2019年高中数学必修四第三章《三角恒等变换》经典例题

2019年高中数学必修四第三章《三角恒等变换》经典例题

一、选择题

1．cos 555°的值为( ) A.

6＋24 B ．－6＋24 C.6－22 D.2－64

考点 两角差的余弦公式

题点 利用两角差的余弦公式求值

答案 B

解析 cos 555°＝cos(720°－165°)＝cos 165°＝－cos 15°＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝－6＋24

. 2．若π＜α＜2π，则化简

1－cos (α－π)2的结果是( ) A ．sin α2

B ．cos α2

C ．－cos α2

D ．－sin α2

考点 利用简单的三角恒等变换化简求值

题点 利用降幂公式化简求值

答案 C

解析 ∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，∴cos α2

＜0， 原式＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2

.故选C. 3．在△ABC 中，若tan A tan B ＞1，则△ABC 是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．以上均有可能

考点 简单的三角恒等变换的综合应用

题点 三角恒等变换与三角形的综合应用

答案 A

解析 由tan A tan B ＞1，得角A ，B 均为锐角，然后切化弦，得sin A sin B ＞cos A cos B ，即

cos(A ＋B )＜0，

∴cos(π－C )＜0.∴－cos C ＜0.∴cos C ＞0.∴角C 为锐角．∴△ABC 是锐角三角形，故选A.

4．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭

⎫lg 15，则( ) A ．a ＋b ＝0

B ．a －b ＝0

C ．a ＋b ＝1

D ．a －b ＝1

考点 利用简单的三角恒等变换化简求值

题点 利用降幂公式化简求值

答案 C

解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22

＝1＋sin 2x 2

， ∵a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭

⎫lg 15＝f (－lg 5)， ∴a ＋b ＝1＋sin (2lg 5)2＋1－sin (2lg 5)2＝1，a －b ＝1＋sin (2lg 5)2－1－sin (2lg 5)2

＝sin(2lg 5)． 5．y ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦

⎤－π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤5π12，13π12 D.⎣⎡⎦⎤π3，5π6

考点 简单的三角恒等变换的综合应用

题点 辅助角公式与三角函数的综合应用

答案 B

解析 y ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x ＝sin 2x cos π3－cos 2x sin π3

－sin 2x ＝－12sin 2x －32

cos 2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间是y ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递减区间， 令π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2

＋2k π，k ∈Z ，

∴π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z .

令k ＝0，得x ∈⎣⎡⎦⎤π12，7π12.故选B.

6．若0<α<π2，－π2

<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69

考点 两角差的余弦公式

题点 两角差的余弦公式的综合应用

答案 C

解析 ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4

. ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.

∵－π2<β<0，∴π4<π4－β2<π2

. ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63

. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭

⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539

. 7．已知函数f (x )＝cos x 2⎝

⎛⎭⎫3sin x 2＋cos x 2，则下列区间中f (x )在其上单调递增的是( ) A.⎝⎛⎭⎫π3，2π3

B.⎝⎛⎭⎫－π6，π2

C.⎝⎛⎭⎫0，π2

D.⎝⎛⎭

⎫－2π3，0 考点 简单的三角恒等变换的综合应用

题点 辅助角公式与三角函数的综合应用

答案 D

解析 f (x )＝cos x 2⎝⎛⎭⎫3sin x 2＋cos x 2＝32sin x ＋1＋cos x 2

＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋12. 由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2

，k ∈Z ， 可得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3

，k ∈Z . 当k ＝0时，函数f (x )在⎣⎡⎦

⎤－2π3，π3上单调递增．

又⎝⎛⎭⎫－2π3，0⊆⎣⎡⎦⎤－2π3，π3，故选D.

二、填空题

8．化简sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x

＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值

题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值

答案 tan x 2

解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x

＝tan x 2. 9．若sin(π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin 2α－cos 2 α2

的值为________． 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值

题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值

答案 425

解析 ∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45

， 又∵α∈⎝⎛⎭

⎫0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝35

(舍负)， 因此，sin 2α－cos 2 α2＝2sin αcos α－12(1＋cos α)＝2×45×35－12×⎝

⎛⎭⎫1＋35＝2425－45＝425. 10.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°

＝________. 考点 应用二倍角公式化简求值

题点 利用二倍角公式化简三角函数式

答案 －4 3

解析 原式＝3·sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12° ＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°