楞次定律闭合回路的感应电流的方向

a

Bv

Fm
b
当导体在磁场中运动时内部的电荷所受的洛伦兹 力Fm为非静电力. 它驱使自由电子向b端聚集，ab棒为 电源，a端为正极，b端为负极.
自由电子所受的洛伦兹力:
Fm

(e)v
有
Ei
dl dB L dt
dS
s
Ei
2πr

dB dt
πr 2
Ei

r 2
dB dt
8-3 自感 *互感 磁场的能量
一、自感电动势
由于回路自身电流产生的磁通量发生变化，而在回 路中激发的感应电动势叫自感电动势.
1.自感系数
由法拉第电磁感应定律可知：
i
d(NΦ) dt
dΨ dt
8-4 位移电流 麦克斯韦方程组
一、两类电场—静电场和涡旋电场
静电场 感应电场

L Es dl 0
L
Ei

dl


dΦ dt
统一的电场 E Es Ei

LE

dl


dΦ dt
二、传导电流和位移电流

用含电容器电路考察， 安培环路定理 H dl I L
转动时，(1) 线圈中的感应电
动势按正弦规律变化; (2) 若
O'
N
en
B

线圈自成闭合回路, 电阻为R ,
则在一周内外力矩所作的功
等于感应电流所放出的焦耳
热 .
解：(1) 在任一时刻t
O
Ψ NΦ NBS cos(t )（为t=0时
i
e与n
R
B的 夹角）
ε dΨ NBSωsin(t )
以 L 为边做任意曲面 S1，电流I
穿过S1面
S1

LH dl I
S2
-+ -+ -+ -+
I
电流I未穿过S2面，即从S2看， L
L
未包含I

LH dl 0
由此看出对于同一个环路L，由于对环路所张的
曲面不同，所得到的结果也不同，出现了理论上的
矛盾.
从自然规律的对称性，联想变化磁场能产生涡旋
B
非静电性场强

Ek

Fm e

v
B

ε Ek dl
Ek 只在电源ab棒中存在，故
ε
a
(v
B)

dl
b
*三、涡旋电场
麦克斯韦尔假设变化的磁场在其周围空间激发一
种电场，这个电场叫感生电场
Ei
.
闭合回路中的感生电动势
ε


Ei dl
第八章 电磁感应 电磁场
8-1 电磁感应的基本定律
一、电动势
1. 电源 将其他形式的能量转变为电能的装置.
2. 电动势 描写电源将其他形式能量转变为电能的能力.
3. 电源电动势 非静电力在电源内部从负极到正极移动单位正电
荷所作的功，等于非静电性场强在闭合电路上的环流.
i

W q

E dl


dΦ dt
Φ B dS
Ei

S
L Ei dl

S
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dB
dS
dt
负号表示
Ei
与
dB
成左螺旋关系.
dt
例:半径为R的圆柱形空间内存在垂直于纸面向里的均
匀磁场，磁感应强度B
以dB
dt
的变化率均匀增加时，求
圆柱形空间内各点处感生电场的场强.
解: 由于圆柱形空间的对称性
③
由螺旋关系由
B感
方向确定
I感
.
三、法拉第电磁感应定律
感应电动势的大小正比于通过导体回路的磁通量 的变化率.
ε dΦ (SI) dt
N匝线圈时
ε dΨ N dΦ （各匝中 Φ相同）
dt
dt
感应电流 I ε N dΦ
R
Rdt
例：证明在均匀磁场 B中，面
积速为度S、绕匝垂数直为于NB的的线轴圈线以匀角速
L


d(LI dt
)

L
dI dt

I
dL dt

当线圈自感系数不变时，dL 0 dt
自感电动势
L

L
dI dt
L

L
dI dt
负号是楞次定律的数学表示，表明电流增加时， 自感电动势与原电流反向；电流减少时，自感电动势 与原电流同向.
例:一长直螺线管，线圈匝数为N，长度为l，横截面积为
B dS 0 （3）
H dl
I dΦD （4）
L
dt
8-2 动生电动势 *涡旋电场
一、动生电动势
引起磁通量变化的原因
（1）稳恒磁场中的导体运动 （2）导体不动，磁场变化
动生电动势 感生电动势
度 v在沿金磁属场导中轨,导向体右棒运以动，速 棒速度内v的向自右由运电动子，被因带而着每个以
自由电子都受到洛伦兹力
的作用.





1 LI 2为电源反抗自感电动势作的功. 2
自感线圈磁能
Wm

1 2
LI 2
L n2V , B nI
Wm

1 2
LI
2

1 2
n2V ( B )2 n

1 2
B2 V


wmV
磁场能量密度
wm

B2
2

1 2
H 2

1 2
BH
磁场能量
Wm

V wmdV

B2 dV
V 2
理论可证明互感系数
M12

M 21

M
Ψ 21 I1
Ψ12 I2
互感仅与两个线圈形状、大小、匝数、相对位置
以及周围的磁介质有关. 非铁磁介质情况下，互感系 数M与电流无关.
2. 互感电动势 线圈1电流变化在线圈2中产生的互感电动势
21


dΨ 21 dt
M dI1 dt
线圈2电流变化在线圈1中产生的互感电动势

电源内
规定电动势的指向从电源负极经内电路指向正极.
二、楞次定律
闭合回路的感应电流的方向，总是企图使感应电 流本身所产生的通过回路面积的磁通量, 去补偿或者 反抗引起感应电流的磁通量的变化.
用楞次定律判断感应电流方向的方法:
① 引起感应电流的磁场B 的方向及回路中Φ是增加还是
减少；


② 减由小楞次B感定与律B同确向定.B感方向；Φ增加 B感与 B反向; Φ
同理
M 21

N1Φ12 I2

μn1n2l(πr12 ) M12
三、磁场能量
L
由闭合电路的欧姆定律
ε L dI RI dt
Idt LIdI RI2dt
l
R
t ε Idt 1 LI 2 t RI2dt
0
2
0
t ε Idt
为电源作功.
0
t RI 2dt 为回路电阻所放出的焦耳热. 0
W
r
Md

r N 2B2S 2 sin2 d
0
0
R
r N 2B2S 22 sin2 (t )dt
0
R
r N 2B2S 22 sin2 (t )dt
0
R
r I 2Rdt Q 0
即在一周内外力矩所作的功等于感应电流所放出的焦耳 热. 可见，在电磁感应现象中是遵从能量守恒定律的.
而线圈的磁链与线圈中的电流I成正比 Ψ I.
写成等式：Ψ LI
定义 自感系数 L Ψ I
物理意义: 单位电流引起的自感磁通链数.
单位：H（亨利）， mH（毫亨）. 1H=103mH 除铁心线圈外，自感系数与线圈的大小、形状、
匝数及线圈内磁介质的特性有关，而与线圈中电流无
关.
2. 自感电动势
dt
令 m NBS
m sin(t )
(2) I εm sin ωt NBSω sin(t )
R
R
感应电流放出的焦耳热为
Q T I 2Rdt 0
线圈所受磁场的作用力矩的大小为
M

m

B

N 2B2S 2ω sin2 (t )
R
外力矩所做的功 令 θ ωt α dθ ωdt
电场，那么变化的电场也可能产生磁场，麦克斯韦将 电位移矢量D的变化视为位移电流，可激发磁场，从而 提出了位移电流假设，并定义位移电流强度
Id

dΦD dt
ΦD为电位移矢量的通量.
全电流
Is Ic Id
全电流定律
H dl
L
Is

Ic

dΦD dt
三、电磁场和麦克斯韦方程组
S，充满磁导率为 的磁介质，求线圈的自感系数L.
解: B μnI
Ψ NΦ NBS
N N IS
l
L Ψ N2 S
I
l
n N l , V lS
所以 L n2V
*二、互感电动势
当一个线圈中电流发生变化时在另一个线圈中 产生互感电动势.
1. 互感系数
I1在I2电流回路中所产生的磁通量 Ψ21 M 21I1 I2在I1电流回路中所产生的磁通量 Ψ12 M12I2
B1
r1
的线圈中通有电流
N1 l
I1

n1I1
I1
,
则
穿过半径为 r2 的线圈的磁通链匝数为
Ψ N2Φ21 N2B1(πr12 ) n2lB1(πr12 )
代入 B1计算得 Ψ N2Φ21 μn1n2l(πr12 )I1
则
M12

N 2Φ21 I1

μn1n2l(πr12 )
12


dΨ12 dt
M dI2 dt
M


ε21 dI1


ε12 dI2
dt
dt
互感系数是表示互感强弱的物理量.
例:两长螺线管C1和C2共轴相套,半径分别为r1和
r2( r1<r2 ), 长度均为l, 匝数分别为N1和N2 , 管内磁介
质的磁导率为, 求它们的互感系数 M .
解:
设半径为
及磁场均匀增加，圆形磁场区
域内 E感线为一系列同心圆.且
同一圆周上
Ei
大小相等,方向沿

切线,指向与 dB 成左螺旋关系.
dt
作由半径L 为Ei L d的l环 形s dd路Bt径dS

L R

Ei o

r


dB
B dt
变化的磁场激发感生电场，而关于位移电流的假 设又说明变化的电场激发感生磁场. 事实上，存在交 变电场的空间必然存在交变磁场；存在交变磁场的空 间必然存在交变电场，它们相互联系，相互激发，组 成一个统一的电磁场.
D dS
q （1）
E
dl

dΦ
（2）
S
L
dt