2020高考模拟试题三角函数部分解答题汇编(含答案)
2020高考数学全国各地模拟试题分类汇编5三角函数3理
2
2
【 黑龙江省绥棱一中 2020 届高三理科期末】 在△ ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是
且 a=2, cosB 4 5
（ 1） b=3, 求 sin A 的值。
a,b,c
（ 2）若△ ABC 的面积 S ABC =3，求 b,c 的值。
【答案】
(1)
cos B =
sin B = 由正弦定理
C．向左平移 6 个单位长度
D
．向左平移 3 个单位长度
【答案】 A
【 北 京 市 东 城 区 2020 学 年 度 高 三 数 第 一 学 期 期 末 】 如 图 所 示 ， 点 P 是 函 数
y 2 sin( x ) ( x R , 0) 的图象的最高点， M ， N 是该图象与 x 轴的交点，
， sin C
5 ，则 c
；a
．
4
5
【答案】 2 2 ， 6
【 福建省南安一中
(
) 3 cos
2
为
．
2020 届高三上期末】 若 [0, 2 0 ， 4 3 sin cos
]， 0
[ , ]， 44
， 则 cos( 2
R ，满足： ) 的值
【答案】 2 2
【安徽省六校教育研究会
2020 届高三联考】 设 △ABC 的内角 A, B, C 所对的边长分别为
3 ，边 BC＝
7 ， sin B 【答案】
21 ，求 △ ABC 的面积．
7
（ 1）因为 a 与 b 共线 ，所以 1 y ( 1 sin x 3 cos x) 0
22
2
则 y f (x) 2sin( x ) ，所以 f (x)的周期 T=2 , 3
2020高考—三角函数(解答+答案)
2020年高考——三角函数1.(20全国Ⅰ文18)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ABC △的面积；（2）若sin A C ，求C .2. （20全国Ⅱ文17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形．3.（20全国Ⅱ理 17）ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．4.（20新高考Ⅰ17）在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．5.(20天津16)（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求πsin(2)4A +的值．6.(20浙江18)（本题满分14分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2sin 0b A =． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．7.（20江苏16）（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒． （1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．8.（20全国Ⅱ理21）(12分)已知函数f (x )= sin 2x sin2x ．（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性； （2）证明: 33()f x ≤； （3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn ．9.(20北京17)（本小题13分）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．参考答案：1.解：（1）由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒，解得2c =-（舍去），2c =，从而a =ABC △的面积为12sin1502⨯⨯︒=（2）在ABC △中，18030A B C C =︒--=︒-，所以sin sin(30)sin(30)A C C C C =︒-=︒+，故sin(30)C ︒+=而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒.2．解：（1）由已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=． 所以21(cos )02A -=，1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin B C A -．由（1）知23B C π+=，所以2sin sin()33B B ππ--．即11sin 22B B =，1sin()32B π-=．由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形．3．解：（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，①由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，② 由①，②得1cos 2A =. 因为0πA <<，所以2π3A =.（2）由正弦定理及（1）得sin sin sin AC AB BCB C A===从而AC B =，π)3cos AB A B B B =--=-.故π33cos 3)3BC AC AB B B B ++=++=++.又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值3+4．解：方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由①ac =1a b c ==．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c =方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由③c =，与b c =矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．5．（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,4C a c ===，可得sin sin 13a C A c ==．（Ⅲ）解：由a c <及sin A =cos A == 进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 113A A A A A ===-=．所以，πππ125sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=．6.（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin B A A ，故sin B =， 由题意得π3B =. （Ⅱ）由πA B C ++=得2π3C A =-， 由ABC △是锐角三角形得ππ(,)62A ∈.由2π1cos cos()cos 32C A A A =-=-得11π13cos cos cos cos sin()]22622A B C A A A ++++=++∈.故cos cos cos A B C ++的取值范围是3]2.7.解：（1）在ABC △中，因为3,45a c B ===︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b =在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，，所以sin C =（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C =则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠==，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠.从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯8．解：（1）()cos (sin sin 2)sin (sin sin 2)f x x x x x x x ''=+22sin cos sin 22sin cos2x x x x x =+ 2sin sin3x x =．当(0,)(,)33x π2π∈π时，()0f x '>；当(,)33x π2π∈时，()0f x '<． 所以()f x 在区间(0,),(,)33π2ππ单调递增，在区间(,)33π2π单调递减．（2）因为(0)()0f f =π=，由（1）知，()f x 在区间[0,]π的最大值为()3fπ=，最小值为()3f 2π=．而()f x 是周期为π的周期函数，故|()|f x ≤． （3）由于32222(sin sin 2sin 2)nx xx333|sin sin 2sin 2|n x xx =23312|sin ||sin sin 2sin 2sin 2||sin 2|n n n x x x x x x -= 12|sin ||()(2)(2)||sin 2|n n x f x f x f x x -=1|()(2)(2)|n f x f x f x -≤，所以22223333sin sin 2sin 2()4n nnn x xx ≤=．9.。
2020年北京高三二模分类汇编三角函数(含解析)
2020北京高三二模数学汇编：三角函数一．选择题（共14小题）1．（2020•朝阳区二模）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）A．B．C．D．2．（2020•朝阳区二模）已知函数f（x）＝sin（2x﹣），则下列四个结论中正确的是（）A．函数f（x）的图象关于（，0）中心对称B．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称C．函数f（x）在区间（﹣π，π）内有4个零点D．函数f（x）在区间[﹣，0]上单调递增3．（2020•房山区二模）在△ABC中，若A＝，B＝，a＝2，则b＝（）A．B．C．D．4．（2020•东城区二模）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（）A．135平方米B．270平方米C．540平方米D．1080平方米5．（2020•西城区二模）在锐角△ABC中，若a＝2，b＝3，A＝，则cos B＝（）A．B．C．D．6．（2020•丰台区二模）下列函数中，最小正周期为π的是（）A．B．C．D．7．（2020•丰台区二模）在△ABC中，AC＝3，，AB＝2，则AB边上的高等于（）A．B．C．D．8．（2020•海淀区二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝（）A．B．C．cos2x D．﹣cos2x9．（2020•海淀区二模）在△ABC中，若a＝7，b＝8，cos B＝，则∠A的大小为（）A．B．C．D．10．（2020•密云区二模）设函数f（x）＝sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若，，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω＝，φ＝﹣B．ω＝，φ＝C．ω＝，φ＝D．ω＝，φ＝﹣11．（2020•顺义区二模）若α为任意角，则满足的一个k值为（）A．2 B．4 C．6 D．812．（2020•平谷区二模）若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A．B．C．sin（π+α）D．cos（π+α）13．（2020•房山区二模）函数f（x）＝sinπx cosπx的最小正周期为（）A．1 B．2 C．πD．2π14．（2020•顺义区二模）若角α的终边经过点P（1，﹣2），则sinα的值为（）A．B．C．﹣D．﹣二．填空题（共7小题）15．（2020•东城区二模）已知cos2α＝，则cos2（）﹣2cos2（π﹣α）的值为．16．（2020•东城区二模）从下列四个条件①a＝c；②C＝；③cos B＝﹣；④b＝中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC存在且唯一，你选择的三个条件是____（填写相应的序号），所选三个条件下的c的值为．17．（2020•丰台区二模）已知直线x+y+1＝0的倾斜角为α，则cosα＝．18．（2020•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，点M （x，﹣1）在角β的终边上．若，则sinβ＝；x＝．19．（2020•密云区二模）在△ABC中，三边长分别为a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC的最大内角的余弦值为，△ABC的面积为．20．（2020•平谷区二模）在△ABC中，，a2+b2﹣c2＝ab，c＝3，则∠C＝；a＝．21．（2020•顺义区二模）若将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为．三．解答题（共8小题）22．（2020•海淀区校级三模）在△ABC中，a＝3，，______．求c的值．从①∠B＝2∠A，②sin B＝sin2A，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．23．（2020•西城区二模）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③f（0）＝﹣1；④f（﹣）＝0．（Ⅰ）给出函数f（x）的解析式，并说明理由；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．24．（2020•昌平区二模）在△ABC中，a cos B＝b sin A．（Ⅰ）求∠B；（Ⅱ）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．25．（2020•密云区二模）已知函数f（x）＝cos x（2sin x+cos x）﹣sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当时，关于x的不等式f（x）≥m ______，求实数m的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．26．（2020•平谷区二模）已知函数，_________，求f（x）在的值域．从①若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，|x1﹣x2|的最小值为；②f（x）两条相邻对称轴之间的距离为；③若f（x1）＝f（x2）＝0，|x1﹣x2|的最小值为，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．27．（2020•顺义区二模）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a+b＝5，c＝3，______．是否存在以a，b，c为边的三角形？如果存在，求出△ABC的面积；若不存在，说明理由．从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．28．（2020•怀柔区二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos A﹣a sin B＝0．（1）求A；（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面积．29．（2020•海淀区校级三模）如图，在直角坐标系xOy中，锐角α的顶点是原点，始边与x轴非负半轴重合，终边交单位圆于点M（x1，y1），将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点M（x2，y2）．记f（α）＝y1+y2．（Ⅰ）求函数f（α）的值域；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c．若f（C）＝，c＝7，sin A+sin B＝，求△ABC的面积．2020北京高三二模数学汇编：三角函数参考答案一．选择题（共14小题）1．【分析】先求出∠BAD，然后利用正弦定理求出AD，再在△ADC中，求出AC．【解答】解：由题可知：∠BAD＝73.5°﹣26.5°＝47°，在△BAD中，由正弦定理可知：，即，则，又在△ACD中，，所以，故选：D．【点评】本题考查了解三角形，考查了学生数学建模思想，属于基础题．2．【分析】根据三角函数的周期性，对称性以及最值性分别进行判断即可．【解答】解：对于函数f（x）＝sin（2x﹣），令x＝，求得f（x）＝，0）中心对称；令x＝﹣，求得f（x）＝sin（﹣），故函数f（x）的图象不关于直线x＝﹣，故排除B；在区间（﹣π，π）上∈（﹣，）＝﹣8π，0，π时，故函数f（x）在区间（﹣π，π）内有4个零点；在区间[﹣，0]上∈[﹣，﹣]，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，涉及三角函数的周期性、对称性以及最值问题，结合三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．3．【分析】直接利用正弦定理即可求解．【解答】解：由正弦定理得：，∴，∴，解得：b＝3，故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，是基础题．4．【分析】根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S＝lr＝＝270（平方米）．故选：B．【点评】本题考查了扇形的面积公式应用问题，是基础题．5．【分析】由已知利用正弦定理可求sin B的值，结合B为锐角，利用同角三角函数基本关系式即可求解cos B的值．【解答】解：∵在锐角△ABC中，若a＝2，A＝，∴由正弦定理，可得sin B＝＝＝，∴由B为锐角，可得cos B＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，属于基础题．6．【分析】由题意利用三角函数的周期性，得出结论．【解答】解：∵函数y＝sin x的最小正周期为3π；∵函数y＝sin x的最小正周期为，故排除B；∵函数y＝cos（x+）的最小正周期为2π；∵函数y＝tan x的最小正周期为π，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．7．【分析】由已知及余弦定理可求cos A的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，设AB边上的高为h，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵AC＝3，，AB＝7，∴由余弦定理可得：cos A＝＝＝，可得sin A＝＝，∴设AB边上的高为h，则AB•h＝，∴×2×h＝．故选：B．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．【分析】根据平移变换法则求解g（x）解析式．【解答】解：函数的图象向左平移，可得y＝sin[2（x+）﹣）＝cos2x；故选：C．【点评】本题考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换法则，属于基础题．9．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，由正弦定理可得sin A，结合大边对大角可求A 为锐角，利用特殊角的三角函数值可求A的值．【解答】解：∵a＝7，b＝8，∴sin B＝＝，∴由正弦定理，可得sin A＝＝＝，∵a＜b，A为锐角，∴A＝．故选：C．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10．【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）＝求得φ值，即可得解．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得＞，又f（）＝）＝5＝﹣＝，∴T＝3π，则，即ω＝．∴f（x）＝sin（ωx+φ）＝x+φ），由f（）＝×+φ）＝）＝1．∴φ+＝+2kπ．取k＝0，得φ＝．∴ω＝，φ＝．故选：B．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y＝A sin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．11．【分析】根据函数值相等，可得后面为2π的整数倍，即可求解结论．【解答】解：因为；∴k•＝2nπ；∴k＝8n；n∈Z；故选：D．【点评】本题主要考察诱导公式的应用，属于基础题目．12．【分析】由角α的终边在第二象限，则sinα＞0，cosα＜0，利用诱导公式化简各个选项即可得解．【解答】解：角α的终边在第二象限，则sinα＞0，对于A，＝cosα＜4；对于B，cos（，错误；对于C，sin（π+α）＝﹣sinα＜0；对于D，cos（π+α）＝﹣cosα＞2；故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式的简单应用，属于基础题．13．【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求出它的最小正周期．【解答】解：函数，故它的周期T＝，故选：A．【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．14．【分析】由角α的终边经过点P（1，﹣2），利用任意角的三角函数定义求出sinα即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），∴x＝3，y＝﹣2，因此，sinα＝．故选：D．【点评】此题考查了任意角的三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．二．填空题（共7小题）15．【分析】由cos2α＝求得cos2α的值，再化简并计算所求三角函数值．【解答】解：由cos2α＝，得2cos2α﹣6＝，即cos6α＝；所以cos2（）﹣2cos3（π﹣α）＝sin2α﹣2cos2α＝1﹣3cos5α＝1﹣3×＝﹣1．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了二倍角的三角函数计算问题，是基础题．16．【分析】由①②结合正弦定理可得，，可求sin A，但是A不唯一，故所选条件中不能同时有①②，只能是①③④或②③④，若选①③④，结合余弦定理可求c；若选②③④，结合正弦定理即可求解．【解答】解：由①②结合正弦定理可得，，所以sin A＝sin C＝，故所选条件中不能同时有①②，故只能是①③④或②③④，若选①③④a＝c，cos B＝﹣，由余弦定理可得，，解可得，c＝；若选②③④，C＝，b＝，∴sin B＝，且B为钝角，由正弦定理可得，，解可得，c＝．故答案为①③④，，②③④，．【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档试题．17．【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角，即可求解cosα的值．【解答】解：直线x+y+1＝0的斜率k＝﹣3，∴直线x+y+1＝0的倾斜角α＝．∴cosα＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．18．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，点M（x，﹣1）在角β的终边上，1）在α的终边上，若＝，∴x＝±2＝﹣，故答案为：﹣，±2．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．19．【分析】由大边对大角可得，角C是△ABC的最大内角，由余弦定理即可求出cos C的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sin C的值，从而得到△ABC的面积．【解答】解：∵c＞b＞a，∴由大边对大角可得，角C是△ABC的最大内角，由余弦定理可得：cos C＝＝＝，又∵C∈（0，π）＝，∴△ABC的面积为＝，故答案为：，．【点评】本题主要考查了余弦定理以及三角形面积公式，是基础题．20．【分析】由已知利用余弦定理可求cos C＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值，进而根据正弦定理可得a的值．【解答】解：∵a2+b2﹣c8＝ab，∴可得cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝，∵，c＝3，∴由正弦定理，可得：＝．故答案为：，．【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．21．【分析】利用左加右减的原则，直接推出平移后的函数解析式即可．【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：y＝sin[7（x+）．故答案为：y＝sin（8x+）．【点评】本题考查三角函数的图象变换，注意平移变换中x的系数为1，否则容易出错误．三．解答题（共8小题）22．【分析】选①：由正弦定理及二倍角公式可求得cos A，从而可求得sin A，cos B，sin B，利用两角和的正弦公式求得sin C，再由正弦定理即可求得c的值．选②：由二倍角公式及正弦公式可求得cos A，由余弦定理即可求得c的值．选③：由三角形面积公式可求得sin C，从而可求得cos C，利用余弦定理即可求得c的值．【解答】解：如果选①：因为a＝3，，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理＝，得．所以．故．A∈（2，所以．所以．所以．在△ABC中，sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝．所以．如果选②：因为a＝3，，sin B＝sin2A，由正弦定理得：b＝2a cos A．故，由余弦定理可得：，即c2﹣8c+15＝0，解得c＝4或3．如果选③：，则，则：，所以．当时，，；当时，，．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．23．【分析】（Ⅰ）若函数f（x）满足条件③，则由f（0）＝A sinφ＝﹣1，推出与A＞0，0＜φ＜矛盾，可得函数f（x）不能满足条件③，由条件①，利用周期公式可求ω＝2，由条件②，可得A＝2，由条件④，可得f（﹣）＝0，结合范围0＜φ＜，可求φ＝，可得函数解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：（Ⅰ）若函数f（x）满足条件③，则f（0）＝A sinφ＝﹣1，这与A＞0，4＜φ＜，故函数f（x）不能满足条件③，所以函数f（x）只能满足条件①，②，④，由条件①，可得，又因为ω＞4，可得ω＝2，由条件②，可得A＝2，由条件④，可得f（﹣+φ）＝0，又因为8＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝4sin（2x+）．（Ⅱ）由7kπ﹣≤2x+，k∈Z+kπ≤x≤，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，，k∈Z．【点评】本题主要考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．24．【分析】（I）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tan B，进而可求B；（II）由余弦定理及基本不等式可求ac的范围，然后结合三角形的面积公式可求．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，因为，所以，因为sin A≠2，所以，所以tan B＝，因为3＜B＜π，所以，（Ⅱ）因为b＝2，c＝5a2＝a2+c3﹣2ac cos B，可得，所以a＝，c＝，所以．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．25．【分析】（I）先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性及周期性可求；（II）若选择①，由f（x）≥m有解，即m≤f（x）max，结合正弦函数的性质可求；若选择②，由f（x）≥m恒成立，即m≤f（x）min，结合正弦函数的性质可求．【解答】（Ⅰ）解：因为＝＝．所以函数f（x）的最小正周期T＝π．因为函数y＝sin x的单调增区间为，所以，解得．所以函数数f（x）的单调增区间为，（Ⅱ）解：若选择①由题意可知，不等式f（x）≥m有解max．因为，所以．故当，即时，f（x）取得最大值．所以m≤2．若选择②由题意可知，不等式f（x）≥m恒成立min．因为，所以．故当，即时，f（x）取得最小值．所以m≤﹣1．【点评】本题主要考查了二倍角公式辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档试题．26．【分析】根据所选的①主要说最大值和最小值之间的长度为半个周期．②对称轴之间的距离为半个周期③相邻函数零点之间的距离为半个周期，进一步利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．【解答】解：＝sinωx cosωx﹣＝＝．①若|f（x1）﹣f（x7）|＝2，|x1﹣x3|的最小值为；所以，解得ω＝1，所以f（x）＝sin（2x﹣），由于，所以，所以，故函数f（x）的值域为[﹣5，0]．②f（x）两条相邻对称轴之间的距离为；所以，解得ω＝1，所以f（x）＝sin（8x﹣），由于，所以，所以，故函数f（x）的值域为[﹣1，0]．③若f（x3）＝f（x2）＝0，|x4﹣x2|的最小值为，所以，解得ω＝1，所以f（x）＝sin（5x﹣），由于，所以，所以，故函数f（x）的值域为[﹣1，0]．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．27．【分析】不妨取，然后利用余弦定理结合a+b＝5，c＝3列方程组，即解出三角形，面积可求．【解答】解：（1）取cos，∴，结合a+b＝8，解得：a＝5，a＝c＝3．显然两种情况下，三角形面积相等：故S＝ab sin C＝2．（2）取cos C＝﹣，∴，结合a+b＝5，可得：ab＝12，消去b得a2﹣6a+12＝0，∵△＝﹣23＜0．故时，无解．（3）时，cos C＝．当cos C＝时，由（1）可知．当cos C＝﹣时，由（2）可知．【点评】本题考查正余弦定理及面积公式的应用，同时考查学生运用方程思想解决问题的能力．属于中档题．28．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得sin B cos A﹣sin A sin B＝0，结合sin B＞0，可求tan A＝，结合范围A∈（0，π），可得A的值．（2）由已知可求C＝，可求b的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵b cos A﹣a sin B＝0．∴由正弦定理可得：sin B cos A﹣sin A sin B＝0，∵sin B＞0，∴cos A＝sin A，∴tan A＝，∵A∈（7，π），∴A＝；（2）∵a＝2，B＝，∴C＝，∴b＝6，∴S△ABC＝ab＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．29．【分析】（I）根据三角函数的定义求出函数f（α）的表达式，即可求出处函数的值域；（Ⅱ）由f（C）＝，可得：sin（C+）＝1，结合范围0＜C＜π，解得C＝，由条件c＝7，sin A+sin B＝，结合正弦定理可得a+b＝13，由余弦定理可得ab＝40，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）∵由三角函数定义知，y1＝sinα，y2＝sin（α+），∴f（α）＝y1+y2＝sinα+sin（α+）＝），∵角α为锐角，∴＜α+＜，∴＜sin（α+，∴＜sin（α+，则f（α）的取值范围是（，]；（Ⅱ）∵f（C）＝sin（C+，可得：sin（C+，∵0＜C＜π，＜C+＜＝，即C＝．∵c＝3，sin A+sin B＝，∴由正弦定理可得：，可得：a+b＝13，∴由余弦定理可得：49＝a2+b8﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝169﹣6ab，解得：ab＝40，∴ab sin C＝．【点评】本题主要考查三角函数的定义以及正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21。
2020年高考各省市模拟试题分类汇编：三角函数及解三角形(解析版)
2020年高考各省市模拟试题分类汇编：三角函数及解三角形1．（2020·东北师大附中高三模拟（文））已知()4cos 5πα-=，且α为第三象限角，则sin 2α的值等于（ ）A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-【答案】C【解析】∵()4cos 5πα-=，∴4cos 5α=-，又α为第三象限角，∴3sin 5α=-，∴24sin 22sin cos 25ααα==，故选C 。
2．（2020·安徽省滁州市定远育才学校高三模拟（文））已知,60,2,1,,ABC BAC AB AC E F ∆∠===为边BC 的两个三等分点，则AE AF ⋅=（ ） A ．54B ．109C ．158D ．53【答案】D【解析】∵在△ABC 中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，∴根据余弦定理可知3AB=2，AC=1，3∠BCA=90° 以C 为坐标原点，CA 、CB 方向为x ，y 轴正方向建立坐标系 ∵AC=1，3C （0，0），A （1，0），B （03） 又∵E ，F 分别是Rt △ABC 中BC 上的两个三等分点， 则E （023 ），F （03）则23351,,1,333AE AF AE AF ⎛⎫⎛⎫=-=-∴⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选D 。
3．（2020·福建省华安一中、龙海二中高三联考（文））已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c .若3,2,30︒===a c B ，则ABC ∆的面积为（ ）A ．12B ．1C ．32D 3【答案】C 【解析】3,2,30︒===a c B ，113sin 32sin3022ABC S ac B ∆∴==⨯︒=C 。
4．（2020·福建省华安一中、龙海二中高三联考（文））若角θ的终边经过点34(,)55-，则sin()cos()tan(2)2πθπθπθ++-+-=（ ）A ．43B ．43- C ．34D ．34-【答案】A 【解析】由题()()44sin cos tan 2cos cos tan tan 233πθπθπθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-+-=--=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知4tan θ=-3，故本题答案选A 。
2020年高考试题三角函数汇编【题目+答案版】
2020年高考各地三角函数真题(1)【2020全国高考III卷(文)第5题】已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=()A. 12B. √33C. 23D. √22(2)【2020全国高考（浙江卷）第4题】函数y=xcosx+sinx在区间[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.(3)【2020全国高考III卷(理)第9题】已知2tanθ−tan(θ+π4)=7,则tanθ=()A. −2B. −1C. 1D. 2(4)【2020全国高考（天津）卷第7题】已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③(5)【2020全国高考（浙江卷）第13题】已知tttt=2，则ttt2t=______；tan(t−t4)=______．(6)【2020全国高考（江苏卷）第10题】将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．(7)【2020全国高考（江苏卷）第18题】在△ttt中，角A、B、C的对边分别为a、b、t.已知t=3，t=√2，t=45°．(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ttt=−45，求tan∠ttt的值．(8)【2020全国高考I卷(理)第16题】如图，在三棱锥t−ttt的平面展开图中，tt=1，tt=tt=，AB AC，AB AD，ttt=，则ttt=__________．(9) 【2020全国高考天津卷第15题】如图，在四边形ABCD 中，∠t =60°，tt =3，tt =6，且tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数t 的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．(10) 【2020全国高考（浙江卷）第18题】在锐角△ttt 中，角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t .已知2t sin t −√3t =0． (1)求角B ；(2)求cos t +cos t +cos t 的取值范围．(11) 【2020全国高考（上海卷）第18题】已知函数t (t )=sin tt ，t >0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f 2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x ∈[0,π4]，求g(x)的值域．(12) 【2020全国高考（天津卷）第16题】在△ttt 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，t .已知t =2√2，t =5，t =√13． (1)求角C 的大小； (2)求sin A 的值；(3)求sin (2t +t4)的值．(13) 【2020全国高考I 卷（文）第18题】∆ttt 的内角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t ，已知t =150∘．（1）若a =√3c ，b =2√7，求∆ABC 的面积；（2）若sinA +√3sinC =√22，求C ．(14) 【2020全国高考II 卷（理）第16题】∆ttt 中，sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ．(1) 求A ；(2) 若BC =3，求∆ABC 周长的最大值．(15) 【2020全国高考II 卷（文）第17题】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2(π2+A)+cosA =54．(1)求A ；(2)若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．（16）【2020全国高考II卷理科21题】已知函数t(t)=sin2t sin2t．(1)讨论t(t)在区间(0,t)的单调性；(2)证明：|t(t)|≤3√3；8(3)设t∈N∗，证明：sin2t sin22t sin24t⋯sin22t t≤3t．4t【答案】2020年高考各地三角函数真题(1)【2020全国高考III卷(文)第5题】已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=()A. 12B. √33C. 23D. √22解：∵sin (t+t3)=12sin t+√32cos t，∴sin t+sin (t+t3)=32sin t+√32cos t=√3sin (t+t6)=1得sin (t+t6)=√33故选：B．(2)【2020全国高考（浙江卷）第4题】函数y=xcosx+sinx在区间[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【解析】解：t=t(t)=ttttt+tttt，则t(−t)=−ttttt−tttt=−t(t)，∴t(t)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B，D，当t=t时，t=t(t)=ttttt+tttt=−t<0，故排除B，故选：A．先判断函数的奇偶性，再判断函数值的特点．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性额函数值得特点是关键，属于基础题．(3)【2020全国高考III卷(理)第9题】已知2tanθ−tan(θ+π4)=7,则tanθ=()A. −2B. −1C. 1D. 2解：∵2tan t−tan (t+t4)=2tan t−tan t+11−tan t=7，∴2tan t(1−tan t)−(tan t+1)=7−7tan t，整理得(tan t−2)2=0，∴tan t=2，故选D．(4)【2020全国高考（天津）卷第7题】已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；、②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．(5) 【2020全国高考（浙江卷）第13题】已知tttt =2，则ttt2t =______；tan (t −t4)=______． 【答案】−35 13【解析】解：tttt =2，则ttt2t =cos 2t −sin 2t cos 2t +sin 2t=1−tan 2t 1+tan 2t =1−41+4=−35．tan (t −t4)=tttt −tan t41+ttttttt t4=2−11+2×1=13． 故答案为：−35；13．利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问．本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查．(6) 【2020全国高考（江苏卷）第10题】将函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是______．解：因为函数t =3ttt (2t +t4)的图象向右平移t6个单位长度可得t (t )=t (t −t6)=3ttt (2t −t 3+t 4)=3ttt (2t −t12)，则t =t (t )的对称轴为2t −t12=t2+tt ，t ∈t ，即t =7t 24+tt2，t ∈t ，当t =0时，t =7t24， 当t =−1时，t =−5t24， 所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是t =−5t24， 故答案为：t =−5t 24．(7) 【2020全国高考（江苏卷）第18题】在△ttt 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、t .已知t =3，t =√2，t =45°． (1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ttt =−45，求tan ∠ttt 的值．【答案】解：(1)因为t =3，t =√2，t =45°.，由余弦定理可得：t =√t 2+t 2−2tttttt =√9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得t tttt =ttttt ，所以tttt =t t⋅ttt45°=√2√5⋅√22=√55，所以tttt =√55；(2)因为cos ∠ttt =−45，所以sin ∠ttt =√1−cos 2∠ttt =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得tttt =√1−sin 2t =2√55，所以在三角形ADC 中，sin ∠ttt =sin (∠ttt +∠t )=sin ∠tttttt ∠t +cos ∠tttttt ∠t =2√525，因为∠ttt ∈(0,t2)，所以cos ∠ttt =√1−sin 2∠ttt =11√525，所以tan ∠ttt =sin ∠ttt cos ∠ttt=211．(8) 【2020全国高考I 卷(理)第16题】如图，在三棱锥t −ttt 的平面展开图中，tt =1，tt =tt =，AB AC ，ABAD ，ttt =，则ttt =__________．解：由已知得tt =√2tt =√6， ∵t 、E 、F 重合于一点，∴tt =tt =√3，tt =tt =√6， ∴ △ttt 中，由余弦定理得，∴tt =tt =1， ∴在△ttt 中，由余弦定理得．故答案为．(9) 【2020全国高考天津卷第15题】如图，在四边形ABCD 中，∠t =60°，tt =3，tt =6，且tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，tt⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数t 的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． (10) 【答案】16 132(11) 【解析】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B =60°，AB =3，∴A(32,3√32)， ∵BC =6， ∴C(6,0)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ， 设D(x 0,3√32)， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52，∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5，∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132， 故答案为：16，132．以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．(12) 【2020全国高考（浙江卷）第18题】在锐角△ttt 中，角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t .已知2t sin t −√3t =0． (1)求角B ；(2)求cos t +cos t +cos t 的取值范围．【答案】解：(1)∵2t sin t =√3t ， ∴2sin t sin t =√3sin t ， ∵sin t ≠0， ∴sin t =√32， ，∴t =t3，(2)∵△ttt 为锐角三角形，t =t3， ∴t =2t3−t ，，△ttt 为锐角三角形，，，解得， ，，∴cos t+cos t+cos t的取值范围为(√3+12,32 ]．【解析】本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题．(1)根据正弦定理可得sin t=√32，结合角的范围，即可求出，(2)根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出．(13)【2020全国高考（上海卷）第18题】已知函数t(t)=sin tt，t>0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x∈[0,π4]，求g(x)的值域．【答案】解：(1)由于t(t)的周期是4t，所以t=2t4t =12，所以t(t)=sin12t．令sin12t=12，故12t=2tt+t6或2tt+5t6，整理得t=4tt+t3或t=4tt+5t3．故解集为{t|t=4tt+t3或t=4tt+5t3，t∈t}．(2)由于t=1，所以t(t)=sin t．所以t(t)=sin2t+√3sin(−t)sin(t2−t)=1−cos2t2−√32sin2t=−√32sin2t−12cos2t+12=12−sin(2t+t6)．由于t∈[0,t4]，所以t6≤2t+t6≤2t3．故−1≤−sin(2t+t6)≤−12，故−12≤t(t)≤0．所以函数t(t)的值域为[−12,0]．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．【2020全国高考（天津卷）第16题】在△ttt中，角A，B，C所对的边分别为a，b，t.已知t=2√2，t=5，t=√13．(1)求角C的大小；(2)求sin A的值；(3)求sin(2t+t4)的值．【答案】解：(1)由余弦定理以及a=2√2，b=5，c=√13，则cosC=a2+b2−c22ab =2×22×5=√22，∵C∈(0,π)，∴C=π4；(2)由正弦定理，以及C=π4，a=2√2，c=√13，可得sinA= asinCc=2√2×√22√13=2√1313；(3)由a<c，及sinA=2√1313，可得cosA=√1−sin2A=3√1313，则sin2A=2sinAcosA=2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A=2cos2A−1=513，∴sin(2A+π4)=√22(sin2A+cos2A)=√22(1213+513)=17√226．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(1)根据余弦定理即可求出C的大小；(2)根据正弦定理即可求出sin A的值；(3)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．(14)【2020全国高考I卷（文）第18题】∆ttt的内角t,t,t的对边分别为t,t,t，已知t=150∘．（1）若a=√3c，b=2√7，求∆ABC的面积；（2）若sinA+√3sinC=√22，求C．【答案】解：(1)由余弦定理得t2=t2+t2−2tt cos t，即28=3t2+t2−2√3t2cos150∘，解得t=4，所以t=4√3，所以t△ttt=12tt sin t=12×4√3×4×12=4√3．(2)因为t=180∘−t−t=30∘−t，所以sin t+√3sin t=sin(30∘−t)+√3sin t=12cos t+√32sin t=sin(30∘+t)=√22，因为t>0°，t>0°，所以0°<t<30°，所以30°<30°+t<60°，所以30°+t=45°，所以t=15°．【解析】【解析】本题考查余弦定理，三角形面积公式的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题．(1)由已知条件结合余弦定理可求得c，从而可根据三角形面积公式求解；(2)由两角差的正弦公式对已知式进行化简，再由辅助角公式根据C的范围求解即可．(15) 【2020全国高考II 卷（理）第17题】∆ttt 中，sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ．(2) 求A ；(2) 若BC =3，求∆ABC 周长的最大值．【答案】解：(1)在▵ttt 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ，由正弦定理得，t 2−t 2−t 2=tt ，即t 2+t 2−t 2=−tt ， 由余弦定理得，cos t =t2+t 2−t 22tt =−12，因为0<t <t ，所以t =2t 3． (2)由(1)知，t =2t3，因为tt =3，即t =3，由余弦定理得，t 2=t 2+t 2−2tt cos t ，所以9=t 2+t 2+tt =(t +t )2−tt ， 由基本不等式可得tt ≤(t +t )24，所以9=(t +t )2−tt ≥34(t +t )2,所以t +t ≤2√3(当且仅当t =t =√3时取得等号)， 所以▵ttt 周长的最大值为3+2√3．【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题． (1)直接利用正余弦定理即可求解；(2)利用余弦定理与基本不等式即可求解．(16) 【2020全国高考II 卷（文）第17题】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2(π2+A)+cosA =54．(1)求A ；(2)若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】【解答】解：(1)∵cos2(t2+t)+cos t=54，化简得cos2t−cos t+14=0，解得cos t=12，∵t是tttt的内角，故t=t3．(2)证明：∵t−t=√33t，t=t3，由正弦定理可得sin t−sin t=√33sin t=12，又t=t−t−t=2t3−t，∴sin(2t3−t)−sin t=12，化简可得√32cos t−12sin t=12，即可得cos(t+t6)=12，又t∈(0,2t3)，得t+t6∈(t6,5t6)，故可得t+t6=t3，即t=t6，故t+t=t3+t6=t2，∴tttt是直角三角形．【解析】本题考查了正弦定理的应用以及两角和差的正余弦公式的应用，考查了诱导公式和辅助角公式，属于中档题．(1)利用诱导公式和同角的三角函数关系对已知式进行化简，得到cos t=12，再结合A为三角形的一内角，即可求出角A；(2)利用正弦定理把t−t=√33t中的边化成角，得到sin t−sin t=√33sin t=12，再结合t+t=2t3，对式子进行化简，最后结合辅助角公式以及角C的范围，求出角C，即可证得三角形为直角三角形．（17）【2020全国高考II卷理科21题】已知函数t(t)=sin2t sin2t．(1)讨论t(t)在区间(0,t)的单调性；(2)证明：|t(t)|≤3√38；(3)设t∈N∗，证明：sin2t sin22t sin24t⋯sin22t t≤3t4t．【答案】解：(1)t(t)=sin2t⋅sin2t=2sin2t⋅sin t⋅cos t =2sin3t⋅cos tt′(t)=2[sin2t(3cos2t−sin2t)]=2sin2t⋅(√3cos t+sin t)⋅(√3cos t−sin t)=−8sin2t⋅sin(t+t3)⋅sin(t−t3)所以对于f’(t)有：当t∈(0,t3)时，t′(t)>0；当t∈[t3,23t]时，t′(t)≤0；当t∈(2t3,t)时t′(t)>0。
2020年高考模拟复习知识点试卷试题之高考数学三角函数高考题及练习题(含答案)
2 ＝－ 1. 1
1－（－ 3） ×2
3π 又α＋ 2β∈ 0， 2 ，
所以
α＋
2β＝
3π 4.
题型二 三角函数的图象与解析式问题
例 2 函数 f(x) ＝Asin( ωx＋φ)(A 、 ω、φ是常数， A>0 ，
(1) 求 f(0) 的值； π
(2) 若 0< φ<π， 求函数 f(x) 在区间 0， 3 上的取值范围．
8
8
所以－
4π
<2x
＋
π 4 <－
7π， 2
所以
－ 17 π，－ 8
15 8
π上是减函数．所以当
x1、 x2∈
－ 17 π，－ 8
15 8
π，
且 x1<x 2 时，
f(x) 在 都有
f(x 1)>f(x 2) ， 从 而 经 过 任 意 两 点 (x 1 ， f(x 1)) 和 (x 2 ， f(x 2)) 的 直 线 的 斜 率 k ＝
g(x) ＝2sin2
x
＋
π 6
＋
1＝
2sin
2x＋ π3 ＋1，
g(x) ＝ 0
sin
2x
π ＋3
＝
2020 年高考模拟复习知识点试卷试题之【高考精品】高考6语文知识点梳理
2020 年高考模拟复习知识点试卷试题之【高考精品】高考语文知识点梳理
－1 2
x＝ kπ－
π或 3
x＝kπ－
7 π， 12
k∈ Z, 即 g(x) 的零点相邻间隔依次为
2020 年高考模拟复习知识点试卷试题之【高考精品】高考语文知识点梳理
已知函数 f(x) ＝Asin ωx＋ Bcos ωx(A 、 B、 ω是常数，
浙江省2020年高考数学模拟题分项汇编 4 三角函数与解三角形(解析版)(54道题)
第四章.三角函数与解三角形1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.对三角恒等变换的独立考查，五年一考，对三角恒等变换与三角函数图象和性质的综合考查，五年五考，渐渐稳定为解答题，难度为中等.2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．对解三角形的考查，做到了五年五考，近三年为填空题，且设计两空.一.选择题1．(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)函数()2cos2f x x =的最小正周期是( ) A ．4π B ．2π C ．πD ．2π【答案】C 【解析】函数()2cos2f x x =的最小正周期是222T πππω===， 故选：C ．2．(2020届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三上期中)若函数()sin f x x ω=的最小正周期为π，则正数ω的值是( )A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】因为函数()sin f x x ω=的最小正周期为π所以222T ππωπ=== 故选：C3.(2020届浙江省台州五校高三上学期联考)为了得到函数的图象，可以将函数的图象 ( )A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度 【答案】C【解析】由题意，由于函数，观察发现可由函数向左平移个单位长度，可得到函数的图象，故选C.4．(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)已知3cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos α=( ) A ．35-B ．45-C ．45 D ．45±【答案】D 【解析】Q 3cos()25πα-=，3sin 5α∴=，则24cos 15sin αα=±-±．故选：D ．5.(2020届浙江省五校高三上学期联考)函数()()sin 22cos 0f x x x x π=+≤≤，则()f x ( ) A ．在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 B ．在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减C ．在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减 D ．在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 【答案】C 【解析】()()()()22cos22sin 22sin sin 102sin 1sin 10f x x x x x x x '=-=-+->⇒-+<，故151sin 0,,266x x πππ⎛⎫⎛⎫-<<⇒∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，故()f x 在0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，即在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减 答案选C6.(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)已知函数()2sin()(01,||)f x x ωϕωϕπ=+<<<，若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则⋅=ωϕ( ) A ．118π B ．1118π-C ．1172π-D ．772π 【答案】A 【解析】函数()2sin()f x x ωϕ=+的最大值为2， 若511()2,()088f f ππ==， 则115(21)884k T ππ+-=，k ∈N ； 所以3221T k ππω==+，解得423k ω+=；又因为01ω<<，所以23ω=； 由252382n ππϕπ⨯+=+，n Z ∈； 所以212n πϕπ=+，n Z ∈；因为||ϕπ<，所以12πϕ=；所以231218ππωϕ⋅=⨯=．故选：A ．7．(2020届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三上期中)若()sin cos f x x x =+在[,]a a -是增函数，则a 的最大值是( ) A ．4πB ．2π C ．34π D ．π【答案】A 【解析】函数()sin cos f x x x =+所以()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由正弦函数的单调递增区间可知, ()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为22,422k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈解得322,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 因为在[,]a a -是增函数所以a 的最大值是4π 故选:A8.(2020届浙江省五校高三上学期联考)在三角形ABC 中，已知sin cos 0sin A C B +=，tan 4A =，则tanB =( )A B ．C ．3D ．2【答案】D 【解析】()sin cos 0sin cos sin sin 2tan tan 0sin AC A C B B C B C B+=⇒=-=+⇒+=，()tan tan 2tan tan tan 1tan tan 2A B B A B B A B +⇒=+=⇒=- 故选D .9．(2020届浙江省五校高三上学期联考)若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=( )A ．23B ．56C ．1D ．2【答案】B 【解析】法一：由题意可知：当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 06x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，sin 06x ππ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，故当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，0x a b --≥，即有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B ； 法二：由sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭右图像可得：显然有510653161026a b a a b b a b ⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B10．(2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中)函数()(), ,00sin ),(xf x x xππ=∈-⋃的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由于πππ21π22sin2f ⎛⎫==>⎪⎝⎭，只有A 选项符合. 故选：A.11.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度后，得到()26g x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()y f x =的函数解析式为( )A ．()cos2f x x =-B ．()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()cos2f x x =D ．()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】把()26g x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位可得()sin 2sin 2cos 2662f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：C12.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)已知22ππαβ--＜＜，sin 2cos 1αβ-=，2cos sin αβ+=3sin πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ( )ABC．D．±【答案】B 【解析】将两个等式两边平方可得2222sin 4sin cos 4cos 1cos 4cos sin 4sin 2ααββααββ⎧-⋅+=⎨+⋅+=⎩，两式相加可得()54sin 3αβ--=，所以()1sin 2αβ-=， 22ππαβ-<-<Q ，6παβ∴-=，即6παβ=+，代入2cos sin αβ+=3sin 22ββ+=，所以sin 6πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故选：B13.(浙江省宁波市宁波十校2020届高三11月联考)函数f (x )＝sin (ωx +φ)(ω＞0，22ϕππ-＜＜)满足f (4π)＝f (2π)＝﹣f (34π)，且当x ∈[4π，2π]时恒有f (x )≥0，则( ) A ．ω＝2 B ．ω＝4C ．ω＝2或4D ．ω不确定【答案】A 【解析】由题意，函数()()sin ωϕ=+f x x ，因为f (4π)＝f (2π)＝﹣f (34π)，可得f (x )有一条对称轴为34228x πππ+==，对称点的横坐标为352428πππ+=， 又由x ∈[4π，2π]时恒有f (x )≥0，所以f (38π)＝1，又f (58π)＝0，53884πππ-=． 所以44T π=，344T π=， 可得当T ＝π，ω＝2；当T 3π=时，ω＝6，当x 34π=时，sin (6•34π+φ)＝cosφ＞0，不成立， 故选：A ．14.(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)已知π2cos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( )A ．59 B ．19 C ．19-D ．59-【答案】C 【解析】5πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=21cos 22cos 1669ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：C15．(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)已知()()sin f x x ωϕ=+，0>ω，2πϕ<，()f x 是奇函数，直线1y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则( ) A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减增 【答案】A 【解析】因为()f x 是奇函数，所以0,ϕ= 所以()sin f x x ω=； 又由已知得2,,22T πππω=∴=所以 4.ω=所以()sin 4.f x x =由函数的解析式可知()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.故选A.16.(2020届浙江省高三上学期百校联考)已知ABC △内接于半径为2的O e ，内角A ，B ，C 的角平分线分别与O e 相交于D ，E ，F 三点，若coscos cos (sin sin sin )222A B CAD BE CF λA B C ⋅+⋅+⋅=++，则λ=( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】连接BD ，在三角形ABD 中，由正弦定理得4sin 2ADA B =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故cos2A AD ⋅=4sin cos 22A A B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ4sin cos 222222B C B C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦4sin cos 2222B C B C ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin cos cos sin cos cos sin sin 22222222B C B C B C B C ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22222sin cos sin 2sin cos sin 2222C C B B B C ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2sin sin B C =+.同理可得()cos2sin sin 2B BE A C ⋅=+、()cos 2sin sin 2CCF A B ⋅=+，故cos cos cos 4(sin sin sin )222A B CAD BE CF A B C ⋅+⋅+⋅=++，故4λ=.故选D.17.(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)设的内角所对的边分别为，且，已知的面积，，则的值为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，变形为：，又为三角形的内角，，，即，为三角形的内角，可得：，，，解得：．故选：D ．18．(2019·9月浙江省丽水四校高三联考)已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=>的图像与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图像，则()y g x =是减函数的区间为( )．A ．,03π⎛-⎫⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】f(x)=sin ωx 3cos ωx=2sin(ωx )3π-因为图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π22T = 所以T π=，ω=2 所以f(x)=2sin(2x )3π-所以πg(x)=2sin[2(x+)]2sin2x 63π-=由π3π+k π2x +k π22≤≤得()π3π+2x +4242k k k Z ππ≤≤∈所以y=g(x)是减函数的区间为()π3π+,+4242k k k Z ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦分析选项只有D 符合 故选：D .19．(2020届浙江学军中学高三上期中)若O 是ABC △垂心，6A π∠=且sin cos sin cos B C AB C BAC +u u u r u u u r 2sin sin m B C AO =u u u r，则m =( )A ．12B C D ．6【答案】D 【解析】在ABC ∆中，sin sin 0B C ≠，由sin cos sin cos B C AB C BAC +u u u r u u u r 2sin sin m B C AO =u u u r，得cos cos 2sin sin C B AB AC m AO C B+=⋅u u u r u u u r u u u r ， 连接CO 并延长交AB 于D ，因为O 是ABC ∆的垂心，所以CD AB ⊥，AO AD DO =+u u u r u u u r u u u r，所以()cos cos 2sin sin C B AB AC m AD DO C B +=⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r 同乘以AB u u u r得，()cos cos 2sin sin C B AB AB AC AB m AD DO AB C B⋅+⋅=⋅+⋅u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2cos cos cos 22cos sin sin C Bc bc A m AD AB m b A c C B+=⋅⋅=⋅⋅u u u r u u u r因为6A π=，所以2cos cos sin sin 2C B c bc C B +=由正弦定理可得cos sin sin sin sin C C B C B C +=又sin 0C ≠，所以有cos sin 2C B B +=⋅， 而56C A B B ππ=--=-，所以51cos cos cos sin 622C B B B π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以得到1sin sin 2B B =，而sin 0B ≠，所以得到m =，故选：D.二.填空题20．(2020届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三上期中)已知角α的终边经过点(1,3)P -，则tan α=_________，sin()cos()2ππαα+-=_________.【答案】3- 34-【解析】由任意角的三角函数的定义可知3tan 31α==-- sin()sin παα+=-，cos()cos ()cos()sin 222πππαααα⎡⎤-=--=-=⎢⎥⎣⎦所以()()222233sin()cos()sin 2413ππααα⎡⎤⎢⎥+-=-=-=-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦故答案为：3-；34-21.(2020届浙江省台州五校高三上学期联考)在中，角分别对应边，为的面积.已知，，，则_______，_______.【答案】 6..【解析】由正弦定理得，，由余弦定理得，，则，所以.22.(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)已知将函数()()sin 06,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+<<-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则⋅=ωϕ______.【答案】34π- 【解析】由题意知：()sin 33g x f x x ππωωϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x Q 和()g x 的图象都关于4x π=对称,42,432k k Z k k Z ππωϕππππωωϕπ''⎧+=+∈⎪⎪∴⎨⎪++=+∈⎪⎩，解得：()3k k ω'=-，,k k Z '∈ 06ω<<Q 3ω∴= ,4k k Z πϕπ∴=-+∈又22ππϕ-<< 4πϕ∴=- 34πωϕ∴⋅=- 本题正确结果：34π-23．(2020届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三上期中)如图，四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中1AD =，4BC =，ADB CDB ∠=∠，则cos CDB ∠=__________，AC =____________.【答案】146【解析】由余弦定理可知：2222cos 288DC DB BC DB DBCDB DC DB DB +-∠===⋅ 2221cos 22AD DB AB ADB AD DB DB+-∠==⋅ 因为ADB CDB ∠=∠，所以182DB DB=，解得：2DB = 所以21cos 884DB CDB ∠=== 217cos cos 22cos 121168ADC CDB CDB ∠=∠=∠-=⨯-=-所以AC ===故答案为：14；24.(2020届浙江学军中学高三上期中中)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos c A C =，则C =__________，若c =ABC △的面积为2，则a b +=__________． 【答案】3π7 【解析】因为sin cos c A C =由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得，sin sin cos C A A C =而sin 0A ≠，所以tan C =()0,C π∈，所以3C π=.因为c =所以由余弦定理2222cos c a b ab C =+-可得2213122a b ab =+-⨯，即2231a b ab +-=因为ABC △，所以1sin 2ab C =所以6ab =，所以22249a b ab ++=， 所以7a b +=. 故答案为：3π；7. 25．(2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中)在锐角ABC △中，D 是线段BC 的中点，若2, 2,30AD BD BAD ==∠=︒，则角B =__________，AC =__________【答案】45o 823- 【解析】在三角形ABD 中，由正弦定理得sin sin AD BD B BAD=∠，解得2sin B =，由于三角形ABC 为锐角三角形，故45B =o .而30,45,75BAD B ADC ∠=∠=∠=o o o，在三角形ADC 中，由余弦定理得222cos75823AC AD DC AD DC =+-⋅⋅=-o .故答案为：(1)45o ；(2)823-.26.(2019·9月浙江省丽水四校高三联考)已知向量则=________、______，设函数，取得最大值时的x 的值是_______.【答案】【解析】由题设，即,故,由此可得；又，故当取最大值时，，即，所以应填，Z.27.(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且4tan 23α=，则tan 4tan 4παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于________. 【答案】9- 【解析】 由(0,)2πα∈，且4tan 23α=， 得22tan 413tan αα=-，解得tan 2α=-(舍)，1tan 2α=． ∴22tan 11tan()1tan 11tan 42()()9tan 111tan tan()141tan 2απαααπαααα++++-==-=-=-----+． 故答案为：9-．28．(浙江省宁波市宁波十校2020届高三11月联考)已知θ∈(0，π)，且sin (4π-θ)210=，则cos (θ4π+)＝_____，sin 2θ＝_____． 22425【解析】 由题意，因为sin (4π-θ)210=， 可得cos (θ4π+)＝cos [2π-(4πθ-)]＝sin (4π-θ)210=； 又由sin 2θ＝cos (22πθ-)＝cos 2(4πθ-)222241212(41025sin πθ⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭． 2，2425．29.(2020届浙江省五校高三上学期联考)已知0,6a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若2sin sin 21a a +=，则tan a =______；sin 2a =______.【答案】1245【解析】22221sin sin 21sin cos sin 2cos tan 2a a a a a a a +==+⇒=⇒=； 22tan 14sin 211tan 514a a a ===++所以1tan 2a =，4sin 25a =30.(2020届浙江省温州市11月适应测试)如图所示，四边形ABCD 中，7AC AD CD ===，120ABC ︒∠=，53sin 14BAC ∠=，则ABC ∆的面积为________，BD =________.【答案】15348 【解析】在ABC ∆中, 7AC =,120ABC ︒∠=,53sin 14BAC ∠=由正弦定理sin sin AC BCABC BAC=∠∠,代入得753sin120=o 解得5371453BC ==,而1cos cos1202ABC ∠==-o 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠代入可得214925102AB AB ⎛⎫=+-⋅⨯- ⎪⎝⎭解方程可求得3AB =则11sin 3722144ABC S AB AC BAC ∆=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=因为60DCA ∠=o ,11cos 14BAC ∠==且()sin sin BCA BAC ABC ∠=∠+∠sin cos sin cos BAC ABC ABC BAC =∠⋅∠+∠⋅∠111214⎛⎫=- ⎪⎝⎭=所以13cos 14BCA ∠== 则()cos cos DCB DCA BAC ∠=∠+∠cos cos sin sin DCA BCA DCA BCA =∠⋅∠-∠⋅∠11312147=⨯= 由余弦定理可知2222cos BD DC CB DC CB DCB =+-⋅⋅∠代入可得214925275647BD =+-⨯⨯⨯=所以8BD =故答案为:;8 31.(2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考)在ABC △中，D 为AC 中点，若2AB BC BD ===，cos ABC ∠=________，sin C =________________.【解析】由D 为AC 中点可得，1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r,所以2221132(2)(422cos )5443BD BA BC BA BC ABC =++⋅=++⨯∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,解得cos ABC ∠=由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯⨯∠32284223363=+-⨯⨯=,由正弦定理可得sin sin AB ACC ABC=∠,即3sin C =，解得sin C=32.(2019年9月浙江省嘉兴市高三测试)已知函数2()(1cos 2)sin f x x x =+(R x ∈)，则()f x 的最小正周期为_______；当[0,]4x π∈时，()f x 的最小值为________．【答案】2π. 0. 【解析】因为21cos 2()(1cos 2)sin (1cos 2)2-=+=+⋅xf x x x x 21cos 211cos 411cos 422444-+==-=-x x x ，所以()f x 的最小正周期为242T ππ==； 因为[0,]4x π∈，所以4[0,]π∈x ，所以cos 4[1,1]∈-x ， 因此，111()cos 40,442⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦f x x . 即()f x 的最小值为0. 故答案为(1)2π；(2)0 33．(2020届江苏高三月考)如图，在四边形ABCD 中，90BAC ∠=︒，4BC =，1CD =，2AB AD =，AC 是BCD ∠的角平分线，则BD =_____．【答案】21 【解析】设AD x =，则2AB x =,2164AC x =-, 又AC 是BCD ∠的角平分线，即ACB ACD ∠=∠,222cos cos 2AC AC CD ADACB ACD BCAC CD+-∠==∠=⋅3x ⇒=,即3AD =，2AC =，=60o ACB ACD ∠=∠，=120o BCD ∠2241241cos12021o BD =+-⨯⨯=故填2134.(2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考)在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点,D E 分别在线段,BC AB 上,36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE =________，cos CED ∠=________.【答案】326+ 22【解析】如图ABC ∆中，因为60EDC ∠=︒，所以120EDB ∠=︒， 所以sin sin BE BD EDB BED =∠∠，即2sin120sin15BE =o o，解得：sin152222BE===o在CEB∆中，由余弦定理，可得：2222cosCE BE CB BE CB B=+-⋅224(4=-=-，所以4CE=-2221cos22CE BE CBCEBCE BE+-∠==⋅，CEB60,︒∠=CED CEB BED45∠=∠-∠=o，所以cos2CED∠=；2.三.解答题35.(2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考)已知函数2()cos cosf x x x x=+．(1)求3fπ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若13,0,2103fαπα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cosα的值.【答案】(1)1；(2)4cos10α=【解析】(1)因为21cos21()cos cos sin22226xf x x x x x xπ+⎛⎫==+=++⎪⎝⎭，所以121511sin sin132362622fππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)由13,0,2103fαπα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得43sin,cos6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos cos cos cos sin sin666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭36．(2020届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三上期中)在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，cos 4cos a B b A =且1cos 7A =. (Ⅰ)求角B 的值；(Ⅱ)若8a =，求ABC ∆的面积. 【答案】(Ⅰ)3B π=,(Ⅱ)103【解析】(Ⅰ)∵cos 4cos a B b A ⋅=⋅，sin cos 4sin cos A B B A =,即1tan tan 4B A =，又∵1cos 7A =，∴2117tan 437A ⎛⎫- ⎪⎝=⎭=,∴tan 3B =, ∵tan 0B >, ∴B 为锐角 ∴3B π=,(Ⅱ)ABC ∆中，1cos 7A =，则43sin 7A =, 53sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=, 根据正弦定理5sin sin c ac C A=⇒=, ∴113sin 58103222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=. 37.(2020届浙江省台州五校高三上学期联考)已知，函数．(Ⅰ)若，求的单调递增区间；(Ⅱ)若的最大值是，求的值．【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由，可先由两角和差正弦公式、二倍角公式将函数解析式化简为，再根据余弦函数的单调递增区间，求出函数的单调递增区间；(Ⅱ)利用两角和余弦公式、二倍角公式整理得，由函数最大值为，且对于型函数的最大值为，又，从而问题可得解.试题解析：(Ⅰ)由题意由，得．所以单调的单调递增区间为，.(Ⅱ)由题意，由于函数的最大值为，即， 从而，又，故．38. (2019·新疆高二月考)已知,,a b c 分别为△ABC 三个内角,,A B C 的对边，且满足()(sin sin )()sin a b A B c b C +⋅-=-⋅．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)当2a =时，求△ABC 面积的最大值． 【答案】(Ⅰ)3A π=； (Ⅱ3.【解析】(Ⅰ)由正弦定理()()()sin sin sin a b A B c b C +⋅-=-⋅可得()()()a b a b c b c +-=-，化简即为222b c a bc +-=，从而2221cos 22b c a A bc +-==，所以3A π=．(Ⅱ)由2a =，根据余弦定理可得224b c bc bc =+-≥， 当且仅当b c =时，取等号；故1sin 2ABC S bc A ∆=≤ 此时△ABC 是边长为2的正三角形．39.(2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考)已知函数()1cos cos 34f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭π. (Ⅰ)求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值和()f x 的单调递增区间； (Ⅱ)函数()f x θ+是奇函数02⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，πθ，求函数()2y f x =+⎡⎤⎣⎦θ的值域. 【答案】(Ⅰ)132f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π，()f x 的单调递增区间是()236k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，πππππ(Ⅱ)104⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】(Ⅰ)因为()1cos cos 34f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭π1cos 224x x =- 1cos 223x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π， 所以132f ⎛⎫=-⎪⎝⎭π.令()2223k x k k Z -+≤+≤∈ππππ，则()236k x k k Z -≤≤-∈ππππ， 所以()f x 的单调递增区间是()236k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，πππππ. (Ⅱ)由()f x θ+是奇函数，得cos 203⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ，所以212k =+ππθ. 又02⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πθ，得12πθ=，所以()1sin 22f x x +=-θ，所以()()2211sin 21cos448y f x x x =+==-⎡⎤⎣⎦θ， 所以函数()2y f x =+⎡⎤⎣⎦θ的值域为104⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 40．(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,满足cos cos cos cos C A B A B +=． (1)求cos B 的值；(2)若2a c +=，求b 的取值范围【答案】(1)13；(2)23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】(1)因为cos cos cos cos C A B A B +=所以cos()cos cos cos A B A B A B -++=，即sin sin cos A B A B =因为sin 0A ≠，所以sin 0B B => 又因为22sin cos 1B B += 解得：1cos 3B =. (2)∵2a c +=，可得2c a =-，由余弦定理可得：2222222cos 3b ac ac B a c ac =+-=+-222284(2)(2)(1)333a a a a a =+---==-+∵02a <<，∴2323b ≤< 所以b 的取值范围为23,23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 41.(2020届浙江学军中学高三上期中中)已知函数()32sin cos()32f x x x π=++. (1)求函数()f x 的单调递减区间； (2)求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值及最小值.【答案】(Ⅰ)7[,]1212k k ππππ++，k Z ∈；(Ⅱ)()f x 取得最大值，()f x 取得最小值3-. 【解析】 (Ⅰ). ……………………………………3分由，，得，.即的单调递减区间为，.……………………6分(Ⅱ)由得， ………………………………8分所以. …………………………………………10分所以当时，取得最小值；当时，取得最大值1. ………………………………13分42．(2020届浙江学军中学高三上期中中)已知在ABC △中，1AB =，2AC =．(1)若BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ，求()2AD AB AC ⋅-u u u r u u u r u u u r；(2)若点E 为BC 的中点，求2211AE BC+u u u r u u u r 的最小值． 【答案】(1)0；(2)910【解析】(1)因为AD 是角平分线，从而得到12BD AB CD AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 所以可得2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，所以()21233AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅-=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()20AB AC ⋅-=u u u r u u u r；(2)在ABE ∆和ACE ∆由用余弦定理可得222cos 2AE BE AB AEB AE BE +-∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，222cos 2AE CE ACAEC AE CE+-∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 而BE CE =u u u r u u u r，cos cos AEB AEC ∠=-∠，所以得到22222222AE BE AB AE CE ACAE BE AE CE+-+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r整理得：224AE BC +u u u r u u u r ()22210AB AC =+=u u u r u u u r22221111110AE BC AE BC ⎛⎫ ⎪∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ()224AE BC +u u ur u u u r2222414110BC AEAE BC ⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r1951010⎛+= ⎝≥ 当且仅当2BC AE =u u u r u u u r时，等号成立.43.(2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中)已知平面向量(),,0,a cosx b cosx ⎫⎪⎪⎝⎭==r r，函数()2()f x a b x R =+∈r r.(1)求函数()f x 图象的对称轴； (2)当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域. 【答案】(1),2()6k x k Z ππ=+∈(2)【解析】(1))2,2a b cosx cosx +=+r r()f x==由262x k πππ+=+解得:,2()6k x k Z ππ=+∈， 所以函数()f x 图象的对称轴是直线,2()6k x k Z ππ=+∈ (2) 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，72666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以12,162sin x π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ 所以()f x ∈.所以()f x 的值城是44.(2019·9月浙江省丽水四校高三联考)已知函数()2sin cos 333x x x f x =+ (1)求函数()f x 图象对称中心的坐标；(2)如果ABC ∆的三边,,a b c 满足2b ac =，且边b 所对的角为B ，求()f B 的取值范围．【答案】(1)对称中心3,,222k k Z ππ⎛-+∈ ⎝⎭ (2)()2f B ∈+⎦【解析】(1)()2333x x x f x sincos =+．=12212323sin x cos x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，=sin(233x π+ 令233x k ππ+=(k∈Z )， 解得：x=322k ππ-(k∈Z )，所以函数的图象的对称中心为：3,22k k Z ππ⎛-+∈ ⎝⎭． (2)由于b 2=ac ，所以：cosB=22221222a cb ac ac ac ac +--≥=，则：03B π≤＜．所以：253339B πππ+≤＜，2133B sin π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，()12f B ≤+．则：f(B)的取值范围为：+．45.(2020届浙江省金丽衢十二校高三上学期第一次联考)设函数()sin cos f x x x =+，x ∈R . (Ⅰ)求()()f x fx π⋅-的最小正周期；(Ⅱ)求函数()33sin cos g x x x =+的最大值. 【答案】(Ⅰ)最小正周期为π；(Ⅱ)最大值为1. 【解析】 (Ⅰ)因为()()()sin cos f x f x x x π⋅-=+()22sin cos sin cos x x x x -=-cos2x =-所以()()f x fx π⋅-的最小正周期为π；(Ⅱ)由题()sin cos f x x x =+=4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭而()()sin cos g x x x =+()22sin sin cos cos x x x x -+()sin cos x x =+⋅()2sin cos 112x x ⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()2322f x f x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦()()31322f x f x -+令()f x t =，则()g x 的的最大值即为函数31322y t t =-+，t ⎡∈⎣的最大值，由()2312y t '=--可得函数在1⎡⎤-⎣⎦和⎡⎣上递减，在[]1,1-上递增.又x =2y =-；1x =时，1y =. 所以函数()g x 的最大值为1.46.(浙江省宁波市宁波十校2020届高三11月联考)已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b acosC =+．(1)求A ；(2)若a =ABC 的面积S 的最大值．【答案】(1)A 6π=【解析】(1)由题意，在ABC ∆中，b acosC =+，由正弦定理得sin sin sin cos B C A A C =+， 又由A B C π++=，可得sin sin[()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+所以sin cos cos sin sin sin cos A C A C C A A C +=+，即cosAsinC =，又因为sinC ≠0，所以cosA =，可得tanA =， 又由A ∈(0，π)，∴A 6π=．(2)由余弦定理可得cosA 2222b c a bc +-==，可得b 2+c 2﹣3=，因为b 2+c 2≥2bc ，所以3≥2bc ，可得bc≤=3(2，所以三角形的面积S 12=bcsin 634π+≤，当且仅当b ＝c =所以△ABC 的面积S ． 47.(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)在ABC △中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且7,8a b ==，3A π=. (1)求sin B 和c ；(2)若ABC △是钝角三角形，求ABC △的面积.【答案】(1) sin 7B =，5c =或3c =. (2) 【解析】(1)在ABC △中，因为7,8,3a b A π===，所以由正弦定理sin sin B Ab a=，得sin 8sin 7b A B a ===由余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+-得214964282c c =+-⨯⨯⨯即28150c c -+=，得5c =或3c =.(2)b a >Q ，b c >，所以B Ð为ABC △中最大的角，当5c =时，222cos 02a c b B ac +-=>，与ABC △为钝角三角形矛盾，舍掉，当3c =时，222cos 02a c b B ac+-=<，ABC △为钝角三角形，所以3c =所以1sin 2ABC S bc A ∆==48.(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)已知平面向量(sin 2,cos 2),(sin 2,cos 2)a x x b ϕϕ==r r，设函数()f x a b =⋅r r (ϕ为常数且满足0πϕ-<<)，若函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一条对称轴是直线8x π=.(1)求ϕ的值；(2)求函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值：(3)30y -+=与函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不相切．【答案】(1) 38ϕπ=- (2) 最大值和最小值分别为2和-1. (3)证明见解析 【解析】(1)可知()sin 2sin 2cos 2cos 2cos(22)f x a b x x x ϕϕϕ=⋅=+=-r r，所以cos 22sin(22)44f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 因为8x π=是函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象的一条对称轴， 所以22()82k k Z ππϕπ⨯+=+∈，得1()28k k Z πϕπ=+∈因为0πϕ-<<，所以31,8k ϕπ=-=-(2)所以3sin 244y f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以332,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和1-. (3)因为32cos 24y x π'⎛⎫=-⎪⎝⎭所以2y '≤即函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象的切线斜率的取值范围为[2,2]-，30y -+=2>，30y -+=与函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象不相切. 49.(2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考)函数()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭的图象过点12⎛ ⎝.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)求()f x 在[]0,2上的单调递增区间. 【答案】(Ⅰ)()2sin()4f x x ππ=+；(Ⅱ)1[0,]4和5[,2]4. 【解析】(Ⅰ)函数()f x 的周期T ，=ωπ∴把坐标1(2代入得2sin()2πϕ+=cos 2ϕ∴=又02πϕ<<，4πϕ∴=，()2sin()4f x x ππ∴=+(Ⅱ)令22,242k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈解得 3122,44k x k k Z -≤≤+∈ [0,2]x ∈Q()f x ∴在[]0,2上的单调递增区间是1[0,]4和5[,2]450．(2020届浙江省五校高三上学期联考)已知()sin 3f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，ABC △中，角,,A B C 所对的边为,,a b c . (1)若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域；(2)若()13f A =，a =2b =，求sin B 的值. 【答案】(1)11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)6【解析】()1sin sin sin 3223f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)∵51,,sin 2236632x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-⇒-∈-⇒-∈-1, ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦， 即()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦(2)()11sin 333f A A π⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，因为1132<，所以036A ππ<-<，或者563A πππ<-<，即32A ππ<<或者7463A ππ<<(舍去)，故cos 33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；1sin sin 336A A ππ⎛⎫+⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理得：sin sin a b A b =⇒sin 6B = 51.(2020届浙江省温州市11月适应测试)在锐角．．ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3b =，sin sin A a B +=．(1)求角A 的值；(2)求函数()()22cos cos f x x A x =--(0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的值域． 【答案】(1)3A π=(2)3,42⎡-⎢⎣⎦【解析】 (1)由正弦定理sin sin a b A B= ,可得sin sin 3sin a B b A A ==,则sin sin 4sin A a B A +==得sin 2A =, 又A 为锐角,故3A π=； (2)22()cos cos 3f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭21cos 21cos 2322x x π⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=-132cos 222x x ⎤=-⎥⎣⎦23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因02x π≤≤,故22333x πππ-≤-≤,于是sin 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,因此()34f x -≤≤即()f x的值域为34⎡-⎢⎣⎦.52.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)已知()222x x x f x sin cos sin a ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭． (1)求实数a 的值；(2)若443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2141tan παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+的值． 【答案】(1)12-；(2)516. 【解析】 (1)()()11122222242x x x f x sincos sin a sinx cosx a sin x a π⎛⎫⎛⎫=⋅++=-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，故102a +=，解得a 12=-． (2)由于f (x)24sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得43sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以4cos πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以224466sin sin ππαα+⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭．2446cos cos ππαα⎛⎫=-+=⎪⎝⎭或所以2626sin cos αα⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2626sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故22122122422211sin cos sin sin cos sin sin cos tan cos cos παααααααααααααα⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭===+++，所以当sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时．144523616sin cos αα-==．当2626sin cos αα⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，144523616sin cos αα-==， 所以原式516=． 53.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知223,39b a c c ==-+．(1)求A ；(2)求22sin sin B C +的取值范围． 【答案】(1)3π；(2)53,42⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】(1)在锐角△ABC 中，∵b ＝3，a 2＝c 2﹣3c +9， ∴可得c 2+b 2﹣a 2＝bc ，∴由余弦定理可得：cos A 2221222b c a bc bc bc +-===，∴由A 为锐角，可得A 3π=．(2)∵sin 2B +sin 2C ＝sin 2B +sin 2(23π-B )＝sin 2BB 12+sin B )2＝112+(B 12-cos2B )＝112+sin(2B 6π-)， 又∵022032B B πππ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜＜＜＜，可得6π＜B 2π＜，∴2B 6π-∈(6π，56π)， ∴sin(2B 6π-)∈(12，1]，∴sin 2B +sin 2C ＝112+sin(2B 6π-)∈(54，32]，即sin 2B +sin 2C 的取值范围是(54，32]．54.(2020届浙江省高三上学期百校联考)已知函数2()sin 2xf x x =- (1)求()f π的值；(2)求函数()y f x =的单调递增区间.【答案】(2)5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 【解析】(1)化简得()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，所以2()2sin3πf π==(2)由于2sin 3πy x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故π32ππk x k π-+剟，k ∈Z ， 解得函数()y f x =的单调递增区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .。
广州市2020年高三下学期高考数学模拟试题精选汇总：三角函数01 含答案
三角函数01一、选择题1 ．若f (x )a sin x b =+(a ，b 为常数)的最大值是5，最小值是-1，则ab 的值为 （ ）A ．、23-B ．、23或23- C ．、 32-D ．、322 ．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）（ ）A ．B ．C ．D ．3 ．在钝角△A BC 中,已知AB=3, AC=1,∠B=30°,则△ABC 的面积是（ ）A ．23 B ．43 C ．23 D ．43 4 ．设函数f(x)=Asin(ϕω+x )(A>0,ω>0,-2π<ϕ<2π)的图象关于直线x=32π对称,且周期为π,则f(x) （ ）A ．图象过点(0,21) B ．最大值为-AC ．图象关于(π,0)对称D ．在[125π,32π]上是减函数 5 ．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合,则ω的最小值是( )A ．23B ．43C ．32D ．36 ．已知21)4tan(=+απ,则ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值为( )A ．35-B ．56-C ．-1D ．27 ．为了得到函数x x x y2cos 21cos sin 3+=的图象,只需将函数x y 2sin =的图象（ ）A ．向左平移12π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向右平移6π个长度单位8 ．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为 （ ）A B ．2C ．12D ．12-9 ．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，，且1+2cos(B+C)=0，则BC 边上的高等于 （ ）A B C ．D 10．把函数=()y sin x x R ∈的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是 （ ）A ．=(2-),R 3y sin x x π∈ B ．=(+),R 26x y sin x π∈C ．=(2+),R 3y sin x x π∈D ． 2=(2+),R 3y sin x x π∈11．在∆ABC 中,A,B,C 为内角,且sin cos sin cos A A B B =,则∆ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形12．设函数sin()3y x π=+(x ∈R),则f(x)（ ）A ．在区间[-π,2π-]上是减函数 B ．在区间27[,]36ππ上是增函数 C ．在区间[8π,4π]上是增函数 D ．在区间5[,]36ππ上是减函数13．函数f(x)=sin2x-4sin 3xcosx(x ∈R)的最小正周期为（ ）A ．8π B ．4π C ．2π D ．π14．把函数sin(2)4yx π=+的图象向右平移8π个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，则所得图象对应的函数解析式是 （ ）A ．y=sin （4x+83π） B ．y=sin （4x+8π） C ． y=sin4x D ．y=sinx15．函数ln cos y x =⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππx 的图象是16．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,其中120,1A b ==o,且ABC ∆面积为3则sin sin a bA B+=+（ ）A 21B ．2393C ．21D ．2717．函数2()322sin f x x x =-,(02x π≤≤)则函数f(x)的最小值为（ ）A ．1B ．-2C ．√3D ．-√318．在∆ABC 中,tanA 是以-4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tanB 是以13为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 （ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对19．△ABC 的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,a A b B A a 2cos sin sin 2=+,则=ab（ ）A ．32B ．22C ．3D ．220．将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2)(πx x f 的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的21倍，所得图像关于直线4π=x 对称，则ϕ的最小正值为 （ ）A ．8πB ．83πC ．43πD ．2π答案 1. B2. 【答案】B【解析】边7对角为θ，则由余弦定理可知2225871cos ==2582θ+-⨯⨯，所以=60θo ，所以最大角与最小角的和为120o，选B.3. B4. D5. C6. B7. A8. C9. 【答案】D【解析】由12cos()0B C ++=，得112cos 0,cos 2A A -==，所以3A π=。
专题6 三角函数-2020届全国卷高考数学真题分类汇编含答案
专题6三角函数研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和延续性，每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定，掌握了全国卷的各种题型，就把握了全国卷命题的灵魂，基于此，潜心研究全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及高考数学考试说明，精心分类汇总至少最近三年全国卷的所有题型（按年份先理后文排列），对把握全国卷命题的方向，指导我们的高考有效复习，走出题海，快速提升成绩，会起到事半功倍的效果。
三角函数——近3年三角函数考了45道，每年理科1-3道小题，文科2-4道小题，当考3-4道小题时，当年就不在考三角函数大题了，题目多数难度较小，主要考查公式熟练运用、平移、图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用问题），多数属于“中档题”，小心平移（重点，难点，几乎年年考），也会有难题，如2016年全国1卷12题和2018年全国1卷16题的考法是比较难的，所以当了压轴题。
1.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理16））已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是．【答案】见解析。
【考点】利用导数研究函数的最值；三角函数的最值．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，可得此时x=，π或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．2.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理9））已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．3.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理12））已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．4.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理6））在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．5.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理10））若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．6.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理15））已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．【答案】见解析。
专题06 三角函数及解三角形——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编(解析版).docx
专题06三角函数及解三角形2020年高考真题1. ［2020年高考全国I卷理数】设函数f(x) = cos(®x + -)在［-”，兀］的图像大致如下图，则/(%)的最小正6周期为9 64兀3兀C. —D.兰3 2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点( 4 兀1T \将它代入函数/(兀)可得：cosl一- •<« + —1 = 0,又［-普,o］是函数/(兀)图象与x轴负半轴的第一个交点,十.I 4兀兀兀5 e 3所以-亍0+丁丐,解得r •2K _ 2兀_ 4兀所以函数/(%)最小正周期为=T=T=T2故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2. [2020 年高考全国I 卷理数】已知cc G (0,7i),且3COS2Q-8COSQ =5 ,贝0 sin^z =A. B.【答案】A又 a e (0, n),.'. sin a = Jl-cos? a =•故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解 能力，属于基础题.3.【2020年高考全国II 卷理数】若a 为第四象限角，则B. cos2a<0D. sin2a<0 【答案】D【解析】方法-：由。
为第四象限角，可得亍2炽“<2卄2炽从Z,所以 3兀 + 4k 兀 < 2a < 4兀 + 4-kn, e Z此时2a 的终边落在第三、四象限及V 轴的非正半轴上，所以sin2a<0,故选：D.兀方法二：当& =——时，cos 2a = cos 由a 在第四象限可得：sin a <0, cos a > 0 ,则由2 a 蕃1 aaz Qz < ，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力.C. sin2a>0>0,选项B 错误;<0,选项A 错误;【解析】3cos2a-8cosa = 5 ,得6cos 2tz-8coscr-8 = 0 -【答案】A2【解析】在ABC中，cosC = —, AC = 4, BC = 3, 3根据余弦定理：AB2 =AC2+BC2-2AC BC COS C，7AB- =42+32-2X4X3X-,3可得AB2 = 9，即AB — 3 ,… AB2+BC2-AC2 9 + 9-16 1由cos B = ------------------------- = ------------ =—,2ABBC2x3x3 9故cos B =—.9故选：A.5. [2020年高考全国III卷理数】已知2tan^-tan（0+ —）=7,则tan^=A. -2B. -1【答案】D【解析】2 tan - tan | ^ + — | = 7 , z. 2tan^~ tan^ + ^ =7 ,I 4 丿 1 - tan令/ = tan&,/Hl,则2/—土 = 7,整理得严_4/ + 4 = 0,解得t = 2,即tan6» = 2.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.6.【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（兀Day）.历史上，求圆周率兀的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数"充分大时，计算单位圆的内接正6“边形的周长和外切正6“边形（各边均与圆相切的正6“边形）的周长，将它们的算术平均数作为2兀的近似值.按照阿尔•卡西的方法，兀的近似值的表达式是2 71 、［/ — 71 -- 当“一 2571 6 _ 时，y = —1 二 2x^ + ^ = —+ 2^(^ e Z),3n < .30° 30°) 6n < .30° 30°) A. sin —— + tan ----- B. sin —— + tan ----- 1 n n 丿 I n n ) 3n (.60° 60°) 6n (.60° < 60°) c. sin ---- + tan ----- D. sin ----- + tan ----- I nn 丿 I nn ) 【答案】A 360° 60° 30° 【解析】单位圆内接正6〃边形的每条边所对应的圆周角为一 =——，每条边长为2sin —, nx6 n n 30° 所以，单位圆的内接正6〃边形的周长为12nsin ——, n30° 30° 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2tan —,其周长为12〃tan —, n n30° 30° 12nsin ----- 12ntan ---------.・.* 二 ----- n --------------- n _ 2( 30° 30°则 7i = 3n\ sin------ + tan --- I n n故选：A.【点睛】本题考查圆周率兀的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6〃边形和外切正6〃边形的 周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7. [2020年新高考全国I 卷】下图是函数y 二sin （亦+卩）的部分图像，贝!j sin （亦+卩）=【答案】BC=6“ sin 竺+ tan 竺, I n n ) A. sin(x + f)¥亠)【解析】由函数图像可知：- = -7T —— 2 3 71 _71 6~2 27T 则血=—=—=2,所以不选A, T 71 B.解得：cp 二 Ikn + 彳兀(£ e Z ),即函数的解析式为：y = sin| 2x + —TT + 2A ；7Z - | = sin| 2x + —+ —| = cos| 2x + — | = sin| — -2x I 3 丿(6 2丿(6丿(3 (\5/r而 cos I 2x + — I — - cos( — 2x) 故选：BC.【点睛】已知fix) =Asin(a}x +^)(A>0, e>0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的 是求待定系数e 和0常用如下两种方法：竺即可求出e ；确定y 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标xo,则令 exo+0 = O(或 a )xo+<p=7t'),即可求出 <p.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出co 和<p, 若对A, e 的符号或对°的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.&【2020年高考全国I 卷理数】如图，在三棱锥P ABC 的平面展开图中，AC=1, AB = AD =也,佔丄AC, AB±AD, ZCAE=30°,贝0 cosZFCB= _______________ .【答案】4【解析】 AB 丄AC, AB = j3, AC = E由勾股定理得BC = V A B 2+AC 2 = 2 ‘71 F(P)同理得 BD =品，：.BF = BD = ^，在△4CE 中，AC = 1, AE = AD =运,ZCAE = 30 ，由余弦定理得 CF = 3+^2—240 AEcos30 =l + 3-2xlxV3x —= 1, 2:.CF = CE = 1,在 BCF 中，BC = 2, BF =愿，CF = 1,CF~ + BC 2 -BF 2由余弦定理得cos ZFCB = 七——2CFBC故答案为：—. 4【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.9.【2020年高考全国III 卷理数】16.关于函数f (x) =sinx ——-—有如下四个命题: sinx®f (%)的图像关于y 轴对称.®f (x)的图像关于原点对称.1T®f (X )的图像关于直线x=3对称.®f (X )的最小值为2.其中所有真命题的序号是 __________ .【答案】②③所以，函数/(x)的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数/(X )的定义域为[x\x^kn,k^Z^ ,定义域关于原点对称, / ( -x) = sin (-%) + —r = - sin x - -— = -fsinx + -^―] = -/(%),sin (—兀) sinx I sinx)所以，函数/(x)的图象关于原点对称，命题②正确;1 + 4-6 2x1x2 【解析】对于命题①,A 7C \ . (7C ] 1(2 丿(2 ) .(7i' 7' 7 sm —+ x12所以，函数/(x)的图象关于直线x = |对称，命题③正确;对于命题④，当一7i<x<0时，sinx<0,贝J f(x} = sinx + — <0< 2 , sinx命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.JT 210.【2020年高考江苏】已知sin2(-+ <?) = -,则sin2a 的值是▲.4 3【解析】Qsin2(—+ cr) = (-^cosa-\——sin a)2 = —(1 + sin 2a)4 2 2 21 2 1— (1 + sin 2a) = —sin 2a =—2 3 3故答案为：-3【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.11.【2020年高考北京】若函数/(x) = sin(x+^) + cosx的最大值为2,则常数0的一个取值为 _______________IT TT【答案辽(2唸+亍心均可)【解析】因为 (兀)=cos ©sin 兀 +(sin 0 + 1)cos 兀=Jcos? 0 +(sin 0 + 1)2 sin (兀+ 0), 所以Jcos?(p + (sin(p +1『=2,解得sin0 = l,故可取^ = ~-7T7T故答案为：-(2^ + -,^eZ 均可). 2 2【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数 学运算能力，属于基础题.1T12. [2020 年高考浙江】已知 tan& = 2,则 cos2& = _______ , tan(6>-一) = ______ .3 1【答案】V 巧cos 2 0-sin 2 0 _ 1-tan 2 _ 1 -22cos 2 ^ + sin 2 0 1 + tan 2 0 1 + 223 1故答案为： 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13. [2020年高考江苏】将函数y = 3sin(2x +^)的图象向右平移夕个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最 4 6近的对称轴的方程是▲ • 【答案】2-峯 24V/ 'j I r jl【解析】y — 3sin[2(x ---- ) —] = 3 sin(2x ------ ) 6 4 12小 TC TC , , x 7 TT k/C 7 x2x ------ — —F k 兀G Z)x — ----------- 1 ---- (k G Z) 12 2 24 2当k = -1时兀=——• 24故答案为：x =———24 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14. [2020年新高考全国I 卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O 为圆孔 及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧与直线BC 的切点，四边 形 DEFG 为矩形，BC 丄DG,垂足为 C, tanZODC= - , BH//DG , EF=12 cm, DE=2 cm, A 到直线5DE 和EF 的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为 ___________ cm 2.【解析】cos 20 = cos 2 0 - sin 2 0 = tan <9-1 l + tan& 2-11 + 2【答案】4 + »兀 2【解析】设05 = OA=r,由题意AM = AN = 1, EF = \2，所以NF = 5,因为 AP = 5,所以 ZAGP = 45\因为 BH//DG,所以 ZAH0 = 45°，因为AG 与圆弧4B 相切于A 点，所以Q4丄4G,即AOAH 为等腰直角三角形；在直角△0QD 中，0Q = 5_^r ，DQ = l-—r ，2 2因为 tanZ0DC = -^ = |，所以 21- —r = 25-^r ， DQ 5 22 解得 r = 2A /2 ；等腰直角MAH 的面积为恥》2屈2尽4；I 所以阴影部分的面积为S] + S?—㊁兀=4 +三-•故答案为：4 + T.扇形A0B 的面积S 2 = =3乃，【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.15.【2020 年高考全国II 卷理数】/XABC 中，sin2A —sin2B—sin2C= sinBsinC.(1)求A；(2)若BC=3,求zMBC周长的最大值.【解析】(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2^AC AB，①由余弦定理得BC2 = AC2 +AB2- 2AC AB cos A，②由①，②得cos A =—.22兀因为0<4<兀，所以A =—.3(2)由正弦定理及(1)得上匕=少-=-?£ = 2巧，sin B sin C sin A从而AC = 2A/3 sin B , AB = 2^3 sin(兀一A - B) = 3 cos B一A/3 sin B.故BC + 4C + AB = 3 + 7^sinB + 3cosB = 3 + 2V^sin(B + ¥).X0<B<-,所以当B =-时，AABC周长取得最大值3 + 2^3-3 616.[2020年高考江苏】在A ABC中，角A, B, C的对边分别为°, b, c,已知a = 3,c =迈,B = 45。
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(三角函数)汇编【2023年真题】1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）已知1sin()3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=( ) A.79B.19C. 19-D. 79-2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题） 已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=( )A. 38B. 18-C. 34D. 14-+3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是__________.4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若||6AB π=，则()f π= .【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第6题）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为.T 若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，则(2f π=( ) A. 1B.32C.52D. 36.（2022·新高考II 卷 第6题）若sin()cos()4παβαβαβ+++=+，则( )A. tan()1αβ+=-B. tan()1αβ+=C. tan()1αβ-=-D. tan()1αβ-=7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象关于点2(,0)3π对称，则( ) A. ()f x 在5(0,)12π单调递减 B. ()f x 在11(,)1212ππ-有两个极值点 C. 直线76x π=是曲线()y f x =的一条对称轴D. 直线2y x =-是曲线()y f x =的一条切线【2021年真题】8.（2021·新高考I 卷 第4题）下列区间中，函数()7sin ()6f x x π=-单调递增的区间是( )A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭9.（2021·新高考I 卷 第6题）若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+( )A. 65-B. 25-C.25 D.65【2020年真题】10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选）如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+( )A. sin ()3x π+B. sin (2)3x π- C. cos (2)6x π+D. 5cos (2)6x π- 11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题）)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3tan 5ODC ∠=，//BH DG ，12EF cm =，2DE cm =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为__________2.cm参考答案1. （2023ꞏ新课标I 卷 第8题）解：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，则1sin cos .2αβ=故112sin()sin cos cos sin .263αβαβαβ+=+=+= 即2221cos(22)12sin ()12().39αβαβ+=-+=-⨯=故选B.2. （2023ꞏ新课标II 卷 第7题）解：22111cos 36114sin ()sin 222816424ααα+-----=====⇒=故选：.D3. （2023ꞏ新课标I 卷 第15题）解：令()cos 10f x x ω=-=，得cos 1x ω=，又[0,2]x π∈，则[0,2]x ωωπ∈，所以426πωππ<…，得2 3.ω<… 故答案为：[2,3).4. （2023ꞏ新课标II 卷 第16题）解： 设相邻的两个交点A ，B 的横坐标为1 t ，2 t ，则21 - 6t t π=又1sin()2x ωϕ+=，522,.0,66x k k k Z k ππωϕππ+=++∈=或当时 16t πωϕ+=，256t πωϕ+=，212( - )3t t πω=，故 4.ω=函数图象过点2(,0)3π，8sin ()03πϕ+=，故8 ,.3k k Z πϕπ=-∈ 2k =时满足图片条件，故2.3πϕ=-2()sin(4.32f πππ=-=- 5.（2022·新高考I 卷 第6题）解：由题可知：22(,)3T πππω=∈，所以(2,3).ω∈ 又因为()y f x =的图像关于点3(,2)2π中心对称，所以2b =，且33()sin() 2.224f b πππω=⨯++= 所以21(34k ω=-，k Z ∈，所以5.2ω=所以5()sin() 2.24f x x π=++所以() 1.2f π=6.（2022·新高考II 卷 第6题）解：解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除B ，D 再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除;A 选.C解法二：由sin()cos())]44ππαβαβαβαβ+++=++=++)cos 44ππαβαβ=++，cos )sin 44ππαβαβ+=+ 故sin()cos cos(044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=，故sin(sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=， 故sin()cos()αβαβ-=--，故tan() 1.αβ-=- 7.（2022·新高考II 卷 第9题）（多选） 解：由题意得：24(sin()033f ππϕ=+=， 所以43k πϕπ+=，即43k πϕπ=-+，k Z ∈， 又0ϕπ<<，所以2k =时，23πϕ=，故2()sin(2).3f x x π=+ 选项5:(0,)12A x π∈时，2232(,)332x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在5(0,)12π单调递减; 选项11:(,1212B x ππ∈-时，252(,)322x πππ+∈，由sin y u =图象知()f x 在11(,1212ππ-有1个极值点; 选项:C 由于，故直线76x π=不是()f x 的对称轴;选项:D 令，得21cos(232x π+=-， 解得222233x k πππ+=+或242233x k πππ+=+，k Z ∈，从而得x k π=或3x k ππ=+，k Z ∈，令0k =，则是斜率为1-的直线与曲线的切点，从而切线方程为(0)2y x -=--，即.2y x =- 8.（2021·新高考I 卷 第4题） 解：由22262k x k πππππ-+-+剟，得222,33k x k k Z ππππ-++∈剟， 所以()7sin ()6f x x π=-的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， 当0k =时，一个单调递增区间为2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故选：.A9.（2021·新高考I 卷 第6题）解：原式22sin (sin cos 2sin cos )sin cos θθθθθθθ++=+ 22sin (sin cos )sin sin cos sin cos θθθθθθθθ+==++22222sin sin cos tan tan 422sin cos tan 1415θθθθθθθθ++-====+++， 故选：.C10.（2020·新高考I 卷 第10题 、II 卷 第11题）（多选） 解：由图象可知222()||36T ππππω==-=，故A 错误; 解得2ω=±， 点5(,1)12π-在函数图象上， 当2ω=时，522,k Z 122k ππϕπ⨯+=-+∈， 解得42,k Z 3k πϕπ=-+∈，故44sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2ω=-时，522,k Z 122k ππϕπ-⨯+=-+∈ 解得2,k Z 3k πϕπ=+∈，故函数解析式为sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 26263x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选.BC11.（2020·新高考I 卷 第15题、II 卷 第16题） 解：设上面的大圆弧的半径为x ，连接OA ，过A 作AI BH ⊥交BH 于J ，交DG 于K ，交EF 于I ，过O 作OL DG ⊥于L ，记扇形OAB 的面积为S 扇形，由题中的长度关系易知45AGD ︒∠=，所以45AHO ︒∠=， 又90OAH ︒∠=，可得AOH 为等腰直角三角形，可得2OJ AJ x ==，52OL JK x ==-， 72DL DK LK DK OJ x=-=-=-，3tan 5OL ODC DL ∠==， 5352x-=，解得x =，12AOH O S S S S =+- 阴影圆扇形222131154()24222cm πππ=⨯⨯+⨯-=+，故答案为54.2π+。
2020年三角函数部分高考题(带答案)
作者：败转头作品编号44122544：GL568877444633106633215458 时间：2020.12.13三角函数部分高考题1.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ B ）A ．1BCD ．23.()2tan cot cos x x x +=( D )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x4.若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( C )（Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭5.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是C （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π=+，x R ∈（C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)32y x π=+，x R ∈ 6.设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则D（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）b a c <<7.将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（ C ）A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π8.已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)67sin(,354πα-（A ）-532 （B ）532 (C)-54 (D) 54 9.（湖北）将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3π平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是AA.π125 B. π125- C. π1211 D. 1112π- 10.函数2()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( C ) A.1 B.132+ C.32D.1+311.函数f(x)=sin 132cos 2sin x x x---(02x π≤≤) 的值域是B（A ）[-2,02] (B)[-1,0] （C ）[-2,0]（D ）[-3,0]12.函数f (x )=cos x (x )(x ∈R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象，则m 的值可以为AA.2πB.πC.－πD.－2π 13.在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是C（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 14.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =B （A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- 15.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ B ） A. 1 B. 2C. 1/2D. 1/316.0203sin 702cos 10--=（ C ）A.12B.2C. 2D.217.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是 218.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6π. 19.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ．10 20.已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ．π 21.已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．14322．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.23.在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长． 解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ··········· 5分 （Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， ···························· 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ························10分24.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=+112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 25.求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。
2020年山东新高考三角函数和解三角形精选模拟试题(含解析)
专题6 三角函数与解三角形1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．预测2020年将突出考查恒等变换与三角函数图象和性质的结合、恒等变换与正弦定理和余弦定理的结合.一、单选题1．（2020届山东省高考模拟）若()sin 753α︒+=，则()cos 302α︒-=（ ） A ．49B ．49-C ．59D ．59-2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）设(0,),(0,22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=3．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）直线:20l x y e -+=的倾斜角为α，则()sin sin 2ααπ⎛⎫π-+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．25-B ．15-C ．15D ．254．（2020·2020届山东省烟台市高三模拟）刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2o 的近似值为（ ）A ．π90B ．π180C ．π270D ．π3605．（2020·山东高三模拟）设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 6．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．415B ．158C ．154D ．1207．（2020·山东高三下学期开学）函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2πC ．2π D ．π8．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=A ．12B 3C ．12-D ．3 9．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=10．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（ ） A ．50 m B ．100 mC ．120 mD ．150 m二、多选题11．（2020届山东省高考模拟）已知函数sin ,4()cos ,4x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 不是周期函数B ．()f x 奇函数C ．()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．()f x 在52x π=处取得最大值12．（2020届山东省烟台市高三模拟）在ABC V 中，D 在线段AB 上，且5,3AD BD ==若52,cos CB CD CDB =∠=，则（ ） A ．3sin 10CDB ∠=B ．ABC V 的面积为8 C ．ABC V 的周长为85+D ．ABC V 为钝角三角形13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．56πϕ= B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．()2fϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴14．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知向量(()2sin 3,cos ,cos m x n x x ==u r r，函数()231f x m n =⋅+u r r，下列命题，说法正确的选项是（ ）A ．2()6f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭B ．6f x π⎛⎫-⎪⎝⎭的图像关于4x π=对称C ．若1202x x π<<<，则12()()f x f x <D ．若123,,,32x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则123()()()f x f x f x +>15．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到( ) A ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位B ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位 C ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位16．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 17．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知函数f （x ）＝|sinx ||cosx |，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的图象关于直线2x π=对称B ．f （x ）的周期为2π C ．（π，0）是f （x ）的一个对称中心 D ．f （x ）在区间42，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增18．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）将函数()213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ）A ，图象关于直线12x π=对称B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为πD ．图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 19．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）. A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．函数()f x 的图象关于直线8x π=对称:D ．函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到 20．（2020届山东省青岛市高三上期末）要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到( ) A ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位B ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位C ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位21．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．56πϕ= B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．()2fϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴22．（2020届山东省泰安市肥城市一模）设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数B ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．最大值为2 D ．其图像关于直线2x π=对称23．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）关于函数()3sin 21()3f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，下列命题正确的是（ ）A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成5()3cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点3,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()y f x =的图象关于直线12x π=-对称三、填空题24．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =，1c =，则b =__，ABC ∆面积的最大值为___.25．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知函数(),()f x x g x x ωω=，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线.①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________.26．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （e +x ）＝f （e ﹣x ），且f （0）＝0，当x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx 已知方程122f x sin x eπ=（）在区间[﹣e ，3e ]上所有的实数根之和为3ea ，将函数2314g x sin x π=+（）的图象向右平移a 个单位长度，得到函数h （x ）的图象，，则h （7）＝_____.四、解答题27．（2020·山东高三模拟）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知c =sin 2C =. （1）若1a =，求sin A ； （2）求ABC V 的面积S 的最大值.28．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 的面积． 29．（2020届山东省高考模拟） 在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC V 的面积为S ，()2223163c S b a +=-.（1）求tan B 的值；（2）若42S =，10a =，求b 的值．30．（2020届山东省菏泽一中高三2cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin2A Cb A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4a c +=，求ABC ∆的面积.31．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）在①()2223163c S b a +=-；②5cos 45b C c a +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC V 的面积为S ，已知________． （1）求tan B 的值；（2）若42,S =10a =，求b 的值．32．（2020届山东省泰安市肥城市一模）已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x -（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合. 33．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22233423b c bc a +-=. （1）求sin A ； （2）若3sin 2sin c A a B =，ABC ∆的面积为2，求ABC ∆的周长34．（2020届山东省淄博市高三二模）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足3sin cos 0A A +=.有三个条件：①1a =；②3b =；③34ABC S ∆=.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题： （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD ∆的面积.35．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，sin 1cos sin 2cos A AB B+=- （1）求证：2a b c =+； （2）若4cos 5A =，6ABC S =V ，求a 的值． 36．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角所对的边分别是.（Ⅰ）若依次成等差数列，且公差为2．求的值； （Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值37．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知函数()2123sin cos 2cos f x x x x m =--+在R 上的最大值为3.（1）求m 的值及函数()f x 的单调递增区间;（2）若锐角ABC ∆中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且()0f A =，求b c的取值范围.38．（2020届山东省济宁市高三3月月考）现给出两个条件：①232cos c b a B -=，②()23cos 3cos b c A a C -=，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：（选出一种可行的条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边( ).（1）求A ；（2）若31a =-，求ABC ∆面积的最大值.39．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）在平面四边形ABCD 中，ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，已知2AB BC CD ===，23AD =.（13cos A C -是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；（2）记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，求出2212S S +的最大值.40．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）现在给出三个条件：①a ＝2；②B 4π=；③c 3=.试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定△ABC ，并以此为依据，求△ABC 的面积.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足233b c cosA acosC =（），求△ABC 的面积（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分）41．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin sin 3b A a B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求角B 的大小；（2）求ca的取值范围 42．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）如图，在四边形ABCD 中，645,105,,2,32ADB BAD AD BC AC ∠=︒∠=︒===（1）求cos ABC ∠的值；（2）若记ABC α∠=，求sin 23πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 43．（2020·山东高三下学期开学）在①cos 2320B B +=，②2cos 2b C a c =-，③3sin b a A=三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．一、单选题1．（2020届山东省高考模拟）若()sin 753α︒+=，则()cos 302α︒-=（ ） A ．49B ．49-C ．59D ．59-【答案】D 【解析】令75αθ︒+=，则75αθ︒=- 由()sin 75α︒+=sin θ= ()()cos 302cos 30275θα︒︒︒---⎡⎤=⎣⎦()()2cos 1802cos 212sin θθθ︒=-=-=--251239⎡⎤⎛⎫⎢⎥=--⨯=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 故选D ．2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）设(0,),(0,22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【答案】C 【解析】由已知得，sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，去分母得，sin cos cos cos sin αβααβ=+，所以 sin cos cos sin cos ,sin()cos sin()2παβαβααβαα-=-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，即22παβ-=，选C3．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）直线:20l x y e -+=的倾斜角为α，则()sin sin 2ααπ⎛⎫π-+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】D 【解析】由已知得tan 2α=， 则()2222sin cos tan 22sin sin sin cos 2sin cos tan 1215ααααααααααπ⎛⎫π-+===== ⎪+++⎝⎭. 故选：D.4．（2020·2020届山东省烟台市高三模拟）刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2o 的近似值为（ ）A ．π90B ．π180C ．π270D ．π360【答案】A 【解析】由割圆术可知当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n︒, 所以每个等腰三角形的面积为21360sin2r n ︒, 所以圆的面积为221360sin2r n r n π︒=⋅,即3602sin n n π︒=, 所以当180n =时,可得3602sin sin 218018090ππ︒=︒==, 故选:A5．（2020·山东高三模拟）设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点， ∴5265ππωππ≤+<，∴1229510ω≤<. 故选:A.6．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．415B ．158C ．154D ．120【答案】C 【解析】由题意，根据给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4， 再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角301584l r α===（弧度），故选C. 7．（2020·山东高三下学期开学）函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2πC ．2π D ．π【答案】D 【解析】因为22cos 211213()cos cos 232232x f x x x πππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期为π.故选：D8．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=A ．12BC ．12-D． 【答案】A 【解析】由题意可得三角函数的定义可知：22cos 47sin cos 47sin 47cos 47α==+o o o o ，22sin 47cos sin 47sin 47cos 47α==+o oo o，则： ()()sin 13sin cos13cos sin13cos 47cos13sin 47sin131cos 4713cos 60.2ααα-=-=-=+==o o o o o o o o o o本题选择A 选项.9．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=【答案】D 【解析】函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D.10．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（ ）A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m【答案】A 【解析】如图,CD 为“泉标”高度,设高为h 米，由题意,CD ⊥平面ABD ,100AB =米,60BAD ︒∠=，,4530CAD CBD ︒∠=∠=o．在CBD V 中,BD 3h =,在CAD V中,AD h =, 在ABD △中,3,BD h AD h ==，,100AB =，60BAD ︒∠=,由余弦定理可得223100002100cos 60(50)(100)0h h h h h ︒=+-⨯∴-+=， 解得50h =或100h =- (舍去), 故选：B. 二、多选题11．（2020届山东省高考模拟）已知函数sin ,4()cos ,4x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 不是周期函数B ．()f x 奇函数C ．()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．()f x 在52x π=处取得最大值 【答案】AC 【解析】作出函数()f x 的图象如图：则由图象知函数()f x 不是周期函数，故A 正确； 不是奇函数，故B 错误，若0x >，2()cos()cos cos sin sin (cos sin )4444f x x x x x x ππππ+=+=-=-，2()sin()sin cos cos sin (cos sin )44442f x x x x x x ππππ-=-=-=-， 此时()()44f x f x ππ+=-，若0x …，2()sin()sin cos cos sin (cos sin )4444f x x x x x x ππππ+=+=+=+，2()cos()cos cos sin sin (cos sin )44442f x x x x x x ππππ-=-=+=+，此时()()44f x f x ππ+=-， 综上恒有()()44f x f x ππ+=-，即图象关于直线4x π=对称，故C 正确，()f x 在52x π=处55()()cos022f x f ππ===不是最大值，故D 错误， 故选：A C ．12．（2020届山东省烟台市高三模拟）在ABC V 中，D 在线段AB 上，且5,3AD BD ==若52,cos CB CD CDB =∠=，则（ ） A ．3sin 10CDB ∠=B ．ABC V 的面积为8 C ．ABC V 的周长为85+D ．ABC V 为钝角三角形【答案】BCD 【解析】 因为5cos CDB ∠=,所以225sin 1cos CDB CDB ∠=-∠=,故A 错误； 设CD a =,则2BC a =,在BCD V 中,2222cos BC CD BD BC CD CDB =+-⋅⋅∠,解得5a =,所以1125sin 35322DBC S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯=V ,所以3583ABC DBC S S +==V V ,故B 正确；因为ADC CDB π∠=-∠,所以()cos cos cos 5ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=,在ADC V 中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠,解得AC =所以()358ABC C AB AC BC =++=++=+V 故C 正确；因为8AB =为最大边,所以2223cos 025BC AC AB C BC AC +-==-<⋅,即C ∠为钝角,所以ABC V 为钝角三角形,故D 正确. 故选:BCD13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．56πϕ= B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．()2fϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴【答案】ABD 【解析】由题意，()()2sin 2f x x ϕ=+向右平移6π， 得2sin 22sin 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Q 的图象关于y 轴对称，所以32k ππϕπ-=+，k Z ∈6k k Z πϕπ5∴=+∈，，又0ϕπ<< 506k πϕ∴==，即()52sin 26x x f π⎛⎫+⎝=⎪⎭50221266f ff πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， 则,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，6x π=-是()f x 图象的一条对称轴而()2fϕ=，则C 错，A,B,D 正确故选：ABD14．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知向量(()2sin ,cos ,cos m x n x x ==u r r，函数()21f x m n =⋅+u r r，下列命题，说法正确的选项是（ ）A ．2()6f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭B ．6f x π⎛⎫-⎪⎝⎭的图像关于4x π=对称C ．若1202x x π<<<，则12()()f x f x <D ．若123,,,32x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则123()()()f x f x f x +>【答案】BD 【解析】函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，A ：当0x =时，166f x f ππ⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2201f x f -=-=+A 错； B ：()2sin 216f x x π⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，当4x π=时，对应的函数值取得最小值为1-，所以B 正确；C ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，23x π-2,33ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ，所以函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭不单调，故C 错；D ：因为,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以23x π-()2,1,333f x ππ⎡⎤⎤∈∴∈⎢⎥⎦⎣⎦，，又)213>，即2()()min max f x f x >()()()123123,,,32x x x f x f x f x ππ⎡⎤∈+>⎢⎥⎣⎦，恒成立，故D 对；故选：BD.15．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到( ) A ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位B ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位 C ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位【答案】ABC 【解析】对于A ，将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，可得sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项A 正确；对于B ，将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位也可得到， 113sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项B 正确； 对于C ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位，得到5sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项C 正确； 对于D ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，得到的sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，故选项D 不正确． 故选：ABC ．16．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC 【解析】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确； 对于选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k kx k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当单调递增,故B 错误； 对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323ππ⨯=,故C 正确；对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故D错误 故选：AC17．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知函数f （x ）＝|sinx ||cosx |，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的图象关于直线2x π=对称B ．f （x ）的周期为2πC ．（π，0）是f （x ）的一个对称中心D ．f （x ）在区间42，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】AB 【解析】因为函数f （x ）＝|sinx ||cosx |＝|sinxcosx |12=|sin 2x |， 画出函数图象，如图所示；由图可知，f （x ）的对称轴是x 4k π=，k ∈Z ； 所以x 2π=是f （x ）图象的一条对称轴， A 正确；f （x ）的最小正周期是2π，所以B 正确； f （x ）是偶函数，没有对称中心，C 错误； 由图可知，f （x ）12=|sin 2x |在区间42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调减函数，D 错误. 故选：AB.18．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）将函数()3213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ）A ，图象关于直线12x π=对称B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为πD ．图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】BCD 【解析】将函数()213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，得到()21212133y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++-=+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数()g x x =的图象，对于函数()g x 于当12x π=时，()32g x =-，不是最值，故()g x 的图象不关于直线12x π=对称，故A 错误； 由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为22ππ=，故C 正确； 当4x π=时，()0g x =，故函数()g x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确. 故选：BCD19．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）. A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．函数()f x 的图象关于直线8x π=对称:D ．函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到 【答案】BC 【解析】2()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确；C 选项，因为8f π⎛⎫=⎪⎝⎭()f x 的最大值，则()f x 的图象关于直线8x π=对称，结论正确；D 选项，设()2g x x =n ，则()222442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n ，结论错误．故选：BC ．20．（2020届山东省青岛市高三上期末）要得到cos 2y x =的图象1C ,只要将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象2C 怎样变化得到( ) A ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位 B ．将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位 C ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ,再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位【答案】ABC 【解析】对于A ，将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，可得sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项A 正确；对于B ，将sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位也可得到， 113sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项B 正确； 对于C ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位，得到5sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象1C ，故选项C 正确； 对于D ，先作2C 关于x 轴对称，得到sin 23y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭的图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位，得到的sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，故选项D 不正确． 故选：ABC ．21．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．56πϕ= B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．()2fϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴【答案】ABD 【解析】由题意，()()2sin 2f x x ϕ=+向右平移6π， 得2sin 22sin 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Q 的图象关于y 轴对称，所以32k ππϕπ-=+，k Z ∈6k k Z πϕπ5∴=+∈，，又0ϕπ<< 506k πϕ∴==， 即()52sin 26x x f π⎛⎫+⎝=⎪⎭50221266f ff πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， 则,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，6x π=-是()f x 图象的一条对称轴而()2fϕ=，则C 错，A,B,D 正确故选：ABD22．（2020届山东省泰安市肥城市一模）设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数B ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．最大值为2 D ．其图像关于直线2x π=对称【答案】ABD 【解析】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.选项A ：()2))()f x x x f x -=-==，它是偶函数，本说法正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，本说法正确；选项C ：()2f x x =，本说法不正确；选项D ：当2x π=时，()22f x π=⨯=因此当2x π=时，函数有最小值，因此函数图象关于2x π=对称，本说法正确. 故选：ABD23．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）关于函数()3sin 21()3f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，下列命题正确的是（ ）A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成5()3cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点3,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()y f x =的图象关于直线12x π=-对称【答案】BD 【解析】函数()3sin 21()3f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭， 周期22T ππ==， 对于A ：当16x π=，223x π=时，满足()()121f x f x ==，但是不满足12x x -是π的整数倍，故A 错误；对于B ：由诱导公式，53sin 213cos 213cos 213623x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎡⎤⎢⎝⎥⎭⎣⎦⎭，故B 正确； 对于C ：令34x π=，可得33153213144322f sin πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 对于D ：当12x π=-时，可得3sin 113121263f πππ⎛⎫⎛⎫-=--+=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 的图象关于直线12x π=-对称；故选：BD . 三、填空题24．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =，1c =，则b =__，ABC ∆面积的最大值为___.【答案】112【解析】因为sin sin b A a C =，所以由正弦定理可得ba ac =，所以1b c ==;所以111S 222ABC bcsinA sinA ∆==≤，当1sinA =，即90A =︒时，三角形面积最大. 故答案为(1). 1 (2). 1225．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线.①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________.【答案】2π 2π【解析】函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点， 当1ω=时，()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==．所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为22 222⋅+⋅=． 所以：()121122ABC S ππ∆⋅⋅+＝＝． 如图所示：①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为2π；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则22222222πω⎫⎪⎪⎭⋅＝， 解得ω的最小值为 2π． 故答案为：2π， 2π．26．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （e +x ）＝f （e ﹣x ），且f （0）＝0，当x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx 已知方程122f x sin x eπ=（）在区间[﹣e ，3e ]上所有的实数根之和为3ea ，将函数2314g x sin x π=+（）的图象向右平移a 个单位长度，得到函数h （x ）的图象，，则h （7）＝_____.【答案】33104+ 【解析】因为f （e +x ）＝f （e ﹣x ），所以f （x ）关于x ＝e 对称，又因为偶函数f （x ）， 所以f （x ）的周期为2e .当x ∈（0，e ]时，f （x ）＝lnx ，于是可作出函数f （x ）在[﹣e ，3e ]上的图象如图所示， 方程1()22f x sin x e π=的实数根是函数y ＝f （x ）与函数122y sin x eπ=的交点的横坐标， 由图象的对称性可知，两个函数在[﹣e ，3e ]上有4个交点，且4个交点的横坐标之和为4e ，所以4e ＝3ea ，故a 43=， 因为235()314222g x sin x cos x ππ=+=-+， 所以345325()()()22322232h x cos x cos x πππ=--+=--+， 故3253310(7)232h sin π+=+=. 故答案为：3310+.四、解答题27．（2020·山东高三模拟）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知42c =25sin 25C =. （1）若1a =，求sin A ； （2）求ABC V 的面积S 的最大值.【答案】（1）sin A =（2）4 【解析】（1）∵23cos 12sin25C C =-=-，∴4sin 5C =，由正弦定理sin sin a c A C =得sin sin a C A c ==（2）由（1）知3cos 5C =-，2222266162cos 2555c b a b a C b a ba ab ba ba =+-⋅⋅=++≥+=， 所以16325ba ≥，10ba ≥，114sin 104225S ba C =≤⨯⨯=， 当且仅当a b =时，ABC V 的面积S 有最大值4.28．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 的面积．【答案】（1）,2p p 轹÷ê÷÷êøë；（2 【解析】（1）依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+?，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p 轹÷ê÷÷êøë. （2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 02a c b B ac +-==<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为11sin 5322bc A =⨯⨯=29．（2020届山东省高考模拟） 在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC V 的面积为S ，()2223163c S b a +=-.（1）求tan B 的值；（2）若42S =，10a =，求b 的值．【答案】（1）34；（2）b =【解析】（1）在ABC V 中， 由三角形面积公式得，1sin 2S ac B =， 由余弦定理得，222cos 2c a b B ac +-=，Q ()2223163c S b a +=-， ∴()222316S c a b =+-， 整理可得()22233sin cos 84c a b B B ac+-==， 又()0,B π∈，∴sin 0B >，故cos 0B >，∴sin 3tan cos 4B B B ==. （2）由（1）得3tan 4B =， Q ()0,B π∈, ∴3sin 5B =， Q 42S =，10a =， ∴113sin 10342225S ac B c c ==⨯⋅==， 解得14c =，Q ()2223163c S b a +=-，∴b ===.30．（2020届山东省菏泽一中高三2cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin2A Cb A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4a c +=，求ABC ∆的面积.【解析】在横线上填写cos )sin b C a c B -=”.cos sin )sin sin B C A C B -=. 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得sin sin sin B C C B =. 由0C π<<，得sin 0C ≠.所以sin B B =.又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0,B =22sin cos 0B B +=这与22sin cos 1B B +=矛盾），所以tan B =又0B π<<，得23B π=.由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-， 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△142=⨯=在横线上填写“22cos a c b C +=”. 解：由22cos a c b C +=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C ++=.又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 所以有2cos sin sin 0B C C +=.因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠. 从而有1cos 2B =-.又(0,)B π∈， 所以23B π=由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+- 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.所以11sin 422ABC S ac B ==⨯=V在横线上填写“sin sin2A Cb A +=”解：由正弦定理，得sin sin sin 2BB A A π-=.由0A π<<，得sin A θ≠，所以sin 2B B =由二倍角公式，得2sincos 222B B B =.由022B π<<，得cos 02B ≠，所以sin 22B =. 所以23B π=，即23B π=.由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-. 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△1422=⨯⨯=31．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）在①()2223163c S b a +=-；②5cos 45b C c a +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC V 的面积为S ，已知________． （1）求tan B 的值；（2）若42,S =10a =，求b 的值．【答案】（1）34；（2） 【解析】（1）选择条件①．()2223163c S b a +=-，所以()2221316sin 32⨯+=-c ac B b a ， 整理得：()2228sin 3ac B a c b=+-．即2224sin 32a c b B ac+-=⋅. 整理可得3cos 4sin B B =，又sin 0B >．所以cos 0B >，所以sin 3tan cos 4B B B ==. 选择条件②．因为5cos 45bC c a +=，由正弦定理得，5sin cos 4sin 5sin B C C A +=，5sin cos 4sin 5sin()B C C B C +=+，即sin (45cos )0C B -=， 在ABC V 中，sin 0C ≠，所以cos 45B =，3sin 5B ==，所以3tan 4B =. （2）由3tan 4B =，得3sin 5B =，又42,S =10a =，则113acsin 1042225S B c ==⨯⨯=，解得14c =.将42,S =10,a =14c =代入()222261636c S c a =++-中，得()2222614164231410b ⨯=⨯++-，解得b =32．（2020届山东省泰安市肥城市一模）已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x -（1）求()f x 的单调递增区间；。
专题6 三角函数-2020届全国卷高考数学真题分类汇编含答案
专题6三角函数研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和延续性，每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定，掌握了全国卷的各种题型，就把握了全国卷命题的灵魂，基于此，潜心研究全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及高考数学考试说明，精心分类汇总至少最近三年全国卷的所有题型（按年份先理后文排列），对把握全国卷命题的方向，指导我们的高考有效复习，走出题海，快速提升成绩，会起到事半功倍的效果。
三角函数——近3年三角函数考了45道，每年理科1-3道小题，文科2-4道小题，当考3-4道小题时，当年就不在考三角函数大题了，题目多数难度较小，主要考查公式熟练运用、平移、图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用问题），多数属于“中档题”，小心平移（重点，难点，几乎年年考），也会有难题，如2016年全国1卷12题和2018年全国1卷16题的考法是比较难的，所以当了压轴题。
1.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理16））已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是．【答案】见解析。
【考点】利用导数研究函数的最值；三角函数的最值．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，可得此时x=，π或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．2.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理9））已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．3.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理12））已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．4.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理6））在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．5.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理10））若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．6.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理15））已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．【答案】见解析。
三角函数—高考真题文科数学分项汇编(解析版)
y
f
(x)的图象．
其中所有正确结论的序号是
A．①
B．①③
【答案】B
C．②③
D．①②③
2
【解析】因为 f (x) sin(x )，所以周期T 2 2，故①正确；
3
f ( ) sin( ) sin5 1 1，故②不正确；
2
23
62
将函数 y sin x的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 y sin(x )的图象，
2
D．2
【答案】C
sin x
【解析】 f (x)
tan x 1 tan2 x
cos 1(sin
x sin xcos x 1sin2x，
x) 2
2
cos x
故所求的最小正周期为T 2π π，故选 C. 2
【名师点睛】函数 y Asin(x ) B(A 0, 0)的性质：
(1) ymax=B+A，ymin B A.
对应的函数为
gx.若
g
π4
2
，则
f
3π 8
A．−2
B． 2
C． 2
D．2
【答案】C
【解析】∵ f (x)为奇函数，∴ f (0) Asin 0,=kπ,k Z,k 0, 0；
∵ f x的最小正周期为π，T
2π
π,∴
2，
∴ g(x) Asin 1x Asin x,
2
又 g(π) 2，∴ A 2，
f x max
3
2
5 2
4，故选
B.
【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质， 在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
2020高考全国试题分类解析(三角函数部分)
选择题1.（北京卷）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 D （A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β （C ）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D ）cos(α+β)<cosα＋cosβ2.（北京卷）函数f (x )=cos xA （A ）在[0,),(,]22πππ上递增，在33[,),(,2]22ππππ上递减（B ）在3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减（C ）在3(,],(,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22πππ上递减（D ）在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22πππ上递减3.（全国卷Ⅰ）当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为D（A ）2 （B ）32 （C ）4（D ）344.（全国卷Ⅰ）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断：B① 1cot tan =⋅B A② 2sin sin 0≤+<B A ③ 1cos sin 22=+B A④ C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 （A ）①③（B ）②④ （C ）①④（D ）②③5.（全国卷Ⅱ）函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是 C (A) 4π (B)2π（C ）π （D ）2π6.（全国卷Ⅱ）已知函数y =tan x ω 在（-2π，2π）内是减函数，则 B（A ）0 < ω ≤ 1 （B ）-1 ≤ ω < 0 （C ）ω≥ 1 （D ）ω≤ -17.（全国卷Ⅱ）锐角三角形的内角A 、B 满足tan A - A2sin 1= tan B,则有（A ）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0 (C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0 8.（全国卷Ⅲ）已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 D （A ）第一或第二象限 （B ）第二或第三象限（C ）第一或第三象限 （D ）第二或第四象限9.（全国卷Ⅲ）设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 C(A) 0x π≤≤ (B)744x ππ≤≤(C) 544x ππ≤≤ (D) 322x ππ≤≤10.（全国卷Ⅲ）22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+ααααB (A) tan α (B) tan 2α (C) 1(D)1211.(浙江卷)已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( A )(A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1 12．(浙江卷)函数y ＝sin(2x ＋6π)的最小正周期是( B )(A)2π(B) π (C) 2π (D)4π 13．（江西卷）已知==ααcos ,32tan 则（ B ） A ．54B ．－54C ．154 D ．－5314.（江西卷）设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ A ）A ．周期函数，最小正周期为32π B ．周期函数，最小正周期为3πC ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数15.（江西卷）在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ（ D ） A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π16、（江苏卷）若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =（ A ） A ．97- B ．31- C ．31 D ．97 17．（湖北卷）若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin（ C ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππC ．)3,4(ππD ．)2,3(ππ18．（湖南卷）tan600°的值是（ D ） A ．33-B ．33C ．3-D ．319．（重庆卷）=+-)12sin 12)(cos 12sin12(cos ππππ（ D ）A ．23-B ．21- C ．21D ．23 20．（福建卷）函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 （ C ）A ．4,2πϕπω== B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==21．（福建卷）函数x y 2cos =在下列哪个区间上是减函数（ C ）A ．]4,4[ππ-B ．]43,4[ππ C ．]2,0[πD ．],2[ππ22.（山东卷）已知函数)12cos()12sin(π-π-=x x y ，则下列判断正确的是（ B ）（A ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,12(π（B ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,12(π（C ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,6(π（D ）此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,6(π23（山东卷）函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ B ） （A ）1 （B ）22,1-（C ）22- （D ）22,1 24.（天津卷）要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（C ）(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度(B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度25（天津卷）函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ A ）（A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π-π=x y（C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)48sin(4π+π=x y填空题：1.（北京卷）已知tan 2α=2，则tanα的值为－34，tan ()4πα+的值为－712.（全国卷Ⅱ）设a 为第四象限的角，若513sin 3sin =a a ，则tan 2a=___43-___________.3.（上海卷）函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________。
2020届高三各地名校最新数学试题：三角函数专题高考模拟八套试题汇编含答案第二辑
2020届高三各地名校最新数学试题三角函数专题高考模拟八套试题汇编第二辑填空题：1．江苏省南京市盐城市2020届高三第一次模拟考试1月数学理设函数()sin()f x x ωϕ=+（0,02πωϕ><<）的图象与y y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ▲ ． 2．江苏省南京市盐城市2020届高三第一次模拟考试1月数学文命题“R θ∀∈，cos sin 1θθ+>”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)3．江苏省南京市盐城市2020届高三第一次模拟考试1月数学文命题设函数()sin()f x x ωϕ=+（0,02πωϕ><<）的图象与y y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ▲ ．4.广东省珠海市2020届高三上学期期末考试数学文若32)15sin(0=+α，则=+)105cos(0α .5.广东省珠海市2020届高三上学期期末考试数学文函数)32sin()(π+=x x f 在区间]4,0[π的最小值为 . 选择题：1.广东省珠海市2020届高三上学期期末考试数学文已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b, c, B b A a sin sin = ,则ABC ∆—定为 A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形D.等腰直角三角形2．已知2sin 0θθ+=，则角θ的值不可能是（ ） A ．210-︒B ．180-︒C ．210︒D ．240-︒3．2020届山西省运城市高三上学期期末数学文试题函数()2sin 1xf x ax bx π=-+的部分图象如图所示，若函数()f x 的最大值为32，且其图象关于直线12x =对称，则（ ）A ．43a =-，43b =-B ．43a =，43b = C ．23a =-，23b =D ．2a =，2a =4．2020届山西省运城市高三上学期期末数学文试题若函数()3|cos()|8f x x ωπ=+（0>ω）在区间[,]64ππ-上单调递减，则实数ω的最大值为（ ） A ．154B ．52C ．12D ．25．2020届山西省运城市高三上学期期末数学理试题若3sin()25πα-=，(0,)2πα∈，则tan2α=（ ）A ．247-B ．2132-C ．5627-D ．83解答题：1.北京市石景山区2020届高三上学期期末考试数学试题已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.（Ⅰ）若π02α<<，且3sin 5α=，求()f α的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期，及函数()f x 的单调递减区间.2．江苏省南京市盐城市2020届高三第一次模拟考试1月数学理(本小题满分14分) 已知ABC ∆满足sin()2cos 6B B π+=．（1）若6cos 3C =，3AC =，求AB ； （2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．3．江苏省南京市盐城市2020届高三第一次模拟考试1月数学理(本小题满分14分) 已知ABC ∆满足sin()2cos 6B B π+=．（1）若cos 3C =，3AC =，求AB ； （2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．4. 广东省珠海市2020届高三上学期期末考试数学理(12分）已知A ，B ，C 是的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量，)sin sin ,sin (sin ),,(B C A B c b a --=+=且⊥. (1)求角A 的大小；(2)若2=a ,求ABC ∆面积的最大值.5．2020届山西省运城市高三上学期期末数学理试题在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且8a =，cos cos 2sin cos cos c A B a C B c C =-. （1）求tan B 的值；（2）若16AB CB =u u u r u u u rg ，求b 的值. 答案： 填空题： 1．7 2．真 3．75、选择题： 1、【答案】A.解析：由sin sin B a A b =结合正弦定理得，22a b =,从而a b =. 2、【答案】D 【解析】把sin tan cos θθθ=代入等式，逐步化简，可得到本题答案. 【详解】2sin 2sin sin (20θθθθ=+=+=Qsin 0θ∴=或cos θ=，所以210,180,210θ=-︒-︒︒都满足题意，而240θ=-︒不满足. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数化简求角的问题. 3、【答案】B【解析】根据对称轴方程12x =可得式子①，再根据()f x 的最大值为32可得式子②，联立①，②，即可得到本题答案. 【详解】设()sin g x x π=，令()2πππ=+∈x k k Z ，得12=+x k ，所以12x =是()sin g x x π=的一条对称轴，又()2sin 1π=-+Q xf x ax bx 的图象关于直线12x =对称，12x ∴=为2()1=-+h x ax bx 的对称轴，即有221b a =①，另外，当12x =时，()f x 取最大值，所以 1sin 132()1122142π==-+f a b ②，联立①，②得，44,33==a b . 故选：B 【点睛】本题主要考查根据函数图象的性质求参数的取值.4、【答案】C【解析】先求出函数()3|cos()|8f x x ωπ=+（0>ω）的减区间，进而列出不等式组，确定ω的取值范围，即可求得本题答案. 【详解】()cos =Q f x x 的减区间为2{|,}πππ≤≤+∈k x x k k Z ，令382ππωππ≤+≤+k x k ，得131()()88ππππωω-+≤≤+k x k ，∴()3|cos()|8f x x ωπ=+（0>ω）的减区间为131(){|,}()88ππππωω-+≤≤∈+k x k k x Z ，当0k =时，()f x 的减区间为{|}388ππωω-≤≤x x ，()3|cos()|8f x x ωπ=+（0>ω）在区间[,]64ππ-上单调递减，需满足不等式组48386ππωππω⎧≤⎪⎪⎨-⎪≤-⎪⎩，解得，12ω≤ . 故选：C 【点睛】本题主要考查根据三角函数的单调性确定参数的取值范围，难度适中.5、2020届山西省运城市高三上学期期末数学理试题【答案】A 【解析】化简3sin()25πα-=，得到3cos 5α=，又因为(0,)2πα∈，得到4tan 3α=，再带入22tan tan21tan ααα=-即可.【详解】 3sin()cos 25παα-==， 因为(0,)2πα∈，所以4tan 3α=. 22422tan 243tan 241tan 71()3ααα⨯===---. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和同角的三角函数关系以及正切二倍角公式，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题. 解答题：1、【答案】（Ⅰ）()3150f α=（Ⅱ）最小正周期π. π5πππ+88k ,k ,k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据3sin 5α=以及α的范围，得到cos α，代入到()f α中，得到答案；（Ⅱ）对()f x 进行整理化简，得到()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的图像和性质，求出其周期和单调减区间.【详解】解：（Ⅰ）因为0,2πα<<，且3sin 5α=， 所以45cos α==. 所以 ()434128131=555225250f α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭. （Ⅱ）()()1cos sin cos 2f x x x x =+-21cos sin cos 2x x x =⋅+-11cos 21sin 2222x x +=+- ()1sin 2cos 22x x =+sin 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. 由ππ3π2π22π+,242k x k k Z +≤+≤∈， 解得π5πππ+,88k x k k Z +≤≤∈. 所以函数()f x 的单调递减区间π5πππ+88k ,k ,k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于简单题. 2．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ………………………………………2分又由cos C =),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ………………………4分故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . …………7分（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ， 由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分3．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， (2)分又由6cos C =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， (4)分故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . ………7分（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ， 由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分 4、5、2020届山西省运城市高三上学期期末数学理试题【答案】（1）2（2）213【解析】（1）由正弦定理知：2sin a R A =，2sin c R C =化简cos cos 2sin cos cos c A B a C B c C =-得2sin cos sin sin A B A B =，即tan 2B =.（2）由tan 2B =得到5cos 5B =，因为16AB CB =u u u r u u u r g ，8a =，解得25c =，代入2222cos b a c ac B =+-即可.【详解】（1）∵cos cos 2sin cos cos c A B a C B c C =- 由正弦定理知：2sin a R A =，2sin c R C =∴sin cos cos 2sin sin cos sin cos C A B A C B C C =- 又∵sin 0C ≠∴cos cos 2sin cos cos A B A B C =- ∴()cos cos 2sin cos cos A B A B A B =++∴cos cos 2sin cos cos cos sin sin A B A B A B A B =+- ∴2sin cos sin sin A B A B = 又∵sin 0A ≠∴tan 2B =（2）∵tan 2B =∴cos 5B =又∵16AB CB =u u u r u u u r g∴cos 16ac B =又∵8a =∴c =∴由余弦定理知，22222cos 8202852b ac ac B =+-=+-⨯⨯=∴b =【点睛】本题第一问考查了正弦定理和两角和差公式，第二问考查了向量的数量积运算和余弦定义，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.。
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2020高考模拟试题三角函数部分解答题汇编（含答案）1．（2020•巩义市模拟）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°．（1）若a＝2b，求tan A的值；（2）若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝1，求△ABC的面积的最小值．2．（2020•东湖区校级模拟）已知各项都不相等的等差数列{a n}中，，又a1，a2，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若函数，0＜φ＜π，的一部分图象如图所示，A（﹣1，a1），B（3，﹣a1）为图象上的两点，设∠AOB＝θ，其中O为坐标原点，0＜θ＜π，求cos（θ+φ）的值．3．（2020•兴庆区校级四模）如图，考虑点A（1，0），P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P（cos（α+β），sin（α+β）），从这个图出发．（1）推导公式：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（2）利用（1）的结果证明：，并计算sin37.5°cos37.5°的值．4．（2020•德阳模拟）在三角形△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知b cos C+c cos B＝2，b sin C＝a．（1）求△ABC的面积；（2）若b：c＝：1，求A．5．（2020•南岗区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos（A ﹣C）+cos B＝，且函数f（x）＝P sin（ωx﹣A）（P、ω＞0）的部分图象如图所示：（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）若sin B＜sin C，点D为线段AB上的点，且CD＝2，求△ACD面积的最大值．6．（2020•柯桥区二模）已知函数．（1）求f（x）的对称中心；（2）若为f（x）的一个零点，求cos2x0的值．7．（2020•雨花区校级模拟）已知a，b，c分别是锐角△ABC三个内角A，B，C所对的边，向量，，设．（Ⅰ）若f（A）＝2，求角A；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，求三角形ABC的面积．8．（2020•西湖区校级模拟）设函数f（x）＝+a的最小值是﹣1．（1）求a的值及f（x）的对称中心；（2）将函数f（x）图象的横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到g（x）的图象．若，求x的取值范围．9．（2020•南岗区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC 只能满足以下三个条件中的两个：①；②函数f（x）＝P sin（ωx﹣A）（P、ω＞0）的部分图象如图所示：③，满足．（Ⅰ）请指出△ABC满足哪两个条件，并证明；（Ⅱ）若sin B＜sin C，点D为线段AB上的点，且CD＝2，求△ACD面积的最大值．10．（2020•滨州三模）如图，半圆O的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P 为半圆上异于A，B两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角△PCD，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设∠P AC＝θ．（1）把线段PC的长表示为θ的函数；（2）求四边形ACDP面积的最大值．11．（2020•启东市校级模拟）如图，点P0是锐角α的终边与单位圆的交点，OP0逆时针旋转得OP1，OP1逆时针旋转得OP2，…，OP n﹣1逆时针旋转得OP n．（1）若P0的坐标为，求点P1的横坐标；（2）若点P2020的横坐标为，求的值．12．（2020•龙凤区校级模拟）已知，将f（x）的图象向右平移个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象．（1）求函数g（x）在上的值域及单调递增区间；（2）若，且，，求△ABC的面积．13．（2020•衡阳三模）如图平面四边形ABDC，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c cos2a sin C＝0．（1）求∠CAB；（2）若AB＝AC，BD＝1，CD＝2，求四边形ABDC面积的最大值．14．（2020•香坊区校级一模）在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且．（Ⅰ）若，求tan A的值．（Ⅱ）若△ABC的面积为，求a+b的值．15．（2020•沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求C；（2）若，△ABC的面积为，求c．16．（2020•湖北模拟）在△ABD中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos C+c＝2b．（1））求角A的大小；（2）设D是边AC的中点，若c＝1，，求a．17．（2020•汉阳区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，b＝2a cos C．（1）判断△ABC的形状；（2）若b＝2，△ABC的面积为，BC的中点为D，求AD的长．18．（2020•庐阳区校级模拟）在△ABC中，，．（1）求tan B；（2）若△ABC的面积，求△ABC的周长．19．（2020•吉林模拟）已知△ABC的内角A，B，C满足（sin A+sin B）（sin A﹣sin B）＝（sin C ﹣sin B）sin C，△ABC的面积为10．（1）求sin2A；（2），求△ABC的周长．20．（2020•西安三模）在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a、b、c，满足2cos2＝1﹣cos A•cos B+2sin A cos B．（1）求cos B的值；（2）设△ABC外接圆半径为R，且R（sin A+sin C）＝1，求b的取值范围．21．（2020•梅河口市校级模拟）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，a（sin A ﹣sin C）＝b sin B﹣c sin C，点D在边AB上，BD＝1，且．（1）求角B的大小；（2）若△BCD的面积为，求b的值．22．（2020•新华区校级模拟）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2a＝2b cos C+c sin B．（Ⅰ）求tan B；（Ⅱ）若，且△ABC的面积为6，求a．23．（2020•红岗区校级模拟）在锐角△ABC中，，_______．（1）求角A；（2）求△ABC的周长l的范围．注：在①，，且，②cos A（2b﹣c）＝a cos C，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．如果选择多个条件分别作答，按第一个解答积分．24．（2020•雨花区校级模拟）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A﹣B）＝cos C．（1）求B的值；（2）求的取值范围．25．（2020•九龙坡区模拟）已知函数f（x）＝2sin x cos x+2sin（x+）cos（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（+）＝，a+c＝1，求b的取值范围．26．（2020•马鞍山三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且S＝（a2+b2﹣c2）．（1）求角C；（2）若3a＝2b，求sin A．27．（2020•来宾模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sin B+2sin C ＝3sin A，a sin C＝2c sin B．（1）求cos A的值；（2）若|﹣|＝2，求△ABC的面积．28．（2020•七星区校级模拟）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a+c＝3，．（1）求b的最小值；（2）若a＜b，b＝2，求的值．29．（2020•运城模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）求证：；（2）若△ABC是锐角三角形，，求c的范围．30．（2020•新乡三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin A＝a（2﹣cos B）．（1）求B；（2）若a＝2，b＝，求△ABC的面积．31．（2020•道里区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．满足2c ＝a+2b cos A．（1）求B；（2）若a+c＝5，b＝3，求△ABC的面积．32．（2020•金安区校级模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a＝2，a cos B＝（2c﹣b）cos A．（1）求角A的大小；（2）求△ABC周长的范围．33．（2020•桃城区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a cos B+b cos A＝2c cos C．（1）求C；（2）若b＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．34．（2020•靖远县四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4c＝b+4a cos B．（1）求sin A；（2）若a＝4，且b+c＝6，求△ABC的面积．35．（2020•雨花区校级模拟）已知a，b，c分别是三角形ABC三个内角A，B，C所对的边，．（Ⅰ）若f（A）＝3，求角A；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，求三角形ABC的面积．36．（2020•黄州区校级二模）如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，．（1）求A；（2）若AD是BC边的中线，，求△ABC的面积．37．（2020•九龙坡区模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sin2B+2sin C cos A＝sin（C﹣A）．（1）求B；（2）若a＝2，c＝4，D是AC边的中点，求BD的长．38．（2020•河南模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足b cos C＝（2b﹣c）cos B．（1）求证：A＝2B；（2）若，求cos B．39．（2020•武昌区校级模拟）已知函数的周期为π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若，求x的取值范围．40．（2020•闵行区校级模拟）将函数f（x）＝2sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个长度单位，得到的图象，再把g（x）的图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到函数h（x）的图象．（1）求φ的最小值和h（x）的解析式；（2）当时，求函数h（x）的单调递减区间．1．【解答】解：（1）因为a＝2b，由正弦定理得sin A＝2sin B．又C＝120°，故A+B＝60°，∴sin A＝2sin（60°﹣A）＝cos A﹣sin A，∴cos A＝2sin A，∴tan A＝．（2）由题意知S△ACD+S△BCD＝S△ABC，∴，则a+b＝ab，由，得ab≥4，则S△ABC＝ab，当且仅当a＝b时等号成立．2．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），则a4＝a1+3d＝①，∵a1，a2，a6成等比数列，∴＝a1•a6，即＝a1•（a1+5d）②，由①②解得，a1＝，d＝．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝n﹣（n∈N*）．（II）由（I）知，a1＝，∴A（﹣1，），B（3，﹣），把A（﹣1，）代入函数y＝sin（x+φ），得φ＝+2kπ，k∈Z．∵0＜φ＜π，∴φ＝．∵A（﹣1，），B（3，﹣），∴AO＝2，BO＝，AB＝．在△AOB中，由余弦定理知，cos∠AOB＝，即cosθ＝＝．又0＜θ＜π，∴θ＝．∴cos（θ+φ）＝cos（+）＝cos cos﹣sin sin＝（）×（）﹣×＝．3．【解答】解：（1）∵|P A|＝|P1P2|，∴（cos（α+β）﹣1）2+sin2（α+β）＝（cosα﹣cosβ）2+（sinα+sinβ）2，即2﹣2cos（α+β）＝2﹣2cosαcosβ+sinαsinβ，所以cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ．（2）∵cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ．cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，∴cosαcosβ＝[cos（α+β）+cos（α﹣β）]，∴sin37.5°cos37.5°＝sin75°＝sin（45°+30°）＝（sin45°cos30°+cos45°sin30°）＝（）＝．4．【解答】解：（1）∵b cos C+c cos B＝2，∴由余弦定理可得：b•+c•＝2，∴＝2，解得a＝2，∵b sin C＝a＝，∴S△ABC＝ab sin C＝＝．（2）由（1）及条件和余弦定理可得：，化简可得：，消去c，可得：sin A+cos A＝2，即sin（A+）＝1，因为：A∈（0，π），可得：A+＝，可得A＝．5．【解答】解：（Ⅰ）：①，整理得，所以，解得．②函数f（x）＝P sin（ωx﹣A）（P、ω＞0）的部分图象如图所示：得到：P＝2，，故T＝π，所以ω＝．所以f（x）＝2sin（2x﹣A）．当x＝时，，由于A∈（0，π），所以，所以，解得A＝．所以C＝或C＝．（Ⅱ）由于sin B＜sin C，所以b＜c，整理得B＜C．所以C＝，由于A＝，C＝，，在△ADC中，由余弦定理，所以，所以．此时b＝AD＝．此时的最大值为．6．【解答】解：（1）函数＝+sin2x+（sin x+cos x）•（sin x﹣cos x）＝﹣cos2x+sin2x+（sin2x﹣cos2x）＝﹣cos2x+sin2x﹣cos2x＝+sin2x﹣cos2x＝+2sin（2x﹣）；令2x﹣＝kπ，k∈Z；解得x＝+，k∈Z；所以f（x）的对称中心为（+，），k∈Z；（2）若为f（x）的一个零点，则+2sin（2x0﹣）＝0，所以sin（2x0﹣）＝﹣；由x0∈[0，]知，2x0﹣∈[﹣，]，所以2x0﹣∈[﹣，0]；所以cos（2x0﹣）＝＝，所以cos2x0＝cos[（2x0﹣）+]＝cos（2x0﹣）cos﹣sin（2x0﹣）sin＝×﹣（﹣）×＝．7．【解答】解：（Ⅰ）因为f（A）＝2，即，所以或（舍去）（Ⅱ）由（I）可得A＝，因为，则，所以cos B+cos C＝2cos A＝1，又因为，所以cos B+cos（）＝＝1．所以sin（B+）＝1，因为B为三角形内角，所以所以三角形ABC是等边三角形，由，所以面积S＝＝．8．【解答】解（1）f（x）＝+a ＝cos2x﹣sin2x+sin2x+a＝sin2x+cos2x+a＝sin（2x+）+a，因为函数f（x）的最小值是﹣1，所以a＝0，所以f（x）＝sin（2x+）．令2x+＝kπ，k∈Z，解得x＝﹣，k∈Z，故f（x）的对称中心为（﹣，0），k∈Z，（2）由题意可得g（x）＝sin[4（x﹣）+]＝sin4x，若，即sin4x≥﹣，则2kπ﹣≤4x≤2kπ+，k∈Z，解得﹣≤x≤+，k∈Z，即x的取值范围为[﹣，+]，k∈Z，9．【解答】解：（Ⅰ）满足①②两个条件，证明如下：①，整理得，所以，解得．②函数f（x）＝P sin（ωx﹣A）（P、ω＞0）的部分图象如图所示：得到：P＝2，，故T＝π，所以ω＝．所以f（x）＝2sin（2x﹣A）．当x＝时，，由于A∈（0，π），所以，所以，解得A＝．所以C＝或C＝③，满足．所以，整理得．所以满足①②两个条件．（Ⅱ）由于sin B＜sin C，所以b＜c，整理得B＜C．所以C＝，由于A＝，C＝，，在△ADC中，由余弦定理，所以，所以．此时b＝AD＝．此时的最大值为．10．【解答】解：（1）依题设知△APB是以∠APB为直角的直角三角形．又AB＝2，∠P AB＝θ，∴P A＝2cosθ，在△P AC中，AC＝3，∠P AC＝θ，由余弦定理得：PC2＝P A2+AC2﹣2P A•AC•cosθ＝4cos2θ+9﹣12cos2θ＝9﹣8cos2θ．∴PC＝，定义域为{θ|0＜θ＜}；（2）设四边形ACDP面积为S．则S＝S△APC+S△PCD＝＝＝＝＝sin（2θ+φ）+，其中cosφ＝，sinφ＝，∴当sin（2θ+φ）＝1时，S取得最大值为．11．【解答】解：（1）因为点P0为，根据三角函数的定义可得sinα＝，cosα＝；根据题意可知点P1的横坐标为cos（α+）＝cosαcos﹣sinαsin＝×﹣×＝；（2）根据题意可知点P2020的横坐标为cos（α+）＝cos（）＝，所以cos（）＝﹣；又因为α是锐角，所以α+∈（，），所以sin（）＝；所以＝2sin（）cos（）＝﹣．12．【解答】解：（1）＝2cos2x（cos2x+sin2x）﹣1＝2cos22x+2sin2x cos2x﹣1＝cos4x+sin4x＝sin（4x+）将f（x）的图象向右平移个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象则可得g（x）＝sin（2x﹣），x∈，则2x﹣∈[﹣，]，则sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴g（x）的值域为[﹣1，]．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，则kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，k＝0时，﹣≤x≤，所以g（x）在上的单调递增区间为[0，]；（2）g（）＝sin（B﹣）＝，解得B＝，由，可得C＝，则sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C＝×﹣×＝，由正弦定理得＝，即，解得c＝2故△ABC的面积S＝bc sin A＝×2×2×＝﹣1．13．【解答】解：（1）法1：因为，由正弦定理可得，即，即，又0＜A＜π，所以，即．法2：因为，由正弦定理可得，由于sin C＞0，则，又，可得，又0＜A＜π，所以．（2）当AB＝AC，又，所以△ABC为正三角形，在△BDC中，令∠CDB＝θ（0＜θ＜π），由余弦定理可得：BC2＝12+22﹣2×1×2cosθ＝5﹣4cosθ，所以＝，由，所以最大值为1，故当时，．14．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∵，∴a＝2，∵a2+b2﹣3a cos C＝6，∴cos C＝0，∵C∈（0，π），∴，∴．（Ⅱ）∵，∴，∵a2+b2﹣3a cos C＝6，且，∴，∵sin2C+cos2C＝1，∴，∴b＝1或，当b＝1时，，∴，当时，，∴．15．【解答】解：（1）∵＝，∴∵C∈（0，π），∴．（2）∵，∴，∴．16．【解答】解：（1）由正弦定理可知：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，由2a cos C+c ＝2b，可得：2sin A cos C+sin C＝2sin B，又sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴sin C＝cos A sin C，∵sin C≠0，∴cos A＝．又∵A∈（0，π），∴A＝．（2）∵A＝，c＝1，，∴在△ABD中，设AD＝x，由余弦定理可得：3＝1+x2﹣2×，可得x2﹣x﹣2＝0，解得x＝2，或﹣1（舍去），∵D是边AC的中点，∴b＝2x＝4，∴在△ABC中，由余弦定理可得a＝＝＝．17．【解答】解：（1）由正弦定理b＝2a cos C，可化为sin B＝2sin A cos C．又B＝π﹣（A+C）．所以sin（A+C）＝2sin A cos C，可得sin A cos C+cos A cos C＝2sin A cos C，可得sin A cos C+cos A cos C＝0，可得sin（A﹣C）＝0．因为0＜A＜π，0＜C＜π，所以﹣π＜A﹣C＜π，所以A﹣C＝0．A＝C．所以为等腰三角形；（2）由（1）知a＝c，在△ABC中，取AC的中点E，连接BE，则BE⊥AC，．又△ABC的面积为，所以，根据sin2C+cos2C＝1，得，所以a＝3，．（解法一）在△ADC中，由余弦定理，得，所以．（解法二）在△ABC中，有，所以＝．18．【解答】解：（1）∵0＜A＜π，∴，，∴，∴．（2）∵，0＜B＜π，∴，，∵，∴，∴．不妨设A．B．C所对的边分别为a、b、c，则．令a＝2x，则，又∵，∴x＝1，∴△ABC的周长为．19．【解答】解：（1）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵（sin A+sin B）（sin A﹣sin B）＝（sin C﹣sin B）sin C，可得（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，化简可得，b2+c2﹣bc＝a2，由余弦定理可得，cos A＝＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∴sin2A＝．（2）因为，，所以b+c＝•2R＝．由10＝bc sin A，∴bc＝40，因为b2+c2﹣bc＝a2，∴（b+c）2﹣3bc＝a2，∴（）2﹣120＝a2，∴a＝7，所以△ABC的周长为7+13＝20．20．【解答】解：（1）因为2cos2＝1﹣cos A•cos B+2sin A cos B，所以cos C+cos A cos B＝2sin A cos B，所以﹣cos（A+B）+cos A cos B＝2sin A cos B，即sin A sin B＝2sin A cos B，因为sin A≠0，所以sin B＝2cos B＞0，又因为sin2B+cos2B＝1，解得cos B＝．（2）因为a＝2R sin A，c＝2R sin C，所以a+c＝2，可得c＝2﹣a，由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac＝a2+（2﹣a）2﹣a（2﹣a）＝（a ﹣1）2+，因为0＜a＜2，所以≤b＜2，所以b的取值范围为[，2）．21．【解答】解：（1）由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sin A﹣sin C）＝b sin B﹣c sin C．则a2﹣ac＝b2﹣c2，所以cos B＝＝，由于0＜B＜π，则B＝．（2）△ABC中，∵B＝，点D在边AB上，BD＝1，且，∴S△BCD＝BD•BC•sin＝BC×＝，∴BC＝2，∴由余弦定理可得CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC•cos B＝1+4﹣2×1×2×＝3，∴CD＝，可得DA＝DC＝3，BA＝BD+DA＝1+3＝4，∴b＝＝＝2．22．【解答】解：（Ⅰ）法一：由2a＝2b cos C+c sin B，及正弦定理，得：2sin A＝2sin B cos C+sin B sin C，又A＝π﹣（B+C）⇒sin A＝sin（B+C），∴2sin（B+C）＝2sin B cos C+sin B sin C．即2sin B cos C+2cos B sin C＝2sin B cos C+sin B sin C，∴2cos B sin C＝sin B sin C由sin C≠0，∴2cos B＝sin B，即tan B＝2．法二：由2a＝2b cos C+c sin B，及余弦定理得：，整理得a2+c2﹣b2＝ac sin B，又a2+c2﹣b2＝2ac cos B，则2ac cos B＝ac sin B，即2cos B＝sin B，即tan B＝2．（Ⅱ）法一：由tan B＝2，B∈（0，π），因此，，又，所以，因为，所以，又△ABC面积为6，即，即，解得a＝．法二：过A作AH⊥BC于H，设AH＝x，在Rt△ABH中，因为tan B＝2，所以，在Rt△ACH中，又，则tan C＝1，由CH＝x，则，即，因为△ABC的面积为6，即，，即a＝．23．【解答】解：（1）若选①，∵，，且，∴，∴∵，∴，（2）∵，∴，∴，∵锐角△ABC且，∴，∴，l∈（6+2，6]，∴（1）若选②，∵cos A（2b﹣c）＝a cos C，∴2b cos A＝a cos C+c cos A＝a，∴2b cos A＝b，∴，∵，∴，（2）∵，∴，∴，∵锐角△ABC且，∴，∴，∴l∈（6+2，6]，（1）若选③＝，＝＝，∵∴，∵，∴，（2）∵，∴，∴，∵锐角△ABC且，∴，∴，∴l∈（6+2，6]24．【解答】解：（1）由sin（A﹣B）＝cos C，得．∵△ABC是锐角三角形，故A﹣B，均在区间内，又函数y＝sin x在区间上单调递增，∴，即，①又A+B+C＝π，②由②﹣①，得（2）由（1）知，∴，即．∴．∵△ABC是锐角三角形，∴，∴，∴，∴．故的取值范围为（﹣1，1）．25．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2sin x cos x+2sin（x+）cos（x+）＝sin2x+sin（2x+）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），令2x+＝kπ+，k∈Z，解得x＝kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的对称轴方程为x＝kπ+，k∈Z．（Ⅱ）由于f（+）＝2sin（B++）＝2cos B＝，可得cos B＝，∵a+c＝1，即c＝1﹣a，∴由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac•cos B，即b2＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣ac＝1﹣a （1﹣a）＝（a﹣）2﹣，∵0＜a＜1，∴0＜b2＜，则b∈（0，）．26．【解答】解：（1）因为S＝（a2+b2﹣c2）．所以sin C＝．解得tan C＝，又C∈（0，π），故C＝；（2）设a＝2t，b＝3t（t＞0）则所以sin A＝．27．【解答】解：（1）∵sin B+2sin C＝3sin A，∴由正弦定理可得b+2c＝3a，又∵a sin C＝2c sin B，∴ac＝2cb，可得a＝2b，∴c＝，∴cos A＝＝＝．（2）∵|﹣|＝2，∴（﹣）2＝2+2﹣2•＝4，∴b2+a2﹣2ab cos C＝4，∵由（1）可得a＝2b，c＝，∴cos C＝＝＝﹣，可得sin C＝＝，∴b2+4b2﹣2×2b×b×（﹣）＝4，解得b＝，a＝，∴S△ABC＝ab sin C＝＝．28．【解答】解：（1）由可得b cos C＝2a cos B﹣c cos B，由正弦定理可得，sin B cos C+sin C cos B＝2sin A cos B，所以sin（B+C）＝2sin A cos B＝sin A，因为sin A≠0，所以cos B＝，B＝，由余弦定理可得，b2＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝9﹣3ac＝，当且仅当a＝c＝时取等号，故b的最小值；（2）由正弦定理可得，a＝，c＝，∴3＝a+c＝+＝，整理可得，sin（A+）＝，由a＜b可得A，故，所以cos（A+）＝．29．【解答】（1）证明：由正弦定理，知＝＝，由余弦定理，知cos A＝，cos B＝，∴＝＝＝＝．故命题得证．（2）解：由（1）知，c＝＝（sin A+sin B）＝[sin（B+）+sin B]＝4sin（B+）．∵△ABC是锐角三角形，∴A＝B+＜，∴0＜B＜，又A+B＞，∴B++B＞，即B＞，∴＜B＜，∴＜B+＜，∴＜sin（B+）＜，∴＜c＜，符合c＞a﹣b．故c的取值范围是（，）．30．【解答】解：（1）∵b sin A＝a（2﹣cos B），∴由正弦定理可，得sin B sin A＝sin A（2﹣cos B），∴sin（B+）＝1，∵B∈（0，π），B+∈（，），∴B＝．（2）∵B＝，a＝2，b＝，∴（）2＝（2）2+c2﹣2×cos，可得c2﹣6c+5＝0，解得c＝1或5当c＝1时，S△ABC＝ac sin B＝＝；当c＝5时，S△ABC＝ac sin B＝＝；31．【解答】解：（1）由题知2sin C＝sin A+2sin B cos A，……………………………………（2分）则2sin（A+B）＝sin A+2sin B cos A，则2sin A cos B＝sin A，在△ABC中，sin A≠0，所以cos B＝，………………………（4分）则B＝．………………（6分）（2）由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，从而得：9＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，……………………………………（9分）又a+c＝5，所以ac＝，所以△ABC的面积为．…………………………（12分）32．【解答】解：（1）解法一：由已知，得a cos B+b cos A＝2c cos A．由正弦定理，得sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos A．（1分）即sin（A+B）＝2sin C cos A，因为sin（A+B）＝sin C．（3分）所以sin C＝2sin C cos A．（4分）因为sin C≠0，所以，（5分）因为0＜A＜π，所以．（6分）解法二：结合余弦定理，即b2+c2﹣a2＝bc．（3分）所以．（5分）因为0＜A＜π，所以．（6分）（2）解法一：由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得bc+4＝b2+c2（7分）即（b+c）2＝3bc+4．（8分）因为（9分）所以．即b+c≤4（当且仅当b＝c＝2时等号成立）．（11分）又∵b+c＞a，所以4＜a+b+c≤6．（12分）解法二：，且a＝2，，所以，，（8分）所以（9分）因为，所以4＜a+b+c≤6（12分）33．【解答】解：（1）由题意及正弦定理，得sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos C，即sin（A+B）＝2sin C cos C，即sin C＝2sin C cos C．又因为0＜C＜π，所以sin C≠0，所以，所以．（2）因为，又由（1），得，所以，解得a＝3，又由余弦定理，得，所以，所以△ABC的周长为．34．【解答】解：（1）因为4c＝b+4a cos B，所以4sin C＝sin B+4sin A cos B，…………………………………（2分）所以4sin（A+B）＝sin B+4sin A cos B，所以4cos A sin B＝sin B，……………………………………（4分）因为sin B≠0，所以，所以．…………………………………………………………（6分）（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣2bc （1+cos A），………………………………（8分）因为a＝4，b+c＝6，所以，所以bc＝8．…………………………………………………（10分）故△ABC的面积为．………………………………………………………（12分）评分细则：（1）在第一问中，也可以用角转化成边，得到，从而求出，不予扣分；（2）在第二问中，先由正弦定理求出△ABC外接圆的半径r，再由余弦定理求出bc的值，最后通过三角形的面积公式，求出△ABC的面积，只要计算正确，不予扣分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步给分．35．【解答】解：（Ⅰ）∵＝，∴，∴．（Ⅱ）由，得，所以cos B+cos C＝2cos A＝1，又因为，所以，所以三角形ABC是等边三角形，又，所以面积为．36．【解答】解：（1）∵，∴，∴，∴，∵0＜A＜π，∴．（2）∵，由三角形的内角和定理，得，在三角形ABD中，，在三角形ADC中，，两式相除得，∴sin2B＝sin2C，∴（舍去）或者B＝C．∵，∴．由正弦定理得，于是．故三角形ABC的面积．37．【解答】解：（1）∵sin2B+2sin C cos A＝sin（C﹣A），∴2sin B cos B+2sin C cos A＝sin C cos A﹣cos C sin A，可得2sin B cos B+sin C cos A＝﹣cos C sin A，∴2sin B cos B+sin（A+C）＝2sin B cos B+sin B＝1，∵B∈（0，π），∴sin B≠0，∴解得cos B＝﹣，∴B＝．（2）∵D是AC边的中点，∴＝+，∴||2＝++＝++＝3．∴BD＝．38．【解答】解：（1）证明：因为b cos C＝（2b﹣c）cos B，由正弦定理，得sin B cos C＝2sin B cos B ﹣sin C cos B，所以sin（B+C）＝sin2B，所以sin A＝sin2B．（2分）又因为0＜A＜π，0＜2B＜2π，所以A＝2B或A+2B＝π．（4分）若A+2B＝π，又A+B+C＝π，所以B＝C，与a，b，c互不相等矛盾，所以A＝2B．（6分）（2）解：由（1）知C＝π﹣（A+B）＝π﹣3B，所以．因为，所以，则，可得．（8分）又因为sin3B＝sin（2B+B）＝sin2B cos B+cos2B sin B＝2sin B cos2B+2sin B cos2B﹣sin B＝3sin B ﹣4sin3B，所以．因为，所以sin B＞0，所以，所以，（10分）解得，又，得．（12分）39．【解答】解：（1）因为，所以f（x）＝sin2ωx cos﹣cos2ωx sin+cos2ωx+1＝sin2ωx+cos2ωx+1＝sin （2ωx+）+1，所以f（x）的最小正周期T＝，解得ω＝1，f（x）＝sin（2x+）+1，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）由（1）得f（x）＝sin（2x+）+1，可得sin（2x+）≥﹣，可得2x+∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，可得x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．40．【解答】解：（1）∵将函数f（x）＝2sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个长度单位，得到＝2sin（2x﹣2φ）的图象，∴2φ＝+2kπ，即φ＝kπ+，k∈Z，故φ的最小值为．再把g（x）的图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），得到函数h（x）＝2sin（2•x﹣）＝2sin（3x﹣）的图象．故h（x）＝2sin（3x﹣）．（2）当时，3x﹣∈[﹣，]，故当3x﹣∈[﹣，]时，即x∈[0，]，函数h（x）单调递增，故当3x﹣∈[，]时，即x∈[，]，函数h（x）单调递减，故h（x）的递减区间为。