二阶电路的零输入响应
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二阶电路的零输入响应
§4-5 二阶电路的零输入响应
本节主要讨论RLC串联电路零输入 响应的求解方法及其性质。
提出问题 解决问题 结果分析
二阶电路的零输入响应
1.换路前，在t<0时，开关S1 闭合、S2断开，电路已处于 稳态(电容未充电)； •提出问题
•解决问题 •结果分析
2.开关在t=0时动作；
ln s1 2
s
二阶电路的零输入响应
u( t )
I0
2 2C α 2 ω0
(e s1t e s2 t )
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
L ), C
i(t ) C
I0 du ( s1e s1t s2e s2t ) 2 dt 2 α 2 ω0
非振荡放电（临界阻尼放电）
L 2.R 0, 0 ( R 2 ), C s1s2实重根
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭ຫໍສະໝຸດ Baidu根
1.t 0 ,
u、i随时间变化的曲线 与过阻尼情况相同
tet 0
2.t , tet 0
L ), C
3.t 0, tet 0
I II III
s1s2
二阶电路的零输入响应
I0 u( t ) (e s1t e s2t ) C ( s1 s2 )
I0 du i(t ) C ( s1e s1t s2e s2 t ) dt ( s1 s2 ) 此时， 2 s1 α (ω0 α 2 ) α jωd
u(0 ) u(0 ) 0
L ), C
u (0 )
i (0 ) I 0 C C
二阶电路的零输入响应
代入初始条件得
I0 αA1 A2 C A1 0
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
L ), C
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
I0 du i(t ) C ( s1e s1t s2e s2 t ) dt ( s1 s2 )
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
二阶电路的零输入响应
u( t )
I0
2 2C α 2 ω0
(e s1t e s2 t )
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
L ), C
u( t ) ( A1 A2 t )e αt
初始条件为
L 2.R 0, 0 ( R 2 ), C s1s2实重根
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
2.t , e s1t e s2t 0
u、i随时间变化的曲线
3.t 0, e s1t e s2t
4.
duc 0 tm s2 s1 dt s1 2 ln s2 ' 5.t m 2t m s2 s1
•解决问题
•结果分析 解微分方程
结果
4.R 0, s1、s2为一对共轭虚根
二阶电路的零输入响应
•提出问题 •解决问题
列微分方程
•结果分析
解微分方程
结果
二阶电路的零输入响应
当s1s2时，微分方程的通解为
u( t ) A1e s1t A2e s2t
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
3.换路后，在t>0时，开关S1 断开、S2闭合。求此时电容 电压u(t)和电感电流i (t)。
Us +
二阶电路的零输入响应
－
i(t) S1
(t=0)
R
L C
S2 + u(t)
•提出问题
•解决问题 •结果分析
－
1、换路前，开关S1闭合，
S2断开(t<0) 。
2、换路后，开关S1断开、S2
闭合。(t>0)。此时RLC 串联形成一个回路。
u、I随时间变化的曲线 I II III IV
III
二阶电路的零输入响应
I 0 t u( t ) e sin( d t ) C d du I 0 0 t i(t ) C e cos( d t ) dt d
α称为衰减常数(attenuation constant) ，或阻尼常数 (damping constant)
I
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根 2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
振荡放电（欠阻尼放电）
L ), C
II
L ), C
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
L ), C
联立求解得
A1 0 I0 A2 C
二阶电路的零输入响应
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
L ), C
I 0 t t u( t ) e C du i(t ) C (1 t ) I 0e t dt
2 s2 α (ω0 α 2 ) α jωd
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根 2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
L ), C
L 3.R 0, 0 ( R 2 ), C s1s2为一对共轭复根
S1
(t<0)
(original state)
二阶电路的零输入响应
Us +
－
i(t) S1
(t>0)
•提出问题
•解决问题 •结果分析
开关在t=0时换路， S1断开、S2 闭合。t>0, RLC串联形成一个 回路，电压u、电流i即为零输 入响应(zero-input response)。
R
L C
S2 + u(t)
I 0 t e sin(d t ) C d
du( t ) I 0 t i(t ) C e sin d t d cos d t dt d I 0 0
d
e t cos( d t )
二阶电路的零输入响应
I 0 t u (t ) e sin(d t ) C d i (t ) C du I 00 t e cos(d t ) dt d
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
二阶电路的零输入响应
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
L ), C
I0 u( t ) (e s1t e s2t ) C ( s1 s2 )
－
二阶电路的零输入响应
列微分方程 •提出问题
•解决问题
•结果分析 解微分方程
结果
二阶电路的零输入响应
di KVL : Ri + L + u = 0 dt du VCR : i = C dt
输入输出方程 (input-output equation) 初始条件 (initial condition )
I
L 2.R 0, 0 ( R 2 ), C s1s2实重根
非振荡放电（过阻尼放电）
II
L 3.R 0, 0 ( R 2 ), C s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
u、i随时间变化的曲线
I II III III
二阶电路的零输入响应
当s1＝s2时，微分方程的通解为
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根 L ), C
L ), C
初始条件为
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
u(0 ) u(0 ) 0
i (0 ) I 0 u (0 ) C C
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
其中，
d 02 2
因此，d、0、三者之间的关系， 可用直角三角形表示。
二阶电路的零输入响应
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根 2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
Us
二阶电路的零输入响应
+
－
i(t) S1
(t>0)
讨论：电路稳定状态时
•提出问题
•解决问题 •结果分析
1、电容电流为零，该支 路相当于开路；
2、电感电压为零，该支 路相当于短路。 u (0_)= 0
R
L C
S2 + u(t)
－
Us +
－
i(0-)=I0
i (0_)=US/R=I0
原始状态 R
返回
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
L ), C
I0 du i(t ) C ( s1e s1t s2 e s2 t ) 2 dt 2 α 2 ω0
1.t 0, e s1t e s2t 1
角频率 d称为阻尼振荡角频 率(angular frequency of the damped oscillation)
i(t)
二阶电路的零输入响应
二阶电路的零输入响应
代入初始条件得
I0 s1 A1 s2 A2 C A1 A2 0
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
L ), C
联立求解得
I0 A1 C ( s1 s2 ) I0 A2 C ( s1 s2 )
2
二阶电路的零输入响应
s1,2
R 1 R 2L 2 L LC
2
•提出问题
列微分方程
令
def def
•解决问题
•结果分析 解微分方程
R α 2L
ω0
1 LC
结果
2 s1 α α 2 ω0 2 2 s2 α α ω0
二阶电路的零输入响应
2 s1 α α 2 ω0 2 2 s2 α α ω0
参数不同时，S1，S2为：
•提出问题 列微分方程
L 1.R 0, 0 ( R 2 ), s1、s2为不等的负实根 C 2.R 0, 0 ( R 2 3.R 0, 0 ( R 2 L ), s1、s2实重根 C L ), s1、s2为一对共轭复根 C
LC s2+RC s+1=0
•提出问题 列微分方程
特征根(即电路的自然频率)为
•解决问题
•结果分析 解微分方程
RC ( RC )2 4 LC s1 2 LC R 1 R 2L 2 L LC
2
结果
s2
R 1 R 2L 2 L LC
•提出问题
列微分方程
•解决问题
•结果分析
d 2u du LC 2 + RC +u=0 dt dt
u(0 ) u(0 ) 0
解微分方程
u (0 )
结果
i (0 ) I 0 C C
d 2u du LC 2 + RC +u=0 dt dt
二阶电路的零输入响应
解：特征方程 (characteristic equation)
d 0 cos
0 sin
L ), C
d arccos 0
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
I0 u( t ) e t e jd t e t e jd t j 2Cd
§4-5 二阶电路的零输入响应
本节主要讨论RLC串联电路零输入 响应的求解方法及其性质。
提出问题 解决问题 结果分析
二阶电路的零输入响应
1.换路前，在t<0时，开关S1 闭合、S2断开，电路已处于 稳态(电容未充电)； •提出问题
•解决问题 •结果分析
2.开关在t=0时动作；
ln s1 2
s
二阶电路的零输入响应
u( t )
I0
2 2C α 2 ω0
(e s1t e s2 t )
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
L ), C
i(t ) C
I0 du ( s1e s1t s2e s2t ) 2 dt 2 α 2 ω0
非振荡放电（临界阻尼放电）
L 2.R 0, 0 ( R 2 ), C s1s2实重根
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭ຫໍສະໝຸດ Baidu根
1.t 0 ,
u、i随时间变化的曲线 与过阻尼情况相同
tet 0
2.t , tet 0
L ), C
3.t 0, tet 0
I II III
s1s2
二阶电路的零输入响应
I0 u( t ) (e s1t e s2t ) C ( s1 s2 )
I0 du i(t ) C ( s1e s1t s2e s2 t ) dt ( s1 s2 ) 此时， 2 s1 α (ω0 α 2 ) α jωd
u(0 ) u(0 ) 0
L ), C
u (0 )
i (0 ) I 0 C C
二阶电路的零输入响应
代入初始条件得
I0 αA1 A2 C A1 0
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
L ), C
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
I0 du i(t ) C ( s1e s1t s2e s2 t ) dt ( s1 s2 )
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
二阶电路的零输入响应
u( t )
I0
2 2C α 2 ω0
(e s1t e s2 t )
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
L ), C
u( t ) ( A1 A2 t )e αt
初始条件为
L 2.R 0, 0 ( R 2 ), C s1s2实重根
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
2.t , e s1t e s2t 0
u、i随时间变化的曲线
3.t 0, e s1t e s2t
4.
duc 0 tm s2 s1 dt s1 2 ln s2 ' 5.t m 2t m s2 s1
•解决问题
•结果分析 解微分方程
结果
4.R 0, s1、s2为一对共轭虚根
二阶电路的零输入响应
•提出问题 •解决问题
列微分方程
•结果分析
解微分方程
结果
二阶电路的零输入响应
当s1s2时，微分方程的通解为
u( t ) A1e s1t A2e s2t
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
3.换路后，在t>0时，开关S1 断开、S2闭合。求此时电容 电压u(t)和电感电流i (t)。
Us +
二阶电路的零输入响应
－
i(t) S1
(t=0)
R
L C
S2 + u(t)
•提出问题
•解决问题 •结果分析
－
1、换路前，开关S1闭合，
S2断开(t<0) 。
2、换路后，开关S1断开、S2
闭合。(t>0)。此时RLC 串联形成一个回路。
u、I随时间变化的曲线 I II III IV
III
二阶电路的零输入响应
I 0 t u( t ) e sin( d t ) C d du I 0 0 t i(t ) C e cos( d t ) dt d
α称为衰减常数(attenuation constant) ，或阻尼常数 (damping constant)
I
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根 2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
振荡放电（欠阻尼放电）
L ), C
II
L ), C
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
L ), C
联立求解得
A1 0 I0 A2 C
二阶电路的零输入响应
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
L ), C
I 0 t t u( t ) e C du i(t ) C (1 t ) I 0e t dt
2 s2 α (ω0 α 2 ) α jωd
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根 2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
L ), C
L 3.R 0, 0 ( R 2 ), C s1s2为一对共轭复根
S1
(t<0)
(original state)
二阶电路的零输入响应
Us +
－
i(t) S1
(t>0)
•提出问题
•解决问题 •结果分析
开关在t=0时换路， S1断开、S2 闭合。t>0, RLC串联形成一个 回路，电压u、电流i即为零输 入响应(zero-input response)。
R
L C
S2 + u(t)
I 0 t e sin(d t ) C d
du( t ) I 0 t i(t ) C e sin d t d cos d t dt d I 0 0
d
e t cos( d t )
二阶电路的零输入响应
I 0 t u (t ) e sin(d t ) C d i (t ) C du I 00 t e cos(d t ) dt d
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
二阶电路的零输入响应
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
L ), C
I0 u( t ) (e s1t e s2t ) C ( s1 s2 )
－
二阶电路的零输入响应
列微分方程 •提出问题
•解决问题
•结果分析 解微分方程
结果
二阶电路的零输入响应
di KVL : Ri + L + u = 0 dt du VCR : i = C dt
输入输出方程 (input-output equation) 初始条件 (initial condition )
I
L 2.R 0, 0 ( R 2 ), C s1s2实重根
非振荡放电（过阻尼放电）
II
L 3.R 0, 0 ( R 2 ), C s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
u、i随时间变化的曲线
I II III III
二阶电路的零输入响应
当s1＝s2时，微分方程的通解为
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根 L ), C
L ), C
初始条件为
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
u(0 ) u(0 ) 0
i (0 ) I 0 u (0 ) C C
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
其中，
d 02 2
因此，d、0、三者之间的关系， 可用直角三角形表示。
二阶电路的零输入响应
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根 2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
Us
二阶电路的零输入响应
+
－
i(t) S1
(t>0)
讨论：电路稳定状态时
•提出问题
•解决问题 •结果分析
1、电容电流为零，该支 路相当于开路；
2、电感电压为零，该支 路相当于短路。 u (0_)= 0
R
L C
S2 + u(t)
－
Us +
－
i(0-)=I0
i (0_)=US/R=I0
原始状态 R
返回
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
L ), C
I0 du i(t ) C ( s1e s1t s2 e s2 t ) 2 dt 2 α 2 ω0
1.t 0, e s1t e s2t 1
角频率 d称为阻尼振荡角频 率(angular frequency of the damped oscillation)
i(t)
二阶电路的零输入响应
二阶电路的零输入响应
代入初始条件得
I0 s1 A1 s2 A2 C A1 A2 0
1.R 0, 0 ( R 2 s1s2为不等的负实根
2.R 0, 0 ( R 2 s1s2实重根
L ), C
L ), C
联立求解得
I0 A1 C ( s1 s2 ) I0 A2 C ( s1 s2 )
2
二阶电路的零输入响应
s1,2
R 1 R 2L 2 L LC
2
•提出问题
列微分方程
令
def def
•解决问题
•结果分析 解微分方程
R α 2L
ω0
1 LC
结果
2 s1 α α 2 ω0 2 2 s2 α α ω0
二阶电路的零输入响应
2 s1 α α 2 ω0 2 2 s2 α α ω0
参数不同时，S1，S2为：
•提出问题 列微分方程
L 1.R 0, 0 ( R 2 ), s1、s2为不等的负实根 C 2.R 0, 0 ( R 2 3.R 0, 0 ( R 2 L ), s1、s2实重根 C L ), s1、s2为一对共轭复根 C
LC s2+RC s+1=0
•提出问题 列微分方程
特征根(即电路的自然频率)为
•解决问题
•结果分析 解微分方程
RC ( RC )2 4 LC s1 2 LC R 1 R 2L 2 L LC
2
结果
s2
R 1 R 2L 2 L LC
•提出问题
列微分方程
•解决问题
•结果分析
d 2u du LC 2 + RC +u=0 dt dt
u(0 ) u(0 ) 0
解微分方程
u (0 )
结果
i (0 ) I 0 C C
d 2u du LC 2 + RC +u=0 dt dt
二阶电路的零输入响应
解：特征方程 (characteristic equation)
d 0 cos
0 sin
L ), C
d arccos 0
3.R 0, 0 ( R 2 s1s2为一对共轭复根
4.R 0, s1s2为一对共轭虚根
L ), C
I0 u( t ) e t e jd t e t e jd t j 2Cd