高考数学一轮复习 不等式选讲 2 证明不等式的基本方法(理)选修4-5

当且仅当a=b时等号成立. 所以(ax+by)2≤ax2+by2.
考向二 综合法证明不等式
【典例2】(2015·全国卷Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,
且a+b=c+d.证明：
(1)若ab>cd,则
(2)
a是b| a-bc|<|d c.-d|的充要条件.
abcd
【解题导引】(1)由a+b=c+d及ab>cd,可证(明a b)2
考向一 比较法证明不等式
【典例1】(1)已知a,b都是正实数,且Hale Waihona Puke Baidu+b=2,求证:
a 2 b 2 ≥1.
(a 2)1当ba,1b∈(0,+∞)时,求证:aabb≥(ab) .
ab 2
【解题导引】 (1)利用作差比较法证明,注意条件a+b=2的应用. (2)利用作商比较法证明.
【规范解答】(1) a2 b2 1 a 1 b1
③判断:判断商与1的大小关系,就是判断商大于1或小 于1或等于1; ④结论. (2)作商比较法的应用范围: 当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一 般使用作商比较法.
易错提醒:作商比较时易忽视分母的符号而得出错误的 结论.
【变式训练】已知a>0,b>0,求证： a b a b. ba
1 2
= 1 [(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)] 2
= 1 [(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]≥0.
所2 以a2+b2≥ab+a+b-1.
2.已知a,b均为正数,且a+b=1,证明:(ax+by)2≤ax2+by2. 【证明】(ax+by)2-(ax2+by2) =a(a-1)x2+b(b-1)y2+2abxy, 因为a+b=1,所以,a-1=-b,b-1=-a, 故(ax+by)2-(ax2+by2)=a(a-1)x2+b(b-1)y2+2abxy =-ab(x2+y2-2xy)=-ab(x-y)2≤0,
【证明】 a b ( a b) ba
又 (a ) >3 0( , b )3 a b (a b )a b (a b )( a b a b )2 ,
所以a b
ab0,(ab)20,
故 a b( a b)0. ba
a b a b. ba
【加固训练】 1.求证:a2+b2≥ab+a+b-1. 【证明】因为(a2+b2)-(ab+a+b-1) =a2+b2-ab-a-b+1 = (2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)
③判号:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两 边差的正负号; ④结论:肯定不等式成立的结论. (2)作差比较法的应用范围: 当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般 使用作差比较法.
2.作商比较法 (1)作商比较法证明不等式的一般步骤: ①作商:将不等式左右两边的式子作商; ②变形:将商式的分子放(缩),分母不变,或分子不变, 分母放(缩),或分子放(缩),分母缩(放),从而化简商式 为容易和1比较大小的形式;
b
适用 适用于_具__有__多__项__式__ 类型 特征的不等式的证明
主要适用于积、商、幂、 对数、根式形式的不等 式证明
证明 作差→变形→判断符 作商→变形→判断与1的
步骤 号→得出结论
大小关系→得出结论
2.综合法
一般地,从_________出发,利用_____、公理、_____、
已知条件
定义
,开方即得
( c d)2
abcd.
(2)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与
充分性来证明.
【规范解答】(1)因为 (ab)2ab2ab,
(cd)2cd2cd. 由题设a+b=c+d,ab>cd得
因此
(ab)2(cd)2.
(2)(i)若a|a-b b |<|cc -dd |，. 则(a-b)2<(c-d)2，
a2 b1 b2 a 1a 1b1
a1(b1)
a2bab2 a2 b2 abab1
因 为a+b=a2，1所b以1
.
a2 b2
1ab
因为a，b都是正实a数1，所b以11ab≤a1b1.
所以
≥0,即
a2 b2 1 a 1 b1
≥1.
(a b)2 1，
4
a2 b2
a 1 b1
(当2a) =aabbab时ab2b，(a a) aa 22bb bb21a；(ab)a2b,
当a>b>0时b ，a1,ab0,(a)a2b1； 当b>a>0时，b 2 b
所0以a1,ab0,(a)a 2b1. b2 b
ab
aabb ab 2 .
【规律方法】比较法证明不等式的方法与步骤 1.作差比较法 (1)作差比较法证明不等式的一般步骤: ①作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体作差; ②变形:将差式进行变形,化简为一个常数,或通分,因 式分解变形为若干个因式的积,或配方变形为一个或几 个平方和等;
充分条件
已知条件 一个明显成立
_______(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得
出的要事证实的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一
种执果索因的思考和证明方法.
【特别提醒】 1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问 题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.
2.用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性, 常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…” 等分析到一个明显成立的结论,再说明所要证明的数学 问题成立.
即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.
因为a+b=c+d，a,b,c,d均为正数,所以ab>cd.
由(1)得
abcd.
(ii)若
定理
性质等,经过一系列的_____、_____而得出命题成立,
推理 论证 这种证明方法叫做综合法.综合法又叫_________或由
因导果法.
顺推证法
3.分析法
证明命题时,从___________出发,逐步寻求使它成立的 要证的结论
_________,直至所需条件为_________或_____________
第二节 证明不等式的基本方法
【知识梳理】 1.比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法 和作商比较法两种.
名称
理论 依据
作差比较法
a>b⇔_a_-_b_>_0_ a<b⇔_a_-_b_<_0_ a=b⇔______
a-b=0
作商比较法
b>0, a >1⇒a>b
b<0,
b a
>1⇒a<b