高中数学-基本不等式及其应用教案

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高中数学《不等式》教案

高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。

2. 掌握不等式的解法和解集表示法。

3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。

教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。

2. 能够利用不等式解决实际问题。

教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。

2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。

二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。

2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。

2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。

四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。

五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。

2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。

六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。

教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。

2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。

3. 特性：加减法、乘除法性质。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。

下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。

安徽高中数学第三章不等式3.4.2基本不等式的应用1教案

3.4.2 基本不等式的应用（一）2一、知识与技能1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式2ba ab +≤；2.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路；3.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考，通过设置思考项，让学生探究，层层铺设，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣2ba ab +≤； 2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达； 3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路教学难点1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式2ba ab +≤； 2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达； 3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路投影仪、胶片、三角板、刻度尺导入新课师前一节课，我们通过问题背景，抽象出了不等式a 2+b 2≥2ab (a 、b ∈R)，然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式2b a ab +≤.本节课，我们将利用基本不等式2ba ab +≤ 来尝试证明一些简单的不等式(此时，老师用投影仪给出下列问题推进新课问题1.已知x 、y 都是正数，求证：(1)2≥+yxx y ； (2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3师前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？（思考两分钟）生不可以证明师是否可以用基本不等式证明呢？生可以（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：∵x 、y 都是正数，∴0＞y x ，0＞x y .∴22=∙≥+xy y x x y y x ，即2≥+xyy x师这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？（齐声：完成）［合作探究］师请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？（引导同学们积极思考）生可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质师这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位生 ∵x ，y 都是正数，∴x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0.∴x ＋y ≥2xy ＞0，x 2＋y 2≥2x 2y 2＞0, x 3+y 3≥2x 3y 3＞0.∴可得（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·222y x ＝８x 3y 3，即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y3师这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到（在表达过程中，对条件x ，y 都是正数往往忽视）师在运用定理：ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证(此时，老师用投影仪给出下列问题问题3.求证：2)2(222b a b a +≤+（此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）师利用完全平方公式，结合重要不等式：a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明本题的关键（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝（a ＋b ）2.∴2（a 2＋b 2）≥（a ＋b ）2不等式两边同除以4，得222b a +≥2)2(b a +，即2)2(222b a b a +≤+师下面同学都是用这种思路解答的吗？生也可由结论到条件去证明，即用作差法师这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成［课堂练习］1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８ab分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.∵a 、b 、c 都是正数，∴a ＋b ≥2ab ＞0,b ＋c≥2bc ＞0,c+a ≥2ac ＞∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８ab即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８ab［合作探究］2.已知（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ），求证：2≥--+--yx ba b a y x（老师先分析，再让学生完成）师本题结论中，注意yx ba b a y x ----与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明yx ba b a y x ----与为正数开始证题(在教师引导下，学生积极参与下列证题过程生 ∵（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ）∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx∴ax －ay ＋by －bx ＞∴（ax －bx ）－（ay －by ）＞ ∴（a －b ）（x －y ）＞即a －b 与x －y 同号∴yx ba b a y x ----与均为正数 ∴22=--∙--≥----yx ba b a y x y x b a b a y x 与 (当且仅当y x b a b a y x --=--时取“＝∴2≥--+--yx ba b a y x师生共析我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了.而运用定理：“2ba +≥ab ”时，必须使a 、b 满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断yx ba b a y x ----与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法课堂小结师本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？生我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求）师本节课我们用到重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2b a +），几何平均数（ab ）及它们的关系)2(ab ba ≥+证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：222b a ab +≤，2)2(b a ab +≤师同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础布置作业课本第116页，Ｂ组第1题基本不等式2ba ab +≤的应用（一）复习引入例1 方法归纳基本不等式例22ba ab +≤方法引导小结实例剖析（知识方法应用）示范解题利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式2ba ab +≤.以数学知识为载体，对学生的逻辑思维能力，各种思想方法的掌握，进而提高学生的数学素质与数学素养，这是高中数学教学的一项主要任务.在本节课的教学过程中，对一些不等式的证明不是直接给出，而是以设问方式的变化，引导学生思考，通过由特殊到一般的探索规律去解决问题。

人教版高中数学必修5《基本不等式》教案

人教版高中数学必修5《基本不等式》教案课题：基本不等式教材：《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》3.4一、教学目标：1、探索并了解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”或“≤”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

2、通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；3、通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；4、培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点和难点：重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2a b+ 的证明过程；难点：注意基本不等式2a b+≤等号成立条件以及应用于解决简单的最大(小)值问题。

三、教学方法：启发、探究式相结合四、教学工具：多媒体课件五、教学过程：一、问题引入:如图是2002年在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？这样，三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab+≥《几何画板》课件动画显示，当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

问题：你能证明这个结论吗？证明：（作差法）因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当b a ≠时，0)(2>-b a 当b a =时，0)(2=-b a所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a≥+总结结论1：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a文字叙述为:两数的平方和不小于积的2倍。

不等式的基本性质及其应用教案设计

不等式是数学中重要的概念之一，主要用于描述两个或多个数之间的大小关系。

在数学中，不等式有着非常重要的应用，从中学到大学，不等式都是数学教育中必须要学习的一部分。

在本文中，我们将介绍不等式的基本性质及其应用教案设计，旨在帮助初学者更好地理解和掌握不等式。

不等式的基本概念不等式是数学中重要的概念之一，用来描述两个或多个数的大小关系。

通常用符号≤或≥来表示大小关系，例如：a≤b，表示a小于或等于b，a≥b，表示a大于或等于b。

不等式有许多种形式，例如一元不等式、二元不等式、绝对值不等式等等。

下面我们将对一元不等式进行介绍。

一元不等式：指只涉及一个未知数的不等式，其中未知数通常用x表示。

例如：x>3，x≤4.基本性质不等式有以下的性质：1.传递性：如果a≤b，b≤c，则有a≤c。

如果a≥b，b≥c，则有a≥c。

2.对称性：如果a≤b，则b≥a。

如果a≥b，则b≤a。

3.加减法原则：如果a≤b，c是任意实数，则a+c≤b+c、a-c≤b-c。

如果a≥b，c是任意实数，则a+c≥b+c、a-c≥b-c。

4.乘法原则：如果a≤b，且c＞0，则ac≤bc；如果a≥b，且c＜0，则ac≤bc。

5.反证法：假设a>b，但是a≤b，这个假设就是错误的。

不等式的应用不等式在高中数学中有多种应用，例如求解负数幂函数、代数式中的绝对值和最值问题等等。

下面我们来介绍一些典型的不等式应用。

1.求解不等式使用不等式求解问题是初学不等式的基础问题。

例如：求解不等式2x-5≤7，先将不等式转化为等价不等式，2x≤12，x≤6。

所以x的解集为{x| x≤6 }。

2.证明不等式使用不等式证明问题是在高中数学中经常出现的问题，例如证明a²+b²≥2ab。

方法是将不等式化为一个标准形式，即(a-b)²≥0，然后利用不等式的性质进行证明。

3.最值问题最值问题在高中数学中也有广泛的应用，例如求解最大值、最小值等。

上海教育版数学高一上2.4《基本不等式及其应用》word教案2篇

上海教育版数学高一上2.4《基本不等式及其应用》word教案2篇2.4（1）基本不等式及其应用一、教学内容分析基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的.二、教学目标设计1、掌握两个基本不等式：a2+b2≥2ab（a、b∈R）、a+b2≥ab（a、b为任意正数），并能用于解决一些简单问题.2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法.3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辨证唯物主义观点.三、教学重点及难点重点两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用.难点基本不等式的应用.四、教学用具准备电脑、投影仪五、教学流程设计新课引入基本不等式1及其证明基本不等式1的图形解释图形引入基本不等式2基本不等式2的证明基本不等式的简单应用（探索）课堂小结作业布置（含课外思考）六、教学过程设计一、新课引入在客观世界中，有些量的大小关系是永远成立的.例如，3>2、a2≥0（a∈R）、三角形任意两边之和大于第三边、三角形任意两边0 .当 ab 时， a bb之差小于第三边等等.二、新课讲授1、基本不等式 1基本不等式 1 对于任意实数 a 和 b ，有 a 2（1）基本不等式 1 的证明b 22ab ，当且仅当 a b 时等号成立.证明：因为 a 2b 2 2ab a b20 ，所以 a 2 b 2 2ab .当 ab 时， a b2 20 .所以，当且仅当 ab 时， a 2b 2 2ab 的等号成立.（2）基本不等式 1 的几何解释① 解释 1边长为 a 的正方形面积与边长为 b 的正方形面积之和大于等于以a 、b 为邻边长的矩形面积的 2 倍（当且仅当 ab 时等号成立）A已知正方形 ABCD ，分别在边 AD 、边 DC 上取点 E 、F ，使得 DE DF . 分别过点 E 、 F 作 EG BC 、FHAB ，垂足为 G 、 H . EG 和 HF 交于点 M .由几何画板进行动态计算演示，得到阴影部分的面积剩余部分的面积，当且仅当点 E 移至 AD 中点时等号成立.aMH FbB G C② 解释 2某届数学大会的会徽怎样的？三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为：如图所示，以 a 、b 、c 分别表示勾、股、弦，那么，ca b 表示“弦图”中两块“朱实”的面积， b a表示“中黄实”a中黄实的面积. 于是，从图中可明显看出，四块“朱实”的面积加上一个“中黄实”的面积就等于以 c 为边长的正方形“弦实”的面积，即朱实“弦图”的现代数学图示(a≥0，所以a+b≥ab.证明：因为a+b-2ab=(a-b )=0.当a≠b时，(a-b)>0.当a=b时，(a)+(b)≥2c2=(b-a)2+2ab=b2-2ab+a2+2ab=a2+b2[这就是勾股定理的一般表达式.由图可知：以c为边长的正方形“弦实”的面积≥四块“朱实”的面积即，a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）.2、基本不等式2观察下面这个几何图形.已知半圆O，D是半圆上任一点，AB是直径.DC O过D作DC⊥AB，垂足为C.显然有线段OD的长度大于等于垂线段DC的长度.A a b B设AC=a，CB=b，请用a、b来表示上述这个不等关系.（即且仅当a=b时等号成立.）a+b2≥ab，当基本不等式2对于任意正数a、b，有a+b2≥ab，当且仅当a=b时等号成立.我们把a+b2和ab分别叫做正数a、b的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（1）基本不等式2的证明2222所以，当且仅当a=b时，a+b≥ab的等号成立. 2另证：因为a、b为正数，所以a、b均存在.由基本不等式1，得22a b，当且仅当a=b时等号成立.即a+b2≥ab，当且仅当a=b时等号成立.（2）基本不等式2的扩充证明：因为ab>0，所以a、b同号，并有>0，>0.矩形面积S=ab，正方形面积S'= ?≥ab，又由不等式的性质得?≥(ab)，即S'≥S.对于任意非负数a、b，有a+b≥ab，当且仅当a=b时等号成立. 2例1已知ab>0，求证：b a+≥2，并指出等号成立的条件.a bb aa b所以，b a b a b a+≥2?=2.当且仅当=，即a=b≠0时等号成立.a b a b a b[说明]1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若ab<0，则代数式b a b a+的取值范围是什么？（+≤-2，当且仅当a b a ba=-b≠0时等号成立.）3、两个基本不等式的简单应用（1）几何问题例2在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？猜想：由几何画板电脑演示得出.A中点C折点MB解：设矩形的长、宽分别A aMbM'B为a、b（a、b∈R+）且a+b=m（定值），则同样周长的正方形的边长为a+b?22?a+b 2.由基本不等式2，得a+b?a+b?22?2?2由题意， a + b = m （定值），所以S ≤ ? = （定值）.当且仅当a = b ，即矩1 ? 1 ? y = x (1 - x ) = - x2 + x = - x - ? + （ 0 < x < 1 ），得0 < y ≤m ?2 m 2 ? 2 ?4形为正方形时，矩形的面积最大.[说明]当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值.例如，若 0 < x < 1 时，有 x (1 - x ) ≤1 1，当且仅当 x = 时等号成立 .（事实上，由 4 22 ?2 ?411 ，当且仅当 x = 时等4 2号成立.）三、课堂小结略四、作业布置1、练习 2.4（1）2、思考题（1）通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释.（2 ）在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？（3）整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.七、教学设计说明本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果.整堂课主要采用“观察——猜测——归纳——证明”的探索流程，让学生通过观察两式的大小关系、几何图形中线段的长度来猜测相应的结论，最后再由讨论、归纳得出两个基本不等式.在教学过程中始终“关注学生的思维发展”.例如，将教科书上例1的证明题改成了一道探索题，通过对有关过程的设计，进而培养学生自行探索、解决问题的能力.此外，为了培养学生“观察——猜测”的能力，借用了几何画板的有关功能，帮助学生进行有关的猜想与验证，使学生始终处于自我发现、自我探索的过程中.通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步理解代换的数学方法有一定要求，并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想.2.4（2）基本不等式及其应用一、教学目标设计1、进一步掌握两个基本不等式：a2b22ab（a、b R）、a b2ab（a、b为任意正数）2、利用基本不等式解决一些简单问题，如求最值或求取值范围的简单问题以及简单不等式的证明.3、进一步理解代换的数学方法.二、教学重点及难点基本不等式的简单应用.三、教学流程设计复习回顾基本不等式的应用（几何问题）基本不等式的应用（代数证明）拓广引申课堂小结作业布置（含课外思考）四、教学过程设计一、复习基本不等式1对于任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立.基本不等式2对于任意正数a、b，有a+b2≥ab，当且仅当a=b时等号成立.我们把a+b2和ab分别叫做正数a、b的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.[说明]复习过程中需强调三点：1、两个基本不等式各自适用的范围.2、两个基本不等式各自等号成立的条件.3、两个基本不等式之间的联系.二、新课讲授（2）几何问题根据上节课的讨论，我们知道在周长保持不变的条件下，当且仅当矩形相邻两边相等即为正方形时，其面积最大.很自然我们会考虑下面的问题.例3在面积保持不变的条件下，何时矩形的周长最小？解：设矩形的长、宽分别为a、b（a、b∈R+）且ab=m（定值），则同样面积的正方形的边长为ab.矩形周长C=2(a+b)，正方形周长C'=4ab.由基本不等式2，得a+b≥ab，又由不等式的性质得2(a+b)≥4ab，即C≥C'. 2由题意，ab=m（定值），所以C≥4m（定值）.当且仅当a=b，即矩形为正方形时，矩形的周长最小.[说明]当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值.例如，若x≠0时，x+1≥2，当且仅当x=±1时等号成立.（一方面当x>0时，有x≥ 2，当且仅当 x = 1 时等号成立 .另一方面当 x < 0 时，有 (- x )+ - ? ≥ 2 ，即 c ca1 12 2x + 1 ? 1 ? x ? x ?x + 1 x≤ -2 ，当且仅当 x = -1 时等号成立.）两个正数的和为定值，则它们的积有最大值；两个正数的积为定值，则它们的和有最小值.这两个结论常常用于求解最值问题.在具体应用时，要注意“一正、二定、三等号”.（2）代数证明例 4 求证：对于任意实数a 、b 、 c ，有a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab +bc +ca ，当且仅当 a = b = c时等号成立证明：由基本不等式 1，得a 2 +b 2 ≥ 2ab ， b 2 +c 2 ≥ 2bc ，a 2 + c 2 ≥ 2ac ，把上述三个式子的两边分别相加，得 2 (a 2 +b 2 +c 2 )≥ 2 (ab + bc + ca ) ，即a 2 +b 2 +c 2 ≥ a b + b + ，当且仅当 a = b = c 时等号成立.另证： (a2+ b 2 + c 2)- (ab + bc + ca ) = 1 (2a 2+ 2b 2+ 2c 2- 2ab - 2bc - 2ca )2= 1 ?(a -b )2 + (b -c )2 + (a - c )2 ? ≥ 0 . 2 ? ?即a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ，当且仅当 a = b = c 时等号成立.例 5 均值不等式链设 a 、b ∈ R + ，则 2 a+ b a 2 +b 2+a b≤ ab ≤ ≤（调和均值≤ 几何均值≤ 算术均值≤ 平方均值），当且仅当 a = b 时等号成立.证明：（1）由 a 、b ∈ R + ，得 1 1+a b ≥ 2 1 1 1 2= ? a b ab 1 1+a b≤ ab ，当且仅当a = b 时等号成立（2）ab ≤a + b2，当且仅当 a = b 时等号成立，已证.)≥(a+b)2=a+b1122①ab≤ ?，当且仅当a=b时等号成立.a+b?≥2ab?(a+b)2≥4ab?ab≤ ?，当且仅当a=b时等号+b 2≥a+b不等式a+b（3）由a2+b2≥2ab?2(a2+b22?a2+b2(a+b)2≥24a2+b22≥(a+b)24=a+b2.所以，当a、b∈R+时，有a+b a2+b2≤22，当且仅当a=b时等号成立.综合（1）、（2）、（3）得，当a、b∈R+时，有且仅当a=b时等号成立.[说明]事实上当a、b∈R时，有：a+b?22?2a+ba2+b2+a b≤ab≤≤，当②a2+b2a+b a+b≥≥222.证明：①由a22成立.?2?2②由a2+b2≥2ab?2(a2+b2)≥(a+b)2a2+b2(a+b)2≥24a2+b22≥(a+b)24=a+b2.即，a2+b2a+b a+b≥≥222.不等式a2+b2a+b≥22等号成立当且仅当a=b.a+b≥等号成立当且仅当a+b≥0. 22t 1 (1 + b ? 1 = ta +b )。

高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)

高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇）篇一：高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。

2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。

教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。

这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。

（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。

对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。

具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。

一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。

若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。

如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。

高中数学教案第5讲基本不等式

第5讲基本不等式1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在生活实际中的应用．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)，等号成立的条件：当且仅当□1a ＝b 时取等号．2．两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥□22ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值□32P ．(2)已知x ，y 都是正数，如果x ＋y 的和等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值□414S 2．利用基本不等式求最值要注意：(1)满足“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错．(2)一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致(等号同时成立)．常用结论1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．2．ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．()(2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.()(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.()(4)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．回源教材(1)已知x >－1，则x ＋1x ＋1的最小值为________．解析：x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2（x ＋1）×1x ＋1－1＝2－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立．答案：1(2)若a >0，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的最小值为________．解析：由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，得ab －2ab －3≥0，解得ab ≥3(ab ≤－1舍去)，即ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．答案：9(3)若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2，此时矩形场地的长、宽分别是________m.解析：设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0＜x＜10，所以面积y ＝x (10－x )≤(x ＋10－x 2)2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，等号成立，所以y max ＝25.此时矩形的长与宽均为5m.答案：255，5利用基本不等式求最值配凑法例1(1)已知x ＞2，则4x －2＋x 的最小值是________．解析：由x >2知x －2>0，则4x －2＋x ＝4x －2＋(x －2)＋2≥24x －2·（x －2）＋2＝6，当且仅当4x －2＝x －2，即x ＝4时取“＝”，所以4x －2＋x 的最小值是6.答案：6(2)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．解析：∵0<x <32，∴3－2x >0，y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤22x ＋（3－2x ）22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈(0，32)，∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.答案：92常数代换法例2(2024·济宁高三月考)若a >0，b >0，3a ＋2b ＝6，则2a ＋3b的最小值为()A ．6B ．5C ．4D ．3解析：C因为a >0，b >0，3a ＋2b ＝6，所以2a ＋3b ＝16(2a ＋3b )(3a ＋2b )＝16(12＋4b a ＋9a b )≥16(12＋24b a ·9a b )＝4，当且仅当3a ＝2b ＝3时，取等号，即2a ＋3b的最小值为4.消元法例3(2024·菏泽期中)若正数x ，y 满足x 2＋xy －3＝0，则4x ＋y 的最小值是()A ．3B ．6C ．23D ．42解析：B因为正数x ，y 满足x 2＋xy －3＝0，所以y ＝3x －x ，由y >0，得3x－x >0，因为x >0，所以3－x 2>0，即0<x <3.所以4x ＋y ＝3x ＋3x ≥23x ·3x＝6，当且仅当3x ＝3x，即x ＝1时等号成立．故选B ．反思感悟利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．训练1(1)已知x >0，y >0，且4x ＋2y －xy ＝0，则2x ＋y 的最小值为()A ．16B ．8＋42C ．12D ．6＋42解析：A 由题意可知2x ＋4y ＝1，∴2x ＋y ＝(2x ＋y )(2x ＋4y )＝8x y ＋2yx＋8≥28x y ·2yx＋8＝16，当且仅当8x y ＝2yx，即x ＝4，y ＝8时，等号成立，则2x ＋y 的最小值为16.(2)(2024·深圳六校质检)已知x>0，y>0，若x＋y＋xy＝3，则xy的最大值为()A．1B．2C．2D．22解析：A法一：由x>0，y>0，得x＋y≥2xy，所以x＋y＋xy＝3≥2xy＋xy，当且仅当x＝y时等号成立．令xy＝t(t>0)，则t2＋2t－3≤0，解得0<t≤1，即0<xy≤1，故0<xy≤1，当且仅当x＝y＝1时等号成立，xy的最大值为1，故选A．法二：由x＋y＋xy＝3，且x>0，得y＝3－xx＋1，则xy＝x（3－x）x＋1＝－x2＋3xx＋1，因为x>0，y>0，则3－xx＋1>0且x>0，解得0<x<3.设t＝x＋1∈(1，4)，则x＝t－1，xy＝－x2＋3xx＋1＝－（t－1）2＋3（t－1）t＝－t2＋5t－4t＝－t－4t＋5＝－(t＋4t)＋5≤－2t·4t＋5＝1，当且仅当t＝4t，即t＝2，也即x＝y＝1时等号成立，所以xy的最大值为1，故选A．(3)已知x>1，则y＝x－1x2＋3的最大值为________．解析：令t＝x－1，∴x＝t＋1，∵x>1，∴t>0，∴y＝t（t＋1）2＋3＝tt2＋2t＋4＝1t＋4t＋2≤124＋2＝16，当且仅当t＝4t，t＝2，即x＝3时，等号成立，∴当x＝3时，y max＝1 6 .答案：1 6利用基本不等式求参数值或取值范围例4(1)当x>a时，2x＋8x－a的最小值为10，则a＝()A．1B．2 C．22D．4解析：A2x＋8x－a＝2(x－a)＋8x－a＋2a≥22（x－a）×8x－a＋2a＝8＋2a，即8＋2a＝10，故a＝1.(2)已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．解析：已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，只需求(x＋y)(1x＋ay)的最小值大于或等于9，∵(x＋y)(1x＋ay)＝1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1＝(a＋1)2，当且仅当y＝ax时，等号成立，∴(a＋1)2≥9，∴a≥4，即正实数a的最小值为4.答案：4反思感悟利用基本不等式求最值及最值成立的条件，可确定某些参数的范围．训练2若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式4x＋1＋1y<m2＋32m有解，则实数m的取值范围是________．解析：因为正实数x，y满足x＋y＝1，则(x＋1)＋y＝2，所以4x＋1＋1y＝12[(x＋1)＋y]·(4x＋1＋1y)＝12(5＋4yx＋1＋x＋1y)≥1 2(5＋24yx＋1·x＋1y)＝92，＋1＝2y，＋y＝1，＝13，＝23时，等号成立，所以4x＋1＋1y的最小值为92.因为不等式4x＋1＋1y<m2＋32m有解，则m2＋32m>92，即2m2＋3m－9>0，即(2m－3)(m＋3)>0，解得m<－3或m>32.答案：(－∞，－3)∪(32，＋∞)基本不等式的实际应用例5长征二号F遥十四运载火箭在设计生产中采用了很多新技术新材料．甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时(为保证质量要求1≤x≤10)的速度匀速生产，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数；(2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少．解：(1)由题意得k＋9＝10，解得k＝1，因为生产m千克该产品需要的时间是mx，所以y＝mx(kx2＋9)＝m(x＋9x)，1≤x≤10.(2)由(1)知，生产1000千克该产品消耗的A材料为y＝1000(x＋9x)≥1000×29＝6000(千克)．当且仅当x＝9x，即x＝3时，等号成立，故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的A材料最少，最少为6000千克．反思感悟1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．3．在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解．训练3某校为该校生物兴趣小组分配了一块面积为32m 2的矩形空地，该生物兴趣小组计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区，如图，要求矩形试验区的四周各空0.5m ，各试验区之间也空0.5m ．则每块试验区的面积的最大值为________m 2.解析：设矩形空地的长为x m ，则宽为32xm ，依题意可得，试验区的总面积S ＝(x －0.5×4)0.5×34－x －64x≤34－2x ×64x＝18，当且仅当x ＝64x，即x ＝8时等号成立，易知x ＝8符合题意，所以每块试验区的面积的最大值为18÷3＝6(m 2)．答案：6限时规范训练(五)A 级基础落实练1．下列函数中，最小值为2的是()A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝sin x ＋1sin x (0<x <π2)解析：C 当x <0时，y ＝x ＋2x <0，故A 错误；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，当且仅当x2＋2＝1x2＋2，即x2＝－1时取等号，又x2≠－1，故B错误；y＝e x＋e－x≥2e x·e－x＝2，当且仅当e x＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；当x∈(0，π2)时，sin x∈(0，1)，y＝sin x＋1sin x≥2，当且仅当sin x＝1sin x，即sin x＝1时取等号，因为sin x∈(0，1)，故D错误．2．已知a>0，b>0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为()A．14B．4C．12D．2解析：D由题意得4＝2a＋b≥22ab，即2≥2ab，两边平方得4≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2.3．(2024·六安金寨县青山中学期末)已知x>2，y＝4x＋1x－2，则y的最小值为()A．8B．10C．12D．14解析：C∵x>2，∴y＝4x＋1x－2＝4(x－2)＋1x－2＋8≥24（x－2）·1x－2＋8＝12，当且仅当4(x－2)＝1x－2，即x＝52时取等号，故选C．4．(2024·长沙雅礼中学第三次月考)已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则(1＋x)(2＋y)的最大值为()A ．36B ．25C ．16D ．9解析：B法一：由x ＋y ＝7，得(x ＋1)＋(y ＋2)＝10，则(1＋x )(2＋y )≤（1＋x ）＋（2＋y ）22＝25，当且仅当1＋x ＝2＋y ，即x ＝4，y ＝3时等号成立，所以(1＋x )·(2＋y )的最大值为25.故选B ．法二：因为x ＋y ＝7，所以y ＝7－x ，因为x >0，y >0，所以0<x <7，则(1＋x )(2＋y )＝(1＋x )(9－x )＝－x 2＋8x ＋9＝－(x －4)2＋25≤25，所以当x ＝4，y ＝3时，(1＋x )(2＋y )取得最大值25.故选B ．5．(2023·忻州联考(二))已知0<a <2，则1a ＋92－a 的最小值是()A ．4B ．6C ．8D ．16解析：C 因为0<a <2，所以1a >0，92－a >0，则1a ＋92－a ＝12[a ＋(2－a )](1a ＋92－a )＝12(1＋9a 2－a ＋2－a a ＋9)＝5＋12(9a2－a ＋2－a a)≥5＋9a 2－a ·2－aa＝8，当且仅当9a 2－a ＝2－a a ，即a ＝12时等号成立，所以1a ＋92－a 的最小值为8.6．(多选)(2024·安徽名校联考)已知实数a ，b 满足a >b >0且a ＋b ＝2，则下列结论中正确的有()A ．a 2＋b 2>2B ．8a ＋2b ≥9C ．ln a ＋ln b >0D ．a ＋1a >b ＋1b解析：AB对于A ，因为a >b >0且a ＋b ＝2，由基本不等式a 2＋b 2>2ab ，得a 2＋b 2＝12[a 2＋b 2＋(a 2＋b 2)]>12(a 2＋b 2＋2ab )＝12(a ＋b )2＝2(或由不等式a 2＋b 22>(a ＋b 2)2直接得到)，故A 正确；对于B ，8a ＋2b ＝12(8a ＋2b )(a ＋b )＝12(10＋8b a ＋2a b )≥12(10＋28b a ·2ab)＝9，当且仅当8b a ＝2a b ，即a ＝43，b ＝23时等号成立，故B 正确；对于C ，ln a ＋ln b ＝ln(ab )<ln(a ＋b 2)2＝ln 1＝0，故C 错误；对于D ，因为ab <(a ＋b 2)2＝1，所以0<ab <1，所以(a ＋1a )－(b ＋1b )＝(a －b )＋b －a ab ＝(a －b )(1－1ab )＝（a －b ）（ab －1）ab<0，故D 错误．故选AB ．7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2(x >－1)，所以y ≥2（x ＋1）·1（x ＋1）－2＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立．所以y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为0.答案：08．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系式为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－（x ＋25x ）万元，由于x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元．答案：89．(2024·张家口部分学校期中)已知a >0，b >0，且有a 2＋4ab ＝16b 2，则a ＋2b 的最小值为________．解析：(a ＋2b )2＝a 2＋4ab ＋4b 2＝16b 2＋4b 2≥216b 2×4b 2＝16，当且仅当16b 2＝4b 2，即b ＝2，a ＝4－22时取等号，由于a >0，b >0，所以a ＋2b ≥4，所以a ＋2b 的最小值为4.答案：410．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)已知0<x <2，求函数y ＝x 4－x 2的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－(3－2x 2＋83－2x )＋32.当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时，取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2，所以4－x 2>0，则y ＝x 4－x 2＝x 2·（4－x 2）≤x 2＋（4－x 2）2＝2，当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时，取等号，所以y ＝x 4－x 2的最大值为2.11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解：(1)∵xy ＝2x ＋8y ≥22x ·8y ，即xy ≥8xy ，即xy ≥64，当且仅当2x ＝8y ，即x ＝16，y ＝4时，等号成立，∴xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝(8x ＋2y)(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8y x＝18.当且仅当2x y ＝8y x，即x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.B 级能力提升练12．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1解析：BC 对于A ，B ，由x 2＋y 2－xy ＝1，得(x ＋y )2－1＝3xy ≤3(x ＋y 2)2，当且仅当x ＝y 时取等号，解得－2≤x ＋y ≤2，所以A 不正确，B 正确；对于C ，D ，由x 2＋y 2－xy ＝1，得x 2＋y 2－1＝xy ≤x 2＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号，所以x 2＋y 2≤2，所以C 正确，D 不正确．故选BC ．13．(多选)(2023·安徽三模)已知正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，当c ab取最小值时，下列说法正确的是()A ．a ＝2bB ．c ＝4b 2C ．2a ＋1b －6c 的最大值为1D ．2a ＋1b －6c 的最小值为12解析：AC ∵正实数a ，b ，c 满足a 2－ab ＋4b 2－c ＝0，∴c ab a 2－ab ＋4b 2ab ＝a b ＋4b a －1≥2a b ·4b a －1＝3，当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝2b 时等号成立，A 正确；a ＝2b 时，c ＝(2b )2－2b 2＋4b 2＝6b 2，B 错误；2a ＋1b－6c ＝1b ＋1b －66b 2＝－1b 2＋2b ＝－(1b －1)2＋1，当1b ＝1，即b ＝1时，2a ＋1b －6c的最大值1，C 正确，D 错误．故选AC ．14．中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？解：(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，供货单价为50＋105＝52(元)，总利润为5×(100－52)＝240(万元)．(2)设售价为x 元，则销售量为(15－0.1x )万套，供货单价为(50＋1015－0.1x )元，单套利润为x －50－1015－0.1x ＝(x －50－100150－x )元，因为15－0.1x >0，所以0<x <150.所以单套利润为y ＝x －50－100150－x ＝－（150－x ）＋100150－x ＋100≤100－2（150－x ）·100150－x ＝80，当且仅当150－x ＝10，即x ＝140时取等号，所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元．。

高中不等式的教案

高中不等式的教案高中不等式的教案（通用11篇）高中不等式的教案篇1教学目标1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。

启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重难点1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

教学过程一、创设情景，提出问题;设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实基于此,设置如下情境: 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式在此基础上，引导学生认识基本不等式。

三、理解升华：1、文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

3、符号语言叙述：4、探究基本不等式证明方法：[问]如何证明基本不等式?(意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。

高中数学基本不等式教案

《基本不等式》教学设计方案人教版（A版）普通高中课程标准试验教科书必修第五册天津职业技术师范大学理学院欧阳炽【教学目标】1、知识与技能目标（1）掌握基本不等式,认识其运算结构；（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；（3）能够利用基本不等式求简单的最值。

2、过程与方法目标（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；（2）体验数形结合思想。

3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；（2）体会多角度探索、解决问题。

【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程。

【教学难点】基本不等式等号成立条件。

【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合【教学工具】课件辅助教学、实物演示实验【教学流程】【教学过程设计】一、创设情景，引入新课如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，这是根据赵爽弦图而设计的。

用课前折好的赵爽弦图示范，比较 4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的相等和不等关系？赵爽弦图1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。

2．得到结论：一般的，如果3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为当所以，，即4．基本不等式1）特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作：2）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证(1)只要证(2)要证（2），只要证 a+b-0 （3）要证（3），只要证（-）（4）显然，（4）是成立的。

基本不等式教案

基本不等式教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解基本不等式的内容及其证明过程。

（2）掌握运用基本不等式求最值的方法和条件。

2、过程与方法目标（1）通过对基本不等式的探究，培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理的能力。

（2）引导学生运用基本不等式解决实际问题，提高学生的数学应用意识和能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学的简洁美和应用价值，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。

二、教学重难点1、教学重点（1）基本不等式的内容及证明。

（2）运用基本不等式求最值的方法和条件。

2、教学难点（1）基本不等式的证明。

（2）运用基本不等式求最值时条件的判断和正确应用。

三、教学方法讲授法、探究法、练习法四、教学过程（一）导入新课通过实际生活中的问题引入，比如：某工厂要建造一个面积为 100 平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙，墙长 16 米，问怎样建造才能使所用材料最省？（二）新课讲授1、基本不等式的推导对于任意两个正实数 a，b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。

证明：＼＼begin{align}（a b)＾2&＼geq 0\＼a^2 2ab ＋ b^2&＼geq 0\＼a^2 ＋ 2ab ＋ b^2&＼geq 4ab\＼（a ＋ b)＾2&＼geq 4ab\＼a ＋ b&＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a b ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。

2、基本不等式的几何解释以直角三角形为例，直角边为 a，b，斜边为 c，那么\（c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。

对于基本不等式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），可以看作是以 a，b 为直角边的直角三角形的斜边长大于等于以\（＼sqrt{ab}＼）为边长的正方形的对角线长。

基本不等式及其应用-沪教版必修1教案

基本不等式及其应用砀山中学郑永超高考命题趋势：基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求最值问题。

特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。

考察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。

教学目标1．知识与技能理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。

会运用基本不等式解决相关的问题。

2．过程与方法通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。

3．情感态度与价值观鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。

逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。

重点：运用基本不等式求最值难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件教学过程：一、要点梳理1、基本不等式若a 、b ∈R,则a 2+b 2≥2ab,当且仅当a=b 时取“=”若a 、b ∈R +,,则ab b a ≥+2，当且仅当a=b 时取“=”2、常用变形形式：① ()0,02222≥≥+≤+≤b a b a b a ab ④ abb a 222≥+② 22222b a b a ab +≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤ ⑤ ③ 同号）、b a a bb a (2≥+3、求最大值、最小值问题（1）如果x 、y ∈(0,+∞),且xy=p （定值），那么当x=y 时，x+y 有。

（2）如果x 、y ∈(0,+∞),且x+y=s （定值），那么当x=y 时，xy 有。

概括为：“一正，二定，三相等”二、例题精讲例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3,求ab 的取值范围。

例2、已知x>0、y>0,且191=+yx ，求x+y 的最小值。

变式训练：设x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值例3、已知a>0,求函数a x a x y +++=221的最小值。

基本不等式的应用教案

基本不等式的应用教案教案标题：基本不等式的应用教案教案目标：1. 理解基本不等式的概念和性质；2. 学会应用基本不等式解决实际问题；3. 提高学生的数学解决问题的能力。

教学重点：1. 掌握基本不等式的定义和性质；2. 学会将基本不等式应用于实际问题的解决；3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学难点：1. 将基本不等式应用于实际问题的转化和解决；2. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学准备：1. 教师准备：课件、教材、黑板、粉笔等；2. 学生准备：课本、笔、纸等。

教学过程：Step 1：导入（5分钟）教师通过提问或展示一些实际问题，引起学生对基本不等式的兴趣，如：小明和小红的身高差距不超过10厘米，他们的身高分别是x厘米和y厘米，那么x 和y之间的关系是什么？Step 2：讲解基本不等式的概念和性质（10分钟）教师通过课件或黑板，讲解基本不等式的定义和性质，如：a > b表示a大于b，a ≥ b表示a大于等于b，等等。

Step 3：应用基本不等式解决实际问题（25分钟）教师通过实际问题的展示，引导学生运用基本不等式解决问题，如：小明和小红的身高差距不超过10厘米，小明的身高是120厘米，那么小红的身高范围是多少？Step 4：练习与讨论（15分钟）教师布置一些练习题，让学生独立完成，并进行讨论和解答，以巩固所学知识。

Step 5：归纳总结（5分钟）教师与学生一起总结基本不等式的应用方法和技巧，强调解决实际问题时的思考过程和步骤。

Step 6：作业布置（5分钟）教师布置一些练习题作为课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题。

教学反思：本节课通过引导学生运用基本不等式解决实际问题，培养了学生的逻辑思维和问题解决能力。

在教学中，要注重引导学生思考和讨论，提高他们的参与度和学习兴趣。

此外，教师还可以通过多种教学手段，如实物展示、小组讨论等，激发学生的学习兴趣和动力。

2.4基本不等式的应用(教案)

2.4基本不等式及其应用（1）【教学目标】知识目标：1．引入两个基本不等式：222a b ab +≥),(R b a ∈，,)2a ba b R ++≥∈，并给出几何解释．2．能够利用基本不等式比较大小或求代数式的取值范围．能力目标：掌握灵活应用基本不等式解决相关问题的能力．情感目标：体会数学公式的内在联系，提高学习数学的兴趣．【教学过程】1．基本不等式1：对于任意实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立．证明：2222()0a b ab a b +-=-≥ 222a b ab ∴+≥当a b ≠时，()20a b ->；当a b =时，()20a b -=；所以，当且仅当a b =时，222a b ab +≥的等号成立．（理解 “当且仅当”的含义）【例1】已知,a b R ∈，求证：()2222a b a b ++≥，当且仅当a b =时等号成立．证法一：（作差比较）()()22222220222a b a b a b ab a b +-+-+-==≥，当且仅当a b =时等号成立．证法二：（利用基本不等式1）222a b ab +≥()222222a b a b ab ⇒+≥++()()2222a ba b ⇒+≥+()2222a b a b +⇒+≥，当且仅当a b =时等号成立．思考题：用不等符号连接2)(,2,222b a ab b a ++三者的大小：ab b a b a 22)(222≥+≥+2．基本不等式2：对于任意正数,a b ，有2a b+≥a b =时等号成立．思考：1）如何证明这个不等式；2）不等式的使用前提，一定要是正数； 3）勿忘等号成立的条件；我们把2a b+,a b 的算术平均数和几何平均数．基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式2的几何意义：如图，,AC a BC b ==，DC AB ⊥以,a b 之和为直径的半圆中，半径OD 的长度≥垂线段CD 的长度．【例2】已知0ab >，求baa b +的最小值，并指出b a ,满足什么条件时取到最小值．解：因为0ab >，所以a b 与b a 均正，22=⋅≥+ba ab b a a b ，即最小值为2，当且仅当b a baa b =⇒=时取到最小值. 【变式】若改为0ab <，则a bb a+有怎样的最值？解：有最大值2-，当且仅当b a baa b -=⇒=时取到最大值. 【例3】（1）代数式221x x +与2的大小关系是：2122≥+x x （2）当0<x 时，x x 1+与2-的大小关系是：21-≤+xx （3）代数式41422+++x x 与2的大小关系是：241422>+++x x 【课堂练习】1．已知实数,a b ，判断下列不等式中哪些是一定正确的？（1）222a b ab +≥ 正确（2）222a b ab +≥- 正确（3）2b aa b+≥ 错误 2．设0ab ≠，求||b aa b+的取值范围. [2,)+∞3．设,a b R ∈，比较224b a +与ab 4的大小、224b a +与ab 4-的大小，你能对基本不等式1进行推广吗？解：对于任意实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立；有ab b a 222-≥+，当且仅当b a -=时等号成立.因此ab b a 222≥+. 【课后作业】1．如果,a b R ∈，且0ab >，那么下列不等式中正确的是（ D ）A. 222a b ab +> B. a b +≥ C.11a b +>D. 2b a a b +≥ 2．设0x y >>，则下列各式中正确的是（ A ）A. 2x y x y +>>>B. 2x yx y +>>>C. 2x y x y +>>>D. 2x yx y +>>> 3．函数2()f x =（ D ）A. 4B. 2C. kD. 不能确定4．已知,a b R ∈，比较||||2b a +解：||||2b a +≥2b a =时等号成立.5．已知0a >，求证：322a a a +≥，并指出等号成立的条件．6．已知0a >，0b >+≥+2.4基本不等式及其应用（2）【教学目标】知识目标：1．掌握两个基本不等式及其变形；2．能够利用基本不等式证明简单的不等式；3．能够利用基本不等式求有关问题的最大值或最小值．能力目标：掌握灵活应用基本不等式解决相关问题的能力．情感目标：体会数学知识的逻辑性和灵活性，提高数学思维．【教学过程】 1．知识回顾：基本不等式1 ：对任意实数,a b ，222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立．基本不等式1的变形：2()2a b ab +≤222b a +≤，当且仅当a b =时等号成立．基本不等式2：对任意正数,a b ，a b +≥a b =时等号成立．当积ab 为定值时，和a b +有最小值，当且仅当a b =时等号成立；当和a b +为定值时，积ab 有最大值，当且仅当a b =时等号成立．使用基本不等式2时，注意检验“一正二定三等号”的口诀． 2．例题：【例1】求8,(0)x x x+>的最小值．解：x =. 【变式1】求8,(0)x x x+<的最值．解：最大值-，当且仅当x =-时等号成立. 【变式2】求)1(,18>-+x x x 的最小值. 解：124+，当且仅当122+=x 时等号成立. 【例2】求2622++x x 的最小值.解：4，当且仅当x =.【例3】当0x >时，求xx 12+的最小值.解：2，当且仅当1x =时等号成立. 【变式1】当0x >时，求21xx +的最大值．解：12，当且仅当1x =时等号成立. 【变式2】当0x >时，求21xx +的取值范围． 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（选讲）【例4】求)1(,1122>-++x x x x 的最小值．解：8，当且仅当3=x 时等号成立. 小结：形如1()()f x f x +的最值，要注意检验()f x 的正负，并考察等号成立的条件．【例5】求2(12)x x -，当102x <<时的最大值．解：14，当且仅当14x =时等号成立. 【变式1】求(12)x x -，当102x <<时的最大值．（程度较好的班级可以先出此题）解：18，当且仅当14x =时等号成立. 【变式2】求3(12)x x -，当102x <<时的最大值．解：38，当且仅当14x =时等号成立. 小结：形如()ax b cx -求最值，可变形为()acx b cx c-，则cx b cx b +-=为定值，可利用基本不等式求解.【例6】若0,0>>y x ，且14=+y x ，求yx 11+的最小值.解：（乘1法）最小值为9，当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3161y x 时等号成立.注意：在这里连用两次基本不等式是错误的. 【变式1】若0,0>>y x ，且2=+y x ，求yx 11+的最小值. 解：2，当且仅当⎩⎨⎧==11y x 时等号成立.【变式2】若0,0>>y x ，且132=+yx ，求y x +的最小值. 解：625+，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧+=+=6362y x 时等号成立.小结：乘1法即把已知条件中的“1”乘在所求式子后面，达到出现“互倒和”形式的目的.【课堂练习】1．已知01x <<，求当x0.5x =2．正数,,1x y x y +=，求xy 的最大值．最大值为143．设,x R +∈求821x x ++的最小值．最小值为6（选做）4．设2,x >求24524x x x -+-的最小值．最小值为1【课后作业】 1. 当0>x 时，x x 1+的范围是[)+∞,2；当0<x 时，xx 1+的范围是(]2,-∞-；当0≠x 时，xx 1+的范围是(][)+∞-∞-,22, 2. 若3a >，则13a a +-有最__小___值，是____5_____，此时a =___4____．若0x <，则29x x+有最__大___值，是____-6______，此时x =___-3____．3. 对任意实数224,31x x x +≥+，等号成立的条件是____1x =±__________． 4. 代数式(4)x x -有最____大____值，是____4____，此时x =____2___．5．已知1x >-，求当x 取何值时，41x x ++的值最小. 解：当且仅当1x =时，41x x ++的值最小值是3 6．已知,x y R +∈，且1x y +=，求12x y+的最小值，并指出此时,x y 的取值．解：3+1,2x y ==时，等号成立 7．当0x >时，求234xx +的最大值.解：当且仅当2x =时，234x x +的最大值是348. 设22,,1a b R a b ∈+=且，求ab 及a b +的取值范围．解：11[,],[22-2.4基本不等式及其应用（3）【教学目标】知识目标：基本不等式的应用，不等式证明及应用题．能力目标：掌握灵活应用基本不等式解决相关问题的能力．情感目标：体会数学知识的逻辑性和灵活性，提高数学思维．【教学过程】【例1】求证：对任意实数,,a b c ，有222a b c ab bc ca ++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立．【例2】若,x y R +∈，且1x y +=，求证：（1）14xy ≤；（2）11119x y ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（选讲）（3）4418x y +≥．【例3】某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米，如图所示，怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？（结果精确到0.1米）解：长30.6米，宽22.9米，此时人行道的占地面积最小为6.414平方米.【例4】求证：周长相等的矩形中，正方形的面积最大．证明：设矩形的周长为常数C ，长与宽分别为b a ,，则2Cb a =+为定值. 面积16)2(22C b a ab S =+≤=，当且仅当4C b a ==时等号成立，此时矩形为正方形，面积最大值为162C .【课堂练习】1．已知,,a b c R +∈，求证：a b c ++≥．2．已知,x y R +∈，且21x y +=，求证：18xy ≤，并指出等号成立的条件．【课后作业】1. 设,,a b c R +∈，求证：6b c c a a ba b c+++++≥2. 已知,x y R +∈，求k =的最大值．x y =时，等号成立3. 直角三角形的面积为42cm ，求此三角形周长的最小值．解：4()cm ，当且仅当a b ==时，等号成立4. 用一根长为l 的铁丝制成一个矩形框架，当长、宽分别为多少时，框架的面积最大？解：长、宽分别为4l 时，框架的最大面积为216l5. 建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价是多少元？解：1760元，长2米、宽2米。

《基本不等式及其应用》教学设计

《基本不等式及其应用》教学设计（最新版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高一数学上册《基本不等式及其应用》教案、教学设计

4.学生在解决实际问题时，可能存在将数学知识与实际问题相脱节的情况，需要教师引导学生在实际问题中发现基本不等式的应用；
5.学生的学习兴趣和动机存在差异，教师应关注个体差异，采用多样化的教学策略，激发学生的学习兴趣和积极性。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握基本不等式的定义和性质，特别是算术平均数和几何平均数之间的关系，是本章节的重点和难点；
4.强调数学在生活中的应用价值，提高学生对数学学科的认识和尊重，培养学生的数学素养；
5.培养学生团结协作、互相帮助的精神风貌，让学生在合作学习的过程中，学会尊重他人，共同进步。
二、学情分析
在高一数学上册《基本不等式及其应用》这一章节的教学中，考虑到学生的年龄特点和已有的数学知识基础，进行以下学情分析：
让学生独立完成练习，并及时给予反馈。针对学生的错误，进行针对性的讲解和指导。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我会引导学生从以下几个方面进行总结：
1.本节课我们学习了哪些内容？基本不等式的定义是什么？
2.基本不等式的性质有哪些？它们在实际问题中如何应用？
3.学会了哪些证明基本不等式的方法？它们各自的优缺点是什么？
2.学会运用基本不等式解决实际问题，尤其是如何从实际问题中抽象出数学模型，是教学的另一个难点；
3.掌握基本不等式的证明方法，尤其是构造法和分析法，对于培养学生的逻辑思维能力具有重要意义，也是教学的重点；
4.能够灵活运用基本不等式解决综合性较强的数学问题，提高学生的综合运用能力，是本章节教学的难点。
（二）教学设想
针对以上重难点，我设想以下教学策略和方法：
1.引导学生从实际问题出发，通过观察、分析、归纳，发现基本不等式的内涵和性质。在教学过程中，运用多媒体课件、实物模型等教学资源，帮助学生形象地理解抽象的数学概念；

《基本不等式》教案

《基本不等式》教学设计教材：人教版中学数学必修5第三章一、教学目标1.通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想：2.进•步提炼、完善其本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基木不等式的相识，提高逻辑推理论证实力：3.结合课本的探究图形，引导学生进•步探究基本不等式的几何说明，强化数形结合的思想：4.借助例1尝试用其本不等式解决简洁的增值问题，通过例2与其变式引导学生领悟运用基本不等式向“空的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的实力，体会方法与策略.以上教学目标结合了教学实际，将学问与实力、过程与方法、情感看法价值观的三维目标融入各个教学环节.二、教学重点和难点内<a+b K点,应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究不等式"T的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教学过程：1.动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是依据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现/以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不行分的.探究一：在这张“弦图”中能找出•些相等关系和不等关系吗？在正方形48CD中有4个全等的直角三处形.设直角三角形两条直角边长为40，则正方形的边长为"于是，4个直角三角形的面积之和S L.，正方形的面积S?=/+从.由图可知乡＞$,即3产＞加探究二；先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折春).假设两个正方形的面积分别为。

和b(αNb),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发觉一个不等式吗？加4a+b通过学生动手操作，探究发觉：22.代数证明，得出结论依据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若aMJΓ,则/+从＞2曲.若如尤，则匹吟学生探讨等号取到状况，老师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直•观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论:KVa+b(1)若aMR.,则/.乂工9；(2)若aMR.,则“~请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明.证法一（作差法>:炉♦户之2而，“初”时取等号.（在该过程中，可发觉久》的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由FaMR.,「是要证明毕而只要证明a+b≥.汨，即证Ja+√⅛-2√afc>0f。

高中数学不等式及应用教案

高中数学不等式及应用教案
目标：学生能够掌握高中数学常见的不等式类型，并能够灵活运用不等式进行解题。

一、导入（5分钟）
老师通过展示一道简单的不等式题目引导学生思考，如2x + 3 > 7，然后请学生讨论这个
不等式的意义以及如何解决这个不等式。

二、概念讲解（15分钟）
1. 直接比较法：介绍不等式的大小关系，引导学生通过对不等式两边进行比较来解决问题。

2. 代数法：介绍通过代数运算来解决不等式问题，如加减乘除、移项、取对数等方法。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 让学生通过练习题目来巩固所学的不等式解题方法。

2. 引导学生分组讨论解答过程，分享解题思路。

四、拓展应用（10分钟）
1. 给学生提供一些拓展应用题目，让学生尝试运用不等式解决实际生活中的问题。

2. 引导学生思考如何将不等式运用到其他数学领域中，如几何、概率等。

五、总结与作业布置（5分钟）
老师对本堂课所学内容进行总结，强调不等式解题的重要性和灵活性。

布置一些相关的作
业让学生进行巩固复习。

本节课的教学目标是让学生掌握不等式的基本概念和解题方法，并能够灵活运用不等式进
行解题。

通过多样化的练习和应用，帮助学生提高数学解题能力和逻辑思维能力。

高中高一数学上册《不等式的基本性质》教案、教学设计

在课堂尾声，我将带领学生进行以下总结归纳：
1.回顾本节课所学的不等式性质，让学生用自己的语言总结这些性质的特点和作用。
2.强调不等式性质在实际问题中的应用，鼓励学生在日常生活中多观察、多思考，将所学知识运用到实际中。
3.提醒学生课后复习，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，检验学生对不等式基本性质的理解和应用能力，特布置以下作业：
4.小组合作题：以小组为单位，共同完成教材第chapter页的习题6，此题需要学生互相讨论、共同分析，培养学生的团队合作精神和交流表达能力。
5.思考题：请同学们思考以下问题：“如何运用不等式的性质分析函数的单调性和最值问题？”并将思考结果以书面形式提交。
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，确保作业质量，字迹清晰，表述准确。
在此基础上，大部分学生对数学学科具有一定的兴趣和热情，但学习积极性、主动探究能力等方面存在差异。因此，在教学过程中，教师应注重激发学生的学习兴趣，引导他们积极参与课堂讨论和实践活动，培养其自主学习能力。
此外，学生在团队合作、交流表达方面有待提高。教师在教学过程中应创造更多的小组合作、讨论交流的机会，帮助学生克服心理障碍，提升他们的沟通能力和团队协作精神。
（三）学生小组讨论
讲授新知识后，我将组织学生进行小组讨论，以加深对知识的理解和应用。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组选取一个实际问题，运用不等式的性质进行分析和求解。
2.各小组分享讨论成果，展示解题过程，其他小组进行评价和补充。
3.针对学生在讨论过程中遇到的问题和困惑，进行解答和指导，帮助学生突破难点。
（二）过程与方法
1.通过启发式教学，引导学生自主探究不等式的基本性质，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力；

高中数学第六章不等式教案

高中数学第六章不等式教案教学目标：学习并掌握不等式的基本概念，学会解决一元一次不等式和一元二次不等式；通过练习和应用，提高学生解题的能力和思维逻辑。

教学内容：1. 不等式的基本概念2. 一元一次不等式的解法3. 一元二次不等式的解法4. 不等式的综合运用教学重点和难点：一元一次不等式和一元二次不等式的解法，以及不等式的综合运用。

教学方法：讲授相结合，引导学生主动思考和解题练习。

教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾上节课所学的不等式相关知识，激发学生对不等式的兴趣和好奇心。

二、讲解不等式的基本概念（10分钟）1. 引导学生理解不等式的定义和符号表示。

2. 介绍不等式的性质和基本性质。

三、讲解一元一次不等式的解法（15分钟）1. 讲解一元一次不等式的基本求解方法。

2. 通过例题解析，让学生掌握解题技巧和步骤。

四、讲解一元二次不等式的解法（15分钟）1. 引导学生理解一元二次不等式的定义和性质。

2. 通过例题讲解，让学生掌握一元二次不等式的解法方法。

五、综合训练（15分钟）1. 给学生提供一些练习题，让他们通过练习加深对不等式的理解。

2. 引导学生探讨不等式在生活和实际问题中的应用。

六、作业布置（5分钟）布置相应的作业，加强学生对不等式知识的巩固和提高。

七、课堂小结（5分钟）教师对今天的教学内容进行总结，并鼓励学生多多练习，提高解题的能力和思维逻辑。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的基本概念和解法方法，培养其解题思维和逻辑推理能力，进一步提高数学学习的兴趣和能力。

基本不等式及其应用教案

2.4基本不等式及其应用（1）一、教学目标1、知识与技能（1）探索并了解基本不等式的证明过程；（2）了解基本不等式的几何意义；（3）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

2、过程与方法通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；以及在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想。

3、情感态度与价值观通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。

二、教学重点与难点教学重点：1.数形结合的思想理解基本不等式；2.基本不等式成立的条件及应用。

教学难点：基本不等式成立的条件及应用。

三、讲授新课（一）公式探究探究一：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，比较4个直角三角形的面积与大正方形的面积，你能找到怎样的不等关系？思考一：1、能否取到等号？什么时候取等号？2、以上结论能否推广到任意实数a ,b ?基本不等式1：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）你能给出证明吗？思考二：如果用a ,b 去替换ab b a 222≥+中的a ,b 能得到什么结论？为什么可以替换？a ,b 要满足什么条件？基本不等式2：若,0a b >，则2b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）我们把2b a +和ab 分别叫做正数a 、b 的算术平均数和几何平均数。

因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

探究二：观察下面这个几何图形.已知半圆O ，D 是半圆上任一点，AB 是直径.过D 作DC AB ⊥，垂足为C .显然有线段OD 的长度大于等于垂线段DC 的长度.设AC a =，CB b =，请用a 、b 来表示上述这个不等关系。

实际应用求证：在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。

（二）公式巩固练习1用>≥<≤、、、填空（1）若x>0,则1x x+______2 （2）若x<0,则1x x +______-2 （3）若a 、b R ∈，则224a b +______-4ab（4）若a 、b R ∈，则22433a a +++_______4 2（1）已知ab>0，求证2b a a b+≥，并指出等号成立的条件。