青岛版数学七年级下册《积的乘方与幂的乘方》3
积的乘方与幂的乘方课件青岛版数学七年级下册
11.2 积的乘方与幂的乘方 (3) 观察算式 (ab)2，(ab)3 和 (ab)4的计算结果，你发现 了什么规律?你猜测积的乘方运算有什么性质?能说明你 的猜测是正确的吗?与同学交流.
11.2 积的乘方与幂的乘方 一般地，设 m 是正整数，
习题 11.2
拓展与延伸
5. 计算： (1) (－a3)4－ (－a4)3； ＝ a12－ (－a12) ＝ a12 ＋ a12 ＝ 2a12 ；
(2) (－x3)·(－x2)2； ＝－x3·x4 ＝－x7；
习题 11.2
(3) (0.25)2012 × 42013； ＝ (0.25)2012 × 42012×4 ＝(0.25×4)2012 ×4 ＝12012×4 ＝4；
＝(xm)3·(xn)2 ＝a3b2
11.2 积的乘方与幂的乘方
习题 11.2
(4) (－a2)2n＋1·(－a3)2n－1 (n是大于1的整数) ＝－a2(2n＋1)·[－a3(2n－1) ] ＝a2(2n＋1)＋3(2n－1) ＝a4n＋2＋6n－3 ＝a10n－1
习题 11.2
习题 11.2 7. 海王星的半径约为地球半径的 4倍，地球的体积为 V立方千米，海王星的体积约为多少立方千米?
(ab)2＝ (ab)·(ab) ＝(a·a)·(b·b) ＝a2b2；
11.2 积的乘方与幂的乘方 (2) 你会计算(ab)2，(ab)3和(ab)4吗?
(ab)3＝ (ab)·(ab)·(ab) ＝(a·a·a)·(b·b·b) ＝a3b3；
11.2 积的乘方与幂的乘方 (2) 你会计算(ab)2，(ab)3和(ab)4吗?
青岛版七年级数学下册11.2 积的乘方与幂的乘方教案
11.2 积的乘方与幂的乘方教学目标【知识与能力】理解积的乘方的运算法则。
【过程与方法】在探究积的乘方的运算法则的过程中，提高解决问题的能力。
【情感态度价值观】发展推理能力和有条理的表达能力。
教学重难点【教学重点】积的乘方的运算推理和应用。
【教学难点】积的乘方的运算推理和应用。
课前准备无教学过程一、自学指导及对应训练（一）探索练习：1、计算：3 33___)(____________________________52⨯==⨯=⨯2、计算：8 88___)(____________________________52⨯==⨯=⨯3、计算：12 1212___)(____________________________52⨯==⨯=⨯从上面的计算中，你发现了什么规律？_________________________4、猜一猜填空：（1）(___)(__)453)53(⋅=⨯（2）(___)(__)53)53(⋅=⨯m6、想一想，当n为正整数时，（abc）n = （n是正整数）二、典型例题：1、 2、 3、4、3(2)a5、3(5)b -6、 _______)(3=ab_______)(5=-xy 对应训练：计算：(1) (- 3n)3 ; (2) (5xy)3 ; (3) –a3 +(–4a)2 a . 思考： (-a)n= -an(n 为正整数）对吗？当n 为奇数时， (-a)n= -an(n 为正整数）当n 为偶数时， (-a)n=an(n 为正整数）公 式 的 反 向 使 用：an ·bn = (ab)n （n 是正整数）试用简便方法计算:(1) 23×53(2) 28×58(3) (-5)16× (-2)15(4) 24 × 44 ×(-0.125)4例题：1、20082008)20091()2009(⨯ 2、 （－0.25）2008 ×42008对应训练 ： 555)31()32()9(⨯-⨯- 20052004)125.0()8(-- 124()8m m m ⨯⨯例题：已知32=a ，43=a ，求a 6三、当堂检测1、（1）666(__)(__))(⋅=ab （2）_______(__)(__))2(333=⋅=m （3）_____(___)(__)(__))52(2222=⋅⋅=-pq2、计算（1）（ax ）5= （2）（－2xy ）3= （3）（7ab ）2=3、计算：（1）31()2ab = （2）(－ab)3= （3）31()2x -=4、(1) a3y3=( )3; (2)81x2y2=( )2()23x ()52b -()42xy -20092009)542()145(⨯-。
11.2(2)积的乘方与幂的乘方课件2023-2024学年青岛版七年级数学下册
[(－ 3)2]3 ＝(－3)2×(－3)2×(－3)2 =（-3)6
(3) 观察这三个算式思考下列问题
(103)3 =109 =103×3
①左边幂的底数与结果的底数相同吗？
②结果的指数与左边的两个指数
( 53)4 =512 =53×4
之间有什么关系？
=53×32 =125×9 =1125
(1）求代数式的值的常用 方法： 把所求的代数式用含已知 条件的式子表示出来，然 后再代入求值 （2）当一个幂的指数能写 成两个数相乘的形式时， 则我们可考虑逆用幂的乘 方的运算法则进行变形.
(1)若a4n=2,求a8n
解：a8n =(a4n)2
=22 =4
（2）若am=2 , a2n=7, 求a3m+4n
性质表达
运算性质
使用条件
幂
的
注意问题
乘
方
直接应用
性质应用
综合应用
性质逆用
1.下列计算正确的是（ D ）
A.(ax)3 ＝ ax3 B.x2·x3=x6 C.(x2)3=x8 D.(-x2)2n+1=-x4n+2(n为正整数）
2.已知(xmyn)3=x3y12,则m= 1 n= 4 3.比较大小：2100 ＜ 375（填＞或＜） 4.计算
amm m a mn
你的猜想是正确的
积的乘方的运算性质
(am)n＝amn (m，n为正整数).
幂的乘方，底数不变，指数相乘
幂的乘方运算可以转化为指数的乘法运算
（1)（-x5)3
（x5）3
x15
(2) (bn-1)2 =b2n-2
思考： （1）这个式子是幂的乘方的形式吗？ （2)这个式子可以看作什么形式？
青岛版数学七年级下册课件-11.2积的乘方与幂的乘方
例3:已知3 =9,3 =10,求3 的值
m
n
Hale Waihona Puke m+n解： 3
m+n
= 3 3 = 9 10 90
m n
x y x+y
练习五:
1已知2 =8,2 =11,求2
n+3
的值
n
若 3 =a，请用含 a 的式子表示 3 的值． （ 2）
探索 & 交流
(1) 根据乘方的意义，(ab)3表示什么? (2) 为了计算(化简)算式ab· ab· ab，可以应 用乘法的交换律和结合律.
( 乘方的意义
乘法交换律、 =(a· a·……·a) (b· b·……·b) ( 结合律 ) =an· bn． ( 乘方的意义 )
积的乘方法则
（n是正整数） (ab)n = an· bn 积的乘方 乘方的积
• 上式显示:
每个因式分别乘方后的积
. • 积的乘方等于各因数乘方的积.
三个或三个以上的积的乘方，是否也 具有上面的性质? 怎样用公式表示?
(ab)n = an· bn （m,n都是正整数） 公式的逆用: an· bn = (ab)n
口诀：指数相同，底数乘 例2：(1) 23×53 (2) 28×58 (3) 24 × 44 ×(-0.125)4
解： (1) 原式 = (2×5)3 = 103
(2) 原式 = (2×5)8 = 108 4 = （-1）4 = 1 . (3) 原式 = [2×4×(-0.125)]2003 4 2003 练习： 1 0.75 3
2
3 2
5
5
例3： (1) 15 15 5 5 2
青岛版七年级数学下册 11.2 积的乘方和幂的乘方 课件 (19PPT)
3.已知3m=x 5m=y ，则9m和15m分别是多少？
x2
xy
x8 y12 1515
（4） (x3 ) (x2 )2 x7
amn (am )n = (an )m
例3：若ax 2,bx 3,则ab2x 的值是多少？
解：ab2x a2x • b2x
ax 2 •bx 2
口诀： 指数相乘，幂乘方
22 32
232
62 36
练习三：若am 4,bm 2,则ab2m 的值是多少？
③．x3·x2=x6
④．(-a3 )2a4 ＝ a９
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)以上答案都不对
2.计算题
（1） x9 8 （2） (a3)3·(a4)3
-x72
a21
1、必做题：课本82页 习题11.2 1、2
2、选做题：
习题11.2 5、6
你能比较277, 344, 533的大小吗？ 277 > 533 > 344
= -125a3b6
②a2 4 •a 3
解：原式 a8 • a3
(先确定符号， 再确定幂绝对值的乘方)
a11
③计算
23
2
52
3
an·bn = (ab)n
解：原式= 26 56
= 2 56
=106
练习二 计算
（1） (m3 )2
m6
（2） (x 2 y3 )4
（3） (35 )3 (53 )5
3
千米，你能求出它体积大约是多少立方千米吗？
解： V 4 r3
3
= 4 ×(6.37×103)3
3
=
4 3
×
6.373×（103)3
青岛版七年级数学下册 11.2.2《幂的乘方》课件(共31张PPT)
综合训练
例2、计算：
(1)(－0.125)2006·82006 (2)[(m+n)2·(a －b)3]2
(3)(－2a2b)3+(a3)2·b3，其中a=1， b= －2
(1)若2n=3，2m=2，求23n+2m的值；
((23))已已知知3| 2a3×21| 62(=b 2x1-1)，2 求0x,的求值；
3、计算：
（ (1） (1） 5 3 2 2
2 (a)2 (a2 )3 (a)
(3)[( x 2 )3 (x)3 ]2
(4)( x 2 )3 [(x)3 ]2
练习 (1)xn·xn -2·(－x)3 (2)[(－a2b)3]3 (3)(－x2y)3·(－xy)2 (4)(2x)2·x4 (5)(－2x)3·(－xy2)2
[2]下列计算中，正确的有（ ）。
(1)x3 x3 2x3
(2)x3 x3 x33 x6
(3)( x3 )3 x33 x6
(4)(x)3 2 (x)32 (x)9
A、0个 B、1个 C、2个 D、4个
[3]若 64 4 83 2n， 则n的值是（ ）。
A、11 B、18 C、30 D、33
(2)化简（x 2） 4 x ________ (4)若a n 3， 则a3n ________
(5)在255，344，433，522 这四个幂中 ， 数值最的一个是 ________
2、选择题
[1] 等式 an (a)n (a≠ 0)成立的条件是（
）。
A、n是奇数
B、n是偶数 C、n是正整数 D、n是整数
a2008b2008的值。
2
随堂练习
1．（-3/7) 105× (9/49) －52 =___－__3_/7__； 2．如果(x2y)a×（xybz）3×（y2z3）2
《幂的乘方与积的乘方》 讲义
《幂的乘方与积的乘方》讲义一、幂的乘方在数学中，幂的乘方是一个重要的运算规则。
首先，我们来了解一下什么是幂的乘方。
假设我们有一个幂 a^m，其中 a 是底数，m 是指数。
现在要对这个幂进行乘方运算，也就是将它的指数再次乘以一个整数 n，得到（a^m)＾n。
那么幂的乘方的运算规则是什么呢？很简单，就是底数不变，指数相乘。
即：（a^m)＾n ＝ a^（m×n)为了更好地理解这个规则，我们来看几个例子。
例 1：计算（2^3)＾2根据幂的乘方法则，底数 2 不变，指数 3×2 ＝ 6，所以（2^3)＾2 ＝ 2^6 ＝ 64例 2：计算（x^2)＾5底数 x 不变，指数 2×5 ＝ 10，所以（x^2)＾5 ＝ x^10接下来，我们思考一下为什么幂的乘方会有这样的运算规则。
我们可以通过实际的计算来验证。
比如，（2^3)＾2 ＝ 2^3 × 2^3 ＝2^（3 ＋ 3) ＝ 2^6，这就符合了我们的规则。
再深入一点，从指数的意义来理解。
指数表示的是相同因数的个数，当一个幂再次进行乘方时，实际上就是相同因数的个数再次乘以一个倍数，所以指数就要相乘。
在解决实际问题中，幂的乘方运算规则能给我们带来很大的便利。
比如，在计算一些较大数的幂时，如果能合理运用幂的乘方规则，就可以将复杂的计算简化。
二、积的乘方说完了幂的乘方，我们再来看看积的乘方。
如果我们有几个因数相乘的形式，比如（ab)＾n，这就是积的乘方。
积的乘方的运算规则是：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
即：（ab)＾n ＝ a^n × b^n同样，我们通过例子来加深理解。
例 1：计算（2×3)＾2先分别计算 2^2 ＝ 4，3^2 ＝ 9，然后相乘 4×9 ＝ 36，所以（2×3)＾2 ＝ 36例 2：计算（2x)＾32^3 ＝ 8，x^3 ＝ x^3，所以（2x)＾3 ＝ 8x^3为什么会有这样的规则呢？我们还是通过实际的计算来看看。
青岛版七年级下册数学课件：11.2.1积的乘方与幂的乘方
(乘方的意义)
即
ab
m
a b
m
m
（m为正整数） 符号语言
积的乘方
乘方的积
这就是说， 积的乘方等于各因数乘方的积
文字语言
注：公式中的a、b可以表示数，单项式，多项式。
当m为正整数时 abc 怎样计算？与同学交流。
m
推广应用：
abc
a b
m
m
a b c（m为正整数）
m m m
性质逆用：
m
ab（m为正整数）
m
例1： 计算 ax
5
要对积中每一个 因数都乘方。
5
解： ax a x
5
5
例2： 计算
3
- 2 xy
-8 x y
3
3
当底数的系数是负数时， 正确判断结果符号。
3 3 3
解： - 2xy - 2 x y
3
计算：
① ②
ab
4
3
4
④
- xy
3
8a
3
4
16a
4
猜想
n (ab) =
n n a b
一般的，设m是正整数
ab ab ab ........ ab
m
(乘方的意义)
=
a a ...... a b b ...... b
m个 a m个 b
m m
m个（ab）
(乘法运算律)
a b
5 10 2 10
m m
3 10
m 2
m
3 10 2 5 3 m 2
2
1 、判断正误
2a 6 a （ 1 ）
2020青岛版七下数学11.2.2幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即：
（其中m , n都是正整数）
注意：
三、应用新知、解决问题
例1(1) (103)5; (2) (a4)4;
(3) (am)2; (4) (x4)3.
例3
四、拓展提升-幂的乘方法则的逆用四、Βιβλιοθήκη 馈练习1、下列四个算式中：
①（a3）3=a3+3=a6；②[（b2）2]2=b2×2×2=b8；③[（－x）3]4=（－x）12=x12；④（－y2）5=y10，正确的算式有（ ）
教学
目标
㈠知识与技能目标
⑴通过观察、类比、归纳、猜想、证明，经历探索幂的乘方法则的发生过程。
⑵掌握幂乘方法则。
⑶会运用法则进行有关计算。
㈡过程与方法目标
⑴培养学生观察探究能力，合作交流能力，解决问题的能力和对学习的反思能力。
⑵体会具体到抽象再到具体、转化的数学思想。
㈢情感、态度与价值观
体验用数学知识解决问题的乐趣，培养学生热爱数学的情感。通过老师的及时表扬、鼓励，让学生体验成功的乐趣。
学情
分析
①已有知识经验
学生是在同数幂乘法的基础上学习幂的乘方，为此进行本节课教学时，要充分利用这些知识经验创设教学情境。
②学习方法和技巧
自主探索和合作交流是学好本节课的重要方法。教学中充分利用具体数字的相应运算，再到一般字母，通过观察、类比、自主探索规律，通过合作交流、小组讨论探索规律的过程，培养学生的合作能力和逻辑思维能力。
学生回顾同底数幂的乘法法则，并板书这一法则。对于问题2要求列出式子。（引入课题）
二、自主探究
探究1：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律:
七年级数学幂的乘方与积的乘方3
第四节幂的乘方与积的乘方迁移发散-1.4幂的乘方与积的乘方●迁移发散运用本节课所学知识解答下列题目.1.由本节知识所得出的结论：若n为正整数，则(x-y)2n=(y-x)2n(x-y)2n+1=-(y-x)2n+12.若m为正整数，且x2m=3,求(3x3m)2-13(x2)2m的值.点拨：将x2m看作一个整体，利用公式将题目化为关于x2m的形式，便于计算.解：(3x3m)2-13(x2)2m=9x6m-13x4m=9(x2m)3-13(x2m)2=9×33-13×32=1263.比较3555,4444,5333的大小.点拨：比较幂的大小，可将它们转化为底数相同的形式，比较指数，或将指数化为相同再比较底数.对于3555,4444,5333的指数都是111的倍数，利用幂的乘方的逆运算，将指数都变为111，比较底数的大小.底数大的，幂也大.解：∵3555=3111×5=(35)111=2431114444=4111×4=(44)111=2561115333=5111×3=(53)111=125111又∵125<243<256∴125111<243111<256111即5333<3555<4444本节课中会用到的以前知识1.科学记数法：a×10n,其中1≤a<10,n为正整数.2.混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里的.●内容全解1.幂的乘方的公式及法则（1）公式：(a m)n=a mn(m、n都是正整数)［(a m)n］p=a mnp(m、n、p都是正整数)（2）法则幂的乘方，底数不变，指数相乘.2.积的乘方的公式和法则（1）公式(ab)n=a n·b n(n是正整数)(abc)n=a n·b n·c n（n是正整数）（2）法则积的乘方等于每一个因数乘方的积.上述两个公式，在很多情况下都会用到逆运算，即：a mn=(a m)n=(a n)m(m、n为正整数)a n·b n=(ab)n（n是正整数）如：912=(93)4=(94)3310×510=(3×5)10=15103.球的体积与半径的倍数关系（1）如果一个球的半径扩大n倍，则它的体积扩大n3倍.（2）如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的n3倍.第五课时●课题§1.4.1 幂的乘方与积的乘方(一)●教学目标(一)教学知识点1.经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.2.了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.(二)能力训练要求1.在探索幂的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力.2.学习幂的乘方的运算性质，提高解决问题的能力.(三)情感与价值观要求在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美.●教学重点幂的乘方的运算性质及其应用.●教学难点幂的运算性质的灵活运用.●教学方法引导——探究相结合教师由实际情景引导学生探究幂的乘方的运算性质，并能灵活运用.●教具准备投影片三张第一张：做一做，记作(§1.4.1 A)第二张：例题，记作(§1.4.1 B)第三张：练习，记作(§1.4.1 C)●教学过程Ⅰ.提出问题，引入新课［师］我们先来看一个问题：一个正方体的边长是102毫米，你能计算出它的体积吗？如果将这个正方体的边长扩大为原来的10倍，则这个正方体的体积是原来的多少倍？［生］正方体的体积等于边长的立方.所以边长为102毫米的正方体的体积V=(102)3立方毫米；如果边长扩大为原来的10倍，即边长变为102×10毫米即103毫米，此时正方体［师］(102)3，(103)3很显然不是最简，你能利用幂的意义，得出最后的结果吗？大家可以独立思考.［生］可以.根据幂的意义可知(102)3表示三个102相乘，于是就有(102)3=102×102×102=102+2+2=106；同样根据幂的意义可知(103)3=103×103×103=103+3+3=109.于是我们就求出了V =106立方毫米，V 1=109立方毫米.我们还可以计算出当这个正方形边长扩大为原来的10倍时，体积就变为原来的1000倍即103倍.［生］也就是说体积扩大的倍数，远大于边长扩大的倍数.［师］是的！我们再来看(102)3，(103)3这样的运算.102，103是幂的形式，因此我们把这样的运算叫做幂的乘方.这节课我们就来研究幂的第二个运算性质——幂的乘方.Ⅱ.探索幂的乘方的运算性质 出示投影片(§1.4.1 A)做一做：计算下列各式并说明理由. (1)(62)4；(2)(a 2)3;(3)(a m )2;(4)(a m )n .［师］我们观察不难发现，上面的4个小题都是幂的乘方的运算，下面就请同学们利用幂的意义和我们学习过的内容解答它们.［生］(1)(62)462·62·62·6262+2+2+2=68.［师］第①步和第②步推出的理由是什么呢？［生］第①步的理由是利用了幂的意义.(62)4表示4个62相乘；第②步的理由是利用了我们刚学过的同底数幂的乘法：底数不变，指数相加.［师］观察上面的运算过程，底数和指数发生了怎样的变化？［生］结果的指数8=2×4，刚好是原式子中两个指数的积，而运算前后的底数没变，还是6.［师］接下来的(2)、(3)、(4)小题是不是可以同样地利用幂的意义和同底数幂的乘法的性质来推出结果呢？［生］可以！［师］下面我们就请三位同学到黑板上推出，其余的同学观察他们做的有无错误. ［生］(2)(a 2)3=a 2·a 2·a 2=a 2+2+2=a 6=a 2×3; (3)(a m )2=a m ·a m =a m +m =a 2m ;(4)(a m )n =ma n mm m a a a 个∙∙∙⋅⋅⋅ = mn mm m a个+⋅⋅⋅++=a mn .［师生共析］由上面的“做一做”我们就推出了幂的乘方的运算性质，即 (a m )n =a mn (m ,n 都是正整数)用语言表述即为：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 在幂的乘方的运算中，指数的运算也降了一级. Ⅲ.例题［例1］计算：(1)(102)3；(2)(b 5)5;(3)(a n )3;(4)－(x 2)m ;(5)(y 2)3·y ;(6)2(a 2)6－(a 3)4.［例2］如果甲球的半径是乙球的n 倍，那么甲球的体积是乙球的n 3倍.地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？图1－14［师］我们首先看例1的(1)、(2)、(3)题，可以发现它们都是幂的乘方的运算.我们开始练习幂的乘方的运算性质，不要着急直接套入公式(a m )n =a mn 中，而应进一步体会乘方的意义和幂的意义.我们只要明白了算理，熟悉后就可直接代入，下面就请几个同学回答.［生］(1)(102)3=102·102·102=102+2+2=102×3=106；(2)(b 5)5=b 5·b 5·b 5·b 5·b 5=b 5+5+5+5+5=b 5×5=b 25; (3)(a n )3=a n ·a n ·a n =a n +n +n =a 3n .［师］很好！下面我们再来试做例1中(4)、(5)、(6)题.［生］(4)－(x 2)m表示(x 2)m的相反数，所以－(x 2)m=－2222x m x x x 个∙∙∙⋅⋅⋅=－ 2222个m x+⋅⋅⋅++=－x 2m ;(5)(y 2)3·y 中既含有乘方运算，也含有乘法运算，按运算顺序，应先乘方，再做乘法，所以，(y 2)3·y =(y 2·y 2·y 2)·y =y 2×3·y =y 6·y =y 6+1=y 7;(6)2(a 2)6－(a 3)4按运算顺序应先算乘方，最后再化简.所以2(a 2)6－(a 3)4=2a 2×6－a 3×4=2a 12－a 12=a 12.［师］接下来，我们再来看幂的乘方在实际中的应用——例2. ［生］根据例2中的前提条件，可得木星的体积是地球体积的103倍；太阳的体积是地球体积的(102)3倍即106倍.［师］很好！我们观察例2图中的木星、太阳、地球的体积不难发现这个图直观地表现了体积扩大的倍数与半径扩大的倍数之间的关系.比较木星、太阳、地球三个球体的大小，可知体积扩大的倍数比半径扩大的倍数大得多.Ⅳ.练一练出示投影片(§1.4.1 C) 1.计算：(1)(103)3；(2)－(a 2)5;(3)(x 3)4·x 2; (4)［(－x )2］3;(5)(－a )2(a 2)2; (6)x ·x 4－x 2·x 3.(1)(x 3)3=x 6;(2)a 6·a 4=a 24.［师］我们首先来回顾一下(a m )n =a mn (m 、n 都是正整数)是怎样推出来的.［生］(a m )n 表示n 个a m 相乘，根据乘方的意义(a m )n =ma n mm m m a a a a 个∙∙∙∙⋅⋅⋅，再根据同底数幂的乘法的运算性质，可由ma n m m m m a a a a 个∙∙∙∙⋅⋅⋅= mn mm n a 个+⋅⋅⋅++=a mn .［师］我们能够很好地体会和理解了幂的意义和同底数幂乘法的运算性质，接下来我们就来完成“练一练”.［生］1.解：(1)(103)3=103×3=109；(2)－(a 2)5=－a 2×5=－a 10;(3)(x 3)4·x 2=x 3×4·x 2=x 12·x 2=x 12+2=x 14;(4)［(－x )2］3=(－x )2×3=(－x )6=x 6;(5)(－a )2·(a 2)2=a 2·a 2×2=a 2·a 4=a 2+4=a 6; (6)x ·x 4－x 2·x 3=x 1+4－x 2+3=x 5－x 5=0.［师］2.(1)(x 3)3=x 6不正确，因为(x 3)3表示三个x 3相乘即x 3·x 3·x 3=x 3+3+3=x 3×3=x 9.或直接根据幂的乘方的运算性质：底数不变，指数相乘，得(x 3)3=x 3×3=x 9.(2)a 6·a 4=a 24不正确.因为a 6·a 4=(a ·a ·a ·a ·a ·a )(a ·a ·a ·a )= aa a a 个10∙∙∙⋅⋅⋅=a 10或根据同底数幂乘法的运算性质：底数不变，指数相加，得a 6·a 4=a 6+4=a 10.［师］我们学习了幂的乘方的运算性质很容易与同底数幂的乘法的运算性质混淆.通过练习的第2题，同学们可反思一下做题的过程，注意幂的意义和乘方的意义，真正地去理解这两个幂的运算性质，而不是去单纯的记忆.Ⅴ.课时小结我们这节课通过乘方的意义和幂的意义推出了幂的乘方的运算性质，并通过实际问题体会到了学习这个性质的必要性，从而提高了我们的推理能力，有条理的语言表达能力和解决实际问题的能力.Ⅵ.课后作业1.课本P 16，习题1.5的第1、2、3题.2.反思做题过程，自己对出现的错误加以改正，并写入成长记录中. Ⅶ.活动与探究 观察下列等式：1×2=31×1×2×3， 1×2+2×3=31×2×3×4， 1×2+2×3+3×4=31×3×4×5， 1×2+2×3+3×4+4×5=1×4×5×6，……根据以上规律，请你猜测：1×2+2×3+3×4+4×5+…+n(n+1)= (n为自然数).［过程］解这一类题目，要用到归纳推理，它是一种很重要的数学思想方法.数学史上许多重要的发现，如哥德巴赫猜想，四色猜想等，就是由数学家的探索、总结、猜想而得.猜想的结论是否正确，必须经过严格的证明，才能辨明是非，通过观察比较，本题的规律较为明显.结论：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=31n(n+1)(n+2)关于它的证明在以后学习了数学归纳法后一目了然.●板书设计§1.4.1 幂的乘方与积的乘方(一)一、提出问题：(102)3，(103)3如何计算？二、根据乘方的意义和幂的意义，推出幂的乘方的运算性质(102)3=102·102·102=102+2+2=102×3=106；(103)3=103·103·103=103+3+3=103×3=109；(62)4=62·62·62·62=62+2+2+2=62×4=68；……(a m)n=manmmm aaa个∙∙∙=mnmmma个+++=a mn得出：幂的乘方，底数不变，指数相乘.三、例题四、练习●备课资料一、参考练习1.填空题(1)化简：［(－x)2］3= .(2)化简：(x2)4·x= .(3)x10=x·( )3=( )2.(4)若a n=3,则a3n= .(5)在255,344,433,522这四个幂中，数值最大的一个是.2.选择题(1)等式－a n=(－a)n(a≠0)成立的条件是( )A.n是奇数B.n是偶数C.n是正整数D.n是整数(2)下列计算中，正确的有( )①x3·x3=2x3;②x3+x3=x3+3=x6;④［(－x)3］2=(－x)32=(－x)9.A.0个B.1个C.2个D.4个(3)若644×83=2n,则n的值是( )A.11B.18C.30D.333.计算(1)(－1)5·［(－3)2］2(2)－(－a)2·(a2)3·(－a)(3)［(x2)3·(－x)3］2(4)(x2)3+［(－x)3］24.解答若2a=3,2b=6,2c=12,求证：2b=a+c.答案：1.(1)x6(2)x9(3)x3,x5(4)27 (5)3442.(1)A (2)A (3)D3.(1)－34(或－81) (2)a9(3)x18(4)2x64.(略)第六课时●课题§1.4.2 幂的乘方与积的乘方(二)●教学目标(一)教学知识点1.经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.2.了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.(二)能力训练要求1.在探索积的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力.2.学习积的乘方的运算性质，提高解决问题的能力.(三)情感与价值观要求在发展推理能力和有条理的语言和符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美.●教学重点积的乘方运算性质及其应用.●教学难点幂的运算性质的灵活应用.●教学方法探索——交流法教师引导学生通过特例探索积的乘方的运算，在学生各自说明理由的过程中充分交流做法，从而掌握积的乘方的运算性质.投影片四张第一张：议一议，记作(§1.4.2 A) 第二张：做一做，记作(§1.4.2 B) 第三张：讲一讲，记作(§1.4.2 C) 第四张：练一练，记作(§1.4.2 D) ●教学过程Ⅰ.提出问题，引入新课［师］我们先来看几个数学问题 出示投影片(§1.4.2 A)——议一议1.(1)23×53等于什么？与同伴交流你的想法和做法. (2)28×58，212×512，213×(21)13分别等于什么？(3)从上面的计算中，你发现了什么规律？再换一个例子试一试. 2.一个正方体的棱长是2×102毫米. (1)它的表面积是多少平方毫米？ (2)它的体积是多少立方毫米？同学们可试着自己探索解题过程，然后互相讨论，在各自说明理由的基础上充分交流做法.［生］1.(1)23×53=(2×2×2)×(5×5×5)——幂的意义=8×125——按运算顺序先算括号里的式子 =1000［生］1.(1)23×53=(2×2×2)×(5×5×5)——幂的意义=(2×5)×(2×5)×(2×5)——乘法交换律、结合律 =10×10×10——按运算顺序先算括号里的式子 =103=1000——乘方的意义 ［生］1.(2)28×58= 28222个）（⨯⨯⨯×58555个）（⨯⨯⨯——幂的意义 =)52(8)52()52()52(⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯个——乘法交换律、结合律 =108101010个⨯⨯⨯ =108——乘方的意义 212×512= 212222个）（⨯⨯⨯×512555个）（⨯⨯⨯——幂的意义 =)52()52()52(⨯⨯⨯⨯⨯⨯——乘法结合律、交换律=1012101010个⨯⨯⨯ =1012——乘方的意义 213×(21)13=213222个）（⨯⨯⨯×2113)212121(个⨯⨯⨯——幂的意义 =）个（（）（）21213)212212212(⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯——乘法交换律、结合律=113=1［师］同学们幂的意义、乘方的意义及乘法交换律和结合律运用的非常精巧.在上面的计算中你有没有发现规律呢？你能用一个式子表示吗？［生］可以.从上面的计算中可发现一个规律，用符号表示为a n ·b n =(ab )n . ［师］能用幂的意义和乘法的有关运算律验证吗？ ［生］a n ·b n= an a a a 个)(⋅⋅⋅·bn b b b 个)(⋅⋅⋅——幂的意义 =)()()()(b a n b a b a b a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个——乘法交换律、结合律 =(a ·b )n ——乘方的意义［师］我们从特例和一般情况都验证了结论a n ·b n =(a ·b )n .我们再来看第2个问题. ［生］2.(1)正方体的表面积S=6×(2×102)2平方毫米； (2)正方体的体积V =(2×102)3(立方毫米).［生］S 和V 的值不是最简，还需进一步化简.［师］很好！的确如此.我们可以注意到，要化简S 和V 的值，就需求出(2×102)2和(2×102)3的值.在(2×102)2和(2×102)3，2×102是底数，它是两个因数2与102的积的形式，因此(2×102)2和(2×102)3是积的乘方的形式，这一节课我们就来学习幂的第三个运算性质——积的乘方.Ⅱ.做一做——探索积的乘方的运算性质 出示投影片——做一做(§1.4.2 B) (1)(3×5)7=3( )·5( ); (2)(3×5)m =3( )·5( ); (3)(ab )n =a ( )·b ( ).你能说出得出结论的理由吗？你能运用自己的语言描述你发现的规律吗？［生］(1)(3×5)7——积的乘方=)53()53()53(⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ——幂的意义= 37)333(个⨯⨯⨯×57)555(个⨯⨯⨯ ——乘法交换律、结合律=37×57 ——乘方的意义(2)(3×5)m=)53()53()53()53(⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯个m ——幂的意义= 3)333(个m ⨯⨯⨯×5)555(个m ⨯⨯⨯ ——乘法交换律、结合律=3m ·5m ——乘方的意义(3)(ab )n=abn ab ab ab 个)()()(⋅⋅⋅ ——幂的意义= an a a a a 个)(⋅⋅⋅⋅·bn b b b b 个)(⋅⋅⋅⋅ ——乘法运算律 =a n b n——乘方的意义由(1)、(2)、(3)我们化简，得出 (1)(3×5)7=37×57； (2)(3×5)m =3m ×5m ; (3)(ab )m =a m b m .由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质：积的乘方等于把每一个因式分别乘方的积.［师］在“议一议”中的第2个问题，你能试着解决吗？［生］正方体的表面积S=6×(2×102)2=6×［22×(102)2］=6×［4×104］=24×104=2.4×105(平方毫米)正方体的体积V =(2×102)3=(2×102)×(2×102)×(2×102)=(2×2×2)×(102×102×102)=23×(102)3=8×106(立方毫米)［师］同学们能用幂的意义和我们刚学过的幂的运算性质有条有理地将新的问题解决.很了不起！我们再来一起回顾一下积的乘方这一运算性质得来过程.［生］(ab )n 表示积的乘方，a ,b 是因式或因数，它可以是数，也可以是字母，或单项式，或多项式，根据幂的意义和乘法运算律，就可得出(ab )n =abn ab ab ab ab 个)()()()(⋅⋅⋅⋅= an a a a 个)(⋅⋅⋅bn b b b 个)(⋅⋅⋅ =a n ·b n用语言描述就为积的乘方等于每个因式分别乘方的积. Ⅲ.讲一讲，熟悉积的乘方的运算性质 出示投影片(§1.4.2 C) ［例1］计算：(1)(3x )3;(2)(－2b )5;(3)(－2xy )4;(4)(3a 2)n .［例2］地球可以近似地看作球体，如果用V 、r 分别代表球的体积和半径，那么V =34πr 3.地球的半径约为6×103千米，它的体积大约是多少立方千米？你能计算出太阳的体积大约是多少立方千米吗？分析：应用积的乘方的运算性质进行计算、化简，得首先看积中含有哪些因数或因式.同时要明白算理，开始练习积的运算，可以不直接套用，多写几步，等熟悉后可直接套用.1.解：(1)(3x )3=(3x )(3x )(3x )=(3×3×3)(x ·x ·x )=27x 3或(3x )3=33·x 3=27x 3; (2)(－2b )5=(－2b )(－2b )(－2b )·(－2b )(－2b )=(－2)(－2)(－2)(－2)(－2)(b ·b ·b ·b ·b )=(－2)5·b 5=－32b 5 或(－2b )5=(－2)5b 5=－32b 5;(3)(－2xy )4=(－2xy )(－2xy )·(－2xy )·(－2xy ) =(－2)(－2)(－2)(－2)(x ·x ·x ·x )(y ·y ·y ·y ) =(－2)4x 4y 4 =16x 4y 4或(－2xy )4=(－2x )4·y 4 =(－2)4x 4y 4=16x 4y 4; (4)(3a 2)n =3n (a 2)n =3n a 2n .2.解：(1)V =34πr 3 =34π×(6×103)3 =34π×63×(103)3≈9.05×1011(千米3)所以地球的体积约为9.05×1011千米3.(2)已知太阳的体积约为地球体积的(102)3=106倍，由(1)可求出太阳的体积为 (9.05×1011)×106=9.05×1011×106=9.05×1017(千米3) 所以太阳的体积约为9.05×1017千米3.［师］由例1我们可以猜想可以把(ab )n =a n b n 推广呢？即(abc )n =a n b n c n 吗？大家可以亲自推理一下.［生］(abc )n =abcn abc abc abc 个)())((⋅⋅= an a a a 个)(⋅⋅⋅ bn b b b 个)(⋅⋅⋅cn c c c 个)(⋅⋅⋅ =a n b n c n［生］(abc )n =(ab )n c n =a n b n c n ［师］大家再来看例1中(3)小题.我们将(ab )n =a n b n 推广后，得到了(abc )n =a n b n c n .所以(3)小题也可为：(－2xy )4=(－2)4x 4y 4=16x 4y 4.Ⅳ.练一练——灵活运用积的乘方的运算性质 出示投影片(§1.4.2 D) 1.计算：(1)(－3n )3;(2)(5xy )3; (3)－a 3+(－4a )2a . 2.判断题(1)(ab )4=ab 4( ) (2)(3ab 2)2=3a 2b 4( ) (3)(－x 2yz )2=－x 4y 2z 2( )(4)(32xy 2)2=34x 2y 4( ) (5)(－21a 2bc 3)2=41a 4b 2c 6( ) (6)(－37)5(73)5=(－37×73)5=－1( )3.不用计算器，你能很快求出下列各式的结果吗？ 22×3×52，24×32×53 (由学生板演或口答)1.解：(1)(－3n )3=(－3)3·n 3=－27n 3; (2)(5xy )3=53x 3y 3=125x 3y 3; (3)－a 3+(－4a )2a =－a 3+(－4)2a 2a =－a 3+16a 3=15a 3.2.(1)×,积的乘方的运算性质是每个因式分别乘方的积，即(ab )4=a 4b 4; (2)×,应为(3ab 2)2=32a 2(b 2)2=9a 2b 4;(3)×,应为(－x 2yz )2=(－1)2(x 2)2y 2z 2=x 4y 2z 2; (4)×,应为(32xy 2)2=(32)2x 2(y 2)2=94x 2y 4; (5)√ (6)√ 3.解：22×3×52 =(22×52)×3 ——乘法交换律、结合律 =(2×5)2×3 ——积的乘方运算性质逆用=3×102=300；24×32×53=(23×2)×32×53 ——同底数幂乘法逆用=(23×53)×(2×32) ——乘法运算律=(2×5)3×2×9 ——积的乘方运算性质逆用=18000.Ⅴ.课时小结［师］下面我们对这一节课的内容谈一下新的体会和收获.［生］这节课我们根据幂的意义和乘法的有关运算律对(ab)n=a n b n进行了验证.［生］数学新知识的学习好多是由旧知识推理出来了.［生］通过一些例子，我们更熟悉了积的乘方的运算性质，而且还能在不同情况对幂的运算性质活用.Ⅵ.课后作业1.课本P18，习题1.6的第1、2、3、4题.2.总结我们学过的三个幂的运算性质，反思作业中的错误.Ⅶ.活动与探究已知2m=3,2n=5,求23m+2n的值.［过程］求23m+2n的值，由已知条件不能求出m,n的值，因此我们想到了将2m,2n整体代入，这就需要逆用同底数幂乘法的运算性质和幂的乘方的运算性质.［结果］23m+2n=23m·22n=(2m)3·(2n)2=33·52=27×25=675●板书设计§1.4.2 幂的乘方与积的乘方(二)一、议一议(1)23×53=(2×5)3(2)28×58=(2×5)8(3)212×512=(2×5)12归纳：a n×b n=(ab)n二、做一做(1)(3×5)7=37×57(2)(3×5)m=3m·5m(3)(ab)n=a n b n即积的乘方等于每个因式分别乘方的积.三、讲一讲例1.计算例2.地球的体积四、练一练1.随堂练习2.判断3.试一试●备课资料一、参考例题［例1］计算：(1)(－5ab )3;(2)－(3x 2y )2; (3)(－131ab 2c 3)3;(4)(－x m y 3m )2.分析：应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方；注意系数及系数符号，对于系数是－1的不可忽略.解：(1)(－5ab )3=(－5)3a 3b 3 =－125a 3b 3; (2)－(3x 2y )2 =－32(x 2)2y 2 =－9x 4y 2;(3)(－131ab 2c 3)3=(－34ab 2c 3)3 =(－34)3a 3b 6c 9 =－2764a 3b 6c 9; (4)(－x m y 3m )2=(－1)2x 2m y 6m =x 2m y 6m .［例2］计算： (1)(－a 2)2·(－2a 3)2;(2)(－a 4b 3)3·(－a 2b 3)2·(－a 2b 3)5; (3)［(x +y )2］3·［(x +y )3］4;(4)(－2x 4)4+2x 10(－2x 2)3+2x 4·5(x 4)3.分析：本题是综合运用学过的幂的三个运算性质.做题前，先观察、分析，以免出错. 解：(1)(－a 2)2·(－2a 3)2 =(－1)2(a 2)2·(－2)2·(a 3)2 =a 4·4a 6=4a 4·a 6=4a 10(2)(－a 4b 3)3·(－a 2b 3)2·(－a 2b 3)5=(－1)3(a 4)3(b 3)3·(－1)2(a 2)2·(b 3)2·(－1)5(a 2)5(b 3)5 =－a 12b 9·a 4b 6·(－a 10b 15) =a 12+4+10b 9+6+15 =a 26b 30(3)［(x +y )2］3［(x +y )3］4 =(x +y )6·(x +y )12 =(x +y )18(4)(－2x 4)4+2x 10(－2x 2)3+2x 4·5(x 4)3 =(－2)4(x 4)4+2x 10·(－2)3(x 2)3+2x 4·5x 12 =16x 16－16x 16+10x 16=10x 16评注：要注意区分同底数幂的乘法和幂的乘方两种不同运算，要注意负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.同时要注意运算顺序，整式的运算顺序同有理数的运算顺序一样.［例3］计算：(1)(－9)3×(－32)6×(1－31)3； (2)(－8)2003×(－0.125)2004； (3)已知x 2n =3,求(3x 3n )2的值.分析：灵活运用幂的三个运算性质. 解：(1)原式=－93×［(－32)2］3×(32)3 =－［9×94×32］3 =－3338=－27512. (2)原式=(－8)2003×(－81)2003×(－81) =［(－8)×(－81)］2003×(－81) =12003×(－81)=－81(3)(3x 3n )2=32(x 3n )2 =9·(x 2n )3=9×33 =9×27=243.评注：(3)关键是将(x 3n )2=(x 2n )3，利用了(x m )n =(x n )m 性质.方法点拨-1.4幂的乘方与积的乘方［例1］计算：(1)(a 4)3+m (2)(-4xy 2)2 点拨：（1）用幂的乘方，（2）先用积的乘方的公式，再利用幂的乘方的公式化简到最后.解：(1)(a 4)3+m =a 4×(3+m )=a 12+4m 别忘打括号！ (2)(-4xy 2)2=(-4)2x 2(y 2)2=16x 2y 4注意：幂的乘方的指数中若有多项式，指数相乘时要打括号. ［例2］计算(1)(3×104)4 (2)(-3a 3)2·a 3+(-a )2·a 7-(5a 3)3 点拨：（1）底数是用科学记数法表示，结果也可用科学记数法表示，注意格式.(2)是混合运算，先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算，注意运算顺序. 解：(1)(3×104)4=34×(104)4=81×1016=8.1×1017(一定要注意科学记数法的写法)(2)(-3a 3)2·a 3+(-a 2)·a 7-(5a 3)3 =(-3)2·(a 3)2·a 3+(-a 9)-53(a 3)3 =9a 6·a 3-a 9-125a 9=9a9-a9-125a9=-117a9［例3］计算：(x-y)3·(y-x)2·(x-y)4.点拨：此题中的幂的底数不是完全相同，所以不能完全利用同底数幂的乘法，但x-y 与y-x是互为相反数，若将x-y化为-(y-x)的形式，或将y-x化为-(x-y)的形式，再利用积的乘方及同底数幂的乘方公式即可计算.注意：计算过程中，始终将x-y或y-x看作整体进行计算.解：(x-y)3·(y-x)2·(x-y)4=(x-y)3·(x-y)4·［-(x-y)］2=(x-y)7·(x-y)2=(x-y)9或:(x-y)3·(y-x)2·(x-y)4=(x-y)7·(y-x)2=［-(y-x)］7·(y-x)2=(-1)7·(y-x)7·(y-x)2=-(y-x)9说明：Ⅰ.两种方法的结果（x-y）9与-(y-x)9虽然形式不同，但实质是一致的，这两种结果均可作为最后答案.Ⅱ.当底数是多项式时，幂的形式可作为最后结果，不必展开.［例4］计算(1)(-0.25)11×411(2)(-0.125)200×8201点拨：将积的乘方公式逆用可有a n·b n=(ab)n，即若有指数相同的幂相乘，则可将底数相乘，相同的指数作为共同的指数.若有指数虽不相同，但相差较小，且底数相乘后可简化运算的情况，可利用同底数幂乘法公式逆运算a m+n=a m·a n,将指数作适当调整，再利用“积的乘方公式的逆计算”进行简化运算.解：(1)(-0.25)11×411=(-0.25×4)11=(-1)11=-1(2)(0.125)200×8201=(-0.125)200×8200+1=(-0.125)200×8200×8=(-0.125×8)200×8=(-1)200×8=1×8=8［例5］已知：644×83=2x,求x.点拨：由于x是方程右边部分2的指数，只要将方程左边部分化为底数为2的幂的形式即可.解：∵644×83=(26)4×(23)3=224×29=233∵644×83=2x,∴233=2x,∴x=33.●作业指导课本课后习题讲解随堂练习1.(1)109(2)-a10(3)x14习题1.51.(1)(31)6(2)a 8 (3)-b 10 (4)y 4n (5)b 3n (6)x 9n 2.(1)× 应该为(x 3)3=x 9 (2)× 应该为a 6·a 4=a 103.(1)(-p )5=-p 5 (2)a 12 (3)t 2m +1 (4)0 随堂练习1.(1)-27n 3 (2)125x 3y 3 (3)15a 3 习题1.61.(1)9b 2 (2)-a 2b 2 (3)-64a 6 (4)y 6z 92.(1)× 应该(ab 4)4=a 4b 16 (2)× 应该(-3pq )2=9p 2q 23.(1)x m y 4m (2)-p 2n q n (3)x 2y 6n +x n y 6n(4)(-3x 3)2-［(2x )2］3=9x 6-［4x 2］3=9x 6-64x 6=-55x 6 4.太阳半径约是地球半径的102倍，那么太阳的体积约是地球体积的(102)3=106倍.由例3知地球体积为9.05×1011千米3，故太阳体积为9.05×1011×106=9.05×1017(千米3) 试一试1.22×3×52=(2×5)2×3=102×3=30024×32×53=23×53×2×32=(2×5)3×2×9=103×18=18000 2.(abc )n =a n b n c n四、幂的乘方与积的乘方 班级： 姓名：作业导航会利用幂的乘方与积的乘方进行计算. 一、填空题1.(54)3=54·_____·_____=54+4+4=_____；(xy )2=(xy )·( )=(x ·x )( )=_____.2.(m 2)5=_____;－［(－21)3］2=_____;［(a +b )2］4=_____. 3.［－(－x )5］2·(－x 2)3=_____;(x m )3·(－x 3)2=_____.4.(abc )n =_____;(x 3y n －1)3=_____;(－2xy 4)2=_____.5.(－3×103)3=_____;－(2x 2y 4)3=_____;(－ab )2n =_____.6.(x a ·x b )c =_____;(－0.1ab 3)2=_____.7.(－a )3·(a n )5·(a 1－n )5=_____; －(x －y )2·(y －x )3=_____.8.［(102)3］4=_____;－32×(－3)2×35=_____. 9.x 2m (m +1)=( )m +1.10.若x 2m =3,则x 6m =_____. 二、选择题11.下列计算正确的是( ) A.(x 2m )n =x 2m +n B.(a 2)3=a 6C.(－m 5)2=－m 10D.(b 3)2=b 9 12.下列计算错误的个数有( )①(－3xy )3=－9x 3y 3 ②(－2a 7b 2)5=－10·a 12b 10 ③27×3n =3n +3 ④2(－x 2)－(3x )2=－8x 2 ⑤(94)3=324A.4B.3C.2D.1 13.下列运算正确的是( )A.(x 4)4=x 8B.a 4－a 3=aC.(－x 1000)2=x 2000D.x ·x 2·x 3=x 5 14.8a 3x 3·(－2ax )3的计算结果是( ) A.0 B.－16a 6x 6 C.－64a 6x 6 D.－48x 4a 6 15.计算(－2)100+(－2)99所得的结果是( ) A.－2 B.2 C.299 D.－299 三、解答题16.a n ·a ·a n －1+a 2n17.－32003·(31)2002+21 18.(－31)5×67×(21)619.161×(－4)2+(－1)2003 20.(a 2n －1)2·(a n +2)321.x 3·x ·x 2+(－3x 2)2·x 222.(－x 4)2－2(x 2)3·x ·x +(－3x )3·x 5 23.［(a +b )2］3·［(a +b )3］424.已知a x =2,a y =3,求(1)a 2x +y ;(2)a x +3y 25.0.2520×240*26.阅读下面材料并完成填空你能比较两个数20032004和20042003的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较n n +1和(n +1)n 的大小(n ≥1且n 为整数)，然后从分析n =1,n =2,n =3,……这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、总结，猜想出结论.(1)通过计算，比较下列①~⑦各组两个数的大小(在横线处填上＞、=或＜号) ①12_____21 ②23_____32 ③34_____43 ④45_____54 ⑤56_____65 ⑥67_____76 ⑦78_____87 ……(2)从第(1)小题的结果经过归纳可以猜想出n n +1_____(n +1)n ;(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到20032004_____20042003(填＞、=或＜号).参考答案一、1.54 54 512 xy y ·y x 2y 22.m 10 －621 (a +b )8 3.－x 16 x 3m +64.a n b n c n x 9y 3n －3 4x 2y 85.－2.7×1010 －8x 6y 12 a 2nb 2n6.x ac ·x bc 0.01a 2b 67.－a 8 (x －y )58.1024 －39 9.x 2m 10.27二、11.B 12.B 13.C 14.C 15.C三、16.2a 2n 17.－2518.－18 19.0 20.a 7n +4 21.－2x 6 22.－28x 8 23.(a +b )18 24.(1)12 (2)54 25.1 *26.(1)< < > > > > > (2)当n =1,2时，n n +1<(n +1)n 当n ≥3时，n n +1>(n +1)n >§1.4 幂的乘方与积的乘方●温故知新上节课学习的知识都会了吗？做几道小题试试吧！1.(1)42×4×44=________ (2)a 2·a ·a 9=________ (3)-a 3·a m =________(4)(x -y )3·(x -y )5=________它们没有难倒你吧？对一下正确结果： 1.(1)47 (2)a 12 (3)-a m +3 (4)(x -y )8这节课会学习两个新的公式，不要把它们与前面的公式混了呀！2.计算(1)(a 2n )3=________(2)(-p )2·(-p )3=________ (3)(-3xy )3=________ (4)(abc )n =________。
青岛版七年级下册数学课件：11.2.2积的乘方与幂的乘方
公式中的a可表示一个数、
字母、式子等.
3.多重乘方也具有这一性质.如
[(a m )n ] p a mn p （其中 m、n、p都是正整数）.
习题11.2 第2题
附加题 计算：
(1)a2 a4 (a3 )2
(2)(x3 )2 (x4 )2
祝同学们学习进步！
七年级下册
11.2.2 积的乘方与幂的乘方
回顾 & 思考 ☞
幂的意义:
回顾与n个思a 考
a·a· … ·a = an
同底数幂的乘法运算法则：
am · an = am+n （m,n都是正整数）
积的乘方运算法则:
(ab)m=ambm(m是正整数)
问题·情境 ☞
地球可以近似地看做是球体，如果用V, r 分别代表球的体积和 半径
，那么
V
4 r3
3
地球的半径约为6.37×103 千米，它的体积大约是多
少（精确到1010 立方千米）？
解： V
4 r3
3
= 4 ×(6.37×103)3
3
如何计算？
= 4 × 6.373×（103)3
3
１．试一试：读出式子 94 ; 32 3; a2 5.
２． 32 3 表示什么？ a2 3 表示什么？ am 3 表示什么？
(am )n am am am
(乘方的意义)
n个am
你能用语言叙述这个
a n个m
公式中的 可表示一 个数、字母、式子等.
结论吗？
a mmm (同底数幂的乘法法则)
a mn
幂的乘方的运算公式：
(乘法的定义)
七年级数学下册11.2积的乘方与幂的乘方巧用幂的乘方分解因式素材青岛版(new)
巧用幂的乘方分解因式幂的乘方公式：m n n m a a )()(==nm a ，它的逆向公式是：nm a =m n n m a a )()(=。
应用这两个公式，能帮助你解指数较大的因式分解问题。
现举例加以说明。
例1、利用分解因式说明：257—512能被120整除。
分析：多项式中有两项,并且是两项的差，非常符合平方差公式的条件,唯一不同的是指数不是2.但是，我们可以利用上面的公式变形。
因为,25=52，所以，257=（52）7=（57）2，因为，12=2×6，所以，512=（52)6=（56）2，这样，就满足了平方差公式的要求了。
解:因为，25=52，所以，257=(52）7=（57）2,因为,12=2×6，所以,512=（52）6=（56）2，所以，257-512=（57）2—（56)2=（57+56)（57—56)=56×56（5+1）（5—1)=56×56×24=56×55×24×5=120×56×55。
所以，257-512能被120整除。
例2、248-1能被60和70之间的两个数整除。
这两个数各是多少?分析因为,48=2×24，所以，248=（22）24=(224)2，这样，就满足了平方差公式的要求了。
解：因为，48=2×24,所以,248=（22）24=(224）2，所以，248-1=（224）2—（1)2=（224+1）（224—1）=（224+1）（224-1）=（224+1)【（212）2—（1）2】=（224+1）【(212+1）(212—1）】=（224+1）（212+1)【（26）2-（1)2】=(224+1）（212+1）【（26+1)(26-1）】=（224+1）（212+1）(26+1）【（23）2-（1）2】=（224+1)（212+1）（26+1）【(23+1）（23—1）】=（224+1）（212+1）（26+1）×9×7=（224+1）(212+1）（26+1）×65×63因为,整除的两个数在60和70之间，且60＜63＜70，60＜65＜70，所以，这两个数分别是63、65。
七年级数学下册 11.2 积的乘方与幂的乘方课件青岛青岛级下册数学课件
第十四页，共十五页。
内容(nèiróng)总结
导学案+双色笔+课本+典题本。其中a、n、an分 别叫做什么。探索积的乘方与幂的乘方的运算性质， 并能运用计算，体验由“特殊-一般-特殊”的数学思想方法。（1）结合(jiéhé)课本和学习目标，认真思考 并解决预习案中的内容，明确运用积的乘方与幂的乘方的运算性质的推导、表示、推广、逆应用。安静、 投入、思考、高效。积的乘方等于各因数乘方的积。积的乘方运算性质的逆用。幂的乘方，底数不变，指 数相乘．。幂的乘方运算性质的运用。下课了
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n个a
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11.2 积的乘方 与 (chéngfāng) 幂的乘方(chéngfāng)
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第三页，共十五页。
学习目标
探索积的乘方与幂的 乘方的运算性质，并能运 用计算，体验由“特殊-
一 般 - 特 殊 ” 的 数 学 思 想 把握生命里的每一分钟，体验(tǐyàn)成功与感动
导学案(xué àn)+双色笔+课本+典题本
还有你的激情！
课堂 因你 (kètáng)
而变得精彩！
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第一页，共十五页。
复习回顾
Ø an 表示的意义是什么？其中(qízhōng)a、n、an分
别叫做什么?
an 底数(dǐshù)
指数
幂
an a a a a
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（3）做好疑问标记。
目标：
安静、投入、思考、高效
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积的乘方运算法则
abmambm （m为正整数）
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问题1：体育课上，同学们使用的篮球的半径大约是 乒乓球半径的10倍，请同学们思考一下，篮球的表 面积大约是乒乓球表面积的多少倍？
问题2：地球、木星、太阳可以近似地看作球体。木星 、太阳的半径约是地球半径的10倍和102倍，它们的体 积约是地球的多少倍？
利用幂的乘方计算
（62）4
（a2）3
（am）2
（am）n
幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
am n amn,其中m, n是正整数
学生练习：
1. （102）3 106
（b5）5 b25
（an）3 a3n
─（x2）m -x2m
2. （y2）3. y2.
解：原式= y6. y2 =y8
2（a2）6. a3 --（a3）4. a3
解：原式= 2a12. a3 –a12. a3 =a12. a3 = a15.
《积的乘方与幂的乘方》3
青岛版数学七年级下册
生动有趣的课程,搭配各个互动环节助理您教学成功
感谢所有辛勤付出的人民教师
• 人生感悟:头比脚高
• 小时候我长得很弱小，和人打架的时候总是吃亏。记得有一 次，和村里一个孩子王打架，他两脚就把我踹到了地上。他脚 很有力。我哭着回去告诉妈妈，让她送我去学武，说要学一身 绝技回来，好报仇。想不到妈妈却说：“除了学武，你就没有 别的办法赢他吗？他的脚虽然有力，可是，孩子，你还有一颗 聪明的头啊，再有力的脚也没有头高啊。”我记住了妈妈的话， 并深深地理解了它。期末考试的时候，我得了全校第一。当我 站在领奖台上，接受大家羡慕的掌声时，孩子王却因功课不及 格留级了。我觉得我打败了他。
同桌仿例1做编题游戏
• 三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质? 怎样用公式表示?
公式的拓展
(abc)n=an·bn·cn
怎样证明 ?
试用第一 种方法证明:
(abc)n=[(ab)·c]n =(ab)n·cn = an·bn·cn.
方法提示 有两种思路______ 一种思路是利用乘法结合律，把三个 因式积的乘方转化成两个因式积的乘方、再用积的乘方法则;
（1）(am )n amn
（）
（2）a 2 • a5 a10
（）
（3）(a 2 )10 a 20
（4）
[( 3)2 ]3 4
(3)6 4
（） （）
（5）(b n1 ) 2 b 2n2
（）
（6）[( x y)2 ]5 (x y)10 （ ）
3．计算：
（1）(1)2m • (1)2
（2） a3 • (a)4 （3） [(m n)2 ]4
• 在下面的推导中，说明每一步(变形)的依据：
n个ab
(ab)n = ab·ab·……·ab
( 幂的意义
)
n个a
n个b
=(a·a·……·a) (b·b·……·b)
(
乘法交换律、 结合律
)
=an·bn．
( 幂的意义 )
积的乘方法则
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数）
积的乘方 乘方的积 • 上式显示:
4．x3·x2=x6
3．(-a3 )2.a4 ＝ a９
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)以上答案都不对
思考：
1 若a2n=5,求a6n 2 若am=2 , a2n=7,
求a3m+4n
计算下列各式，并说明理由
（1）(62 )4 62 • 62 • 62 • 62 62222 68 624
(2) 为了计算(化简)算式ab·ab·ab，可以应用乘法的交 换律和结合律。 又可以把它写成什么形式?
(3)由特殊的 (ab)3=a3b3 出发, 你能想到一般的公式 吗?
猜想
(ab)3= ab·ab·ab =a·a·a ·b·b·b =a3·b3
(ab)n= anbn
♐
(ab)n = an·bn 的证明
• 积的乘方= 每个因式分别乘方后的积.
你能说出法则中“因式”这两个字的意义吗?
(a+b)n，可以用积的乘方法则计算吗? 即“(a+b)n= an·bn ” 成立吗？ 又“(a+b)n= an+an ” 成立吗？
例1：课本P14 计算
(1) 3x2 (2) (3) 2xy(44)
2b5
3a2 n
2、选择：
x
3m1
可以写成_____
A、 x3 m1 B、
xm
31
C、
x D• 、x3m
xm 2m1
xm yn 3 x3 y12
3、填空：如果
4、计算： 0.752003
4 3
，20那03 么
m _____,n _____
点评：要根据具体情况灵活利用积 的乘方运算性质（正用与逆用）。
• 从此，当我受到不公正的待遇或者遭到侮辱时，我都会想起 妈妈的这句话：“头比脚高。”它使我知道，人世间最有力的 武器是智慧，
回顾 &a
a·a·… ·a= an
同底数幂的乘法运算法则：
am ·an = am+n（m,n都是正整数）
幂的乘方运算法则:
(am)n= amn (m、n都是正整数)
智能训练：
1、 不用计算器，你能很快求出下列各式的结果吗？
25 3 5，5 49 0.2510
2、若n是正整数，且 x n 6, y n ， 5求 xy的2n值。
3、a bc d 等n于什么？写出推理过程。
另一种思路是仍用推导两个因式的积的乘方的方法：乘方的意 义、乘法的交换律与结合律.
阅读 体验 ☞
例题【例解2】析计算：
(1)(3x)2 ; (2)(-2b)5 ;
(3)(-2xy)4 ;
(4)(3a2)n .
解： (1)
(3x)2
=32x2
= 9x2 ;
(2) (-2b)5= (-2)5b5 = -32b5 ;
3. （-32）3.（-33）2 解:原式= -36 .36 = -312
（-x）2.(-x)3 解:原式= （-x）5
= -x5
4. ① (4·2n)·(4·2n)等于
4·2n B．42n+4
C．22n
（Ｄ ）A． D．22n+4
② 下列计算中正确命题的个数有（ Ｄ）个
1．am·a2=a2m
2．(a3)2=a5
（3）（an )3 an3 a3n
(4) (x2 )m x2m x2m
(5) ( y2 )3 y y23 y y6 y y7
(6) 2(a2 )6 (a3 )4
2a26 a34 2a12 a12 a12
随堂练习
进行幂的运算
１．课本 P16 ２．判断题：
1．计算时要注意什么?
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数） 反向使用: an·bn = (ab)n
试用简便方法计算: (1) 23×53 ;= (2×5)3 = 103 (2) 28×58 ;= (2×5)8 = 108 (3) (-5)16 × (-2)15 ;= (-5)×[(-5)×(-2)]15 = -5×1015 ; (4) 24 × 44 ×(-0.125)4 ; = [2×4×(-0.125)]4 = 14 =1.
3
6×103 千米，它的体积大约是多少立方千米
解： V 4 r3
3
= 4 ×(6×103)3
3
= 4 × 63×109
3
注意 运算顺序 !
≈ 9.05×1011 (千米11)
随堂练习
1、计算： (1) (- 3n)3 ; (2) (5xy)3 ;
(3) –a3 +(–4a)2 a 。
公式的反向使用
（4）a 2 • (a)3 • (a 2 )3
（5）(a 2 )3 • (a3 )3
（6） [(x 2 )3 ]3
拓展与提高
1.计算：(x y)m ( y x)2m ( y x)3m
２．你能比较 355 , 444 , 533 的大小吗？
探索 & 交流 参与活动：
• (1) 根据乘方定义(幂的意义)，(ab)3表示什么?
ammm
amn
(a ) a m n
mn (m、n都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
例1 计算：
(1) (102 )3；(2) (b5 )5；（3）（an )3；(4) (x2 )m；
(5) ( y2 )3 y； (6) 2(a2 )6 (a3 )4.
解 (1) (10 2 )3 (10)23 106 ： (2) (b5 )5 b55 b25
(3) (-2xy)4 = (-2x)4 y4 = (-2)4 x4 y4 =16x4 y4 ；
(4) (3a2)n = 3n (a2)n = 3n a2n 。
阅读 体验 ☞
例【题例解3】析地球可以近似地看做是球体，如果用V, r 分别
代表球的体积和半径，那么 V 4 r3。 地球的半径约为
幂的意义:
n个a
a·a·…
·a =
an
同底数幂的乘法运算法则：
am ·an=am+n
幂的乘方运算法则: (ab)n=ambn
积的乘方=每个因式分别乘方后的积.
反向使用am ·an =am+n、(am)n =amn 可使某些计算简捷。
拓展训练：
1、填空： 2a5 3 ______
x2 y7 2xy3 2 y _________
（2）(a 2 )3 22 • 22 • 22 2222 26 223
（3）(a m ) 2 am • am amm a2m a2m n个 am
（4）(a m )n (am • am • • am )