人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程课件(7)
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高一数学人教版A版必修二课件：第四章 圆与方程
2.点和圆的位置关系
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P_在__圆__外__. (2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P_在__圆__内__. (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P_在__圆__上__.
合题意.
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0.
由题意可知(|－k＋21＋＋4k2k－3|)2＋(82)2＝52，解得 k＝－34.
即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0，
综上所述，满足题设的直线l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.
解析答案
跟踪训练4 过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此 练3 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； 解 设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y). 因为P点在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
返回
a－12＋b2＝r＋1，
|a＋ 由题意得 2
3b| ＝r，
a＝4， 解得b＝0，
ba＋－33＝ 3，
r＝2，
a＝0， 或b＝－4 3，
r＝6，
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋4 3)2＝36.
解析答案
类型三 与圆有关的轨迹问题 例3 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两 边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P_在__圆__外__. (2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P_在__圆__内__. (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P_在__圆__上__.
合题意.
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0.
由题意可知(|－k＋21＋＋4k2k－3|)2＋(82)2＝52，解得 k＝－34.
即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0，
综上所述，满足题设的直线l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.
解析答案
跟踪训练4 过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此 练3 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； 解 设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y). 因为P点在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
返回
a－12＋b2＝r＋1，
|a＋ 由题意得 2
3b| ＝r，
a＝4， 解得b＝0，
ba＋－33＝ 3，
r＝2，
a＝0， 或b＝－4 3，
r＝6，
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋4 3)2＝36.
解析答案
类型三 与圆有关的轨迹问题 例3 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两 边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
高中数学：4.《圆的标准方程》【新人教A版必修2】PPT完美课件
解:当M不在坐标上时，设切线的斜率为k,则k= - 1 .
kOM
=
y0 , x0
k = - x0 . y
0
kOM y
经过点M 的切线方程是
y
-
y0
=
-
x0 y
(x-
x0 ),
0
M(x0, y0)
整理得 x0x+y0y=x0 2+y0 2.
O
x
因为点M在圆上,所以
所求的切线方程是 x0
x2 + y2 = r
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
练习 1 (口答) 、求圆的圆心及半径
(1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1
y
Y
-2
0 +2 X
-1 0
X
C(0、0) r=2
C(-1、0) r=1
练习 2、写出下列圆的方程
（1）、圆心在原点，半径为3；
（2）、圆心在(-3、4),半径为 5
高中数学：4.《圆的标准方程》【新 人教A版 必修2 】PPT完 美课件
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m
答：支柱A2P2的长度约为3.86m.
高中数学：4.《圆的标准方程》【新 人教A版 必修2 】PPT完 美课件
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2对教育来说，阅读是最基础的教学手 段，教 育里最 关键、 最重要 的基石 就是阅 读。
人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程课件(7)
.
（-1，0）O
.
A(3,0)
x
所以所求的曲线是以C（-1，0）为圆心，2为半径的圆（如图）
精品PPT
2.已知P(2,0),Q(8,0)，点M到点P的距离是它到点Q的距离 的1/5，求M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0 的最小距离 3.已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点 (1)求 y 的最小值
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 - a)2 + (1- b)2 = r2 a = 2 (7 - a)2 + (-3 - b)2 = r2 b = -3 (2 - a)2 + (-8 - b)2 = r2 r = 5
所求圆的方程为
(x - 2)2 + ( y + 3)2 = 25精品PPT
相关点法
精品PPT
例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端
点A在圆( x + 1)2 + y2 = 4上运动,求线段
AB的中点M的轨迹方程.
解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是( x0 , y0 ) .
由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,
所以 x = x0 + 4 2
y=
2.圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=
-
D 2
，b= -
E 2
，r=
1 2
D2 + E2 -4F
（2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次精项品PPT
高一数学人教版A版必修二课件：4.1.1 圆的标准方程
第四章 § 4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程学习目标1.掌握圆的定义及标准方程；2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.问题导学题型探究达标检测问题导学 新知探究 点点落实知识点一 圆的标准方程思考1 确定一个圆的基本要素是什么？答案 圆心和半径.思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？答案 能.1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.知识点二 点与圆的位置关系思考 点A(1,1)，B(4,0)，同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？答案 |OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点M在圆外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点M在圆内|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2题型探究 重点难点 个个击破类型一 求圆的标准方程例1 (1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )DA.(x＋1)2＋(y＋2)2＝10B.(x－1)2＋(y－2)2＝100C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝25D.(x－1)2＋(y－2)2＝25解析 ∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25___________________.解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(3)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________.跟踪训练1 求下列圆的标准方程：(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；解 设圆心(0，b)，得b＝0或－8，所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.(2)已知圆和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)；解 因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.即5x＋7y－50＝0上，解得圆心坐标为(3,5)，故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.(3)圆过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上.解 线段AB的垂直平分线为y－2＝2(x－3)，令y＝0，则x＝2，∴圆心坐标为(2,0)，∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.类型二 点与圆的位置关系例2 (1)点P (m 2 , 5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A.在圆内B.在圆外C.在圆上D.不确定解析 由(m 2)2＋52＝m 4＋25>24，∴点P 在圆外.(2)已知点M (5 ＋1， )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围是____.解得0≤a <1.B [0,1)跟踪训练2 已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围(－∞，－1)∪(1，＋∞)是________________________.解析 由题意知，(1－a)2＋(1＋a)2>4，2a2－2>0，即a<－1或a>1，类型三 与圆有关的最值问题例3 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，(2)求y－x的最大值和最小值；解设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，(3)求x2＋y2的最大值和最小值.解x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，(1)x2＋y2的最值；解 由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离为d＝1，(2)x＋y的最值.解 令y＋x＝z并将其变形为y＝－x＋z，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值.当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，达标检测 41231.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( )DA.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.A2.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )A.－1<a<1B.0<a<1C.a>1或a<－1D.a＝±1解析 ∵点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－1<a<1.1 3.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是____.解析 x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知，1234解析答案4.圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为__________________.解析 由题意知圆心坐标为(2，－3)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.(x －2)2＋(y ＋3)2＝5规律与方法1.判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2；点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.2.求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心.(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.(3)圆心与切点的连线长是半径长.(4)圆心与切点的连线必与切线垂直.3.求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径.返回。
人教A版高中数学必修二 4-1-1 圆的标准方程 课件 (共24张PPT)
B.x2＋(y＋3)2＝4
D.(x－3)2＋y2＝2
【解析】选B.圆的圆心是(0,－3)，半径是r＝
1 2
|－5－(－1)|＝2.故圆的方程为x2＋(y＋3)2＝4.
3. 已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y2=0上，求圆M的方程. 【解】设圆M的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),
M（x,y)是圆上动点， C是圆心， r是半径.
如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y) 与圆心C(a,b) 的距离． 则 |MC|=r. 圆上所有点的集合 P = {M||MC|=r}.
O x y r C
M
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：
所以圆心C的坐标是 (3, 2)， 圆心为C的圆的半径长r | AC | (1 3) 2 (1 2) 2 5. 所以，圆心为C的圆的标准方程是
( x 3)2 ( y 2)2 25.
比较例2和例3，你能归纳求任意△ABC外接圆的
方程的两种方法吗？
两种方法：待定系数法；
1- a 2 + -1- b 2 = r2 , 2 2 2 根据题意得： -1a + 1b = r , a + b - 2 = 0,
解得：a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为：(x-1)2+(y-1)2=4.
数形结合法.
1.若点(１，１)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部， 则实数a的取值范围是 A.-1＜a＜1 ( A ) B.0＜a＜1
C.a＞1或a＜-1
D.a=±1
《圆的标准方程教学》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.411课时)
2、圆的特征是什么？
✓ 圆上每个点到圆心的距离为半径
✓ 到圆心的距离为半径的点在圆上
新知探究
解析几何的基本思想
圆在坐标系下有什么样的方程？
新知探究
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半径R,在直角坐标系下如何确定圆的方程？
y
M
R
P={M||MC|=R}
C(a,b)
O
x
新知探究
圆的标准方程
设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
若圆心在X轴上，则方程为：( − )2 + 2 = 2
若圆心在Y轴上，则方程为： 2 + ( − )2 = 2
可见，圆心用来定位
若半径r=1，就成了单位圆。可见半径用来定形。
C
O
x
新知探究
圆的方程情势有什么特点？
特点：
这是二元二次方程，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．
讲授人：XXX 时间：202X.6.1
P P T
新知探究
例1:根据下列条件，求圆的方程：
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
⑵圆心在点C(1,3)，并与直线3 − 4 − 6 = 0 相切的圆的方程。
⑶过点（0,1）和点（2,1），半径为 5 。
新知探究
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
解：（1）∵点（2，-2）在圆上，∴所求圆的半径为
(5 −
于是൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ⇒
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
=2
ቐ = −3
=5
所求圆的方程为：( − 2)2 +( + 3)2 = 25
✓ 圆上每个点到圆心的距离为半径
✓ 到圆心的距离为半径的点在圆上
新知探究
解析几何的基本思想
圆在坐标系下有什么样的方程？
新知探究
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半径R,在直角坐标系下如何确定圆的方程？
y
M
R
P={M||MC|=R}
C(a,b)
O
x
新知探究
圆的标准方程
设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
若圆心在X轴上，则方程为：( − )2 + 2 = 2
若圆心在Y轴上，则方程为： 2 + ( − )2 = 2
可见，圆心用来定位
若半径r=1，就成了单位圆。可见半径用来定形。
C
O
x
新知探究
圆的方程情势有什么特点？
特点：
这是二元二次方程，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．
讲授人：XXX 时间：202X.6.1
P P T
新知探究
例1:根据下列条件，求圆的方程：
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
⑵圆心在点C(1,3)，并与直线3 − 4 − 6 = 0 相切的圆的方程。
⑶过点（0,1）和点（2,1），半径为 5 。
新知探究
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
解：（1）∵点（2，-2）在圆上，∴所求圆的半径为
(5 −
于是൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ⇒
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
=2
ቐ = −3
=5
所求圆的方程为：( − 2)2 +( + 3)2 = 25
人教A版高中数学必修二课件：第四章 4.1 4.1.2圆的方程(共44张PPT)
一日不读口生，一日不写手生。 书籍是全世界的营养品，生活里没有书籍就好像没有阳光；智慧里没有书籍就好像鸟儿没有翅膀。 一个人如果不能从内心去原谅别人，那他就永远不会心安理得。 你能够先知先觉地领导产业，后知后觉地苦苦追赶，或不知不觉地被淘汰。 没有热忱，世间便无进步。 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。 生气是拿别人做错的事来惩罚自己。 对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。 生活远没有咖啡那么苦涩，关键是喝它的人怎么品味！每个人都喜欢和向往随心所欲的生活，殊不知随心所欲根本不是生活。 成功之前我们要做应该做的事情，成功之后我们才可以做喜欢做的事情。 不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 泉水，奋斗之路越曲折，心灵越纯洁。 汗水是成功的润滑剂。 乐观者在灾祸中看到机会，悲观者在机会中看到灾祸。 谁不向前看，谁就会面临许多困难。 哪怕是最没有希望的事情，只要有一个勇敢者去坚持做，到最后就会拥有希望。 如果你受苦了，感谢生活，那是它给你的一份感觉；如果你受苦了，感谢上帝，说明你还活着。人们的灾祸往往成为他们的学问。 要想成为强乾，决不能绕过挡道的荆棘也不能回避风雨的冲刷。 不管失败多少次，都要面对生活，充满希望。
Байду номын сангаас
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2019-2020人教A版数学必修2第4章 4.1 4.1.1 圆的标准方程课件PPT
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所以 AB 的垂直平分线的方程为 y－0＝1·(x－0)， 即 y＝x.则圆心是直线 y＝x 与 x＋y－2＝0 的交点， 由yx＝＋xy，－2＝0，得xy＝＝11，， 即圆心为(1，1)，圆的半径为 （1－1）2＋[1－（－1）]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)设圆心为 C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0 或 b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，又 r＝5，
∴圆的标准方程为 x2＋y2＝25 或 x2＋(y＋8)2＝25. (3)∵圆心在 y＝－2x 上，设圆心为(a，－2a)，
设圆心到直线 x－y－1＝0 的距离为 r.
法二：设点 C 为圆心，∵点 C 在直线 x＋y－2＝0 上， ∴可设点 C 的坐标为(a，2－a)． 又∵该圆经过 A，B 两点， ∴|CA|＝|CB|. ∴ （a－1）2＋（2－a＋1）2＝ （a＋1）2＋（2－a－1）2， 解得 a＝1.
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∴圆心坐标为 C(1，1)，半径长 r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法三：由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0，0)， kAB＝1－－（1－－11）＝－1， 所以弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k＝1，
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2．以原点为圆心，2 为半径的圆的标准方程是( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝4
C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ 2
B [以原点为圆心，2 为半径的圆，其标准方程为 x2＋y2＝4.]
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3．点 P(m，5)与圆 x2＋y2＝24 的位置关系是( )
A．在圆外
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高一数学人教版A版必修二课件：4.1.2 圆的一般方程
围，并写出圆心坐标和半径.
解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得
1 m<5.
圆心坐标为(－m,1)，半径为 1－5m.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐 标和半径分别为_(_－__a2_，__a2_)，____22_|a_|__；
A.x＋y－1＝0
B.x＋y＋3＝0
C.x－y＋1＝0
D.x－y＋3＝0
解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.
解析答案
1 23 45
3.方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( B )
A.m≤2
B.m＜12
C.m＜2
D.m≤21
解析 由D2＋E2－4F＞0，
解析答案
规律与方法
1.判断二元二次方程表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆.此时判 D2＋E2－4F是否大于0；或直接配方变形，判断等号右边是否为大于 零的常数. 2.待定系数法求圆的方程 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程， 再用待定系数法分别求出常数D、E、F.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6) 的圆的方程.
解 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得 －2－a2＋－4－b2＝r2，
8－a2＋6－b2＝r2，
a＝121， 解得b＝－32，
得(－1)2＋12－4m＞0，
即 m＜12.
高中数学 4.14.1.2圆的一般方程课件 新人教A版必修2
种形式的方程中的一种；②根据所给条件，列出关于 D， 栏
目
E，F 或 a，b，r 的方程组；③解方程组．求出 D，E，
链 接
F 或 a，b，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到
所求的圆的方程．
第二十七页，共39页。
跟踪 训练
2．(1)已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)，若圆心 在直线 x－2y－3＝0 上，求圆的方程．
第十九页，共39页。
跟踪 训练
1．求出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x2＋y2－6x＝0；
(2)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)；
栏
目
(3)x2＋y2－2ax－2
3y＋3a2＝0－
6 2 <a<
26.
链 接
解析：(1)原方程化为(x－3)2＋y2＝32，因此该圆的圆 心为(3,0)，半径为 3.
第十四页，共39页。
栏 目 链 接
第十五页，共39页。
题型一 圆的一般方程的概念(gàiniàn)
例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心(yuánxīn)和
半径．
栏
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
目 链
接
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
第二十页，共39页。
跟踪 训练
(2)原方程化为 x2＋(y＋b)2＝b2(b≠0)，因此该
圆的圆心为(0，－b)，半径为|b|.
栏
目
(3)原方程化为(x－a)2＋(y－ 3)2＝3－2a2.因为
链 接
表示圆，所以 3－2a2>0，从而该圆的圆心为(a， 3)，
高中数学必修二 第四章 圆的方程 全套PPT
港口
O
轮船
这样，受台风影响的圆区域 所对应的圆心为O 的圆的方程为
港口
x2 y 2 9
轮船航线所在直线 l 的方程为
O
轮船
4 x 7 y 28 0
问题归结为圆心为O 的圆与直线 l 有无公共点．
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点．
2 2
2
标准方程
特别地，若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x y r
2 2
2
圆的标准方程
已知圆的圆心为C(a,b),半径为r,求圆的方程. 解：设点M (x,y)为圆C上任一点， 圆上所有点的集合
y
M(x,y)
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
3.求圆的一般方程的方法： ①待定系数法；②代入法.
小结：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 (或x 2 y 2 Dx Ey F 0)
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）, 端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M 的轨迹方程.
O
轮船
这样，受台风影响的圆区域 所对应的圆心为O 的圆的方程为
港口
x2 y 2 9
轮船航线所在直线 l 的方程为
O
轮船
4 x 7 y 28 0
问题归结为圆心为O 的圆与直线 l 有无公共点．
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点．
2 2
2
标准方程
特别地，若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x y r
2 2
2
圆的标准方程
已知圆的圆心为C(a,b),半径为r,求圆的方程. 解：设点M (x,y)为圆C上任一点， 圆上所有点的集合
y
M(x,y)
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
3.求圆的一般方程的方法： ①待定系数法；②代入法.
小结：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 (或x 2 y 2 Dx Ey F 0)
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）, 端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M 的轨迹方程.
人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程 课件(共16张PPT)
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2
二、内容标准 1.圆与方程 (1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. (2)能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定 两个圆的方程,判断两圆的位置关系. (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. (4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 2.空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 本章的重点是直线的点斜式方程、一般式方程和圆的方程.难点是坐标 法的应用.坐标法是研究解析几何的基本方法,由曲线求方程和由方程研 究曲线是解析几何的基本问题,应注意展现过程,揭示思想方法,强调学 生的感受和体验.在活动中逐步提高认识和加深理解.
直线 AB 的斜率 kAB= 2 5 =-7,……………………………………………………………………4 分 1 0
因此线段 AB 的垂直平分线的方程是 y- 3 = 1 (x- 1 ),…………………………………………6 分 27 2
即 x-7y+10=0.同理可得线段 BC 的垂直平分线的方程是 2x+y+5=0.……………………………8 分
规范解答:法一 设所求圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2.…………………………………………………………4 分 因为 A(0,5),B(1,-2,),C(-3,-4)都在圆上, 所以它们的坐标都满足圆的标准方程,于是有
(0 a)2 (5 b)2 r2,
a 3,
(1
a)2
(2
3.(圆的标准方程)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( D )
(A)(x-1)2+(y-1)2=1 (B)(x+1)2+(y+1)2=1
人教A版高中数学必修二课件4.1圆的方程课件
作业：
P120练习：1，3. P124习题4.1A组：2，3，4.
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
知识探究一：圆的一般方程 思考1:圆的标准方程 (x a)2 ( y b)2 r2 展开可得到一个什么式子?
3.求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标x，y所满足的关系.
作业：
P123练习：1，2，3. P124习题4.1B组：1，2，3.
知识探究一：圆的标准方程
思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线，
在平面几何中，圆是怎样定义的？如何
用集合语言描述以点A为圆心，r为半径
的圆？
rM
P={M||MA|=r}.
A
平面上到一个定点的距离等于定长的 点的轨迹叫做圆.
思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？
思考3:设圆心坐标为A(a，b)，圆半径 为r，M(x，y)为圆上任意一点，根据圆 的定义x，y应满足什么关系？
思考6:以原点为圆心，1为半径的圆 称为单位圆，那么单位圆的方程是什 么？
x2+y2=1
思考7:方程，(x a)2 ( y b)2 r2 ，(x a)2 ( y b)2 r2 (x a)2 ( y b)2 m 是圆方程吗？
思考8:方程与y 4 (x 1)2 y 4 (x 1)2 表示的曲线分别是什么？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方程PPT全文课件
4.1.1 圆的标准方程
y
OA
x
r
一、学习目标：
1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出 圆的标准方程。 2、能准确判断点与圆的位置关系。 3、用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
二、学习重难点：
1、重点：掌握圆的标准方程，能准确判断点与圆的 位置关系。 2、难点：用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
标是方程组 的解
x -14
y
1
0
解得：
x -16 2
y
3
即 O(2,-3)
圆O的半径长：
r OA 2 52 3 12 5
所以，圆心为C的圆的标准方程是：
x 22 y 32 25
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方 程PPT 名师课 件
小结
1.圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心A(a,b),半径r）
例2、ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
待定系数 法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
a2 (510aa)225(1b2b)22br12 r2
aa22 ((72144aaaa14))0a422a498b((1b20b83b21362bb6b1))b02206940rr22rr
2.点与圆的位置关系
3.求三角形外接圆的方法： ①待定系数法 ②几何法
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方 程PPT 名师课 件
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方 程PPT 名师课 件
随堂检测： 1.说出下列圆的方程：
y
OA
x
r
一、学习目标：
1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出 圆的标准方程。 2、能准确判断点与圆的位置关系。 3、用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
二、学习重难点：
1、重点：掌握圆的标准方程，能准确判断点与圆的 位置关系。 2、难点：用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
标是方程组 的解
x -14
y
1
0
解得：
x -16 2
y
3
即 O(2,-3)
圆O的半径长：
r OA 2 52 3 12 5
所以，圆心为C的圆的标准方程是：
x 22 y 32 25
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方 程PPT 名师课 件
小结
1.圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心A(a,b),半径r）
例2、ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
待定系数 法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
a2 (510aa)225(1b2b)22br12 r2
aa22 ((72144aaaa14))0a422a498b((1b20b83b21362bb6b1))b02206940rr22rr
2.点与圆的位置关系
3.求三角形外接圆的方法： ①待定系数法 ②几何法
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方 程PPT 名师课 件
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方 程PPT 名师课 件
随堂检测： 1.说出下列圆的方程：
人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程 课件
径为2的圆的方程.
Y
解: 依题意得所求圆的方程为
2
-2
Y=X
C(2,2)
(x-2)2+(y-2)2=4
C(-2,-2)
02 -2
X
(x+2)2+(y+2)2=4
解：因为圆心在X轴上，设圆心 P（a , 0),
半径 r。所以圆的方程(x-a)2＋y2＝ r2。
{ (5-a)2＋42＝r2
点M，N在圆上所以: (-2-a)2＋32＝r2 ，
所以 a=2, r2 =25
圆的方程为 (x-2)2＋y2＝25
知识形成
1、圆的标准方程为(x－a)2＋(y－ b)2＝r2 圆心为（a,b）半径为r
的切线方程为x0 x y0 y r 2
(2)求圆x2 y2 1, 斜率为1的切线方程 .
解: 设所求切线方程为 y x b.
则|b| 1 2
b 2
y x 2.
(3)求圆x2 y2 1, 在y轴上的斜距为 2的切线方程 .
解:设所求切线方程为 y kx 2.
则 2 1 k2 1
引申：过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的 切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
练习: (1)写出过圆 x2 y2 10上一点M (2, 6)的切线方程 .
解: 所求切线方程为 2x 6 y 10.
过圆x2 y2 r 2上点M (x0 , y0 )
⑶过点M（5，4）和点N（-2，3）且圆心 在x轴上。
⑴已知点A（-2，-3）和点B （6，3），以AB为直径。
解:由题可知 AB的中点P(2,0)即为圆心 ∣AB∣的一半等于半径 所以 r=5, 圆心P(2,0)
高中数学人教A版必修2第四章4.1.1圆的标准方程课件
求曲线方程的步骤:
1、选系； 2、取动点； 3、列方程； 4、化简.
我们知道，在平面直角坐标系中， 两点确定一条直线，一点和倾斜角也能 确定一条直线.
思考？在平面直角坐标系中，如何确
定一个圆呢？
三、圆的定义：
平面内与定点距离等于定长的点
的集合(轨迹)是圆.
定点就是圆心，
y
定长就是半径.
怎样求出圆心是 A(a，b)，半径是r的 圆的方程?
(3)方法：①待定系数法; ②数形结合法.
练习:
6、圆心在直线y=x上，与两轴同时相切， 半径为2.
Y
Y=X
-2 C(-2,-2)
C(2,2)
02
X
-2
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
例4、求以C1，3为圆心，并且和直线
3x 4 y 7 0相切的圆的方程.
课堂小结:
1. 圆的方程的推导步骤：
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别 表示圆心坐标和圆的半径；
3. 求圆的方程的两种方法： (1)定义法； (2)待定系数法:确定a，b，r.
课外作业： P124 习题 A组 1、2、3、4、5、6
练习
1. P.120第1题、P.121第4题；
2. 求下列条件所决定的圆的方程： (1) 圆心为 C(3, －5)，并且与直线
x－7y＋2＝0相切； (2) 过点A(3, 2)，圆心在直线y＝2x上，
且与直线y＝2x＋5相切．
3. 已知：一个圆的直径端点是A(x1, y1)、 B(x2, y2)，证明：圆的方程是 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．
人教A版必修二高一数学4.1圆的标准方程课件理(18张幻灯片)新人教A版必修2
解2:设圆C的方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 ,
∵圆心在直线l:x-y+1=0上
待定系数法
圆经过A(1,1),B(2,-2)
a b 1 0
a 3
(1 a)2 (1 b)2 r2 b 2
(2 a)2 (2 b)2 r2 r 5
y
P={M||MC|=R}
M
R
C(a,b)
O
x
一.圆的标准方程
如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标
(a,b) 表示，半径 r的大小等于圆上任意点M(x, y)与
圆心C (a,b) 的距离． 则 |MC|= R
y
M(x,y)
圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = R }
OC x
(x a)2 (y b)2 R
分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小.圆
心为C 的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，由于圆心C 与A, B 两 点的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线上.又圆心C
在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线 的l '交点，半径长等于
|CA|或|CB|．
讨论：一共有几种方法？
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，
且圆心C在直线 l：x －y +1=0上，求圆心为C的圆的标
准方程．
y A(1,1)
弦AB的垂 直平分线
O
x
D
C
B(2,-2)
l : x y 1 0
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且
∵圆心在直线l:x-y+1=0上
待定系数法
圆经过A(1,1),B(2,-2)
a b 1 0
a 3
(1 a)2 (1 b)2 r2 b 2
(2 a)2 (2 b)2 r2 r 5
y
P={M||MC|=R}
M
R
C(a,b)
O
x
一.圆的标准方程
如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标
(a,b) 表示，半径 r的大小等于圆上任意点M(x, y)与
圆心C (a,b) 的距离． 则 |MC|= R
y
M(x,y)
圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = R }
OC x
(x a)2 (y b)2 R
分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小.圆
心为C 的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，由于圆心C 与A, B 两 点的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线上.又圆心C
在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线 的l '交点，半径长等于
|CA|或|CB|．
讨论：一共有几种方法？
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，
且圆心C在直线 l：x －y +1=0上，求圆心为C的圆的标
准方程．
y A(1,1)
弦AB的垂 直平分线
O
x
D
C
B(2,-2)
l : x y 1 0
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且
高考数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2ppt版本
5.若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准 方程为__x_2＋__(_y_－__1_)_2＝__1__. 解析 由题意知圆C的圆心为(0，1)，半径为1， 所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
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2019/11/13
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(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定： 点M(m，n)在 圆C上 ⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点M(m，n)在 圆C外 ⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2； 点M(m，n)在 圆C内 ⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2. 思考 确定点与圆的位置关系的关键是什么？
自主学习
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2
答案
思考 方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆吗？ 答 不一定.当m＝0时表示点(a，b)，当m≠0时，表示圆.
答案
知识点二 点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与 圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较： 若|CM|＝r，则点M在 圆上； 若|CM|>r，则点M在 圆外； 若|CM|<r，则点M在 圆内.
反思与感悟
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跟踪训练2 若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围 是( A ) A.－1＜a＜1 B.0＜a＜1 C.a＜－1或a＞1 D.－1＜a＜0 解析 直接利用点与圆的位置关系来判断. ∵点(1，1)在圆的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4. 解得－1＜a＜1.
解析答案
题型二 点与圆的位置关系的判断 例2 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的 取值范围. 解 由题意，得点A在圆C上或圆C的外部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2， ∴2a＋5≥0， ∴a 的取值范围是－52，0∪(0，＋∞). 解 由已知，得 C(3，0)，r＝|A2B|＝2，
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2019/11/13
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(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定： 点M(m，n)在 圆C上 ⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点M(m，n)在 圆C外 ⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2； 点M(m，n)在 圆C内 ⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2. 思考 确定点与圆的位置关系的关键是什么？
自主学习
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2
答案
思考 方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆吗？ 答 不一定.当m＝0时表示点(a，b)，当m≠0时，表示圆.
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知识点二 点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与 圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较： 若|CM|＝r，则点M在 圆上； 若|CM|>r，则点M在 圆外； 若|CM|<r，则点M在 圆内.
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跟踪训练2 若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围 是( A ) A.－1＜a＜1 B.0＜a＜1 C.a＜－1或a＞1 D.－1＜a＜0 解析 直接利用点与圆的位置关系来判断. ∵点(1，1)在圆的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4. 解得－1＜a＜1.
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题型二 点与圆的位置关系的判断 例2 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的 取值范围. 解 由题意，得点A在圆C上或圆C的外部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2， ∴2a＋5≥0， ∴a 的取值范围是－52，0∪(0，＋∞). 解 由已知，得 C(3，0)，r＝|A2B|＝2，
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人 教 A 版 高中 数学必 修2第 四章 圆 与 方程 4.1 圆 的 方程 课件( 7)【精 品】
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法三： 几何方法
y
A(5,1)
O
x
E
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
人 教 A 版 高中 数学必 修2第 四章 圆 与 方程 4.1 圆 的 方程 课件( 7)【精 品】
x (2)求x2+y2的最大值与最小值
人 教 A 版 高中 数学必 修2第 四章 圆 与 方程 4.1 圆 的 方程 课件( 7)【精 品】
1.若实数x,y满足等式(x-2) +y =3，那么 y 人教A版高中数学必修2第四章圆与方程4.1圆的方程课件(7)【精品】
22
x
的最大值
2.已知P(2,0),Q(8,0)，点M到点P的距离是它到点Q的距离 的1/5，求M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0 的最小距离
(B)a 1 2
(C)a=
1 2
(D)a 1 2
D
3. 圆x2+y2+8x-10y+F=0 与x轴相切,则这个圆截y
轴所得的弦长是
A
( A)6
( B )5
(C )4
( D)3
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法一：待定系数法 解：设所求圆的方程为：
x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 ( D 2 + E 2 - 4 F 0 )
（1）a= -
D 2
，b= -
E 2
，r= 1 D2+E2-4F
2
（2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0；
没有xy这样的二次项
应用 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是， 请求出圆的圆心及半径。
（2） 4 x2+ 4 y2- 4 x+ 1 2 y+ 1 1= 0
半径：圆心到圆上一点
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例2、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在 圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程，
相关点法
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2
2
4
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所 以不表示任何图形.
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
1.圆的一般方程: x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
2.圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
圆的一般方程与标准方程的关系：
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
M(x,y) OC
复习 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的 标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
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例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法二：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 +12 +5D+ E+ F = 0
D = -4
72 +(-1)2 +7D-E+ F = 0
E
=
6
22 +82 +2D+8E+ F = 0
F = 1 2
所求圆的方程为
x2+y2-4x+6y+12=0待定系数法 即 (x-2)2+(y+3)2=25
(5 - a)2 + (1- b)2 = r2 (7 - a)2 + (-3 - b)2 = r2 (2 - a)2 + (-8 - b)2 = r2
所求圆的方程为
a=2
b
=
-3
r = 5
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(x-2)2+(y+3)2=25
课堂小结 人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程课件(7)【精品】
1.任何一个圆的方程可以写成x2 +y2+Dx+Ey+F=0
（1）的形式，但方程（1）表示的不一定是圆，只
有D2+E2-4F>0时，方程表示圆心
r=1 D2+E2-4F
-
D 2
，-
E 2
为半径为
2
配方
2.一般方程
解：设M（x，y）是曲线上的任意一点,
则点M所属集合为：
y
P= MOM=1 AM 2
M. (x,y)
x2 + y2
即：
(x -3)2 + y2
=1 2
整理化简得： x2+y2+2x-3=0 配方得： (x+1)2+y2=4
.
（-1以所求的曲线是以C（-1，0）为圆心，2为半径的圆（如图）
作业 A组1、6，B组1、2、3
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下课！
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配方可得：
(x+D )2+(y+E)2=D 2+E 2-4F
2
2
4
(1)
当D2+E2-4F>0时,表示以（
-
D 2
,-
E 2
）
为圆心，以( 1 D2+E2-4F ) 为半径的圆.
2
(2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2
y=-E/2，表示一个点（ -
D 2
,-
E 2
）.
(x+D )2+(y+E)2=D 2+E 2-4F
3.已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点 (1)求 y 的最小值
x (2)求x2+y2的最大值与最小值
4.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问：是否存在斜率为1的直线 使l被圆C截得得弦AB为直径的圆过原点，若存在，写出 直线方程
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2.已知P(2,0),Q(8,0)，点M到点P的距离是它到点Q的距离 的1/5，求M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0 的最小距离 3.已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点 (1)求 y 的最小值
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
由于a,b,r均为常数
令 - 2 a = D ,- 2 b = E ,a 2 + b 2 - r 2= F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
探究
是不是任何一个形如 x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
方程表示的曲线是圆呢？
尝试1： 判断下列方程分别表示什么图形
（1）x2+y2-2x+4y-4=0 （2）x2+y2-2x+4y+5=0
方程（1）并不一 定表示圆
（3）x2+y2-2x+4y+6=0
（1）圆 圆心为（1，-2），半径为3 （2）点（1，-2） （3）不表示任何图形
动动脑
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
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例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端
点A在圆(x+1)2+y2 =4上运动,求线段
AB的中点M的轨迹方程.
解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是( x0 , y0 ) .
由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,
（3） x2+y2-2ax-b2=0
练习
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),