《线性代数》矩阵的运算与概念

ABC 总价(元) 18000 18150 16750 总重(Kg) 10480
16200 +20100 +16150 +16180 = 10480
3. 矩阵的乘法
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
产品 甲 乙 丙 丁
单价(元/箱)20 50 30 25 重量(Kg/箱)16 20 16 16
20190 +50100 +30140 +25150 = 16750
3. 矩阵的乘法
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
产品 甲 乙 丙 丁
单价(元/箱)20 50 30 25 重量(Kg/箱)16 20 16 16
数量(箱) 产品 A B C
甲 200 180 190 乙 100 120 100 丙 150 160 140 丁 180 150 150
3. 矩阵的乘法
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
产品 甲 乙 丙 丁
单价(元/箱)20 50 30 25 重量(Kg/箱)16 20 16 16
数量(箱) 产品 A B C
甲 200 180 190 乙 100 120 100 丙 150 160 140 丁 180 150 150
ABC 总价(元) 18000 18150 16750 总重(Kg)
则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩 阵A的积，记为kA.即
ka11 ka12 ka1n kA ka21 ka22 ka2n .
kam1 kam2 kamn
矩阵数乘的性质 设A，B，C，O都是mn矩阵，k，l为常数，则
(5) k(AB)kAkB； (6) (kl)AkAlA ； (7) (kl)Ak(lA)； (8) 1AA .
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
2 1 0 31
23
8 7 6
解： AB 1 2 1 2 3 3 0 3
3 1 2 1 0
（1）先行后列法
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
2 1 0 31
23
8 7 6
解： AB 1 2 1 2 3 3 0 3
3 1 2 1 0
5 7 9
（1）先行后列法
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
2 1 0 31
23
8
Baidu Nhomakorabea
解： AB 1 2 1 2 3 3
3 1 2 1 0
5
（2）先列后行法
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
2 1 0 31
23
16190 +20100 +16140 +16150 = 9680
3. 矩阵的乘法
定义3 设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：
a11 a12 a1s
b11 b12 b1n
A a21 a22 a2s ， B b21 b22 b2n ，
am1 am2 ams
bs1 bs2 bsn
X ½ *(B-A)
1
2 0
2 1
5 1
2 4
2
0
5
2
5
1 1 0 1/ 2
5/2 1/ 2
1 2
。
0
5/2
1
5
/
2
3. 矩阵的乘法
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
产品 甲 乙 丙 丁
单价(元/箱)20 50 30 25 重量(Kg/箱)16 20 16 16
矩阵的减法可定义为: A B A (B) (aij bij )mn
显然：若A=B，则A+C=B+C，A-C=B-C； 若A+C=B+C，则A=B.
2. 数与矩阵的乘法
定义2 设A(aij)为mn矩阵
a11 a12 a1n A a21 a22 a2n ，
am1 am2 amn
这些有序数组可以构成一个表
a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 ，这个表就称为矩阵. am1 am2 amn bm
定义1 由 mn 个数 aij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)排成一个 m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵，记作
a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn
则由元素
cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1, 2, , m；j1, 2, , n)
构成的mn矩阵C 称为矩阵 A 与矩阵 B 的积，记为CAB .
c11 c12 c1n
即
AB c21 c22 c2n .
cm1 cm2 cmn
3. 矩阵的乘法
a11 a12 a1s a21 a22 a2s
产品 甲 乙 丙 丁
单价(元/箱)20 50 30 25 重量(Kg/箱)16 20 16 16
数量(箱) 产品 A B C
甲 200 180 190 乙 100 120 100 丙 150 160 140 丁 180 150 150
ABC 总价(元) 18000 18150 总重(Kg)
20180 +50120 +30160 +25150 = 18150
2 1 0 31
23
8 7 6
解：AB 1 2 1 2 3 3 0 3 ；
3 1 2 1 0
5 7 9
BA 1 2 3 2 1 0
23 1 2 9 4
38 31
通常采用：先行后列法
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
2 1 0 31
8 7 6 解： AB 3 0 3 , BA 9 4 .
反例．设 A 0 10 1 1 21 5
则 AB 0 10 1 1 21 5
， B = 1 2 3 . 2 1 0
1 2 3 无意义. 2 1 0
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
2 1 0 31
23 解： AB 1 2
31
1 2 3 2 1 0
8 7 6
（1）先行后列法
a(a1 a 2 an)，
b1 b b2 .
bm
方阵 若矩阵 A 的行数与列数都等于 n，则称 A 为 n 阶矩阵，或
称为 n 阶方阵.
三角矩阵 如下形式的 n 阶矩阵称
为上三角矩阵.
如下形式的 n 阶矩阵称为 下三角矩阵.
a11 a12 a1n
A
0 a22
a2n .
0 0 ann
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
产品 甲 乙 丙 丁
单价(元/箱)20 50 30 25 重量(Kg/箱)16 20 16 16
数量(箱) 产品 A B C
甲 200 180 190 乙 100 120 100 丙 150 160 140 丁 180 150 150
ABC 总价(元) 18000 18150 16750 总重(Kg) 10480 10240 9680
性质(1)-(8)，称为矩阵线性运算的8条性质，须熟记.
3572
1320
例1．设 A 2 0 4 3 ，B 2 1 5 7 ，求3A2B .
0 1 23
0 6 48
3572 1320 解：3A2B 3 2 0 4 3 2 2 1 5 7
0123 0648
9 15 21 6 2 6 4 0
6 0 12 9 4 2 10 14
b11 b12 b1n
c11 c12 c1n
b21 b22 b2n c21 c22 c2n
am1 am2 ams bs1 bs2 bsn
cm1 cm2 cmn
cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1, 2, , m；j1, 2, , n) .
注： A的列数等于B的行数，AB才有意义;
2.2 矩阵的运算与概念
2.1 矩阵的概念
说在明某2些点问：题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线 性1方. 程矩组阵的的每行个数方与程列对数应不一一个定有相序同数，组而：行列式两
者必须相同.
2. 矩阵是一个a11数x1表+ ，a1而2x2行+列式 +是a1一nx个n =数b1值. a21x1 + a22x2 + + a2nxn =b2 am1x1+ am2x2 + + amnxn =bm
• 代价是尼奥必须进入矩阵，删除叛逃异变的强大病 毒—史密斯。
负矩阵
称矩阵
零矩阵
-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n -am1 -am2 -amn
为A的负矩阵,记作 –A.
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.
行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小 写黑体字母 a，b，x，y 等表示.例如
其中 aij 称为矩阵的第 i 行第 j 列的元素. 一般情况下，我们用大写字母 A，B，C 等表示矩阵.
mn矩阵A简记为 A(aij)mn 或记作 Amn .
什么是矩阵？
黑客帝国3 The matrix revolution
• 机器帝国集结了乌贼大军攻打真实世界仅存的人类 城市－锡安城，锡安城内的人类拼死抵抗，但最后 仍是兵败如山倒；另一方面，电脑人史密斯进化成 为更高等的电脑病毒，几乎占领了整个矩阵 （Matrix），甚至包括了“矩阵之母”－先知。经 过与先知密谈的救世主尼奥进入机器城市，与矩阵 的造物主达成停战协议。
b11 0 B b21 b22
bn1 bn2
0 0. bnn
对角矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为对角矩阵.
a11 0 0 A 0 a22 0 .
0 0 ann
对角矩阵可简单地记为Adiag(a11, a22, , ann) . 单位矩阵(Identity matrix)
如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 En 或 E.
1 0 0 E 0 1 0 .
0 0 1
2.2 矩阵的运算
1. 矩阵的加法
定义1 设A与B为两个mn矩阵
a11 a12 a1n
b11 b12 b1n
A a21 a22 a2n ， B b21 b22 b2n ，
am1 am2 amn
bm1 bm2 bmn
A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与B的和，
数量(箱) 产品 A B C
甲 200 180 190 乙 100 120 100 丙 150 160 140 丁 180 150 150
ABC 总价(元) 18000 总重(Kg)
20200 +50100 +30150 +25180 = 18000
3. 矩阵的乘法
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
记为AB.即C=A+B .
a11b11 a12b12 a1nb1n AB a21b21 a22b22 a2nb2n .
am1bm1 am2bm2 amnbmn
设A,B,C都是mn矩阵.容易证明，矩阵的加法满足如下运 算规律：
（1）交换律： A+B=B+A; （2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C); （3）A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵; （4）A+(-A)=O，其中O是与A同型的零矩阵.
C的行数等于A的行数，列数等于B的列数.
b1j
cij (ai1 ai2 ais )
b2j
ai1b1jai2b2j aisbsj .
bsj
因此， cij 可表示为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.
矩阵乘法AB ：
1.条件： 前列=后行
2.结果：前行×后列
m×k
k×n
相等
m×n
数量(箱) 产品 A B C
甲 200 180 190 乙 100 120 100 丙 150 160 140 丁 180 150 150
ABC 总价(元) 18000 18150 16750 总重(Kg) 10480 10240
16180 +20120 +16160 +16150 = 10240
3. 矩阵的乘法
8 7
解： AB 1 2 1 2 3 3 0
3 1 2 1 0
5 7
（2）先列后行法
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
2 1 0 31
23
8 7 6
解：AB 1 2 1 2 3 3 0 3
3 1 2 1 0
5 7 9
（2）先列后行法
23 例3．设 A 1 2 ， B = 1 2 3 ，求AB及BA .
0 3 6 9 0 12 8 16
92 156 214 60 7 9 17 6 64 02 1210 914 2 2 2 5 .
00 312 68 916 0 9 2 7
3572
1320
例2．已知 A 2 0 4 3 ， B 2 1 5 7 ，
0 1 23
0 6 48
且A2XB，求X .
解：