高等代数(上)期末复习题
高等代数期末卷及答案
沈阳农业大学理学院第一学期期末考试《高等代数》试卷(1)1 •设 f (x) = x 4+x ? +4x - 9 ,贝H f (一3) = 69 .. 2•当 t = _2,-2 . 时，f(x)=x 3—3x+t 有重因式。
3.令f(x),g(x)是两个多项式，且f(x 3) xg(x 3)被x 2x 1整除，则 f(1)=_0_^ g(1)= 0 . 0 6 2=23 。
1 1 —-2 0 1x , 2x 2 2x 3 x 4 二 07. 2x 1 x 2 -2x 3 -2x 4 二 0 的一般解为x( ~'X 2 _'4x 3 ~3x 4 = 0题号-一--二二-三四五六七总分得分、填空(共35分，每题5 分)得分4.行列式1 -35.■’4 10"1 0 3-1、 -1 1 3'9 -2 -1 2 1 0 2」2 0 1< 9 9 11<1 3 4 丿6.z5 0 0 1 -1<0 2 1；0-2 3矩阵的积c 亠5 刘=2x3 X44x3, x4任意取值。
X2 二-2x^ --x4、(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。
求证 当且仅当(f(x)g(x), f(x)g(x))=1。
证：必要性.设(f(x)g(x), f (x)g(x)) =1。
(1%令 p(x)为 f (x) g (x), f (x)g(x)的不可约公因式,(1% 则由 p(x) | f (x)g (x)知p(x)| f (x)或 p(x) |g(x) o (1%)不妨设 p(x) | f (x)，再由 p(x)|(f(x) g (x))得 p(x) | g(x)。
故 p(x) |1 矛盾。
(2%)充分性.由(f (x)g(x), f (x)g(x)^1知存在多项式u(x), v(x)使u(x)(f(x) g(x)) v(x)f(x)g(x)=1,(2%)从而 u(x)f(x) g(x)(u(x) v(x) f(x)) =1,(2%)故(f (x), g(x)) =1 o (1%)ax 「bx 2 2x 3 =1 ax 1 (2 b -1)x 2 3x 3 =1 ax 1 bx 2 - (b 3)X 3 = 2b _1有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。
高代期末考试试卷
高代期末考试试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 0]C. [2 0; 0 2]D. [1 1; 1 1]2. 矩阵A的特征值是λ1和λ2，那么矩阵A^2的特征值是？A. λ1^2, λ2^2B. 2λ1, 2λ2C. λ1, λ2D. λ1+λ2, λ2+λ13. 线性方程组有非零解的条件是？A. 系数矩阵的行列式不等于0B. 系数矩阵的行列式等于0C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 增广矩阵的秩不等于系数矩阵的秩4. 以下哪个向量组是线性无关的？A. [1, 0], [0, 1]B. [1, 1], [1, 2]C. [1, 2], [2, 4]D. [1, 2, 3], [4, 5, 6]5. 矩阵A的秩是3，那么矩阵A的零空间的维数是？A. 0B. 1C. 2D. 36. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. [1 2; 3 4]B. [1 3; 3 1]C. [2 1; 1 2]D. [1 0; 0 1]7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1/√2 1/√2; -1/√2 1/√2]C. [1 1; 1 1]D. [1 2; 3 4]8. 以下哪个矩阵是幂等矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]9. 以下哪个矩阵是投影矩阵？A. [1 0; 0 0]B. [1 1; 1 1]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]10. 以下哪个矩阵是单位矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题（每题4分，共20分）1. 矩阵的迹是其对角线元素的______。
2. 矩阵的转置是将矩阵的行和列进行______。
3. 矩阵的行列式可以通过______展开来计算。
高等代数上册总复习一
一、填空题（每小题4分，共20分） 1）(211x dx -+=⎰(11111212dx dx --+==⎰⎰。
2）已知单位向量,,a b c 适合等式0a b c ++=，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=32-。
3）()()202x tf x t e dt -=-⎰的最大值是213e -。
4）过原点()0,0作曲线13x y e =的切线，则切线方程为13y x =。
5）曲线()()121tan 12x x x y e arc x x ++=-+的水平渐近线4y π=。
二、选择题（每小题4分，共20分）1）()()23sin 11111ax ax x x f x x e e x ⎧-<⎪=-⎨⎪-+≥⎩在(),-∞+∞上连续，则a =（ A ）A 、ln 2B 、0C 、2D 、任意实数2）已知ln y =dy =（ D ）AB、-C、 D、3）设()0f x '存在，则()()0002limh f x h f x h h→+--=（ C ）A 、一定不存在B 、不一定存在C 、()03f x 'D 、()03f x h '- 4）若()f x 的导函数是cos xe x -+，则()f x 的一个原函数是（ B ）A 、sin xe x --+ B 、cos x e x -- C 、cos xex --- D 、sin x e x -+5）若()f x 连续，()212xf t dt x =⎰，则40fdx =⎰（ B ）A 、2B 、4C 、8D 、16三、计算题（每题6分，共36分） 1）讨论极限0sin limx xx→。
解： 因为0000sin sin sin sin lim lim 1,lim lim 1x x x x x x x xx x x x++--→→→→===-=- 所以0sin limx xx→不存在。
2）设ttx ey te-⎧=⎪⎨=⎪⎩求22,dy d y dx dx。
《高等代数》（上）题库
《高等代数》（上）题库《高等代数》（上）题库第一章多项式填空题(1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是。
(1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。
(1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。
(1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b。
(1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。
(1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。
(1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。
(1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。
(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根是。
(1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。
(1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。
(1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。
(1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。
(1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。
(1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。
(1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。
(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。
(1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。
(1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。
(1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。
(完整word版)高等代数I期末试题
1.若 ，则 ， 。
2.若 元排列 是奇排列，则 _____， ____.
3. =。
4．若不可约多项式 是 的 重因式,则 是 的因式。
5．方程组 ，当满足条件时,有唯一解.
二、选择题（每题4分共20分）
1.在 里一定能整除任意多项式的多项式是 （ ）
．零多项式 ．零次多项式 ．本原多项式 ．不可约多项式
2． ， 是 阶方阵,则下列结论成立的是 （ ）
. 且 .
． 或 。
3．设 阶矩阵 满足 ，则下列矩阵哪个不可逆 （ )
。 。 ． .
4．下列对于多项式的结论正确的是 （ ）
.如果 ，那么
。如果多项式在有理数域上可约，则它一定存在有理根
.每一个多项 的秩等于 ,则( ）.
.所有 阶子式全为零，而至少有一个 阶子式不为零； 。所有 阶子式都不为零； .至多有一个 阶子式不为零； 。所有低于 阶子式都不为零.
三、计算题（每题18分共36分)
1. 设 = , ，求 .
2。 ， 为何值时，线性方程组
有唯一解、无解、有无穷解？并在有无穷解时求其通解。
四、证明题（每题12分共24分）
1.如果 是 的一个 重根,
证明： 是 的一个 重根。
2.设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，证明:
可以由 线性表出，且表示法唯一。
高代一期末考试试题及答案
高代一期末考试试题及答案一、选择题1. 设A和B都是n阶方阵，下列哪个条件可以推断出A与B一定可交换？A. AB = BAB. AB = 0C. det(A) = 0D. AB = I （单位矩阵）正确答案：A2. 设A是n阶方阵且可逆，则A^-1的列向量组是否一定线性无关？A. 是B. 否正确答案：A3. 设A是n阶对称矩阵，则A肯定满足的性质是：A. A的特征值为实数B. A的特征向量构成一组正交基C. A一定可以对角化D. A的秩等于n正确答案：A4. 设A是n阶可逆矩阵，下列哪个等式成立？A. (A^-1)^T = AB. (A^T)^-1 = AC. (A^-1)^T = (A^T)^-1D. (A^T)^-1 = (A^-1)^T正确答案：D5. 设A是n阶方阵，则A可能是可逆矩阵的充分必要条件是：A. 行列式det(A)不等于0B. 矩阵A的秩等于nC. 矩阵A有n个互不相同的特征值D. 矩阵A的伴随矩阵可逆正确答案：A二、计算题（请写出详细过程并附上最后计算结果）1. 计算矩阵相乘：A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [1 -1; 2 -2; 3 -3]解答：A *B = [1*1 + 2*2 + 3*3 1*(-1) + 2*(-2) + 3*(-3);4*1 + 5*2 + 6*3 4*(-1) + 5*(-2) + 6*(-3)]= [14 -14;32 -32]2. 计算矩阵的逆：设A = [1 2; 3 4]解答：计算A的行列式：det(A) = 1*4 - 2*3 = -2计算伴随矩阵：adj(A) = [4 -2;-3 1]计算A的逆：A^-1 = (1/det(A)) * adj(A) = (1/-2) * [4 -2;-3 1]= [-2 1;1.5 -0.5]三、证明题证明：若A是n阶对称矩阵，则A一定可以对角化。
解答：要证明A一定可以对角化，需要证明存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1) * A * P = D，其中D是一个对角矩阵。
高等代数上期末复习题
高等代数（1）复习题一、判断题1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。
（ ）2、设D 为六阶行列式，则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。
（ ）3、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。
（ ）4、排列()3211 -n n 的逆序数为n 。
（ ）5、排列()3211 -n n 为偶排列。
（ ）6、若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。
（ ）7、若22B A =，则B A =或B A -=。
（ ）8、若AC AB =，0≠A ，则C B =。
（ ）9、若矩阵A 满足A A =2，则0=A 或E A =。
（ ） 10、设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则必有A 可逆。
（ ） 11、若矩阵A 满足02=A ，则0=A 。
（ ）12、若矩阵B A ,满足0AB =，且0A ≠，则0B =。
（ ） 13、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---=B A AB 。
（ ）14、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---+=+B A B A 。
（ ）15、设A ，B 为n 阶方阵，则必有B A B A +=+。
（ ） 16、设A ，B 为n 阶方阵，则必有BA AB =。
（ ） 17、若矩阵A 与B 等价，则B A =。
（ ）18、若A 与B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵。
（ ）19、若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r 。
（ ） 20、设n m A ⨯，n m B ⨯为矩阵，则()()()B R A R B A R +≤+。
（ ） 21、设A =0，则()0=A R 。
（ ）22、线性方程组0=⨯X A n n 只有零解，则0≠A 。
（ ） 23、若b AX =有无穷多解，则0=AX 有非零解。
（ ）24、设n 级方阵C B A ,,满足ABC E =，E 为单位矩阵，则CAB E =。
高等代数2009-2010第一学期期末试卷答案
高等代数（北大版）第一学期考试卷答案一、选择题（每小题3分，共24分）1.Ｄ2.Ｃ3.Ｂ4.Ｄ5.Ａ6.Ｂ7.Ｃ8.Ａ二、填空题（每小题3分，共１８分）1．322(1)5(1)7(1)1x x x -+-+-- 2．2x + 3．1()2n n +- 4．)1,,1,1( c x = 5．d6．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3/13/1003/23/100005200211A三、计算题（本大题共３个小题，共2２分.请写出必要的推演步骤和文字说明）１．（6分）设b ax x x x x f +++-=23463)(，1)(2-=x x g ，a 与b 是什么数时，)(x f 能被)(x g 整除？解：方法一、利用辗转相除法，得余式：7)3()(++-=b x a x r ，………………………………………..4分由已知， 7,3-==b a ……………………………………………..2分方法二、由于)(x f 能被)(x g 整除，而1)(2-=x x g 的零点为1和-1，所以1和-1也应是)(x f 的零点，即04)1(=++=b a f 和 010)1(=+-=-b a f …………5分 故7,3-==b a …………………………………………………...….1分２．（8分）已知B AX X +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=350211B ，求矩阵X 。
解：由 B AX X += 得 B X A E =-)(而 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-201101011101111010100010001A E 可逆…………….2分可以求得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--11012312031)(1A E ……………………………………….. .3分 所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-11012312031)(1B A E X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--350211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110213………………3分３．（８）b a ,取什么值时,线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231有解？在有解的情形求一般解。
高等代数期末考试题库及答案解析
高等代数期末考试题库及答案解析第一部分：选择题（共10题，每题2分，总分20分）1.高等代数是一门研究什么的数学学科？a.研究高等数学b.研究代数学c.研究线性代数d.研究数论–答案：b2.什么是矩阵的秩？a.矩阵中非零行的个数b.矩阵中非零列的个数c.矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数d.矩阵的行数与列数的乘积3.给定一个方阵A，如果存在非零向量x使得Ax=0，那么矩阵A的秩为多少？a.0b.1c.方阵A的行数d.方阵A的列数–答案：a4.什么是特征值和特征向量？a.矩阵A与它的转置矩阵的乘积b.矩阵A的负特征值和负特征向量的乘积c.矩阵A与它的逆矩阵的乘积d.矩阵A与一个非零向量的乘积等于该向量的常数倍，并且这个向量成为特征向量，该常数成为特征值。
5.什么是行列式？a.矩阵A所有元素的和b.矩阵A中所有元素的乘积c.矩阵A的转置矩阵与它自身的乘积d.矩阵A的行列式是一个标量，表示矩阵A所表示的线性变换的倍数比例。
–答案：d6.什么是矩阵的逆？a.矩阵的行向量与列向量交换位置b.矩阵A的转置矩阵c.存在一个矩阵B，使得矩阵AB=BA=I（单位矩阵）d.矩阵的所有元素取倒数7.给定一个2x2矩阵A，当且仅当什么时候矩阵A可逆？a.矩阵A的行列式为0b.矩阵A的行列式不为0c.矩阵A的特征值为0d.矩阵A的特征值不为0–答案：b8.什么是矩阵的转置？a.矩阵的行与列互换b.矩阵的行与行互换c.矩阵的列与列互换d.矩阵的所有元素取相反数–答案：a9.对于矩阵A和B，满足AB=BA，则矩阵A和B是否可逆？a.可逆b.不可逆c.只有A可逆d.只有B可逆–答案：b10.什么是矩阵的秩-零空间定理？a.矩阵中非零行的个数加上零行的个数等于行数b.矩阵中非零列的个数加上零列的个数等于列数c.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于列数d.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于行数–答案：c第二部分：计算题（共4题，每题15分，总分60分）1.计算矩阵的秩： A = \[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9\]–答案：矩阵A的秩为22.计算特征值和特征向量： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的特征值为5和-1，对应的特征向量分别为\[1; 1\]和\[-2; 1\]3.计算行列式： A = \[3, 1, 4; 1, 5, 9; 2, 6, 5\]–答案：矩阵A的行列式为-364.计算逆矩阵： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的逆矩阵为\[-2, 1/2; 3/2, -1/2\]第三部分：证明题（共2题，每题25分，总分50分）1.证明：当矩阵A为可逆矩阵时，有出现在矩阵A的行列式中的每个元素，将该元素与其对应的代数余子式相乘之后的结果，再求和得到的值等于矩阵A的行列式的值。
高代一期末考试试题及答案
高代一期末考试试题及答案高等代数一期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量空间B. 线性变换C. 矩阵D. 微积分2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中线性无关行的最大数量D. 矩阵中线性无关列的最大数量3. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的行列式不为零B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩等于未知数的个数D. 所有选项都是4. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 行阶梯形矩阵D. 非方阵5. 特征值和特征向量的计算与下列哪个矩阵运算相关？A. 矩阵的加法B. 矩阵的乘法C. 矩阵的转置D. 矩阵的行列式二、填空题（每空1分，共10分）6. 一个向量空间 \( V \) 的基 \( B \) 包含 \( n \) 个线性无关向量，则 \( V \) 的维数为 _______。
7. 若 \( A \) 是 \( m \times n \) 矩阵，\( B \) 是 \( n\times p \) 矩阵，则 \( AB \) 是 _______ 矩阵。
8. 线性变换 \( T: V \rightarrow W \) 的核是所有满足 \( T(v) = 0 \) 的向量 \( v \) 的集合，记为 _______。
9. 矩阵 \( A \) 与 \( B \) 相等，当且仅当它们具有相同的_______。
10. 一个 \( n \) 阶方阵的迹是其对角线上元素的 _______。
三、简答题（每题5分，共20分）11. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个线性无关向量组的例子。
12. 描述矩阵的行列式计算的几何意义。
13. 说明如何使用高斯消元法求解线性方程组。
14. 什么是特征值分解？它在哪些领域有应用？四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明如果矩阵 \( A \) 可逆，则 \( A \) 的行列式不为零。
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
高代(一)期末试题
高等代数（一）期末试题一．填空题（每空2分，共20分）：1．在由几个不同元素组成的一个排列中，所有逆序的总数，叫做这个排列的（ ）。
2．1020003400-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（ ）。
3．设A 为三阶方阵，det 3A =-，则det (2)A A -=（ ）。
4．若矩阵A 的秩1r >，则A 的1r -阶子式的值（ ）。
5．设2是多项式43228x x ax bx -++-的二重根，则a =（ ），b =（ ）。
6．设,A B 都是n 阶可逆矩阵，矩阵00A C B⎛⎫=⎪⎝⎭的逆矩阵为（ ）。
7．如行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则111213212223313233333222a a a a a a a a a =---（ ）。
8．设,a b 是整数且（ ），那么存在一对整数q 和r ，使得b aq r =+且（ ）。
满足以上条件的整数q 和r 是唯一确定的。
二．选择题（每小题2分，共10分）：1．一个n 阶行列式，如果他的第1列上除了1111n a a ==外其余元素都为零，那么这行列式等于（ ）。
（A ）1111(1)n n M M +-- （B ）111n A A + （C ）111n M M - （D ）1111(1)n n A A ++-2．设3512A --⎛⎫=⎪⎝⎭，则A 的伴随矩阵*A =（ ）。
（A ）3512--⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）2513⎛⎫⎪--⎝⎭(C)2153-⎛⎫ ⎪-⎝⎭(D) 1235⎛⎫⎪--⎝⎭3．初等方阵（）（A ）都是可逆阵 （B ）所对应的行列式的值等于1（C ）相乘仍为初等方阵 （D ）相加仍为初等方阵 4．若集合{}|,F a bi a b R =+∈（这里R 是实数集）是数域，则,a b 应满足条件（ ）。
（A ）,a b 是整数 （B ）,a b 是有理数 （C ）a 是有理数，b 是实数 （D ）,a b 是任意数5．设A 是三阶方阵，*A 是其伴随矩阵。
(完整word版)高等代数期末模拟题(一)
专业 学号 姓名 成 绩 (分)试 题 全 文一、填空题（请将正确答案直接填在横线上.每小题2分，共20分）: 1. 排列36215784 的逆序数是 ，是 排列。
2．行列式513231412--的代数余子式31A = , 23A = 。
3。
设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，当满足__________时,A 是可逆阵，其逆阵为___ _______。
4。
分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡00BA ，其中A ，B 都是可逆方阵，则100-⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A = . 5. n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。
6．设A 是一个n 阶方阵，则A 非奇异的充分必要条件是R （A ）=__________。
7．向量)1,2,2,3()4,2,2,1(-==βα，,则α+β=____ __,2α－3β=___ _______。
8．单独一个非零向量必线性__________。
9．设AX = O 是有6个方程，5个未知数的齐次线性方程组，其系数矩阵A 的秩为2,则方程组AX = O 有____ _____组解,其基础解系含_ ________个解向量.10．若2是可逆方阵A 的特征值,则___ ___是2A 的特征值， __ ___ 是1-A 的特征值。
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内。
每小题2分，共10分）：1.设行列式121213101223,010,,31510D D D D λλλ-==-=-若则λ的取值为 ( )。
① 0， 1 ② 0, 2 ③ 1， −1 ④ 2， −12. 设A ， B 为n 阶方阵,A ≠O , 且AB = O , 则( )。
① BA = O ② ∣B ∣= 0或∣A ∣= 0 ③ B = O ④(A −B )2 = A 2 + B 23。
设有4维向量组1， …, 6，则(）。
① R (1， …,6） = 4 ② R （1 ， …， 6） = 2③ 1 ， 2 ，3 ,4必然线性无关④1 ， …, 6中至少有2个向量能由其余向量线性表示4. 当 （ ) 时， ()0a A b c=是正交阵。
高等代数(上)_电子科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
高等代数（上）_电子科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设m行n列矩阵A的行向量组线性无关, 则必有( ).答案:2.设A, B是n阶方阵, 若A的i行元全为0, B的j列元全为0, 则j行元全为0且i列元全为0的矩阵是( ).答案:3.若矩阵A经过初等列变换化成矩阵B, 则( ).答案:存在矩阵P, 使得BP = A4.设有2020个n维实向量构成的向量组, 则该向量组线性无关当且仅当其中的任意2019个向量都线性无关.答案:错误5.任一初等矩阵的逆矩阵与转置都是初等矩阵.答案:正确6.数域F上的任一不可约多项式在复数域上都没有重根.答案:正确7.设A, B为满足AB = O的任意两个非零矩阵, 则必有( ).答案:A的列向量组线性相关, B的行向量组线性相关8.设3阶方阵A与I行相抵, 如下叙述中错误的是( ).答案:A可以写成3个初等矩阵的乘积9.全体6阶迹为0的实矩阵构成的实线性空间的维数为______.答案:3510.实数域上全体3阶反称矩阵关于矩阵的加法数乘构成实数域上的向量空间,其维数为____________.答案:311.下列结论不正确的是( ).答案:12.设A为n阶可逆矩阵, 则( )答案:A总可以经过行初等变换化为I13.设A, B为n阶方阵, 如下叙述中正确的是( ).答案:若A或B不可逆, 则AB不可逆14.设A, B为n阶方阵, 且AB = O, 则必有( ).答案:15.设A, B, C均为n阶方阵, 且ABC = I, 则必有( ).答案:BCA = I16.不一定是可逆矩阵的是( ).答案:可逆矩阵的和17.如下关于方阵乘积交换性的叙述中, 错误的是( ).答案:初等矩阵与可逆矩阵可交换相乘18.设A, B都是n阶对称矩阵, 则如下可能不是对称矩阵的是( ).答案:19.设A, B, C均为n阶方阵, 若AB = BA, AC = CA, 则ABC等于( ).答案:BCA20.如果数域F上n维空间的两个子空间的维数和大于n, 那么这两个子空间有公共的非零向量.答案:正确21.设A可逆, B为与A同阶的方阵,则( )答案:22.设A, B为n阶对称矩阵且B可逆, 则下列矩阵为对称矩阵的是( )答案:23.设A, B是n阶对称矩阵, 则下面结论不正确的是( ).24.设A, B为n阶方阵, 且AB = O, 则必有( ).答案:25.数域F上任一n维均可表示为n个1维子空间的直和.答案:正确26.如下矩阵中可以写成有限多个初等矩阵乘积的是( ).答案:27.设V是全体4阶反对称实矩阵构成的实线性空间, 则其维数是( ).答案:628.全体n阶复矩阵关于矩阵的加法与实数数乘所成实线性空间的维数为( ).答案:29.设V是全体4阶上三角矩阵构成的实线性空间, 则其维数是( ).1030.设n阶方阵A与B相抵, 则如下叙述中错误的是( ).答案:A的行列式为1当且仅当B的行列式为131.在全体3阶实矩阵构成的实线性空间中, 如下子集中构成子空间的是( ).答案:_32.有限维F-空间中任意两组基之间的过渡矩阵都是可逆矩阵.答案:正确33.数域F上的任意两个n维线性空间都是同构的.答案:正确。
高代第二版上册复习题知乎
高代第二版上册复习题知乎高等代数（第二版）上册复习题解答一、群论1. 群及其基本性质（1）群的定义及其基本性质群是指一个集合G，以及在G上定义的一种二元运算，满足以下四条性质：（i）封闭律。
对于任意的a、b∈G，a*b∈G。
（ii）结合律。
对于任意的a、b、c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)。
（iii）存在单位元素。
存在一个元素e∈G，使得对于任意的a∈G，a*e=e*a=a。
（iv）存在逆元素。
对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b=b*a=e。
（2）群的例子一些典型的群包括：- 整数加法群(Z,+)- 整数乘法群(Z*,×)- 实数加法群(R,+)- 实数乘法群(R*,×)- 复数乘法群(C*,×)- 置换群S(n)（3）子群与陪集子群指的是群G的一个非空子集H，且H本身也是一个群。
陪集指的是在群G中，对于一个子群H和任意的元素a∈G，通过左陪集和右陪集的方式定义的集合。
2. 环论（1）环与域环是指一个非空集合R，以及定义在R上的两种二元运算+和×，满足以下性质：（i）封闭律。
对于任意的a、b∈R，a+b和a×b都属于R。
（ii）结合律。
对于任意的a、b、c∈R，(a+b)+c=a+(b+c)且(a×b)×c=a×(b×c)。
（iii）存在单位元素。
对于加法运算，存在元素0∈R，使得对于任意的a∈R，a+0=0+a=a；对于乘法运算，存在元素1∈R，使得对于任意的a∈R，a×1=1×a=a。
（iv）分配律。
对于任意的a、b、c∈R，a×(b+c)=a×b+a×c。
域是指一个非空集合F，以及定义在F上的两种二元运算+和×，满足以下性质：（i）加法和乘法都是可交换的。
即对于任意的a、b∈F，a+b=b+a，a×b=b×a。
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高等代数(1）复习题一、判断题1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。
（ )2、设D 为六阶行列式,则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。
( )3、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。
( ） ４、排列()3211 -n n 的逆序数为n 。
（ ） ５、排列()3211 -n n 为偶排列。
（ ）6、若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。
( ） ７、若22B A =，则B A =或B A -=。
（ ) ８、若AC AB =，0≠A ，则C B =。
( ) 9、若矩阵A 满足A A =2,则0=A 或E A =。
( ) 10、设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则必有A 可逆。
（ ) 1１、若矩阵A 满足02=A ,则0=A 。
( ）12、若矩阵B A ,满足0AB =，且0A ≠,则0B =。
( ） 1３、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---=B A AB 。
( )1４、对n 阶可逆方阵A ，B ,必有()111---+=+B A B A 。
（ ）1５、设A ,B 为n 阶方阵,则必有B A B A +=+。
( ） １6、设A ，B 为n 阶方阵,则必有BA AB =。
（ ) 17、若矩阵A 与B 等价,则B A =。
（ )1８、若A 与B 都是对称矩阵,则AB 也是对称矩阵。
（ )1９、若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r 。
（ ） ２0、设n m A ⨯,n m B ⨯为矩阵，则()()()B R A R B A R +≤+。
( ) 21、设A =0,则()0=A R 。
( )22、线性方程组0=⨯X A n n 只有零解,则0≠A 。
（ ) 2３、若b AX =有无穷多解,则0=AX 有非零解。
( )24、设n 级方阵C B A ,,满足ABC E =,E 为单位矩阵,则CAB E =。
( ）25、要使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2111ξ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=→0112ξ都是线性方程组0=AX 的解，则系数矩阵A 可为()111-。
（ ）２6、若n ，，，ααα 21线性无关，且02211=+++n n k k k ααα ,则021====n k k k 。
( ) 27、单独的一个零向量是线性相关的。
（ ）28、若两个向量组等价,则它们所包含的向量的个数相同。
（ ) ２9、一个向量组若线性无关,则它的任何部分组都线性无关。
（ )30、向量组n ，，，ααα 21(2≥n )线性相关，则其任何部分向量组也线性相关。
（ ）31、若向量组有一个部分向量组线性无关，则原来的向量组也线性无关。
( ）3２、向量组n ，，，ααα 21线性相关，则n α必由121-n ，，，ααα 线性表示。
（ )３３、若向量组n ，，，ααα 21线性相关,那么其中每个向量都是其余向量的线性组合。
( ) 3４、若向量组12,,,s ααα（2s ≥)线性相关,则存在某个向量是其余向量的线性组合。
( ）35、两个向量线性相关,则它们的分量对应成比例。
( ） ３6、任意n 个1+n 维向量必线性相关。
（ ) 3７、任意1+n 个n 维向量必线性相关。
( )３8、向量组n ，，，ααα 21的秩为零的充要条件是它们全为零向量。
（ ）39、线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。
( )４0、齐次线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。
( ）二、填空题 第一组：1、已知排列1s46t5为奇排列,则s 、t 依次为２、若排列n x x x ,...,,21的逆序数是k ,则排列11,...,,x x x n n -的逆序数是３、四阶行列式6594382507164321---中元素23a 的代数余子式为4、44322311a a a a 在四阶行列式中应带 号5、=000000000000d c b a 6、()=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--123321 7、()=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1233218、=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n101λ 9、=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k1011 １０、设()()1,2,2,1==B A ,则()=99B A T11、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=600230321A ，则()=-1*A １2、设A 为三阶方阵,3=A ,则*125A A --=13、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A ,则=-1A 1４、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，当d c b a ,,,满足 时，1-A 存在，此时=-1A 17、设n 阶方阵A 满足022=+-E A A ,则=-1A18、要使矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01112421λ的秩取得最小值，则=λ19、列向量组n ，，，ααα 21的秩与矩阵A ＝()n ，，，ααα 21的秩 20、设向量组()3211=α，()4132=α,()7653=α,()1204=α线性 关21、设()11111，，，=α,()11102，，，=α，()11003，，，=α,()10004，，，=α线性 关 22、已知()0011，，=α,()0102，，=α,()1003，，=α,()1204，，=α，用321ααα，，线性表示=4α 23、21ααβ，，线性相关,则321αααβ，，，线性 关 24、321αααβ，，，线性无关，则321ααα，，线性 关25、由m 个n 维向量组成的向量组,当ｍ ｎ时,向量组一定线性相关26、b x A n m =⨯有唯一解的充要条件是 有无穷多解的充要条件是 无解的充要条件是 27、设n 阶方阵A ，若()2-=n A R ，则0=Ax 的基础解系所含向量的个数＝ ２8、已知b Ax =有两个不同的解21,x x ,则0=Ax 有一个非零解为29、若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101a A ，且TA A =-1,则=a 30、若242(1)1x ax bx -∣++，则a = ,b = 。
第二组：1．32153320537228472184=２.123101202303102030= 3. 00001002001000nn D n -==___＿_________＿。
４. 设行列式12203369a中，余子式213A =，则a ＝_＿_____＿__。
5. 设412201112111311----=A ,则=+++44342414A A A A 。
6. 行列式941321111 的余子式232221M M M ++的值为 。
7．设矩阵A 可逆，且1A =,则A 的伴随矩阵A *的逆矩阵为 。
８.设A 、B 为n 阶方阵,则222()2A B A AB B +=++的充要条件是 。
9．一个n 级矩阵A 的行(或列)向量组线性无关，则A 的秩为 。
10. 设P 、Q 都是可逆矩阵,若PXQ B =,则X = 。
１１. 设矩阵1112312536A λμ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,且()2R A =，则()()==μλ,。
12． 设A 为n 阶矩阵,且1=A ,则 =)(A R ___＿__＿_______。
13． 2153A ⎛⎫=⎪⎝⎭,则=-1A __＿___＿_＿__＿__＿_。
１4． 已知A 01011,001k ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭其中0≠k ，则=-1A ___＿__＿_________＿。
１5． 若A 为n 级实矩阵，并且O AA T=，则A = 。
16. 设A 为5阶方阵,且3det =A ,则=-1det A，=')det(A A ， =*)det(A 。
1７.=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1*)(,121210421A A 则 _＿＿_＿_＿＿__＿_。
18. 设A 为4阶矩阵，且2=A ，则 *2AA =_＿___＿__＿___。
19. 设)(21I B A +=,则A A =2的充要条件是 。
２0. 设A 为n 阶矩阵，且r A rank =)(,则0=AX 的基础解系中有 个解向量.２１.一个齐次线性方程组中共有1n 个线性方程、2n 个未知量，其系数矩阵的秩为3n ,若它有非零解,则它的基础解系所含解的个数为 。
22.含有n 个未知量n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是 。
23. A 是n n ⨯矩阵,对任何1⨯n b 矩阵,方程b AX =都有解的充要条件是_____ __。
２4.若120s ααα+++=，则向量组12,,,s ααα必线性2５．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(3=α，则该向量组的秩是 。
26. 单个向量α线性无关的充要条件是＿_________＿＿＿。
２7. 设m ααα,,,21 为n 维向量组， 且n R m =),,,(21ααα ，则n m 。
28. 1+n 个n 维向量构成的向量组一定是线性 的。
(无关，相关) ２9.已知向量组),3,1(),3,2,2(),1,0,1(321t ===ααα线性无关,则=t _＿__＿__。
3０. 向量组},,,{21n ααα 的极大无关组的定义是＿_＿＿_____＿_。
３１. 设s t t t ,,,21 两两不同, 则向量组r i t t t r i i i i ,,2,1,),,,,1(12 ==-α线性 。
3２. 多项式可整除任意多项式。
33．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。
34.实数域上不可约多项式的类型有 种。
35.若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式,则()p x 是(1)()k f x -的 重因式。
三、选择题1.行列式41032657a --中,元素a 的代数余子式是( )。
A .4067- B ．4165 C .4067-- D .4165- ２. 设,A B n 均为阶矩阵,则下列选项中正确的为（ )。
A . det()det det AB A B +=+ B .AB BA =C . det()det()AB BA =D .222()2A B A AB B -=-+3． 设A 为3阶方阵，321,,A A A 为按列划分的三个子块,则下列行列式中与A 等值的是（ ）A .133221A A A A A A ---B .321211A A A A A A +++ C ．32121A A A A A -+ D .311132A A A A A +-４. 设A 为四阶行列式，且2-=A ,则=A A （ )A .4B .52C .52-D ．85.A 是n 阶矩阵,k 是非零常数,则kA = ( )。