平板应力分析

横向载荷
圆形薄板小挠度 弯曲微分方程：
d 1 d d Qr r dr r dr D dr
（2-60）
Qr值可依不同载荷情况用静力法求得
21
求解圆平板弯曲应力的基本步骤 外载荷P 剪切内力Qr 圆平板轴对称弯曲微分方程 弯曲内力Mr、 Mθ 弯曲应力σr、 σ θ
（2-56）
17
2.4 平板应力分析
4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程
d 2w r z 2 dr z dw r dr
E r r 2 1 E r 2 1
d 2 w dw Ez 2 r 2 1 dr r dr 2 1 dw Ez d w 2 2 1 r dr dr
得到挠曲面在半径方向的斜率
dw pr 3 C1 r C 2 dr 16D 2 r （2-61）
24
2.4 平板应力分析
C1、C2、C3均为积分常数。 对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为 有限值，因而要求积分常数C2 ＝0 ，于是上述方程改写为：
dw pr 3 C1 r dr 16D 2 pr 4 C1 r 2 w C3 64D 4


（2-64）


pR4 r 0时，wmax 64D
27
2.4 平板应力分析
将挠度w对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），便 得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：
p 2 R 1 r 2 3 16 p 2 M R 1 r 2 1 3 16 2 Mr
参照35页壳体的抗弯刚度
（2-58b）
Et 3 ——“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有 D 2 12 1 关


20
2.4 平板应力分析
d 2 w dw M r D 2 dr r dr
Ez d 2 w dw 2 r 2 1 dr r dr Ez 1 dw d 2w 2 2 1 r dr dr
（2-57）
18
2.4 平板应力分析
4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程（续）
l
t/2 dz
Mr
r
r
z
z
图2-31 圆平板内的应力与内力之间的关系
t/2
o
Mr
z
o
19
2.4 平板应力分析
通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩 M r 和 M 表示成 w 的形式。 r 、 的线性分布力系便组成弯矩 M r 、M 。 单位长度上的径向弯矩为：
dQr dr dr dMr Mr+ dr dr t
分析模型
Qr + pz M t/2 t/2 r Mr M d Qr o
z
P
r
a.
y
z
dr
c.
P Qr + dQr dr dr
R
d
M d Mr
r
Mr+ M
r
dMr dr dr
b.
r+ dr
o
Qr
T
d.
10
2.4 平板应力分析
分析模型
半径R，厚度t的圆平板 受轴对称载荷 pz
（第1假设）
，带入以上两式，
应变与挠度关系 的几何方程
d w r z 2 dr z dw r dr
2
（2-55）
16
2.4 平板应力分析
3、物理方程
根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于 两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为
E r r 2 1 E r 2 1
得弯矩和应力的关系式为：
12M r r 3 z t 12M 3 z t
（2-59）
2-58代入平衡方程2-54，得：
dMr Mr r M Qr r 0 dr
即：受轴对称
d 3 w 1 d 2 w 1 dw Qr 2 3 2 r dr dr r dr D
12
2.4 平板应力分析
挠度微分方程的建立：
微元体内力
基于平衡、几何和物理方程
径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr 周向：Mθ、 Mθ 横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr
Qr + P M r Mr d Qr o
z
微元体外力
pz
上表面 P=pzrdθdr
a.
z
dQr dr dr dMr Mr+ dr dr t
在r、θ 、z圆柱坐标系中
内力：Mr、Mθ 、Qr 三个内力分量 轴对称性 几何对称，载荷对称，约束对称， 在r、θ 、z圆柱坐标系中
挠度 w 只是 r 的函数，而与θ 无关。
11
2.4 平板应力分析
挠度微分方程的建立：基于平衡、几何和物理方程
微元体： 用半径为r和r+dr的
圆柱面和夹角为dθ的
两个径向截面截取板上 一微元体
4
2.4.平板应力分析
2.4.1 概述
1、应用：平封头：常压容器、高压容器；
贮槽底板：可以是各种形状；
换热器管板：薄管板、厚管板；
板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；
反应器触媒床支承板等。
5
2.4 平板应力分析
2、平板的几何特征及平板分类 中面是一平面 几何特征 厚度小于其它 方向的尺寸
厚板与薄板 分类 大挠度板和小挠度板
1
2、压力容器应力分析
CHAPTER Ⅱ
STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
2.4 平板应力分析
2
§2-4
平板应力分析
3
2.4 平板应力分析
主要内容
2.4.1 概述 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 2.4.3 圆平板中的应力 2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力
②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同
一法线上，且法线上各点间的距离不变。 类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍 保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。 ③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应
力较小，可忽略不计。
9
2.4 平板应力分析
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
M r r zdz
t 2 t 2

t 2 t 2
E d 2 w dw 2 2 z dz 2 r dr 1 dr
（2-58a）
同理
d 2 w dw M r D 2 dr r dr 1 dw d 2w M D r dr dr 2
dMr Mr r M Qr r 0 dr
r+
Qr
T
d.
（2-54）
圆平板在轴对称载荷下的平衡方程
14
2.4 平板应力分析
2、几何方程
w~ε
r m z A
dr
m1 B r
取 AB dr
径向截面上与 中面相距为z， 半径为 r 与 r dr 两点A与B构成的微段
a.
z
n
n1

R
p r R z a.
r R,
r R,
w0
dw 0 dr
周边固支圆平板
将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：
pR2 C1 , 8D
代入式（2-63） 得周边固支平板的 斜率和挠度方程
C3
pR 64D
4
dw pr R2 r 2 dr 16D p 2 2 2 w R r 64D
p M r 3 R 2 r 2 16 p 2 M R 3 r 2 1 3 16




（2-68）
M r max M max
应力表达式：
pR2 3 16
3 p r 2 3 R 2 r 2 8t 3 p 2 2 R 3 r 2 1 3 8t
r
M
dr
y
c.
P Qr + dQr dr dr
13
d
M
2.4 平板应力分析
o
z
y
c.
P M Qr + dQr dr dr
1、平衡方程
R
d
r
d Mr Mr+ M
r
微体内力与外力对圆柱面 切线T的力矩代数和为零， 即Σ MT=0 b.
dr
o
dMr dr dr
dM r d dr dr r dr d M r rd 2M dr sin Qr rddr p z rddr 0 Mr dr 2 2
t/b≤1/5时， w/t≤1/5时， 按小挠度薄板计算
o
x
y
z
6
图2-28 薄板
2.4 平板应力分析
3、载荷与内力 平面载荷 （作用于板中面内的载荷）
载荷
横向载荷 （垂直于板中面的载荷） 复合载荷
内力
薄 膜 力—— 中面内的拉、压力和面内剪力， 并产生面内变形
弯曲内力—— 弯矩、扭矩和横向剪力，
代入2-60式中
r O r
Mr
Qr
Qr
Mr
均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为
d 1 d dw pr r dr r dr dr 2D
对r连续两次积分
图2-32 均布载荷作用时圆板内Qr的确定
对r连续三次积分 （得到中面在弯曲后的挠度）
pr 4 C1r 2 w C 2 ln r C3 （2-62） 64D 4




（2-65）
pR (1 ) r 0时， r ) max ( M ) max (M 16
由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r处上、下板面的 应力表达式：
r

Mr
Biblioteka Baidut2 6
3 p 2 2 R 1 r 2 3 8t
3 p 2 2 R 1 r 2 1 3 8t


（2-66）
M
t2 6


28
2.4 平板应力分析
最大应力在板边缘上下表面，即
r max
3 pR2 4t 2
29
2.4 平板应力分析
2、周边简支圆平板
R
p
p r R z b. R r
r R, r R,
（2-63）
式中C1、C3由边界条件确定。
25
2.4 平板应力分析
下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件）
周边固支圆平板 周边简支圆平板
p r R z a. 周边固支圆平板 R R z b. 周边简支圆平板 R p r
图2-33 承受均布横向载荷的圆板
26
2.4 平板应力分析
1、周边固支圆平板 在支承处不允许有挠度和转角
例题：



一自增强厚壁圆筒，承受内压p=250MPa，圆筒 内外直径Di=300mm，Do=500mm，材料为Ni-CrMo高强度钢，σs=750MPa，σb=900MPa，试求： （1）按Mises屈服条件，计算当Rc=200mm 时的 自增强压力pf； （2）在内压p作用后Rc处的环向合成应力。
22
2.4 平板应力分析
2.4.3 圆平板中的应力
（圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用）
一、承受均布载荷时圆平板中的应力
二、承受集中载荷时圆平板中的应力
23
2.4 平板应力分析
一、承受均布载荷时圆平板中的应力
据图2-32，可确定作用在半径为r 的圆柱截面上的剪力，即： r 2 p pr Qr 2r 2
且产生弯扭变形
7
2.4 平板应力分析
◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲
载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度 分析复杂的多。
◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论
8
2.4 平板应力分析
弹性薄板的小挠度理论------克希霍夫Kirchhoff假设 ① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切 变形，只有沿中面法线 w 的挠度 。 只有横向力载荷
d
w
m
m1 dw
r
z
B A n n1
b.
z

+d
15
2.4 平板应力分析
板变形后：
微段的径向应变为
z d z d r z dr dr
（第2假设）
过A点的周向应变为 2 r z 2r z 2r r
作为小挠度

dw dr
z
w0
Mr 0
R
a.
周边简支圆平板 将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数C1、C3：
代入式（2-63） 得周边简支平 板的挠度方程
p 2 w R r2 64D


2
4R 2 R 2 r 2 1


（2-67）
30
2.4 平板应力分析
弯矩表达式：