江苏省苏州市震泽中学2020-2021学年高一(大杨班)上学期第一次月考数学试题
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A． B． C． D．
二、填空题
13．已知函数 的图像如图所示，则 ．
14．函数 的定义域为_________．
15．给出下列命题：
（1）函数 的振幅为 ；
（2）函数 在定义域内为增函数；
（3）函数 的最小正周期为 ；
（4）函数 ， 的一个对称中心为 .
其中正确命题的序号是________．
16．如图，在正方形 中， 为 的中点， 是以 为圆心， 为半径的圆弧上的任意一点，设 ，则 的最小值为__________．
【分析】
作 ， ，根据平行四边形法则可知 ，从而得到 ，进而得到 ；同理可得 ，进而求得结果.
【详解】
作 ，交 于 ； ，交 于
四边形 为平行四边形
又 ，即
，即 ，同理可得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查平面向量在几何中的应用，关键是能够利用向量加法的平行四边形法则建立等量关系，进而根据线段的比例关系得到面积比.
6．C
【分析】
根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果.
【详解】
向左平移 个单位得：
将 横坐标缩短为原来的 得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题.
7．A
【解析】
试题分析：由已知得 的解析式为 ，因为 的一条对称轴是直线 ，所以 （在对称轴处函数取最值），把选项代入验算可知选A．
三、解答题
17．已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R.
(1)求A∪B，(∁UA)∩B； (2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．
18．已知 是第三象限角， ．
（1）若 ，求 的值．
（2）若 ，求 的值；
19．已知向量 的夹角为 ，且 ， .
求：（1） ；（2） ．
A． B．
C． D．
7．将函数 的图象F向右平移 个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线 则 的一个可能取值是
A． B． C． D．
8．如图，在边长为 的正三角形 中， ， 分别是边 ， 上的动点，且满足 ， ，其中 ， ， ， 分别是 ， 的中点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．Βιβλιοθήκη Baidu
9．定义一种运算 ，令 ，且 ，则函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
10．设 为 内的两点,且 , ,则 的面积与 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
11．若函数 的图象至少有 个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 )的图象在区间 上恰有 个最低点，则 的取值范围为（ ）
且 ，故选C.
点睛：考查函数的定义域，属于基础题.
3．C
【解析】
试题分析： ，所以 ，故选C．
考点：分段函数
4．B
【解析】
由题意， ，解得 ，故选B．
5．B
【详解】
试题分析：由题意有,函数 在 上为减函数,所以有 ,解出 ,选B.
考点：分段函数的单调性.
【易错点晴】
本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题.从题目中对任意的实数 ，都有 成立，得出函数 在 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点 处,有 ,解出 .本题容易出错的地方是容易漏掉分界点 处的情况.
考点：1．三角函数的图像变换；2．三角函数的对称轴．
8．C
【分析】
利用平面向量线性运算可利用 表示出 ，进而得到 ；通过求解 将问题转化为二次函数的最值求解问题，通过求解二次函数最小值可得 ，进而求得结果.
【详解】
为 中点
为 中点
又 为边长为 的正三角形 ，
当 时， 的最小值为
本题正确选项：
【点睛】
20．设 ， 为常数．若 ．
（1）求使 的 的取值范围；
（2）若对于区间 上的每一个 的值，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
21．已知函数 的部分图象，如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）若方程 在 上有两个不同的实根，试求 的取值范围;
（3）若 ，求出函数 在 上的单调减区间.
22．定义在 上的函数 ，若已知其在 内只取到一个最大值和一个最小值，且当 时函数取得最大值为 ；当 ，函数取得最小值为 ．
本题考查平面向量在几何中的应用，涉及到平面向量的线性运算、向量模长最值的求解等知识；关键是能够通过线性运算将问题转化为已知模长和夹角的向量的运算的问题.
9．C
【解析】
试题分析： ，所以 ，因此 ， 得 ， ，因此 ，答案选C．
考点：1．三角函数的性质；2．同角三角函数的基本关系；3．二次函数的性质
10．A
江苏省苏州市震泽中学2020-2021学年高一（大杨班）上学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
2．函数 的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
3．设函数 ，则 的值是（）
A．0B． C．1D．2
4．函数y＝(m2＋2m－2) 是幂函数，则m＝( )
A．1B．－3
C．－3或1D．2
5．已知函数 , 满足对任意的实数x1≠x2都有 ＜0成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2)B． C．(－∞，2]D．
6．把函数 的图像上所有的点向左平行移动 个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（ ）
11．D
【分析】
将问题转化为当 时， 与 至少有 个交点；当 时，易知两函数只有 个交点，不满足题意，则 ；由数形结合可知，只需 即可满足题意，从而构造出不等式求得结果.
详解：因为集合 ， ，
所以 ，故选C.
点睛：本题考查主要考查集合的交集，属于简单题.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 或不属于集合 的元素的集合.
2．C
【解析】
分析：根据定义域求法即可.
详解：由题可得：
（1）求出此函数的解析式；
（2）是否存在实数 ，满足不等式 ？若存在，求出 的范围（或值），若不存在，请说明理由;
（3）若将函数 的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的 得到函数 ，再将函数 的图像向左平移 个单位得到函数 ，已知函数 的最大值为 ，求满足条件的 的最小值.
参考答案
1．C
【解析】
分析：直接根据集合交集的定义求解即可.
二、填空题
13．已知函数 的图像如图所示，则 ．
14．函数 的定义域为_________．
15．给出下列命题：
（1）函数 的振幅为 ；
（2）函数 在定义域内为增函数；
（3）函数 的最小正周期为 ；
（4）函数 ， 的一个对称中心为 .
其中正确命题的序号是________．
16．如图，在正方形 中， 为 的中点， 是以 为圆心， 为半径的圆弧上的任意一点，设 ，则 的最小值为__________．
【分析】
作 ， ，根据平行四边形法则可知 ，从而得到 ，进而得到 ；同理可得 ，进而求得结果.
【详解】
作 ，交 于 ； ，交 于
四边形 为平行四边形
又 ，即
，即 ，同理可得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查平面向量在几何中的应用，关键是能够利用向量加法的平行四边形法则建立等量关系，进而根据线段的比例关系得到面积比.
6．C
【分析】
根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果.
【详解】
向左平移 个单位得：
将 横坐标缩短为原来的 得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题.
7．A
【解析】
试题分析：由已知得 的解析式为 ，因为 的一条对称轴是直线 ，所以 （在对称轴处函数取最值），把选项代入验算可知选A．
三、解答题
17．已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R.
(1)求A∪B，(∁UA)∩B； (2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．
18．已知 是第三象限角， ．
（1）若 ，求 的值．
（2）若 ，求 的值；
19．已知向量 的夹角为 ，且 ， .
求：（1） ；（2） ．
A． B．
C． D．
7．将函数 的图象F向右平移 个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线 则 的一个可能取值是
A． B． C． D．
8．如图，在边长为 的正三角形 中， ， 分别是边 ， 上的动点，且满足 ， ，其中 ， ， ， 分别是 ， 的中点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．Βιβλιοθήκη Baidu
9．定义一种运算 ，令 ，且 ，则函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
10．设 为 内的两点,且 , ,则 的面积与 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
11．若函数 的图象至少有 个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 )的图象在区间 上恰有 个最低点，则 的取值范围为（ ）
且 ，故选C.
点睛：考查函数的定义域，属于基础题.
3．C
【解析】
试题分析： ，所以 ，故选C．
考点：分段函数
4．B
【解析】
由题意， ，解得 ，故选B．
5．B
【详解】
试题分析：由题意有,函数 在 上为减函数,所以有 ,解出 ,选B.
考点：分段函数的单调性.
【易错点晴】
本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题.从题目中对任意的实数 ，都有 成立，得出函数 在 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点 处,有 ,解出 .本题容易出错的地方是容易漏掉分界点 处的情况.
考点：1．三角函数的图像变换；2．三角函数的对称轴．
8．C
【分析】
利用平面向量线性运算可利用 表示出 ，进而得到 ；通过求解 将问题转化为二次函数的最值求解问题，通过求解二次函数最小值可得 ，进而求得结果.
【详解】
为 中点
为 中点
又 为边长为 的正三角形 ，
当 时， 的最小值为
本题正确选项：
【点睛】
20．设 ， 为常数．若 ．
（1）求使 的 的取值范围；
（2）若对于区间 上的每一个 的值，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
21．已知函数 的部分图象，如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）若方程 在 上有两个不同的实根，试求 的取值范围;
（3）若 ，求出函数 在 上的单调减区间.
22．定义在 上的函数 ，若已知其在 内只取到一个最大值和一个最小值，且当 时函数取得最大值为 ；当 ，函数取得最小值为 ．
本题考查平面向量在几何中的应用，涉及到平面向量的线性运算、向量模长最值的求解等知识；关键是能够通过线性运算将问题转化为已知模长和夹角的向量的运算的问题.
9．C
【解析】
试题分析： ，所以 ，因此 ， 得 ， ，因此 ，答案选C．
考点：1．三角函数的性质；2．同角三角函数的基本关系；3．二次函数的性质
10．A
江苏省苏州市震泽中学2020-2021学年高一（大杨班）上学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
2．函数 的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
3．设函数 ，则 的值是（）
A．0B． C．1D．2
4．函数y＝(m2＋2m－2) 是幂函数，则m＝( )
A．1B．－3
C．－3或1D．2
5．已知函数 , 满足对任意的实数x1≠x2都有 ＜0成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2)B． C．(－∞，2]D．
6．把函数 的图像上所有的点向左平行移动 个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（ ）
11．D
【分析】
将问题转化为当 时， 与 至少有 个交点；当 时，易知两函数只有 个交点，不满足题意，则 ；由数形结合可知，只需 即可满足题意，从而构造出不等式求得结果.
详解：因为集合 ， ，
所以 ，故选C.
点睛：本题考查主要考查集合的交集，属于简单题.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 或不属于集合 的元素的集合.
2．C
【解析】
分析：根据定义域求法即可.
详解：由题可得：
（1）求出此函数的解析式；
（2）是否存在实数 ，满足不等式 ？若存在，求出 的范围（或值），若不存在，请说明理由;
（3）若将函数 的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的 得到函数 ，再将函数 的图像向左平移 个单位得到函数 ，已知函数 的最大值为 ，求满足条件的 的最小值.
参考答案
1．C
【解析】
分析：直接根据集合交集的定义求解即可.