中考数学专题训练【方案设计型】能力提升训练与解析

中考数学专题训练【方案设计型】能力提升训练与解析

考点：一次方程、方程组、分式方程、不等式组、一次函数、二次函数、

【例1】.某商店准备购进甲、乙两种商品．已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商

品每件进价35元，售价45元．

(1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2 700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？

(2)若该商店准备用不超过3 100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少(利润＝售价－进价)?

解：(1)设购进甲种商品x 件，购进乙种商品y 件， 根据题意，得

⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝100，15x ＋35y ＝2 700，解得：⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝40，y ＝60.

答：商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件． (2)设商店购进甲种商品a 件，则购进乙种商品(100－a )件， 根据题意列，得

⎩

⎪⎨⎪⎧

15a ＋35100－a ≤3 100，5a ＋10100－a ≥890，解得20≤a ≤22. ∵总利润W ＝5a ＋10(100－a )＝－5a ＋1 000，W 是关于x 的一次函数，W 随x 的增大而减小，

∴当x ＝20时，W 有最大值，此时W ＝900，且100－20＝80，

答：应购进甲种商品20件，乙种商品80件，才能使总利润最大，最大利润为900元．

【例2】．今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某

校数学教师编造了一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：

月用水量(单位：吨) 单价(单位：元/吨)

不大于10吨部分

1.5 大于10吨，且不大于m 吨部分(20≤m ≤50)

2 大于m 吨部分

3

(2)记该用户六月份的用水量为x 吨，缴纳水费y 元，试列出y 关于x 的函数式； (3)若该用户六月份的用水量为40吨，缴纳水费y 元的取值范围为70≤y ≤90，试求m 的取值范围．

解：(1)应缴纳水费：10×1.5＋(18－10)×2＝31(元)． (2)当0≤x ≤10时，y ＝1.5x ；

当10m 时，y ＝15＋2(m －10)＋3(x －m )＝3x －m －5. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪

⎧

1.5x 0≤x ≤10，2x －5 10m .

(3)当40≤m ≤50时，y ＝2×40－5＝75(元)，满足． 当20≤m <40时，y ＝3×40－m －5＝115－m ， 则70≤115－m ≤90，∴25≤m ≤45，即25≤m ≤40. 综上得，25≤m ≤50.

【例3】．潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A ，B 两类蔬菜，两种

植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表： 种植户 种植A 类蔬菜面积(单位：亩) 种植B 类蔬菜面积(单位：亩)

总收入(单位：元)

甲 3 1 12 500 乙

2

3

16 500

(1)求A ，B 两类蔬菜每亩的平均收入各是多少元；

(2)某种植户准备租20亩地用来种植A ，B 两类蔬菜，为了使总收入不低于63 000元，

且种植A 类蔬菜的面积多于种植B 类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有的租地方案．

解：(1)设A ，B 两类蔬菜每亩平均收入分别是x 元，y 元．

由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝12 500，2x ＋3y ＝16 500.解得⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ＝3 000，y ＝3 500.

答：A ，B 两类蔬菜每亩平均收入分别是3 000元，3 500元．

(2)设用来种植A 类蔬菜的面积为a 亩，则用来种植B 类蔬菜的面积为(20－a )亩．

由题意，得⎩

⎪⎨

⎪⎧

3 000a ＋3 500

20－a ≥63 000，

a ＞20－a .解得10＜a ≤14.

∵a 取整数，为：11,12,13,14. ∴租地方案为：

类别 种植面积(亩)

A 11 12 13 14 B

9

8

7

6

【例4】.某学校计划将校园内形状为锐角△ABC 的空地（如图）进行改造，将它分割成

△AHG 、△BHE 、△CGF 和矩形EFGH 四部分，且矩形EFGH 作为停车场，经测量BC=120m ，高AD=80m ，

（1）若学校计划在△AHG 上种草，在△BHE 、△CGF 上都种花，如何设计矩形的长、宽，使得种草的面积与种花的面积相等？

（2）若种草的投资是每平方米6元，种花的投资是每平方米10元，停车场铺地砖投资是每平方米4元，又如何设计矩形的长、宽，使得△ABC 空地改造投资最小？最小为多少? 解、（1）设FG=x 米，则AK=(80－x)米 由△AHG ∽△ABCBC=120，AD=80可得：

8080120x HG -= ∴ x HG 2

3120-=

BE+FC=120－）（x 23120-

=x 23

∴x x x x ·232180·23120 · 21⨯=--）（）（

解得x=40 ∴当FG 的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等。 （2）设改造后的总投资为W 元 W=

2880024064·)2

3120(10··23216·80·23120 · 212+-=-+⨯+--x x x x x x x x ）（）（=6(x －20)2+26400

∴当x=20时,W 最小=36400

答:当矩形EFGH 的边FG 长为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元。

【例5】.我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州

政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会.现有A 型、B 型、C 型三种汽车可供选择.已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满.根据下表信息，解答问题.

（1）设A 型汽车安排x 辆，B 型汽车

安排y 辆，求y 与x 之间的函数关系式.

（2）如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案.