第六节-交通流理论-排队论

二、排队论的基本原理
1．基本概念 排队” 排队系统” 1) “排队”与“排队系统”的概念 排队 “排队”—单指等待服务的，不包括正在被服务的； 排队” 单指等待服务的，不包括正在被服务的； 单指等待服务的 既包括等待服务的， “排队系统”—既包括等待服务的，又包括正在被服务的车辆。 排队系统” 既包括等待服务的 又包括正在被服务的车辆。
n =1 6
计算结果表明排队车辆数超过6辆的可能性极小，故可认为该出入道的 存车量是合理的。
四、M/M/N系统 系统
1.计算公式 在M / M / N排队系统中，服务通道有N条，所以也叫“多通道服务”系统。 设λ为进入多通道服务系统车辆的平均到达率，排队行列从每个服务台 接受服务后的平均输出率为µ，则每个服务台的平均服务时间是1 / µ。 仍记ρ = λ / µ，则ρ / N称为M / M / N系统的服务强度或交通强度，亦可称 为饱和度。和M / M / 1相仿，当ρ / N < 1时系统是稳定的，否则不稳定，排 队长度将趋向于无穷大。 M / M / N系统根据车辆排队方式的不同，可分为： 1 ）单路排队多通道服务：指排成一个队等待数条通道服务的情况，排队 中头一车辆可视哪条通道有空就到哪里去接受服务； 2）多路排队多通道服务：指每个通道各排一个队，每个通道只为其相应 的一队车辆服务，车辆不能随意换队。此种情况相当于N个M / M / 1系统 组成的系统，其计算公式亦相同。 对于单路排队多通道服务的M / M / N系统，计算公式如下：
第八章 交通流理论
排队论的应用 第三节 排队论的应用
一、引言
排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列即排队的现象， 排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列即排队的现象， 是研究 以及合理协调需求与服务关系的一种数学理论， 需求与服务关系的一种数学理论 以及合理协调需求与服务关系的一种数学理论，是运筹学中以概率论为基 础的一门重要分支，亦称“随机服务系统理论” 础的一门重要分支，亦称“随机服务系统理论”。 典型的例子——食堂排队； 典型的例子——食堂排队； ——食堂排队 排队论是20世纪初开始发展的。1905年丹麦哥本哈根电话工程师爱尔朗首 排队论是20世纪初开始发展的。1905年丹麦哥本哈根电话工程师爱尔朗首 世纪初开始发展的 年丹麦哥本哈根电话工程师爱尔朗 先在电话自动交换机设计时应用排队论。 先在电话自动交换机设计时应用排队论。使电话机既能满足通话需求而又 不致设线过多。第二次世界大战以后，排队论在很多领域内被采用。 不致设线过多。第二次世界大战以后，排队论在很多领域内被采用。在交 通工程中，对于研究车辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、 通工程中，对于研究车辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、加油 站等交通设施的设计与管理方面得到广泛的应用。1936年 站等交通设施的设计与管理方面得到广泛的应用。1936年亚当斯 Adams.W.F）用以考虑未设置交通信号交叉口的行人延误问题，1951年 （Adams.W.F）用以考虑未设置交通信号交叉口的行人延误问题，1951年唐 予以推广应用，1954年伊迪（ 应用排队模型估计收费亭的延误。 纳予以推广应用，1954年伊迪（ Edie ）应用排队模型估计收费亭的延误。 同年在摩斯柯维茨的报告中，将其应用于车辆等候交通流空档的实验报告。 摩斯柯维茨的报告中 同年在摩斯柯维茨的报告中，将其应用于车辆等候交通流空档的实验报告。
2)排队系统的3个组成部分： (3)服务方式(输出)指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，每一 顾客服务了多少时间。每次服务可以接待单个顾客，也可以成 批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。 服务时间的分布主要有如下几种： ①定长分布：每一顾客的服务时间都相等（发放物品）； ②负指数分布：即各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负 指数分布(看病)； ③爱尔朗分布：即各顾客的服务时间相互独立，具有相同的爱 尔朗分布。
为叙述方便，引用下列符号， 为叙述方便，引用下列符号，令 M代表泊松分布输入或负指数分布服务； 代表泊松分布输入或负指数分布服务； D代表定长分布输入或定长分布服务； 代表定长分布输入或定长分布服务； Ek代表爱尔朗分布的输入或服务。 代表爱尔朗分布的输入或服务。 于是泊松输入、负指数分布服务， 于是泊松输入、负指数分布服务，N个服务台的排队系统可以 写成M/M/N M/M/N； 写成M/M/N； 泊松输入、定长服务、单个服务台的系统可以写成M/D/1。 泊松输入、定长服务、单个服务台的系统可以写成M/D/1。 M/D/1 同样可以理解M/ /N，D/M/N…等符号的含义 等符号的含义。 同样可以理解M/ Ek /N，D/M/N 等符号的含义。 如果不附其它说明，则这种符号一般都指先到先服务， 如果不附其它说明，则这种符号一般都指先到先服务，单个 先到先服务 服务通道的等待制系统。 服务通道的等待制系统。
k
4
10 3 . 0 . 0213 = 3 . 3 辆 q = 2 4 !× 4 5 1 − 6
5
10 n = q + ρ = 3.3 + = 6.6辆 3
3 .3 ω = = = 5s / 辆 2 λ 3 q
d =ω+
1
µ
= 5 + 5 = 10 s / 辆
ρ
1− ρ
=
λ µ −λ
ρ (1 − ρ ) 2
7)系统中的平均消耗时间d =
λ
1
8)排队中的平均等待时间w = d −
µ
例2今有一停车场，到达率λ为60辆 / h，服从泊松分布。停车场的服务能力为
µ为100辆 / h，服从负指数分布。其单一的出入车道可存车6辆，问该数量
是否合适？ 解：这是一个M / M / 1排队系统问题
λ=
2400 2 = 辆/ s 3600 3
1 µ = 辆 /s 5
λ 10 ρ= = µ 3
P（0） = 1
10 5 = = < 1，系统稳定 N 3× 4 6
1 = = 0.0213 16.0617 + 30.8642
ρ
10 10 3 3 + 3 ∑ k! 5 k =0 4!1 − 6
2)排队系统的3个组成部分： (2)排队(规则)指到达的顾客按怎样的次序接受服务。例如： 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动 消失，永不再来。 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队 伍，等待服务，服务次序有先到先服务(这是最通常的情形) 和优先权服务(如急救车、消防车优先)等多种规则。 混合制：顾客到达时，若队伍长小于L，就排入队伍；若队伍 长等于L，顾客就离去，永不再来。
三、M/M/1系统—单通道服务系统 M/M/1系统— 系统
设顾客平均到达率为λ，则到达的平均时距为1 / λ。排队从单通道服务后通过接受 服务后通过的平均服务率为µ，则平均服务时间为1 / µ。比率ρ = λ / µ叫做服务强度 或交通强度，可以确定系统的状态。所谓状态，指的是排队系统的顾客数。 1)在系统中没有顾客的概率为P (0) = 1 − ρ 2)在系统中有n个顾客的概率为P (n) = ρ n (1 − ρ ) 3)系统中的平均车辆数n = 4)系统中的平均方差σ 2 = 5)平均排队长度q = n − ρ 6)非零平均排队长度q w = 1 1− ρ n
多通道服务方式
( 1 ) 系统中没有车辆的概率 P (0 ) = 1
为：
∑
N −1 k = 0
ρ
k
k!
+
ρ
N
N ! (1 − ρ / N )
( 2 ) 系统中有
k 个车辆的概率： k < N k >= N
ρ k . P ( 0 ), k! P （ k ）= ρ k P ( 0 ), N !N k−N
两种系统比较
4个M/M/1 个 平均车辆数 平均排队长 平均耗时 平均等候时间 20 16.68 30 25 M/M/4 6.6 3.3 10 5
λ 5 ρ = = < 1，系统稳定 µ 6
5/ 6 n= = = 5辆 (1 − ρ ) 1 − 5 / 6
ρ
q = n − ρ = 5 − 5 / 6 = 4 . 17 辆
d= n
λ
=
5 = 30 s / 辆 1/ 6
ω=d −
1
µ
= 30 − 5 = 25s / 辆
按单路多通道系统M/M/4计算： 计算： 按单路多通道系统 计算
排队的车辆
排队系统 中的车辆
排队的 排队系统
8辆车 10辆车 10辆车
2)排队系统的3个组成部分：wk.baidu.com输入 排队 输出
(1)输入过程就是指各种类型的“顾客(车辆或行人)”按 怎样的规律到达。有各式各样的输入过程，例如： 定长输入：顾客等时距到达。 泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。这种输入过 程最容易处理，因而应用最广泛。 爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
( 3 ) 系统中的平均车辆数： P (0 ) n = ρ + . N ! N (1 − ρ / N ) 2
ρ
N +1
（4）平均排队长度：
q = n − ρ
(5)系统中的平均消耗时间 ：
d = q
λ
+
1
µ
=
n
λ
( 6 )排队中的平均等待时间
：
ω =
q
λ
一加油站，今有2400 2400辆 的车流量通过4个通道引向4 例3. 一加油站，今有2400辆/h的车流量通过4个通道引向4个 加油泵，平均每辆车加油时间为5 服从负指数分布， 加油泵，平均每辆车加油时间为5s，服从负指数分布，试按多 路多通道系统（ M/M/1系统 单路多通道系统（M/M/4系统 系统） 路多通道系统（4个M/M/1系统 ）单路多通道系统（M/M/4系统） 计算各相应指标。 计算各相应指标。 M/M/1系统由题意可知 系统由题意可知： 解： 按4个M/M/1系统由题意可知： 2400 / 4 1 1 µ = 辆 /s = 辆/ s λ= 5 3600 6
3)排队系统的主要数量指标 3)排队系统的主要数量指标 最重要的数量指标有3 最重要的数量指标有3个： (1)等待时间即从顾客到达时起到他开始接受服务时止这段 (1)等待时间即从顾客到达时起到他开始接受服务时止这段 等待时间 时间。 时间。 (2)忙期即服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作 (2)忙期即服务台连续繁忙的时期， 忙期即服务台连续繁忙的时期 强度。 强度。 (3)队长（顾客数）有排队顾客数与排队系统中顾客之分， (3)队长（顾客数）有排队顾客数与排队系统中顾客之分， 队长 这是排队系统提供的服务水平的一种衡量。 这是排队系统提供的服务水平的一种衡量。
λ = 60辆 / h，µ = 100辆 / h ρ = λ / µ = 60 / 100 = 0.6 < 1，系统是稳定的。
因出入道存车量为6辆，如果超出6辆的概率很小时（一般认为小于5%），则 认为合适，否则认为不合适。 P(0) = (1 − ρ ) = 1 − 0.6 = 0.4，P(1) = ρ (1 − ρ ) = 0.6 × 0.4 = 0.24 P(2) = ρ 2 (1 − ρ ) = 0.6 2 × 0.4 = 0.14，P (3) = 0.63 × 0.4 = 0.09 P(4) = 0.6 4 × 0.4 = 0.05，P(5) = 0.65 × 0.4 = 0.03 P(6) = 0.66 × 0.4 = 0.02 P(> 6) = 1 − P (≤ 6) = 1 − ∑ P (n) = 1 − 0.97 = 0.03