2014年上海市高考数学试卷(文科)

2014年上海市高考数学试卷（文科）

一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．

2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=．

3．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=．

4．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线

的准线方程．

5．（4分）某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况

，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为．

6．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．

7．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）

8．（4分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．

9．（4分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范

围为．

10．（4分）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=．

11．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．12．（4分）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于．13．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．

14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为．

二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分

15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

16．（5分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=（）

A．2 B．1 C．0 D．﹣1

17．（5分）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，P i（i=1，2，…，7）是小正方形的其余顶点，则•（i=1，2，…，7）的不同值的个数为（）

A．7 B．5 C．3 D．1

18．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）

A．无论k，P1，P2如何，总是无解

B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解

C．存在k，P1，P2，使之恰有两解

D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解

三、解答题（共5小题，满分74分）

19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．

20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．

（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；

（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B 看D的仰角分别为α和β．

（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．

22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l 分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．

（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；

（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；

（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．

23．（18分）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．

（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；

（2）若{a n}是等比数列，且a m=，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{a n}的公比；

（3）若a1，a2，…a100成等差数列，求数列a1，a2，…a100的公差的取值范围．

2014年上海市高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．

【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．

【解答】解：y=1﹣2cos2（2x）

=﹣[2cos2（2x）﹣1]

=﹣cos4x，

∴函数的最小正周期为T==

故答案为：

【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．

2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=6．【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，

则（z+）•=

=（1+2i）（1﹣2i）+1

=1﹣4i2+1

=2+4

=6．

故答案为：6

【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．

3．（4分）（2014•上海）设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）