线性相关分析

二、秩相关（等级相关）
秩相关的适用条件及基本概念 秩相关系数 秩相关系数的显著性检验 进行秩相关分析的注意事项
1、秩相关的适用条件及基本概念
适用条件: 资料不服从双变量正态分布 总体分布型未知，一端或两端是不确定数值
秩相关是分析X与Y两变量等级间是否相关的
（如＜10岁，≥65岁）的资料； 原始数据用等级表示的资料
样误差的问题，故要推断总体中两变量间有 无线性相关关系，须做假设检验
数，k为有相同秩次的组数
TX = ∑ ( t i3 − t i ) / 12 ，ti 为第 i 组相同秩次的个
常用的方法有两种： 1.n≤50,直接查附表14，得到P值 2.
n>50用假设检验法，计算检验统计量，公 式为
1.将X、Y分别从小到大编秩，若观察值相
同，则取平均秩次。 2.差数d 3.算d2 4.带入公式计算
rs = 1 − n( n − 1)
2
6∑ d 2
= 1−
6 × 12.5 = 0.85 8(82 − 1)
秩相关系数为负，说明两变量间有负相关关系， 同样由样本算得的秩相关系数是否有统计学意 义，也应做检验
本章内容：
相关分析
南方医科大学生物统计学系
线性相关 秩相关
一、线性相关
线性相关的基本概念 线性相关系数 相关系数的显著性检验 进行线性相关分析的注意事项
1、线性相关的基本概念
线性相关(linear
correlation)又称简单相关 (simple correlation)，用于双变量正态分布 (bivariate normal distribution)资料。
6∑ d 2
患病率与饮用水中氟含量(mg/l)之间的关 系。随机观察8个地区氟骨症患病率与饮 用水中氟含量，试计算等级相关系数rs
式中，n表示样本量，d 表示X、Y秩次之差
表2 不同地区饮水中氟含量与氟骨症患病率 地区 水氟量X 秩次p 患病率Y (1) (2) (3) (5) 1 0.48 1 22.37 2 0.64 2 23.31 3 1.00 3 25.32 4 1.47 4 22.29 5 1.60 5 35.00 6 2.86 6 35.00 7 3.21 7 46.07 8 4.71 8 48.31 合计 — 36 — 秩次q (6) 2 3 4 1 5.5 5.5 7 8 78 d (7) -1 -1 -1 3 -0.5 -0.5 0 0 0 d2 (8)=(3).(6) 1 1 1 9 0.25 0.25 0 0 12.5
目的：研究
两个变量X,Y数量上的依存（或 相关） 关系。
特点：统计关系
为直观地判断两个变量之间的关系，可在直
角坐标系中把每对(Xi,Yi)值所代表的点绘出 来，形成散点图，如12名男青年身高与前臂 长资料绘制的散点图如下：
若一个变量X由小到大，另一个变量Y相应的
由小到大或由大到小，则两个变量的散点图 呈直线趋势，称这种现象为共变，这两个变 量之间有“相关关系” 男青年身高与前臂长散点呈直线趋势，即男 青年身材高，前臂亦长，说明男青年身高与 前臂长之间存在线性相关关系，称为直线相 关
线性相关的性质可由散点图直观说明。散点
图中的点的分布即线性相关的性质和相关之 间的密切程度，可分为以下几种情况： 1、正相关 2、负相关 3、无相关
2、线性相关系数
在分析两个变量X,Y之间关系时，常常要了解
X,Y之间有无相关关系，相关是否密切，是呈 现正相关还是负相关。 相关系数（correlation coefficient）又称 Pearson积差相关系数，就是说明具有直线关 系的两个变量间相关密切程度和相关方向的 统计量
样本相关系数的计算公式为
r=பைடு நூலகம்
∑ ( X − X )(Y − Y ) ∑ ( X − X ) ∑ (Y − Y )
2
计算相关系数的方法
2
=
l XY l XX lYY
∑ ( X − X ) =∑ X
2
2
−
( ∑ X )2 n
样本相关系数r没有测量单位，其特点为 ¾ -1≤ r ≤1 ¾ r>0为正相关,r<0为负相关 r 越接 ¾ r 越接近于1,说明相关性越好， 近于0,说明相关性越差.
3、相关系数的显著性检验
与前面讲的其它统计量一样，根据样本资料
解：
r=
∑(X − X) ∑(Y −Y)
2
∑(X − X)(Y −Y)
2
= 0.8012
计算出来的相关系数同样存在抽样误差。即 假设在一个X与Y无关的总体中做随机抽样， 由于抽样误差的影响，所得的样本相关系数 也常常不等于0. 因此要判断两个变量X与Y是否真的存在相关 关系，仍需根据做总体相关系数ρ是否为0的 假设检验
一种非参数方法 常用的秩相关方法是Spearman秩相关 与线性相关系数r一样，秩相关系数rs的数值 亦在-1至+1之间，数值为正表示正相关，数 值为负表示负相关
2、秩相关系数的计算
Spearman秩相关系数rs可由公式计算 例3：某医生做研究，了解人群中氟骨症
rs = 1 −
n( n2 − 1)
常用的方法有两种： 1.按自由度直接查附表13，得到P值 2.用假设检验法，计算检验统计量，公式为
tr =
sr =
r−0 , sr
1− r2 n−2
ν = n−2
例2：根据所得的r值检验男青年身高与前臂长之间 是否存在相关关系？ 方法一： ¾ 检验假设 H0：ρ=0，即身高与前臂长之间不存在相关关系 H1：ρ≠0，即身高与前臂长之间存在相关关系 α=0.05 ¾ 计算统计量 n=11，r=0.8012，ν=11-2=9 ¾ 结论：查附表13，得r>0.602,故按α=0.05的检验 水准拒绝H0 ，接受H1 ，认为男青年身高与前臂 长之间存在显著地正相关关系

例2：根据所得的r值检验男青年身高与前臂长之间 是否存在相关关系？ 方法二： ¾ 检验假设 H0：ρ=0，即身高与前臂长之间不存在相关关系 H1：ρ≠0，即身高与前臂长之间存在相关关系 α=0.05 ¾ 计算统计量 t=4.017，ν=11-2=9 ¾ 结论：查附表2，得t>2.262,故按α=0.05的检验水 准拒绝H0 ，接受H1 ，认为男青年身高与前臂长 之间存在显著地正相关关系. 结果与查r界值表一致
若资料中相同观察值的例数较多时，计算
3、秩相关系数的显著性检验
rs是由样本资料计算出得相关系数，亦存在抽
的结果偏差较大可由下面公式校正
rs' = ( n 3 − n) / 6 − (TX + TY ) − ∑ d 2 ( n 3 − n) / 6 − 2TX ( n 3 − n) / 6 − 2TY

tr =
sr =
r−0 , sr
1− r2 n−2
ν = n−2
例4：根据所得的rs 值检验饮水中氟含量与氟骨症患 病率之间是否存在相关关系？ 样本量较小，采用查表法 ¾ 检验假设 H0：ρ=0，即氟含量与氟骨症患病率之间不存在相 关关系 H1：ρ≠0，即氟含量与氟骨症患病率之间存在相关 关系 α=0.05 ¾ 查表 n=8，界值为0.738 ¾ 结论：得rs >0.738,故按α=0.05的检验水准拒绝H0 ， 接受H1 ，认为饮水中氟含量与氟骨症患病率之间存 在显著地正相关关系
依据公式计算出的相关系数仅是样本相关系
数，是总体相关系数的估计值，与总体相关 系数之间存在着抽样误差，要判断两个事物 之间有无相关及相关密切程度，必须做假设 检验 相关分析是用相关系数来描述两个变量间相 互关系的密切程度和方向，而两个事物之间 的关系既可能是依存因果关系，也可能仅是 相互伴随的数量关系。不可因为两事物间的 相关系数有统计学意义，就认为两者之间存 在着因果关系，要证明事物间确实存在因果 关系，必须凭借专业知识加以阐明
∑ (Y − Y )2 =∑ Y 2 −
( ∑ Y )2 n
( ∑ X )( ∑ Y ) n
∑ ( X − X )(Y − Y )=∑ XY −

例1：从男青年中随机抽取11名组成样本，分别测量 每个人的身高和前臂长(单位：cm)，试计算身高与 前臂长之间的相关系数
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 合计 身高X 170 173 160 155 173 188 178 183 180 165 166 1891 前臂长Y 47 42 44 41 47 50 47 46 49 43 44 500

4、进行线性相关分析的注意事项
线性相关表示两个变量之间的相互关系是双
向的，分析两个变量之间到底有无相关关系 可首先绘制散点图，散点图呈现出直线趋势 时，再做分析 相关系数的计算只适用于两个变量都服从正 态分布的情形，如果资料不服从正态分布， 应先通过变量变换使之正态化，再根据变换 值计算相关系数