最新214定积分与微积分的基本定理-副本

214定积分与微积分的基本定理-副本

第十四节定积分与微积分基本定理

[备考方向要明了]

考什么怎么考

1.了解定积分的实际背

景，了解定积分的基本思

想，了解定积分的概念．

2.了解微积分基本定理的含义.

1.考查形式多为选择题或填空题．

2.考查简单定积分的求解．如2012年江西T11等．

3.考查曲边梯形面积的求解．如2012年湖北T3，

山东T15，上海T13等．

4.与几何概型相结合考查．如2012年福建T6等.

[归纳·知识整合]

1．定积分

(1)定积分的相关概念

在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．

(2)定积分的几何意义

①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x ＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．

②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．

(3)定积分的基本性质

①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x.

②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x.

③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x.

[探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫b

a f (t )d t 是否相等？

提示：相等．

2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？

提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．

3．定积分∫b a [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？

提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理

如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，

这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．

为了方便，常把F (b )－F (a )F (x )|b a ，即

∫b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．

[自测·牛刀小试]

1.∫421x

d x 等于( ) A ．2ln 2 B ．－2ln 2 C ．－ln 2

D ．ln 2

解析：选D ∫421x

d x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )

A.176

B.14

3 C.136

D.116

解析：选A S ＝∫21(t 2

－t ＋2)d t ＝

⎝⎛⎪⎪

⎭⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176.

3．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．

解析：∫20x 2

d x ＝13x 3 |20＝83. 答案：83

4．(教材改编题)∫101－x 2

d x ＝________.

解析：由定积分的几何意义可知，∫101－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2

＝1在第一象限内部

分的面积，所以

∫101－x 2d x ＝14π. 答案：14

π

5．由曲线y ＝1x ，直线y ＝－x ＋5

2所围成的封闭图形的面积为________．

解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A ⎝⎛⎭⎫12，2，B ⎝⎛⎭⎫2，1

2，所以阴影部分的面积，

«Skip Record If...»⎝

⎛ －x ＋5

2－

⎭⎫

1x d x ＝

⎝⎛⎭⎫－12x 2＋52x －ln x «Skip Record If...»＝158

－2ln 2.

答案：15

8

－2ln 2

利用微积分基本定理求定积分

[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：

(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π

0(sin x －cos x )d x ；

(3)∫20x (x ＋1)d x ；(4)∫21

⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (5)«Skip Record If...» sin 2x

2d x .

[自主解答]

(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫2

11d x ＝

x 33 |21＋x 2 |21＋x |21＝193

. (2)∫π0(sin x －cos x )d x

＝∫π0sin x d x －∫π

0cos x d x ＝(－cos x ) |π0－sin x |π0＝2. (3)∫20x (x ＋1)d x ＝∫20(x 2＋x )d x

＝∫20x 2d x ＋∫2

0x d x ＝13x 3 |20＋12x 2 |2

0 ＝⎝⎛⎭⎫13×23－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－0＝14

3

.