函数的定义域和值域

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1 函数的定义域和值域

要点梳理

1.常见基本初等函数的定义域

(1)函数y =a x (a >0且a ≠1)、y =sin x 、y =cos x 的定义域是R

(2) y =log a x 的定义域是{x |x >0}或(0,+∞),y =tan x 的定义域是{x |x ≠kπ+π2

,k ∈Z }. 求定义域方法:①分式中的分母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③y =x 0要求x ≠0;④对数式中的真数大于0,底数大于0且不等于1.

2.基本初等函数的值域

(1)y =kx +b (k ≠0)的值域是R .(2)y =ax 2+bx +c (a ≠0)的值域是:当a >0时,值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥4ac -b 24a ;当a <0时,值域为⎩

⎨⎧⎭⎬⎫yy ≤4ac -b 24a .(3)y =k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}.(4)y =a x (a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}.(5)y =log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .(6)y =sin x ,y =cos x 的值域是[-1,1].(7)y =tan x 的值域是R .

求值域方法:(1)观察法:一些简单函数,通过观察法求值域.(2)配方法:“二次函数类”用配方法求值域.(3)换元法:形如y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数,且a ≠0)的函数常用换元法求值域,形如y =ax +a -bx 2的函数用三角函数代换求值域.(4)分离常

数法:形如y =cx +d ax +b

(a ≠0)的函数可用此法求值域.(5)单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.(6)数形结合法,(7)导数法,(8)利用基本不等式

典型例题

求函数的定义域

例1、函数f (x )=1-2x +1x +3

的定义域为________. 例2、函数f (x )=x 2

2-x

-lg(x -1)的定义域是________. 例3、函数f (x )=2x +12x 2-x -1

的定义域是________. 求函数的值域

例4、求下列函数的值域.

(1)y =x 2+2x (x ∈[0,3]); (2)y =1-x 21+x 2; (3)y =x +4x

(x <0);

(4)f (x )=x -1-2x (5)y =log 3x +log x 3-1(x >1).

例5、若函数f (x )= 2x 2+2ax -a -1的定义域为R ,则a 的取值范围

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