一个随机变量是一个函数,它给每一个概

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概率密度和分布函数的区别

概率密度和分布函数的区别概率密度与分布函数是概率统计中的两个重要概念，它们间有着很大的关系，但是也有着明显的不同。

本文将重点就概率密度与分布函数的不同，以及它们的关系、共同之处和影响因素等进行分析阐述，旨在加深人们对概率密度与分布函数之间区别的了解。

概率密度函数与分布函数具有不同的数学定义：概率密度函数指的是概率分布函数的导数，它指的是随机变量在每一个给定点处可能取值的概率密度，它三维坐标定义为f(X,Y,Z)；而分布函数指的是概率分布的总体函数，该函数在每一个给定的点处指定了该分布的总体概率，三维定义为F(X,Y,Z)。

从定义上来看，它们的不同在于概率密度是指对每一个给定点概率的描述，而分布函数则是指给定点外所有点的概率之和，可以认为概率密度函数是分布函数的准确描述。

两者还有各自的特点：概率密度函数恒大于0，并根据概率分布的特点可以有不同的特征，如高斯分布的概率密度形状接近于正态曲线；分布函数是随机变量的累积概率分布函数，通常介于0与1之间，并且其函数值可以大于1。

此外，概率密度函数与分布函数彼此之间也存在着关系：关于概率分布的概率密度，可以通过积分的方式，求出概率分布函数。

也就是：F(x) = ∫[-∞, x] f(x) dx而概率密度函数可以通过微分算法，求出分布函数，即：f(x)= d / dxF(x)基于以上分析，分布函数和概率密度函数之间有着密切的联系，它们的概念是成对的并且可以相互的转换，但是它们有着不同的特点，概率密度函数更侧重于概率分布的准确描述，而分布函数更侧重于概率的累积，是封装好的一项统计量。

此外，还要注意，概率密度函数与分布函数的不同也与随机变量的分布密度有关，比如对于二项分布，其分布函数与概率密度函数形状不同；此外，根据分布类型的不同，概率密度和分布函数也会有所不同。

考虑到特定的随机分布时，应按照它的概率密度函数的形式来表达，毕竟它更加能反映出概率分布的真实状态，更加精确、准确。

概率论与数理统计(浙大版)第二章

二、伯努利（Bernoulli）试验及二项分布 1、伯努利（Bernoulli）试验 (1)n次独立重复试验
将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,则称这n次试验是相互独立的. (2)n重伯努利试验满足下列条件的试验称为伯努利（Bernoulli）试验: ①每次试验都在相同的条件下重复进行；
令X=“正面出现的次数”，则X是一个随着试验结果不同而取值不同的量，其对应关系如下：
基本结果(e) 正面出现的次数X(e)
e1=（正，正）
2
e2=（正，反）
1
e3=（反，正)
1
e4=（反，反）
0
由上可知，对每一个样本点e，都有一个X的取值X(e)
与之对应。我们把X称为定义在这个试验上的随机变量。
P ( X x k ) p k k 1 ,2 ,3 , ( 1 )
称 (1) 式为离散型随机变量X的分布律. 注:离散型随机变量X的分布律可用公式法和表格法描述。
1)公式法: P (X x k ) p k k 1 ,2 ,3 ,
2) 表格法:
X x1 x2 L pk p1 p2 L
例1：将一枚硬币连掷两次，求“正面出现的次数X ”的分布律。
及时维修 ” ，则知 80台中发生故障不能及时维修的概率为：
P A 1 A 2 A 3 A 4 P A 1 P X 2
而 Xb20,0.01,故有：
1
1
PX21PXk1 C 2 k00.01k0.9920k0.0169
k0
k0
即有： P A 1 A 2 A 3 A 4 0 .0 1 6 9
text(x(1),pk(1), num2str(pk(1)),'FontSize',21); text(x(3),pk(3), num2str(pk(3)),'FontSize',21);

随机变量的分布函数定理

随机变量的分布函数定理随机变量在概率论中扮演着非常重要的角色，随机事件的概率常常需要用到随机变量的概念进行描述。

随机变量可以表示为一个实数函数，它能在每个概率事件发生时给出一个实数值。

在随机变量的研究中，分布函数是一个重要概念。

分布函数可以告诉我们一个随机变量在每个实数点的概率大小，从而帮助我们推出随机变量的各种性质。

在本文中，我们将介绍分布函数定理及其应用。

分布函数的定义分布函数是随机变量的最基本概念，它是一个实数函数，通常用F(x)表示。

分布函数F(x)描述的是一个随机变量X小于等于x的概率，即：F(x) = P{X ≤ x}其中，P表示概率。

分布函数具有以下性质：1. F(x)是一个单调不降函数，即如果x1 < x2，则F(x1) ≤ F(x2)；2. F(x)的取值范围是0 ≤ F(x) ≤ 1；3. 当x趋近于负无穷时，F(x)趋近于0；当x趋近于正无穷时，F(x)趋近于1；4. F(x)是右连续函数，即F(x+) = lim┬(t→x⁺)⁡〖F(t)〗。

分布函数定理分布函数定理是概率论中非常重要的一个定理，它的主要作用是帮助我们确定随机变量的分布函数。

分布函数定理是概率论中的一条基本公式，它可以描述一个随机变量的概率分布。

对于任意一个随机变量X，它的分布函数满足如下定理：若X是一个随机变量，则它的分布函数F(x)是一个连续的、右连续的函数，并且有以下两个性质：1. F(x)在每个实数点x处都是可积函数，即∫F(x)dx存在；2. 对于任意实数a < b，有P{a < X ≤ b} = F(b) - F(a)。

这两条性质可以用于计算一个随机变量在某个区间内取值的概率。

分布函数的应用分布函数的应用非常广泛，可以帮助我们推导出各种随机变量的性质。

下面介绍分布函数在离散和连续随机变量中的应用。

1. 离散随机变量中的分布函数对于离散随机变量X，它的分布函数可以表示为：F(x) = P{X ≤ x} = ΣP{X = xi}，其中xi ≤ x这里，P{X = xi}表示X取值为xi的概率，Σ是求和符号。

概率论与数理统计第二章1

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理学院
概率论与数理统计
定义若随机变量的可能取值是有限个可列个, 有限个或定义若随机变量 X 的可能取值是有限个或可列个则称 X 为离散型随机变量
为了研究离散型随机变量的统计规律性，为了研究离散型随机变量的统计规律性，给出分布律的概念是一个离散型随机变量，的所有可能取值为的所有可能取值为x 定义设X=X(ω)是一个离散型随机变量，X的所有可能取值为 1， ω 是一个离散型随机变量 x2，…，xn，…，称X取值为 i时的概率取值为x ，，取值为
上海理工大学
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是随机变量， −∞，，定义设X是随机变量，对于任意实数 ∈(−∞，∞)，称函数是随机变量对于任意实数x∈ −∞ F(x)=P{X≤x } ≤ 为X的分布函数的分布函数有下列性质：分布函数有下列性质： 1、F(x)单调不减，即任意 1<x2，则F(x1) ≤ F(x2)；单调不减，、单调不减即任意x ； 2、F(x)非负且不超过1， 2、F(x)非负，且不超过1，即0≤F(x) ≤1；非负， 1； ≤
P( X = xk ) = pk , k =1 2,⋯ ,
为X的分布律。的分布律。分布律也可以用表格形式表示：分布律也可以用表格形式表示：
X P
x1
p1
x2 ⋯ xk ⋯
p2 ⋯ pk ⋯
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随机变量的基本概念

随机变量的基本概念随机变量是概率论与数理统计中的重要概念，它是对随机试验结果的数值化描述。

在实际问题中，我们常常需要研究某个随机试验的结果与某个数值之间的关系，这时就需要引入随机变量来描述试验结果的数值特征。

一、随机变量的定义随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它的取值是由随机试验的结果决定的。

随机变量可以是离散的，也可以是连续的。

离散随机变量：如果随机变量的取值是有限个或可列无限个，那么它就是离散随机变量。

例如，掷一枚骰子，随机变量X表示出现的点数，X的取值为1、2、3、4、5、6。

连续随机变量：如果随机变量的取值是一个区间上的任意实数，那么它就是连续随机变量。

例如，某地一天的降雨量，随机变量X表示降雨量的大小，X的取值范围是[0, +∞)。

二、随机变量的分布函数随机变量的分布函数是描述随机变量取值概率的函数。

对于离散随机变量，分布函数可以用概率质量函数来表示；对于连续随机变量，分布函数可以用概率密度函数来表示。

离散随机变量的分布函数：设X是一个离散随机变量，其取值为x1、x2、x3、...，对应的概率为p1、p2、p3、...，则X的分布函数F(x)定义为F(x)=P(X≤x)=p1+p2+...+pk，其中k为使得xk≤x的最大整数。

连续随机变量的分布函数：设X是一个连续随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的分布函数F(x)定义为F(x)=∫f(t)dt，其中积分区间为(-∞, x)。

三、随机变量的概率密度函数和概率质量函数概率密度函数和概率质量函数是描述随机变量取值概率的函数。

离散随机变量的概率质量函数：设X是一个离散随机变量，其取值为x1、x2、x3、...，对应的概率为p1、p2、p3、...，则X的概率质量函数p(x)定义为p(x)=P(X=x)，其中x为X的取值。

连续随机变量的概率密度函数：设X是一个连续随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的概率密度函数f(x)满足以下两个条件：1. f(x)≥0，对于任意的x∈(-∞, +∞)；2. ∫f(x)dx=1，其中积分区间为(-∞, +∞)。

概率论与数理统计第二章补充题及答案

《概率论与数理统计》第二单元补充题一、填空题：1、函数()f x 为连续型随机变量X 的概率密度函数的充要条件是12），）2、随机变量X 的分布律为5110321210PX ，则2X 的分布律为__________,2X +1的分布律为__________3、设离散型随机变量X 的分布律为Λ,2,1,21}{===k k X P k，则随机变量X Y 2sin π=的分布律为4、设离散型随机变量X 的分布律为 k =1,2, 3,…，则c= .5、设随机变量X 的概率密度函数为，则P (0<X <3π/4)= .6、随机变量)31,10(~b X ，则{}0P X ==，{}1P X ≥=7、随机变量X 的分布律为{}1,2,3,4,5)5a P X k k ===，（，则a =，(2.5)F =8、随机变量X 服从(0,)b 上的均匀分布，且{}1133P X <<=，则b =9、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则{}1P X ==，{}1P X ≤=二、选择题：1、下列命题正确的是。

（ A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数（ B ）连续型随机变量的密度函数()0()1f x f x ≤≤满足（ C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数（ D ）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数2、设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，则为使12()()()F x aF x bF x =-是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是________（ A ） 32,55a b ==- （ B ） 22,33a b ==- ( C ） 13,22a b =-= （ D ） 13,22a b =-=-三、计算题1、已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为cc c c 167,85,43,21, 确定常数c 并计算P{ξ<1|ξ≠0}.2、已知ξ~⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x ϕ, 求P{ξ≤0.5}; P(ξ=0.5);F(x).3、设连续型随机变量ξ的分布函数为:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x Axx x F 求：（1）、系数A; （2）、P (0.3<ξ<0.7); （3）、概率密度φ(x ).4、设随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=其他0102)(x x x f 用Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≥X 出现的次数，求（1）P {Y =2}；（2）P {Y ≥1}.5、已知离散型随机变量X 的概率分布为Λ,2,1,32}{===n n X P n，求随机变量X Y )1(1-+=的分布律和分布函数.6、（1）、已知随机变量X 的概率密度函数为1(),2xX f x e x -=-∞<<+∞，求X 的分布函数。

2.1随机变量的概念及离散型随机变量

当 k 从 0 增加时,概率 P( X k ) 经历了一个从小到大, 又从大变小的过程,事件“ X 5 ”发生的概率最大, 我们称之为最可能事件,“5 次”为最可能次数.
一般地,若 X~ b(n, p) ,则当 (n 1) p 是整数时,X 有两个最可能次数 (n 1) p 及 (n 1) p -1; 当 (n 1) p 不是整数时 , 最可能次数为 (n 1) p (即 (n 1) p 的整数部分).
1 p
例1:在初三的一个班中,有1/4的学生成绩优秀. 如果从班中随机地找出5名学生.设X：这5名学生中成绩优秀的人数” ，求X的分布律.
解： X的所有可能取值为0,1，…，5，且X~b(5,1/4).
k P( X k ) C5 0.25k (1 0.25)5k , k 0,1,2,...,5.
该分布律也可以简单地用表格表示为：
X P
0 0.01
1 0.18
2 0.81
例 3: 设随机变量 X 具有分布律
.
P( X k ) ak, k 1,2,3,4,5
（1）确定常数 a ,
（2）计算
P(
1 5 X ), P(1 X 2) 6).
由上面的例子可知，有了随机变量，至少使随机事件的表示在形式上简洁得多了 . 这只是一个方面，我们在以后的讨论中，会看到引入“随机变量”这一概念还有更为深远的意义.
二、随机变量的概念
在例 1 中，对每一个试验结果，“自然地”对应着一个实数，而在例 2 中，这种对应关系是人为地建立起来的。由此可见，无论是哪一种情形，所谓随机变量，不过是试验结果（即样本点）和实数之间的一个对应关系，这与我们熟知的“函数”概念在本质上一回事. 定义：设随机试验的样本空间为 S ，称定义在样本空间S上的实值单值函数X=X(w)为随机变量.

连续型分布函数

连续型分布函数连续型分布函数是概率论和数理统计中的一个重要概念，它描述了一个随机变量取某个值以下的概率。

在实际问题中，我们经常需要对连续型随机变量进行概率分析和统计推断。

本文将介绍连续型分布函数的定义、性质和常见的几种连续型分布函数。

一、连续型分布函数的定义连续型分布函数是指一个随机变量的取值范围是实数集，并且每一个实数都对应一个概率。

它可以表示为F(x)，表示随机变量取值小于等于x的概率，即P(X≤x)。

1. F(x)是一个非递减的函数，即对于任意的a≤b，有F(a)≤F(b)；2. F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤1；3. 当x趋于负无穷时，F(x)趋于0；当x趋于正无穷时，F(x)趋于1；4. F(x)是右连续的，即对于任意的x，有F(x+)=F(x)；5. F(x)的变化是分段的，即在每个区间上是一个线性函数。

三、常见的连续型分布函数1. 均匀分布函数（Uniform Distribution Function）均匀分布函数是指随机变量在一定区间上的取值是等可能的，即每个取值的概率相等。

它的分布函数为：F(x) = (x-a)/(b-a)，其中a为区间下限，b为区间上限。

2. 正态分布函数（Normal Distribution Function）正态分布函数是指随机变量满足正态分布的情况，也称为高斯分布。

它的分布函数没有解析表达式，通常用标准正态分布函数进行近似计算。

3. 指数分布函数（Exponential Distribution Function）指数分布函数是指随机变量满足指数分布的情况，它描述了事件发生的时间间隔。

它的分布函数为：F(x) = 1 - e^(-λx)，其中λ为事件发生的速率参数。

4. 伽玛分布函数（Gamma Distribution Function）伽玛分布函数是指随机变量满足伽玛分布的情况，它常用于描述等待时间或寿命分布。

它的分布函数没有解析表达式，通常使用伽玛函数进行计算。

随机变量的分布函数、连续型

02
偏度是描述数据分布不对称性的量，即三阶中心矩与三阶原点矩的比值。偏度大于0表示分布右偏，偏度小于0表示分布左偏。
03
峰度是描述数据分布形态陡峭或扁平程度的量，即四阶中心矩与四阶原点矩的比值。峰度大于3表示分布比正态分布更陡峭，峰度小于3表示分布比正态分布更扁平。
PART 04
连续型随机变量的应用
用。
PART 03
连续型随机变量的性质
REPORTING
WENKU DESIGN
概率密度函数（PDF）
概率密度函数（PDF）描述了随机变量取值在某个区间的概率，即密度函数值与该区间长度之积等于该区间内事件发生的概率。
PDF具有非负性，即对于所有实数x， PDF(x)≥0。
整个实数轴上的概率总和为1，即 ∫∞−∞f(x)dx=1，其中f(x)是随机变量的概率密度函数。
在模拟连续型随机变量时，蒙特卡洛方法通过产生大量随机样本，并计算其统计量，来估计随机变量的分
布函数和概率密度函数。
蒙特卡洛方法的优点是简单易行，适用于各种类型的分布函数，但缺点是精度取决于样本数量，样本数量
越多，精度越高。
逆变换采样法
逆变换采样法是一种基于概率分布的反向抽样方法，即先从均匀分布的随机数中抽取样本，再通过概率分布的反函数变换得到所需的随机变量。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
正态分布的实际应用案例
金融领域
正态分布被广泛用于描述金融数据的分布，如股票价格、收益率等。
自然现象
许多自然现象的分布呈现正态分布特征，如人类的身高、智商等。
统计学
在统计学中，正态分布是最常用的分布之一，用于描述数据的集中趋势和离散程度。

随机变量及其分布复习课件.ppt

有
F(x) x f(t)dt，
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。
（II）概率密度的性质
( 1 ) 非负性： f( x ) 0 ， x R .
(2)规范性：f(x)dx1. 4
( 3 )对于任意实数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之：
17
（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2，求x .
利用或
然后反查标准正态分布表，即可求出x （2）区间关于μ对称，不妨设为(μ−a,μ+a)，而 P(μ−a<X<μ+a) = p，求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的离散型分布
均指正匀数态分分分布布布
二项分布的正态近似
二项分布的泊松近似
二项分布
泊几
松何
分分布布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击每人的命中率依次为03 04 06 设每人射击一次试求3人命中总数之概率分布律分析求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次，求(1)恰好得到一个6点的概率；(2)至少得到一个6点的概率；(3)为了以0.5的概率保证至少得到一个6点，则至少要投掷几次？
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.

概率论与数理统计01 第一节随机变量及其分布函数

第二章随机变量及其概率分布在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量. 由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量. 与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性. 本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布.第一节一维随机变量及其分布函数内容分布图示★随机变量概念的引入★随机变量的定义★例1★例2★例3★引入随机变量的意义★课堂练习★习题2-1内容要点:一、随机变量概念的引入为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示.2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之.二、随机变量的定义定义设随机试验的样本空间为S, 称定义在样本空间S上的实值单值函数)XX(e 为随机变量.随机变量与高等数学中函数的比较:(1) 它们都是实值函数,但前者在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值;(2) 因试验结果的出现具有一定的概率,故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.三、引入随机变量的意义随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数学中常量与变量的关系.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.随机变量因其取值方式不同, 通常分为离散型和非离散型两类. 而非非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量. 今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.例题选讲：例1 (讲义例1) 在抛掷一枚硬币进行打赌时, 若规定出现正面时抛掷者赢1元钱, 出现反面时输1元钱, 则其样本空间为=S {正面, 反面},记赢钱数为随机变量X , 则X 作为样本空间S 的实值函数定义为⎩⎨⎧=-==.,1,,1)(反面正面ϖϖϖX 例2 (讲义例2) 在将一枚硬币抛掷三次, 观察正面H 、反面T 出现情况的试验中, 其样本空间};,,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH S =记每次试验出现正面H 的总次数为随机变量X , 则X 作为样本空间S 上的函数定义为1112223X TTTTTH THT HTT THH HTH HHT HHH ϖ易见, 使X 取值为})2({2=X 的样本点构成的子集为},,,{THH HTH HHT A = 故 ,8/3)(}2{===A P X P 类似地，有.8/4},,,{}1{==≤TTT TTH THT HTT P X P例3 (讲义例3) 在测试灯泡寿命的试验中, 每一个灯泡的实际使用寿命可能是),0[+∞中任何一个实数, 若用X 表示灯泡的寿命（小时），则X 是定义在样本空间}0|{≥=t t S 上的函数，即t t X X ==)(，是随机变量.课堂练习1. 一报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.四. 随机变量的分布函数定义设X 是一个随机变量, 称)()()(+∞<<-∞≤=x x X P x F 为X 的分布函数.有时记作)(~x F X 或)(x F X .分布函数的性质1. 单调非减. 若21x x <, 则)()(21x F x F ≤；2. ;1)(lim )(,0)(lim )(==+∞==-∞+∞→-∞→x F F x F F x x3. 右连续性. 即).()(lim 00x F x F x x =+→例4 判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=.2/1,1,2/10,2/1,0,0)()3(;,1,0,sin ,0,0)()2(;0,1,02,2/1,2,0)()1(x x x x x F x x x x x F x x x x F ππ解 (1)由题设, )(x F 在),(+∞-∞上单调不减, 右连续, 并有,0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ,1)(lim )(==+∞+∞→x F F x所以)(x F 是某一随机变量X 的分布函数.(2)因)(x F 在),2/(ππ上单调下降, 所以)(x F 不可能是分布函数. (3)因为)(x F 在),(+∞-∞上单调不减, 右连续, 且有 ,0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ,1)(lim )(==+∞+∞→x F F x所以)(x F 是某一随机变量X 的分布函数.离散型随机变量的分布函数例5（讲义例2）设随机变量X 的分布律为 ,2/16/13/121i p X求)(x F .解 }{)(x X P x F ≤=当0<x 时，,}{∅=≤x X 故0)(=x F 当10<≤x 时，31}0{}{)(===≤=X P x X P x F 当21<≤x 时, 216131}1{}0{)(=+==+==X P X P x F 当2≥x 时，1}2{}1{}0{)(==+=+==X P X P X P x F 故 ,2,121,2/110,3/10,0)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=x x x x x F )(x F 的图形是阶梯状的图形, 在2,1,0=x 处有跳跃, 其跃度分别等于},0{=X P },1{=X P }.2{=X P例6 X 具有离散均匀分布, 即,,,2,1,/1)(n i n x X P i ===求X 的分布函数.解将X 所取的n 个值按从小到大的顺序排列为)()2()1(n x x x ≤≤≤则)1(x x <时，,0}{)(=≤=x X P x F )2()1(x x x <≤时，,/1}{)(n x X P x F =≤= )3()2(x x x <≤时，,/2}{)(n x X P x F =≤=……)1()(+<≤k k x x x 时，,/}{)(n k x X P x F =≤=)(n x x ≥时，1}{)(=≤=x X P x F故 )(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=≥<),,max(,1),,2,1(),,min(,/),,min(,0111n j n n x x x x k n j x x x x n k x x x 当个不大于中恰好有且当当例7（讲义例3）设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.3,1,32,19/15,21,19/9,1,0)(x x x x x F求X 的概率分布.解由于)(x F 是一个阶梯型函数, 故知X 是一个离散型随机变量, )(x F 的跳跃点分别为1, 2, 3, 对应的跳跃高度分别为 9/19, 6/19, 4/19, 如图.故X 的概率分布为 .19/419/619/9321i p X课堂练习设随机变量X 的概率分布为4/12/14/1321i p X -,求X 的的分布函数，并求{},2/1≤X P {},2/52/3≤<X P {}.32≤≤X P。

概率论主要内容概括1-3

21
概率密度函数的两个性质

连续型的概率非负性和概率完备性表现为（1）非负性：f(x) 0，(- <x< +)；
＝（2）归一性： f ( x)dx 1.

f(x)

f ( x )dx 1
0
x
22
分布函数F(x)性质F(x)=P(Xx), -<x<
(1) 0 F ( x) 1, 对一切x R成立 (2) F ( x)是x的不减函数, 即任给x1 , x2 R, x2 x1有 F ( x2 ) F ( x1 ) (3) F () lim F ( x) 0
通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人们更关心的是用一些数字来表示随机变量的特点, 这些与随机变量有关的数字, 就是随机变量的数字特征. 最常用的数字特征为数学期望, 方差等。
26
期望
EX xk pk
k 1 n

EX

xf ( x)dx
(1)E(c)=c; (2)E(aX)=aE(X); (3)E(X+b)=EX+b;
有利于A的基本事件数 m P( A) 试验的基本事件总数 n
7
概率公理化定义

注意到概率古典定义和频率定义都具有非负性、正则性、可加性。 1933年,前苏联数学家柯尔莫哥洛夫通过规定概率应具备的基本性质给出一般性的公理化定义。定义:设试验E的样本空间为Ω,对于试验E 的每一个事件A ,即对于样本空间Ω的每一个子集A, 都赋予一个实数P(A),若P(A)满足下面3条公理：公理1:对任何事件A,有P(A)≥0。 (非负性) 公理2:对于必然事件Ω, P(Ω)= 1。(正则性) 公理3:对于任意可列个互斥事件A1,A2,…,An, …, 满足P(ΣAi)= ΣP(Ai)。(可列可加性) 则称实数P(A)为事件A的概率。

一维随机变量函数的分布

例1 设随机变量 X 的分布律如下表所示
X -1 0 1 2
pk 0.1 0.4 0.2 0.3
求随机变量 Y ( X 1)2 的分布律。
二、一维连续型随机变量函数的分布
设随机变量 X 的概率密度为 fX (x)，则 X
的函数 Y g(X ) 的分布函数为：
FY y P{Y y} P{g(X ) y} fX (x)dx g(x) y
fY ( y) .
例4 设随机变量 X ~ N (, 2) ，试证明 X
的线性函数 Y aX b(a 0) 也服从正态分布.
例5 设随机变量 X 的分布函数 F(x) 严格单调连续， (1) 求随机变量 Y F X 的概率密度；
(2) 求随机变量 Z 2ln F(X ) 的概率密度.
1 1
x0 x0
概率论与数理统计
例6 若函数 g(x) 在区间 (x0, x1] 内取常量，即
g(x) yi
x (x0, x1]
试用随机变量X的分布函数 FX (x) 和 g(x) 表示事件
{Y yi} 的概率.
例7 若随机变量 X ~ Exp(0.5)，求随机变量
.
Y g(X ) 的分布函数 FY ( y) ，其中
g(x)
h( y) 是函数 g(x) 的反函数.
注1：若 X 的概率密度 fX (x) 在有限区间 a,b
以外等于零，则只需假设在 a,b 上有 g(x) 0（或
g(x) 0）此时 min g(a), g(b), maxg(a), g(b)
注2：如果函数 y g(x) 非单调变化，则先将 y g(x) 的单调区间求出，在每个单调区间上都使用这个公式，然后再将各单调区间的结果相加可得 fY ( y) 。

随机变量的函数

随机变量的函数一、概述随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，它是指在一次试验中可能取到的不同值，而这些不同值对应的概率可以用一个分布函数来描述。

随机变量的函数则是指将一个或多个随机变量作为输入，并返回一个或多个实数输出的函数。

在实际问题中，随机变量的函数经常被用于描述某些事件的发生概率。

二、离散型随机变量的函数对于离散型随机变量X，其取值为有限个或可数个，其概率分布可以用一个概率质量函数p(x)表示。

对于任意给定的函数f(x)，我们可以定义另一个离散型随机变量Y=f(X)，即将X作为输入传入f(x)，并获得相应输出Y。

1. 期望期望是衡量一个离散型随机变量平均值的指标，它可以用以下公式表示：E(X) = ∑xp(x)其中∑表示对所有可能取到的x求和。

同样地，我们也可以定义f(x)关于X的期望：E(f(X)) = ∑f(x)p(x)2. 方差方差是衡量一个离散型随机变量偏离其期望值程度的指标，它可以用以下公式表示：Var(X) = E((X-E(X))^2) = ∑(x-E(X))^2p(x)同样地，我们也可以定义f(x)关于X的方差：Var(f(X)) = E((f(X)-E(f(X)))^2) = ∑(f(x)-E(f(X)))^2p(x)3. 概率分布函数概率分布函数是衡量一个离散型随机变量在某个取值范围内取到的概率的指标，它可以用以下公式表示：F(x) = P(X≤x) = ∑p(i), i≤x同样地，我们也可以定义f(x)关于X的概率分布函数：F(y) = P(Y≤y) = P(f(X)≤y) = ∑p(i), f(i)≤y三、连续型随机变量的函数对于连续型随机变量X，其取值为实数集合，其概率分布可以用一个概率密度函数f(x)表示。

对于任意给定的函数g(x)，我们可以定义另一个连续型随机变量Y=g(X)，即将X作为输入传入g(x)，并获得相应输出Y。

1. 期望期望是衡量一个连续型随机变量平均值的指标，它可以用以下公式表示：E(X) = ∫xf(x)dx其中∫表示对所有可能取到的x求积分。

§8.1 随机变量概念一、什么是随机变量如果我们引入一个变.

[讲解习题] P.279 练习8.3 1，3 1. 判断以下函数 f(x) 在各自指定的区间上（f(x)在指定的区间外取值为0）是不是某随机变量的密度函数?
解：⑴0 ⑵
3
4 2 8 2 3 dx |0 1 2 3 3( x 1) 9( x 1) 3
5 3 3 3 x (10x x 2 )dx (5 x 2 ) |5 01 250 250 3
⑵ P(-4＜X≤1/2)= ⑶ P(1/4＜X＜1)=
2(1 x)dx 0.75 2(1 x)dx 0.5625
0
1/ 2
1
1/ 4
三、常见的连续型随机变量 1.均匀分布若随机变量X的概率密度函数为
f(x)＝
1 , ba 0, a xb
则称随机变量 X 服从区间 (a,b) 上的均匀分布，记作X～U(a,b)。例如， P.269 例 5 中乘客等车的时间 Y 就服从于 (0,5) 上的均匀分布。它表明乘客在 (0,5)这个时间段内的任一时刻等到车的可能性相同。
2x x4 1 1 ( ) |0 3 2 6
3
0
§8.5 方差一、方差的定义 1. 如果 X 是离散型随机变量，其概率分布为P(X=xk)＝pk，数学期望为E(X)，则 Σ [xk-E(X)]2·pk 称为离散型随机变量X的方差，记作D(X)。 2. 如果 X 是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，数学期望为E(X)， 2 则 [ x E( X )] f ( x)dx 称为连续型机变量X 的方差，记作D(X)。
由此，我们给出随机变量的数学期望的定义： [定义8.3] 如果随机变量 X 的频率分布为 P(X=xk) ＝ pk (k＝1,2,…)，则称和数Σ xkpk＝x1p1＋x2p2＋… ＋xkpk＋…为随机变量X的数学期望，记作E(X)，即E(X)＝Σ xkpk

随机变量分布函数的条件

随机变量分布函数的条件
随机变量分布函数是统计学中一项重要的概念，它描述了一类随机变量的可能结果以及在每一个结果上发生的概率。

随机变量分布函数具有独特的性质，如果将它们作为一个参考，可以帮助我们进行更好地决策。

要满足随机变量分布函数的条件，首先，根据定性特征进行分类，将随机变量分为离散型和连续型，离散型由有限或无限多个值组成，连续型由一切实值组成，其次，根据实证特征，对随机变量进行概率密度判断，最后，概率直方图可以清楚地描述出不同的分布形态。

随机变量分布函数的内在含义是，它来定义某类随机变量在特定状态和取值范围内的极限分布，以确定它们在特定情况下的典型行为模式，从而给出有利的行为建议。

据此，可以编写某项解决方案，对企业中某项不确定事件进行风险应对，坚持按照规则行事，以便提高企业绩效。

同时，也可以使用随机变量分布函数以识别和预计可能的结果，从而正确应对企业面临的各种挑战，促使企业的均衡发展。

z=xy的概率密度

z=xy的概率密度
概率密度函数（PDF）是一种表示一个随机变量的概率分布的函数。

它描述了每一个可能的取值的概率。

当考虑x和y的关系时，可以考虑x和y的联合概率密度函数（joint PDF），它表示x和y同时取特定值的概率。

设x和y是两个连续随机变量，联合概率密度函数可以表示为f(x,y)，其中f(x,y)>0，且为任意x和y的有限区域积分为1。

当x和y之间存在一个确定的关系时，可以考虑x和y的条件概率密度函数（conditional PDF）。

例如，当x和y之间存在一个确定的关系z=xy时，可以考虑x的条件概率密度函数f(x|z)，它描述了在给定z的情况下x的概率分布。

假设x和y的联合概率密度函数为f(x,y)，则x的条件概率密度函数可以表示为：
f(x|z)=\frac{f(x,y)}{\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx}
其中z=xy。

由于z=xy，因此可以将y表示为y=\frac{z}{x}，并将上式中的f(x,y)表示为
f(x,\frac{z}{x})。

因此，x的条件概率密度函数可以表示为：
f(x|z)=\frac{f(x,\frac{z}{x})}{\int_{-\infty}^{\infty}f(x,\frac{z}{x})dx}
由于x和y的联合概率密度函数f(x,y)是已知的，因此可以计算出x的条件概率密度函数f(x|z)。

综上所述，当x和y之间存在一个确定的关系z=xy时，可以考虑x的条件概率密度函数f(x|z)，它描述了在给定z的情况下x的概率分布。