，o0z0与
重力加速度方向平行,所以m31就是敏感o3x3上的水平仪的读数； 同理分析
nr0 n
C
AB
D
OC (r0 n)n
r1 r0
n
nr0
O
图1
r1 OB OC CB n(r0 n) (n r0 n) cos (n r0 )sin
[nnT (1 cos ) I cos nsin ]r0
Ar0
_____
_____
• 因为向量是任意的，可以认为矩阵A为一个 基准坐标系绕向量n旋转 角后形成新的坐
_____
T10 Rot(x0 , x0 ) Rot( y0 , y0 ) T21 Rot(x1, x1( )) Rot(y1, y1( )) Rot(z1, )
T32 Rot(x2 , x2 ) Rot( y2 , y2 )
m11 m12 m13 i3 i0
T30 T10T21T32 m21
1
0
0 1
yx(())
cos
sin
sin cos
0 0
y ( ) x ( )
1 0
0 1
1
T32
Rot(x2 , x2 ) Rot( y2 , y2 )
0
y2
0 1
x 2
y2 x 2
1
h11 h12 h13 i3 i0
T30 T10T21T32 h21
3.2.2 平均回转轴线 某一时刻回转轴上相对于固定坐标系的线速度为零的点的集合为瞬时 回转轴线。平均回转轴线是相对固定坐标系不动的一条参考线，这条 参考线是旋转轴系各瞬时回转轴线的平均位置。只有理想主轴各瞬时 回转轴线才与平均回转轴线重合。理想的回转轴绕空间一根固定的轴 线运动，它的平均位置就是它本身的位置。因此，平均回转轴线也可 理解为回转轴系的理想轴线。当回转误差中不含系统误差时，按数理 统计学原理可知，取足够多的回转圈数，求得的平均轴线是理论回转 轴线的最可能位置。
✓ 3.3回转误差的测试仪器 ✓ 3.4测试方法。
_____
_____
13
3.1 回转误差的基本定义
3.1.1 瞬时回转轴线 瞬时回转轴线又简称为回转轴线。在做旋转运动的轴系上，某一瞬时 有这样一条线段，它相对固定坐标系只有牵连运动，而自转运动角速 度为零。此线段称为该轴系的瞬时回转轴线。而CIRP统一文件定义为： 回转轴线是一条某指定物体绕其自身旋转的线段，此线段与该指定物 体一起运动并相对于轴线平均线呈现出轴向的、径向的和倾角的运动。
3
y0
x0 x1
1. 主轴 2. x 方向水平仪 3. y 方向水平仪 图 地理坐标系和轴套坐标系
z1 z12 z11
y11 x1()
y1
z2(z12)
o1
y1()
x1 x11
o2,o1
图 主轴坐标系
y2
y11
x2
x11
z3 z2 y3
z21
y2 x2
o2,o3
y2
x2 x3
图 安装基面坐标系
_____
， tan y
，
x
cos
z
( x )2 ( y )2 ( z )2
结论：小角度的旋转变换可以象向量一样进行正交分解。可以小角 度是一个向量，但大角度旋转变换是不可能的。
3回转误差的基本概念
✓ 3.1回转误差的基本定义
✓ 刚体空间六自由度的定义，引出瞬时回转轴线，平均回转轴线，三 种回转误差。
h22
h23
i3
j0
h31 h32 h33 i3 k0
j3 i0 j3 j0 j3 k0
k3 i0
k3
j0
k3 k0
•
根据姿态矩阵的定义，T30中的h13为o1x1轴与平面镜法线o3z3
夹角的余弦，因为这个夹角接近90，所以h31就是自准直仪在
o1x1方向上的读数；同理分析 向上的读数。
绕向量kb旋转形成构件坐标系，这个构件坐标系再绕参考 坐标系中的向量ka旋转形成新的坐标系相对于参考坐标系
的姿态矩阵。 左“基”右“一”。
10
2.5 小角度旋转变换的性质与分解
定理8(无序性) 在满足一定的工程条件下，两个小角度旋转变换的合成是 无序的。
定理9 小角度旋转变换的分解
绕基准坐标系o0x0y0z0的单位向量n旋转小角度 后形成的坐标系，它等效 于绕基准坐标系的x0轴先旋转角x，再绕新形成坐标系o1x1y1z1中的o1y1 旋转y 形成的坐标系o2x2y2z2，最后绕o2x2y2z2的o2z2轴旋转z形成。 证明：
标系相对于基准坐标系的方向余弦阵。
A nnT (1 cos ) I cos nsin
n是方向余弦阵A的单位特征向量。
绕坐标轴旋转的方向余弦阵验证A
8
2.4 方向余弦阵的基本性质
• (1)归一性 ：姿态矩阵的任一行向量及列向量的模为1。
• (2) 正交性：姿态矩阵的任意两个行向量是正交的，任意两个 列向量也是正交的。
k
y1( ) ayk cos k byk sin k i2
ax2
cos 2
cos
1 2
ax2 (cos 3
cos )
_____
_____
1.“用水平仪测试倾角回转误差的数据处理”,哈尔滨工业大 学学报，2006年6月 2.竖直轴系倾角回转误差的两种测试方法的比较 ，中国惯性 技术学报，2000.9 3.带框架轴系倾角回转误差的测试结果分析 ，工具技术， 2000.9
T30中的m32就是敏感o3y3上的水平仪的读数。忽略二阶小量经计算得
m31 y2 [ y0 y1 ( )]cos [ x0 x1 ( )]sin
m32 x2 [ y0 y1 ( )]sin [ x0 x1 ( )]cos
k
x1( ) axk cos k bxk sin k i2
定理1 两个向量的点乘可以表示为
a b aTb bTa
定理2 任意向量a与向量b的矢量积等于a的反对
称矩阵 a~ 与b的积，即
a b a~b b a b~a
~
定理3 任意两个向量a与b，有 a b baT abT
定理4 对于任意向量a有
aaT a2 a2I
_____
_____