二项式定理典型例题分析

二项式定理典型例题分析

例1的近似值（精确到）是．

分析

例2 除以100的余数是．

分析：转化为二项式的展开式求解．

．

上式中只有最后两项不能被100整除．8281除以100的余数为81，所以除以100的余数为81．

例3（l）若的展开式中，的系数是的系数的7倍，求；

（2）已知的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，求；《

（3）已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求．

解：（l）依题意，即，

由可整理，得，解得.

（2）依题意，

整理，得

∵

∴，解得.

（3）依题意，整理，得，

两边取对数，得，解得或.

∴，或.

&

点评的展开式及其通项公式，是，，，四个基本量的统一体，已知与未知是相对的，运用方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数．

例4（1）已知，

那么=_________.

（2）=___________.

分析（1）令，得，而；

∴

（2）在二项展开式中，

令，则左式，右式

∴.

点评这是一组求二项展开式的各项系数和的题目，求解的依据是

(

与. 这两个等式都是恒等式，因此赋予字母，及以某些特定数值时，等式依然成立．

例5（1）展开式中常数项是．

（2）的展开式中的系数为．

（3）展开式中，的系数等

于．

分析：（1），展开式的常数项恰为中间项．

（2），

其展开式的系数为．

本题也可把看作5个的因式连乘，

,

欲得到含的项，只需在5个因式中送1个含，其余4个选常数2，

则它的系数是：．

（3）

．

所求项的系数即为展开式中含项的系数是：

例6

（1）在的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则

（2）的展开式奇数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大项是．分析：（1）由已知，所以．

'

（2）由已知，而，

∴

展开式中二项式系数最大项是第5项．

例7已知，

那么

分析用特殊值法．

令，得，

令，得，

∴．

·

例8的值等于（）．

A．111105 B．111111 C．12345 D．99999

分析由已知式子的结构，可构造二项式．

原式．故选C．