中考数学专题训练【方案设计型】能力提升训练与解析

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中考数学能力提升综合练习(含解析)

中考数学能力提升综合练习（含解析）【一】单项选择题1.在Rt△ABC中，假设各边的长度同时扩大5倍，那么锐角A的正弦值和余弦值〔〕A.都不变B.都扩大5倍 C.正弦扩大5倍、余弦缩小5倍 D.不能确定2.如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90。

，0B=2OA，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，那么k的值是〔〕A.-4B.4C.-2D.23.以下运算正确的选项是〔〕A.x6+x2=x12B.=2 C.〔x﹣2y〕2=x2﹣2xy+4y2 D.-=4.如下图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m ，那么坡面AB的长度是()A.10mB.10mC.15mD.5m5.如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处AB =8，BC=10，那么tan∠EFC的值为〔〕A.B.C.D.6.以下轴对称图形中，对称轴条数最少的是〔〕A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.正方形 D.长方形7.2的相反数是()A.-2B.2C.D.8.如下图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，那么sinA的值为〔〕A.B.C.D.9.三角形两边的长分别是4和6，第三边的长是一元二次方程x2-16x+6 0=0的一个实数根，那么该三角形的周长是〔〕A.2B.20或16C.16D.18或2110.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，那么S△ADE：S△CDB的值等于〔〕A.1：B.1：C.1：2D.2：3【二】填空题11.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B ，如果AB=2019米，那么他实际上升了________米．12.假设3xm+5y与x3y是同类项，那么m=________．13.假设实数x满足x2﹣x﹣1=0，那么=________．15.假设是二次函数，那么m=________。

中考数学能力提高测试(4)及答案

时间：45分钟满分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．计算8×12＋(5)0的结果为()A．2＋ 2 B.2＋1 C．3 D．52．如图N41，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，且交CD于点D, ∠CDE＝150°，则∠C 为()A．120° B．150° C．135° D．110°图N41 图N423．如图N42，“小鱼”与“大鱼”是位似图形，如果“小鱼”上一个顶点的坐标为(a，b)，那么“大鱼”上对应顶点的坐标为()A．(－a，－2b) B．(－2a，－b) C．(－2a，－2b) D．(－2b，－2a)4．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)[如图N43(1)]，把余下的部分拼成一个矩形[如图N43(2)]．根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证()(1) (2)图N43A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b25．(2014年辽宁沈阳)如图N44，在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，DE∥BC 交AC于点E.若线段DE＝5，则线段BC的长为()A．7.5 B．10 C．15 D．20图N44 图N456．如图N45，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF, EF 交DC于F.设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是()A B C D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)7．点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)均在函数y＝6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是________．8．(2014年辽宁沈阳)如图N46，△ABC三边的中点D，E，F组成△DEF，△DEF三边的中点M，N，P组成△MNP，将△FPM与△ECD涂成阴影．假设可以随意在△ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为________．图N469．关于x的方程2x＋3a＝3的解是正数，则a的取值范围是______________．10．(2014年黑龙江牡丹江)如图N47，如果从半径为3 cm的圆形纸片上剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的底面半径是________cm.图N47三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)11．(2014年福建漳州)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x－4<0，①1－x<0.②12．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图N48中的一次函数的图象与x ，y 轴分别交于点A ，B ，则△OAB 为此函数的坐标三角形．求函数y ＝－34x ＋3的坐标三角形的三条边长．图N4813．“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输．“益安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．(1)求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？(2)随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．14．请用科学的方法证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．15．(2014年湖南怀化节选)如图N49(1)，在平面直角坐标系中，AB＝OB＝8，∠ABO ＝90°，∠1＝45°.射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B 时停止运动．设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当x＝3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图N49(2)，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式.(1) (2)图N49参考答案13．解：(1)设载重量为8吨、10吨的卡车分别有x 辆、y 辆，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝12，8x ＋10y ＝110.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7. ∴载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆．(2)设载重量为8吨的卡车增加了z 辆，依题意，得8(5＋z )＋10(7＋6－z )＞165.解得z ＜2.5.∵z ≥0，且为整数，∴z ＝0,1,2.∴6－z ＝6,5,4.∴车队共有3种购车方案：①载重量为8吨的卡车不购买，10吨的卡车购买6辆； ②载重量为8吨的卡车购买1辆，10吨的卡车购买5辆； ③载重量为8吨的卡车购买2辆，10吨的卡车购买4辆．(1) (2) (3)图122情况三，如图122(3)，当圆心O 在∠BAC 的外部时，连接AO ，并延长AO ，交⊙O 于点D ，连接OB ，OC . ∵OA ，OB ，OC 是半径，∴∠BAD ＝∠ABO ，∠CAD ＝∠ACO .∵∠DOB ，∠DOC 分别是△AOB ，△AOC 的外角， ∴∠DOB ＝∠BAD ＋∠ABO ＝2∠BAD ，∠DOC ＝∠CAD ＋∠ACO ＝2∠CAD .∴∠BOC ＝∠DOC －∠DOB ＝2(∠CAD －∠BAD )＝2∠BAC ，即∠BAC ＝12∠BOC .。

天津市中考数学能力提升分类专题训练试卷(带答案带解析)分类之二次函数--专题3(共5专题)

天津市中考数学能力提升分类专题训练试卷（带答案带解析）分类之二次函数--专题3（共5专题）源自天津历年真题整理21．如图中实线所示，函数y=|a（x﹣1）2﹣1|的图象经过原点，小明同学研究得出下面结论：①a=1；②若函数y随x的增大而减小，则x的取值范围一定是x＜0；③若方程|a（x﹣1）2﹣1|=k有两个实数解，则k的取值范围是k＞1；④若M（m1，n），N（m2，n），P（m3，n），Q（m4，n）（n＞0）是上述函数图象的四个不同点，且m1＜m2＜m3＜m4，则有m2+m3﹣m1=m4．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【分析】①根据函数图像经过原点|a(x﹣1)2﹣1|=0，可得a=1；②由函数的图像可知：顶点坐标（1，1），与x轴的交点坐标（0，0），（2，0），当x<0或1<x<2时，函数y随x的增大而减小；③若方程|a(x﹣1)2﹣1|=k有两个实数解，k>1或k=0；④由函数的图像可知，直线y=n(0<n<1)与函数y=|a(x﹣1)2﹣1|的图像有四个交点，由m1＜m2＜m3＜m4可知m1+m4=m2+m3，移项可得m4=m2+m3−m1.【详解】解：（1）∵函数y=|a(x﹣1)2﹣1|图像经过原点，∴|a(0﹣1)2﹣1|=0，解得：a=1，故①正确；（2）由函数图像可知顶点坐标（1，1），与x轴的交点坐标（0，0），（2，0），∵函数y随x的增大而减小，∴x<0或1<x<2，故②错误；（3）∵方程|a(x﹣1)2﹣1|=k有两个实数解，∴k>1或k=0，故③错误；（4）∵M（m1，n），N（m2，n），P（m3，n），Q（m4，n）（n＞0）是上述函数图象的四个不同点，∴直线y=n自变量取值范围为(0<n<1)∴m1与m4，m2与m3关于x=1对称，∴m1+m4=m2+m3，即m4=m2+m3−m1，故④正确;故答案为C.【点睛】本题考查函数图像与性质.关键利用数形结合的思想，将函数解析式与图像结合分析，利用一次函数与二次函数的相关知识解题.二、解答题22．已知抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)和点B，与直线y=−x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式及点M的坐标．(2)点P为直线BC上方抛物线上一点，设d为点P到直线CB的距离，当d有最大值时，求点P的坐标．(3)若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′C,A′F，当△FA′C是直角三角形时，直接写出点F的坐标．23．已知抛物线y=ax2+bx+5（a，b为常数，a≠0）与x轴交于点A(−5,0)，B(−1,0)顶点为D，且过点C(−4,m)．(1)求抛物线解析式和点C，D的坐标；(2)点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②连接BD ，当∠PCB =∠CBD 时，求点P 的坐标．【答案】(1)y =x 2+6x +5，D (−3,−4)，C (−4,−3)(2)①278，②点P 的坐标为P (−32,−74)或(0,5)．【分析】（1）把点A (−5,0)，点B (−1,0)代入y =ax 2+bx +5，求出抛物线解析式，进一步可求出D (−3,−4)，C (−4,−3)；（2）①由题意可知点P 坐标为(t,t 2+6t +5)，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交直线BC 于点E ，求出直线BC 的解析式为y =x +1．利用点P 的坐标可知−4<t <−1，故点E 的坐标为(t,t +1)．进一步可求出S △PBC =−32(t +52)2+278，所以当t =−52时，△PBC 的面积的最大值为278；②分情况讨论：当点P 在直线BC 的上方，求出直线BD 的解析式为y =2x +2，和直线PC 的解析式为y =2x +5．即可求出点P 的坐标为(0,5)；当点P 在直线BC 的下方时，设直线PC 与BD 交于点M ，设M (m,2m +2)，求出m =−2．求出直线CM 的解析式为y =12x −1，进一步可求出P (−32,−74)．【详解】（1）解：把点A (−5,0)，点B (−1,0)代入y =ax 2+bx +5，可得：{a −b +5=025a −5b +5=0，解得{a =1b =6 ∴抛物线解析式为y =x 2+6x +5，y =x 2+6x +5=(x +3)2−4，∴顶点D (−3,−4)．把C (−4,m )代入在y =x 2+6x +5，得m =−3，∴点C (−4,−3)．（2）解：由题意可知点P 坐标为(t,t 2+6t +5)，①如图，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交直线BC 于点E ，设直线DB 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0)，将B (−1,0)，点D (−3,−4)代入，得{−k 1+b 1=0−3k 1+b 1=−4 ，解得{k 1=2b 1=2． ∴直线BD 的解析式为y =2x +2．∵PC ∥BD ，∴设直线PC 的解析式为y =2x +n ．∵C (−4,−3)，∴−3=−8+n ．∴n =5．∴直线PC 的解析式为y =2x +5．∴x 2+6x +5=2x +5．解得x 1=0，x 2=−4（舍）．当x =0时，y =2x +5=5．∴点P 的坐标为(0,5)．如图②，当点P 在直线BC 的下方时，设直线PC 与BD 交于点M ，∵∠PCB=∠CBD，∴MB=MC．设M(m,2m+2)，∵MC=√(m+4)2+(2m+2+3)2，MB=√(m+1)2+(2m+2−0)2，∴(m+4)2+(2m+5)2=(m+1)2+(2m+2)2解得m=−2．∴点M的坐标为(−2,−2)．由点C(−4,−3)和点M(−2,−2)可得直线CM的解析式为y=12x−1，由x2+6x+5=12x−1，解得x1=−32，x2=−4（舍）．所以点P(−32,−74)．综上，点P的坐标为P(−32,−74)或(0,5)．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，会求两直线的交点坐标，掌握二次函数的图象及性质．24．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1，0)，B(−3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值．若没有，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为：y =−x 2−2x +3(2)存在，点Q 的坐标为(−1，2)(3)存在，S △PBC 最大值为278【分析】（1）根据题意可知，将点A 、B 的坐标代入函数解析式，列出方程组即可求得b 、c 的值，求得函数解析式；（2）根据题意可知，边AC 的长是定值，要想△QAC 的周长最小，即是AQ +CQ 最小，所以此题的关键是确定点Q 的位置，找到点A 的对称点B ，求得直线BC 的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；（3）设P(x ，−x 2−2x +3)(−3<x <0)，过点P 作PE ⊥x 轴交于点E ，连接BP 、CP 、BC ，根据S △PBC =S 四边形BPCO −S △BOC =S 四边形BPCO −12×3×3=S 四边形BPCO −92，将S △PBC 表示成二次函数，再根据二次函数的性质，即可求得S △PBC 的最大值．（1）解：将A(1，0)，B(−3，0)代入y =−x 2+bx +c 中，可得：{−1+b +c =0−9−3b +c =0，解得：{b =−2c =3，∴抛物线的解析式为：y =−x 2−2x +3；（2）解：存在，理由如下：如图，∵A 、B 两点关于抛物线的对称轴x =−1对称，∴直线BC 与x =−1的交点即为Q 点，此时△AQC 周长最小，连接AC 、AQ ， ∵点C 是抛物线与y 轴的交点，∴C 的坐标为(0，3)，又∵B(−3，0)，∴直线BC 解析式为：y =x +3，∴Q 点坐标即为{x =−1y =x +3，解得：{x =−1y =2， ∴Q(−1，2)；（3）解：存在，理由如下：如图，设P(x ，−x 2−2x +3)(−3<x <0)，过点P 作PE ⊥x 轴交于点E ，连接BP 、CP 、BC ， ∵S △PBC =S 四边形BPCO −S △BOC =S 四边形BPCO −12×3×3=S 四边形BPCO −92，若S 四边形BPCO 有最大值，则S △PBC 就最大，∴S 四边形BPCO =S △BPE +S 直角梯形PEOC ，∵S △BPE =12BE ⋅PE =12(x +3)(−x 2−2x +3)，两点，与y轴交于点N，其顶点为D(2)若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；(3)点H(n,t)为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为H1，当点H1落在第二象限内，且H1A2取得最小值时，求n的值【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；D（1，4）(2)S △APC 最大=278；P （12，154） (3)2+√142【分析】（1）将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式可求得b ，c 的值，从而得到抛物线的解析式，在配成顶点式即可；（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx+b ．将点A 和点C 的坐标代入可求得k 、b 的值，从而得到直线AC 的解析式；设点P 的坐标，进而表示出PQ ，进而得出S △APC =-32(m -12)2+278，即可得出结论；（3）用n 表示出H 1的坐标，从而表示出H 1A 2，利用二次函数的性质可求得其最大值时n 的值．【详解】（1）∵将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式得：{−1−b+c=0−4+2b+c=3，解得：b ＝2，c ＝3．∴抛物线的解析式为y ＝-x 2+2x+3 ． ∴y ＝-x 2+2x+3=-(x -1)2+4 ∴抛物线的顶点坐标为，（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx+b ．∵将点A 和点C 的坐标代入得{−k+b=02k+b=3，解得k ＝1，b ＝1．∴直线AC 的解析式为y ＝x+1．如图，设点P （m ，-m 2+2m+3）， ∴Q （m ，m+1），∴PQ＝（-m2+2m+3）-（m+1）＝-m2+m+2＝-(m-12)2+94，∴S△APC=12PQ×|x C-x A|S△APC=12[-（m-12)2+94]×3=-32(m-12)2+278，∴当m=12时，S△APC最大=278，y＝-m2+2m+3=154，∴P（12，154）；（3）∵H1落在第二象限内，H关于y轴的对称点为H1∴点H(n,t)在第一象限，即n＞0，t＞0．y＝-x2+2x+3=-(x-1)2+4∵抛物线的顶点坐标为（1，4），∴0＜t≤4，∵H(n,t)在抛物线上，∴t＝-n2+2n+3，∴n2-2n＝3-t，∵A（-1，0），H1(-n,t)，∴H1A2＝（-n+1）2+（t）2＝n2-2n+1+t2＝t2-t+4＝(t-12)2+154；∴当t=12时，H1A2有最小值，即H1A2有最小值，∴12=-n2+2n+3，解得n=2-√142或n=2+√142，∵n＞0，∴n=2-√142不合题意，舍去，∴n的值为2+√142．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查的了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、轴对称路径最短、关于原点对称的点的坐标，难度较大，综合性较强．26．如图，已知抛物线y=a(x-3)(x+6)过点A(-1,5)和点B(-5,m)，与x轴的正半轴交于点C．(1)求a，m的值和点C的坐标；(2)若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当P A=PB时，求点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．27．已知抛物线y=ax2+bx+4(a,b为常数，a≠0)经过点A(−4,0)，B(1,0)，与y轴交于点C．点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP，与y轴相交于点D．(1)求该抛物线的解析式；(2)连接BC，当∠ODB=2∠BCO时，求直线PB的解析式；(3)连接AC，与PB相交于点Q，当PQQB取得最大值时，求点P的坐标．【答案】(1)y=−x2−3x+4(2)y=−158x+158(3)点P的坐标为 (−2,6) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案；（2）由∠ODB =2∠BCO 以及三角形外角的性质可得∠CBD =∠BCO ，则BD =CD ，设OD =a ，则CD =4−a ，BD =4−a ，运用勾股定理可求得a =158，得出D(0,158)，再利用待定系数法即可求出答案；（3）过点P 作PE ⊥x 轴于E ，与AC 交于点N ，过点B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ，利用待定系数法求出直线AC 表达式，再利用BM//PN ，可得ΔPNQ ∽ΔBMQ ，进而得出PQQB =PNBM =PN 5，设P(t ，−t 2−3t +4)(−4<t <0)，则N(t,t +4)，从而得到PQQB=−t 2−3t+4−(t+4)5=−(t+2)2+45，利用二次函数的性质即可求得答案．(1)根据题意，{a ⋅（−4）2+b ⋅（−4）+4=0，a +b +4=0，解得{a =−1，b =−3． ∴ 抛物线的解析式为y =−x 2−3x +4． (2)如图．当x =0时，y =4，得C （0，4 ），有OC =4．∵∠ODB =2∠BCO ，∠ODB =∠BCO +∠DBC ， ∴ ∠BCD =∠CBD ． ∴ DC =DB ．设OD =m ，则CD =4−m ， ∴ BD =4−m ．在Rt △OBD 中，由勾股定理得BD 2=OD 2+OB 2， ∴ （4−m ）2=m 2+12．解得m =158． ∴ D （0，158 ）．设直线PB 的解析式为y =kx +e （k ≠0）． ∴ {e =158，k +e =0，解得{k =−158，e =158． ∴ 直线PB 的解析式为y =−158x +158．(3)如图，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，与AC 交于点N ，过点B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ，设直线AC 表达式为y =mx +n ， ∵A(−4,0)，C(0,4)， ∴{−4m +n =0n =4，解得：{m =1n =4，∴直线AC 表达式为y =x +4， ∴M 点的坐标为(1,5)， ∴BM =5， ∵BM//PN ， ∴ΔPNQ ∽ΔBMQ ，28．已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a>0）的顶点为P，与x轴相交于点A(−1,0)和点B．(1)若b=−2,c=−3，①求点P的坐标；②直线x=m（m是常数，1<m<3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；(2)若3b=2c，直线x=2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．【答案】(1)①(1,−4)；②点M的坐标为(2,−3)，点G的坐标为(2,−2)；(2)点E(57,0)和点F(0,−2021)；【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为(m,m2−2m−3)，则点G的坐标为(m,2m−6)，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；（2）根据3b=2c，解析式经过A点，可得到解析式：y=ax2−2ax−3a，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点P′，作点N关于x轴的对称点N′，再把P′和N′的坐标表示出来，由题意可知，当PF+FE+EN取得最小值，此时PF+FE+EN=P′N′= 5，将字母代入可得：P′N′2=P′H2+HN′2=9+49a2=25，求出a的值，即可得到E、F 的坐标；（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(−1,0)，∴a−b+c=0．又b=−2,c=−3，得a=1．∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3．∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴点P的坐标为(1,−4)．②当y=0时，由x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3．∴点B的坐标为(3，0)．设经过B，P两点的直线的解析式为y=kx+n，有{3k+n=0,k+n=−4.解得{k=2,n=−6.∴直线BP的解析式为y=2x−6．∵直线x=m（m是常数，1<m<3）与抛物线y=x2−2x−3相交于点M，与BP相交于点G，如图所示：∴点M的坐标为(m,m2−2m−3)，点G的坐标为(m,2m−6)．∴MG=(2m−6)−(m2−2m−3)=−m2+4m−3=−(m−2)2+1．∴当m=2时，MG有最大值1．此时，点M的坐标为(2,−3)，点G的坐标为(2,−2)．（2）由（1）知a−b+c=0，又3b=2c，∴b=−2a,c=−3a．(a>0)∴抛物线的解析式为y=ax2−2ax−3a．∵y=ax2−2ax−3a=a(x−1)2−4a，∴顶点P的坐标为(1,−4a)．∵直线x=2与抛物线y=ax2−2ax−3a相交于点N，∴点N的坐标为(2,−3a)．作点P关于y轴的对称点P′，作点N关于x轴的对称点N′，如图所示：得点P′的坐标为(−1,−4a)，点N′的坐标为(2,3a)．当满足条件的点E，F落在直线P′N′上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN=P′N′=5．延长P′P与直线x=2相交于点H，则P′H⊥N′H．在Rt△P′HN′中，P′H=3,HN′=3a−(−4a)=7a．∴P′N′2=P′H2+HN′2=9+49a2=25．解得a1=47,a2=−47（舍）．∴点P′的坐标为(−1,−167)，点N′的坐标为(2,127)．则直线P′N′的解析式为y=43x−2021．∴点E(57,0)和点F(0,−2021)．【点睛】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键．29．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y 轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x=1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD=m,△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最大值时，求点P的坐标．(3)在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．30．将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(2,0)，点B在第一象限，∠OAB=90°，∠B=30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．(1)如图①，当OP=1时，求点P的坐标；(2)如图②，折叠该纸片，使折痕PH所在的直线经过点P，并与x轴垂直，点O的对应点为O′，设OH=t．△PHO′与△OAB重叠部分的面积为S．①若折叠后△PHO′与△OAB重叠部分的面积为四边形时，PO′与AB相交于点C，试用含有t 的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当23≤t≤53时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．。

中考数学方案设计型专题复习

方案设计型㈠应用方程〔组〕不等式〔组〕解决方案设计型例1．〔2021·益阳〕开学初，小芳和小亮去学校商店购置学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购置上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购置方案？请你一一写出．解析：此类试题一般涉及二元一次方程组、不等式组在实际问题中的应用．，以两人的用的总钱数为等量关系，可以列出方程组．第二问注意“不少〞的含义可以根据总钱数和钢笔与笔记本的数量关系列出不等式组．解：〔1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元，依题意得：⎩⎨⎧=+=+3152183y x y x 解得：⎩⎨⎧==53y x 所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元(2)设买a 支钢笔，那么买笔记本(48－a )本依题意得：⎩⎨⎧≥-≤-+aa a a 48200)48(53，解得：2420≤≤a ，所以，一共有５种方案即购置钢笔、笔记本的数量分别为：20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24．点评：解决问题的根本思想是从实际问题中构建数学模型，寻找题目中的等量关系，〔或不等关系〕列出相应的方程〔或不等式组〕．同步检测:1 (2021·安顺)在“五一〞期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购置门票时，小明与他爸爸的对话〔如图〕，试根据图中的信息，解答以下问题：〔1〕小明他们一共去了几个成人，几个学生？〔2〕请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由．2.〔2021·益阳〕开学初，小芳和小亮去学校商店购置学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购置上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购置方案？请你一一写出．练习参考答案：1. 解：〔1〕设成人人数为x 人，那么学生人数为(12-x)人．那么35x + 235〔12 –x 〕= 350 解得：x = 8 故：学生人数为12 – 8 = 4 人, 成人人数为8人．〔2〕如果买团体票，按16人计算，共需费用：35×0．6×16 = 336元336﹤350 所以，购团体票更省钱．所以，有成人8人，学生4人；购团体票更省钱．2. 解：〔1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元，依题意得：⎩⎨⎧=+=+3152183y x y x 解得：⎩⎨⎧==53y x 所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元(2)设买a 支钢笔，那么买笔记本(48－a )本依题意得：⎩⎨⎧≥-≤-+aa a a 48200)48(53，解得：2420≤≤a ，所以，一共有５种方案即购置钢笔、笔记本的数量分别为：20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24．二、应用函数设计方案问题：例2．〔2021·安徽〕〔1〕请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．〔2〕写出批发该种水果的资金金额w 〔元〕与批发量m 〔kg 〕之间的函数关系式；在以下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．〔3〕经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图〔2〕所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．解析：此类试题结合函数图像所提供的信息，对信息加工应用，可以求出函数解析式，分析题意，根据：销售利润y =日最高销售量x ×每千克的利润〔每千克的利润＝零售价－批发价〕，由此整理可得到y 关于x 的二次函数，解：〔１〕图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．〔2〕由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（））＞（，函数图象略．由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．〔3〕设日最高销售量为x kg 〔x ＞60〕那么由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040x p -=销售利润23201(4)(80)1604040x y x x -=-=--+,当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6 即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元点评：注重数形结合，领会通过图形所传递的信息，以及二次函数顶点的意义的理解与应用．同步检测:3：〔2021·四川省南充市〕某电信公司给顾客提供了两种上网计费方式：方式A 以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B 除收月基费20元外，再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费．假设顾客甲一个月上网的时间共有x 分钟，上网费用为y 元．〔1〕分别写出顾客甲按A 、B 两种方式计费的上网费y 元与上网时间x 分钟之间的函数关系式，并在图7的坐标系中作出这两个函数的图象；〔2〕如何选择计费方式能使甲上网费更合算？练习参考答案：练习3。

中考数学专题训练【方案设计型】能力提升训练与解析整理.doc

小学上册英语第六单元真题(含答案)英语试题一、综合题(本题有100小题，每小题1分，共100分.每小题不选、错误，均不给分)1. A _______ can measure the strength of a magnet.2.The chemical formula for bismuth sulfide is ______.3.My favorite dessert is ______ (brownies).4.What do plants need to grow?A. WaterB. CandyC. ToysD. Music答案:A Water5.What do we call the study of ancient cultures?A. ArchaeologyB. AnthropologyC. HistoryD. Sociology答案:A6.I like to make ______ (手工艺品).7.I like to swim in the ________.8.The ________ is very useful.9.My birthday is in _____ (July/Friday).10.What do you call a group of stars?A. GalaxyB. Solar SystemC. UniverseD. Nebula答案:A11.What do we call the area of land that is covered in ice?A. GlacierB. Ice capC. IcebergD. Tundra12. A _____ (鸟) sings beautifully every morning in the tree.13.Which planet is known as the Red Planet?A. VenusB. MarsC. EarthD. Mercury14.The chemical formula for platinum(II) chloride is _____.15.The sun sets in the _____ (west).16.My pet's name is ______.17.I saw a _______ flying in the garden (我在花园看到一只_______在飞).18.I saw a _______ (小恐龙) at the museum.19. A reaction that occurs under specific conditions is called a ______ reaction.20.What do we call the time it takes for one full rotation of the Earth?A. DayB. MonthC. YearD. Hour答案:A21.The flowers are _______ (五颜六色的).22.What do we call a young female fox?A. KitB. PupC. CubD. Vixen答案:D23.The __________ (博物馆) has many interesting exhibits.24.What is the name of the famous American singer known for her hit song "Born This Way"?A. Lady GagaB. Katy PerryC. Taylor SwiftD. Ariana Grande答案:A Lady Gaga25.What is the process by which plants make their food?A. DigestionB. PhotosynthesisC. RespirationD. Germination答案:B26.What do we call the study of the Earth?A. BiologyB. GeographyC. ChemistryD. Physics答案:B27.The cookies are _______ (baking) in the oven.28.The invention of ________ changed the way we consume media.29.She is a talented ________.30.Gravity keeps the planets in ______ around the sun.31. A ______ (田野) can be colorful with wildflowers.32.What is the name of the event where you give thanks for what you have?A. ChristmasB. HalloweenC. ThanksgivingD. New Year答案:C33.What do we call the system of government in which people elect representatives?A. MonarchyB. DictatorshipC. DemocracyD. Oligarchy答案:C34.The hedgehog rolls into a _________. (球)35.The peacock’s feathers are a sign of _______ (吸引力).36., I make _________ (手工艺品) out of my old _________ (玩具). Sometime37.My sister loves to watch ______ (鸟) in the garden.38.I have a toy _______ that can dig in the sand.39.What is the symbol for the element oxygen?A. OB. OxC. O2D. O3答案:A40.The __________ (历史的生动描绘) brings the past to life.41.My pet hamster enjoys running in its ______ (笼子).42.My mother is a _____ (教师) who loves kids.43.What is the name of the famous river in Egypt?A. AmazonB. NileC. MississippiD. Yangtze44.The ________ (flag) waves in the wind.45.He is a musician, ______ (他是一位音乐家), and plays the guitar.46.We will _____ a field trip next week. (have)47.How many players are on a field hockey team?A. 10B. 11C. 12D. 1348.The chemical symbol for boron is __________.49.The chemical symbol for copper is ______.50.I enjoy ___ (going) to the zoo.51.What is the shape of a stop sign?A. SquareB. OvalC. OctagonD. Triangle52.I like to ___ (explore) the forest.53.The plant needs sunlight and _______ (植物需要阳光和_______).54.My sister enjoys __________ (画画) in her free time.55.The _______ (狐狸) is cunning.56.The main gas released during respiration is ______.57.I saw a _______ (小狗) playing in the park.58.Which animal is known for its ability to swim well?A. CatB. DogC. FishD. Horse答案:C59.He is a coach, ______ (他是一名教练), training the team for the championship.60.__________ are found in the center of an atom.61.Which one is a vegetable?A. AppleB. CarrotC. BananaD. Grape答案:B Carrot62. A monkey uses its tail for ______.63.The speed of light is very ______.64.What do you call a story that explains how something came to be?A. MythB. NovelC. TaleD. Fable65.What is the capital of Kenya?A. NairobiB. KampalaC. Addis AbabaD. Dar es Salaam答案:A66.The __________ (历史的对抗) illustrate struggles for justice.67.What do we call the part of the tree that transports nutrients?A. LeafB. RootC. BarkD. Stem答案:D68.Which of these animals can lay eggs?A. DogB. CatC. BirdD. Cow答案:C69.What do we call a person who studies anthropology?A. AnthropologistB. SociologistC. ArchaeologistD. All of the above70.The ______ is very passionate about education.71.What is the main source of energy for the Earth?A. The MoonB. The SunC. StarsD. Wind72.They are going to a ________.73.What do you call the act of producing food?A. AgricultureB. FarmingC. HorticultureD. All of the above74.The ______ helps us learn about personal finance.75.The dolphin is a friendly _________ (生物).76. A gas that is lighter than air is called a ______ gas.77. A __________ is a landform that rises sharply above the surrounding area.78.The flowers are ________ (五颜六色).79.The eagle is a ______ (猛禽) that hunts for food.80.The capital of Kazakhstan is ________ (哈萨克斯坦的首都是________).81.I love to ________ (参加) community events.82.The capital of Iceland is ________ (冰岛的首都是________).83.The part of a plant that absorbs water and nutrients from the soil is the ______.84.She is a great ___. (writer)85.My sister loves to draw __________. (画)86.ers bloom in ______ (夜间). Some flo87.The flowers are ___ in the garden. (blooming)88. A __________ is a large geological feature formed by plate tectonics.89.The ________ (concert) is happening tonight.90.Which of these animals can fly?A. CowB. DogC. EagleD. Snake答案:C91.The _____ (树木砍伐) poses a threat to habitats.92.What language do we speak in America?A. SpanishB. EnglishC. FrenchD. Chinese93.The __________ (历史的交互) invites dialogue.94.What do we call a young horse?A. CalfB. FoalC. KidD. Puppy答案:B95.I want to _______ my ideas in art class.96.My favorite vegetable is ______ (胡萝卜).97.What is the name of the holiday celebrated on July 4th in the USA?A. ThanksgivingB. Independence DayC. Memorial DayD. Labor Day答案:B98.My grandmother knitted a _________ (毛绒玩具) for me when I was born.99.What do you call a story that teaches a lesson?A. FableB. MythC. LegendD. Tale答案:A100.What do we call a person who studies the effects of climate change on species?A. EcologistB. BiologistC. ConservationistD. Environmental Scientist答案:A。

天津市中考数学能力提升分类练习试卷(带答案带解析)之二次函数--2

天津市中考数学能力提升分类练习试卷（带答案带解析）之二次函数--261．已知：抛物线l1：y=−x2+2x+3交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E(6,0)，交y轴于点D(0,−3)．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线l1的对称轴上一动点，连接P A，PC，当∠APC=90°时，求点P的坐标；（3）如图2，M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M 自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．所以点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值为21．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式，会求抛物线与坐标轴的交点坐标；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式和勾股定理．62．如图1，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣8与x 轴交于A （2，0），B （4，0），D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，若H 为射线DA 与y 轴的交点，N 为射线AB 上一点，设N 点的横坐标为t ，△DHN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，若N 与B 重合，G 为线段DH 上一点，过G 作y 轴的平行线交抛物线于F ，连接AF ，若NG =NQ ，NG ⊥NQ ，且∠AGN ＝∠F AG ，求F 点的坐标．【答案】（1）y ＝−x 2＋6x −8；（2）S ＝32x −3；（3）F （1，-3）【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）如图1中，连接OD ，根据S ＝S △OND ＋S △ONH −S △OHD 计算即可．（3）如图2中，延长FG 交OB 于M ，只要证明△MAF ≌△MGB ，得FM ＝BM ．设M （m ，0），列出方程即可解决问题．【详解】解：（1）抛物线y ＝ax 2+bx ﹣8与x 轴交于A （2，0），B （4，0），代入得{4a +2b −8=016a +4b −8=0 ，解得{a =−1b =6，∴抛物线解析式为y ＝−x 2＋6x −8；（2）如图1中，连接OD ． ∵y ＝−x 2＋6x −8=−（x -3）2＋1∴顶点D 坐标（3，1）， ∵A （2，0）设直线AD 的解析式为y =kx +b （k ≠0）把A （2，0），（3，1）代入得{0=2k +b 1=3k +b解得{k =1b =−2∴直线AD 的解析式为y =x -2，令x =0，解得y =-2 ∴H （0，−2）．∵设N 点的横坐标为t ，∴△DHN 的面积S ＝S △OND ＋S △ONH −S △OHD ＝12×t ×1＋12×t ×2−12×2×3＝32t −3．∴S ＝32x −3；（3）如图2中，延长FG 交OB 于M ．∵H （0，−2），A （2，0） ∴OH ＝OA =2，∴∠OAH ＝∠OHA ＝45°， ∵FM //OH ，∴∠MGA ＝∠OHA ＝∠MAG ＝45°， ∴MG ＝MA ， ∵∠F AG ＝∠NGA ， ∴∠MAF ＝∠MGN ，在△MAF 和△MGN 中， ∵{∠AMF =∠GMB AM =MG ∠MAF =∠MGB ， ∴△MAF ≌△MGB ， ∴FM ＝BM ．设M （m ，0）， ∴−（−m 2＋6m −8）＝4−m ，解得m ＝1或4（舍弃）， ∴M （1，0） ∴BM =4-1=3 ∴FM ＝3， ∴F （1，-3）．【点睛】本题考查二次函数综合题、全等三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积．学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．63．如图，抛物线y =ax 2+bx +c 的图像经过点A(−1,0)，B(0,−3)，其对称轴为直线x =1（1）求这个抛物线的解析式（2）抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D 判断△CBD 的形状并说明理由（3）直线BN//x 轴，交抛物线于另一点N ，点P 是直线BN 下方的抛物线上的一个动点（点P 不与点B 和点N 重合），点P 做x 轴的垂线，交直线BC 于点Q ，当四边形BPNQ 的面积最大时，求出点P 的坐标【答案】（1）y =x 2−2x −3；（2）△CBD 是直角三角形，见解析；（3）P (32,−154) 【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出点C 、D 的坐标，利用勾股定理求出BC 、BD 、CD 的长即可判断；（3）先求出直线BC 的解析式，N 的坐标，得到四边形BPNQ 的面积=12BN ⋅PQ ，故当PQ最大时，四边形BPNQ 的面积最大，设P （x ，0），则P （x,x 2−2x −3），Q （x,x −3），得到四边形BPNQ 的面积的函数解析式，利用函数性质解答．【详解】解：（1）由题意得{a −b +c =0c =−3−b2a=1，解得{a =1b =−2c =−3，∴这个抛物线的解析式为y =x 2−2x −3；（2）令y =x 2−2x −3中y =0，得x 2−2x −3=0，解得x =-1或x =3， ∴C （3,0），∵y =x 2−2x −3=(x −1)2−4 ∴顶点D 的坐标为（1，-4），∵CB 2=32+32=18,BD 2=12+12=2,CD 2=22+42=20, ∴CB 2+BD 2=CD 2, ∴△CBD 是直角三角形；（3）∵B (0,-3)，C (3,0)， ∴直线BC 的解析式为y =x −3，∵直线BN//x 轴，交抛物线于另一点N ，B （0,3），对称轴为直线x =1， ∴N （2,-3）， ∵PQ ⊥x 轴，64．已知抛物线y=ax2+bx+6（a为常数，a≠0）交x轴于点A(6,0)，点B(−1,0)，交y轴于点C．（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；（2）P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P作y轴平行线，交直线AC于点D，当PD取得最大值时，求点P的坐标；（3）M是抛物线的对称轴l上一点，N为抛物线上一点；当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．∴{a −b +6=036a +6b +6=0 ， ∴{a =−1b =5，∴抛物线的解析式为y ＝−x 2＋5x ＋6，当x ＝0时，y ＝6， ∴点C （0，6）；（2）如图（1），∵A （6，0），C （0，6）， ∴直线AC 的解析式为y ＝−x ＋6，设D （t ，−t ＋6）（0＜t ＜6），则P （t ，−t 2＋5t ＋6）， ∴PD ＝−t 2＋5t ＋6−（−t ＋6）＝−t 2＋6t ＝−（t −3）2＋9，当t ＝3时，PD 最大，此时，−t 2＋5t ＋6＝12， ∴P （3，12）；（3）如图（2），设直线AC 与抛物线的对称轴l 的交点为F ，连接NF ，PD ＝PE ，（3）中NF ∥x 轴是解本题的关键．65．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =−x 2+bx +c 的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为(3,0)，B 点坐标为(−1,0)，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 上以每秒√2个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使△MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b =2，c =3；（2）t =2，最小值为4；（3）（3+√174，23+√178）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，利用S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ 表示出四边形BCPQ 的面积，求出t 的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；（3）画出图形，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F ，证明△PFM ≌△QEP ，得到MF =PE =t ，PF =QE =4-2t ，得到点M 的坐标，再代入二次函数表达式，求出t 值，即可算出M 的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A （3，0），B （-1，0），则{0=−9+3b +c 0=−1−b +c ，解得：{b =2c =3；（2）由（1）得：抛物线表达式为y =-x 2+2x +3，C （0，3），A （3，0）， ∴△OAC 是等腰直角三角形，由点P 的运动可知： AP =√2t ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，∴AE =PE =√2t √2=t ，即E （3-t ，0），又Q （-1+t ，0），∴S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ=12×4×3−12×[3−(−1+t )]t =12t 2−2t +6∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC =√32+32=3√2，AB =4，∴0≤t ≤3，∴当t =−−22×12=2时，四边形BCPQ 的面积最小，即为12×22−2×2+6=4；（3）∵点M 是线段AC 上方的抛物线上的点，如图，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F ，∵△PMQ 是等腰直角三角形，PM =PQ ，∠MPQ =90°，∴∠MPF +∠QPE =90°，又∠MPF +∠PMF =90°，∴∠PMF =∠QPE ，在△PFM 和△QEP 中，{∠F =∠QEP∠PMF =∠QPE PM =PQ，∴△PFM ≌△QEP （AAS ），∴MF =PE =t ，PF =QE =4-2t ，∴EF =4-2t +t =4-t ，又OE =3-t ，∴点M 的坐标为（3-2t ，4-t ），∵点M 在抛物线y =-x 2+2x +3上，66．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，B(4,0)，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接P A，PD，求△PAD面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)沿射线AD平移4√2个单位，得到新的抛物线y 1，点E 为点P 的对应点，点F 为y 1的对称轴上任意一点，在y 1上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【答案】（1）y =x 2-3x -4；（2）8；（3）G(52,−54)或G(152,−254)或G(72,−254)，过程见解析【分析】（1）将A (−1,0)，B (4,0)的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；（2）先得出抛物线的对称轴，作PE ∥y 轴交直线AD 于E ，设P （m ，m 2-3m -4），用m 表示出△APD 的面积即可求出最大面积；（3）通过平移距离为4√2，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E 的坐标，分DE 为对角线、EG 为对角线、EF 为对角线三种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）将A （-1，0），B （4，0）代入y =ax 2+bx -4得{a −b −4=016a +4b −4=0，解得：{a =1b =−3 ， ∴该抛物线的解析式为y =x 2-3x -4，（2）把x =0代入y =x 2-3x -4中得：y =-4，∴C （0，-4），抛物线y =x 2-3x -4的对称轴l 为x=32∵点D 与点C 关于直线l 对称，∴D （3，-4），∵A （-1，0），设直线AD 的解析式为y =kx +b ；∴{3k+b =-4-k +b =0 ，解得：{k =−1b =−1， ∴直线AD 的函数关系式为：y =-x -1，设P （m ，m 2-3m -4），作PE ∥y 轴交直线AD 于E ，∴E （m ，-m -1），∴PE =-m -1-（m 2-3m -4）=-m 2+2m +3，∴S ΔAPD =12×PE ×|x D −x A |=2(−m 2+2m +3)=−2m 2+4m +6，∴S ΔAPD =−2m 2+4m +6=−2(m −1)2+8，∴当m =1时，△PAD 的面积最大，最大值为：8（3）∵直线AD 的函数关系式为：y =-x -1，∴直线AD 与x 轴正方向夹角为45°，∴抛物线沿射线AD 方向平移平移4√2个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，∵A (−1,0)，B (4,0)，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），设平移后的抛物线的解析式为y 1=x 2+dx+e则{9+3d+e =-464+8d+e =-4 ，解得：{d =−11e =20， ∴平移后y 1=x 2-11x +20，∴抛物线y 1的对称轴为：x =112，∵P （1，-6），∴E （5，-10），∵以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：设G （n ，n 2-11n +20），F （112，y ）， ①当DE 为对角线时，平行四边形的对角线互相平分∴3+52=n+1122，∴n=52 ∴G(52,−54)②当EF 为对角线时，平行四边形的对角线互相平分67．如图，已知二次函数y=−x2+bx+c(c>0)的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．（1）求该二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为点Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点P，使△PMC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．68．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A,B,C三点，顶点为D，已知点B的坐标是(1,0),OA=OC=3OB．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若E是线段AD上的一个动点（E与A,D不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F，求线段EF长度的最大值；（3）将（1）中的函数图象平移后，表达式变为y=ax2+2mx+1，若这个函数在−2≤x≤1时的最大值为3，求m的值．【答案】（1）y=−x2−2x+3；（2）EF最大值为1；（3）m=1.5或−√2【分析】（1）先表示出C(0,c)，再利用OA=OC=3OB可得A(c,0),B(−13c,0)，于是可利用交点式表示解析式，得到y=−(x+13c)(x−c)=−x2+23c+13c2，所以13c2=c，解得c=3，所以抛物线解析式为y=−x2+2x+3；（2）把二次函数写成顶点式，得到D点坐标，设出直线AD的解析式，将A、D两点坐标代入，可得直线解析式，分别利用各自的解析式写出交点E的坐标表达式，利用两点间公式可得到二次函数，求出最值即可；（3）分三种情况求出m的值．【详解】（1）当x=0时，y=−x2+bx+c=c，则C(0,c)，∵OA=OC=3OB，∴A(c,0),B (−13c,0)，∴y =−(x +13c)(x −c)=−x 2+23c +13c 2，∴13c 2=c ，解得c =0（舍去）或c =3，∴代入二次函数y =ax 2+bx +c 解析式中，y =−x 2−2x +3；（2）∵抛物线y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴顶点D 的坐标为(−1,4)．设直线AD 的解析式为y =kx +b ，∵A(−3,0),D(−1,4)，∴{−3k +b =0−k +b =4，解得：{k =2b =0， ∴直线AD 的解析式为y =2x +6．设点E 的横坐标为m ，∴E(m,2m +6),F (m,−m 2−2m +3)，∴EF =−m 2−2m +3−(2m +6)=−m 2−4m −3=−(m +2)2+1，∴当m =−2时，EF 最大值为1．（3）∵y =ax 2+2mx +1的图象由y =−x 2−2x +3平移得到，∴表达式可设为y =−x 2+2mx +1，对称轴是直线x =m ；①若m <−2，则x =−2时函数值最大，把x =−2，y =3代入y =−x 2+2mx +1，解得m =−1.5，不合题意，舍去；②若−2≤m ≤1，则x =m 时函数值最大，把x =−m,y =3代入y =−x 2+2mx +1，解得m =±√2，∴m=−√2；③若m>1，则x=−1时函数值最大，把x=−1,y=3代入y=−x2+2mx+1，解得m=1.5综上所述，m=1.5或−√2．【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质（对称性、增减性）等知识点，较难的是题（3），利用二次函数的性质正确分三种情况讨论是解题关键．x2+bx+c过点A(−1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为点D．69．抛物线y=−12（Ⅰ）求点C,D的坐标；（Ⅱ）点E是线段OB上一动点，过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M，连接BM并延长交y 轴于点N，连接AM,OM．若△AEM的面积是△MON面积的2倍，求点E的坐标；（Ⅲ）抛物线上一点T，点T的横坐标是−3，连接BT，与y轴交于点P，点Q是线段AT上一动点（不与点A，点T重合）将△BPQ沿PQ所在直线翻折，得到△FPQ，当△FPQ与△TPQ重叠部分的面积是△TBQ面积的1时，求线段TQ的长度．4∴y=−12×(−3)2−3+32=−6．∴点T的坐标为(−3,−6)．设直线BT的解析式为y=k2x+b2，有{3k2+b2=0−3k2+b2=−6，解得{k2=1b2=−3∴直线BT的解析式为y=x−3．∵当x=0时，y=−3．∴点P的坐标为(0,−3)．过点T作TG⊥y轴于点G，则TG=3,PG=3，∴TP=√TG2+PG2=√32+32=3√2．又BP=√OB2+OP2=√32+32=3√2，∴BP=TP，∴点P是线段BT的中点．∴S△BPQ=S△TPQ．由折叠知，△BPQ≌△FPQ，则S△BPQ=S△FPQ．∴S△FPQ=S△TPQ．①如图，当点F在直线BT下方时，设线段FQ与线段PT交于点M，△FPQ与△TPQ重叠部分是△MPQ，连接FT．∵S△MPQ=14S△BTQ，∴S△MPQ=12S△TPQ=12S△FPQ．∴MP=MT,MQ=MF．∴四边形FPQT是平行四边形．∴TQ=PF．∵PF=BP,BP=3√2，∴TQ=3√2．②如图，当点F 在直线BT 上方时，设线段FP 与线段QT 交于点N,△FPQ 与△TPQ 重叠部分是△NPQ ，连接FT ．同理可得，四边形FTPQ 是平行四边形． ∴QF =TP =BP ． ∵QF =BQ ， ∴BQ =BP =3√2．设直线AT 的解析式为y =k 3x +b 3，有{−k 3+b 3=0−3k 3+b 3=−6 ，解得{k 3=3b 3=3 ∴直线AT 的解析式为y =3x +3．设点Q 的坐标为(t,3t +3)(−3<t <−1)，过点Q 作QE ⊥x 轴于点E ，BQ =√EB 2+EQ 2=√(t −3)2+(3t +3)2=3√2，解得t 1=0,t 2=−65． ∵−3<t <−1,∴t =−65，∴点Q 的坐标为(−65,−35)．70．如图所示，在抛物线上选定两点，我们把过这两点的线段和这条抛物线所围成的图形称作抛物线弓形．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =ax 2(a >0)与直线y =x 相交于点O 和点A ，OA 截得的抛物线弓形的曲线上有一点P ．（Ⅰ）当a=1时，解答下列问题：①求A点的坐标；②连接OP，AP，求△OPA面积的最大值；③当△OPA的面积最大时，直线OP也截得一个更小的抛物线弓形，同理在这个更小的抛物线弓形曲线上也有一点P′，连接OP′，P′P，当△OP′P的面积最大时，求这个△OP′P的最大面积与②中△OPA的最大面积的比值；（Ⅱ）将（Ⅰ）中a=1的条件去掉后，其它条件不变，则△OP′P的最大面积与△OPA的最大面积的比值是否变化？请说明理由．。

备战中考数学(鲁教版)综合能力提升练习(含解析)

2021备战中考数学〔鲁教版〕综合才能提升练习〔含解析〕一、单项选择题1.在﹣4，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是〔〕A. -4B.2C. -1D.32.以下命题中，为真命题的是〔〕A.对顶角相等B.假设，那么a=bC.同位角相等D.假设a＞b，那么﹣2a＞﹣23.点P是⊙O内一点，⊙O的半径为5，OP=3，在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数有〔〕A.2B.3C.4D.54.把抛物线y=3x2向右平移一个单位，那么所得抛物线的解析式为( )A.y=3(x+1)2B.y=3(x-1)2C.y=3x2+1D.y=3x2-15.某校研究性学习小组在学习二次根式=|a|之后，研究了如下四个问题，其中错误的选项是〔〕A.在a＞1的条件下化简代数式a+的结果为2a﹣1B.当a+的值恒为定值时，字母a的取值范围是a≤1C.a+的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的值可以为D.假设=，那么字母a必须满足a≥16.同学在“心连心〞献爱心捐助活动中都捐了款，他们分别捐了5元、5元、10元、6元、4元，那么这5位同学平均每人捐款〔〕A.4元B.5元C.6元D.8元7.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，假设消费中出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01，那么对成品抽查一件抽得正品的概率为A.0.09B.0.98C.0.97D.0.968.S型电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了980元．设平均每次降价的百分率为x，那么以下方程中正确的选项是〔〕A.1500 (1+x)2=980B.980(1+x)2=1500C.1500 (1－x)2=980D.980(1－x)2=15009.函数y=x2-2021x+2021与x轴交点是〔m，0〕，〔n，0〕，那么〔m2-2021m+2021〕〔n2-2021n+2021〕的值是〔〕A.2021B.2021C.2021D.202110.：正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=〔x＞0〕的图象交于点M〔a，1〕，MN⊙x轴于点N〔如图〕，假设⊙OMN的面积等于2，那么〔〕A.．k1=，k2=4B.k1=4，k2=C.k1=，k2=﹣4D.k1=﹣，k2=411.﹣6的绝对值是〔〕A. -6B.C. -D.6二、填空题12.某饮料公司消费多种饮料，为了理解群众更喜欢哪种饮料，公司组织了“你投票，我送礼〞的活动，投票者只要在选票所列举的每种饮料后都写上一个1到10之间的评价数即可获利，活动完毕后，在平均数、众数、中位数和方差四个统计量中，公司应该关注的一个统计量是________．13.如图，假设=________，那么⊙OAC⊙⊙OBD．14.不等式2x+5＞4x﹣1的正整数解是________15.如图，顺次连接矩形ABCD四边的中点得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得到四边形A3B3C3D3，…，AB=6，BC=8，按此方法得到的四边形A5B5C5D5的周长为________．16.如图，把⊙ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图．假设⊙A=60°，⊙1=95°，那么⊙2的度数为________．三、计算题17.计算：〔﹣1〕3+ ﹣| |．18.化简求值：，其中a=-2．19.计算：| ﹣1|﹣+2sin60°+〔〕﹣220.解分式方程＝1－.四、解答题21.如图，点C、D在线段AB上，⊙PCD是等边三角形，假设⊙APB=120°，求证：⊙ACP⊙⊙PDB．22.：22n﹣1•23n=217．求n的值．五、综合题23.如图〔1〕，平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+1的图象与y轴交于点A，点B是第二象限一次函数y=﹣x+1的图象上一点，且S⊙OAB=3，点C的坐标为〔﹣2，﹣3〕．〔1〕求A，B的坐标；〔2〕如图〔1〕假设点D是线段BC上一点，且三角形ABD的面积是三角形ABC的一半，求⊙ABC的面积和点D的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，如图〔2〕，将线段AC沿直线AB平移，点A的对应点为A1，点C的对应点为C1，连接A1D，C1D，当⊙A1C1D直角三角形时，求A1的坐标．答案解析局部一、单项选择题1.【答案】A【考点】有理数大小比拟【解析】【解答】解：根据有理数比拟大小的方法，可得﹣4＜﹣1＜0＜3，在﹣4，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是﹣4．应选：A．【分析】有理数大小比拟的法那么：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．2.【答案】A【考点】命题与定理【解析】【分析】根据数学的根本概念和根本性质依次分析各选项即可作出判断。

天津市中考数学能力提升分类专题训练试卷(带答案带解析)分类之二次函数--专题5(共5专题)

天津市中考数学能力提升分类专题训练试卷（带答案带解析）分类之二次函数--专题5（共5专题）源自天津历年真题整理40．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a>0）经过A(-1，0)和B(3，0)两点，点C(0，-3)，连接BC，点Q为线段BC上的动点．(1)若抛物线经过点C；①求抛物线的解析式和顶点坐标；②连接AC，过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接P A，PB，AQ，△P AQ 与△PBQ面积记为S1，S2，若S=S1+S2，当S最大时，求点P坐标；(2)若抛物线与y轴交点为点H，线段AB上有一个动点G，AG=BQ，连接HG，AQ，当AQ+HG 最小值为3√2时，求抛物线解析式．解得a =1∴抛物线解析式为y =x 2−2x −3 ∵y =x 2−2x −3=(x −1)2−4 ∴顶点坐标为（1，﹣4）②如图①，连接CP ，过点P 作PD ⊥x 轴于E ，交BC 于点D ，过点C 作CF ⊥PD ∵PQ //AC ∴S △P AQ =S △PCQ ∴S =S 1+S 2=S △P AQ +S △PBQ∴S =S △PCQ +S △PBQ =S △CPB =S △CPD +S △BPD · 设直线BC 的解析式为y =kx +b{3k +b =0b =−3解得{k =1b =−3．∴直线BC 的解析式为y=x ﹣3.设P (m ，m 2−2m −3)，则D (m ，m −3)，(0<m <3) ∴PD =m −3−(m 2−2m −3)=−m 2+3mS =S △CPD +S △BPD =12PD ⋅DF +12PD ⋅BE =12PD ⋅(CF +BE)=12PD ⋅3=−32(m 2−3m)∴S =−32(m −32)2+278∵−32<0，0<m <3 ∴m =32时，S 最大 ∴P (32，−154)(2)如图②，把线段AB绕点A逆时针旋转45°，得到线段AE，连接EH交x轴于点G，∴AE=AB=4，∠EAB=45°.∵y＝ax2+bx+c经过A(-1，0)，B(3，0)·∴y=a (x+1) (x﹣3)∴y＝ax2﹣2ax﹣3a令x=0，可得y=﹣3a∴H (0，﹣3a) .∵∠BOC=90°，OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°∴∠EAB= ∠OBC=45°.又∵AG=BQ∴ΔAEG≌ΔBAQ.∴EG=AQ∴AQ+HG=EG+HG≥HE.当点E，G，H共线时，AQ+HG值最小即HE=3√2过点E作EN⊥y轴，ET⊥x轴，在RtΔATE中，∠EAT=45°41．将一个直角三角形纸片ABC 放置在平面直角坐标系中，∠ACB =90°，点A (4， 0)，点C (0， 2)，点O (0，0)，点B 在x 轴负半轴，点E 在线段AO 上以每秒2个单位长度的速度从A 向点O 运动，过点E 作直线EF ⊥x 轴，交线段AC 于点F ，设运动时间为t 秒．将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在x 轴上点D 处，得到△DEF ．(1)如图①，连接DC，当∠CDF=90°时，求点D的坐标．(2)①如图②，若折叠后△DEF与△ABC重叠部分为四边形，DF与边BC相交于点M，求点M的坐标（用含t的代数式表示），并直接写出t的取值范围；≤t≤2时，求S的取值范围（直接写当出结果②△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，当12即可）．∵∠AOC=90°，∴tan∠CAO=OCOA =12，∵△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处，∴△DEF≌△AEF，∴∠FDE=∠F AE，∵∠CDF=90°，∴∠FDE+∠CDO=90°，∵∠COD=90°，∴∠OCD+∠CDO=90°，∴∠FDE=∠OCD，∴∠FDE=∠OCD=∠F AE，∴tan∠OCD=tan∠F AE=12，在Rt△OCD中，tan∠OCD=ODOC =12，∴OD=12OC=1，∴D(1，0)．（2）①过点M作MN⊥x轴，如图所示：∵∠MNB=90°，∴∠MBN+∠BMN=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∴∠BMN=∠CAB，在RtΔBMN中，tan∠BMN=tan∠CAB=MNDN =12，∴MN =2BN ，在Rt ΔDMN 中，tan ∠MDN =tan ∠CAB =MN DN=12，∴DN =2MN =4BN ， ∴BD =DN ﹣BN =3BN ， ∵∠ACB =∠AOC =90°，∴∠BCO +∠ACO =∠ACO +∠CAB =90°， ∴∠BCO =∠CAB ，在Rt ΔBOC 中，tan ∠BCO =OB OC=12，∴OB =12OC =1，∴AB =5，∴△DEF ≌ΔAEF ， ∴AE =DE =2t ， ∴BD =AD ﹣AB =4t ﹣5， ∴4t ﹣5=3BN ， ∴BN =4t−53，MN =2BN =8t−103，∴M (4t−83，8t−103)，要使重叠部分为四边形，则2AE ＞AB ，即4t ＞5，解得t ＞54，∵点E 在线段AO 上， ∴AE ≤AO ，即2t ≤4，解得：t ≤2，∴t 的取值范围是54＜t ≤2；②当12≤t ≤54时，重叠部分为三角形，此时重叠部分的面积为：S =S ΔAEF =12AE ×EF =12×2t ×t =t 2，42．已知抛物线L:y=ax2−4x+c(a≠0)经过点A(0,−5)，B(5,0)．(1)求抛物线L的解析式；(2)连接AB，交抛物线L的对称轴于点M．①求点M的坐标；②将抛物线L向左平移m(m>0)个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．且点N在点M的下方，点P是抛物线L1上一点，横坐标为−1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN=10，求m的值．【答案】(1)y=x2−4x−5(2)①点M的坐标是(2,−3)；②1.【分析】（1）由A、B坐标待定系数法求函数解析式即可；（2）求得点A、B所在直线的解析式，由对称轴横坐标代入直线解析式求得纵坐标即可；（3）根据坐标平移规律设抛物线L1的表达式是y=(x−2+m)2−9，PE交抛物线L1于另一点Q，由坐标特征求得点N、P的坐标表达式，由二次函数的对称性求得Q点坐标表达式，再由平移性质求得E点坐标表达式；根据PE+MN=10列方程求得m的值即可；(1)解：把点A(0,−5)，B(5,0)的坐标分别代入y=ax2−4x+c，得{c=−525a−20+c=0，解得{a=1c=−5，∴抛物线解析式为y=x2−4x−5；(2)解：①设AB所在直线的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，把A(0,−5)，B(5,0)的坐标分别代入表达式得：{b=−55k+b=0，解得{k=1b=−5，∴AB所在直线的函数表达式为y=x−5；由（1）得，抛物线L：y=x2−4x−5=(x−2)2−9的对称轴是直线x=2，当x=2时，y=x−5=−3，∴点M的坐标是(2,−3)．②设抛物线L1的表达式是y=(x−2+m)2−9，如图1，虚线表示L，实线表示L1，∵MN∥y轴，∴点N的坐标是(2,m2−9)，∵点P的横坐标为−1，∴点P的坐标是(−1,m2−6m)，设PE交抛物线L1于另一点Q，∵抛物线L1的对称轴是直线x=2−m，PE∥x轴，∴根据抛物线的轴对称性，点Q的坐标是(5−2m,m2−6m)，当抛物线L1过点M（2，-3）时，m=±√6，∵m＞0，∴m=√6，∴当点N在点M下方时，平移距离m<√6，PQ=5−2m−(−1)=6−2m，MN=−3−(m2−9)=6−m2，由平移性质得QE=m，∴PE=6−2m+m=6−m，∵PE+MN=10，∴6−m+6−m2=10，解得m1=−2（舍去），m2=1，∴m的值是1．【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的对称轴，二次函数的平移，二次函数的图像特征等知识；根据题意作出二次函数的图像及平移后的图像是解题关键．x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于A（－2，0），B（4，0）两点，43．已知抛物线y=12与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为m，过点P作P M⊥x轴，垂足为M，PM与直线BC交于点D．若点P，D，M三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外）时，请找出符合条件的m值；(3)若抛物线对称轴与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，点Q是对称轴上一个动点，当以E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P，Q的坐标（直接写出结果即可）．当点P 的坐标为(52,−278)时，Q 点的坐标是(1,−158)或者(1,158)【分析】（1）结合A (−2,0)，B (4,0)利用待定系数法即可求解；（2）利用B 、C 两点的坐标先求出直线BC 的解析式，再用m 表示出点P 坐标，根据PM ⊥x 轴，PM 与直线BC 交于点D ，得到点M 的坐标为(m,0)和点D 的坐标为(m,m −4)再分D 为PM 的中点、当P 为DM 的中点和M 为PD 的中点三种情况讨论，利用中点坐标公式即可列出关于m 的方程，求解出m 的值，问题得解；（3）求出抛物线的对称轴，即可得到E 点坐标和Q 的横坐标，过F 点作FG ⊥AB 于G 点，在结合EF ⊥BC ，OC =OB=4，OE =1，利用等腰直角三角形的性质即可求出F 点坐标，根据条件设P 点坐标为(x P ,12x P 2−x P −4)，Q 点坐标为(1,a)，根据构成的四边形是平行四边形，利用两条对角线的交点也是各自的中点的性质，再结合中点坐标公式即可列出方程组求出P 、Q 的坐标，不过此处需要分EQ 为对角线、EP 为对角线和EF 为对角线三种情况讨论．(1)∵抛物线y =12x 2+bx +c （b ，c 为常数）经过A (−2,0)，B (4,0)， ∴{2−2b +c =0，8+4b +c =0.解得{b =−1，c =−4.∴抛物线的解析式为y =12x 2−x −4； (2)∵抛物线y =12x 2−x −4与y 轴交于C (0,−4)，∴设直线BC 的解析式为y =kx −4，∵直线BC 经过点B (4,0)，∴4k −4=0解得k =1，∴直线BC 的解析式为y =x −4，∵点P 是抛物线上的一个动点，且点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为(m,12m 2−m −4)，∵PM ⊥x 轴，垂足为M ，PM 与直线BC 交于点D ，∴点M 的坐标为(m,0)，点D 的坐标为(m,m −4)，①当D为PM的中点时，2（m−4）=12m2−m−4+0，∴m=2或m=4（舍）②当P为DM的中点时，2(12m2−m−4)=m−4+0，∴m=−1或m=4（舍）③当M为PD的中点时，12m2−m−4+m−4=0，∴m=−4或m=4（舍）即满足条件的m的值为2，－1，－4.(3)过F点作FG⊥AB于G点，如图，将抛物线的解析式配成顶点式，得：y=12(x−1)2−92，则抛物线的对称轴为x=1，∴E点的坐标为(1,0)，即有OE=1，根据（2）中求得的C点坐标，可知OC=4，又∵OB=4=OC，∴在Rt△OBC中，∠OBC=∠OCB=45°，又∵EF⊥BC，GF⊥OB，∴利用等腰直角三角形的性质可得EG=GF=GB，∵BE=OB-OE=4-1=3，∴EG=GF=GB=32，∴可得F点的坐标为(52,−32)，∵P点在抛物线上，Q点在抛物线对称轴x=1，∴设P点坐标为(x P,12x P2−x P−4)，Q点坐标为(1,a)，44．已知函数y={−12x2+12x+m(x<m)x2−mx+n(x≥m)，记该函数图象为G．(1)当m=2时，已知M(4,n)在该函数图象上，求n的值；(2)当0≤x≤2时，求函数G的最大值．(3)当m>0时，作直线x=12m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ=45°时，求m的值．【答案】(1)10(2)21845．已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)交x轴交于A(−1,0)和点B(3,0)，交y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D是直线BC上一点，过点D作DE∥y轴，交抛物线于点E（点E在点D的上方），再过点E作EF∥x轴，交直线BC于点F．当△DEF的面积取最大值时，求点E的坐标；(3)如图2，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线BC垂直平分MN时，求出点N的坐标．【答案】(1)y=−x2+2x+3(2)8132(3)(1−√2,2)或(1+√2,2)【分析】（1）利用交点式设二次函数式，再代入抛物线与y轴的交点坐标，即可解答；（2）利用待定系数法求直线BC的解析式，设D(m,-m+3)，再表示出DE的长，根据题意求出△DEF 为等腰直角三角形，然后把△DEF 的面积用含m 的代数式表示出来，最后利用二次函数性质求其最大值即可；（3）连接ND ，根据对称的性质和△AOB 为等腰直角三角形推出△MDN 是等腰直角三角形，得出ND =MD ，设M (1,p )，然后分当M 在D 点上方时，当M 在D 点下方时两种情况分别表示出N 点坐标，将其代入抛物线解析式建立方程求解，即可解决问题．（1）解：∵抛物线y =ax 2+bx +3(a ≠0)交x 轴交于A(−1,0)和点B(3,0)，设y =a (x +1)(x −3)(a ≠0)，∵当x =0时，y =3，∴3=a (0+1)(0−3)，解得a =-1，∴y =−(x +1)(x −3)，即y =−x 2+2x +3．（2）解：设直线BC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0)，∵B (3,0)，C (0,3)，则{0=3k +b 3=b，解得{k =−1b =3， ∴y =-x +3，设D (m ,-m +3)，∴E (m ,-m 2+2m +3)，∵DE = yE -yD =-m 2+2m +3-(-m +3)=-m 2+3m ，由（1）得，OB =OC =3，∴△BOC 为等腰直角三角形，∵DE ∥OC ，EF ∥OB ，∴△DEF 为等腰直角三角形，∴S △DEF =12DE·EF =12DE 2=12(−m 2+3m )2 ，∵点E 在点D 的上方，∴0<m <3，∵DE =−m 2+3m =−(m −32)2+94 ，∴当m =32 时，DE 的最大值为94 ， ∴S △DEF 的最大值为12×(94)2=8132 ；（3）解：如图，l 与直线BC 相交与D ,连接ND ，∵BC 是MN 的对称轴，∴ND =MD ，由（2）知△BOC 是等腰直角三角形，∴∠BDH =∠CBO =45°，∴∠CDM =∠BDH =45°，∴△MDN 是等腰直角三角形，∴抛物线的对称轴为x =3−12=1 ，设M (1,p )，D (1,-1+3)，即(1,2)，∵ND =MD =p -2，当M 点在D 点上方时，∴xN =1-(p -2)=-p +3，∴N (-p +3, 2)∵N 点在抛物线上，∴ 2=−(−p +3)2+2(−p +3)+3，解得p =2+√2或2−√2（舍去），∴N 点坐标(1−√2,2) ；当M 点在D 点下方时，同理得出△M′DN′为等腰直角三角形，∴M′D=N′D，设M′的坐标为(1,q)，∴M′D=2−q，∴xN’=(2-q)+1=3-q，∴N’(3-q, 2)，∵N’点在抛物线上，∴2=−(3−q)2+2(3−q)+3，解得q=2+√2（舍去）或2−√2，∴N′(1+√2,2)，综上，N点坐标为(1−√2,2)或(1+√2,2)．【点睛】本题考查了二次函数图象和几何知识的综合，待定系数法求函数解析式，求最大值，轴对称图形等，解决问题的关键是能综合运用所学的数学知识和利用几何知识解决函数问题．46．如图，二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）的图象经过点C(0,3)，与x轴分别交于点A，点B(3,0)．(1)求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；(2)点P是直线BC上方的抛物线上任意一点，点P关于y轴的对称点记作点P′，当四边形POP′C为菱形时，求点P的坐标；(3)点P是抛物线上任意一点，过点P做PD⊥BC，垂足为点D．过点P作PQ∥x轴，与抛物线交于点Q．若PQ=√2PD，求点P的坐标．（2）先画出图形，再利用菱形的性质可得y P =y P ′=32,再列方程求解即可；（3）如图，过P 作PM∥y 轴交BC 于M,证明PM =PQ,设P(x,−x 2+2x +3),再分别表示PM,PQ, 最后建立方程求解即可．（1）解：∵ 二次函数y =ax 2+2x +c （a ≠0）的图象经过点C(0,3)，与x 轴点B(3,0)．∴{c =39a +6+c =0 ，解得：{a =−1c =3所以抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3.（2）解：如图，四边形POP ′C 为菱形，∴CO ⊥PP ′,CK =OK,PK =P ′K,∵C(0,3),∴OK =CK =32,∴y P =y P ′=32, ∴−x 2+2x +3=32, 解得：x =2±√102, ∵ 点P 是直线BC 上方的抛物线上任意一点，∴x ＞0, 即x =2+√102,∴P(2+√102,32). （3）解：如图，过P 作PM∥y 轴交BC 于M, 则∠PMC =∠OCB,∵B(3,0),C(0,3),∴BC 的解析式为y =−x +3,∠OCB =45°,47．已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于A（3，0），C两点，与y轴相交于点B，点M为线段AB上一点．(1)当b=−2时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若点N（－b－2，y N）是抛物线在第三象限内的点，有一点P（－5，0），当AP=AN时，求b的值；(3)在（1）的条件下，AM=2√2，点E是y轴上一点，在抛物线上是否存在点F，使得以A，M，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)（1，-4）(2)4√2−5(3)（2，-3）或（-2，5）或（4，5）【分析】（1）根据点A（3，0），可得9+3b+c=0，再由b=−2，即可求解；（2）过点N作NQ⊥x轴于点Q，先求出点N（－b－2，-b-5），可得AQ=b+5，NQ=b+5，再由AP=AN，结合勾股定理，即可求解；（3）过点M作MD∥x轴于点D，可得到点M（1，-2），然后分三种情况讨论：若以AM为边，点E在点D上方时，得到平行四边形AMFE；若以AM为边，点E在点D下方时，得到平行四边形AMEF；若以AM为对角线时，AM的中点与EF的中点重合，即可求解．(1)解∶∵抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于A（3，0），∴9+3b+c=0，∵b=−2，∴c=-3，∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴顶点坐标为（1，-4）；(2)解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，∵抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于A（3，0），∴9+3b+c=0，∴c=-3b-9，∴抛物线解析式为y=x2+bx−3b−9，∵点N（－b－2，y N）是抛物线在第三象限内的点，∴y N=(−b−2)2+b(−b−2)−3b−9=−b−5，∴点N（－b－2，-b-5），∴AQ=b+5，NQ=b+5，∵点P（－5，0），AP=AN，∴AN=8，∴√(b+5)2+(b+5)2=8，解得：b=4√2−5或b=−4√2−5，∵点N（－b－2，y N）在第三象限，∴−b−2<0，即b>−2，∴b=4√2−5；(3)解：如图，过点M作MD∥x轴于点D，由（1）得抛物线的解析式为y=x2−2x−3，当x=0时，y=0，∴点B（0，3），∴OB=3，∵A（3，0），∴OA=3，∴AB=3√2，∵AM=2√2，∴BM=√2，∵MD∥x轴，∴△BDM∽△BOA，∴BDOB =DMOA=BMAB=√23√2，∴BD=1，DM=1，∴OD=2，∴点M（1，-2），设点E（0，m），若以AM为边，点E在点D上方时，得到平行四边形AMFE，则EF∥AM，∴点F（-2，-2+m），∴−2+m=4+4−3，解得：m=7，∴此时点F的坐标为（-2，5）；若以AM为边，点E在点D下方时，得到平行四边形AMEF，则EF∥AM，∵点A（3，0），点E（0，m），点M（1，-2），∴点F（2，-2-m），∴−2−m=4−4−3，解得：m=1，∴此时点F的坐标为（2，-3）；若以AM为对角线时，AM的中点与EF的中点重合，设点P(x,y)，∴{3+12=x2−2 2=m+y2，解得：{x=4y=−m−2，∴−m−2=16−8−3，解得：m=-7，∴此时点P的坐标为（4，5），综上所述，点P的坐标为（2，-3）或（-2，5）或（4，5）．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．48．已知抛物线y=ax2-2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，-1），顶点为D．(1)当a=1时，求该抛物线的顶点坐标；(2)当a>0时，点E（0，a），若DE=2DC，求a的值；(3)当a<-1时，点F（0，1-a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，-1）是直线l上的动点，且取MN的中点记为P．当a为何值时，FP+DP的最小值为√17，并求此时点M ，N 的坐标．【答案】(1)抛物线的顶点坐标为（1，-2）(2)a =12(3)当a =−32，FP +DP 的最小值为√17，此时点M 的坐标为(−34,0)，点N 的坐标为(94,−1)【分析】（1）把a =1代入抛物线的解析式为y =x 2-2x +c ．根据抛物线经过点C （0，-1），求出c =-1，然后将抛物线解析式配方y =x 2-2x -1=(x -1)2-2即可；（2）根据题意，得抛物线的解析式为y =ax 2−2ax −1；根据抛物线对称轴的性质，计算得点D 的坐标为(1，−a −1)；过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，根据勾股定理和拓展一元一次方程的性质，得a =12，从而得到答案；（3）当a <-1时，根据点P 为 AN 的中点，可求P (m +32,−12)，作点D （1，-a -1）关于直线y =−12的对称点D ′(1,a)．当满足条件的点P 落在线段FD '上时，FP +DP 最小，根据FD ′2=17，即(1−2a )2+1=17．解方程求出点F 的坐标为(0,52)，点D′的坐标为(1,−32)．利用待定系数法求出直线FD′的解析式为y =−4x +52即可．（1）解：当a =1时，抛物线的解析式为y =x 2-2x +c ．∵抛物线经过点C （0，-1），∴c =-1．∴抛物线的解析式为y =x 2-2x -1．∵y =x 2-2x -1=(x -1)2-2，∴抛物线的顶点坐标为（1，-2）．（2）解：当a >0时，由抛物线y =ax 2-2ax +c 经过点C （0，-1），∴c =-1．∴抛物线的解析式为y =ax 2-2ax -1．可得抛物线的对称轴为x =1．当x =1时，y =-a -1．∴抛物线的顶点D的坐标为（1，-a-1）．过点D作DG⊥y轴于点G．在Rt△DEG中，DG=1，EG=a−(−a−1)=2a+1，∴ED2=DG2+EG2=(2a+1)2+1．在Rt△DCG中，DG=OG-OC=1，CG=−1−(−a−1)=a，∴DC2=DG2+CG2=1+a2．∵DE=2DC，即DE2=4DC2，∴(2a+1)2+1=4(1+a2)．解得a=12．（3）当a<-1时，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，-1）是直线l上的动点，∵点P为M、N的中点，∴点P(m+32,−12)，作点D（1，-a-1）关于直线y=−12的对称点D′(1,a)．当满足条件的点P落在线段FD'上时，FP+DP=FP+PD′最小，此时，FP+DP=FD′=√17．过点D′作D′H⊥y轴于点H．在Rt△FD′H中，D′H=1，FH=−a+1−a=1−2a，∴FD2=FH2+D′H2=(1−2a)2+1．又FD′2=17，即(1−2a)2+1=17．49．已知抛物线y =x 2+bx +c （b ，c 为常数，b <0）与x 轴交于点A (1,0)，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴交于点C ．(1)当b =−2时，求抛物线的顶点坐标；(2)点P 是射线OC 上的一个动点①点D (−b,y 0)是抛物线上的点，当OP =3，AD =AP 时，求b 的值：②若点P在线段OC上，当b的值为−4时，求CP+2AP的最小值．【答案】(1)(1,0)(2)①−√5−1；②3+√3【分析】（1）把点A坐标代入解析式可求出c的值，然后把抛物线的解析化为顶点式即可求出顶点坐标．（2）①根据勾股定理求出AP2，根据点A在抛物线上求出b和c的关系式，然后用b来表示c，根据点D坐标和勾股定理求出AD2，然后根据AP=AD列出方程求解即可求出b的值．②在x轴负半轴上找一点M，使得∠OCM=30°，连接CM，过点P作PN⊥CM于N．根据垂线段最短可确定，当AN⊥CM时，CP+2AP取得最小值，根据抛物线解析式求出点C坐标，进而求出OC的长度，根据直角三角形的边角关系求出OM和CM的长度，最后根据三角形面积公式即可求解．(1)解：当b=-2时，抛物线的解析式为y=x2−2x+c．把A(1,0)代入抛物线解析式得0=12−2×1+c．解得c=1．所以抛物线的解析式为y=x2−2x+1=(x−1)2．所以抛物线的顶点为(1,0)．(2)解：①如下图所示．∵A(1,0)，∴OA=1．∵OP=3，∴AP2=OA2+OP2=10．把A(1,0)代入抛物线解析式得0=12+b×1+c．整理得c=−b−1．∴抛物线解析式为y=x2+bx−b−1．∵点D(−b,y0)是抛物线上的点，∴y0=(−b)2+b×(−b)−b−1=−b−1．∴D(−b,−b−1)．∴AD2=(−b−1)2+(−b−1)2=2(b+1)2．∵AD=AP，∴AD2=AP2．∴10=2(b+1)2．解得b1=√5−1（舍），b2=−√5−1．∴b的值为−√5−1．②如下图所示，在x轴负半轴上找一点M，使得∠OCM=30°，连接CM，过点P作PN⊥CM 于N．∵∠OCM=30°，PN⊥CM，CP．∴NP=12(CP+2AP)．∴NP+AP=12∴当NP+AP取得最小值时，CP+2AP取得最小值．∴当AP与NP共线时，即AN⊥CM时，NP+AP取得最小值为AN，即CP+2AP取得最小值．50．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0)，B(−1,0)两点，与y轴交于点C，连接AC，点D是第一象限的抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点D作DE⊥AC于点E．①若DE=CE，求D点坐标；②过点D作DH⊥x轴于点H，交AC于点F，连接DC、DA，当△DEF的周长取得最大值时，抛物线上是否存在一点P，使S△PAC=S△ACD，如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．的关系推出CD ∥OA ，求出点C 和D 的纵坐标都等于3，把y ＝3代入抛物线解析式y =−x 2+2x +3即可求出；②DF ⊥x 轴，得出DH ⊥OA ，证明△DEF 为等腰直角三角形，因为△DEF 的周长等于DE +EF +DF =(√2+1)DF ．有A(3,0)，C(0,3)，求出直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，设点D 的坐标为(m,−m 2+2m +3)，F(m,−m +3)，则DF =−m 2+2m +3−(−m +3)，利用配方法研究最值．(1)解：把A(3,0)，B(−1,0)两点代入抛物线y =ax 2+bx +3则{9a +3b +3=0a −b +3=0，解得{a =−1b =2． ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3；(2)解：①连接CD ，当x ＝0时，y ＝3，即OC ＝3，∵OC ＝OA ＝3，∠AOC ＝90°，∴△AOC 为等腰直角三角形，∠CAO ＝45°．∵DE ⊥AC ，DE ＝CE ，∴△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝45°，∴∠DCE ＝∠OAC ＝45°，即CD ∥OA ．∴点C 和D 的纵坐标都等于3．把y ＝3代入抛物线解析式y =−x 2+2x +3得，−x 2+2x +3=3，解得x 1=0（舍去），x 2=2，∴点D的坐标为（2，3）．②∵DF⊥x轴，∴DH⊥OA，∵∠CAO＝45°，∴∠AFH＝45°，∵DE⊥AC，∠DFE＝∠AFH＝45°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴DE=EF=√22DF则△DEF的周长等于DE+EF+DF=(√2+1)DF．∵A(3,0)，C(0,3)，∴直线AC的解析式为y＝－x＋3．设点D的坐标为(m,−m2+2m+3)，F(m,−m+3)，则DF=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m=−(m−32)2+94．∴当m=32时，DF取得最大值，此时△DEF的周长取得最大值．点D的坐标为(32,154)．∵S△PAC=S△ACD，∴点P和D到直线AC的距离相等．容易得知点P和D重合时符合题意，此时P的坐标为(32,154)．作直线l和k都和直线AC平行，且到直线AC的距离都相等，则直线l的解析式为。

中考数学专题训练[方案设计型]能力提升训练与分析.doc

中考数学专题训练[方案设计型]能力提升训练与分析高考数学专项训练[方案设计类型]能力提高培训和分析测试网站；一阶方程，方程，分数方程，不等式系统，一阶函数，二次函数，[示例1]一家商店正准备购买两种商品，甲和乙。

据了解，甲商品的价格是15元。

价格是XXXX。

被称为“千湖之省”的湖北正遭受严重干旱。

为了提高学生的环保意识和节约用水，一所学校的数学老师发明了一个实际问题:为了保护水资源，某市制定了一套节水管理措施，规定了居民生活用水的以下收费标准:月用水量(单位:吨)单价(单位:1.5元/吨)不超过10吨的部分是10吨以上，而不超过10万吨的部分(，素有“千湖之省”之称的湖北正遭受旱灾，为了提高学生的环保意识，节约用水，一位学校数学老师编了一个实际问题: 为了保护水资源，某市制定了一套节水管理措施，规定了居民生活用水的以下收费标准:月用水量(单位:吨)单价(单位:元/吨)不超过10吨1.5部分不超过10吨，不超过m吨部分(20≤m≤50)2部分不超过m吨3(1)如果用户在6月份使用18吨水，要求他应支付的水费；(2)记住用户6月用水量为x吨，支付y元水费，并尝试在x上列出y的功能；(3)如果用户6月用水量为40吨，水费支付的Y元取值范围为70≤y≤90，请尝试寻找M .解决方案的取值范围:(1)应付水费:(2)当0≤x≤10时，y=1.5x当10m时，y=15 2 (m-10) 3 (x-m)=3x-m-5。

∴y=(3)当40≤m≤50时，y=2× 40-5=75(元)，令人满意。

当20≤m40，y=3× 40-m-5=115-m，70 ≤ 115-m ≤ 90，∴25≤m≤45，即25≤m≤40。

总而言之，25≤m≤50。

[示例3]。

潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两个种植户，分别种植甲、乙两种蔬菜，两个种植户种植的两种蔬菜的种植面积和总收入如下表所示:种植者种植的甲级蔬菜面积(单位:亩)乙类蔬菜种植面积(单位:亩)总收入(单位:袁)甲3112 500B 2316说明:不同种植者种植的类似蔬菜的平均每亩收入是相等的。

天津市中考数学能力提升分类专题训练试卷(带答案带解析)分类之二次函数--专题1(共5专题)

天津市中考数学能力提升分类专题训练试卷（带答案带解析）分类之二次函数--专题1（共5专题）源自天津历年真题整理1．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab<0；②2a+b=0；③3a+c>0；④a+b≥m(am+b)（m为实数）；⑤当−1<x<3时，y>0，其中正确的是（）A．①②④B．①②C．②③④D．③④【答案】A【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a＋b＝0；当x＝−1时，y＝a−b＋c；然后由图像确定当x取何值时，y＞0．【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确；＝1，②∵对称轴x＝−b2a∴2a＋b＝0；故正确；③∵2a＋b＝0，∴b＝−2a,∵当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，∴a−（−2a）＋c＝3a＋c＜0，故错误；④根据图示知，当x＝1时，有最大值；当m≠1时，有am2＋bm＋c＜a＋b＋c,所以a＋b≥m（am＋b）（m为实数）．故正确．⑤如图，当−1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误．故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．2．已知抛物线y=ax2−2x+1(a≠0)的顶点为P，有下列结论：①当a<0时，抛物线与直线y=2x+2没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若点P在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．其中，正确结论的个数是（）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】①构建方程组，转化为一元二次方程，利用判别式的值判断即可；②首先证明a＞1，再证明x=1时，y＜0，可得结论；③首先证明a＞0，然后根据抛物线对称轴在直线x=0和直线x=2之间，结合抛物线顶点在点（0，2）下方且在x轴上或在x轴上方求解即可．【详解】解：由{y=2x+2y=ax2−2x+1，消去y得到，ax2-4x-1=0，∵Δ=16+4a，a＜0，∴Δ的值可能大于0，∴抛物线与直线y=2x+2可能有交点，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ=4-4a＞0，∴a＜1，∵抛物线经过（0，1），且x =1时，y =a -1＜0，∴抛物线与x 轴一定有一个交点在（0，0）与（1，0）之间．故②正确；当a <0时，抛物线对称轴为直线x =−−22a =1a <0，∴此时抛物线顶点P 在y 轴左侧，不可能在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），∴a >0，∵抛物线解析式为y =ax 2−2x +1=a (x −1a )2+1−1a ，∴{0≤1−1a ≤21a ≤2 ，解得，a ≥1，故③正确，综上，正确的有②③共2个．故选：C ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建不等式或不等式组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．3．如图，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点 A （3，0），与y 轴的交点B 在（0，3）与（0，4）之间（不包括这两点），对称轴为直线x =1．下列结论： ①abc <0；②43a +3b +c >0；③−43<a <−1；④若x 1，x 2（x 1<x 2）是方程ax 2+bx +c =m （m <0）的两个根，则有x 1<−1<3<x 2．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴的位置，判定abc 的符号，根据9a +3b +c =0，−b 2a =1，用含a 的代数式表示b ，c ，代入化简43a +3b +c 并判断正负性；根据a 、c 之间的关系和{c ＜4c ＞3 转化a 的不等式组，并解之；利用数形结合思想判断．【详解】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵−b2a =1＞0，∴b ＞0，∴ab ＜0，∵c ＞0，∴abc <0，故结论①正确；∵二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点 A （3，0），对称轴为直线x =1， ∴9a +3b +c =0，−b 2a =1，∴3a +c =0，43a −9a =−233a >0故结论②正确；∵3a +c =0，且{c ＜4c ＞3， ∴{−3a ＜4−3a ＞3，解得−43<a <−1，故结论③正确；∵二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点 A .（3，0），对称轴为直线x =1， ∴3+x 02=1，解得x 0=−1，故抛物线与x 轴另一个交点为(-1，0)∴方程ax 2+bx +c =m （m <0）的两个根是抛物线y =ax 2+bx +c 与y =m 的交点的横坐标，画图如下，数形结合思想判断，得x 1<−1<3<x 2．故结论④正确．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线的性质，抛物线与各项系数的关系，不等式组的解集，抛物线与x 轴的交点，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．4．已知二次函数y ＝（m ﹣2）x 2+2mx +m ﹣3（m 是常数）的图象与x 轴有两个交点（x 1，0），（x 2，0），x 1≠x 2，则下列说法：①该二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣5）；②若该函数图象开口向下，则m 的取值范围为：65<m <2；③若m =3，当t ≤x ≤0时，y 的最大值为0，最小值为﹣9，则t 的取值范围为−6≤t ≤−3．其中，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D【分析】①y =（m -2）x 2+2mx +m -3=m （x +1）2-2x 2-3，当x =-1时，y =-5，可判断①， ②若该函数图象开口向下可得m -2＜0，根据Δ＞0，可得m ＞65，即可判断②； ③当m =3时，函数关系式为：y =x 2+6x =(x +3)2-9，可得函数顶点坐标为（-3，-9），对称轴为x =-3，且图像开口向上，再根据题意即可判断③；【详解】解：①y =（m -2）x 2+2mx +m -3=m （x +1）2-2x 2-3，当x =-1时，y =-5，故该函数图象一定过定点（-1，-5），故①正确；②若该函数图象开口向下，则m -2＜0，且Δ＞0，Δ=b 2-4ac =20m -24＞0，解得：m ＞65，且m ＜2，故m 的取值范围为：65＜m ＜2，故②正确； ③当m =3时，函数关系式为：y =x 2+6x =(x +3)2-9，可得函数顶点坐标为（-3，-9），对称轴为x =-3，且图像开口向上，根据题意，当t ≤x ≤0时，y 的最大值为0，最小值为﹣9，所以x 应当位于对称轴到抛物线与x 轴的左侧交点之间（包含端点），所以−6≤t ≤−3．故③正确；故选：D ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用根的判别式、掌握二次函数图象性质是解题的关键．5．已知二次函数y ＝a （x +1）（x ﹣m ）（a 为非零常数，1＜m ＜2），当x <-1时，y 随x 的增大而增大，则下列结论正确的是（）①当x ＞2时，y 随x 的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a ＜0；③若（﹣2021，y 1），（2021，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④若图象上两点（14，y 1），（14+n ，y 2）对一切正数n ，总有y 1＞y 2，则1＜m ≤32．A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①③④ 【答案】D【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：①：∵二次函数y ＝a （x +1）（x ﹣m ）（a 为非零常数，1＜m ＜2）， ∴x 1＝﹣1，x 2＝m ，x 1＜x 2，又∵当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，∴a ＜0，开口向下，∴当x ＞2＞x 2时，y 随x 的增大而减小，故①正确；②：∵二次函数y ＝a （x +1）（x ﹣m ）（a 为非零常数，1＜m ＜2），当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，∴a ＜0，若图象经过点（0，1），则1＝a （0+1）（0﹣m ），得1＝﹣am ，∵a ＜0，1＜m ＜2，∴﹣1＜a ＜﹣12，故②错误；③：又∵对称轴为直线x ＝−1+m2，1＜m ＜2，∴0＜−1+m2＜12， ∴若（﹣2021，y 1），（2021，y 2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y 1＜y 2，故③正确；④若图象上两点（14，y 1），（14+n ，y 2）对一切正数n ，总有y 1＞y 2，1＜m ＜2， ∴该函数与x 轴的两个交点为（﹣1，0），（m ，0），∴0＜−1+m2≤14，解得1＜m ≤32，故④正确；∴①③④正确；②错误．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6．已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图像如图所示，有下列5个结论：①abc >0；②b <a +c ；③4a +2b +c >0；④2c >3b ；⑤a +b >m(am +b)(m ≠1)，其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A【分析】先利用二次函数的开口方向，与y 轴交于正半轴，二次函数的对称轴为：x =−b 2a =1>0,判断a,b,c 的符号，可判断①，由图象可得：(−1,a −b +c)在第三象限，可判断②，由抛物线与x 轴的一个交点在(−1,0),(0,0)之间，则与x 轴的另一个交点在(2,0),(3,0)之间，可得点(2,4a +2b +c)在第一象限，可判断③，由(3,9a +3b +c)在第四象限，抛物线的对称轴为：x=−b2a =1,即a=−b2,可判断④，当x=1时，y最大值=a+b+c，当x=m(m≠1)，y=am2+bm+c,此时：am2+bm+c<a+b+c,可判断⑤，从而可得答案. 【详解】解：由二次函数的图象开口向下可得：a<0,二次函数的图象与y轴交于正半轴，可得c>0,二次函数的对称轴为：x=−b2a=1>0,可得b>0,所以：abc<0,故①不符合题意；由图象可得：(−1,a−b+c)在第三象限，∴a−b+c<0,∴b>a+c,故②不符合题意；由抛物线与x轴的一个交点在(−1,0),(0,0)之间，则与x轴的另一个交点在(2,0),(3,0)之间，∴点(2,4a+2b+c)在第一象限，∴4a+2b+c>0,故③符合题意；∵(3,9a+3b+c)在第四象限，∴9a+3b+c<0,∵抛物线的对称轴为：x=−b2a=1,∴a=−b 2 ,∴−9b2+3b+c<0,∴2c<3b,故④不符合题意；∵当x=1时，y最大值=a+b+c，当x=m(m≠1)，y=am2+bm+c,此时：am2+bm+c<a+b+c,∴m(am+b)<a+b,故⑤符合题意；综上：符合题意的有：③⑤．故选：A．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的应用二次函数的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键.7．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A(1,0)，B(m,0)（−2<m<−1），下列结论：①2b+c>0；②2a+c<0；③a(m+1)−b+c>0；④若方程a(x−m)(x−1)−1=0有两个不相等的实数根，则4ac−b2<4a．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据已知条件可判断c>0，a<b<0，据此逐项分析解题即可．【详解】解：∵抛物线开口向下∴a<0把A(1,0)，B(m,0)代入y=ax2+bx+c得{a+b+c=0am2+bm+c=0∴am2+bm=a+b∴am2+bm−a−b=0(m−1)(am+a+b)=0∵−2<m<−1∴am+a+b=0∴am=c,a(m+1)=−b∴c>0∴−1<m+1<0∵m+1<0∴−12<m+12<0∴−12<−b2a<0∴1>ba>0∴a<b<0①2b+c=2b−a−b=b−a>0，故①正确；②2a+c=2a−a−b=a−b<0，故②正确；③a(m+1)−b+c=−2b+c=−2b−a−b=−3b−a>0，故③正确；；④若方程a(x−m)(x−1)−1=0有两个不相等的实数根，即ax2−a(m+1)x+am−1=0Δ=a2(m+1)2−4a(am−1)=a2(m+1)2−4a2m+4a=b2−4a2⋅−a−ba+4a=b2+4a2+4ab+4a=b2+4a(a+b)+4a=b2−4ac+4a>0∴4ac−b2<4a，故④正确，即正确结论的个数是4，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a、b、c关系，涉及一元二次方程根的判别式，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．8．已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）经过点(−1,−1),(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1．有下列结论：①abc>0；②关于x的方程ax2+bx+c−3=0有两个不等的实数根；③a+b+c>7．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）经过点(−1,−1),(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1．∴c=1＞0，a-b+c= -1,4a-2b+c＞1，∴a-b= -2,2a-b＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，∵ax2+bx+c−3=0,∴△=b2−4a(c−3)=b2+8a＞0,∴ax2+bx+c−3=0有两个不等的实数根；∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故选D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．9．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，其中点B的坐标为(4,0)，抛物线与y轴负半轴交于点C，有下列结论：①abc>0；②4a+b<0；③若M(1,y1)与N(2,y2)是抛物线上两点，则y1>y2；④若AB≥3，则4b+3c>0其中，正确的结论是（）A．①②B．③④C．①④D．②③【答案】C【分析】从抛物线的开口方向、对称轴、顶点位置、与坐标轴的交点位置、函数的增减性等方面加以逐项计算或判断，即可得出相应的结论．【详解】解：（1）∵抛物线的开口向下，∴a<0．∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0．∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，>0．∴−b2a∴b＞0．∴abc>0．∴①正确；（2）∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴的正半轴，∴对称轴在直线x=2的右侧．∴−b2a>2．∴2+b2a <0，即4a+b2a<0．又∵a＜0，∴4a+b>0．∴②错误；（3）∵M(1，y1)和N(2，y2)是抛物线上的两点，且0<1<2，∴抛物线在0<x<−b2a 上，y随x的增大而增大，在x>−b2a上，y随x的增大而减小．∴y1>y2不一定成立．∴③错误；（4）∵AB≥3，B（4，0），∴点A的横坐标大于0且小于或等于1．∴当x=1时，有y=a+b+c≥0；当x=4时，有y=16a+4b+c=0．∴a=−4b+c16，代入a=−4b+c16，得，−4b+c16+b+c≥0．整理得，4b+5c≥0．∴4b+3c≥−2c．又∵c<0，∴-2c>0．∴4b+3c>0．∴④正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与不等式等知识点．熟知图象的位置与系数的关系是解题的基础．10．函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点(2,0)，顶点坐标为(−1,n)，其中n>0．有下列结论：①abc>0；②函数y=ax2+bx+c在x=1和x=−2处的函数值相等；③点M(x1,y1)，N(x2,y2)在函数y=ax2+bx+c的图象上，若−3<x1< 1<x2，则y1>y2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据待定系数法，抛物线的对称性、抛物线的增减性等知识即可作出判断．【详解】∵抛物线的顶点坐标为(−1,n)∴抛物线的对称轴为直线x=-1∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(2,0)设抛物线与x轴的另一个交点坐标为(x,0)，则-1-x=2+1∴x=-4即抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为(2,0)和(−4,0)故抛物线的解析式为y=a(x+4)(x−2)=ax2+2ax−8a∵n>0，即抛物线的顶点在x轴的上方，且抛物线与x轴有两个交点∴a<0∴b=2a<0，c=-8a>0∴abc>0故①正确当x=1时，y=-5a；当x=-2时，y=-8a∵a<0∴-5a<-8a故②错误当x=-3时，y=-5a；当x=1时，y=-5a∵当−3<x<−1时，函数值随自变量的增大而增大；当−1<x<1时，函数值随自变量的增大而减小∴当−3<x1<1时，−5a<y1<n∵当x2>1>−1时，函数值随自变量的增大而减小∴y2<−5a∴y2<y1故③正确从而正确的结论有两个．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数解析式及其性质，有一定的综合性，关键是用好抛物线的对称性质及增减性质．。

中考数学能力提高测试(3)及答案

时间：45分钟满分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2014年黑龙江牡丹江)某公司去年的营业额为四亿零七百万元，这个数据用科学记数法表示为( )A ．4.07×107元B ．4.07×108元C ．4.07×109元D ．4.07×1010 元 2．如图N31所示的几何体的俯视图是( )3．在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、正方形和圆．在看不见图形的情况下随机摸出1张，是中心对称图形的概率是( )A.16B.13C.12D.23 4．若x －1＋(y ＋1)2＝0，则x －y 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．35．如图N32，数轴上表示2，5的对应点分别为C ，B ，点C 是AB 的中点，则点A 表示的数是( )图N32A ．－ 5B ．2－ 5C ．4－ 5 D.5－26．(2014年贵州黔西南州)如图N33，已知AB ＝AD ，则添加下列条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是( )A ．CB ＝CD B ．∠ BAC ＝∠DAC C ．∠BCA ＝∠DCAD ．∠B ＝∠D ＝90°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)7．若不等式(2－a )x ＞2的解集是x ＜22－a，则a 的取值范围是________． 8．已知在等腰三角形ABC 中，BC ＝8，AB ，AC 的长为方程x 2－10x ＋m ＝0的根，则m ＝________.9．(2014年江苏苏州)已知正方形ABCD 的对角线AC ＝2，则正方形ABCD 的周长为________．10．如图N34，已知四边形ABCD 是矩形，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE .若DE ∶AC ＝3∶5，则ADAB的值为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分) 11．(2014年辽宁大连)解方程：5x －2＋1＝x －12－x .12．为更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如图N35(1)所示的调查问卷(单选)．在随机调查了该市全部5000名司机中的部分司机后，统计整理并制作了如图N35(2)所示的统计图．根据以下信息解答下列问题：(1)补全条形统计图，并计算扇形统计图中m＝________；(2)该市支持选项B的司机大约有多少人？(3)若要从该市支持选项B的司机中随机选择100名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项的司机小李被选中的概率是多少？13．如图N36，据热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120 m，求这栋高楼BC的高度．14．如图N37，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是⊙O外一点，P A与⊙O相切于点A，且P A＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)已知P A＝2 3，BC＝2，求⊙O的半径．15．(2014年广东汕头模拟)如图N38，抛物线y＝x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2,0)．(1)求此抛物线的解析式；(2)若抛物线上有一点B(3，m)，在二次函数的对称轴上找到一点P，使P A＋PB最小，求点P的坐标．参考答案在Rt△ABD中，BD＝AD·tan∠BAD＝40 3.在Rt△ACD中，CD＝AD·tan∠CAD＝120 3，∴BC＝BD＋CD＝40 3＋120 3＝160 3(m)．14．(1)证明：连接OB，∵OA＝OB，P A＝PB，∴∠OAB＝∠OBA，∠P AB＝∠PBA.∴∠P AO＝∠PBO.又∵P A是⊙O的切线，∴∠P AO＝90°.∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．(2)解：连接OP，交AB于点D.∵P A＝PB，OA＝OB，∴点P 和点O 都在线段AB 的垂直平分线上． ∴OP 垂直平分线段AB .∴AD ＝BD . ∵OA ＝OC ，∴OD ＝12BC ＝1.∵∠P AO ＝∠PDA ＝90°，∠AOP ＝∠DAP ， ∴△APO ∽△DP A .∴AP DP ＝POP A .∴AP 2＝PO ·DP .∴PO (PO －OD )＝AP 2. 即PO 2－1×PO ＝(2 3)2.解得PO ＝4. 在Rt △APO 中，OA ＝PO 2－P A 2＝2，即⊙O 的半径为2.。

初中数学能力提升专项练习完整

初中数学能力提升专项练习完整介绍本文档旨在为初中生提供一套完整、系统的数学能力提升专项练。

通过针对不同数学概念和技巧的练，帮助学生巩固知识、提高理解能力和解题能力。

练内容第一章：整数与有理数1. 练题：对10个整数进行排序。

2. 练题：计算两个有理数的和、差、积和商。

3. 练题：简化一个有理数的分数表示。

4. 练题：判断一个有理数的大小关系。

第二章：代数式与方程式1. 练题：计算一个代数式的值。

2. 练题：简化一个代数式（去括号、合并同类项）。

3. 练题：列方程式并解答问题。

4. 练题：解一元一次方程。

第三章：几何1. 练题：计算几何图形的周长和面积。

2. 练题：判断两个几何图形是否相似。

3. 练题：求解直角三角形的斜边长和角度。

4. 练题：利用相似三角形解决实际问题。

第四章：数据统计与概率1. 练题：计算数据集的平均值、中位数和众数。

2. 练题：绘制柱状图、折线图和饼图。

3. 练题：计算简单事件的概率。

4. 练题：利用概率解决实际问题。

练建议1. 每个章节的练题都涵盖了该章节的基本知识点，建议按照顺序进行练。

2. 练题中的答案和解析可以在答题后进行对比和复。

3. 若遇到困难题目，建议寻求老师或同学的帮助，一起解决问题。

结语通过完成本文档中的数学练，相信您的数学能力将得到显著提升。

为了取得更好的成绩和学业发展，建议坚持每天进行适量的练，并在研究中保持积极的态度和耐心。

祝您学业有成，数学能力更上一层楼！> 注意：每位学生的学习能力和进展都有所不同，建议根据个人的实际情况进行合理的学习计划和进度安排。