高中数学 第二讲 试验设计初步 二 正交试验的应用学案

二正交试验的应用

[学习目标]

通过具体实例进一步熟悉正交试验的过程、及直观分析法确定各因素的最优水平搭配方法. [预习导引]

1.正交试验的知识结构图

2.选择合适的正交表应遵循的原则

(1)正交表的水平数与试验问题中的水平数相同；

(2)正交表列数不少于参与试验因素个数；

(3)试验的次数最少.

3.直观分析法确定各因素的最优水平搭配方法

直观分析法根据对因素同一水平计算的各次试验结果的平均值大小确定因素水平优劣.如果结果的值越大说明效果越好，即平均值越大时水平越优.反之则平均值越小时，水平越优.

要点一正交试验的应用

例1 某工厂生产弹簧，为了提高弹簧的弹性，需要通过试验寻找合适的生产条件.与弹性相关的有3个因素，每个因素有4个水平，各因素的取值如下表：

因素

水平

A

回火温度(℃)

B

保温时间(min)

C

工作质量(kg) 144037

246049

找出影响弹簧弹性的主要因素，选出合适的正交表，并安排试验. 解找出适合试验要求的正交表L16(45).

安排试验方案，把试验安排及分析结果列于下表中.

比较R1，R2，R3的大小，有R2＜R3＜R1.说明，回火温度(A)是主要因素，其次是工作质量(C)，最后是保温时间(B).

通过计算画出因素与水平的关系图(如图).

验证试验显示，(A1，B2，C2)是最优的水平搭配.

规律方法正交表的正交性有如下两个性质：

(1)任一列中各水平的重复次数相同；

(2)任两列的所有同行数对的重复次数相同.

这两个性质可使试验数据具有综合可比性，删去部分列的正交表仍具有正交性，但增加任一列都会破坏正交性.

需要指出：

①部分实施，会因为数据少导致精度降低，如果受随机误差影响，试验费用不太昂贵且总的试验次数不太大时，没必要使用部分实施.

②如果参与试验的各因素之间存在交互效应，在做部分实施时，有些交互效应将无法估计. 跟踪演练1 某工艺需考察4个因素A，B，C，D.每个因素有3个水平.选用L9(34)将因素A，B，C，D顺序地安排在第1，2，3，4列上，所得9个试验结果依次为y1＝45.5，y2＝33.0，y3＝32.5，y4＝36.5，y5＝32.0，y6＝14.5，y7＝40.5，y8＝33.0，y9＝28.0，则k11＝________，k32＝________，k13＝________.

解列表，填表，得

k 11＝45.5＋33.0＋32.5

3＝37，

k 32＝32.5＋14.5＋28.0

3＝25，

k 13＝

45.5＋14.5＋33.0

3

＝31.

要点二 找最佳组合

例2 为提高烧结矿的质量，做下面的配料试验.各因素及其水平如下表

(单位：t)

反映质量好坏的试验指标为含铁量，越高越好.用正交表L 8(27

)安排试验.各因素依次放在正交表的1～6列上，8次试验所得含铁量(%)依次为50.9，47.1，51.4，51.8，54.3，49.8，51.5，51.3.试对结果进行分析，找出最优配料方案. 解 将各数据、试验结果及有关计算值列表如下：

从表中数据可知，最佳组合为(A2，B2，C1，D1，E2，F1)，

可再用试验验证这一结果，得到这一组试验结果为57.8%，优于表中最好的试验结果，

即(A2，B1，C2，D1，E2，F1)水平搭配的54.3%.

规律方法对试验结果进行直观分析，在同因素中将相同水平的结果相加，找出每个因素中的最好水平，再将每个因素中的最好水平进行搭配，就可以得到最佳方案.

跟踪演练2 正交试验结果如下表：

则三因素最佳组合为( )

A.A1B2C2

B.A2B1C2

C.A 2B 1C 1

D.A 2B 3C 1

解析 ∵k 11＝1

2

×(100＋

45)＝72.5，

k 21＝12

×(85＋70)＝77.5， k 12＝12

×(100＋

85)＝92.5， k 22＝12×(45＋70)＝57.5， k 13＝12×(100＋70)＝85， k 23＝12×(45＋85)＝65，

则k 11＜k 21，k 12＞k 22，k 13＞k 23， ∴最佳组合为(A 2，B 1，C 1)， ∴答案为C. 答案 C

用正交表安排试验，只做部分试验就能找到好的试验点.

这是由正交表的特性决定的：首先按正交表安排的试点的分布很均匀，选出的试点具有很强的代表性；其次各种因素的任一水平与其他因素的每一水平相碰一次，且仅相碰一次，搭配均匀.这样就保证了按照正交表来安排试验，只做一部分就能够选出好点.

但通过正交试验选出各个因素好点的组合，不一定是好点.因为部分试验实施代替全面试验，可能会影响结果的判断.还有做试验的各因素之间可能存在相互作用.

一、基础达标

1.已知某化学反应中较重要的因素有因素A ——催化剂的种类，因素B ——催化剂的量，因素C ——溶剂的用量，因素D ——反应时间.各因素的取值如下表：

因素

水平

A

催化剂的种类 B

催化剂的量(g)

C

溶剂的用量(mL)

D

反应时间(h)

1

甲种催化剂

0.9

10

3.5