美丽的勾股树ppt课件
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美丽的勾股树课件
图形特征
勾股树的图形呈现树状结构，由 根节点不断分支出子节点，每个 节点之间通过线段连接，代表了 勾股定理中的三个边。
勾股树的历史与背景
起源和演变
勾股树起源于对勾股定理的研究，随 着数学的发展，人们通过递归的方式 将勾股定理不断展开，形成了勾股树 的概念。
重要人物
在勾股树的研究中，数学家们如毕达 哥拉斯、欧几里得等都做出了重要贡 献，他们的研究为勾股树的发展奠定 了基础。
勾股树与勾股定理的关系
01
定理的体现
勾股树直观地体现了勾股定理。在勾股树中，每个直角三角形的直角边
长度都符合$a^2 + b^2 = c^2$的关系，其中c为斜边长度定理的证明
通过勾股树的构造过程，可以形象地证明勾股定理的正确性。因为每个
直角三角形都满足$a^2 + b^2 = c^2$，所以整个勾股树也满足这一
实战操作：为了加深学生的理解，教师可以让学生亲自动手操作，通过 构造勾股树解决一些实际问题。同时，教师还可以引导学生探索勾股树
在其他领域的应用，如计算机科学、物理学等。
通过以上教学方法，学生不仅能够深入理解勾股树的概念与特性，还能 够掌握如何利用勾股树解决实际问题的方法，提高数学素养与实际应用 能力。
美丽的勾股树课件
目录
• 勾股树概述 • 勾股树的构造与特性 • 勾股树的应用举例 • 勾股树的拓展与深入研究 • 勾股树的教学与学习方法 • 总结与展望
01
CATALOGUE
勾股树概述
勾股树的定义
定义描述
勾股树是一种基于勾股定理的数 学图形，它通过递归的方式生成 ，每个节点都代表了一个勾股定 理的实例。
03
创新勾股树的表现形 式
随着计算机技术和艺术创意的不断发 展，未来可以探索更多新颖、独特的 勾股树表现形式，如动态交互式的勾 股树、基于虚拟现实技术的勾股树等 。
勾股树的图形呈现树状结构，由 根节点不断分支出子节点，每个 节点之间通过线段连接，代表了 勾股定理中的三个边。
勾股树的历史与背景
起源和演变
勾股树起源于对勾股定理的研究，随 着数学的发展，人们通过递归的方式 将勾股定理不断展开，形成了勾股树 的概念。
重要人物
在勾股树的研究中，数学家们如毕达 哥拉斯、欧几里得等都做出了重要贡 献，他们的研究为勾股树的发展奠定 了基础。
勾股树与勾股定理的关系
01
定理的体现
勾股树直观地体现了勾股定理。在勾股树中，每个直角三角形的直角边
长度都符合$a^2 + b^2 = c^2$的关系，其中c为斜边长度定理的证明
通过勾股树的构造过程，可以形象地证明勾股定理的正确性。因为每个
直角三角形都满足$a^2 + b^2 = c^2$，所以整个勾股树也满足这一
实战操作：为了加深学生的理解，教师可以让学生亲自动手操作，通过 构造勾股树解决一些实际问题。同时，教师还可以引导学生探索勾股树
在其他领域的应用，如计算机科学、物理学等。
通过以上教学方法，学生不仅能够深入理解勾股树的概念与特性，还能 够掌握如何利用勾股树解决实际问题的方法，提高数学素养与实际应用 能力。
美丽的勾股树课件
目录
• 勾股树概述 • 勾股树的构造与特性 • 勾股树的应用举例 • 勾股树的拓展与深入研究 • 勾股树的教学与学习方法 • 总结与展望
01
CATALOGUE
勾股树概述
勾股树的定义
定义描述
勾股树是一种基于勾股定理的数 学图形，它通过递归的方式生成 ，每个节点都代表了一个勾股定 理的实例。
03
创新勾股树的表现形 式
随着计算机技术和艺术创意的不断发 展，未来可以探索更多新颖、独特的 勾股树表现形式，如动态交互式的勾 股树、基于虚拟现实技术的勾股树等 。
1.1.探索勾股定理1
a
c b
a c
b
2．对这些内容你有什么体会？请与
你的同伴交流.
知识： 如果直角三角形两直角边长分别为a，b， 斜边长为 c ，那么 方法：
a b c .
2 2 2
1. 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； 2. “数、割、补、拼”法. 思想： 1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想.
五、布置作业
1．习题1.1； 2．观察下图，探究图中三角形的三 边长是否满足 a 2 b2 c 2 ?
第一章
勾股定理
1. 探索勾股定理（第1课时）
美丽的
“勾股树”
1
1
美丽的勾股树
一、情境引入
从电线杆离地面8m处， 向地面拉一条钢索， 如果这条钢索在地面 的固定点距离电线杆 底部6m，那么需要多 长的钢索？
二、探索发现勾股定理
探究活动一
直角三角形三边的平方分别是多少？ 满足怎样的关系？
探究活动二
勾 弦 股
毕达哥拉斯定理）
学以致用
从电线杆离地面8m处， 向地面拉一条钢索， 如果这条钢索在地面 的固定点距离电线杆 底部6m，那么需要多 长的钢索？
三、简单应用
例 如图所示，一棵大树在一次强
烈台风中于离地面10 m处折断倒下，树 顶落在离树根24 m处. 大树在折断之前 高多少米？
巩固练习： 求下列图形中未知正方形的面积或 未知边的长度（口答）：
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图
S A S B SC
结论 以直角三角形两直角边为边 长的小正方形的面积的和，等于以斜边 为边长的正方形的面积.
议一议
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b和斜边长 c 来表示图中正方形的面积吗？
1.1.1勾股树欣赏备份
（2）三个 ） 正方形A， 正方形 ， B，C的面 ， 的面 积之间有什 么关系？ 么关系？
A
C
B
图1-3
C A B
图1-4
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
幻灯片 7
议一议
（1）你能用 ） C 三角形的边长表 A 示正方形的面积 吗？ C B (2）你能发 ） A 现直角三角形三 图1-3 边长度之间存在 B 什么关系吗？ 什么关系吗？与 图1-4 同伴进行交流。 同伴进行交流。 厘米、 厘米为直角边作出 （3）分别以 厘米、12厘米为直角边作出 ）分别以5厘米 一个直角三角形，并测量斜边的长度。（ 。（2） 一个直角三角形，并测量斜边的长度。（ ） 中的规律对这个三角形仍然成立吗？ 中的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理（gou勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、 如果直角三角形两直角边分别为 、b, 斜边为c， 斜边为 ，那么 c 2 2 2 a
a +b = c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。 于斜边的平方。 在西方又称毕达 哥拉斯定理耶！ 哥拉斯定理耶！
图1-4
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
幻灯片 7
议一议
（1）你能用三 ） 角形的边长表示 正方形的面积吗？ 正方形的面积吗？
（2）你能发现 ）
A
C
直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？ 么关系吗？与同 伴进行交流。 伴进行交流。
B
图1-3
C A B
图1-4
C A B C 图1-1 A B 图1-2
八年级数学下册课件-18.1 勾股定理2-沪科版
c
a
Ab
(ca bb)2
a
2
a
c
c2
bb2
4 1 2
c2
b
ab
BaC
a
a
b
(b
a)2Leabharlann c 41ab
a c2
c
2
b2 2ab a2 2cab bc2
c
a2 b2 c2
b
a
1876年4月1日，伽菲尔 德在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股 定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任 美国第20任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一 证法称为“总统证法”。
(4)正方形R的面积是 18 个单位面积．
B
R
P
C
A
Q
图1
你的这之是正三间怎方个存样形正在得R方什的到形么面以面关积A积系B的？为？边
S3= 9 补 割
S2= 16
S1= 25
F
DB
S1
I
S3 3 5c
E
C4 A
S2
H
G
S3+S2=S1
（图中每个小方格代表一个单位面积）
32+42=52
二 讲授新知
三 小试牛刀
1、判断：
(1)若a、b、c是三角形的三边，则a2+b2=c2。 ×
(2)若a、b是直角三角形的两条直角边，c为斜边，
则a2=c2 -b2 。
√
(3)若a、b、c是直角三角形的三边，则a2+b2=c2
×
2、填空：
在直角三角形ABC中， ∠C=90°，AB=c,BC=a,AC=b。
2024版美丽的勾股树课件
数学内涵
勾股树不仅具有外在的美感，还蕴含着丰 富的数学内涵。通过勾股树，可以深入理 解勾股定理、无理数、分数等数学概念。
13
美丽勾股树应用领域
数学教育
美丽勾股树可以作为数学教育的辅 助工具，帮助学生更直观地理解抽 象的数学概念，提高数学学习的兴 趣和效果。
艺术创作
艺术家们可以从美丽勾股树中汲取 灵感，创作出具有数学美感的艺术 作品，展现数学与艺术的交融之美。
的重要作用。
22
06
总结与回顾
2024/1/29
23
关键知识点总结
2024/1/29
勾股定理的定义与证明
01
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是数学中的
重要定理之一。
勾股树的构造方法
02
通过不断在直角三角形上构造新的直角三角形，可以生成一棵
美丽的勾股树。
勾股树在数学中的应用
03
勾股树不仅具有美学价值，而且在数学中有广泛应用，如用于
25
下一步学习计划
2024/1/29
拓展勾股树的应用领域
进一步探索勾股树在数学中的应用，如研究其在三角函数、解析 几何等领域的作用。
学习相关数学知识
为了更好地理解和应用勾股树，我需要学习更多相关的数学知识， 如三角函数、数列与极限等。
提高解题能力
通过大量练习和参加数学竞赛等方式，提高自己的解题能力和数学 素养。
20
数学中简洁美体现
勾股定理的简洁性
勾股定理是数学中最著名的定理 之一，它用简单的语言和符号表 达了直角三角形三边之间的关系， 这种简洁性使得勾股定理易于理
解和应用。
数学符号的简洁性
数学符号的使用大大简化了数学 表达和计算的过程，如加减乘除、 等号、不等号等符号，它们以简 洁的形式传递着复杂的数学信息。
勾股树不仅具有外在的美感，还蕴含着丰 富的数学内涵。通过勾股树，可以深入理 解勾股定理、无理数、分数等数学概念。
13
美丽勾股树应用领域
数学教育
美丽勾股树可以作为数学教育的辅 助工具，帮助学生更直观地理解抽 象的数学概念，提高数学学习的兴 趣和效果。
艺术创作
艺术家们可以从美丽勾股树中汲取 灵感，创作出具有数学美感的艺术 作品，展现数学与艺术的交融之美。
的重要作用。
22
06
总结与回顾
2024/1/29
23
关键知识点总结
2024/1/29
勾股定理的定义与证明
01
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是数学中的
重要定理之一。
勾股树的构造方法
02
通过不断在直角三角形上构造新的直角三角形，可以生成一棵
美丽的勾股树。
勾股树在数学中的应用
03
勾股树不仅具有美学价值，而且在数学中有广泛应用，如用于
25
下一步学习计划
2024/1/29
拓展勾股树的应用领域
进一步探索勾股树在数学中的应用，如研究其在三角函数、解析 几何等领域的作用。
学习相关数学知识
为了更好地理解和应用勾股树，我需要学习更多相关的数学知识， 如三角函数、数列与极限等。
提高解题能力
通过大量练习和参加数学竞赛等方式，提高自己的解题能力和数学 素养。
20
数学中简洁美体现
勾股定理的简洁性
勾股定理是数学中最著名的定理 之一，它用简单的语言和符号表 达了直角三角形三边之间的关系， 这种简洁性使得勾股定理易于理
解和应用。
数学符号的简洁性
数学符号的使用大大简化了数学 表达和计算的过程，如加减乘除、 等号、不等号等符号，它们以简 洁的形式传递着复杂的数学信息。
美丽奇妙的勾股树
传播。
THANKS
感谢您的观看
图形渲染与可视化效果 为了实现勾股树的高质量可视化效果，需要研究高效的图 形渲染技术和可视化算法。
跨平台应用与兼容性 为了满足不同用户的需求，需要开发跨平台的应用程序， 并确保在各种设备和操作系统上的兼容性。
推广应用前景展望
教育领域
将勾股树作为数学、艺术、计算 机科学等多个学科的教学工具， 帮助学生更好地理解相关概念和
当达到预设的递归深度或满足特定条件时，递归过程终止。
无限分支结构特性分析
分支生长规律
01
勾股树的分支按照特定规律生长，形成无限分支结构。
分支长度与角度关系
02
不同分支的长度和角度之间存在一定的关系，可通过数学模型
进行描述。
无限性与有限性辩证统一
03
虽然勾股树具有无限分支结构，但在实际绘制和计算中需要考
计算机科学与可视化技术
利用计算机科学和可视化技术，模拟和呈现勾股树的生长过程，为 科学研究和教育提供直观、生动的工具。
生物学与生态学的启示
借鉴勾股树的分形结构和生长规律，研究生物学和生态学中的相关 问题，如生物形态、生态系统稳定性等。
技术实现难题及解决方案
数据处理与计算能力 勾股树的复杂结构需要强大的数据处理和计算能力支持， 可通过优化算法、提高计算效率等方式解决。
数学教育
勾股树作为数学美的体现， 可以用于数学教育中，帮 助学生更直观地理解勾股 定理。
艺术设计
艺术家可以利用勾股树的 形态美感进行创作，设计 出独特的艺术品或装饰品。
计算机图形学
在计算机图形学中，勾股 树可以作为一种基本的图 形元素，用于构建更复杂 的图形或场景。
03
美学价值：对称与
THANKS
感谢您的观看
图形渲染与可视化效果 为了实现勾股树的高质量可视化效果，需要研究高效的图 形渲染技术和可视化算法。
跨平台应用与兼容性 为了满足不同用户的需求，需要开发跨平台的应用程序， 并确保在各种设备和操作系统上的兼容性。
推广应用前景展望
教育领域
将勾股树作为数学、艺术、计算 机科学等多个学科的教学工具， 帮助学生更好地理解相关概念和
当达到预设的递归深度或满足特定条件时，递归过程终止。
无限分支结构特性分析
分支生长规律
01
勾股树的分支按照特定规律生长，形成无限分支结构。
分支长度与角度关系
02
不同分支的长度和角度之间存在一定的关系，可通过数学模型
进行描述。
无限性与有限性辩证统一
03
虽然勾股树具有无限分支结构，但在实际绘制和计算中需要考
计算机科学与可视化技术
利用计算机科学和可视化技术，模拟和呈现勾股树的生长过程，为 科学研究和教育提供直观、生动的工具。
生物学与生态学的启示
借鉴勾股树的分形结构和生长规律，研究生物学和生态学中的相关 问题，如生物形态、生态系统稳定性等。
技术实现难题及解决方案
数据处理与计算能力 勾股树的复杂结构需要强大的数据处理和计算能力支持， 可通过优化算法、提高计算效率等方式解决。
数学教育
勾股树作为数学美的体现， 可以用于数学教育中，帮 助学生更直观地理解勾股 定理。
艺术设计
艺术家可以利用勾股树的 形态美感进行创作，设计 出独特的艺术品或装饰品。
计算机图形学
在计算机图形学中，勾股 树可以作为一种基本的图 形元素，用于构建更复杂 的图形或场景。
03
美学价值：对称与
人教版数学八年级下册17.1勾股定理课件(36张PPT) (1)
图1
9
9 18
8
B 图1
C A
图2
A，B，C 面积关
系
44
SA+SB=SC
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
直角三 角形三 边关系
两直角边的平方和 等于斜边的平方
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
探究二：在一般 的直角三角形中， SA+SB=SC 还成立吗？
A
B C
A
B C
用了“补”的方法
用了“割”的方法
如图，小方格的边长为1.
(1)你能求出正方形C的面积吗？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A
SA+SB=SC
a
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
SA+SB=SC
a
bc
a2+b2=c2
猜想两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
我们也来观察右图的地面， 你能发现A、B、C面积之间 有什么数量关系吗？
AB C
SA+SB=SC
每块砖都是等腰直角三角形哦
二、探究新知
探究一：你能发现图1中正方形A、B、C的面积之间有 什么数量关系吗？
C A
B 图1
（图中每个小方格是1个单位面积）
（1）观察图1-1
正方形A中含有 9 个
C
小方格，即A的面积是
A
9 个单位面积。
正方形B的面积是
B
C
9 个单位面积。
图1-1
A
正方形C的面积是
勾股定理ppt---PowerPoint-演示文稿市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
13m 8m
12m
校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m， 另一棵树高8m,一只小鸟从一棵树旳顶端飞 到另一棵树旳顶端，小鸟至少要飞多少m?
A
E 13m
B
D
8m C 12m
一架长25m旳梯子斜靠在一 竖直旳墙上，这时梯
子旳底端距墙7m。当梯子旳顶端A沿墙壁下?
C
B
CB
4
D
A
A
D
一辆装满货品旳卡车，其外形高2.5m，宽 1.6m，要进厂门形状如图旳某工厂，问这辆 卡车能否经过该工厂旳厂门？
一辆装满货品旳卡车，其外形高2.5m，宽 1.6m，要进厂门形状如图旳某工厂，问这辆 卡车能否经过该工厂旳厂门？
E C
AA
.
O
BB
2.3m
F 2m H
勾股定理 旳应用
一棵大树，经过暴风雨旳洗礼后，距底部4m 处折断，树尖落在距树底部3m处，求树高？
一棵大树，经过暴风雨旳洗礼后，距底部4m 处折断，树尖落在距树底部3m处，求树高？
一棵大树，经过暴风雨旳洗礼后，距底部4m 处折断，树尖落在距树底部3m处，求树高？
4m 3m
校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m， 另一棵树高8m,一只小鸟从一棵树旳顶端飞 到另一棵树旳顶端，小鸟至少要飞多少m?
阐明你旳理由？
A
C
D
B
一架长25m旳梯子斜靠在一 竖直旳墙上，这时梯
子旳底端距墙7m。当梯子旳顶端A沿墙壁下滑
4m至C处时，梯子旳底端B是否也向外滑动4m?
阐明你旳理由？
A
4m
C
D
B
4m
7m
一圆柱旳底面周长为20cm，高A B为4cm，B C 是上底面旳直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆 柱旳侧面爬行到C，试求出爬行旳最段旅程。
12m
校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m， 另一棵树高8m,一只小鸟从一棵树旳顶端飞 到另一棵树旳顶端，小鸟至少要飞多少m?
A
E 13m
B
D
8m C 12m
一架长25m旳梯子斜靠在一 竖直旳墙上，这时梯
子旳底端距墙7m。当梯子旳顶端A沿墙壁下?
C
B
CB
4
D
A
A
D
一辆装满货品旳卡车，其外形高2.5m，宽 1.6m，要进厂门形状如图旳某工厂，问这辆 卡车能否经过该工厂旳厂门？
一辆装满货品旳卡车，其外形高2.5m，宽 1.6m，要进厂门形状如图旳某工厂，问这辆 卡车能否经过该工厂旳厂门？
E C
AA
.
O
BB
2.3m
F 2m H
勾股定理 旳应用
一棵大树，经过暴风雨旳洗礼后，距底部4m 处折断，树尖落在距树底部3m处，求树高？
一棵大树，经过暴风雨旳洗礼后，距底部4m 处折断，树尖落在距树底部3m处，求树高？
一棵大树，经过暴风雨旳洗礼后，距底部4m 处折断，树尖落在距树底部3m处，求树高？
4m 3m
校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m， 另一棵树高8m,一只小鸟从一棵树旳顶端飞 到另一棵树旳顶端，小鸟至少要飞多少m?
阐明你旳理由？
A
C
D
B
一架长25m旳梯子斜靠在一 竖直旳墙上，这时梯
子旳底端距墙7m。当梯子旳顶端A沿墙壁下滑
4m至C处时，梯子旳底端B是否也向外滑动4m?
阐明你旳理由？
A
4m
C
D
B
4m
7m
一圆柱旳底面周长为20cm，高A B为4cm，B C 是上底面旳直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆 柱旳侧面爬行到C，试求出爬行旳最段旅程。
美丽的勾股树
勾股树的每个节点都代表一个直角三 角形，节点之间的连线表示两个三角 形之间的勾股关系。
勾股树构造方法
选择一个基础直角三角形，其直角边 为a和b，斜边为c，满足勾股定理a² + b² = c²。
对于新构造的三个直角三角形，分别 以它们的三边为边长，继续向外构造 更多的直角三角形，如此迭代下去， 形成树状结构。
在现实生活中，勾股定理被广泛应用于工程、建筑、物理、计算机图形学等领域。
掌握勾股定理不仅有助于提高数学素养，还有助于培养逻辑思维能力和解决问题的 能力。
02 勾股树基本概念
勾股树定义
勾股树是一种由勾股定理推导出的图 形结构，它以一个直角三角形为基础 ，通过不断迭代构造出的一系列相互 关联的直角三角形组成的树状图形。
06 总结与展望
研究成果总结
通过对勾股树生长规律的研究 ，揭示了其独特的数学性质和 美学价值。
发现了勾股树在图形艺术、建 筑设计等领域的应用潜力。
提出了基于勾股树的数学模型 和算法，为相关领域的研究和 应用提供了有力支持。
未来研究方向展望
01
02
03
04
深入研究勾股树的数学性质， 探索其在数学领域的新应用。
几何不等式的证明
勾股树在证明某些几何不等式时非常有用，例如三角形中 的中线定理、垂线定理等。通过构造勾股树图形并应用相 关定理，可以推导出不等式的结论。
数论中的应用
01
勾股数的性质研究
勾股树可用于研究勾股数的性质，例如勾股数的存在性、唯一性、奇偶
性等。通过构造勾股树图形并应用数论知识，可以推导出勾股数的相关
04 勾股树在数学领域应用
代数证明中的应用
勾股定理的代数证明
01
勾股树可用于证明勾股定理，通过代数运算和等式变换，可以
勾股树构造方法
选择一个基础直角三角形，其直角边 为a和b，斜边为c，满足勾股定理a² + b² = c²。
对于新构造的三个直角三角形，分别 以它们的三边为边长，继续向外构造 更多的直角三角形，如此迭代下去， 形成树状结构。
在现实生活中，勾股定理被广泛应用于工程、建筑、物理、计算机图形学等领域。
掌握勾股定理不仅有助于提高数学素养，还有助于培养逻辑思维能力和解决问题的 能力。
02 勾股树基本概念
勾股树定义
勾股树是一种由勾股定理推导出的图 形结构，它以一个直角三角形为基础 ，通过不断迭代构造出的一系列相互 关联的直角三角形组成的树状图形。
06 总结与展望
研究成果总结
通过对勾股树生长规律的研究 ，揭示了其独特的数学性质和 美学价值。
发现了勾股树在图形艺术、建 筑设计等领域的应用潜力。
提出了基于勾股树的数学模型 和算法，为相关领域的研究和 应用提供了有力支持。
未来研究方向展望
01
02
03
04
深入研究勾股树的数学性质， 探索其在数学领域的新应用。
几何不等式的证明
勾股树在证明某些几何不等式时非常有用，例如三角形中 的中线定理、垂线定理等。通过构造勾股树图形并应用相 关定理，可以推导出不等式的结论。
数论中的应用
01
勾股数的性质研究
勾股树可用于研究勾股数的性质，例如勾股数的存在性、唯一性、奇偶
性等。通过构造勾股树图形并应用数论知识，可以推导出勾股数的相关
04 勾股树在数学领域应用
代数证明中的应用
勾股定理的代数证明
01
勾股树可用于证明勾股定理，通过代数运算和等式变换，可以
初中数学华东师大版八年级上册《勾股树》优质课公开课课件获奖课件比赛观摩课件
初中数学华东师大版八年级上册 《勾股树》 优质课公开课课件获奖课件比赛观摩课件
类型：省级获奖课件
我国是最早了解勾股定理的国家之一。 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出， 将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三， 股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股 四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数 学著作《周髀算经》中。这一发现至少早于 古希腊人500多年，作为一名中国人，我们 应为我国古人的博学和多思感到自豪！
思考：如何求正方形Ｒ的面积？
“割”的方法：
A
P R
S正方形R
4 S直角三角形
1 4 3 3 2
C
Q
B
图1-1
（图中每个小方格代表1平方厘米）
＝18（平方厘米）
方形Ｒ的面积的求法１：
“补”的方法:
A
P R
S正方形R
C
Q
B
S
＝ 大正方形
S
－4 S 直角三角形
1 3 3 2
图1-1
请说出下列直角三角形中三边之间的关系。
a
b
(1)
p
c q
(2)
r
m n f
(3)
k
x z
(4)
y
s
d (5)
（ 3， 4， 5 ） （6，8，10） 在Rt△ABC中, ∠B= 90°， AB=c, BC=a,AC=b, 是勾股数哦！ (1)已知a=3, b=5, 求c； (2)已知a=6, c=8, 求b。 A 解：在Rt△ABC中，由勾股定理 我们把能够成为直 2 2=b2 得a +c角三角形三条边长 (1) 32+c2=52的正整数，成为勾 ∴c2=25-9=16 股数。你还能发现 c b ∴c=4, c=-4 （舍去） 其它勾股数吗？ (2) 62+82=b2 ∴b2=36+64=100
类型：省级获奖课件
我国是最早了解勾股定理的国家之一。 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出， 将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三， 股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股 四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数 学著作《周髀算经》中。这一发现至少早于 古希腊人500多年，作为一名中国人，我们 应为我国古人的博学和多思感到自豪！
思考：如何求正方形Ｒ的面积？
“割”的方法：
A
P R
S正方形R
4 S直角三角形
1 4 3 3 2
C
Q
B
图1-1
（图中每个小方格代表1平方厘米）
＝18（平方厘米）
方形Ｒ的面积的求法１：
“补”的方法:
A
P R
S正方形R
C
Q
B
S
＝ 大正方形
S
－4 S 直角三角形
1 3 3 2
图1-1
请说出下列直角三角形中三边之间的关系。
a
b
(1)
p
c q
(2)
r
m n f
(3)
k
x z
(4)
y
s
d (5)
（ 3， 4， 5 ） （6，8，10） 在Rt△ABC中, ∠B= 90°， AB=c, BC=a,AC=b, 是勾股数哦！ (1)已知a=3, b=5, 求c； (2)已知a=6, c=8, 求b。 A 解：在Rt△ABC中，由勾股定理 我们把能够成为直 2 2=b2 得a +c角三角形三条边长 (1) 32+c2=52的正整数，成为勾 ∴c2=25-9=16 股数。你还能发现 c b ∴c=4, c=-4 （舍去） 其它勾股数吗？ (2) 62+82=b2 ∴b2=36+64=100
2024年度美丽的勾股树公开课课件获奖课件
数学之美体现
介绍勾股定理的历史和背景， 让学生感受数学文化的深厚底 蕴。
2024/3/24
通过讲解勾股定理的证明过程 ，展示数学思维的严谨性和逻 辑性。
引导学生探究勾股定理在几何 、代数等领域的应用，感受数 学的实际价值。
13
艺术与数学结合
介绍艺术与数学的内在联系，让 学生理解艺术创作中的数学元素
2024/3/24
22
2024/3/24
06
总结与展望
CHAPTER
23
本次课程总结
2024/3/24
勾股定理的深入解析
通过本次课程，学生们深入理解了勾股定理的原理和应用，掌握 了多种证明方法，并能够通过实例进行验证。
勾股树的构造与性质
学生们学会了如何构造勾股树，了解了其基本性质和特点，能够运 用所学知识解决相关问题。
9
勾股树性质探讨
01
02
03
04
性质一
勾股树的每个节点都是一个直 角三角形，且满足勾股定理。
性质二
勾股树的任意两个相邻节点之 间的边长满足勾股数组的关系
。
性质三
随着迭代次数的增加，勾股树 的规模不断扩大，但始终保持
相似的形状和结构。
性质四
勾股树具有自相似性，即局部 与整体在形状、结构、比例等
方面具有相似性。
2024/3/24
欧几里得证明法
利用平行线和相似三角形 性质进行证明。
总统证明法
通过构造一个特殊的梯形 ，利用面积关系进行证明 。
16
创新证明方法介绍
向量证明法
运用向量点积和模长关系，简洁 明了地证明勾股定理。
2024/3/24
代数证明法
通过代数运算和等式变换，直接推 导出勾股定理的表达式。
美丽的勾股树ppt课件
几何问题。
勾股树在代数运算中应用
勾股定理的代数证明
01
利用勾股树可以简洁明了地证明勾股定理，加深对定理的理解
和掌握。
代数运算的简化
02
在解决一些复杂的代数问题时，可以利用勾股树将问题转化为
简单的代数运算，提高解题效率。
方程组的解法
03
对于一些难以直接求解的方程组，可以利用勾股树将其转化为
易于求解的形式，从而得到方程组的解。
勾股树的概念与构造
了解勾股树的定义、构造方法及数学原理， 如勾股树的生成规则、图形表示等。
勾股数的性质与判定
掌握勾股数的定义、性质及判定方法，如勾 股数组、勾股数公式等。
勾股树的应用与拓展
探讨勾股树在数学、物理等领域的应用，以 及与其他数学概念的关联。
学习方法建议
1 2
理论与实践相结合
通过具体实例和实验操作，加深对勾股树相关概 念的理解。
将所有生成的勾股数组用直线连接起 来，形成一个树状图形结构，即为勾 股树。
勾股树性质与特点
01
02
03
04
勾股树的每个节点都代表一个 勾股数组，满足 a² + b² = c²
的关系。
勾股树的节点按照特定的规律 排列，呈现出一种对称的美感
。
勾股树的深度可以根据需要进 行调整，生成不同复杂度的图
形结构。
自主学习与合作学习相结合
鼓励独立思考和自主探究，同时与同学、老师交 流讨论，共同提高。
3
多角度思考与总结
从不同角度审视勾股树相关知识，形成全面、深 入的理解。
对未来学习展望
深入研究勾股树的数学性质
进一步探索勾股树在数学领域中的奥秘，如更复杂的构造方法、 与其他数学概念的更深层次联系等。
勾股树在代数运算中应用
勾股定理的代数证明
01
利用勾股树可以简洁明了地证明勾股定理，加深对定理的理解
和掌握。
代数运算的简化
02
在解决一些复杂的代数问题时，可以利用勾股树将问题转化为
简单的代数运算，提高解题效率。
方程组的解法
03
对于一些难以直接求解的方程组，可以利用勾股树将其转化为
易于求解的形式，从而得到方程组的解。
勾股树的概念与构造
了解勾股树的定义、构造方法及数学原理， 如勾股树的生成规则、图形表示等。
勾股数的性质与判定
掌握勾股数的定义、性质及判定方法，如勾 股数组、勾股数公式等。
勾股树的应用与拓展
探讨勾股树在数学、物理等领域的应用，以 及与其他数学概念的关联。
学习方法建议
1 2
理论与实践相结合
通过具体实例和实验操作，加深对勾股树相关概 念的理解。
将所有生成的勾股数组用直线连接起 来，形成一个树状图形结构，即为勾 股树。
勾股树性质与特点
01
02
03
04
勾股树的每个节点都代表一个 勾股数组，满足 a² + b² = c²
的关系。
勾股树的节点按照特定的规律 排列，呈现出一种对称的美感
。
勾股树的深度可以根据需要进 行调整，生成不同复杂度的图
形结构。
自主学习与合作学习相结合
鼓励独立思考和自主探究，同时与同学、老师交 流讨论，共同提高。
3
多角度思考与总结
从不同角度审视勾股树相关知识，形成全面、深 入的理解。
对未来学习展望
深入研究勾股树的数学性质
进一步探索勾股树在数学领域中的奥秘，如更复杂的构造方法、 与其他数学概念的更深层次联系等。
【全版】探索勾股定理获奖课件推荐PPT
这里水深多少?
A
x2+22=(x+1)2
1
在西方又称毕达 哥拉斯定理！
弦 勾
股
辉煌发现
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们 把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下 半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称 为勾股定理.
弦 勾
勾股
股
数学史话
商高
《周髀算经》
勾股树1 勾股树2
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正形？ =16900（mm2)
a2+2ab+b2 = 2ab +c2
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？ 完成课本习题１、2、3（必做）
即 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 要养成用数学的思维去解读世界的习惯。 假如我们一旦和外星人见面，该使用什么语言呢？使用“符号语言”与外星人联系是最经济和最有效的，外星人也最可能使用这种语
动手量:如果一个直角三角形的两直角边的长分别 是3cm和4cm,则它的斜边长是多少? （5cm）
动手算: 3、4、5各自的平方有什么关系? 324252
动脑猜：任意直角三角形两直角边的平方和都等于 斜边的平方吗?
在准备好的方格纸上，分别画三个顶点 都在格点上且两直角边分别为6和8,5和12,9 和12的直角三角形,并测量出这三个直角三角 形的斜边长,然后验证你的猜想！
A
C
图2（1）
图2（2）
2.图2（1）是用大小相同的两种颜色的正方形瓷
砖铺成的地面。
（1）图2（1）中用白色框标出的三个正方形，他
们的面积之间具有怎样的等量关系？
美丽的勾股树 ppt课件
S ABC
168 2
24
美丽的勾股树
美丽的勾股树
在大自然里，我们见过许许多多千姿百 态的植物，下面就让我们一起去欣赏一下数
勾股树 学王国里的树-------------
请大家注意 观察这颗勾 股树是由哪 些基本元素 构成的？
这颗勾股树的 基本构成元素 又是什么呢？
❖ 下面让我们用flash动画和几何画板 来演示一下美丽的勾股树，欣赏不同形 态的勾股树，体验勾股树惊人的生长速 度吧！
E
和是多少？
81cm² M
D
C F
2. 如图，分别以直角三角形ABC的三边为边向
外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、
正方形边长的一半为半径作圆，试探索三个圆的面积
之间的关系。
解： s 1
AB 2
2
1 4
AB
2
B
s 2
AC 2
2
1 4
AC
2
S1
S3
A
S2 C
s 3
关系。 请加以说明。
分析： S 1 S 2 S 3 设这三个正三角形中
AB 、 AC 、 BC 边上
的高分别为ｈ 1、ｈ 2、ｈ 3则可以求出：
C
S2
S3
ｈ1
3 2
AB
、
h2
3 2
AC
、
h3
3 2
BC
A
S１
1 2
AB
ｈ 1
3 4
AB
2
S1
B
S2
1 2
AC
ｈ 2
3 4
AC
2
S3
1 2
AB
美丽的勾股树
美丽的勾股树
数学是一门富有魅力的学科。
它蕴含着其他任何学科都不能相比的美妙和奇趣。
可是很多学生都感受不到它的美。
在网上看到了一棵棵美丽的勾股树，让我为之感叹，我要把它的美丽传达给我的学生。
图1是一颗美丽的大树，叫做勾股树，可是它和勾股有什么关系呢,
仔细看看就明白了，奥妙就在树干和树枝上，从树干的最下端可以清清楚楚的看到一幅勾股定理的图形:一个直角三角形，以及分别以它的每一边为边向外所做的正方形(图2)，勾股定理说，斜边上的正方形的面积，等于两个直角边上正方形面积之和。
顺着树干和树枝往前看，从一幅勾股定理图中两个小正方形的顶部各自长出一幅新的勾股定理图(图3)，这两位是第二代，它们的形状都与第一代勾股定理图完全相同，拷贝不走样，只是尺码变小了。
从每一个图中两个较小的正方形出发，又可以分别作出一个第三代的勾股定理图(图4)，就这样一生二、二生四、四生八，继续繁殖下去，就长成了图1那样的大树，整棵大树完全是由勾股定理图形组成的，把它叫做勾股树，名副其实，非常恰当
通过改变第一代勾股定理图中直角三角形三边的比例，或者在繁殖过程中适当改变两条直角边的方向，可以得到不同图形的勾股树，就是另外一幅美丽的勾股树形图。
如果自己动手，画一幅勾股树，填上五彩缤纷的颜色，用来装饰教室里的墙报，或是美化自己的房间，会显得别具一格，自己看了心旷神怡，朋友看了会击掌称奇。
几何画板课件-如何绘制勾股树
几何画板课件：如何绘制勾股树美丽奇妙的勾股树，又称毕达哥拉斯树，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名。
下面将讲解利用几何画板绘制勾股树的制作方法。
几何画板制作勾股树的具体的步骤如下：1、用旋转的方法画正方形ABCD（1）绘制出线段AB。
（2）双击点A，把点A标记为旋转中心。
选中点B，选择“变换”—“旋转”命令，将点B旋转90度，得到点D。
（3）双击点D，把点D标记为旋转中心。
选中点A，选择“变换”—“旋转”命令，将点A旋转－90度，得到点C。
（4）绘制出线段AD、DC、BC。
在几何画板中用旋转的方法画正方形ABCD示例2、构造DC的中点E，并以点E为圆心，EC为半径构造圆（1）选中线段DC，选择“构造”—“中点”命令，绘制出DC的中点E。
（2）依次选中点E和点C，选择“构造”—“以圆心和圆周上点绘圆”命令。
构造DC的中点E并构造圆E3、构造圆弧CD，并在弧CD上取点F（1）选中点C、D和圆E，选择“构造”—“圆上的弧”命令。
（2）保持弧的选中状态，选择“构造”—“弧上的点”命令，任意绘制出点F。
构造圆弧CD，并在弧CD上取点F4、构建勾股树动画按钮（1）选择点F，单击“编辑”—“操作类按钮”—“动画”，打开“操作类按钮动画点的属性”对话框，选择“动画”选项卡，将“方向”设为“双向”；“速度”设为“慢速”。
（2）再选择“标签”选项卡，在标签栏输入“勾股数动画按钮”，单击“确定”。
（3）把按钮的位置调整，如下图所示。
构建勾股树动画按钮并调整到相应位置5、隐藏部分对象隐藏圆E、圆弧CD、点E，如下图所示。
隐藏圆E、圆弧CD、点E6、度量出FD的长度，构造出正方形的内部（1）选择动点F和定点D，单击“度量”——“距离”，测出距离FD；（2）选择点A、B、C、D，单击“构造”—“四边形内部”。
度量出FD的长度并构造出正方形的内部7、设置默认颜色参数选择FD=1.51厘米、正方形内部，单击“显示”—“颜色”“参数”，打开颜色参数对话框，采用默认设置，单击“确定”按钮。
勾股定理知识树ppt课件
27
三、说建议
3.课程资源开发建议
说课程资源开发及利用
易错题
易混题
观察与猜想 信息技术应用 实验与探究
错题集
易考题
选学 栏目
阅读与思考
各类 教具
发挥学具
课程资源 开发及利用
说 建 议
29
教学感悟：
作为一名教师，愿我们带着新理念、 新做法去耕耘、去创造新课程下课堂 教学的新成效。
30
发展空间观念，激 发学习空间与图形的兴 趣。
勾 股 定 理
7
一、说课标
2.课程内容
课程内容
一、说课标
2、课程内容
掌握
了解
内 容 标 准
灵活运用
9
18.1. 勾股定理
了解
理解 掌握 灵活运用
了解勾股定理的含义
从了解上 升为理解
理解勾股定理的一般探究方法
掌握勾股定理和他的简单应用
能运用勾股定理解决直角三角形相关的问题
人人学有价值 的数学，人人获得 必需的数学，不同 的人在数学上得到 不同的发展 。
人人都能获得良 好的数学教育，不同 的人在数学上得到不 同的发展 。
两人人
一人人
★我国的数学教学理念以人为本,已体现出当今国际数
学教育的发展趋势。
3
一、说课标
1.课程目标
课程目标
问题解决 数学思考 情感与 态度 总 体 目 标
图 形 与 几 何
第12章 轴对称
第18章 勾股定理 第19章 四边形 第23章 旋转
第17章 反比例函数
第21章 二次根式 第22章 一元二次方程 第26章 二次函数
综合与实 践
第24章 圆
第27章 相似 第28章 锐角三角函数 第29章 投影与视图
三、说建议
3.课程资源开发建议
说课程资源开发及利用
易错题
易混题
观察与猜想 信息技术应用 实验与探究
错题集
易考题
选学 栏目
阅读与思考
各类 教具
发挥学具
课程资源 开发及利用
说 建 议
29
教学感悟：
作为一名教师，愿我们带着新理念、 新做法去耕耘、去创造新课程下课堂 教学的新成效。
30
发展空间观念，激 发学习空间与图形的兴 趣。
勾 股 定 理
7
一、说课标
2.课程内容
课程内容
一、说课标
2、课程内容
掌握
了解
内 容 标 准
灵活运用
9
18.1. 勾股定理
了解
理解 掌握 灵活运用
了解勾股定理的含义
从了解上 升为理解
理解勾股定理的一般探究方法
掌握勾股定理和他的简单应用
能运用勾股定理解决直角三角形相关的问题
人人学有价值 的数学，人人获得 必需的数学，不同 的人在数学上得到 不同的发展 。
人人都能获得良 好的数学教育，不同 的人在数学上得到不 同的发展 。
两人人
一人人
★我国的数学教学理念以人为本,已体现出当今国际数
学教育的发展趋势。
3
一、说课标
1.课程目标
课程目标
问题解决 数学思考 情感与 态度 总 体 目 标
图 形 与 几 何
第12章 轴对称
第18章 勾股定理 第19章 四边形 第23章 旋转
第17章 反比例函数
第21章 二次根式 第22章 一元二次方程 第26章 二次函数
综合与实 践
第24章 圆
第27章 相似 第28章 锐角三角函数 第29章 投影与视图
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吧！
编辑课件
3
美丽的勾 股树（一）
编辑课件
4
美丽的勾
股树（二）
编辑课件
5
美丽的勾
股树（三）
编辑课件
6
回顾与练习
1、请说说勾股定理的内容：
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为c，那么
a2b2c2 a c b
直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方。
编辑课件
7
2、试求下列图形中阴影部分的面积
2
编辑课件
12
即： S 1 S 2 S 3
应用与巩固
1.如图，这是一棵奇妙
的勾股树，其中所有的四边
形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形，其中最
B
大的正方形M的边长是9cm， A 则正方形A、B、C、D的面积
E
和是多少？
81cm² M
D
C F
编辑课件
13
2. 如图，分别以直角三角形ABC的三边为边向
的高分别为ｈ
1、ｈ 2、ｈ 3则可以求出：
C
S2
S3
ｈ1
3 2
AB
、
h2
3 2
AC
、
h3
3 2
BC
A
S１
1 2
AB
ｈ 1
3 4
AB
2
SB 1
S2
1 2
AC
ｈ 2
3 4
AC
2
S3
1 2
AB
ｈ 3
3 4
BC
2
S 2 S 3
3 4
AC
2
3 4
BC
2
图3
3 4
(
AC
2 BC
2)
3 4
AB
S ABC
168 2
24
编辑课件
15
欣赏与作业
美丽的勾股树
在大自然里，我们见过许许多多千姿百 态的植物，下面就让我们一起去欣赏一下数
勾股树 学王国里的树-------------
编辑课件
16
请大家注意 观察这颗勾 股树是由哪 些基本元素 构成的？
编辑课件
17
这颗勾股树的 基本构成元素 又是什么呢？
1 8
BC
2
1 8
( AC
2 BC
2)
1 8
AB
2
ｓ1 ｓ2 ｓ3
编辑课件
11
问题3 如图3 ，分别以Rt∆ABC三边为边向外作三个正三角形，
其面积分别用S1、 S2、S3表示，猜想S1、 S2、S3 之间有什么
关系。 请加以说明。
分析： S 1 S 2 S 3 设这三个正三角形中
AB 、 AC 、 BC 边上
１ ２
BC
AD
1 2
ａ
3ａ＝ 2
３ａ２ ４
编辑课件
9
探索与思考
问题1 如图1，分别以Rt∆ABC三边
为边向外作三个正方形，其面积分
别用 S1、 S2、S3表示，那么S1、S2、 S3之间有什么关系？
s2
C
s3
S1=S2+S3
A B
我们把图1称为 “勾股图”
s1
图1
编辑课件
10
问题2 如图2， 分别以Rt∆ABC三
（1）阴影部分是正方形
25cm²
（2）阴影部分是半圆
8πcm²
编辑课件
8
3、等边三角形ABC的边长为a，求它的面积
为多少？
解：如图，在等边三角 形ABC中，AD BC
A
CD
1 2
BC
1 2
a
在 RtACD 中 根据勾股定理，得
AD
AC 2 CD 2
a 2－（
２１ａ）２＝
３ａB ２
C D
SΔＡＢＣ
树！
❖ 作业︰动手画画看，相信你也能画出其他形态的
勾股树。
编辑课件
22
鸟儿因为翅膀而飞翔 风筝因为风儿而飞翔 人类因为思考而飞翔
让我们一起想象， 让我们一起飞翔！
编辑课件
23
祝同学们学习进步！
编辑课件
24
编辑课件
18
❖ 下面让我们用flash动画和几何画板 来演示一下美丽的勾股树，欣赏不同形 态的勾股树，体验勾股树惊人的生长速 度吧！
编辑课件
19
编辑课件
20
编辑课件
21
❖ 你知道这是如何画出来的吗？仔细看看，你就会发
现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图，
一个一个连接在一起，构成了多么奇妙美丽的勾股
2
1 4
AB
2
s1 s2 s3
编辑课件
14
3. 如图，已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、
10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴 影部分的面积。
解：设以 AB 为直径的半圆面
积为 S 1 ,以 AC 为直径的半
圆面积为 S 2 ,以 BC 为直径
的半圆面积为
S 3,则 :
S 阴影 S 2 S 3 S ABC S 1
外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、
正方形边长的一半为半径作圆，试探索三个圆的面积
之间的关系。
解： s 1
AB 2
2
1 4
AB
2
B
s 2
AC 2
2
1 4
AC
2
S1
S3
A
S2 C
s 3
BC 2
2
1 4
BC
2
s2 s3
1 4
AC
2
1 4
BC
2
1 4
AC
2 BC
边为直径向外作三个半圆，其面积分
别用S1、S2、S3表示，猜想S1、 S2、
S3之间有什么关系？ 请加 以说明。
S3
S1
分析： ｓ 1 ｓ 2 ｓ 3
ｓ1
１ ２
AB 2
2
1 8
AB
2
S2
ｓ 2
１ ２
AC 2
2
1 8
AC
2
ｓ 3
１ ２
BC 2
2
1 8
BC
2
图2
ｓ2 ｓ3
1 8
AC
2
美丽的勾股树
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1
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同学们，在我 们美丽的地球王国 上，原始森林，参 天古树，给我们以 神秘的遐想；绿树 成荫，微风习习， 给我们以美的享受。 你知道吗？在古老 的数学王国里，也 有一种树，它很奇 妙，生长速度大的 惊人，它是什么树 呢？下面让我们带 着这个疑问一同到 数学王国中去欣赏
2
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3
美丽的勾 股树（一）
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4
美丽的勾
股树（二）
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5
美丽的勾
股树（三）
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6
回顾与练习
1、请说说勾股定理的内容：
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为c，那么
a2b2c2 a c b
直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方。
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7
2、试求下列图形中阴影部分的面积
2
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12
即： S 1 S 2 S 3
应用与巩固
1.如图，这是一棵奇妙
的勾股树，其中所有的四边
形都是正方形，所有的三角
形都是直角三角形，其中最
B
大的正方形M的边长是9cm， A 则正方形A、B、C、D的面积
E
和是多少？
81cm² M
D
C F
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13
2. 如图，分别以直角三角形ABC的三边为边向
的高分别为ｈ
1、ｈ 2、ｈ 3则可以求出：
C
S2
S3
ｈ1
3 2
AB
、
h2
3 2
AC
、
h3
3 2
BC
A
S１
1 2
AB
ｈ 1
3 4
AB
2
SB 1
S2
1 2
AC
ｈ 2
3 4
AC
2
S3
1 2
AB
ｈ 3
3 4
BC
2
S 2 S 3
3 4
AC
2
3 4
BC
2
图3
3 4
(
AC
2 BC
2)
3 4
AB
S ABC
168 2
24
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15
欣赏与作业
美丽的勾股树
在大自然里，我们见过许许多多千姿百 态的植物，下面就让我们一起去欣赏一下数
勾股树 学王国里的树-------------
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16
请大家注意 观察这颗勾 股树是由哪 些基本元素 构成的？
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17
这颗勾股树的 基本构成元素 又是什么呢？
1 8
BC
2
1 8
( AC
2 BC
2)
1 8
AB
2
ｓ1 ｓ2 ｓ3
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11
问题3 如图3 ，分别以Rt∆ABC三边为边向外作三个正三角形，
其面积分别用S1、 S2、S3表示，猜想S1、 S2、S3 之间有什么
关系。 请加以说明。
分析： S 1 S 2 S 3 设这三个正三角形中
AB 、 AC 、 BC 边上
１ ２
BC
AD
1 2
ａ
3ａ＝ 2
３ａ２ ４
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9
探索与思考
问题1 如图1，分别以Rt∆ABC三边
为边向外作三个正方形，其面积分
别用 S1、 S2、S3表示，那么S1、S2、 S3之间有什么关系？
s2
C
s3
S1=S2+S3
A B
我们把图1称为 “勾股图”
s1
图1
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10
问题2 如图2， 分别以Rt∆ABC三
（1）阴影部分是正方形
25cm²
（2）阴影部分是半圆
8πcm²
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8
3、等边三角形ABC的边长为a，求它的面积
为多少？
解：如图，在等边三角 形ABC中，AD BC
A
CD
1 2
BC
1 2
a
在 RtACD 中 根据勾股定理，得
AD
AC 2 CD 2
a 2－（
２１ａ）２＝
３ａB ２
C D
SΔＡＢＣ
树！
❖ 作业︰动手画画看，相信你也能画出其他形态的
勾股树。
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22
鸟儿因为翅膀而飞翔 风筝因为风儿而飞翔 人类因为思考而飞翔
让我们一起想象， 让我们一起飞翔！
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23
祝同学们学习进步！
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24
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18
❖ 下面让我们用flash动画和几何画板 来演示一下美丽的勾股树，欣赏不同形 态的勾股树，体验勾股树惊人的生长速 度吧！
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19
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20
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21
❖ 你知道这是如何画出来的吗？仔细看看，你就会发
现那一个个细小的部分正是我们学过的勾股图，
一个一个连接在一起，构成了多么奇妙美丽的勾股
2
1 4
AB
2
s1 s2 s3
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14
3. 如图，已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、
10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴 影部分的面积。
解：设以 AB 为直径的半圆面
积为 S 1 ,以 AC 为直径的半
圆面积为 S 2 ,以 BC 为直径
的半圆面积为
S 3,则 :
S 阴影 S 2 S 3 S ABC S 1
外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、
正方形边长的一半为半径作圆，试探索三个圆的面积
之间的关系。
解： s 1
AB 2
2
1 4
AB
2
B
s 2
AC 2
2
1 4
AC
2
S1
S3
A
S2 C
s 3
BC 2
2
1 4
BC
2
s2 s3
1 4
AC
2
1 4
BC
2
1 4
AC
2 BC
边为直径向外作三个半圆，其面积分
别用S1、S2、S3表示，猜想S1、 S2、
S3之间有什么关系？ 请加 以说明。
S3
S1
分析： ｓ 1 ｓ 2 ｓ 3
ｓ1
１ ２
AB 2
2
1 8
AB
2
S2
ｓ 2
１ ２
AC 2
2
1 8
AC
2
ｓ 3
１ ２
BC 2
2
1 8
BC
2
图2
ｓ2 ｓ3
1 8
AC
2
美丽的勾股树
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同学们，在我 们美丽的地球王国 上，原始森林，参 天古树，给我们以 神秘的遐想；绿树 成荫，微风习习， 给我们以美的享受。 你知道吗？在古老 的数学王国里，也 有一种树，它很奇 妙，生长速度大的 惊人，它是什么树 呢？下面让我们带 着这个疑问一同到 数学王国中去欣赏
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