新高考数学复习：双曲线与抛物线
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新高考数学复习：双曲线与抛物线
一、基础知识 双曲线的方程与性质
标准方程
xa22－yb22＝1(a>0，b>0) ya22－xb22＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≥a或y≤－a
对称轴：坐标轴 对称 对称性
中心：原点
顶点坐标：
顶点坐标：
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
押题一 双曲线
(1)(2020·百校联考)双曲线C1：xa22－yb22＝1(a>0，b>0)的
渐近线与圆C2：(x－2)2＋y2＝1相切，则双曲线C1的渐近线方程 为( D )
A．y＝±12x
B．y＝±13x
C．y＝±
2 2x
D．y＝±
3 3x
【分析】 双曲线C1的一条渐近线方程为bx－ay＝0，根据 渐近线与圆C2：(x－2)2＋y2＝1相切，则有 a|22＋b| b2＝1求解．
tan 2
(5)若P是双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点
的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内 切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.
(6)设F1，F2是双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，
AB是过F1的弦，则|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a.
关于抛物线的切线 (1)以焦点弦为直径的圆与准线相切；以焦半径为直径的圆 与y轴相切(开口向右)． (2)过抛物线焦点弦的两个端点作抛物线的两条切线，则切 线互相垂直，且交点在抛物线准线上． (3)过抛物线的准线上任意一点作抛物线的两条切线，则切 线互相垂直，两切点与抛物线焦点共线．
如果OA，OB是抛物线y2＝2px上的两条弦(O是原点)，则
A1(0，－a)，A2(0，a)
性 轴
实轴：线段A1A2，虚轴：B1B2
质 焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ca，e∈(1，＋∞)，e越大，开口越大
a，b，c 的关系
c2＝a2＋b2
渐近线
y＝±bax
y＝±bax
等轴双曲线 (1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚 半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (2)性质：①a＝b；②e＝ 2；③渐近线互相垂直；④等轴双 曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
F作直线OM的平行线交C的渐近线于点N(O为坐标原点)，若
MN⊥ON，则双曲线C的离心率是( A )
A.2 3 3
B. 3
6 C. 2
D．2
【解析】
设点M为双曲线C的渐近线y＝
b a
x上的一点，易知点
F(c，0)，所以点M
c，bac
，直线FN的方程为y＝
b a
(x－c)，联立
yy＝＝－ba（baxx－，c），解得xy＝＝－2c，b2ca，则点N2c，－2bac，
【解析】 双曲线C1的一条渐近线方程为bx－ay＝0， 圆心(2，0)到渐近线的距离为1，
即 a|22＋b| b2＝1，得a2＝3b2，
即ba＝
3 3.
所以双曲线C1的渐近线方程为y＝± 33x.故选D.
(2)(2020·唐山市第一次模拟)已知F是双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝
1(a>0，b>0)的右焦点，M是C的渐近线上一点，且MF⊥x轴，过
(7)AB为双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的弦，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．则
①弦长l＝ 1＋k2|x1－x2|＝ ②直线AB的斜率kAB＝ba22yx00.
1＋k12|y1－y2|；
关于抛物线的焦点弦 线段AB为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2， y2)，则 (1)x1x2＝p42； (2)y1y2＝－p2； (3)焦半径|AF|＝x1＋p2； (4)弦长l＝x1＋x2＋p.当弦AB⊥x轴时，弦长最短为2p，此时 的弦又叫通径．
＝
1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点M为双
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
图形
顶点 对称轴
焦点
准线
(0，0)
x轴
y轴
Fp2，0
F－p2，0
F0，p2
F0，－p2
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
二、常见方法结论
双曲线 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右 焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的 弦)，其长为2ab2；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分 别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝ b2θ，其中θ为∠F1PF2.
∵MN⊥ON，且kMN＝
bac＋b2ca c－2c
＝
3b a
，kON＝－
b a
，∴kMN·kON＝－
3b2 a2
＝－1，∴
b2 a2
＝
1 3
，因此，双曲线C的离心率为e＝
c a
＝
a2＋b2 a2
＝
1＋ba2＝2 33.故选A.
(3)(2020·河南省鹤壁第二次模拟)已知双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
(1)若OA，OB互相垂直，则直线AB过定点(2p，0)；
(2)若直线AB过定点(2p，0)，则OA，OB互相垂直．
(1)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交
抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1<0<y2，则有|AF|＝
p 1＋cosθ
，|BF|＝
p 1－cosθ
共轭双曲线 (1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲 线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． (2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共 圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.
抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程
y2＝2px (p>0)
Байду номын сангаас
y2＝－2px (p>0)
，
|AF| |BF|
＝
11－＋ccoossθθ ，
1 |AF|
＋
1 |BF|
＝
2 p
，
|AB|＝sin22pθ.
(2)过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物 线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1<0<x2，则有|AF|＝ 1＋spinθ，|BF|＝1－spinθ，||ABFF||＝11＋－ssiinnθθ，|A1F|＋|B1F|＝2p，|AB| ＝co2sp2θ.
一、基础知识 双曲线的方程与性质
标准方程
xa22－yb22＝1(a>0，b>0) ya22－xb22＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≥a或y≤－a
对称轴：坐标轴 对称 对称性
中心：原点
顶点坐标：
顶点坐标：
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
押题一 双曲线
(1)(2020·百校联考)双曲线C1：xa22－yb22＝1(a>0，b>0)的
渐近线与圆C2：(x－2)2＋y2＝1相切，则双曲线C1的渐近线方程 为( D )
A．y＝±12x
B．y＝±13x
C．y＝±
2 2x
D．y＝±
3 3x
【分析】 双曲线C1的一条渐近线方程为bx－ay＝0，根据 渐近线与圆C2：(x－2)2＋y2＝1相切，则有 a|22＋b| b2＝1求解．
tan 2
(5)若P是双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点
的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内 切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.
(6)设F1，F2是双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，
AB是过F1的弦，则|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a.
关于抛物线的切线 (1)以焦点弦为直径的圆与准线相切；以焦半径为直径的圆 与y轴相切(开口向右)． (2)过抛物线焦点弦的两个端点作抛物线的两条切线，则切 线互相垂直，且交点在抛物线准线上． (3)过抛物线的准线上任意一点作抛物线的两条切线，则切 线互相垂直，两切点与抛物线焦点共线．
如果OA，OB是抛物线y2＝2px上的两条弦(O是原点)，则
A1(0，－a)，A2(0，a)
性 轴
实轴：线段A1A2，虚轴：B1B2
质 焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ca，e∈(1，＋∞)，e越大，开口越大
a，b，c 的关系
c2＝a2＋b2
渐近线
y＝±bax
y＝±bax
等轴双曲线 (1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚 半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (2)性质：①a＝b；②e＝ 2；③渐近线互相垂直；④等轴双 曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
F作直线OM的平行线交C的渐近线于点N(O为坐标原点)，若
MN⊥ON，则双曲线C的离心率是( A )
A.2 3 3
B. 3
6 C. 2
D．2
【解析】
设点M为双曲线C的渐近线y＝
b a
x上的一点，易知点
F(c，0)，所以点M
c，bac
，直线FN的方程为y＝
b a
(x－c)，联立
yy＝＝－ba（baxx－，c），解得xy＝＝－2c，b2ca，则点N2c，－2bac，
【解析】 双曲线C1的一条渐近线方程为bx－ay＝0， 圆心(2，0)到渐近线的距离为1，
即 a|22＋b| b2＝1，得a2＝3b2，
即ba＝
3 3.
所以双曲线C1的渐近线方程为y＝± 33x.故选D.
(2)(2020·唐山市第一次模拟)已知F是双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝
1(a>0，b>0)的右焦点，M是C的渐近线上一点，且MF⊥x轴，过
(7)AB为双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的弦，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．则
①弦长l＝ 1＋k2|x1－x2|＝ ②直线AB的斜率kAB＝ba22yx00.
1＋k12|y1－y2|；
关于抛物线的焦点弦 线段AB为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2， y2)，则 (1)x1x2＝p42； (2)y1y2＝－p2； (3)焦半径|AF|＝x1＋p2； (4)弦长l＝x1＋x2＋p.当弦AB⊥x轴时，弦长最短为2p，此时 的弦又叫通径．
＝
1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点M为双
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
图形
顶点 对称轴
焦点
准线
(0，0)
x轴
y轴
Fp2，0
F－p2，0
F0，p2
F0，－p2
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
二、常见方法结论
双曲线 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右 焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的 弦)，其长为2ab2；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分 别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝ b2θ，其中θ为∠F1PF2.
∵MN⊥ON，且kMN＝
bac＋b2ca c－2c
＝
3b a
，kON＝－
b a
，∴kMN·kON＝－
3b2 a2
＝－1，∴
b2 a2
＝
1 3
，因此，双曲线C的离心率为e＝
c a
＝
a2＋b2 a2
＝
1＋ba2＝2 33.故选A.
(3)(2020·河南省鹤壁第二次模拟)已知双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
(1)若OA，OB互相垂直，则直线AB过定点(2p，0)；
(2)若直线AB过定点(2p，0)，则OA，OB互相垂直．
(1)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交
抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1<0<y2，则有|AF|＝
p 1＋cosθ
，|BF|＝
p 1－cosθ
共轭双曲线 (1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲 线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． (2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共 圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.
抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程
y2＝2px (p>0)
Байду номын сангаас
y2＝－2px (p>0)
，
|AF| |BF|
＝
11－＋ccoossθθ ，
1 |AF|
＋
1 |BF|
＝
2 p
，
|AB|＝sin22pθ.
(2)过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物 线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1<0<x2，则有|AF|＝ 1＋spinθ，|BF|＝1－spinθ，||ABFF||＝11＋－ssiinnθθ，|A1F|＋|B1F|＝2p，|AB| ＝co2sp2θ.