2014年上海市高考数学试卷(文科)
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(上海卷,解析版)
2014年高考真题——文科数学〔某某卷〕解析版三.解答题〔本大题共5题,总分为74分〕19、〔此题总分为12分〕底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其外表展开图是三角形321p p p ,如图,求△321p p p 的各边长与此三棱锥的体积V .〔此题总分为14分〕此题有2个小题,第一小题总分为6分,第二小题总分为1分。
设常数0≥a ,函数aa x f x x -+=22)( 假设a =4,求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=;根据a 的不同取值,讨论函数)(x f y =的奇偶性,并说明理由.〔此题总分为14分〕此题共有2个小题,第1小题总分为6分,第2小题总分为8分. 如图,某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ,其中D 为顶端,AC 长35米,CB 长80米,设A B 、在同一水平面上,从A 和B 看D 的仰角分别为βα和. 设计中CD 是铅垂方向,假设要求βα2≥,问CD 的长至多为多少〔结果准确到0.01米〕? 施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得,,45.1812.38==βα求CD 的长〔结果准确到0.01米〕?〔此题总分为16分〕此题共有3个小题,第1小题总分为3分,第2小题总分为6分,第3小题总分为7分。
在平面直角坐标系xOy 中,对于直线I :ax+by+c=0和点P 1〔x 1,y 1〕,P 2〔x 2,y 2〕,记η=〔ax 1+by 1+c 〕〔ax 2+by 2+c 〕,假设η<0,如此称点P 1,P 2被直线I 分隔,假设曲线C 与直线I 没有公共点,且曲线C 上存在点P 1,P 2被直线I 分割,如此称直线I 为曲线C 的一条分隔线。
〔1〕求证:点A 〔1,2〕,B 〔-1,0〕被直线x+y-1=0分隔;〔2〕假设直线y=kx 是曲线x 2-4y 2=1的分隔线,求实数k 的取值范围;〔3〕动点M 到点Q 〔0,2〕的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为E ,求E 的方程,并证明y 轴为曲线E 的分隔线。
2014年高考(上海市)真题数学(文)试题及答案解析
2014年上海市高考数学试卷(文科)解析一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.函数212cos (2)y x 的最小正周期是. 2. 若复数z=1+2i ,其中i 是虚数单位,则1()z z z =___________.3. 设常数a R ,函数2()1f x x x a ,若(2)1f ,则(1)f .4. 若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922y x 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为___________.5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名,为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20名学生,则高一、高二共抽取的学生数为.6.若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为(结果用反三角函数值表示).8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于.9. 设,0,()1,0,x a xf x x x x 若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围是.10.设无穷等比数列{n a }的公比为q ,若)(lim 431a a a n ,则q= .11.若2132)(x x x f ,则满足0)(x f 的x 取值范围是.12. 方程sin 3cos 1x x 在区间[0,2]上的所有解的和等于.13.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是(结构用最简分数表示). 14. 已知曲线C :24xy ,直线l :x=6.若对于点A (m ,0),存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ ,则m 的取值范围为. 二、选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.15. 设R b a,,则“4b a ”是“2,2b a 且”的()(A )充分条件(B )必要条件(C )充分必要条件(D )既非充分又非必要条件16. 已知互异的复数,a b 满足0ab,集合{,}a b ={2a ,2b },则a b =()(A )2(B )1(C )0(D )117. 如图,四个边长为1的正方形排成一个大正方形,AB 是在正方形的一条边,(1,2,,7)i P i 是小正方形的其余各个顶点,则(1,2,,7)i AB AP i 的不同值的个数为()(A )7(B )5(C )3(D )118. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题(文科)解析版
2 0 1 4年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷(文史类)考生注意:1、本试卷共4页,23道试题,满分150分。
考试时间120分钟。
2、本考试分设试卷和答题纸。
试卷包括试题与答题要求。
作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上。
在试卷上作答一律不得分。
3、答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸正面清楚地填写姓名。
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。
1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=1【答案】 2π【解析】2π4π2∴4cos -)2(cos 2-12====T x x y 周期Θ2、若复数z=1+2i ,其中i 是虚数单位,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛_z 1 +z z ⋅=___________.2【答案】 6 【解析】61)41(1)1(∴21=++=+=•++=z z z zz i z Θ3.设常数a ∈R ,函数2()1f x x x a =-+-。
若(2)1f =,则(1)f =___________. 3【答案】 3 【解析】3.3|4-1|0)1(∴4,1|-4|1)2(∴|-||1-|)(2所以,是解得=+===+=+=f a a f a x x x f Θ4.若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为___________. 4【答案】 x=-2【解析】2-2-)0,2(2)0,2(159222==∴=∴=+x x px y y x 所以,是其准线方程为焦点为右焦点为ΘΘ5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名。
为了了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样。
若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为___________. 5【答案】 70【解析】按比例进行抽样,设高一高二共抽n 个学生,则(1600+1200):800=n:20,解得n=706.若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 6【答案】 22 【解析】22,2222≥22y ∴1222222所以,是=•+=+=x x x x x xy Θ7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与轴所成角的大小为 (结果用反三角函数值表示)。
2014年高考文科数学上海卷
3.答 卷 前 ,务 必 用 钢 笔 或 圆 珠 笔 在 答 题 纸 正 面 清 楚 地 填 写 姓 名 、 准 考 证 号 ,并 将
核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
上
结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
为 和 . (Ⅰ)设计中 CD 是铅垂方向.若要求 ≥2 ,问 CD 的长至多为多少(结果精确到
0.01 米)?
(Ⅱ)施工完成后, CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得 38.12 , 18.45 ,求
CD 的长(结果精确到 0.01 米).
数学试卷 第 3 页(共 4 页)
22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 7 分. 在平面直角坐标系 xOy 中,对于直线 l : ax by c 0 和点 P1(x1, y1) , P2 (x2 , y2 ) ,记
正方形的一条边, Pi (i 1,2, ,7) 是小正方形的其余顶点,
则 AB APi (i 1,2, ,7) 的不同值的个数为
()
A.7
B.5
C.3
D.1
18.已知 P1(a1, b1) 与 P2 (a2 ,b2 ) 是直线 y k x1( k 为常数)上两个不同的点,则关于
x
和
y
的方程组
aa12xx
设常数
a≥0 ,函数
f
(x)
2x 2x
a a
.
(Ⅰ)若 a 4 ,求函数 y f (x) 的反函数 y f 1(x) ;
(Ⅱ)根据 a 的不同取值,讨论函数 y f (x) 的奇偶性,并说明理由.
2014年全国高考文科数学试题及答案-上海卷
2014年上海市高考数学试卷(文科)考生注意:1、本试卷共4页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2、本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3、答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1. 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 、2、 若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1()z z +z ⋅=___________、3、 设常数a R ∈,函数2()1f x x x a =-+-,若(2)1f =,则(1)f = 、4、 若抛物线22y px =的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为______、 5、 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名,为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20名学生,则高一、高二共抽取的学生数为 、6、 若实数,x y 满足1xy =,则2x +22y 的最小值为______________、7、 若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为 (结果用反三角函数值表示)、8、 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 、 9、 设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围是 、10、设无穷等比数列{n a }的公比为q ,若134lim(...)n n a a a a →∞=+++,则q= 、 11.若2132()f x x x -=-,则满足0)(<x f 的x 取值范围是 、12、方程sin 1x x =在区间[0,2]π上的所有解的和等于 、13、 为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 (结构用最简分数表示)、14、 已知曲线C:x =直线:6l x =、若对于点(,0)A m 存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ += ,则m 的取值范围为 、二、选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分、在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的、15、 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的( )(A )充分条件(B )必要条件 (C )充分必要条件 (D )既非充分又非必要条件16、 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠,集合{,}a b ={2a ,2b },则a b +=( )(A )2 (B )1 (C )0 (D )1-17、 如图,四个边长为1的正方形排成一个大正方形,AB 是在正方形的一条边,(1,2,,7)i P i = 是小正方形的其余顶点,则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为( ) (A )7 (B )5 (C )3 (D )118、 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是( )(A) 无论12,,k P P 如何,总是无解 (B) 无论12,,k P P 如何,总有唯一解(C) 存在12,,k P P ,使之恰有两解(D) 存在12,,k P P ,使之有无穷多解 三.解答题(本大题共5题,满分74分)19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -, 其表面展开图是三角形123PP P ,如图,求△123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V 、20.(本题满分14分)本题有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.设常数0≥a ,函数aa x f x x -+=22)( (1)若a =4,求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=;(2)根据a 的不同取值,讨论函数)(x f y =的奇偶性,并说明理由、21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分、如图,某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ,其中D 为顶端,AC 长35米,CB 长80米,设A B 、在同一水平面上,从A 和B 看D 的仰角分别为βα和、(1)设计中CD 是铅垂方向,若要求βα2≥,问CD 的长至多为多少(结果精确到0、01米)?(2)施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得,, 45.1812.38==βα求CD 的长(结果精确到0、01米)?22、(本题满分16分)本题共3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分、在平面直角坐标系xOy 中,对于直线l :0ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ,记1122)().ax by c ax by c η=++++(若0η<,则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点,且曲线C 上存在点21P P ,被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线、(1) 求证:点),(),(012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔;(2) 若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线,求实数k 的取值范围;(3) 动点M 到点)(2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为E ,求E 的方程,并证明y 轴为曲线E 的分隔线、23.(本题满分18分)本题共3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分、已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=、 (1)若2342,,9a a x a ===,求x 的取值范围;(2)若{}n a 是等比数列,且11000ma =,求正整数m 的最小值,以及m 取最小值时相应{}n a 的公比;(3)若12100,,,a a a 成等差数列,求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围、上海数学(文)参考答案一、1、 2π 2、 6 3、 3 4、 2x =- 5、706、 、 1arcsin3 8、24 9、 (,2]-∞ 10、11、 (0,1) 12、73π 13、 115 14、 [2,3] 二、15、 B16、D 17、C 18、B19、解: 在123PP P ∆中,13PA P A =,23PC PC =,所以AC 是中位线,故1224PP AC ==. 同理,234P P =,314P P =.所以123PP P ∆是等边三角形,各边长均为4.设Q 是ABC ∆的中心,则PQ ⊥平面ABC ,所以AQ =,PQ =.从而,133ABC V S PQ ∆=⋅= 20、解: (1)因为2424x x y +=-,所以()4121x y y +=-, 得1y <-或1y >,且()241log 1y x y +=-.因此,所求反函数为()1241()log 1x f x x -+=-,()(),11,x ∈-∞-+∞ . (2)当0a =时,()1f x =,定义域为R ,故函数()y f x =是偶函数;当1a =时,21()21x x f x +=-,定义域为()(),00,-∞+∞ ,2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---,故函数()y f x =为奇函数; 当0a >且1a ≠时,定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞ 关于原点不对称,故函数()y f x =既不是奇函数,也不是偶函数.21、[解]:(1)记CD h =.根据已知得tan tan 20αβ≥>,tan 35h α=,tan 80h β=,所以2280035180hh h ⨯≥>⎛⎫- ⎪⎝⎭,解得28.28h ≤≈.因此,CD 的长至多约为28、28米.(2)在ABD ∆中,由已知,56.57αβ+= ,115AB =, 由正弦定理得()sin sin BD AB ααβ=+ ,解得85.064BD ≈. 在BCD ∆中,由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅,解得26.93CD ≈. 所以,CD 的长约为26、93米.22、[证]:(1)因为40η=-<,所以点,A B 被直线10x y +-=分隔.[解]:(2)直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组2241x y y kx ⎧-=⎨=⎩有解,即12k <.因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线,故它们没有公共点,即12k ≥. 当12k ≥时,对于直线y kx =,曲线2241x y -=上的点()1,0-和()1,0满足20k η=-<,即点()1,0-和()1,0被y kx =分隔.故实数k 的取值范围是11(,][,)22-∞-+∞ .[证]:(3)设M 的坐标为(,)x y ,则曲线E1x =,即22[(2)]1x y x +-⋅=. 对任意的0y ,()00,y 不是上述方程的解,即y 轴与曲线E 没有公共点.又曲线E 上的点()1,2-和()1,2对于y 轴满足0η<,即点()1,2-和()1,2被y 轴分隔. 所以y 轴为曲线E 的分隔线.23、[解]:(1)由条件得263x ≤≤且933x x ≤≤,解得36x ≤≤. 所以x 的取值范围是[3,6]x ∈.(2)设{}n a 的公比为q .由133n n a a ≤,且110n n a a q -=≠,得0n a >. 因为1133n n n a a a +≤≤,所以133q ≤≤. 从而111111()10003m m m a q q ---==≥,131000m -≥,解得8m ≥.8m =时,1[,3]3q =.所以,m 的最小值为8,8m =时,{}n a (3)设数列12100,,a a a 的公差为d . 则133n n n a a d a ≤+≤,223n n a d a -≤≤,1,2,,99n = . ① 当0d >时,999821a a a a >>>> ,所以102d a <≤,即02d <≤.② 当0d =时,999821a a a a ==== ,符合条件.③ 当0d <时,999821a a a a <<<< ,所以9999223a d a -≤≤, 2(198)2(198)3d d d -+≤≤+,又0d <,所以20199d -≤<. 综上,12100,,a a a 的公差的取值范围为2[,2]199-.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 文科数学 word版
2014年上海市高考数学试卷(文科)解析一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1. 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2. 若复数z=1+2i ,其中i 是虚数单位,则1()z z +z ⋅=___________.3. 设常数a R ∈,函数2()1f x x x a =-+-,若(2)1f =,则(1)f = .4. 若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为___________.5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名,为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20名学生,则高一、高二共抽取的学生数为 .6.若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为 (结果用反三角函数值表示).8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .9. 设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围是 .10.设无穷等比数列{n a }的公比为q ,若)(lim 431 ++=∞→a a a n ,则q= .11.若2132)(x x x f -=,则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .12.方程sin 1x x =在区间[0,2]π上的所有解的和等于 .13.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 (结构用最简分数表示).14. 已知曲线C:x =l :x=6.若对于点A (m ,0),存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=,则m 的取值范围为 .二、选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的( )(A )充分条件 (B )必要条件(C )充分必要条件 (D )既非充分又非必要条件16. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠,集合{,}a b ={2a ,2b },则a b += ( )(A )2 (B )1 (C )0 (D )1-17. 如图,四个边长为1的正方形排成一个大正方形,AB 是在正方形的一条边,(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余各个顶点,则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为( ) (A )7 (B )5 (C )3 (D )118. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是( )(A )无论k ,21,P P 如何,总是无解 (B)无论k ,21,P P 如何,总有唯一解(C )存在k ,21,P P ,使之恰有两解 (D )存在k ,21,P P ,使之有无穷多解三.解答题(本大题共5题,满分74分)19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形321p p p ,如图,求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V.20.(本题满分14分)本题有2个小题,第一小题满分6分,第二小题满分1分。
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= 0 或 ∆=
1− 4k 2 ≠ 0 ,∴ k ∈ (−∞, − 1] [1 , +∞)
4(1− 4k 2 ) < 0
22
证明:(理科)(3)由题得,设 M (x, y) ,∴ x2 + ( y − 2)2 ⋅ x = 1,
化简得,点 M 的轨迹方程为 E : x2 + ( y − 2)=2
1 x2
23.(本题满分 18 分)本题共 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题
满分 9 分.
已知数列 {an } 满足
1 3
an
≤
an+1
≤
3an , n
∈
N*, a1
= 1 .
(1)若= a2 2= , a3 x= , a4 9 ,求 x 的取值范围;
(2)若{an}是等比数列,且 am
{ ③当 a ≠ 0 且 a ≠ 1时,定义域为 x x ≠ log2 a, x ∈ R},
∴定义域不关于原定对称,∴ y = f (x) 为非奇非偶函数
21.解:(1)由题得,∵α ≥ 2β ,且 0 < 2β ≤ α < π ,∴ tanα ≥ tan 2β 2
CD
CD 即≥
35
40 CD 2
,解得, CD
的方程组
aa12xx
+
b1
y
= 1
的解的情况是(
+ b2 y = 1
)
(A)无论 k, P1, P2 如何,总是无解
(B)无论 k, P1, P2 如何,总有唯一解
(C)存在 k, P1, P2 ,使之恰有两解
(D)存在 k, P1, P2 ,使之有无穷多解
2014年上海市夏季高考数学真题(文科)试卷含答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试卷(文史类)(满分150分,考试时间120分钟)考生注意1.本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1. 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2. 若复数z=1+2i ,其中i 是虚数单位,则1()z z+z ⋅=___________.3. 设常数a R ∈,函数2()1f x x x a =-+-,若(2)1f =,则(1)f = .4. 若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为___________.5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名,为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20名学生,则高一、高二共抽取的学生数为 .6.若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为 (结果用反三角函数值表示).8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .9. 设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围是 .10.设无穷等比数列{n a }的公比为q ,若)(lim 431 ++=∞→a a a n ,则q= .11.若2132)(x x x f -=,则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .12. 方程sin 31x x +=在区间[0,2]π上的所有解的和等于 .13.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 (结构用最简分数表示).14. 已知曲线C :24x y =--,直线l :x=6.若对于点A (m ,0),存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=,则m 的取值范围为 .二、选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的( ) (A )充分条件 (B )必要条件(C )充分必要条件 (D )既非充分又非必要条件16. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠,集合{,}a b ={2a ,2b },则a b += ( ) (A )2 (B )1 (C )0 (D )1-17. 如图,四个边长为1的正方形排成一个大正方形,AB 是在正方形的一条边,(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余各个顶点,则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为( )(A )7 (B )5 (C )3 (D ) 118. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是( )(A )无论k ,21,P P 如何,总是无解 (B)无论k ,21,P P 如何,总有唯一解 (C )存在k ,21,P P ,使之恰有两解 (D )存在k ,21,P P ,使之有无穷多解 三.解答题(本大题共5题,满分74分) 19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -, zxxk 其表面展开图是三角形321p p p ,如图,求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V .20.(本题满分14分)本题有2个小题,学科网第一小题满分6分,第二小题满分1分。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—上海卷
2014高考数学【上海卷(文)】解析版一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1. 函数()212cos 2y x =-的最小正周期是_________________.2. 若复数12i z =+,其中i 是虚数单位,则1___________z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭.3. 设常数a ∈R ,函数f (x )=|x -1|+|x 2-a |. 若f (2)=1,则f (1)= .4. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合,则抛物线的准线方程为_________.5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名. 为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样. 若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为 .6. 若实数,x y 满足1xy =,则222x y +的最小值为___________.7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与轴所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .9. 设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为 . 10. 设无穷等比数列公比为q ,若()134lim n a a a →∞=++,则__________q =.11. 若()2132f x x x-=-,则满足()0f x <的x 的取值范围是___________.12. 方程sin xx = 1在区间[0, 2π]上的所有解的和等于 .13. 为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是_____________(结果用最简分数表示).14. 已知曲线:C x =:6l x =. 若对于点(),0A m ,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=,则m 的取值范围为________________.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15. 设,a b ∈R ,则“+4a b >”是“2a >且2b >”的( ).A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件 16. 已知互异的复数a , b 满足ab ≠0,集合{a , b }={a 2, b 2},则a +b =( ). A. 2 B. 1 C. 0 D. -117. 如图,四个边长为1的小正方形排成一个大正方形,AB 是大正方形的一条边,P i (i =1,2,…,7)是小正方形的其余顶点,则i AB AP ⋅(i =1,2,…,7)的不同值的个数为( ). A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 P765218. 已知()111,P a b 与()222,P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组11221,1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩ 的解的情况是( ).A. 无论k 、1P 、2P 如何,总是无解B. 无论k 、1P 、2P 如何,总有唯一解C. 存在k 、1P 、2P ,使之恰有两解D. 存在k 、1P 、2P ,使之有无穷多解三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形123P P P ,如图. 求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V .1P 220. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.设常数0a ≥,函数()22x x af x a+=-.(1) 若4a =,求函数()y f x =的反函数()1y f x -=;(2) 根据a 的不同取值,讨论函数()y f x =的奇偶性,并说明理由.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ,其中D 为顶端,AC 长35米,CB 长80米. 设A 、B 点在同一水平面上,从A 和B 看的仰角分别为α和β.(1) 设计中CD 是铅垂方向,若要求2αβ≥,问CD 的长至多为多少(精确到0.01米)? (2) 施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得38.12α=,18.45β=,求CD 的长(结果精确到0.01米).22. (本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.在平面直角坐标系xOy 中,对于直线l :0ax by c ++=和点()()111222,,,P x y P x y ,记()()1122a x b y c a x b y c η=++++. 若0η<,则称点12P P 、被直线l 分隔,若曲线C 与直线l 没有公共点,且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.(1) 求证:点()()1,21,0A B -,被直线10x y +-=分隔;(2) 若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线,求实数k 的取值范围;(3) 动点M 到点()0,2Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为E ,求E 的方程,并证明y 轴为曲线E 的分隔线.23. (本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分, 第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤,n *∈N ,11a =.(1) 若22a =,3a x=,49a =,求x 的取值范围;(2) 若{}n a 是等比数列,且11000m a =,求正整数m 的最小值,以及m 取最小值时相应{}n a 的公比;(3) 若12100,,,a a a 成等差数列,求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.参考答案一、选择题1.π2【解析】()212cos 2cos 4y x x =-=-,则π2T =. 【考点】二倍角余弦公式以及标准三角函数最小正周期的求解—公式法 2.6【解析】211516z z z z ⎛⎫+⋅=+=+= ⎪⎝⎭.【考点】复数的代数四则运算以及复数模的性质 3.3【解析】由()21f =得1414a a +-=⇒=,则()1143f =-=. 【考点】对函数概念的理解 4.2x =-【解析】易知焦点为()2,0,则准线方程为2x =-. 【考点】圆锥曲线基本量 5.70【解析】()201600120070800+=. 【考点】分层抽样的方法(关键是样本比例相等)6.【解析】222x y +≥=【考点】基本不等式求最值 7.1arcsin 3θ=【解析】设圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,母线与轴所成角为θ。
上海高考数学真题(文科)试卷(word解析版)
绝密★启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试卷(文史类)(满分150分,考试时间120分钟)考生注意1.本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1. 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2. 若复数z=1+2i ,其中i 是虚数单位,则1()z z+z ⋅=___________.3. 设常数a R ∈,函数2()1f x x x a =-+-,若(2)1f =,则(1)f = .4. 若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为___________.5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名,为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20名学生,则高一、高二共抽取的学生数为 .6.若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为 (结果用反三角函数值表示).8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .9. 设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围是 .10.设无穷等比数列{n a }的公比为q ,若)(lim 431 ++=∞→a a a n ,则q= .11.若2132)(x x x f -=,则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .12. 方程sin 31x x +=在区间[0,2]π上的所有解的和等于 .13.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 (结构用最简分数表示).14. 已知曲线C :24x y =--,直线l :x=6.若对于点A (m ,0),存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=,则m 的取值范围为 .二、选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的( ) (A )充分条件 (B )必要条件(C )充分必要条件 (D )既非充分又非必要条件16. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠,集合{,}a b ={2a ,2b },则a b += ( ) (A )2 (B )1 (C )0 (D )1-17. 如图,四个边长为1的正方形排成一个大正方形,AB 是在正方形的一条边,(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余各个顶点,则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为( )(A )7 (B )5 (C )3 (D )118. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,则关于x 和y的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是( )(A )无论k ,21,P P 如何,总是无解 (B)无论k ,21,P P 如何,总有唯一解 (C )存在k ,21,P P ,使之恰有两解 (D )存在k ,21,P P ,使之有无穷多解 三.解答题(本大题共5题,满分74分) 19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -, zxxk 其表面展开图是三角形321p p p ,如图,求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V .20.(本题满分14分)本题有2个小题,学科网第一小题满分6分,第二小题满分1分。
2014年上海市高考数学(文科)试题真题及答案精校版
2014年上海市高考数学(文科)试题真题及答案精校版满分150分;考试时间120分钟.考生注意:1、本试卷共4页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2、本试卷分设试卷和答题纸。
试卷包括试题与答题要求。
作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分。
3、答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名。
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2.若复数12z i =+,其中是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭.3.设常数a R ∈,函数2()1f x x x a =-+-.若(2)1f =,则(1)f = .4.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名.为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样.若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为 .6.若实数,x y 满足1xy =,则222x y +的最小值为 .7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与轴所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示). 8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .9.设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为 . 10.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,若)(431lim n n a a a a +++=∞→ ,则q = .11.若2132()f x x x -=-,则满足()0f x <的x 的取值范围是 . 12.方程sin 1x x =在区间[0,2]π上的所有的解的和等于 .13.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是 (结果用最简分数表示). 14.已知曲线24:y x C --=,直线:6l x =.若对于点(,0)A m ,存在C 上的点P 和上的Q 使得=+,则m 的取值范围为 .二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设,a b ∈R ,则“4a b +>”是“2a >且2b >”的( ) (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件16.已知互异的复数,a b 满足0ab ≠,集合{}{}22,,a b a b =,则a b +=( ) (A) 2 (B) (C) 0 (D) 1-17.如图,四个边长为的小正方体排成一个大正方形,AB 是大正方形的一条边,)7,,2,1( =i P i 是小正方形的其余顶点,则)7,,2,1( =⋅i AP i 的不同值的个数为( ) (A) 7 (B) 5 (C) 3 (D)18.已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点,则关于x 和y的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是( )(A) 无论12,,k P P 如何,总是无解 (B) 无论12,,k P P 如何,总有唯一解 (C) 存在12,,k P P ,使之恰有两解 (D) 存在12,,k P P ,使之有无穷多解三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三体积V .角形123PP P ,如图,求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.设常数0≥a ,函数aa x f x x -+=22)(.(1)若4a =,求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=;(2)根据a 的不同取值,讨论函数)(x f y =的奇偶性,并说明理由.21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ,其中D 为顶端,AC 长35米,CB 长80米.设点A B 、在同一水平面上,从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.的长(1)设计中CD 是铅垂方向,若要求βα2≥,问CD 至多为多少(结果精确到0.01米)?(2)施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得38.1218.45αβ==,,求CD 的长(结果精确到0.01米).22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.在平面直角坐标系xOy 中,对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ,记1122()()ax by c ax by c η=++++.若0η<,则称点12,P P 被直线分隔.若曲线C 与直线没有公共点,且曲线C 上存在点12,P P 被直线分隔,则称直线为曲线C 的一条分隔线. (1)求证;点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔;(2)若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线,求实数k 的取值范围;(3)动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为曲线E .求E 的方程,并证明y 轴为曲线E 的分隔线.23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤,*n N ∈,11a =.(1)若1342,,9a a x a ===,求x 的取值范围; (2)若{}n a 是等比数列,且11000m a =,求正整数m 的最小值,以及m 取最小值时相应{}n a 的公比;(3)若10021,,,a a a 成等差数列,求数列10021,,,a a a 的公差的取值范围.参考答案一、填空题(本大题共有14题,满分56分)1.2π 2.6 3.3 4.2x =- 5.706. 7.1arcsin 38.24 9.(],2-∞ 11.(0,1) 12.73π 13.11514.[2,3] 二、选择题(本大题共有4题,满分20分) 15.B 16.D 17.C 18.B 三、解答题(本大题共有5题,满分74分) 19.(本题满分12分)解:在123PP P ∆中,13P A P A =,23P C PC =,所以AC 是中位线,故1224PP AC ==. 同理,234P P =,314P P =.所以123PP P ∆是等边三角形,各边长均为4.设Q 是ABC ∆的中心,则PQ ⊥平面ABC,所以AQ =,PQ ==.从而,13ABC V S PQ ∆=⋅=. 20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.解:(1)因为2424x x y +=-,所以()4121xy y +=-,得1y <-或1y >,且()241log 1y x y +=-.因此,所求反函数为()1241()log 1x f x x -+=-,11x x <->或. (2)当0a =时,()1f x =,定义域为R ,故函数()y f x =是偶函数;当1a =时,21()21x x f x +=-,定义域为()(),00,-∞+∞,2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---,故函数()y f x =为奇函数;当0a >且1a ≠时,定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞关于原点不对称,故函数()y f x =既不是奇函数,也不是偶函数.21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 解:(1)记CD h =.根据已知得tan tan 20αβ≥>,tan 35h α=,tan 80hβ=, 所以2280035180hh h ⨯≥>⎛⎫- ⎪⎝⎭,解得28.28h ≤≈.因此,CD 的长至多约为28.28米. (2)在ABD ∆中,由已知,56.57αβ+=,115AB =, 由正弦定理得()sin sin BD ABααβ=+ ,解得85.064BD ≈. 在BCD ∆中,由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅, 解得26.93CD ≈.所以,CD 的长约为26.93米.22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.(1)证:因为40η=-<,所以点,A B 被直线10x y +-=分隔.(2)解:直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组2241y kxx y =⎧⎨-=⎩有解,即12k <.因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线,故它们没有公共点,即12k ≥.当12k ≥时,对于直线y kx =,曲线2241x y -=上的点()1,0-和()1,0满足20k η=-<,即点()1,0-和()1,0被y kx =分隔.故实数k 的取值范围是11(,][,)22-∞-+∞.(3)证:设M 的坐标为(,)x y ,则曲线E 的方程为,即22[(2)]1x y x +-⋅=.对任意的0y ,()00,y 不是上述方程的解,即y 轴与曲线E 没有公共点.又曲线E 上的点()1,2-和()1,2对于y 轴满足0η<,即点()1,2-和()1,2被y 轴分隔. 所以y 轴为曲线E 的分隔线.23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.解:(1)由条件得263x ≤≤且933x x ≤≤,解得36x ≤≤.所以x 的取值范围是[3,6]x ∈. (2)设{}n a 的公比为q .由133n n a a ≤,且110n n a a q -=≠,得0n a >. 因为1133n n n a a a +≤≤,所以133q ≤≤.从而111111()10003m m m a q q ---==≥,131000m -≥,解得8m ≥.8m =时,1[,3]3q =.所以,m 的最小值为8,8m =时,{}n a (3)设数列10021,,,a a a 的公差为d .则133n n n a a d a ≤+≤,223n n a d a -≤≤,99,,2,1 =n .① 当0d >时,129899a a a a >>>> ,所以102d a <≤,即02d <≤. ② 当0d =时,129899a a a a ==== ,符合条件.③ 当0d <时,129899a a a a <<<< ,所以9999223a d a -≤≤,2(198)2(198)3d d d -+≤≤+,又0d <,所以20199d -≤<. 综上,10021,,,a a a 的公差的取值范围为2[,2]199-.。
2014年上海市高考数学试卷(文科)
2014年上海市高考数学试卷(文科)一、填空题(本大题共14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。
1.(4分)(2014•上海)函数y=1﹣2cos2(2x)的最小正周期是.2.(4分)(2014•上海)若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则(z+)•=.3.(4分)(2014•上海)设常数a∈R,函数f(x)=|x﹣1|+|x2﹣a|,若f(2)=1,则f(1)=.4.(4分)(2014•上海)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程.5.(4分)(2014•上海)某校高一、高二、高三分别有学生1600名,1200名,800名.为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为.6.(4分)(2014•上海)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为.7.(4分)(2014•上海)若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与轴所成角的大小为(结果用反三角函数值表示)8.(4分)(2014•上海)在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于.9.(4分)(2014•上海)设f(x)=,若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为.10.(4分)(2014•上海)设无穷等比数列{a n}的公比为q,若a1=(a3+a4+…a n),则q=.11.(4分)(2014•上海)若f(x)=﹣,则满足f(x)<0的x的取值范围是.12.(4分)(2014•上海)方程sin x+cos x=1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于.13.(4分)(2014•上海)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是(结果用最简分数表示).14.(4分)(2014•上海)已知曲线C:x=﹣,直线l:x=6,若对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的Q使得+=,则m的取值范围为.二、选择题(共4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分15.(5分)(2014•上海)设a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2且b>2”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.(5分)(2014•上海)已知互异的复数a,b满足ab≠0,集合{a,b}={a2,b2},则a+b =()A.2B.1C.0D.﹣117.(5分)(2014•上海)如图,四个边长为1的小正方形排成一个大正方形,AB是大正方形的一条边,P i(i=1,2,…,7)是小正方形的其余顶点,则•(i=1,2,…,7)的不同值的个数为()A.7B.5C.3D.118.(5分)(2014•上海)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是()A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解三、解答题(共5小题,满分74分)19.(12分)(2014•上海)底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC,其表面展开图是三角形P1P2P3,如图,求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.20.(14分)(2014•上海)设常数a≥0,函数f(x)=.(1)若a=4,求函数y=f(x)的反函数y=f﹣1(x);(2)根据a的不同取值,讨论函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由.21.(14分)(2014•上海)如图,某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米,设点A、B在同一水平面上,从A和B看D 的仰角分别为α和β.(1)设计中CD是铅垂方向,若要求α≥2β,问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)?(2)施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得α=38.12°,β=18.45°,求CD 的长(结果精确到0.01米).22.(16分)(2014•上海)在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1(x1,y1),P2(x2,y2),记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c),若η<0,则称点P1,P2被直线l 分隔,若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线.(1)求证:点A(1,2),B(﹣1,0)被直线x+y﹣1=0分隔;(2)若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线,求实数k的取值范围;(3)动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求E的方程,并证明y轴为曲线E的分隔线.23.(18分)(2014•上海)已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n,n∈N*,a1=1.(1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围;(2)若{a n}是等比数列,且a m=,求正整数m的最小值,以及m取最小值时相应{a n}的公比;(3)若a1,a2,…a100成等差数列,求数列a1,a2,…a100的公差的取值范围.2014年上海市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。
2014年高考(上海市)真题数学(文)试题及答案解析
2014 年上海市高考数学试卷(文科)分析一、填空题 (本大题满分 56 分 )本大题共有 14 题,考生一定在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,不然一律得零分.1.函数y 1 2cos2 (2 x) 的最小正周期是.2. 若复数 z=1+2 i,此中i是虚数单位,则( z1) z=___________.z3. 设常数a R ,函数 f (x) x 1 x2 a ,若 f (2) 1,则 f (1).4. 若抛物线2的焦点与椭圆x2 y 2y =2px 1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为___________.9 55.某校高一、高二、高三分别有学生1600 名、 1200 名、 800 名,为认识该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20 名学生,则高一、高二共抽取的学生数为.6.若实数 x,y 知足 xy=1, 则x2 + 2y2的最小值为 ______________.7. 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与底面角的大小为(结果用反三角函数值表示).8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于.x a, x0,9. 设f (x)1若f (0)是f ( x)的最小值,则a 的取值范围是.x, x 0,x10.设无量等比数列 { a n } 的公比为 q,若a1 lim ( a3 a4 ) ,则q= .n2 111.若f (x) x3 x 2 ,则知足 f ( x) 0 的x取值范围是.12. 方程sin x3cos x 1 在区间[0, 2 ]上的全部解的和等于.13.为加强安全意识,某商场拟在将来的连续10 天中随机选择 3 天进行紧迫分散操练,则选择的 3 天恰巧为连续 3 天的概率是(构造用最简分数表示) .14. 已知曲线C:x4 y 2,直线 l:x=6. 若对于点(m,),存在 C 上的点 P 和 l 上的点 Q 使A 0得AP AQ 0 ,则m的取值范围为.二、选择题:本大题共 4 个小题 ,每题 5 分 ,共 20 分 .在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的 .15. 设a,b R ,则“ a b 4 ”是“a2, 且b 2 ”的()( A )充分条件(B)必需条件( C)充分必需条件(D)既非充分又非必需条件16. 已知互异的复数a, b知足ab 0 ,会合 { a, b} ={ a2 , b2 }, 则a b = ()(A)2 (B)1 (C) 0 (D)117. 如图,四个边长为 1 的正方形排成一个大正方形,AB 是在正方形的一条边,P i(i 1,2, ,7) 是小正方形的其他各个极点,则AB AP i(i 1,2, ,7) 的不一样值的个数为()(A)7 (B)5 (C) 3 (D)118. 已知P1(a1,b1)与P2(a2, b2)是直线 y=kx+1 ( k 为常数)上两个不一样的点,则对于x 和 y 的方程组。
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2014年上海市高考数学试卷(文科)一、填空题(本大题共14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。
1.(4分)函数y=1﹣2cos2(2x)的最小正周期是.2.(4分)若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则(z+)•=.3.(4分)设常数a∈R,函数f(x)=|x﹣1|+|x2﹣a|,若f(2)=1,则f(1)=.4.(4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程.5.(4分)某校高一、高二、高三分别有学生1600名,1200名,800名.为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为.6.(4分)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为.7.(4分)若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与轴所成角的大小为(结果用反三角函数值表示)8.(4分)在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于.9.(4分)设f(x)=,若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为.10.(4分)设无穷等比数列{a n}的公比为q,若a1=(a3+a4+…a n),则q=.11.(4分)若f(x)=﹣,则满足f(x)<0的x的取值范围是.12.(4分)方程sinx+cosx=1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于.13.(4分)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是(结果用最简分数表示).14.(4分)已知曲线C:x=﹣,直线l:x=6,若对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的Q使得+=,则m的取值范围为.二、选择题(共4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分15.(5分)设a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2且b>2”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.(5分)已知互异的复数a,b满足ab≠0,集合{a,b}={a2,b2},则a+b=()A.2 B.1 C.0 D.﹣117.(5分)如图,四个边长为1的小正方形排成一个大正方形,AB是大正方形的一条边,P i(i=1,2,…,7)是小正方形的其余顶点,则•(i=1,2,…,7)的不同值的个数为()A.7 B.5 C.3 D.118.(5分)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是()A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解三、解答题(共5小题,满分74分)19.(12分)底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC,其表面展开图是三角形P1P2P3,如图,求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.20.(14分)设常数a≥0,函数f(x)=.(1)若a=4,求函数y=f(x)的反函数y=f﹣1(x);(2)根据a的不同取值,讨论函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由.21.(14分)如图,某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米,设点A、B在同一水平面上,从A和B 看D的仰角分别为α和β.(1)设计中CD是铅垂方向,若要求α≥2β,问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)?(2)施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得α=38.12°,β=18.45°,求CD的长(结果精确到0.01米).22.(16分)在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1(x1,y1),P2(x2,y2),记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c),若η<0,则称点P1,P2被直线l 分隔,若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线.(1)求证:点A(1,2),B(﹣1,0)被直线x+y﹣1=0分隔;(2)若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线,求实数k的取值范围;(3)动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求E的方程,并证明y轴为曲线E的分隔线.23.(18分)已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n,n∈N*,a1=1.(1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围;(2)若{a n}是等比数列,且a m=,求正整数m的最小值,以及m取最小值时相应{a n}的公比;(3)若a1,a2,…a100成等差数列,求数列a1,a2,…a100的公差的取值范围.2014年上海市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。
1.(4分)(2014•上海)函数y=1﹣2cos2(2x)的最小正周期是.【分析】由二倍角的余弦公式化简,可得其周期.【解答】解:y=1﹣2cos2(2x)=﹣[2cos2(2x)﹣1]=﹣cos4x,∴函数的最小正周期为T==故答案为:【点评】本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题.2.(4分)(2014•上海)若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则(z+)•=6.【分析】把复数代入表达式,利用复数代数形式的混合运算化简求解即可.【解答】解:复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则(z+)•==(1+2i)(1﹣2i)+1=1﹣4i2+1=2+4=6.故答案为:6【点评】本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查.3.(4分)(2014•上海)设常数a∈R,函数f(x)=|x﹣1|+|x2﹣a|,若f(2)=1,则f(1)=3.【分析】利用f(x)=|x﹣1|+|x2﹣a|,f(2)=1,求出a,然后求解f(1)即可.【解答】解:常数a∈R,函数f(x)=|x﹣1|+|x2﹣a|,若f(2)=1,∴1=|2﹣1|+|22﹣a|,∴a=4,函数f(x)=|x﹣1|+|x2﹣4|,∴f(1)=|1﹣1|+|12﹣4|=3,故答案为:3.【点评】本题考查函数值的求法,基本知识的考查.4.(4分)(2014•上海)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程x=﹣2.【分析】由题设中的条件y2=2px(p>0)的焦点与椭圆的右焦点重合,故可以先求出椭圆的右焦点坐标,根据两曲线的关系求出p,再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解:由题意椭圆,故它的右焦点坐标是(2,0),又y2=2px(p>0)的焦点与椭圆右焦点重合,故=2得p=4,∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2.故答案为:x=﹣2【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征,解答此类题,关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征,熟练运用这些性质与几何特征解答问题.5.(4分)(2014•上海)某校高一、高二、高三分别有学生1600名,1200名,800名.为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为70.【分析】根据分层抽样的定义,建立比例关系,即可得到结论.【解答】解:∵高一、高二、高三分别有学生1600名,1200名,800名,∴若高三抽取20名学生,设共需抽取的学生数为x,则,解得x=90,则高一、高二共需抽取的学生数为90﹣20=70,故答案为:70.【点评】本题主要考查分层抽样的应用,比较基础.6.(4分)(2014•上海)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为2.【分析】由已知可得y=,代入要求的式子,由基本不等式可得.【解答】解:∵xy=1,∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2,当且仅当x2=,即x=±时取等号,故答案为:2【点评】本题考查基本不等式,属基础题.7.(4分)(2014•上海)若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与轴所成角的大小为arcsin(结果用反三角函数值表示)【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍,可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,在轴截面中,求出母线与轴所成角的正弦值,进而可得母线与轴所成角.【解答】解:设圆锥母线与轴所成角为θ,∵圆锥的侧面积是底面积的3倍,∴==3,即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,故圆锥的轴截面如下图所示:则sinθ==,∴θ=arcsin,故答案为:arcsin【点评】本题考查的知识点是旋转体,其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,是解答的关键.8.(4分)(2014•上海)在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于24.【分析】由已知中的三视图,分别判断切割前后几何体的形状,并分别计算出切割前后几何体的体积,相减可得答案.【解答】解:由已知中的三视图,可知:大长方体的长,宽,高分别为:3,4,5,故大长方体的体积为:60,切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面,高为3的柱体,其底面面积为4×5﹣2×2×2×2=12,故切去两个小长方体后的几何体的体积为:12×3=36,故切割掉的两个小长方体的体积之和为:60﹣36=24,故答案为:24【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状是解答的关键.9.(4分)(2014•上海)设f(x)=,若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为(﹣∞,2] .【分析】分别由f(0)=a,x≥2,a≤x+综合得出a的取值范围.【解答】解:当x=0时,f(0)=a,由题意得:a≤x+,又∵x+≥2=2,∴a≤2,故答案为:(﹣∞,2].【点评】本题考察了分段函数的应用,基本不等式的性质,是一道基础题.10.(4分)(2014•上海)设无穷等比数列{a n}的公比为q,若a1=(a3+a4+…a n),则q=.【分析】由已知条件推导出a1=,由此能求出q的值.【解答】解:∵无穷等比数列{a n}的公比为q,a 1=(a3+a4+…a n)=(﹣a 1﹣a1q)=,∴q2+q﹣1=0,解得q=或q=(舍).故答案为:.【点评】本题考查等比数列的公比的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意极限知识的合理运用.11.(4分)(2014•上海)若f(x)=﹣,则满足f(x)<0的x的取值范围是(0,1).【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可.【解答】解:f(x)=﹣,若满足f(x)<0,即<,∴,∵y=是增函数,∴的解集为:(0,1).故答案为:(0,1).【点评】本题考查指数不等式的解法,指数函数的单调性的应用,考查计算能力.12.(4分)(2014•上海)方程sinx+cosx=1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于.【分析】由三角函数公式可得sin(x+)=,可知x+=2kπ+,或x+=2kπ+,k∈Z,结合x∈[0,2π],可得x值,求和即可.【解答】解:∵sinx+cosx=1,∴sinx+cosx=,即sin(x+)=,可知x+=2kπ+,或x+=2kπ+,k∈Z,又∵x∈[0,2π],∴x=,或x=,∴+=故答案为:.【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式,属基础题.13.(4分)(2014•上海)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是(结果用最简分数表示).【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,选择的3天恰好为连续3天的概率,须先求在10天中随机选择3天的情况,再求选择的3天恰好为连续3天的情况,即可得到答案.【解答】解:在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况,其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种,分别是(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6),(5,6,7),(6,7,8),(7,8,9),(8,9,10),∴选择的3天恰好为连续3天的概率是,故答案为:.【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式,属基础题.14.(4分)(2014•上海)已知曲线C:x=﹣,直线l:x=6,若对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的Q使得+=,则m的取值范围为[2,3] .【分析】通过曲线方程判断曲线特征,通过+=,说明A是PQ的中点,结合x的范围,求出m的范围即可.【解答】解:曲线C:x=﹣,是以原点为圆心,2 为半径的圆,并且x P∈[﹣2,0],对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的Q使得+=,说明A是PQ的中点,Q的横坐标x=6,∴m=∈[2,3].故答案为:[2,3].【点评】本题考查直线与圆的位置关系,函数思想的应用,考查计算能力以及转化思想.二、选择题(共4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分15.(5分)(2014•上海)设a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2且b>2”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【分析】根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判定.【解答】解:当a=5,b=0时,满足a+b>4,但a>2且b>2不成立,即充分性不成立,若a>2且b>2,则必有a+b>4,即必要性成立,故“a+b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件,故选:B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键,比较基础.16.(5分)(2014•上海)已知互异的复数a,b满足ab≠0,集合{a,b}={a2,b2},则a+b=()A.2 B.1 C.0 D.﹣1【分析】根据集合相等的条件,得到元素关系,即可得到结论.【解答】解:根据集合相等的条件可知,若{a,b}={a2,b2},则①或②,由①得,∵ab≠0,∴a≠0且b≠0,即a=1,b=1,此时集合{1,1}不满足条件.由②得,若b=a2,a=b2,则两式相减得a2﹣b2=b﹣a,即(a﹣b)(a+b)=﹣(a ﹣b),∵互异的复数a,b,∴a﹣b≠0,即a+b=﹣1,故选:D.【点评】本题主要考查集合相等的应用,根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键,注意要进行分类讨论.17.(5分)(2014•上海)如图,四个边长为1的小正方形排成一个大正方形,AB是大正方形的一条边,P i(i=1,2,…,7)是小正方形的其余顶点,则•(i=1,2,…,7)的不同值的个数为()A.7 B.5 C.3 D.1【分析】建立适当的平面直角坐标系,利用坐标分别求出数量积,由结果可得答案.【解答】解:如图建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(0,2),P1(0,1),P2(1,0),P3(1,1),P4(1,2),P5(2,0),P6(2,1),P7(2,2),∴,=(0,1),=(1,0),=(1,1),=(1,2),=(2,0),=(2,1),=(2,2),∴=2,=0,=2,=4,=0,=2,=4,∴•(i=1,2,…,7)的不同值的个数为3,故选C.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,属基础题.18.(5分)(2014•上海)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是()A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解【分析】判断直线的斜率存在,通过点在直线上,推出a1,b1,P2,a2,b2的关系,然后求解方程组的解即可.【解答】解:P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,直线y=kx+1的斜率存在,∴k=,即a1≠a2,并且b1=ka1+1,b2=ka2+1,∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1,①×b2﹣②×b1得:(a1b2﹣a2b1)x=b2﹣b1,即(a1﹣a2)x=b2﹣b1.∴方程组有唯一解.故选:B.【点评】本题考查一次函数根与系数的关系,直线的斜率的求法,方程组的解和指数的应用.三、解答题(共5小题,满分74分)19.(12分)(2014•上海)底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC,其表面展开图是三角形P1P2P3,如图,求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.【分析】利用侧面展开图三点共线,判断△P1P2P3是等边三角形,然后求出边长,利用正四面体的体积求出几何体的体积.【解答】解:根据题意可得:P1,B,P2共线,∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2,∠ABC=60°,∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°,∴∠P1=60°,同理∠P2=∠P3=60°,∴△P1P2P3是等边三角形,P﹣ABC是正四面体,∴△P1P2P3的边长为4,V P﹣ABC==【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力,几何体的侧面展开图和体积的求法.20.(14分)(2014•上海)设常数a≥0,函数f(x)=.(1)若a=4,求函数y=f(x)的反函数y=f﹣1(x);(2)根据a的不同取值,讨论函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由.【分析】(1)根据反函数的定义,即可求出,(2)利用分类讨论的思想,若为偶函数求出a的值,若为奇函数,求出a的值,问题得以解决.【解答】解:(1)∵a=4,∴∴,∴,∴调换x,y的位置可得,x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞).(2)若f(x)为偶函数,则f(x)=f(﹣x)对任意x均成立,∴=,整理可得a(2x﹣2﹣x)=0.∵2x﹣2﹣x不恒为0,∴a=0,此时f(x)=1,x∈R,满足条件;若f(x)为奇函数,则f(x)=﹣f(﹣x)对任意x均成立,∴=﹣,整理可得a2﹣1=0,∴a=±1,∵a≥0,∴a=1,此时f(x)=,满足条件;当a>0且a≠1时,f(x)为非奇非偶函数综上所述,a=0时,f(x)是偶函数,a=1时,f(x)是奇函数.当a>0且a≠1时,f(x)为非奇非偶函数【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性,利用了分类讨论的思想,属于中档题.21.(14分)(2014•上海)如图,某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米,设点A、B在同一水平面上,从A和B看D的仰角分别为α和β.(1)设计中CD是铅垂方向,若要求α≥2β,问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)?(2)施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得α=38.12°,β=18.45°,求CD的长(结果精确到0.01米).【分析】(1)设CD的长为x,利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论.(2)利用正弦定理,建立方程关系,即可得到结论.【解答】解:(1)设CD的长为x米,则tanα=,tanβ=,∵0,∴tanα≥tan2β>0,∴tan,即=,解得0≈28.28,即CD的长至多为28.28米.(2)设DB=a,DA=b,CD=m,则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°,由正弦定理得,即a=,∴m=≈26.93,答:CD的长为26.93米.【点评】本题主要考查解三角形的应用问题,利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键.22.(16分)(2014•上海)在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1(x1,y1),P2(x2,y2),记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c),若η<0,则称点P1,P2被直线l分隔,若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线.(1)求证:点A(1,2),B(﹣1,0)被直线x+y﹣1=0分隔;(2)若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线,求实数k的取值范围;(3)动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求E的方程,并证明y轴为曲线E的分隔线.【分析】(1)把A、B两点的坐标代入η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c),再根据η<0,得出结论.(2)联立可得(1﹣4k2)x2=1,根据此方程无解,可得1﹣4k2≤0,从而求得k的范围.(3)设点M(x,y),与条件求得曲线E的方程为[x2+(y﹣2)2]x2=1 ①.由于y轴为x=0,显然与方程①联立无解.把P1、P2的坐标代入x=0,由η=1×(﹣1)=﹣1<0,可得x=0是一条分隔线.【解答】解:(1)把点(1,2)、(﹣1,0)分别代入x+y﹣1可得η=(1+2﹣1)(﹣1﹣1)=﹣4<0,∴点(1,2)、(﹣1,0)被直线x+y﹣1=0分隔.(2)联立可得(1﹣4k2)x2=1,根据题意,此方程无解,故有1﹣4k2≤0,∴|k|≥.当|k|≥时,对于直线y=kx,曲线x2﹣4y2=1上的点(﹣1,0)和(1,0)满足η=﹣k2<0,即点(﹣1,0)和(1,0)被y=kx分隔.故实数k的取值范围是(﹣∞,﹣]∪[,+∞).(3)设点M(x,y),则•|x|=1,故曲线E的方程为[x2+(y﹣2)2]x2=1 ①.对任意的y0,(0,y0)不是上述方程的解,即y轴与曲线E没有公共点.又曲线E上的点(1,2)、(﹣1,2)对于y轴(x=0)满足η=1×(﹣1)=﹣1<0,即点(﹣1,2)和(1,2)被y轴分隔,所以y轴为曲线E的分隔线.【点评】本题主要考查新定义,直线的一般式方程,求点的轨迹方程,属于中档题.23.(18分)(2014•上海)已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n,n∈N*,a1=1.(1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围;(2)若{a n}是等比数列,且a m=,求正整数m的最小值,以及m取最小值时相应{a n}的公比;(3)若a1,a2,…a100成等差数列,求数列a1,a2,…a100的公差的取值范围.【分析】(1)由题意可得:,,代入解出即可;(2)设公比为q,由已知可得,,由于,可得.而,可得,再利用对数的运算法则和性质即可得出.(3)设公差为d,由已知可得3[1+(n﹣2)d],其中2≤n≤100,即,解出即可.【解答】解;(1)由题意可得:,∴;又,∴3≤x≤27.综上可得:3≤x≤6.(2)设公比为q,由已知可得,,又,∴.因此,∴,∴m=1﹣log q1000==1﹣=≈7.29.∴m的最小值是8,因此q7=,∴=.(3)设公差为d,由已知可得≤1+nd≤3[1+(n﹣1)d]即,令n=1,得.当2≤n≤99时,不等式即,.∴.综上可得:公差d的取值范围是.【点评】本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数的运算法则等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.参与本试卷答题和审题的老师有:lincy;qiss;静静;maths;豫汝王世崇;刘老师;zlzhan;szjzl;wyz123;whgcn;caoqz;沂蒙松(排名不分先后)菁优网2017年3月24日第1页(共1页)。