齿轮啮合原理-第一章

cos( xn , xm ) cos( xn , ym ) cos( xn , zm ) cos( yn , xm ) cos( yn , ym ) cos( yn , zm ) cos( zn , xm ) cos( zn , ym ) cos( zn , zm ) 0 0 0
1.6 坐标变换应用
外摆线的形成
1.6 坐标变换应用
渐开线的形成动画
1.6 坐标变换应用
用于导出曲面
1.7 齿轮的实体仿真
1.5坐标变换实例 1.6坐标变换应用
用于导出曲线
用于导出曲面 1.7齿轮的实体仿真
1.1 齐次坐标
在三维空间中，一个点的齐次坐标由四个数
( x, y, z,1) 来确定，这四
个数不同时等于零，并且其中只有三个是独立数。假定t* ≠0，则普 通坐标和齐次坐标之间有如下的关系式
（Ⅱ）矩阵 M 21 不是奇异的，从而逆坐标变换是可能性的。为了确定逆 1 矩阵 M12 M 21 ，我们利用以上方程从而导出 cos sin 0 (sin cos ) sin cos 0 (cos sin ) M 12 0 0 1 0 0 0 0 1 这样，利用矩阵方程
主讲人：张亚楠 组员：蒋传鸿 王亚兵 邓波 张亚楠
分工：
组长：蒋传鸿 主要负责组员的合理分工、资料的收集及齿轮 的建模 组员：王亚兵—1-3节内容PPT制作 邓波 — 4-7节内容PPT制作 张亚楠—PPT后期处理及仿真分析
提纲
1.1齐次坐标 1.2坐标转换 1.3绕轴线的转动
1.4转动和移动的4×4矩阵
b Lba a
中的 Lba（ a 和 b 表示同一位置矢量 分别在坐标系Sa 和Sb 下的表示 )
1.3 绕轴线的转动
将其标记为 和
a a1ia a2 ja a3 ka
a b1ib b2 jb b3 kb
0 Cs c3 c2 c3 0 c1 c2 c1 0
其中矩阵 M mn 为变换矩阵，可由 M nm 求逆得到， 即
M mn M nm1
1.2 坐标变换的矩阵表示
1.3 绕轴线的转动
我们考察普遍情况，即转动 是绕着一个不与所使用坐标系的 任一坐标轴相重合的轴线完成的。 用C 表示转动轴线的单位矢量 （如图），并假定其可沿顺时针 和逆时针方向转动。
cos sin M f1 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1.5 坐标变换实例
并且
x2 x1 cos y1 sin y2 x1 sin y1 cos z2 z1
x* y* z* x * ,y * ,z * t t t
利用t*=1，一个点可以用齐次坐标表示为 ( x, y, z,1) ，而一个位置矢量
可以用下面表示：
rm [ xm , ym , zm ,1]
T
1.2 坐标变换的矩阵表示
同一点在不同坐标系之间的变换
rn M nm rm
xn ( Om ) yn ( Om ) zn (Om ) 1
注：下标n为新坐标系下的，下标m为旧坐标下的
1.2 坐标变换的矩阵表示
逆坐标变换 其目的在于在给定坐标 xn , yn , zn 的情况下确定 xm , ym , zm 。
rm M mn rn
1.3 绕轴线的转动
我们假定有两个坐标系:固定坐标系 Sa 和动坐标系 Sb。这里有两个 与绕 C 转动有关的典型课题。 1.假定有一矢量刚性固接在一个运动物体上其初始位置用 OA (如上图) 来标记。绕 C 转过φ后，我们的目标是导出联系两矢量的方程， 即 *
a La a
中的La （下标“a”表明两矢量在同一坐标系 Sa 中） 2.同一矢量在不同坐标系中得表示问题，我们的目标是导出矩阵方程
其中 M nm 为变换矩阵，表明坐标变换是从 Sm 到 Sn 。
M nm a11 a 21 a31 0 a12 a22 a32 0 a13 a23 a33 0 a14 (in im ) (in jm ) (in km ) (OnOm in ) a24 ( jn im ) ( jn jm ) ( jn km ) (OnOm jn ) a34 (kn im ) (kn im ) (kn km ) (OnOm kn ) 1 0 0 1 0
r1 M12 r2
1.5 坐标变换实例
我们得到
x1 x2 cos y2 sin (sin cos ) y1 x2 sin y2 cos (cos sin ) z1 z2
1.6 坐标变换应用
坐标变换的技巧可以成功地用来导出某些曲线。假定所要导出的 曲线是由完成规定运动的点形成的。相应地，假定曲面也是由完成规 定运动的曲线形成的。 用于导出曲线 用于导出曲面 外摆线 螺旋面 渐开线
首先定义
由相关公式即可推出
La I (1 cosφ )(Cs )2 sinφ Cs
s 2 s Lab LT I (1 cos φ )( C ) sin φ C a
1.4标系的原点
是不重合的，并且其方向也是不 同的。在这种情况下，坐标变换 可以利用齐次坐标和4×4矩阵， 它们分别描述绕定轴线的转动和 一个坐标系相对于另一坐标系的 移动。
1
1.5 坐标变换实例
解：(Ⅰ)从S1到S2的坐标变换基于矩阵方程
r2 M 21 r1 M 2 f M f 1 r1
转动矩阵Mf1 描述绕轴线Zf 的转轴， Zf 轴的单位矢量为
c f 0 0 1
T
从S1 到 S2的转动是沿顺时针方向完成的，因此必须选取方程中下面的运 算符号。考虑到 c1 c2 0, c3 1 ，我们得到下列转动矩阵 M f 1 的表达式
1.4 转动和移动的4×4矩阵
从Sp 到Sq 的坐标变换可以用下面的矩阵方程表示。
rq M qn M np rP M qp rP
4×4矩阵Mnp描述从Sp到Sn的移动，并且用下式表示 1 0 0 a 0 1 0 b M np 0 0 1 c 0 0 0 1 4×4矩阵Mqn描述绕着具有单位矢量 C 的固定轴线的转动，由下式表示 a11 a12 a13 0 a a a 0 23 M qn 21 22 a31 a32 a33 0 0 0 0 1
1.5 坐标变换实例
问题1：坐标系S1和 r1 刚性固接到相对于固定坐标系Sf进行转动和移动的 齿轮和齿条刀具上(图1.5.1)。坐标系S1中的点M用位置矢量 O1M r1 来表示。 (Ⅰ)确定同一点在坐标系 S2 中的位置矢量 r2 。 1 (Ⅱ)通过矩阵 M 21的各个元素表达逆矩阵 M12 M 21 ，并且在 r2 给定的 情况下，确定位置矢量 r 。