求定积分的四种方法

求定积分的四种方法

定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．

一、定义法

例1 用定义法求2

30x dx ⎰的值.

分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．

解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n

． （2）近似代替：△3

2()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭

（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣

⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4

n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n

→∞++=＝4． ∴2

30x dx ⎰=4．.

评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．

二、微积分基本定理法

例2 求定积分2

21(21)x x dx ++⎰的值.

分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．

解：函数y ＝2

21x x ++的一个原函数是y ＝3

23x x x ++．

所以.2

2

1(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．

三、几何意义法

例3 求定积

分1

1dx -⎰的值.

分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的

面积，只要作出图形就可求出．

解

：1

1dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、

二象限的上半圆的面积．

因为2S π=

半圆，又在x 轴上方． 所

以1

1dx -⎰＝2

π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．

四、性质法

例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx π

π-⎰；⑵22sin 1

x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．

解：由被积函数tan x 及22sin 1

x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．

所以⑴ 4

4

tan xdx π

π-⎰＝0；

⑵22sin 1

x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．