云南省中考数学试题研究题型一多解题练习

云南省中考数学试题研究题型一多解题练习

1．在平面直角坐标系中，O 是原点，点A 是x 轴上一点，将射线OA 绕点O 旋转，使点A 与双曲线y ＝

3

x

上的点B 重合，若点B 的纵坐标为1，则点A 的坐标为________.

(2，0)或(－2，0) 【解析】如解图，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，∵点A 与双曲线y ＝

3

x

上

的点B 重合，点B 的纵坐标是1，∴点B 的横坐标是3，∴OC ＝3，BC ＝1，∴OB ＝BC 2

＋OC

2

＝12

＋（3）2

＝2，∵点A 可能在x 轴的正半轴上，也可能在负半轴上，∴点A 的坐标为(2，0)或(－2，0)．

第1题解图

2. 已知二次函数y ＝(x －h )2

＋1(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤4的情况下，若其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为______．

－1或6 【解析】由题可知，二次函数的对称轴为直线x ＝h ，且二次函数开口向上，∵当

x >h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，∴①若h ＜1，x ＝1时，y

最小

＝5，即(1－h )2

＋1＝5，解得h 1＝－1，h 2＝3(舍去)；②当1≤h ≤4时，y 最小＝1，不符合

题意；③若h >4，x ＝4时，y 最小＝5，此时(4－h )2

＋1＝5，解得h 1＝6，h 2＝2(舍去)．综上，

h 的值为－1或6.

3. 在△ABC 中，AB ＝6 cm ，点P 在AB 上，且∠ACP ＝∠B ，若点P 是AB 的三等分点，则AC 的长是________．

23或2 6 cm 【解析】∵∠ACP ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴△ACP ∽△ABC .∴AC AB ＝AP

AC

，即AC 2

＝

AP ·AB .由点P 是AB 的三等分点可知，分两种情况：(1)当AP ＝13

AB ＝2 cm 时，AC 2＝2×6＝

12.∴AC ＝23cm ；(2)当AP ＝23AB ＝4 cm 时，AC 2

＝4×6＝24，∴AC ＝2 6 cm.综上所述，AC

的长是23或26cm.

4. 有一面积为103的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰为边的正方形的面积为________．

40或40 3 【解析】如解图①，当∠A ＝30°，AB ＝AC 时，设AB ＝AC ＝a ，作BD ⊥AC 于点

D ，∵∠A ＝30°，∴BD ＝1

2AB ＝12a ，∴12·a ·12

a ＝103，∴a 2＝403，∴以△ABC 的腰为边

的正方形的面积为403；如解图②，当∠ABC ＝30°，AB ＝AC 时，作BD ⊥CA 交CA 的延长线于点D ，设AB ＝AC ＝a ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝30°，∴∠BAC ＝120°，∴∠BAD ＝60°，在Rt △ABD 中，∵∠D ＝90°，∠BAD ＝60°，∴BD ＝

32a ，∴12·a ·3

2

a ＝103，∴a 2＝40，∴以△ABC 的腰为边的正方形的面积为40，故以该等腰三角形的腰为边的正方形的面积为40或40 3.

第4题解图

5. 已知⊙O 的直径AB ＝20，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD ＝16，则AE 的长为________． 16或4 【解析】如解图①，当弦CD 远离点A 时，由题可知OC ＝1

2

AB ＝10，∵CD ⊥AB 于点

E ，∴CE ＝12

CD ＝8，∴OE ＝6，∴AE ＝16；如解图②，当弦CD 靠近点A 时，同理可得OE ＝6，AE ＝OA －OE ＝4，∴AE 的长为16或4.

第5题解图

6. 已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，AC 为对角线，将△ACD 绕点A 旋转45°得到△AC ′D ′，则CD ′的长为________．

42－4或4 3 【解析】由题意可得AC ＝AB 2

＋BC 2

＝4 2.①如解图①，将△ACD 绕点A 顺时针旋转45°得到△AC ′D ′，可得点D ′落在AC 上，且AD ′＝AD ＝4，∴CD ′＝AC －AD ′＝42－4；②如解图②，将△ACD 绕点A 逆时针旋转45°得到△AC ′D ′，连接CD ′，∵∠

CAD ＝45°，∠C ′AD ′＝45°，∴∠CAD ′＝90°，又∵AD ′＝AD ＝4，∴CD ′＝AD ′＋AC 2

＝4 3.综上所述，CD ′的长为42－4或4 3.

第6题解图

7. 已知在△ABC 中，AC ＝BC ＝42，∠C ＝90°，点D 、E 分别为AB 、BC 上的点，且AD ＝3BD ，若△BDE 是直角三角形，则CE 的长为________．

22或3 2 【解析】∵AC ＝BC ＝42，∠C ＝90°，∴∠B ＝45°，AB ＝AC 2

＋BC 2

＝8，∵

AD ＝3BD ，∴BD ＝1

4

AB ＝2，当DE ⊥AB 时，如解图①，∵在Rt △BDE 中，∠B ＝45°，BD ＝2，

∴BE ＝22，∴CE ＝BC －BE ＝22，当DE ⊥BC 时，如解图②，在Rt △BDE 中，∵∠B ＝45°，

BD ＝2，∴BE ＝DE ＝BD ·cos45°＝2，∴CE ＝BC －BE ＝3 2.

第7题解图

8. 在△ABC 中，AB ＝AC ，CD 是AB 边上的高，且cos ∠DCA ＝3

5，则tan B 的值为________．

13或3 【解析】设CD ＝3x ，∵cos ∠DCA ＝3

5

，∴AB ＝AC ＝5x ，由勾股定理可得AD ＝4x ，如解图①，当△ABC 为钝角三角形时，可得BD ＝AB ＋AD ＝9x ，∴tan B ＝CD BD ＝3x 9x ＝1

3；如解图②，

当△ABC 为锐角三角形时，可得BD ＝AB －AD ＝x ，∴tan B ＝CD BD ＝3x

1x

＝3.综上所述，tan B 的值