2019金版新学案-高三一轮北师大版理科数学课件+课时作业：选修42第1课时二阶矩阵与变换

a＝－1， 解得cb＝＝2－，1，
d＝2.
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选修4-2 矩阵与变换
(2)因为矩阵 M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)，所以可取直
线 y＝3x 上的两点(0,0)，(1,3)，
1 由－1
－1100＝00，
1 －1
－11＝－2 13 2
得：点(0,0)，(1,3)在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像分别是点
1
0
k
1
.
3．线性变换的基本性质
(1)设向量 α＝xy，则 λα＝
λx λy
.
(2)设向量 α＝xy11，β＝xy22，则 α＋β＝
x1＋x2 y1＋y2
.
(3)A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任
意实数，则A(λα)＝
λAα ，A(α＋β)＝ Aα＋Aβ .
(4)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成 直线 (或一点) ．
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选修4-2 矩阵与变换
所以 M＝10
1 2.
所以 M2＝10
11
20
1＝1 2 0
3 4.
所以 M2－11＝01 43－11＝－ －24.
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选修4-2 矩阵与变换
1．对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换． 2．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的 变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于 变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或 多次的复合．
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选修4-2 矩阵与变换
(2010·福建卷)已知矩阵 M＝b1
1a，N＝c0
2，且 d
MN＝－22
0 0.
(1)求实数 a，b，c，d 的值；
(2)求直线 y＝3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像的方程．
解析： 方法一：
c＋0＝2， (1)由题设得b2c＋＋a0d＝＝－0，2，
2b＋d＝0.
a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2，d1＝d2
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选修4-2 矩阵与变换
2．几种常见的线性变换
(1)旋转变换 Rα 对应的矩阵是 A＝
cos α
sin α
－sin α
cos α
.
1 0
(2)关于
x
轴对称对应的矩阵是
A＝
0
－1 ，关于 y 轴对称对应
的矩阵为 A＝－10
0 ，关于 1
y＝x
对称对应的矩阵为
∵AB≠BA，由此可猜测，矩阵乘法不满足交换律．
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选修4-2 矩阵与变换
【变式训练】 1.已知二阶矩阵 M 满足 M01＝10，M11＝22，求 M2－11.
解析：
设 M＝ac
b， d
由 M01＝01得，ca＝01， 所以 a＝1，c＝0.
由 M11＝22得，ca＋＋db＝22，
所以 b＝1，d＝2.
圆．
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选修4-2 矩阵与变换
练规范、练技能、练速度
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选修4-2 矩阵与变换
A＝
0
1
1
0
.
(3)伸缩变换对应的二阶矩阵 A＝k01
0，表示将每个点的横坐标变 k2
为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k2 倍，k1，k2 均为非零常数．
(4)投影变换：关于 x 轴的(正)投影变换对应的矩阵为 A＝
1
0
0
0
.
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选修4-2 矩阵与变换
(5)沿与 x 轴平行的方向平移 ky 个单位的切变变换为
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选修4-2 矩阵与变换
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选修4-2 矩阵与变换
矩阵的运算只满足结合律，不满足交换律和消去律．
设 A＝52 －14，B＝31 42.计算 AB 与 BA，并猜测你认为正 确的一个矩阵乘法的性质．
解析：
AB＝52
－11 43
2 4
＝2 14
6 20.
BA＝13
25 42
－14＝923
7 13.
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选修4-2 矩阵与变换
4．二阶矩阵的乘法
(1)A＝ca11 db11，B＝ca22 db22.
则 AB＝
a1a2＋b1c2 c1a2＋d1c2
a1b2＋b1d2
c1b2＋d1d2
.
(2)矩阵乘法满足结合律(AB)C＝A(BC)．
【思考探究】 矩阵乘法满足交换律和消去律吗？ 提示： 不满足，只满足结合律．
方形数表
a
c
b
d
称为二阶矩阵，其中 a，b，c，d 称为矩阵的 元素 ，矩
阵通常用大写字母 A，B，C…表示．
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选修4-2 矩阵与变换
(2)矩阵的乘法：二阶矩
阵a c
b与x的乘法规则为：a
d y
c
bx
＝
wk.baidu.com
d y
ax＋by
cx＋dy
.
(3)矩阵相等：A＝ca11 db11，B＝ca22 db22.若 A＝B，则
P(x，y)在矩阵 A＝02 10对应变换作用下新曲线上的对应点，
则xy′ ′＝02
0x＝2x， 1y y
即xy′′＝＝2yx
，所以x＝x′2 y＝y′
，
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选修4-2 矩阵与变换
将x＝x′2 y＝y′
代入 x2＋y2＝4，得x′4 2＋y′2＝4，
∴方程1x62 ＋y42＝1 表示的曲线是焦点为(±2 3，0)，长轴长为 8 的椭
y′)必在直线 y＝－x 上．由(x，y)的任意性可知，直线 y＝3x 在矩阵 M
所对应的线性变换作用下的像的方程为 y＝－x.
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选修4-2 矩阵与变换
【变式训练】 2.求圆 C：x2＋y2＝4 在矩阵 A＝02 10对应变换作用 下的曲线方程，并判断曲线的类型．
解析： 设 P(x，y)是圆 C：x2＋y2＝4 上的任一点，P1(x′，y′)是
高三一轮北师大版理科数学课件+课时作业
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选修4-2 矩阵与变换
第1课时 二阶矩阵与变换
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选修4-2 矩阵与变换
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选修4-2 矩阵与变换
1．线性变换与二阶矩阵的基本概念
x′＝ax＋by (1)在平面直角坐标系 xOy 中，由y′＝cx＋dy (其中 a，b，c，d
为常数)构成的几何变换称为线性变换，由四个数 a，b，c，d 排成的正
(0,0)，(－2,2)．
从而直线 y＝3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像的方程为 y
＝－x.
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选修4-2 矩阵与变换
方法二：
(1)同方法一．
(2)设直线 y＝3x 上的任意点(x，y)在矩阵 M 所对应的线性变换作用
下的像是点(x′y′)，
x′ 1 由y′＝－1
－11xy＝x－－xy＋y＝－22xx得 y′＝－x′，即点(x′，