对数与对数函数专题

对数与对数函数专题

1.对数的概念

如果a x＝N（a>0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 .

2.对数的性质、换底公式与运算性质

（1）对数的性质：① a logaN＝N；②log a a b＝b（a>0，且a≠1）.

（2）对数的运算法则

如果a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么

①log a（MN）＝ log a M＋log a N；②log a N M＝log a M－ log a N；③log a M n＝n log a M（n∈ R）；

n n

④ log a m M n＝m log a M（m，n∈ R，且m≠0）.

log a N

（3）换底公式： log b N＝log a b（a，b均大于零且不等于 1）.

3.对数函数及其性质

（1）概念：函数y＝log a x（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0 ，＋∞ ）.

（2）对数函数的图象与性质

4.反函数

指数函数y＝a x（a>0，且a≠1）与对数函数y＝log a x（a>0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x

对称 .

1. 换底公式的两个重要结论

1

n

n

（1）log a b ＝ ； （2）log a m b n ＝ log a b .

a log

b a a m a

其中 a >0，且 a ≠1， b >0，且 b ≠1， m ， n ∈R.

2. 在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大 .

1

3. 对数函数 y ＝ log a x （ a >0，且 a ≠1）的图象过定点 （1 ， 0） ，且过点 （a ，1）， ，－

1 ，函数图象只在第 a 、四象限 疑误辨析】

1. 判断下列结论正误 （在括号内打“√”或“×”）

2

（1）log 2x ＝ 2log 2x .（ ）

（2） 函数 y ＝log 2（ x ＋1）是对数函数 .（ ） 1＋ x

（3）

函数 y ＝ln 与 y ＝ ln （1 ＋x ） －ln （1 －x ）的定义域相同 .（ ） 1－ x

（4） 当 x >1 时，若 log a x >log b x ，则 a

教材衍化】

2. （ 必修 1P73T3改编）已知 a ＝ 2 3 ，b ＝log 231

， 4. 计算 log 29×log 34＋ 2log 510＋ log 50.25 ＝（ ）

A.0

B.2

C.4

D.6

5. （2019 ·上海静安区检测 ）已知函数 y ＝log a （ x ＋ c ）（ a ，c 为常数，其中 a >0，且 a ≠1）的图象如图，则下 列结论成立的是 （ ）

1 c ＝log 13，

A. a >b >c

B.

a >c >b

C.

c >b >a D. c >a >b

3.（ 必修 1P74A7改编 ） 函数 l og 2

（2 x －1） 的

定义域是

2

1－log 63)2＋ log 62·log 618

log 64

【规律方法】 1. 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂 的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并 .

2. 先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的 积、商、幂再运算 .

3.

ab ＝N?

b ＝ logaN(a>0 ，且 a ≠1) 是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化 . 【训练 1】 (1) 若 lg 2 ，lg(2 x ＋ 1) ，lg(2 x ＋ 5)成等差数列，则 x 的值等于 ( )

11

A.1

B.0 或

C.

D.log 23

88

5

(2)(2019 ·成都七中检测 )已知 a >b >1，若 log a b ＋log b a ＝2，a ＝b ，则 a ＝ ________ ，b ＝ ____________________________________________________________________ .

考点二 对数函数的图象及应用

【例 2】 (1)(2019 ·潍坊一模 )若函数 f (x )＝a x －a －x (a >0 且 a ≠1)在 R 上为减函数，则函数 y

＝log a (| x |

A. a >1， c >1

B. a >1， 0

C.0< a <1， c >1

D.0< a <1， 0

6.(2018 ·全国Ⅰ卷 2

) 已知函数 f ( x ) ＝log 2( x 2

＋a ). 若 f (3)

考点聚焦】

考点一 对数的运算

例 1 】 (1) 计算： lg 1

4－lg 25 ÷100－ 21

＝

(2) 计算：

（2） 当 x ∈ （1 ， 2）时，不等式 （ x － 1） 2

A.（0 ，1）

B.（1

，2）

C.（1 ，2]

D. 0， 2

规律方法】 1. 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点 点、最高点、最低点等 ) 排除不符合要求的选项

2. 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解

取值范围是 _____

考点三 对数函数的性质及应用 多维探究 角度 1 对数函数的性质

【例 3－1】 已知函数 f (x )＝ln x ＋ ln(2 －x )，则 ( ) A.f ( x )在(0 ，2)上单调递增

B.

f ( x )在(0 ， 2)上单调递减

C.y ＝f ( x )的图象关于直线 x ＝1对称

D. y ＝f ( x )的图象关于点 (1，0)对称

角度 2 比较大小或解简单的不等式 1 【例 3－2】 (1)( 一题多解)(2018 ·天津卷 )已知 a ＝log 2e ， b ＝ln 2，c ＝log 1

，则 a ，b ，

c 的大小关系为 23 ( )

A. a >b >c

B.

b >a >

c C. c >b >a D. c >a >b

2

(2) 若 log a ( a 2＋ 1)

II

A.(0 ，1)

B.

，

2 C.

2

，1

D.(0 ，1) ∪(1 ，＋∞)

( 与坐标轴的交

训练 2】 (1)(2018 ·湛江模拟 ) 已知函数 f (x )＝log a (2x

＋b －1)( a >0， a ≠1)的图象如图所示，则

C.0<

b

－1

D.0< a － 1

<1

(2)(2019 ·日照一中调研 ) 已知函数 f(x)

2x ，x<1，

log2x ， x ≥ 1， 若方程 f(x) －a ＝0 恰有一个实根，则实数a 的 b

<1