常见递推数列的几个模型

（六）求递推数列的通项公式的过程多是：观察—调整—代换—观察—调 整—202代0/6换/5 ‥‥‥整理—出结果。
（三）几个模型：
模型1． a1b,an 1and, 显然有 anb(n1)d 模型2． a1b,an1qn a 显然有 an bqn1
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模型3. a1 b, a n 1 = qan d ，（q≠1，q≠0）
解：
（I）由已知有
an1 n 1
an n
1 2n
bn1
bn
1 2n
利用累差迭加即可求出数列 { b n } 的通项公式: bn
（II）由（I）得
n=
n k 1
an 2n
(2k
k 2 k 1
)
nΒιβλιοθήκη Baidu
2n1
n k1
(2k)
n k1
k 2k1
2
1 2n1
n N*
n
而 (2k) n(n 1) k 1
又 n k
将以上n个式子相乘，得
an
n! 2
(n 2)
2020/6/5
模型7. a1 b, a n 1 =q an f(n) （q≠0） 解: 由 a n 1 =q an f(n) 两边同除以 q n 1
得
an1 qn1
an qn
f (n) qn1
令
bn
an qn
g(n)
f (n) q n1
则 bn1bng(n)
解 : 令 an 1xq(anx)
则
x d q 1
令 bn an x
于是有
bn1
qbn,b1
b d q1
（到此，问题转化成了模型2）
特例.a1=5,an+1=2an+3,求通项公式.
例1
2020/6（/5 2006，重庆,文,14）
9
例1． （2006，重庆,文,14）
已知数列｛a n ｝中，a 1 =5，an1 2an 2 a 求｛ n ｝的通项公式。
r n 两边取对数
得 a lg n 1 = rlgan lgq 令 alg n b n
则 b n 1 = rbn lgq
（到此，问题转化成了模型3）
特例:
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例2与例3
10
a 例2．已知数列｛ a n ｝中，a 1 = 10 5 an1 100
2 n
求通项 a n
a 解: 由 n1
（到此，问题转化成了模型5）
特例: a1= 5, an+1= 2 an + 4n , 求通项公式.(请自己去完成)
2020/6/5
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例7：08全国卷文1.22
在数列｛an｝中，a1=1，an+1=2an+2n
（Ⅰ）设
bn
an 2 n1
证明：数列｛bn｝是等差数列；
（Ⅱ）求数列｛an｝的前n项和Sn。
求通项.(请自己去完成)
2020/6/5 看下叶陕西卷22
14
08陕西22 （陕西卷22）．（本小题满分14分）
例10：
已知数列｛an｝的首项
a1
3 5
a n 1
3an 2an 1
n1， 2， L
（Ⅰ）求｛an｝ 的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的 x 0
an≥11x(11x)232nx n1 ， 2， L
高考复习专题讲座
浅议求递推数列的通项公式的数学思想
2020/6/5
禄劝民族实验中学 付贵有 王自存
2
一、浅谈递推数列在高考中的地位和 对策 二、几个常见模型的通项公式的求法及例子
2020/6/5
2
一、浅谈递推数列在高考试题中的 地位与对策
2020/6/5
3
数列在高中数学课本上篇幅很小，， 然而在高考试题中的 情况却相反。
2 k 1
k 1
是一个典型的错位相减法模型
易得
n k1
k 2k1
4
n2 2n1
于是
Sn
=
n(n 1)
n2 2 n1
4
2020/6/5
评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造 新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合 不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线 教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向 作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
2020/6/5 .
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a 2 a a 例5．已知数列｛ ｝n 中， 1 = 4， an1 n n
求通项 a n 。
2 a 解。 由 an1 n n
得 a n1 2 n an
∴ an 2n1, an1 2n2，……， a 2 2 1
an1
an2
a1
将上述n – 1个式子连乘得
an
n (n1)
或是求an、Sn的极限等，不论是哪类问题，往往是通项 a n 一
旦出来，其它问题就迎刃而解了。
2020/6/5
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二、递推公式转化通项公式的几个常见模型 及例子
注意几点： （一）有关概念：我们在研究数列{an}时，如果任一项an与它的前一项
a n（1 或几项）间的关系可以用一个公式来表示，则此公式就称为数列 的递推公式。通过递推公式给出的数列，一般我们也称之为递推数列。 递推公式是给出数列的一种重要方法。
解。由 an1 2an 2
令 an1x2(anx)
与原式比较得 x2
则 an12anx
于是 a n 1 +2＝2( an 2 ），
作代换
b n = an 2 b 1 =5+2=7，
b 则 b n 1 =2 n 于是｛bn｝是等比数列
由等比数列的通项公式得
b n =7× 2n1
由所作代换得 a n =7× 2n1- 2
关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递 推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前 几项”。但实际上，从近些年各地高考试题来看，是加大了对 “递推公式”的考查。
2020/6/5
4
递推数列的题目常常是给出递推公式让你求解，或是给出 前n项和Sn与an的关系式让你求解。求解的问题或是求an，Sn
1981年、1982年、1984年、1986年、1987年、1999年、 2000年、2002年、2003年、2004年、2005年、2006年，这些 年的题中都有考递推数列的题，且常常是大题，甚至是压轴题。 2006年的36 套题中，考递推数列的大题有25 题。2007年的38 套题中有22题，2008年的38套题中有27题，09 年的文科18套 题中有9道题。理科18套题中有15道题
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整理得 an 23 3
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模型5． a1 b, a n 1 = an f (n)
解: a 由 n 1 = an f (n) 得 a n 1 a n ＝ f (n)
∴ an an1 f(n1) an1 an2 f(n2)
……………………………… a3 a2 f (2) a2 a1 f (1) 以上的 n-1 个式子叠加得
得
an1 f (n) an
∴ an f(n1),an1f(n2)
an1
an2
………… a 2 f (1) 以上的 n 1 个式子连乘得
a1
an f (1)f (2)f (3) ……f（n 1 ) a1
∴ an bf（1）f（2） …… f（n－1）
特例.a1=5,an+1= 3n an,求通项公式 或例5
∴ an an1 2（n-1）
an1an2 2（n-2）
………………………… ， ， a3a2 22
a2 a1=2×1
叠加得 an a1 n（n-1）
于是 a n = n(n1) + 3
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模型6． a1 b,a n 1 = an f (n)（ a n ≠0 )
a 解: 由
n 1 = an f (n)
答案 an2n ： 1 2 nn 1 2 n 1n21n
2020/6/5
07天津卷理21
09湖北卷理19
例9：（2009全国卷Ⅰ理20）（本小题满分12分在数列 { a n } 中，
a11,an1(11 n)ann2 n1
（I）设
bn
an n
，求数列{ a n } 的通项公式
S （II）求数列 { a n } 的前项和 S n
n2
（Ⅲ）证明：a1a2
L
an
n1
解：（Ⅰ）Q
an1
3an 2an 1
1 2 1 an1 3 3an
1 an1
1
1 3
1 an
1
1
2
又
1
an
3
1 an
1
是以
2 3
1 为首项，3 为公比的等比数列．
1 21 2 an 1 3g3n1 3n
an
3n 3n
2
（Ⅱ）略
（Ⅲ）略
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例11： （2006，江西,理,22）
100
a
2 n
a 得lg n1 2lg a n +2
令bn=lg a n
则bn+1=2bn+2
∴由例1得 bn=7×2n-1 ﹣2
∴ lgan72n12
a 10 于是 n
72n12
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例3. a1=2,an+1=2an4,求通项an . 解. 由已知易知各项均为正数,于是将
an+1=2an4 两边取以2为底的对数得
log2an+1=1+4log2an
令log2an=bn,则有bn+1=1+4bn 令bn+1+x=4(bn+x)则x=1/3
于是bn+1+1/3=4(bn+1/3)
令cn=bn+1/3则cn+1=4cn
而b1=1,c1=4/3,所以cn=(4/3)4n-1
bn=(4/3)4n-1-1/3
44n11
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模型8． a1 b,
a n1 =
pa qa n
n
t
，（
qan t ≠0，b≠0）
a 解: 将
n1 =
pa n qa n t
两边取倒数得
1 t1 q
1
an1 p an p
令 bn=
an
tq
则有
bn1 pbn p
（到此，问题转化成了模型3）
特例:
a1
2,an1
an , an 2
3 已知数列｛an｝满足： a1＝ 2
，且an＝ 2an 3－ n1＋ an－ n1－ 1 （ n2， nN）
求数列｛an｝的通项公式；
n
解：（1）将条件变为： 1－ a
n
n
＝
1（1 － 3
n －1 ） a n－1
1
1
因此｛1－a n ｝为一个等比数列，其首项为1－ a 1
＝
3
，
1
公比
3
n1
从而1－ a n
2 2
a1
n(n1)
n2n4
∴ an42 2 2 2
解法2：取对数（变模型5），用叠加法（自去练）
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例6（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， n≥2，
a n a 1 2 a 2 3 a 3 ( n 1 ) a n 1
则{an}的通项
1
bn n
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an n2n1
sn(n1)2n11
例 8 ： a 1 已 5 ,a n 5 a n 1 知 5 n 1 ,( n 2 ) 求 a n
答案 an(5 ： n4)5n
练习 a 1 1 ,： a n 1 2 a n 已 1 2 1 n ,(知 n 2 )求 a n
反思
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练习1：在数列{an} 中，若a 1 1 ,a n 1 2 a n 3 (n 1 ) 则该数列的通项an ______________
an 2n1 3
练习2：07全国卷2理21
2020/6/5
模型4． a1 b, a n 1 = qn a r,(q,anR)
a qa 解: 将 n 1 =
a,a,x,x anA1nx1B2 nx1 ，其中A，B由 a1 ,a2 决定 （即把 1 2 1 2
（二）求递推数列的通项公式的方向，是将其转化为等差数列或等比数 列的问题来解决。
（三）求递推数列的通项公式的手段，是连续代换，层层化简，最终化 为等差数列或等比数列的问题来解决。
（四）求递推数列的通项公式的数学思想是转化化归，高化低、隐化
显、生化熟、繁化简。 （五）求递推数列的通项公式的捷径，是记住常见模型、记住相应手段。
an
_
_
_
n 1 n2
解：由已知，得 a n 1 a 1 2 a 2 3 a 3 ( n 1 ) a n 1 n na
用此式减去已知式，得 当 n2 时 an1an nan
即 an1(n1)an
又 a2 a1 1
a 11 ,a a 1 21 ,a a2 33 ,a a3 44 ,,a a n n 1n
＝
3
n
据此得
an＝
n 3
• 3n n－ 1
（n1）
2020/6/5
递推公式为 an2pna1qna（其中p，q均为常数）。
解 (特征根法)：对于由递推公式 an2pna1qna a1 ,a2
给出的数列 an ， 方程 x2pxq0 叫做数列 an 的特征方程。 若 x1, x2 是特征方程的两个根， 当 x1 x2 时，数列 an 的 通项为
ana1f(1 )f(2)…… f(n1)
∴ a n a 1 f( 1 ) f(2 ) f(3 ) …… f(n1)
2020/6/5 特例.a1=3,an+1=an+2n,求通项公式.
例4
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a a a 例4．已知数列｛ a n }中， 1 =3， n1
n+2n，求通项 a n 。
a 解。 由 an1 n +2n 得 an1an 2n