电场强度例题2-高斯定律讲解

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第4章-2-高斯定理

第二节静电场的高斯定理 7-3
第四章第七章
§4.2
静电场的高斯定理基本内容：基本内容：
一、电场线二、电场强度通量三、高斯定理
第二节静电场的高斯定理 7-3 一. 规定电场线
第四章第七章
1）曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 切线方向为该点电场方向通过垂直于电场方向单位面积垂直于电场方向单位面积电场线的条 2）通过垂直于电场方向单位面积电场线的条数为该点电场强度的大小. 数为该点电场强度的大小.
第四章第七章
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
q
第二节静电场的高斯定理 7-3
第四章第七章
带电平行板电容器的电场线 + + + + + + + + + + + +
第二节静电场的高斯定理 7-3
第四章第七章
电场线的特点
始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远, 1）始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去向无穷远) 不会在没有电荷处中断. 向无穷远)，不会在没有电荷处中断. 电场线不相交. 2）电场线不相交. 静电场电场线不闭合. 3）静电场电场线不闭合. 电场线不仅能够表示电场强度的方向， 4) 电场线不仅能够表示电场强度的方向，而且电场线在空间的密度分布还能表示电场强度的大小。电场线在空间的密度分布还能表示电场强度的大小。
dS＇dS
+
任取两个球面，任取两个球面，一个包围曲面，个包围曲面，另一个在曲面内：个在曲面内：则两个球面的电通量都 q/ε 为q/ε0
通过任意形状的包围点电的闭合面的电通量等于q/ q/ε 荷q的闭合面的电通量等于q/ε0

电场的高斯定理

= = =
−σ1 +σ 2ε o
σ1 −σ2
σ
2ε 1+
σo
2
2ε o
σ EA = EC = 0
板外电场为 0 。
E2
=
σ2 2ε o
r 2i
r i
带电平板电容
r 器间的场强 i
EB
=
σ εo
均匀带电体，体密度为ρ，
空腔内任一点的场？
O1
rv1 rv2 O2
E= ρ r 3ε 0
v E1
=
ρ 3ε 0
(3)正确理解（4）
∑q = 0
，不是E＝0，只是积分为零
r
由库伦定律
E
给定电荷分布由高斯定理
Φr E
（通常情况）（电荷对称分布）
（5）高斯定律适用于静电场还适用于随时间变化的电场
高斯定理可以证明电场线有如下性质：电场线发自于正电荷，终止于负电荷，在无电荷处不间断。
证：设P点有电场线发出
解：
r l
选择高斯面——同轴柱面
上下底r面 Err⊥dSr 侧面 E // dS,且同一
r
柱面上E 大小相等。
E
r
r dSr E
∫ ∫ ∫ Φ =
rr E ⋅dS
S
=
rr E ⋅dS +
测
rr E ⋅dS
上下底
= E ⋅ 2πrl Φ = lλ
εo
E= λ 2 πε o r
方向：垂直带电线
无限长均匀带电直线 E = λ
因为 qin = 0 ，有
E=0
S
球层内的空腔中没有电场。
0 (r < R1)

电场强度计算中的高斯定律应用

电场强度计算中的高斯定律应用电场强度是物理学中一个重要的概念，它描述了电荷对周围空间产生的力的大小和方向。

在电场强度计算中，高斯定律是一种非常有用的工具，它可以帮助我们简化复杂的计算过程，提供更加便捷的解决方案。

高斯定律是由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出的。

它表明，电场通过一个闭合曲面的通量与该曲面内部的电荷量成正比。

换句话说，电场通过一个闭合曲面的总通量等于该曲面内部的电荷量除以真空介电常数。

为了更好地理解高斯定律在电场强度计算中的应用，我们可以通过一个简单的例子来说明。

假设我们有一个均匀带电球体，球体上的电荷量为Q，半径为R。

我们想要计算球体表面上的电场强度。

首先，我们需要选择一个适当的闭合曲面。

由于球体具有旋转对称性，我们可以选择一个球面作为闭合曲面。

球面的半径可以任意选择，但为了简化计算，我们可以选择与球体半径相同的球面。

根据高斯定律，电场通过闭合曲面的总通量等于该曲面内部的电荷量除以真空介电常数。

在这个例子中，闭合曲面内部的电荷量就是球体上的电荷量Q。

真空介电常数可以用符号ε₀表示，它的数值约为8.85×10⁻¹² C²/N·m²。

由于球体是均匀带电的，所以球体上的电荷在球面上是均匀分布的。

这意味着球面上的电场强度在各个方向上是相等的。

因此，我们可以将球面上的电场强度记为E。

根据高斯定律，电场通过闭合曲面的总通量等于该曲面内部的电荷量除以真空介电常数。

在这个例子中，闭合曲面内部的电荷量就是球体上的电荷量Q。

真空介电常数可以用符号ε₀表示，它的数值约为8.85×10⁻¹² C²/N·m²。

由于球体是均匀带电的，所以球体上的电荷在球面上是均匀分布的。

这意味着球面上的电场强度在各个方向上是相等的。

因此，我们可以将球面上的电场强度记为E。

大学物理：2第二讲电场强度计算续、高斯定理

2
R
r
x
p dE// x
E
qx
4 0 r 3
iˆ
dE dE
cos x / r
1
讨论：1. x 0 : Eo 0
E
qx
40 (R2
x2 )3/2
iˆ
o
y
r
圆环中心电场为零
2.
x R :
Ep
q
40 x2
iˆ
R
o
z
E
x px
p
R
x
●无论带电体形状如何，在离其足够远处均可视为
点电荷。 2
例4：半径为R的簿圆盘均匀带电，面电荷密度为。
求中心轴线上一点 p处的电场强度。
解：将圆盘分割成许多带电细圆环，其电量
dq ds 2 rdr
细圆环电场
dr
l
r
Ep
o xpx
dE
dqx
40 (r2
x2 )3/2
2 rxdr rxdr 40 (r2 x2 )3/2 20 (r2 x2 )3/2
3
dE
rxdr 20 (r2 x2
二、电通量
●通过某一曲面的电力线数，叫做通过该曲面的电通量。记为“e”.
电通量的计算
s
de E dS
e
E dS
S
通过闭合曲面的电通量
e S E dS
规定：曲面正法线由曲面指向外
E de dSn
ds E
ds
E
q
s
11
例：点电荷q位于球面内球心处，求通过该球面的
电通量。
解：球面上的电场强度
各点产生的电场。
解：由对称性可知，该球壳产生的

高斯定理的应用

简析高斯定理在电场中的应用高斯定理是物理学中电学部分的重要定理之一，在简化计算具有对称性的电场中有着重要应用，例如均匀带电的平面、直线、圆柱体、球面、球体等的电场的计算. 如果不理解高斯定理，不熟练掌握高斯定理的应用技巧，就会感到高斯定理深不可测. 下面，笔者就几年来的教学体会对高斯定理及其在电场中的应用作以简要分析.三、高斯定理在电场中的应用［例题1］设一块均匀带正电无限大平面，电荷密度为σ=9.3×10-8C/m 2，放置在真空中，求空间任一点的场强.解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在均匀带电无限大平面上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与平面垂直向外的方向上(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)在平行于带电平面的某一平面上各点的场强相等；(3)带电面右半空间的场强与左半空间的场强，对带电平面是对称的.为了计算右方一点A 的场强，在左取它的对称点B ，以AB 为轴线作一圆柱，如图-3所示. 对圆柱表面用高斯定理，图-3⎰∑=+=⋅=se e e q ds E 0εφφφ两个底面侧面 (1)0=侧e φ (2) ES e 2=两个底面φ (3)圆柱内的电荷量为∑=S q σ (4)把(2)、(3)、(4)代入(1)得02εσ=E =1281085.82103.9--⨯⨯⨯V/m=5.25×103 V/m ［例题2］设有一根无限长块均匀带正电直线，电荷线密度为λ=5.0×10-9C/m ，放置在真空中，求空间距直线1m 处任一点的场强.解：根据电荷的分布情况，可作如下判断：(1)电荷均匀分布在无限长块均匀直线上，我们知道孤立正的点电荷的电场是以电荷为中心，沿各个方向在空间向外的直线，因此空间任一点的场强只在与直线垂直向外的方向上存在(如果带负电荷，电场方向相反)，其他方向上的电场相互抵消；(2)以直线为轴线的圆柱面上各点的场强数值相等，方向垂直于柱面(如图-4).图-4根据场强的分布，我们以直线为轴作长为l ，半径为r 的圆柱体.把圆柱体的表面作为高斯面，对圆柱表面用高斯定理：⎰∑=+=⋅=se e e q ds E 0εφφφ两个底面侧面 (1)rlE E S e πφ2==侧侧 (2) 0=两个底面e φ (3)圆柱内的电荷量为∑=l q λ (4)把(2)、(3)、(4)代入(1)得r E 02πελ==11085.814.32100.5129⨯⨯⨯⨯⨯--V/m=89.96 V/m［例题3］设有一半径为R 的均匀带正电球面，电荷为q ，放置在真空中，求空间任一点的场强. 解：由于电荷均匀分布在球面上,因此,空间任一点P 的的场强具有对称性,方向由球心O 到P 的径矢方向(如果带负电荷，电场方向相反)，在与带电球面同心的球面上各点E 的大小相等.根据场强的分布，我们取一半径为r 且与带电球面同系同心的球面为为高斯面，如图-5所示.图-5若R r <，高斯面2S 在球壳内，对球面2S 用高斯定理得 ⎰∑=⋅=⋅=se q r E ds E 024επφ球内因为球壳内无电荷，∑=0q ，所以0=球内E若R r >，高斯面1S 在球壳外，对球面1S 用高斯定理得∑=q q ，故有24επqE R =204rq E πε=由此可知，均匀带电球面内的场强为零，球面外的场强与电荷集中在球心的点电荷所产生的场强相同.四、高斯定理在电场中的一般应用步骤: (1) 判断电场的分布特点；(2) 合理作出高斯面，使电场在其中对称分布；(3) 找出电场在高斯面内的垂直面积⊥S ； (4) 分析高斯面内的电荷量q ； (5) 应用高斯定理求解(⎰∑=⋅=ss e qds E 0)(εφ内).我们知道，用电场的叠加原理也可以计算连续分布的电荷所产生的场强，但是高斯定理以其简单明了的步骤最终赢得读者的喜爱.第四讲：高斯定理的应用高斯定理的一个重要应用，是用来计算带电体周围电场的电场强度。

大学物理高斯定理

球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等
轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面大，学物圆理高柱斯壳定理等；
无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：
静电场的性质与计算 6-3 电场线高斯定理
大学物理高斯定理
6-3 电场线高斯定理
一、电场线
1、定义
在电场中画一组带箭头的曲线,
这些曲线与电场强度 E 之间具有
E
以下关系:
①电场线上任一点的切线方向给出了该点电场强度的方向；
②某点处电场线密度与该点电场强度的大小相等。
大学物理高斯定理
电场线密度:经过电场中任一点，作一面积元dS，并使它与该点的场强垂直，若通过dS面的电场线条数为dN，则电场线密度
大学物理高斯定理
高斯定理的应用
例1. 求球面半径为R,带电为q的均匀带电球面的电场的
空间分布。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
S E dS
E 4r2
q
0
q
E 40 r 2
+ +
+ +
+
R
+
r
+q + +
+
rR时，高斯面无电荷，
E＝0
+
+
+++ +

7.3高斯定理讲解

S
E
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
一对等量异号点电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对不等电场线 ++++++++++++
静电场电场线特性
1）始于正电荷,止于负电荷 (或来自无穷远,去向无穷远).
2）电场线不相交. 3）静电场电场线不闭合.
7.3 高斯定理(Gauss theorem )
高斯，德国数学家和物理学家。
1、电通量 (electric flux) （1）电场线(electric field line) （电场的图示法）
规定
1）曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 2）通过垂直于电场方向单位面积电场线数为
该点电场强度的大小. E E dN / dS
a)
q (R a)
2 0 R
q
R a
2、静电场中的高斯定理 (Gauss theorem in electrostatic field)
点电荷位于球面中心
E
4π
q
0r 2
Φe
E dS
S
S
4π
q
0r2
dS
E dS q
S
0
r
+
dS
S
E
点电荷在任意封闭曲面内
S '与球面 S 包围同一
点 P 电场强度是否变化？
s 穿过高斯面的 Φe有否变化？
s
q2 B
q1
在点电荷 q 和 q 的静电场中，做如下的三

大学物理-电场强度通量,高斯定理

2
i
0
q
i
E 4πr 0
E 4 πr
2
q
E 0
0
E
q 4 π 0 r 2
例2 计算均匀带电球体的场强分布，q , R 解：通量

q 4 πR 3 3
qi 2 Φe E dS E 4πr S 0
r<R r>R 电量
电量
4 3 q π r i 3
S S

n
E
曲面闭合时
Φe E dS E cos dS
S S
S
dS

注： E为dS处的电场强度
n E
例三棱柱体放置在如图所示的匀强电场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量. 解
Φe Φei
i 1
5
y
N
S1
P
S2
Φe1 Φe 2
2、高斯 (Gauss) 定理（1）证明: 略.书P166-168 （2 ）内容(书P168): 真空中注:
1 Φe E dS
s
0
q
i 1
n
in i
①公式中S：高斯面(闭合曲面)
②穿过S面的电场强度通量e: 只由S面内的电荷决定
（如图中 q1、q2） ③ E : 面元 dS 处的场强 , 由所有电荷（面内、外电荷）共同产生（如图中 q1、 q2 、 q3）
；
.
q 8 0
(3) 若将此电荷移到正方体的一个顶点上，则通过整个正方体表面的电场强度通量为
1 e E dS
s
0
q

第二讲-高斯定理

rR rR
无限长均匀带电圆柱体
r
E
2 0
R
2
20r
rR rR
无限长均匀分布带电直线
E
2 0r
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家庭作业：8-6、8-8、8-11、8-12、8-13
上页下页返回退出
s1
s2
s3
ER2 0 R2 E
=0
n
n
S1
ds
S2
S3
n
R ds E
上页下页返回退出
1. 求均匀电场中二分之一球面旳电通量。
S
Y
2.
在均匀电场
E
3i
2
面积为S旳电通量。
n
E
n
j
中n，过YEOZ平面n 内
S1
R
O
X
Z
E •S
O n
S2
S1 S2 0
( 3i 2 j )• Si 3S
2ES0
高斯面内有： qi内 S0
0
0
E
n
2 0
无限大带电平面旳电场是均匀电场
上页下页返回退出
E
n
2 0
推论：
( 0)
无限大带电平面旳电场是均匀电场。
两个无限大带等量异号均匀电荷旳平行平面旳电场。
0 0
· E E A
·E
C E
·
E
E
B
A、B点旳场强：
EA EB
E
电场中经过某一曲面（平面）旳电场线条数称经过该曲面（平面）旳电通量。
非均匀电场经过曲面 S 旳电场强度通量: en
E E • ds
θ dS

第2次高斯定理-2

17
电场线特性
1）始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去向无穷远)。在无电荷处电力线不会中断。这对应静电场的有源性，正点荷是源头，负电荷是尾闾。
2）电场线不相交。这对应电场强度的唯一性。方向、大小都是唯一的。
3）静电场电场线不闭合。这对应静电场的保守性。
2019/11/2
18
二电场强度通量
1
2
2019/11/2
q
l dl
9
由于
l btg( ） bctg dl b csc2 d
2
r2 b2 l2 b2 csc2
dE
y
dE y
可得
dEx

4 0b
cos d
dEy

4 0b
sin d
积分得

dEx O
上次课内容回顾
库仑定律：
F12

1
4 0
q1q2 r122
e12

F
1 Q
点电荷的电场： E q0 4 π0 r2 er
电场叠加原理：
E
dE

1
4π 0
er r2
dq
均匀带点圆环（盘）轴线上：
E

4π
0
qx (x2
R2 )3
2
E x ( 1 20 x2
E

E

E

4
q πε0

(
x
2
2 xr0 r02
4)2
i
. q O q r0 2 r0 2 +

第6章静电场(2)高斯定理

S
0
q
S内
高斯面S上积分
S内一切电荷代数和
请思考：1）高斯面上的 E 与哪些电荷有关？
2）哪些电荷对闭合曲面的 Φ e 有贡献？（1）通过闭合曲面的总电通量只决定于它所包围的电荷，闭合曲面外部的电荷对总电通量无贡献．
s
（2）虽然电场强度通量只与面内电荷有关，但高斯面上的电场强度是由全部电荷（既包括闭合曲面内又包括闭合曲面外的电荷）共同产生的总电场强度，并非只由闭合曲面内的电荷所产生。
四. 高斯定理应用
具有某种对称性的电场，可应用高斯定理求解静电场的场强分布。
1 用高斯定理直接求场强的条件： Φe E dS S
0
q
S内
电场（电荷）的分布具有某种对称性（球、面、轴对称性），使得高斯面上的 E 为一常数，且 E 与d S 夹角为一常数（为0、 2 或）这样E 才能由积分号中提出，将积分运算化为代数运算。
与球心相距r , 当 R a r R b 时，该点的电场强度的大小为： (D)
1 4
0
(A)

Qa Qb r
2
1
(B)
4

0
Qa Qb r
2
1
(C)
4
(
0
Qa r
2Qb Rb2来自1)(D)
4

0
Qa r
2
解：作半径为r的同心球面为高斯面，由高斯定理

Qa 2 E d S 4 r E

E dS
S
EdS
S
E 4π r
2

1
0

S内

第一章静电学的基本规律(高斯定理)讲解

R
drrA r
r
rB
29
例6 求一均匀带电球面的电势分布。
解由高斯定理知，电场分布为 E
0
1q
1.当r < R 时

Edr

Edr
4πo r2
R

Edr Edr
r
r
r
R

1
R 4π0
q r2
dr

1
4π0
q R
2.当r > R 时

（D）如果高斯面内有净余电荷 ,则穿过高斯面的电通量必不为零。
（ E）高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场。
27
例5 真空中有一电荷为Q，半径为R的均匀带电球面.试求
（1）球面外两点间的电势差；（2）球面内两点间的电势差；（3）球面外任意点的电势；（4）球面内任意点的电势.
o
AB
R
rA
r
rB

q
40r 2
rˆ dS

qds cos 4 0r 2
q d 4 0

E dS
q d
S
S 4 0
q d q
4 0 S
0
在所设的情况下得证

E
dS

qi
i ( S内)
S
0
41
2)源电荷仍是点电荷
dS1
常见的电量分布的很好的对称性：
球对称
柱对称
面对称
均匀
球体
带球面
电的
(点电荷)
无限长的柱体柱面带电线
无限大的平板平面

3)高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度

q P
14
讨论
求电势
dq 利用 U = P 4 πe 0 r （利用了点电荷电势 U = q / 4 πe 0 r ，
这一结果已选无限远处为电势零点，即使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远处为电势零点.）
§9.3
电势
的方法

→ 若已知在积分路径上 E 的函数表达式，
qq0 dr A= rA r 2 4 πe 0 qq0 1 1 = ( ) 4 π e 0 rA rB
rB
→ B dl → dr E rB
r
q
rA
A
q0
结果: A 仅与 q 0 的始末位置有关，与路径无关.
8
2.任意带电体系的静电场力做的功
§9.3
i
电势
E = Ei
i
→ →= → → A = q0 E×dl q 0 l E i×d l
+
+
q 1 qdl q = UP = = 2 πR 4 πe 0r 4 π e x 2 R 2 4 πe 0 r 0
16
§9.3
电势
UP =
q 4 πe 0 x R
2 2
q 4πe 0 R
V
讨论
q x = 0，U 0 = 4 πe 0 R q x R，U P = 4 πe 0 x
则

UA =

A
→ → E × dl
15
例9-2 正电荷 q均匀分布在半径为 R的细圆环上. 求圆环轴线上距环心为处点 P 的电势.
x
y
dl + + + + + +R o +

高斯定理例题

作与带电球体同心且半径为r 的高斯面.

高斯面上的电场强度大小相同.
E
通过高斯面的电通量为:

E dS

E 4r 2

q
S
0
r
R
高斯面上的场强大小为:
E

q 4 0r 2
3
① 当 r R时，
E

q 4 0r 2
E
高斯面内包围电荷为:
R
q

dV

圆柱半径为R,沿轴线方向单位长度带电量为.
解：电场分布应有柱对称性,方向沿径向.
作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面. z
高斯面高为 l ,半径为r.
en

通过高斯面的电通量为:
+
E

+
E dS E dS E dS
S
s(侧面）
s(上底）

r l
+
+o
结论:无限大均匀带电平面激发的电场与离平面的距离
无关,即在两侧形成均匀电场,方向垂直于带电平面.
8
例4.求均匀带电球面内、外的电场,球面半径为R,带电为q. 解：电场分析. 电场分布具有球对称性,方向沿径向.
作与带电球面同心且半径为r 的高斯面.
根据高斯定理得通过高斯面的电
场强度通量为:
E dS

eny
E dS E dS
s (下底）
s ( 侧面）
E 2rl
x
+ en
5
q
由高斯定理知: E dS
S
0

6.2电场强度通量高斯定理

一半径为 R , 均匀带电 Q 的球体 .
E
E Qr 40 R
3
E
Q 40 r
2
O
R
r
电场强度通量
高斯定理
静电场
例无限长均匀带电直线的电场强度无限长均匀带电直线，电荷线密度为，求距直线处的电场强度.
r
解对称性分析：轴对称选取闭合的柱形高斯面 E dS
有几条电场线穿进必然有同样数目的电场线从面内出来。
电场强度通量
高斯定理
静电场
练习1：半径为R的半球面置于电场强度为E的均匀电场中，选半球面的外法线为面法线正方向，则通过该半球面的电场强度通量 E 为（）
A. B. C. D.
R E
2
E
2
2R E 3R E
2
R
R E
2
2
o
r
电场强度通量
高斯定理
静电场
利用高斯定律求静电场的分布（ E ）
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）
步骤： 1.对称性分析，确定 E 的大小及方向分布特征 2.选择一合适的闭合曲面作高斯面，计算电通量及 qi
3.利用高斯定律求解 E
电场强度通量
例
高斯定理
静电场
均匀带电球壳的电场强度分布一半径为 R , 均匀带电 Q 的薄球壳 . 求球壳内外任意点的电场强度.

π 2
,
Φe 0
电场强度通量
高斯定理
静电场
3. 非均匀电场或非平面情况下求电通量
d Φe E d S
Φe

E
en
d S dS en

6.2静电场的高斯定理

三、高斯定理
在真空中，在真空中，通过任一闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/ 该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/εo倍。
φe = ∫ E⋅ dS = S
1
ε0
∑q
i
i
验证高斯定理：验证高斯定理：
1、点电荷在球形高斯面的圆心处球面上场强: 球面上场强: E =
E
dS
+ +
q 4 0R πε
2
dΦe = E⋅ dS = EdS =
Φe = ∫ q 4 0R πε
2
q 4 0R πε
q
2
dS
q
0
S
dS =
4 0R πε
2 S
∫dS = ε
2、点电荷在任意形状的高斯面内
Φe = ∫ E⋅ dS = ∫ E⋅ dS =
S S'
q
ε0
S
S’
+
3、点电荷在闭合曲面以外
Φ = ∫ E⋅ dS =0 e
R
dE
x
P
解：利用细圆环解得结果
dE=
4 0 x +r πε
2
(
xdq
2 3/ 2
)
dr r
R
dq =σ2 rdr π
dE = 4 0 ( x +r πε
2
R 0
dE
x
P
x⋅σ 2 rdr π
2 32
)
E =∫ dE = ∫
σ x = 1 − 2 32 2 2 2 0 (x + R2)1 2 ε 4 0 ( x +r ) πε
S
+ +

第八章+静电场2-高斯定理

r r ∑s内) qi ( ∫∫ E⋅ dS =
S
ε0
r 是面S 所有电荷在曲面上曲面上产生的式中 E是面S内、外所有电荷在曲面上产生的
场的矢量合。场的矢量合。 3) Σqi, S面内, 电荷代数和。面内, 面内电荷代数和。 , 4) 左端：封闭面S上左端：封闭面S S上各点的场强大小和方向(出、入)。上各点的场强大小和方向( 上各点的场强大小和方向 5) 高斯定理适用于变化的电磁场。高斯定理适用于变化的电磁场。
球面度
四. 高斯定理在求解电场方面的应用
无限长直带电线
高斯定理
12
例1.无限长均匀带电线外一点的场强 1.无限长均匀带电线外一点的场强无限长
v v v P : dE = dEr + dE 点 r r 电荷对称=>场强柱对称=> E = E r
取半径为r 高为l的圆柱面取半径为 ,高为的圆柱面
的单位：条数” 2. Φ的单位：“条数”或“根数的单位高斯定理电场线 ”
2
3.用电通量描述均匀电场 3.用电通量Φ描述均匀电场用电通量描述均匀电场E 比 Φ E= 单位 NC, V mor m 较 S 同 v v 一电通量表示式 E n 场 Φ= E S 中 v v 的关系： 4. E n时，E与Φ、S的关系： …
高斯定理例题
方向如图方向如图
16
应用高斯定理解题步骤：应用高斯定理解题步骤：高斯定理解题步骤 1.画示意图；画示意图 2.按对称性选取高斯面；按对称性选取高斯面；按对称性选取高斯面 3. 分区积分，求电通量；分区积分，求电通量； 4. 解出场强，指明方向。解出场强，指明方向。
高斯

大学物理之54电场强度通量高斯定理

(5) 静电场：有源场.
Φe SE dSε10
n
qin i
i1
四高斯定理应用举例
用高斯定理求电场强度的一般步骤为对称性分析；根据对称性选择合适的高斯面；应用高斯定理计算.
Φe SE dSε10
n
qin i
i1
例2 设有一半径为R , 均匀带电Q 的球面. 求球面内外任意点的电场强度.
-q
2 高斯定理
高斯面
在真空中静电场，穿过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该曲面所包围的所
有电荷的代数和除以 ε 0 .
Φe SE dSε10
n
qin i
i1
3 高斯定理的讨论
(1) 高斯面：闭合曲面. (2) 电场强度：所有电荷的总电场强度.
(3) 电通量：穿出为正，穿进为负.
(4) 仅面内电荷对电通量有贡献.
二电场强度通量
1 定义通过电场中某个面的电场线数
2 表述
匀强电场， E垂直平面时.
SS
Een
E
Φe ES
二电场强度通量
1 定义通过电场中某个面的电场线数
2 表述
匀强电场，
E与平面夹角 θ.
Φe EScoθs ES
S
Sθ
en
E
非匀强电场，曲面S .
dS dSe n
d Φ e E cθ o d S s E d S
库仑定律电场强度叠加原理
高斯定理
高斯 (C.F.Gauss 17771855）
高德国数学家、天文学
家和物理学家，有“数学王子”美称，他与韦
斯伯制成了第一台有线电
报机和建立了地磁观测台，高斯还创立了电磁量的绝对单位制.

2、高斯定律

E cos dS E cos dS E cos0 dS 2 2 上下侧 E 2rL

由高斯定理： E dS E 2rL
E o
1 E r
L q内 0 0
1
r
E 2 0 r
23
讨论：
R
o o
1. 无限长均匀带电柱面的电场分布对称性分析：视为无限长均匀带电直线的集合；选高斯面；同轴圆柱面
' dE
S q
R
dq dq
r
P
o
dE
' dE dE
以 O 为中心，r 为半径的球面 S 上各点彼此等价
大小相等 E E 方向沿径向
17
确定高斯面
以半径 r 的同心球面 S为高斯面
S q
R
dq dq
r
P
' dE dE
o
' dE dE
2 通过S的电通量： E dS E cos 0 dS E 4r
15
☻利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布静电场
成立条件：静电场求解条件：电场分布具有某些对称性
才能找到恰当的高斯面，使 E dS 中的 E 能够 s
以标量形式提到积分号外，从而简便地求出 E 分布。
球对称性
常见类型：场源电荷分布
轴对称性
面对称性
16
[例一] 求均匀带电球体（q、R ）的电场分布对称性分析
13
四应用高斯定理计算电场
1.用高斯定理求解静电场的条件静电场具有球对称、轴对称或面对称等特殊对称性，可从积分号内提出，变积分方程为代数方程. E