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直线与方程总复习及练习
知识点：
1.倾斜角：X 轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。

001800<≤α
2. 斜率：αtan =k
1
212x x y y k --= 斜率k 与倾斜角 α之间的关系：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=⇒<<⇒⇒=>=⇒<<==⇒=0tan 18090)(tan 900tan 90000tan 0a k a k a a a k a k a 不存在不存在
3.两直线平行与垂直的判定：
①两直线平行的判定：
（1）1 ∥2 ⇔ k 1=k 2 且21b b ≠或两条直线的斜率都不存在。

（2）1 ∥2 ⇔12210A B A B -=且12210B C B C -≠
②两直线垂直的判定：
（1）1 ⊥2 ⇔ k 1·k 2=－1或一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在。

（2）1 ⊥2 ⇔12120A A B B +=
4.直线的方程：
（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。

（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。

（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。

（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b
y a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。

注意：设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；
（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；
（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.
提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

5. 点点、点线、线线的距离：
（1）点),(111y x P 到点),(222y x P 的距离221221)()(y y x x d -+-=
（2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=
的距离d =；
（3）两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=
间的距离为d =。

6．过定点的直线系：
过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为
()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数）
，其中直线2l 不在直线系中。

例1.下列命题正确的有 :
①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应;
②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大;
③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示;
④过点(1,1),且斜率为1的直线的方程为111
y x -=-; ⑤直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为零),当A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式. ⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等;
⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1.
例 2.若直线062:1=++y ax l 与直线01)1(:2
2=-+-+a y a x l ，则12l l 与相交时，a=_________;21//l l 时，a=__________; 21l l ⊥时，a=________ .
例3．求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直；(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点N(-1,3)且在x 轴的截距与它在y 轴上的截距的和为零.
例4．已知直线l 过点（1,2），且与x ，y 轴正半轴分别交于点A 、B
（1）求△AOB 面积为4时l 的方程；
（2）求l
在两轴上截距之和为+3l 的方程。

例5、已知△ABC 的两个顶点A(-10，2)，B(6，4)，
垂心是H(5，2)，求顶点C 的坐标．
例6、求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程.
巩固练习：
1、在下列四个命题中，正确的共有（ ）
（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
（2）直线的倾斜角的取值范围是[]π,0
（3）若一条直线的斜率为αtan ，则此直线的倾斜角为α
（4）若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtan
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2、若直线0=++c by ax 在第一、二、三象限，则（ ）
A ．0,0>>bc ab
B ．0,0<>bc ab
C ．0,0><bc ab
D ．0,0<<bc ab
3、已知)3,4(),2,1(N M ,直线l 过点)1,2(-P 且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的
取值范围是（ ）
A ．[]2,3-
B ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-21,31 C ．(][)+∞⋃-∞-,23, D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2131, 4、已知直线01=-+by ax 在y 轴上的截距为1-，且它的倾斜角是直线033=--y x 的倾斜角的2倍，则（ ）
A ．1,3==b a
B ．1,3-==b a
C ．1,3=-=b a
D ．1,3-=-=b a
5、若直线l 与两条直线07,1=--=y x y 分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点 坐标为)1,1(-，则l 的方程是（ ）
A ．0523=--y x
B ．0532=--y x
C ．0132=++y x
D ．0123=-+y x
6、点)3,1(-P 在直线l 上的射影为)1,1(-Q ，则直线l 的方程为
7、点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是________________
8、点A （x ，y ）满足x+y-3=0,[]21x ，∈，求x y 的最大值和最小值
9、 ①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程;
②求垂直于直线x+3y-5=0, 且与点P(-1,0)的距离是105
3的直线的方程.
10、直线l 经过点)3,4(-P 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且|AP|：|PB|=3：5，求直线l 的方程
11、已知两点A （2，3）、B （4，1），直线l ：x +2y －2=0，在直线l 上求一点P
（1）使|P A |+|PB |最小； （2）使|P A |－|PB |最大
12、求经过点()1,2A ，并且在2个坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程。