(定价策略)第十二章期权价格的敏感性和期权的套期保值

第十二章期权价格的敏感性和期权的套期保值【学习目标】本章是期权部分的重点内容之一。

本章的重要内容之一，就是介绍了期权价格对其四个参数（标的资产市场价格、到期时间、波动率和无风险利率）的敏感性指标，并以此为基础讨论了相关的动态套期保值问题。

学习完本章，读者应能掌握与期权价格敏感性有关的五个希腊字母及其相应的套期保值技术。

在前面几章中，我们已经分析了决定和影响期权价格的各个重要因素，以及这些因素对期权价格的影响方向。

进一步来看，根据Black-Scholes 期权定价公式（)()(2)(1d N Xed SN c t T r ---=），我们还可以更深入地了解各种因素对期权价格的影响程度，或者称之为期权价格对这些因素的敏感性。

具体地说，所谓期权价格的敏感性，是指当这些因素发生一定的变化时，会引起期权价格怎样的变化。

本章的重要内容之一，就是对期权价格的敏感性作具体的、量化的分析，介绍期权价格对其四个参数（标的资产市场价格、到期时间、波动率和无风险利率）的敏感性指标。

如果我们从另一个角度来考虑期权价格的敏感性，我们可以把它看作当某一个参数发生变动时，期权价格可能产生的变化，也就是可能产生的风险。

显然，如果期权价格对某一参数的敏感性为零，可以想见，该参数变化时给期权带来的价格风险就为零。

实际上，当我们运用衍生证券（如期权）为标的资产或其它衍生证券进行套期保值时，一种较常用的方法就是分别算出保值工具与保值对象两者的价值对一些共同的变量（如标的资产价格、时间、标的资产价格的波动率、无风险利率等）的敏感性，然后建立适当数量的证券头寸，组成套期保值组合，使组合中的保值工具与保值对象的价格变动能相互抵消，也就是说让套期保值组合对该参数变化的敏感性变为零，这样就能起到消除相应风险的套期保值的目的。

这就是我们在本章将要介绍的“动态套期保值”技术。

第一节 Delta 与期权的套期保值期权的Delta 用于衡量期权价格对标的资产市场价格变动的敏感度，它等于期权价格变化与标的资产价格变化的比率。

用数学语言表示，期权的Delta 值等于期权价格对标的资产价格的偏导数；显然，从几何上看，它是期权价格与标的资产价格关系曲线切线的斜率。

一、期权Delta 值的计算令f 表示期权的价格，S 表示标的资产的价格，∆表示期权的Delta ，则：Sf∂∂=∆ （12.1）根据Black-Scholes 期权定价公式（)()(2)(1d N Xed SN c t T r ---=）和相应的无收益资产欧式看跌期权定价公式（()21()()r T t p Xe N d SN d --=---），我们可以算出无收益资产看涨期权的Delta 值为：)(1d N =∆无收益资产欧式看跌期权的Delta 值为：1)()(11-=--=∆d N d N其中d 1的定义与式（11.2）相同。

当期权更为复杂的时候，相应地期权的Delta 值也更为复杂。

例如支付已知红利率q （连续复利）的欧式看涨期权的Delta 值为)(1)(d N e t T q --=∆第十三章将给出股票指数期权、外汇期权和期货期权的相应Delta 值。

二、期权Delta 值的性质和特征分析根据累积标准正态分布函数的性质可知，1)(01<<d N ，因此无收益资产看涨期权的∆总是大于0但小于1；而无收益资产欧式看跌期权的∆则总是大于-1小于0。

反过来，作为无收益资产欧式看涨期权空头，其Delta 值就是总是大于-1小于0；而无收益资产欧式看跌期权空头的∆则总是大于0小于1。

从d 1定义可知，期权的∆值取决于S 、r 、σ和T-t ，根据期权价格曲线的形状（如图10.3和图10.4所示），我们可知无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的∆值与标的资产价格的关系如图12.1（a ）和（b ）所示。

图12.1 无收益资产看涨期权和看跌期权Delta 值与标的资产价格的关系 从N （d 1）函数的特征还可得出无收益资产看涨期权和欧式看跌期权在实值、平价和虚值三种状况下的∆值与到期期限之间的关系如图12.2（a ）和（b ）所示。

图12.2 无收益资产看涨期权和欧式看跌期权Delta 值与到期期限之间的关系此外，无风险利率水平越高，无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的∆值也越高，如图12.3（a ）和（b ）所示。

图12.3 无收益资产看涨期权和欧式看跌期权Delta 值与r 之间的关系然而，标的资产价格波动率（σ）对期权∆值的影响较难确定，它取决于无风险利率水平S 与X 的差距、期权有效期等因素。

但可以肯定的是，对于较深度虚值 的看涨期权和较深度实值的看跌期权来说，∆是σ的递增函数，其图形与图12.3（a ）和（b ）相似。

三、证券组合的Delta 值事实上，不仅期权有Delta 值，金融现货资产和远期、期货都有相应的Delta 值。

显然，对于期权的标的现货资产来说，其Delta 值就等于1。

运用第三章中关于远期合约价值的计算公式（3.1）可知，股票的远期合约的∆同样恒等于1。

这意味着我们可用一股股票的远期合约空头（或多头）为一股股票多头（或空头）保值，且在合约有效期内，无需再调整合约数量。

但是，期货合约的Delta 值就不同了。

由于期货是每天结算的，因此期货合约的收益变化源于期货价格的变化，也就是说，我们需要运用期货价格公式计算出Delta 值。

因此，无收益资产和支付已知现金收益资产的期货合约的∆值为：)(t T r e -=∆支付已知收益率（q ）资产期货合约的∆值为：))((t T q r e --=∆值得注意的是，这里给出的Delta 值都是针对多头而言的，和期权一样，相应空头的Delta 值只是符号发生了相反的变化。

这样，当证券组合中含有标的资产、该标的资产的各种期权和其他衍生证券的不同头寸时，该证券组合的∆值就等于组合中各种资产∆值的总和（注意这里的标的资产都应该是相同的）：∑=∆=∆ni i i w 1（12.2）其中，w i 表示第i 种证券的数量，∆i 表示第i 种证券的∆值。

四、Delta 中性状态与套期保值由于标的资产和相应的衍生证券可取多头或空头，因此其∆值可正可负，这样，若组合内标的资产和期权及其他衍生证券数量配合适当的话，整个组合的∆值就可能等于0。

我们称∆值为0的证券组合处于Delta 中性状态。

当证券组合处于∆中性状态时，组合的价值显然就不受标的资产价格波动的影响，从而实现了套期保值。

但是值得强调的是，证券组合处于∆中性状态只能维持一个很短的时间，因为Delta 实质上是导数。

因此，我们只能说，当证券组合处于∆中性状态时，该组合价值在一个“短时间”内不受标的资产价格波动的影响，从而实现了“瞬时”套期保值。

这样一个∆中性状态的套期保值组合提示我们，当我们手中拥有某种证券或证券组合时，可以通过相应的标的资产、期权、期货等进行相互保值，使证券组合的∆值等于0，也就是不受标的资产价格变化的影响。

这种套期保值方法称为∆中性保值法，又因为∆中性保值只是在瞬间实现的，随着S 、T-t 、r 和σ的变化，∆值也在不断变化，因此需要不断调整保值头寸以便使保值组合重新处于∆中性状态，这种调整称为再均衡（Rebalancing ），因此这种保值方法属于“动态套期保值”。

下面我们分别通过两个例子来说明运用期权为标的资产保值和运用标的资产或其他资产为期权保值的∆中性保值法。

例12.1美国某公司持有100万英镑的现货头寸，假设当时英镑兑美元汇率为1英镑=1.6200美元，英国的无风险连续复利年利率为13%，美国为10%，英镑汇率的波动率每年15%。

为防止英镑贬值，该公司打算用6个月期协议价格为1.6000美元的英镑欧式看跌期权进行保值，请问该公司应买入多少该期权？英镑欧式看跌期权的∆值为：458.0]1)0287.0([]1)([5.013.01)(-=-=-⨯---e N ed N t T f r而英镑现货的∆值为+1，故100万英镑现货头寸的∆值为+100万。

为了抵消现货头寸的∆值，该公司应买入的看跌期权数量等于：34.218458.0100=万 即，该公司要买入218.34万英镑的欧式看跌期权。

当然，这只是适合于短时间内的保值头寸。

例12.21某金融机构在OTC 市场出售了基于100 000股不付红利股票的欧式看涨期权，收入$300 000。

该股票的市场价格为$49，执行价格为$50，无风险利率为年利率5%，股票价格波动1该例子主要引自[美]约翰·赫尔著，张陶伟译.期权、期货和衍生证券. 中译本. 北京：华夏出版社，1997. 283页，在此基础上进行了一点修改。

率为年20%，距离到期时间为20周。

由于该金融机构无法在市场上找到相应的看涨期权多头对冲，这样就面临着风险管理的问题。

在这里我们可以运用∆中性保值法。

我们可以用标的资产即股票为此期权进行套期保值操作。

由于该金融机构目前的头寸是欧式看涨期权空头，这意味着他们目前的∆值是负的，这样，我们需要用正的∆值进行对冲，即应该购买标的资产，才能构建∆中性组合。

之后，我们还需要不断地调整标的资产的数量，以适应期权∆值的变化。

在实际中，过于频繁的动态调整需要相当的交易费用，因此我们假设保值调整每周进行一次。

根据题目，49,50,0.05,0.20,0.3846.S X r T t σ====-=初始的Delta 值为0.522∆=-。

这意味着在出售该看涨期权的同时，需要借入0.52210000049$2557800⨯⨯=以49美元的价格购买52 200股股票。

第一周内发生的相应利息费用为$2 500。

表12-1给出了期权到期时为实值和虚值两种状况下的模拟保值过程。

从表12-1（a ）可知，到第一周末，股票价格下降到1488。

这使得Delta 值下降到0.458,要保持Delta 中性，必须出售6 400股股票，得到$308 000的现金，从而使得成本下降。

之后，如果Delta 值上升，就需要再借钱买入股票；如果Delta 值下降，就卖出股票减少借款。

在期权接近到期时，很明显为实值期权，期权将被执行，Delta 值接近1。

因此，到20周时，该金融机构具有完全的抵补标的资产头寸，累积成本为$5 261 500。

当期权被执行时，金融机构将其所持有的股票出售，获得$5 000 000 ，因此总的套期保值成本为$261 500。

表12-1（b ）给出了另一种价格序列，即到期时期权处于虚值状态的情形。

显然到期时期权不会被执行，Delta 值接近0，而该金融机构最后不会持有标的资产，总计成本为$257 800。

如果把表12-1（a ）和表12-1（b ）中的最后套期保值成本贴现到期初，则我们会发现应用标的资产对该期权进行∆中性保值的成本近似于运用Black-Scholes 期权定价公式计算出来的$240 000，但不完全相等，不完全相等的原因在于调整频率较低。