高二下学期第二次月考数学(理)试题Word版含答案

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河北省邢台二中2013-2014学年高二下学期第二次月考数学(理)试题 Word版含答案

河北省邢台二中2013-2014学年高二下学期第二次月考数学（理）试题一、选择题（60分）1．复数2i 1i -3⎪⎭⎫⎝⎛+＝( )A ．－3＋4iB ．－3－4iC ．3－4iD ．3＋4i2曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为（）A.34 B.37 C.35 D.38 3、已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（）A.e 2 B.e 1- C.e 1 D.e2- 4.设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件8. 设,,x y R ∈ 则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9、设常a R ∈，集合A ＝{|(1)()0x x x a --≥}，B ＝{|1x x a ≥-}，若A B ＝R ，则a 的取值范围为（） A ．（－∞，－2） B ．（－∞，2］ C ．（2，＋∞） D ．［2，＋∞）10．已知f (x )＝x 3＋x ，若a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值( )A ．一定大于0B ．一定等于0C ．一定小于0D ．正负都有可能11．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．[0，π2)B ．[0，π2)∪[2π3，π)C ．[2π3，π)D ．[0，π2)∪(π2，2π3]12.等比数列{a n }中a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215二、填空题（20分）13、函数13)(3+-=x x x f 在闭区间]0,3[-上的最大值与最小值分别为： 14.由曲线2y x =与2x y =所围成的曲边形的面积为________________ 15．观察下列不等式213122+< 353121122<++474131211222<+++……照此规律，第五个．．．不等式为 . 16. 函数g (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax 在区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 3内单调递减，则a 的取值范围是________．三、解答题（共6题，70分）17．(10分)已知集合P ＝{x |x 2－8x -20≤0}， S ＝{x |1-m ≤x ≤1+m }(1)是否存在实数m ，使”x ∈P ”是”x ∈S ”的充要条件？若存在，求m 的取值范围；若不存在说明理由；(2)是否存在实数m ，使”x ∈P ”是”x ∈S ”的必要条件？若存在，求m 的取值范围。

四川省凉山州宁南中学2022-2023学年高二下学期第二次月考理科数学试题

【详解】解：∵ A = {x 1 < x < 2}， B = {x 1 £ x £ 2} ，
∴ A Ç B = {x 1 < x < 2} ，
故选：D． 2．C 【分析】由复数运算法则可得 z 代数形式，后可得其虚部.
【详解】
z
=
3 + 2i 1+ i
=
(3 + 2i)(1- i) (1+ i)(1- i)
=
5
2
i
=
5 2
-
1 2
i
，则
z
的虚部是
-
1 2
.
故选：C 3．B
【分析】根据点 P ( x, y) 在椭圆上得
x2 a2
+
y2 b2
= 1，且 -a
£
x
£ a ，再利用两点距离求得
PF1
=
c a
x + a ，从而可确定
PF1
a, c 的最大值与最小值，即可求得的值，即可得离心率
e
=
c a
的值.
【详解】设椭圆的半焦距为 c ，若椭圆上一点 P ( x,
为圆柱下底面圆
O
的直径，C
是下底面圆周上一点，已知
ÐAOC
=
π 3
，
OA
=
2
，圆柱的高为
5．若点
D
在圆柱表面上运动，且满足
uuur BC
×
uuur CD
=
0
，则点
D
的轨
迹所围成图形的面积为________．
试卷第31 页，共33 页
16．已知函数 f ( x) = aln2x +1- x (a Î R) 有且仅有一条切线经过点 (0, 0) .若"x Î[1, +¥) ， f ( x) + mlnx £ 0 恒成立，则实数 m 的最大值是______.

2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题(解析版)

2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知复数满足，（）z ()()31i 1i z --=+z=A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出复数的代数形式，再求模即可. z 【详解】由得()()31i 1i z --=+，()()()()1i 1i 1i333i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.z ∴==故选：D.2. 某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意27.326χ=愿与家庭年收入高低有关系的可信度（）参考数据如下：，()()()22210.8280.001,7.8790.005, 6.6350.01P P P χχχ≥≈≥≈≥≈.()()223.8410.05, 2.7060.1P P χχ≥≈≥≈A. 低于 B. 低于 C. 高于 D. 高于1%0.5%99%99.5%【答案】C 【解析】【分析】根据临界值表求得正确答案.【详解】由于，()27.326 6.635,7.879χ=∈而，()()227.8790.005, 6.6350.01P P χχ≥≈≥≈所以可信度高于. 99%故选：C3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（）,a b 10a b ⋅= ()3,4b =- a b A. B.C.D. ()6,8-()6,8-68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭68,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.a b【详解】解：因为向量，且，那么，()3,4b =- 10a b ⋅=5b == 所以向量在向量上的投影向量为， a b ()3468cos ,555b a b a a b b b-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ ，，故选：C.4. 已知等比数列的前n 项和为，若，则（）{}n a n S 153n n S t -=⨯+t =A. B. 5C.D.5-53-53【答案】C 【解析】【分析】根据条件得到，，，从而求出，，，再由数列是等比数列得到，1S 2S 3S 1a 2a 3a {}n a 3212a a a a =即可得到.t 【详解】由题意得：，，， 115S a t ==+21215S a a t =+=+312345S a a a t =++=+即，，， 15a t =+210a =330a =因为数列是等比数列，所以， {}n a 3212a a a a =即，解得：，1030510t =+53t =-故选：C .5. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①,,,A B C D AE平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数//CDF ABE //CDF AB AD ⊥ACE ⊥BDF 为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直O ,,OB OC OE ,,x y z 角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， O ,,OB OC OE ,,x y z 设正八面体的边长为,则2()(()()(0,,,,,0,0,A E C D F 所以，,(()(,,0,AE CD CF ===设面的法向量为，则，解得，取，即CDF (),,n x y z =CD n CF n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x z x y =⎧⎨=-⎩1x =()1,1,1n =-又，所以，面，即面，①正确；0AE n ⋅== AE n ⊥AE ⊄CDF AE //CDF 因为，所以，AE CF =- AE //CF 又，面，面，则面，//AB CD AB ⊄CDF CD ⊂CDF //AB CDF 由，平面，所以平面平面，②正确； AB AE A = ,AE AB ⊂ABE AEB //CDF 因为，则，所以，③正确；))(),,BAB AD ==0AB AD ⋅=u u u r u u u rAB AD ⊥易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，ACE ()11,0,0n =u r BDF ()20,1,0n =u u r因为，所以平面平面，④正确；120n n ⋅=ACE ⊥BDF 故选：D6. 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（）A. 220B. 200C. 190D. 170【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个， 312C 353C 33125C 3C 190-=故选：C .7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、1F 2F ()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，，平分，则双曲线的离心率为（）23CB F A =2BF 1F BC ∠ΓA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定23CB F A =2//CB F A 1,BF BC 义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.,,a b c 【详解】因为，所以∽，23CB F A =12F AF 1F BC △设，则，设，则，． 122FF c =24F C c =1AF t =13BF t =2AB t =因为平分，由角平分线定理可知，， 2BF 1F BC ∠11222142BF F F c BC F C c ===所以，所以， 126BC BF t ==2123AF BC t ==由双曲线定义知，即，，① 212AF AF a -=22t t a -=2t a =又由得，122B F B F a -=2322BF t a t =-=所以，即是等边三角形， 222BF AB AF t ===2ABF △所以．2260F BC ABF ∠=∠=︒在中，由余弦定理知，12F BF 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅即，化简得， 22214942223t t ct t+-=⋅⋅2274t c =把①代入上式得． ce a==故选：A ．8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x 的最大整数，已知数列满足，，()[]f x x =[]x {}n a 12a =26a =，若，为数列的前n 项和，则（）2156n n n a a a +++=[]51log n n b a +=n S 11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭[]2023S =A. 999 B. 749 C. 499 D. 249【答案】A 【解析】【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解{}1n n a a +-1145n n n a a -+=⨯-，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.151n n a +=+[]51log n n b a n +==【详解】由得，因此数列为公比为5，2156n n n a a a +++=()2115n n n n a a a a +++-=-{}1n n a a +-首项为的等比数列，故，进而根据累加法214a a -=1145n n n a a -+=⨯-得，()()()()1111112024555251n n n n n n n n a a a a a a a a ++---=+++=++-+-++=+- 由于，又，()515log log 51nn a +=+()()()5555log 5log 51log 55log 511nnnnn n <+<⨯⇒<+<+因此，则，故[]51log n n b a n +==()11000100011100011n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，12110001n n S c c c n ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭所以， []20231100010001100099920232023S ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于n n n c a b =+{}n a {}n b ()11n a n n =+，其中为等差数列，为等比数列等. n n n c a b =⋅{}n a {}n b 二、多选题（共20分）9. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（）221124x y m m +=--A. m 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m∈C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. ((故选：BC.10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是{}n a n n S 10a >d 890a a +>90a <（） A.0d <B. 当时，取得最大值 8n =n S C.45180a a a ++<D. 使得成立的最大自然数是15 0n S >n 【答案】ABC 【解析】【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB ；利用通项公式将转化为可判80a >90a <4518a a a ++9a 断C ；利用下标和性质表示出可判断D.1617,S S 【详解】解：因为等差数列中，，， {}n a 890a a +>90a <所以，，，A 正确； 80a >90a <980d a a =-<当时，取得最大值，B 正确；8n =n S ，C 正确； ()45181193243830a a a a d a d a ++=+=+=<，，()()1611689880S a a a a =+=+>11717917()1702a a S a +==<故成立的最大自然数，D 错误． 0n S >16n =故选：ABC ．11. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（） ()1nx +A.8n =B. 的展开式中项的系数为56 ()1nx +2x C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为56()21nx y +-2xy 【答案】AC 【解析】【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB ，()1nx +n n 利用所有奇数项的二项式系数和为判断C ，根据二项式定理判断D.12n -【详解】因为的展开式通项为，()1nx +1C C k k k kr n n T x x +==所以的展开式的第项的二项式系数为，()1nx +1k +C kn 所以，解得，A 正确； 26C C n n =8n =的系数为，B 错误；2x 28C 28=奇数项的二项式系数和为，C 正确； 1722128n -==根据二项式定理，表示8个相乘，()821x y +-()21x y+-所以中有1个选择，1个选择，6个选择，()21x y+-x 2y-1所以的展开式中项的系数为，D 错误；()21nx y +-2xy ()71187C C 156-=-故选：AC12. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为13，p .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路X 口遇到红灯个数之和为，则（） Y A. ()54243P X ==B. ()109D X =C. 当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为25p =216625D. 当时， 25p =()443E Y =【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ，确定，即可求出和，对于C ，表示一天至少遇到红灯15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4P X =()D X 的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，再将1233p +代入即可求得结果，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则25p =ξ()5,B p ξ~，，即可求出.Y X ξ=+()E Y 【详解】对于AB ，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，且他X 在甲路口遇到红灯的概率为， 13则，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，， ()44511104C 133243P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111051339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以A 错误，B 正确，对于C ，由题意可知一天至少遇到一次红灯的概率为， ()112111333p p ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭则小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 32351212C 13333p p ⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，， 25p =323233551212122122216C 1C 13333335335625p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+⨯--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以C 正确，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，， ξ()5,B p ξ~Y X ξ=+所以， ()()()()1553E Y E X E X E p ξξ=+=+=⨯+当时，，所以D 错误， 25p =()121155353E Y =⨯+⨯=故选：BC三、填空题（共20分）13. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______. 2x =-20x +-=(-【答案】 ()2224x y ++=【解析】【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可()2,C t -(-A AC 20x -=求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程. t AC【详解】记圆心为点，点为点，C (-A 因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为， C 2x =-C ()2,t -因为圆与直线相切于点， C 20x -=(A -所以直线与直线垂直， CA 20x +-=直线的斜率为 CA 20x +-=， 1⎛=- ⎝所以，0=t 所以圆心为， ()2,0C -圆的半径为，2CA r ===所以圆的方程为. ()2224x y ++=故答案为：.()2224x y ++=14. 已知随机变量,且，若,则的最小()21N ξσ ，()()0P P a ξξ≤=≥()00x y a x y +=>>，12x y+值为_________．【答案】 32+【解析】【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 2a =【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，()21,N ξσ1x =又，，即． ()()0P P a ξξ≤=≥12a∴=2a =则()(121121213332222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立.y=2,4x y ==-故答案为：. 32+15. 已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】## 120.5【解析】【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得. n a 2a 3a 4a 5a 4b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1216. 设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集()f x (0,)+∞()20f =3()2()05f x f x x--≤为___________【答案】 [)(]2,00,2-U 【解析】【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集. 【详解】由题意，，x ∈R 在中，为奇函数且在上单调递减，()y f x =()f x ()0,∞+()20f =∴，，函数在和上单调递减，()()f x f x =--()()220f f -==(),0∞-()0,∞+∴当和时，；当和时，. (),2-∞-()0,2()0f x >()2,0-()2,+∞()0f x >∵，3()2()05f x f x x--≤∴，即，3()2()3()2()()055f x f x f x f x f x x x x ----==-≤()0f x x≥当时，解得：；当时，解得：， 0x <20x -≤<0x >02x <≤∴不等式解集为：，3()2()05f x fx x--≤[)(]2,00,2-U 故答案为：.[)(]2,00,2-U 四、解答题（共70分）17. 已知向量，，且函数.()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅（1）求函数的单调增区间；()f x （2）若中，分别为角对的边，，求的取值范围. ABC ,,a b c ,,A B C ()2cos cos -=a c B b C π26A f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2） 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可； ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数1cos 2B =π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的性质求解即可. 【小问1详解】因为向量，，且函数()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅所以 ()211π1cos cos cos2sin 22262f x m n x x x x x x ⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 令，解得， πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以，函数的单调增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，()2cos cos -=a c B b C由正弦定理可得：， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=即，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+因为， ()sin cos sin cos sin sin C B B C B C A +=+=所以，2sin cos sin A B A =因为，所以， ()0,π,sin 0A A ∈≠1cos 2B =因为，所以，所以， ()0,πB ∈π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， πππ11sin cos 263622A f A A ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；π13cos 0,2622A f A ⎛⎫⎛⎫+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的取值范围为.π26A f ⎛⎫+⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭18. 已知正项数列中，．{}n a 2113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求的前n 项和． 2nn na b ={}n b n T 【答案】（1） 21n a n =+（2） 2552n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据计算即可得解；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】当时，，2n =2212212222324212,0S S a a a a a +=-=+=+>解得，25a =由当时，， 2n ≥21223n n n S S a -+=-得当时，，3n ≥2121223n n n S S a ---+=-两式相减得，即，()22112n n n n a a a a --+=-()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=又，所以，0n a >()123n n a a n --=≥又适合上式，212a a -=所以数列是以为首项，为公差的等差数列， {}n a 32所以； 21n a n =+【小问2详解】， 2122n n n n a n b +==则， 1223521222n n n n T b b b +=+++=+++ ， 231135212122222n n n n n T +-+=++++ 两式相减得 2311322221222222n n n n T ++=++++- 211111121122222n n n -++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭111121212212n n n +-+=+--， 152522n n ++=-所以. 2552n nn T +=-19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，S ABCD -SCD ⊥ABCD SC SD =ABCD ，，，分别为线段的中点. π3BAD ∠=2AB =1AD =,MN ,CD AB（1）证明：平面；BD ⊥SMN （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. SA ABCD π6C SBD --【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直BD MN ⊥SM BD ⊥的判定可证得结论；（2）根据线面角的定义可知，设，取中点，根据垂直关系可以为π6SAM ∠=MN BD O = SN F O 坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】，，，， 2AB = 1AD =π3BAD ∠=2222cos 3BD AB AD AB AD BAD ∴=+-⋅∠=即，，，BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥分别为中点，四边形为平行四边形，，；,M N ,CD AB ABCD //MN AD ∴BD MN ∴⊥，为中点，，SC SD = M CD SM CD ∴⊥平面平面，平面平面，平面，SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =SM ⊂SCD 平面，又平面，；SM ∴⊥ABCD BD ⊂ABCD SM BD ∴⊥，平面，平面.SM MN M = ,SM MN ⊂SMN BD ∴⊥SMN 【小问2详解】连接，AM 由（1）知：平面，则与平面所成角为，即， SM ⊥ABCD SA ABCD SAM ∠π6SAM ∠=在中，，， ADM △1AD DM ==2ππ3ADC BAD ∠=-∠=，解得：2222cos 3AM AD DM AD DM ADC ∴=+-⋅∠=AM =，； 2πcos 6AMSA ∴==πtan 16SM AM ==设，取中点，连接，MN BD O = SN F OF 分别为中点，，又平面，,O F ,MN SN //OF SM ∴SM ⊥ABCD 平面，又，OF ∴⊥ABCD MN BD ⊥则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，O ,,OM OB OF,,x y z则，，，，C ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,0,12S ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，112SB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CB =()DB = 设平面的法向量，SBC (),,n x y z =则，令，解得：，，；1020SB n x y z CB n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2y =0x=z=(0,n ∴= 设平面的法向量，SBD (),,m a b c =则，令，解得：，，；1020SB m a c DB m ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2a =0b =1c =()2,0,1m ∴= ，cos m n m n m n⋅∴<⋅>===⋅ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为C SBD --∴C SB D --20. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT ）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分35的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．12（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率；（2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望．【答案】（1）625（2）分布列见详解， 85【解析】【分析】（1）根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；（2）根据题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可．【小问1详解】甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：． 22212131236C 2525525P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设甲累计得分为随机变量X ，X 的可能取值为0，1，2，3．，()212102510P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()2212121371C 252520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2212131222C 25255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213332520P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭∴随机变量X 的分布列为： X 0123P110 720 25 320∴． ()17238012310205205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21. 已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）： 24x =价格x16 17 18 192024需求量y 5549424036经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归5211630i ix==∑52110086ii y ==∑513949i i i x y ==∑5y x 方程为. 4710y x a=-+（1）估计对应的需求量y （结果保留整数）；24x =（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.24x =6r 附：相关系数. r ==328.8769≈【答案】（1）16（2） 0.575-【解析】【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入18x =2225y =a 即可；24x =（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可. x 'y '【小问1详解】记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，x y 由题设知，. 511185i i x x ===∑51122255i i y y ===∑因为回归直线经过样本中心，所以，解得. (),x y 2224718510a =-⨯+129a =即， 4712910x y -+=所以时对应的需求量（件）. 24x =47241291610y =-⨯+≈【小问2详解】设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，x 'y '611196i i x x ===∑61111963i i y y ===∑，，.6212206ii x==∑62110342i i y ==∑514333i i i xy ==∑所以相关系数. 0.575r ==≈-22. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的(1,0)F y A y M ||||1AF AM -=A 轨迹为曲线.C （1）求曲线的方程；C （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直(1,0)B -C P Q (1,)((0,2)D t t ∈t 线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. PD C N QN 【答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可；()(),0A x y x >（2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y PQ ()1,0B -PQ 入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得124y y =()13231y y ty y y ++=QN ，即可得到直线过定点坐标.()()()131441y y ty y x +-=-QN 【小问1详解】解：设，则， ()(),0A x y x >()0,M y 因为，||||1AF AM -=又，整理得.0x >1x =+()240y x x =>【小问2详解】证明：设、、，()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y 所以， 121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-所以直线的方程为，PQ ()11124y y x x y y -=-+因为点在直线上，()1,0B -PQ 所以，即，解得①， ()111241y x y y -=--+21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭124y y =同理可得直线的方程为，PN ()11134y y x x y y -=-+又在直线上，所以，易得， ()1,D t PN ()111341t y x y y -=-+1y t ≠解得②，()13231y y ty y y ++=所以直线的方程为，即③，QN ()22234y y x x y y -=-+()23234y y y x y y +=+将②式代入③式化简得，又， ()1311234y y ty y x y y y +=+124y y =即， ()131344y y ty y x y +=+即， ()()()131441y y ty y x +-=-所以直线恒过定点.QN 41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

2022-2023学年四川省成都市树德中学高二年级下册学期4月月考数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年四川省成都市树德中学高二下学期4月月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数，则（）1i z =-21z z -=A ．B ．C ．D ．31i2--11i 2--11i 2-11i 2+【答案】B【分析】将复数z 代入目标式，结合复数的除法和共轭复数求解即可.【详解】因为，所以．1i z =-21111(1i)i (1i)1i 2i 22z z-=-+=-+=---故选：B ．2．若与是两条不同的直线，则“”是“”的（）1:10l x my --=2:(2)310l m x y --+=12l l ∥3m =A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用两直线平行的结论即可进行判断.【详解】由题意，若，则，解得或，12l l ∥1(3)(2)()m m ⨯-=--1m =-3m =经检验，或时，，则“”是“”的必要不充分条件，1m =-3m =12l l ∥12l l ∥3m =故选：C ．3．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（）()y f x =()y f x '=A ．在区间上，是增函数(2,1)-()f x B ．当时，取到极小值2x =()f x C ．在区间上，是减函数(1,3)()f x D ．在区间上，是增函数(4,5)()f x 【答案】D【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;对于B ，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A 错；时，取得极322-<<-x ()0f x '<()f x 2x =()f x 大值（函数是先增后减），B 错；时，，递增，C 错；时，12x <<()0f x '>()f x 45x <<，递增，D 正确．()0f x '>()f x 故选：D.4．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，下列说法正确的是（）A ．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则21s 22s 2212s s >B ．甲成绩比乙成绩更稳定C ．甲成绩的极差大于乙成绩的极差D ．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则1x 2x 12x x <【答案】B【分析】根据题中折线图的数据信息以及变化趋势，结合平均数、方差和极差的定义逐项分析判断【详解】对A 、B ：由折线图的变化趋势可知：甲的成绩较为集中，乙成绩波动很大，故甲成绩比乙成绩更稳定，故，故A 错误，B 正确；2212s s <对C ：极差为样本的最大值与最小值之差，甲的极差大约为30，乙的极差远大于30，故甲的极差小于乙的极差，C 错误；对D ：由图可知：甲的成绩除第二次略低于乙的成绩，其余均高于乙的成绩，故，D 错误；12x x >故选：B.5．德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布π尼兹“关于的级数展开式计算的近似值（其中P 表示的近似值）”.若输入，输出的结果Pπππ8n =可以表示为A ．B ．11114(1)35711P =-+-+- 11114(135713P =-+-++ C ．D ．11114(135715P =-+-+- 11114(1)35717P =-+-++ 【答案】C【解析】根据已知程序框图依次代入计算,即可得出输出结果.【详解】第1次循环:;1,2S i ==第2次循环:；11,33S i =-=第3次循环: ;111,435S i =-+=…第8次循环:,1111135715S =-+-+⋯-9i =此时满足判定条件,输出结果.111144135715P S ⎛⎫==-+-+⋯- ⎪⎝⎭故选:C【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,得到程序框图的计算功能是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题6．椭圆与直线相交于A ，B 两点，过AB 的中点M 与坐标原点的直线的斜22221x y a b +=10x y +-=率为2，则=（）ab ABCD ．2【答案】A【分析】设,所以，利用点差法，做差化简，利用()()()112200,,,,,A x y B x y M x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解出．0120122,1OM AB y y y k k x x x -====--a b 【详解】解：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ∴0120122,1OM AB y y y k k x x x -====--由AB 的中点为M 可得①，②1202x x x +=1202y y y +=由A ．B 在椭圆上，可得22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减可得③，()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=把①②代入③可得()()01201222220x x x y y y a b --+=整理可得222,b a a b ==故选：A7．已知是区间内任取的一个数，那么函数在上是增函数的m []0,43221()233f x x x m x =-++x ∈R 概率是（）A ．B ．C ．D ．14131223【答案】C【分析】首先得到恒成立，则解出的范围，再根据其在内取数，利220()4f x x x m '=-≥+m [0,4]用几何概型公式得到答案.【详解】，22()4f x x x m '=-+在上是增函数3221()233f x x x m x =-++x ∈R 恒成立22()40f x x x m '∴=-+≥21640m ∴∆=-≤解得或2m ≥2m ≤-又是区间内任取的一个数m [0,4]24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数在上是增函数的概率3221()233f x x x m x =-++x ∈R 42142P -==故选：C ．8．如图所示，四边形ABCD 为边长为2的菱形，∠B =60°，点E,F 分别在边BC,AB 上运动(不含端点)，且EF//AC ，沿EF 把平面BEF 折起，使平面BEF ⊥底面ECDAF ，当五棱锥B-ECDAF 的体积最大时，EF 的长为A ．1BCD 【答案】B【分析】由可知三角形为等边三角形，设，由此计算得的高，以及五//EF AC BEF EF x =BEF ∆边形的面积，由此写出五棱锥的体积的表达式，并用导数求得当为何值时，体积取得最ECDAF x 大值.【详解】由可知三角形为等边三角形，设，等边三角形，面//EF AC BEF EF x =BEF x，所以五边形的面积为，故五棱锥的体积为2ECDAF 22222x =.令，解得，且当()23110238x x x x ⎛⎫⨯=-<< ⎪ ⎪⎝⎭'32131088x x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭x =时，单调递减，故在0x <<318x x -2x <<318x x -x =也即是最大值.故选B.【点睛】本小题考查等边三角形的面积公式（若等边三角形的边长为.），考查a 2锥体的体积公式，考查利用导数的方法求体积的最大值.题目是一个折叠问题，折叠问题解决的第一步是弄清楚折叠前后，有那些量是不变的，有哪些是改变的.属于中档题.9．已知点，若在圆上存在点满足，则正实()()2,0,1,0M N -221:()(1)4C x a y -+-=P 2PM PN =数的取值范围是（）aA ．B ．C ．D ．[]2,41⎡+⎢⎣22⎡⎢⎣59,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【分析】设，由，化简可得，点既在圆上，也在圆上，(),P x y 2PM PN=22:(2)4E x y -+=P C E 所以圆与圆有公共点，由圆与圆的位置关系求解即可.C E【详解】设，由，得(),P x y 2PM PN==整理得，即；2240x y x +-=22(2)4x y -+=记圆，则点既在圆上，也在圆上，所以圆与圆有公共点，22:(2)4E x y -+=P C E C E所以，即，解得.3522CE ≤≤3522≤≤22a ≤≤故选：C.10．已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>A 2:12C y ax =F 线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（）E P 0PA PF ⋅=EA ．B ．C ．D ．()1,2⎛ ⎝()2,+∞⎫+∞⎪⎭【答案】B【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，根据向量的数,b P m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭量积为；再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于，化简整理，结合离心率公式即可得到00所求范围．【详解】双曲线的右顶点，渐近线方程为，()2222:10,0x y E a b a b -=>>(),0A a b y x a =±抛物线的焦点为，2:12C y ax =()3,0F a 设，则，，,b P m m a ⎛⎫⎪⎝⎭,b PA a m m a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 3,b PF a m m a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 由可得：，0PA PF ⋅= ()()22230b a m a m m a --+=整理可得：，22221430b m ma a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，2222Δ164130b a a a ⎛⎫∴=-+⋅≥ ⎪⎝⎭，()222233a b c a ∴≥=-，2234c a ∴≤则：c e a =≤由可得：.1e>e ⎛∈ ⎝故选：B.11．定义在上的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，R ()f x ()()2xf x f x e =-0x >恒成立，则下列判断一定正确的是（）()()f x f x '>A ．B ．()()523e f f <-()()523f e f <-C ．D ．()()523e f f ->()()523f e f -<【答案】B【分析】构造函数，判断为偶函数，且在上单调递增，再计算函数值比较大小()()x f x g x e =()0,∞+得到答案.【详解】构造函数，因为，所以()()x f x g x e =()()2x f x f x e =-()()2x f x f x e -=则，所以为偶数()()()()()2x x x x f x f x f x e g x g x e e e ----====()g x 当时，，所以在上单调递增，0x >()()()0x f x f x g x e '-'=>()g x ()0,∞+所以有，则，即，即.()()32g g >()()32g g ->()()3232f f e e -->()()532e f f ->故选B【点睛】本题考查了函数的综合应用，构造函数判断其奇偶性和单调性是解题的关键.()()x f x g x e =12．已知函数若函数恰有5个零点，则实数2,1,()eln 52,1,xx f x xx x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩2[()](24)()1y f x a f x =+-+的取值范围是（）a A ．B ．949,824⎡⎫⎪⎢⎣⎭491,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．D ．91,8⎛⎤⎥⎝⎦9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】先研究时，的单调性和极值，画出分段函数的图象，换元后数形结合转1x >()e ln xf x x =化为二次函数根的分布情况，列出不等式组，求出实数的取值范围.a 【详解】当时，，则，1x >()e ln xf x x =()2ln 1e ln x f x x -'=当时，，单调递减，当时，，单调递增，1e x <<()0f x '<()f x e x >()0f x ¢>()f x 则时，.当时，.1x >()(e)1f x f ≥=1x ≤22()52(1)66f x x x x =--=-++≤作出大致图象，函数恰有5个不同零点，()f x 2[()](42)()1y f x a f x =--+即方程恰有5个根.令，则需方程.2[()](24)()10f x a f x +-+=()f x t =2(24)10(*)t a t +-+=（l ）在区间和上各有一个实数根，令函数，(,1)-∞[2,6)2()(24)1u t t a t =+-+则解得.(1)12410,(2)42(24)10,(6)366(24)10,u a u a u a =+-+<⎧⎪=+-+≤⎨⎪=+-+>⎩949824a ≤<（2）方程（*）在和各有一根时，则(1,2)(6,)+∞(1)12410,(2)42(24)10,(6)366(24)10,u a u a u a =+-+>⎧⎪=+-+<⎨⎪=+-+<⎩即无解.1,9,849,24a a a ⎧⎪<⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩（3）方程（*）的一个根为6时，可得，验证得另一根为，不满足.4924a =16（4）方程（*）的一个根为1时，可得，可知不满足.1a =综上，.949824a ≤<故选：A【点睛】复合函数与分段函数结合问题，要利用数形结合思想和转化思想，这道题目中要先研究出分段函数的图象，再令，换元后转化为二次函数根的分布问题，接下来就迎刃而解了.()f x t =二、填空题13．已知呈线性相关的变量与的部分数据如表所示：若其回归直线方程是，则x y 1.050.85y x =+______．m =x24568y34.5m7.59【答案】6.5##132【分析】根据样本中心点一定在回归直线上，代入求解即可.【详解】245685,5x ++++==3 4.57.5924.55m m y +++++==样本点的中心的坐标为24(5,5m +代入得：1.050.85y x =+24 1.0550.85,5m+=⨯+6.5.m =故答案为：6.514．若实数，满足约束条件，设的最大值为，则______．x y 30201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩2x y +a 11(2)d ax x x +=⎰【答案】##24ln 5+ln 524+【分析】根据给定条件，作出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求出a ，再计算定积分作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中30201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩ABC ，15(2,1),(1,1),(,)22A B C -令，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，2x y z +=2y x z =-+2-z 画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最大，最大，0:2l y x =-0l 1l 1l A 1lz 于是，即，max 2215z =⨯+=5a =所以.5252211111(2)d (2)d (ln )|(5ln 5)(1ln1)24ln 5ax x x x x x x x +=+=+=+-+=+⎰⎰故答案为：24ln 5+15．已知点P 为抛物线C ：上一点，若点P 到y 轴和到直线的距离之22(0)y px p =>34120x y -+=和的最小值为2，则抛物线C 的准线方程为___．【答案】=1x -【分析】由抛物线的定义结合距离公式得出，进而得出抛物线C 的准线方程.2p =【详解】过点分别作直线，和y 轴的垂线，垂足分别为，，设焦点为.P 34120x y -+=A B (,0)2pF 点到直线的距离为.F 34120x y -+=531210d p =+由定义可知，，则，||||2pPF BP =+||||||||222p AP BP AP PF p d +=+-≥-=当且仅当三点共线时，取等号，,,A P F 所以，解得，12231052p p+-=2p =则抛物线C 的准线方程为=1x -故答案为：=1x -16．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为__________．x 2121ln n mx e x -≥+1[,)2+∞nm 【答案】1e【解析】分类讨论，时不合题意；时求导，求出函数的单调区间，得到0m <0m >在上的最小值，利用不等式恒成立转化为函数最小值，化简得()21ln mx f x x =+1[,)2+∞122n m e e -≥，构造放缩函数对自变量再研究，可解,nm e ≥nm n 【详解】令；当时，，不合题意；2()1ln mx f x x =+0m <1(1)02n f m e -=<<当时，，0m >()()()22ln 11ln mx x f x x +'=+令，得或，()0f x '<10x e -<<112e x e --<<所以在区间和上单调递减.()f x 1(0)e -,112(,)e e --因为，且在区间上单调递增，1121(,)2e e --∈()f x 12(,)e -+∞所以在处取极小值，即最小值为.()f x 12x e -=2m e 2m e 若，，则，即.12x ∀≥12()n f x e -≥122n me e -≥nm e ≥当时，，当时，则.0n ≤0nm ≤0n >n n n m e ≤设，则.()()0n n g n n e =>1()n ng n e -'=当时，；当时，，01n <<()0g n '>1n >()0g n '<所以在上单调递增；在上单调递减，()g n (0,1)(1,)+∞所以，即，所以的最大值为.()(1)g n g ≤1nn ee ≤nm 1e 故答案为： 1e【点睛】本题考查不等式恒成立问题.不等式恒成立问题的求解思路：已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数(,)0f x l ³λx D ∈的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法; 如果无法分离参数，可以考虑对参数λ或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或，)求解．0a >∆<0a<00∆>三、解答题17．已知命题：复数，．复数在复平面内对应的点在第四象p ()()2226i z m m m m =++--Rm ∈z 限．命题：关于的函数在上是增函数．若是真命题，是真命题，q x 21y x mx =++[)1,+∞p q ∨p ⌝求实数的取值范围．m 【答案】[][)2,03,-+∞【分析】由题可求出命题为真时的取值范围，然后根据复合命题的真假即得.,p q m 【详解】若命题为真，则，解得；p 222060m m m m ⎧+>⎨--<⎩03m <<命题为真：可得，所以；q 12m -≤2m ≥-由是真命题，可得命题为假命题，又是真命题，所以命题为真命题，p ⌝p p q ∨q所以或，且，0m ≤3m ≥2m ≥-故或，即的取值范围为.20m -≤≤3m ≥m [][)2,03,-+∞ 18．已知函数，且．()()312R 3f x x ax a =-+∈()20f '=(1)求函数在处的切线方程；()f x 3x =(2)求函数在上的最大值与最小值．()f x []0,3【答案】(1)；516y x =-(2)最大值为2，最小值为.103-【分析】（1）由题可得，然后根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切4a =3x =线方程；（2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.【详解】（1）因为，故，解得，()2f x x a'=-()240f a '=-=4a =因为，所以，()31423f x x x =-+()24f x x '=-则所求切线的斜率为，且，()23345f '=-=()391221f =-+=-故所求切线方程为，即；()()153y x --=-516y x =-（2）因为，，所以，()31423f x x x =-+[]0,3x ∈()24f x x '=-令，得（舍去），()240f x x '=-=2x =2x =-由，可得，函数单调递减，()0f x '≤[]0,2x ∈()f x 由，可得，函数单调递增，()0f x '≥[]2,3x ∈()f x 所以的极小值为，又，，()f x ()81028233f =-+=-()02f =()31f =-所以的最大值为2，最小值为.()f x 103-19．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” ．某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图．其中时间段9：20~9：40记作区间，[)20,409：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：[)40,60[)60,80[]80,10010点04分，记作时刻64．(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取5辆，再从这5辆车中随机抽取3辆，则恰有1辆为9：20~10：00之间通过的概率是多少？【答案】(1)10:04(2)35【分析】（1）运用频率分布直方图中平均数公式计算即可.（2）运用分层抽样比计算各段所抽取的车辆数，再运用列举法求古典概型的概率即可.【详解】（1）这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为9:2010:40～，即：10点04分.300.00520500.01520700.0220900.012064⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）由题意知，时间段内抽取车辆数为，分别记为：[20,60)5(0.005200.01520)2⨯⨯+⨯=，，1a 2a 时间段内抽取车辆数为，分别记为：，，[60,80)50.02202⨯⨯=1b 2b 时间段内抽取车辆数为，记为：，[80,100]50.01201⨯⨯=c 所以从这5辆车中随机抽取3辆的基本事件有：，，，，121(,,)a a b 122(,,)a a b 12(,,)a a c 112(,,)a b b ，，，，，共10个，11(,,)a b c 12(,,)a b c 212(,,)a b b 21(,,)a b c 22(,,)a b c 12(,,)b b c 恰有1辆为之间通过的基本事件有：，，，，9:2010:00～112(,,)a b b 11(,,)a b c 12(,,)a b c 212(,,)a b b，共有6个，21(,,)a b c 22(,,)a b c 所以恰有1辆为之间通过的概率为.9:2010:00～63105p ==20．如图1，在梯形中，，，，，，线段的垂直ABCD BC AD ∥AB AD ⊥2AB =3BC =4=AD AD 平分线与交于点，与交于点，现将四边形沿折起，使，分别到点，AD E BC F CDEF EF C D G 的位置，得到几何体，如图2所示．H ABFEHG(1)判断线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出点的位置；若不存EH P PAF ∥BGH P 在，请说明理由．(2)若，求平面与平面所成角的正弦值．AH =ABH BGH 【答案】(1)存在，点为线段的中点P EH (2)．12【分析】（1）当点为线段的中点时，先证明平面，再证平面，由面面P EH HG ∥PAF BG ∥PAF 平行判定定理证明；（2）先证明，再以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立AE EH ⊥E EA EF EH x y z 空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）当点为线段的中点时，平面平面．P EH PAF ∥BGH 证明如下：由题易知，，，因为点为线段的中点，2EH =1GF =EH GF ∥P EH 所以，，所以四边形是平行四边形，所以，1HP GF ==HP GF ∥HPFG HG PF ∥因为平面，平面，所以平面．PF ⊂PAF HG ⊄PAF HG ∥PAF 连接，因为，，所以四边形是平行四边形，PG PE GF ∥1PE GF ==PEFG 所以，且，又，，所以，，所以四边形PG EF ∥PG EF =EF AB ∥EF AB =PG AB ∥PG AB =是平行四边形，所以，ABGP PA BG ∥因为平面，平面，所以平面．PA ⊂PAF BG ⊄PAF BG ∥PAF因为平面，平面，，HG ⊂BGH BG ⊂BGH HG BG G ⋂=所以平面平面．PAF ∥BGH （2）因为，，AH =2AE EH ==所以，所以，222AE EH AH +=AE EH ⊥又，，所以，，两两垂直．EF EA ⊥EF EH ⊥EA EF EH 故以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标E EA EF EH x y z 系，E xyz-则，，，，()2,0,0A ()2,2,0B ()0,0,2H ()0,2,1G 所以，，．()0,2,0AB =()2,2,2BH =--()2,0,1BG =-设平面的法向量为，ABH ()111,,m x y z =则，即，得，取，得．00m AB m BH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1111202220y x y z =⎧⎨--+=⎩10y =11z =()1,0,1m = 设平面的法向量为，则，即，BGH ()222,,x n y z = 00n BH n BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22222222020x y z x z --+=⎧⎨-+=⎩取，得．21x =()1,1,2n =设平面与平面所成角为，ABH BGH θ则，cos m n m n θ⋅====所以，1sin 2θ===所以平面与平面所成角的正弦值为．ABH BGH1221．已知椭圆过点()2222:10x y E a b a b +=>>)(1)求椭圆的标准方程；E(2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交于，两点，交于，两点，()1,0T 1l 2l 1lE A B 2l E C D ，的中点分别为，．试问：直线是否恒过定点？若是，请求出与AB CD M N MN OMN 的面积之比；若不是，请说明理由．TMN △【答案】(1)；22142x y +=(2)恒过定点，与的面积之比2，理由见解析．OMN TMN △【分析】（1）根据给定的条件，列出关于的方程组，再求解作答.,,a b c （2）设出直线、的方程，与椭圆E 的方程联立，求出点，的坐标，再求出直线的方1l 2l M N MN 程即可作答.【详解】（1）设椭圆半焦距为c ，依题意可得，，解得，22222211a b c a a b c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c =⎧⎪⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程是.E 22142x y +=（2）直线恒过定点，MN (2,0)设直线，，，:1AB x my =+()0m ≠()()1122,,,A x y B x y 由消去x 得，22124x my x y =+⎧⎨+=⎩()222230m y my ++-=则，12122223,22m y y y y m m --+==++设点，则，，(,)M M M x y 12222M y y my m +-==+2221122M M m x my m m m -=+=⋅+=++即，显然直线，同理可得，222(,)22mM m m -++1:1CD x y m =+2222(,)2121m m N m m -++直线的斜率有，MN MN k ()22222222211212212MN m m m m m m k m m m -+++==-+++因此直线，即，过定点，()222212:22m m MN x y m m m +⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭()2212m x y m +=+()2,0Q 显然点是线段中点，设点到直线的距离分别为，T OQ ,O T MN 12,d d则，112212212OMN TMN MN d OQ S d S d TQ MN d ⨯====⨯ 所以直线恒过定点，与的面积之比为2.MN ()2,0Q OMN TMN △22．已知函数．()ln f x x ax=-(1)求的单调区间．()f x (2)若存在两个不同的零点，且()fx 12,x x12x x <<【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，并讨论a 的范围，利用导函数的正负得到函数的单调区间；()f x （2）根据零点存在定理可得，令1211e x x a <<<<1212x xa +<<，转化为：221x t x =()122ln ln 11t x t t =>-<，设，通过求导分析单调性即()()22111ln ln 1022t t t t t +-⋅-+-<()()()22111ln ln 122t m t t t t t +=-⋅-+-可证明．【详解】（1）因为，，所以()ln f x x ax =-0x >()11axf x a x x-'=-=（ⅰ）当时，恒成立，在单调递增；0a ≤()0f x ¢>()f x ()0,∞+（ⅱ）当时，令得，，故时，，在单调递增；0a >()0f x '=1x a =10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，，在单调递减；1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）因为存在两个不同的零点，且．所以且，()f x 12,x x 12x x <0a >10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭即，解得，且，1ln 10a ->10e a <<121x x a <<根据题意，()()1ln100f a a a a =-=-=->所以，所以，()10fa =-<()11e ln e e 1e 1e 00e e f a a a ⎛⎫=-=->-=<< ⎪⎝⎭所以，又，所以，()e 0f>10e a <<1211e x x a <<<<，又，所以，<()()120f x f x ==1212ln ln x x ax x ==（，且），ln ln 2a b a ba b -+<<-,0a b >a b ¹证明：设，则，设，0a b >>1>ab ()1a t t b =>对数不等式即为，，12ln t t t <-()21ln 1t t t ->+由的导数，12ln y t t t =-+()22212110t y t t t -'=--=-<可得在递减，则恒成立，12ln y t t t =-+()1,+∞12ln 0y t t t =-+<即；12ln t t t <-由的导数，()21ln 1t y t t -=-+()()()222114011t y t t t t -'=-=>++可得在递增，则恒成立，()21ln 1t y t t -=-+()1,+∞()21ln 01t y t t -=->+即；()21ln 1t t t ->+，()12121212121ln ln 2x x x x x xx x a x x a --+<==<--<<令，所以可以转化为：，221x t x =1212ln ln x x x x =()122ln ln 11t x t t =>-，1t t +⎫<⎪⎭1111ln ln ln 222t x t +-+<-即证，212ln 11ln ln 2212t t t t +-⋅+<--即证，即证，212ln 11ln ln 20212t t t t +-⋅+-+<-()()22111ln ln 1022t t t t t +-⋅-+-<设，，()()()22111ln ln 122t m t t t t t +=-⋅-+-1t >，()()()211112ln12ln 1212t t m t t t t t t t t t t t+-+'=+--+=+-+设，则，()11ln 22t t h t t t +-=+()22222111112101222121t t h t t t t t t t t -⎛⎫⎛⎫'=⋅-+=⋅=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭则，所以在递减，可得，所以不等式得证；()0m t '<()m t ()1,+∞()()10m t m <=【点睛】本题充分讨论函数的单调性，利用变量转化和构造函数证明不等式.。

2022-2023学年四川省泸县高二年级下册学期3月月考数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年四川省泸县高二下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1．现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（）A ．①抽签法，②分层随机抽样B ．①随机数法，②分层随机抽样C ．①随机数法，②抽签法D ．①抽签法，②随机数法【答案】A【分析】根据抽签法以及分层抽样的使用条件，可得答案.【详解】对于①，由于抽取的总体个数与样本个数都不大，则应用抽签法；对于②，抽取的总体个数较多，且总体有明确的分层，抽取的样本个数较大，则采用分层随机抽样.故选：A.2．若，则（）()3ln f x x x=+0(12)(1)limx f x f x ∆→+∆-=∆A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D【解析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.()14f '=【详解】由题意，所以，21()3f x x x '=+(1)134f '=+=所以.()00(12)(1)(12)(1)lim 2lim 2182x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆故选：D.3．甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（）A ．在这5天中，甲，乙两人加工零件数的极差相同B ．在这5天中，甲，乙两人加工零件数的中位数相同C ．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数D ．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差【答案】C【分析】由茎叶图的数据，分别计算甲、乙加工零角个数的极差，中位数，平均数，方差，进而得解.【详解】甲在5天中每天加工零件的个数为：18,19,23,27,28；乙在5天中每天加工零件的个数为：17,19,21,23,25对于A ，甲加工零件数的极差为，乙加工零件数的极差为，故A 错误；281810-=25178-=对于B ，甲加工零件数的中位数为，乙加工零件数的中位数为，故B 错误；2321对于C ，甲加工零件数的平均数为，乙加工零件数的平均数为1819232728235++++=，故C 正确；1719212325215++++=对于D ，甲加工零件数的方差为，乙加工零件数的方差为222225404516.45++++=，故D 错误；222224202485++++=故选：C4．若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为2()ln f x x x =+()(),a f a 2650x y +-=a （）A ．1B ．2或C ．2D ．1或1412【答案】D【分析】由两线垂直可知处切线的斜率为3，利用导数的几何意义有，即可求()(),a f a ()3f a '=的值.a 【详解】由题意知：直线的斜率为，则在处切线的斜率为3，2650x y +-=13-()(),a f a 又∵，即，1()2f x x x '=+()123f a a a '=+=∴或，1a=12故选：D ．5．函数的图象大致为（）sin x x x xy e e --=+A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项.【详解】因为()sin x xx xy f x e e --==+所以()()sin sin x x x xx x x xf x e e e e ------+-==++得，()()f x f x =--所以为奇函数，sin x x x xy e e --=+排除C ；在，设，，单调递增，因此，[0,)+∞()sin g x x x =-()1cos 0g x x ='-≥()g x ()(0)0g x g ≥=故在上恒成立，sin 0x x x xy e e --=≥+[0,)+∞排除A 、D ，故选：B.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．正方形的边长为2，以为起点作射线交边于点，则的概率是（）ABCD A BC E BEAB ．C ．D．23131【答案】B【解析】求出以为起点作射线交边于点时所有射线形成的角的大小，再考虑对A BC E BE <应的射线所形成的角的大小，从而可求概率.【详解】如图，在边上取一点，使得，则.BC M BM =6BAM π∠=以为起点作射线交边于点时所有射线形成的角为，A BC E 4CAB π∠=以为起点作射线交边于点且时所有的射线形成的角为，A BC EBE <BAM ∠故时对应的概率为.BE <2634ππ=故选：B.7．已知为实数，则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的a 1a >22113x y a +=-A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】取曲线不是椭圆，充分性不成立；反之成立.4a =【详解】当时，取曲线是圆而不是椭圆，故充分性不成立；1a >4a =22133x y +=当方程表示的曲线为椭圆时，成立，所以“”是“方程表示的曲线22113x y a +=-1a >1a >22113x y a +=-为椭圆”的必要不充分条件.故选：B【点睛】方法点晴：曲线表示椭圆的充要条件是：，且.221x y m n +=0m >0n >m n ≠8．某市2016年至2020年新能源汽车年销量y （单位：百台）与年份代号x 的数据如下表，若根据表中的数据用最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为，则表中的值为（）ˆ 6.59yx =+m 年份20162017201820192020年份代号x 01234年销量y1015m 3035A ．22B ．20C ．30D ．32.5【答案】B【分析】先求出、，再利用回归直线过进行求解.x y (,)x y 【详解】由题意，得，0123425x ++++==，101530359055m m y +++++==因为y 关于x 的回归直线方程为，ˆ 6.59yx =+所以，解得.90=6.52+95m +⨯20m =故选：B.9．圆关于直线对称，则的最小值是（）224610x y x y ++-+=()800,0ax by a b -+=>>32a b +A ．B ．C ．D 3154【答案】B【分析】根据圆的标准方程得出圆的圆心，由圆的对称性可得直线过圆心，得到关于、的关系a b 式，运用基本不等式可求得的最小值.32a b +【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，224610x y x y ++-+=()()222312x y ++-=()2,3-而直线经过圆心，所以，得，()800,0ax by a b -+=>>2380a b --+=238a b +=因为，，0a >0b >()3213219431231238828b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时，等号成立，23a b =因此，的最小值为.32a b +3故选：B.【点睛】本题考查圆的对称性，基本不等式的应用，关键在于巧妙地运用“”，构造基本不等式，1属于中档题.10．正方体，棱长为2，M 是CD 的中点，则三棱锥的体积为（）1111ABCD A B C D -11B AMD -A B ．2C ．D ．4【答案】B【分析】取中点，连接,通过计算证明平面，再根据求解1AD 1,MN B N MN ⊥11AB D 1111B AD M M AB D V V --=即可.【详解】解：如图所示：取中点，连接,1AD 1,MN B N由题意可得,1111AB AD B D ===1MA MD ===13MB ==所以,,11B N AD ⊥1MN AD ⊥所以可得MN ==1B N =所以,222119MN B N MB +==所以,,1MN B N ⊥又因为,11B N AD N ⋂=所以,平面,MN ⊥11AB D所以=.1111B AD MM AB D V V --=111112332AB D S MN =⨯⨯= 故选:B.11．已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则()221:443C x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭:430l x y -=P C Q 的面积最小值为（）PCQ △A ．3BC ．D【答案】B【分析】结合图形，利用勾股定理可知取得最小值时也最小，从而求得CPPQmin PQ =而可得的面积最小值.PCQ △【详解】由圆，得圆心，半径，()221:443C x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭14,3C ⎛⎫⎪⎝⎭2r =所以圆心到直线的距离为，14,3C ⎛⎫ ⎪⎝⎭:430l x y -=3d因为PQ =所以当直线与垂直时，取得最小值，此时也最小，lCP CPdPQ故min PQ ==所以11222CPQ S PQ CQ PQ PQ =⨯⨯=⨯⨯=≥即PCQ △故选：B.12．若实数，满足，则（）x y 24ln 2ln 44x y x y +≥+-A ．B ．C ．D．xy=x y +=1x y +=31x y =【分析】对不等式变形得到，换元后得到，2211ln 22222x y x y ⎛⎫⋅≥+- ⎪⎝⎭()ln 1ln 10a a b b -++-+≥构造，求导研究其单调性，极值最值情况，得到，从而只有()ln 1g x x x =-+()()max 10g x g ==时，即时，满足要求，从而解出，依次判断四个选项.1a b ==()()0g a g b ==12x y ==【详解】因为，24ln 2ln 44x y x y +≥+-所以，即，212ln ln 222x y x y +≥+-()221ln 222x y x y ≥+-所以，2211ln 22222x y x y ⎛⎫⋅≥+- ⎪⎝⎭令，21,22x a y b ==则，即，()ln 2ab a b ≥+-ln ln 2a b a b +≥+-所以，()ln 1ln 10a ab b -++-+≥令，则，()ln 1g x x x =-+()111xg x x x -'=-=当时，，单调递增，()0,1x ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减，()1,x ∈+∞()0g x '<()g x 所以在处取得极大值，也是最大值，()ln 1g x x x =-+1x =，()()max 1ln1110g x g ==-+=要想使得成立，只有时，即时，满足要求，()()0g a g b +=1a b ==()()0g a g b ==所以，211,212x y ==由定义域可知：，0,0x y >>解得：，12x y ==A 选项正确；xy =，BC 错误.12x y +=D 错误；312x y ==【点睛】对不等式或方程变形后，利用同构来构造函数解决问题，常见的同构型：（1）；()()e ln ln e ln x x f x x f x x x x=⇒==+（2）；()()ln ln e e e ln ln ln x x x xx f x f x x x x -==⇒==（3）；()()ln ln e e e x x xf x x x x f x =+=⇒=+（4），()()e ln ln e e xx x f x x x f xx =-=⇒=-本题难点在于变形为，换元后得到24ln 2ln 44x y x y +≥+-2211ln 22222x y x y ⎛⎫⋅≥+- ⎪⎝⎭，从而构造解决问题.()ln 1ln 10a ab b -++-+≥()ln 1g x x x =-+二、填空题13．某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选________户．【答案】56【分析】由分层抽样的计算方法有，中等收入家庭的户数占总户数的比例再乘以要抽取的户数，即可得到答案.【详解】该社区共有户.14028080500++=利用分层抽样的方法, 中等收入家庭应选户28010056500⨯=故答案为：56【点睛】本题考查分层抽样，注意抽取比例是解决问题的关键，属于基础题.14．已知实数满足，则的最大值为___________．,x y 10301x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩2z y x =-【答案】0【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中10301x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ABC ，(1,2),(1,0),(2,1)A B C目标函数，即表示斜率为2，纵截距为z 的平行直线系，2z y x =-2y x z =+画出直线，显然直线经过点A ，其纵截距是经过阴影且斜率为2，纵截距为z 的平0:2l y x =0lABC 行直线系中最大的，所以的最大值为0.2z y x =-故答案为：015．若对任意的，均有成立，则称函数为和在上的[,]x a b ∈()()()≤≤g x h x f x ()h x ()g x ()f x [,]a b “中间函数”．已知函数，且是和在区间()(1)1,()3,()(1)ln =--=-=+h x m x g x f x x x ()h x ()g x ()f x 上的“中间函数”，则实数m 的取值范围是__________．[1,2]【答案】[]0,2【分析】根据“中间函数”的定义列出不等式，将问题转化成不等式恒成立问题，利用参变分离以及构造函数的方法来解决函数最值，从而求出的取值范围.m 【详解】依题意得：已知条件等价为：在区间上恒成立3(1)1(1)ln m x x x -≤--≤+[1,2]对于在区间上恒成立，变形为：3(1)1m x -≤--[1,2]21m x ≥-+令，易知单调递增， ()21F x x =-+()F x ()()max 20F x F ∴==()max 0m F x ∴≥=对于在区间上恒成立，变形为：(1)1(1)ln m x x x --≤+[1,2]()1ln 11x x m x++≤+令()()1ln 1ln 11ln 1x x x G x x x x x ++=+=+++则()2ln x xG x x -'=[1,2]x ∈ ()1ln 10x x x '∴-=-≥为增函数，ln x x ∴-ln 1ln10x x ∴-≥->在单调递增，()G x ∴[1,2]x ∈()()min 12G x G ∴==()min 2m G x ∴≤=综上所述：即02m ≤≤[]0,2m ∈故答案为：.[]0,2【点睛】本题考查了用参变分离的方法解决恒成立的问题，考查了用导数求函数单调性、极值、最值以及恒成立的等价形式，对学生分析问题和解决问题的能力有一定的要求，属于难题.16．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过作垂直轴的直线交椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>1F 2F 1F x 于两点，点在轴上方.若，的内切圆的面积为，则直线的方程是E ,A B A x ||3AB =2ABF △916π2AF _____________________ .【答案】3430x y +-=【分析】利用，的内切圆的面积为求出a 、b 、c ，得到的坐标，即可求出||3AB =2ABF △916π2,A F 直线的方程.2AF 【详解】椭圆中,令,得，2222:1x y E a b +=x c =2422221c b y b a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以.2223b AB y a ===又△ABF 2的内切圆面积为,即所以内切圆半径.916π2916r ππ=34r =由椭圆的定义可得△ABF 2的周长为4a ,而△ABF 2的面积为，即.113234224S c a=⋅⋅=⋅⋅2a c =又，解得：222223,b a b c a ==+2224,3,1a b c ===则，所以直线AF 2的方程是，即为3x +4y -3=0.()231,1,02A F ⎛⎫- ⎪⎝⎭()3014y x -=--故答案为：3x +4y -3=0三、解答题17．已知的极坐标方程为，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直C 4cos ρθ=角坐标系，(1)求的直角坐标方程，C (2)过作直线l 交圆于P ，Q 两点，且，求直线l 的斜率．()1,1M C 2PM QM=【答案】(1)()2224x y -+=【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式即可求解；（2）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（t 为参数），代入圆方程中化α()()1cos :1sin x tl y t αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩简，利用根与系数的关系，结合已知和参数的几何意义即可求解.【详解】（1）解：因为的极坐标方程为：，且，C 4cos ρθ=cos ,sin x y ρθρθ==所以，，24cos ρρθ=224x y x +=故的直角坐标方程为.C ()2224x y -+=（2）解：设直线的倾斜角为，α则直线的参数方程为（t 为参数），()()1cos :1sin x t l y t αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩与联立，得．()2224x y -+=()22sin cos 20t t αα+--=点P 对应的参数为，点Q 对应的参数为，1t 2t 则，()12122sin cos 2t t t t αα⎧+=--⎨⋅=-⎩因为，所以，122t t =122t t =-联立可得，解得：23sin 8sin cos 3cos 0αααα-+=tan α=18．已知是函数的极值点，则：1x =()()()3221133x a x f a x a x =++-+-(1)求实数的值．a (2)求函数在区间上的最值．()f x []0,3【答案】(1)；3a =(2)在上的最小值为，最大值为.()f x []0,3143-18【分析】（1）由求得的值；()10f '=a （2）结合函数的单调性来求得函数在区间上的最值.()f x ()f x []0,3【详解】（1），()()()22213f x x a x a a '=++-+-由题意知，()()()2112130f a a a '=++-+-=或，3a =2a =-时，，3a =()()()28991f x x x x x '=+-=+-当时，，函数在上单调递增，9x <-()0f x ¢>()f x (),9-∞-当时，，函数在上单调递减，91x -<<()0f x '<()f x ()9,1-当时，，函数在上单调递增，1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以为函数的极值点，满足要求；1x =时，，2a =-()()22211f x x x x '=-+=-因为，当且仅当时，，()0f x '≥1x =()0f x '=所以函数在上单调递增，()f x (),-∞+∞不是函数的极值点，不符合题意.1x =()f x 则.3a =（2）由（1）知，且在单调递减，在单调递增，()321493x f x x x =+-()f x []0,1[]1,3又，，，()00f =()1413f =-()318f =则，.()min 143f x =-()max 18f x =19．如图，已知多面体ABCDEF 中，平面ABCD ，平面ABCD ，且B ，D ，E ，F 四点共ED ⊥//EF 面，ABCD 是边长为2的菱形，，.60BAD ∠=︒1DE EF ==(1)求证：平面ACF ；EF ⊥(2)求平面AEF 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；.【分析】（1）连BD 交AC 于点O ，连接OF ，证明四边形EFOD 为矩形，再利用线面垂直的判定推理作答.（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角作答.【详解】（1）如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OF ，因B ，D ，E ，F 四点共面，平面ABCD ，平面平面，则，//EF BDEF ⋂ABCD BD =//EF BD 而底面ABCD 是边长为2的菱形，，则，因此四边形EFOD 为平行四边形，60BAD ∠=︒1OD EF ==又平面ABCD ，且平面ABCD ，即，则为矩形，即，ED ⊥OD ⊂ED OD ⊥EFOD EF OF ⊥又，，则，而，平面ACF ，//EF BD AC BD ⊥EF AC ⊥OF AC O ⋂=,OF AC ⊂所以平面ACF .EF ⊥（2）由（1）知，，而平面ABCD ，则平面ABCD ，即有OA ，OB ，OF 两两//FO ED ED ⊥FO ⊥垂直，以O 为原点，以向量，，的方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，OA OB OFO xyz -如图，则，((0,1,0),(0,1,1),0),(0,0,),1A C F B E -，((0,1,0),(0,1,1),AF EF BF CB ===-=设为平面AEF 的法向量，则，令，得，111(,,)n x y z =11100n AF z n EF y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩11x=n = 设为平面BCF 的法向量，则，令，得，222(,,)m x y z =222200m BF y z m CB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 21x =-(m =- 于是得，cos ,||n m n m n m ⋅〈〉===∣所以平面AEF 与平面BCF20．某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完.（1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个，）的函数解析式；n N ∈（2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表：日需求量n 282930313233频数346674假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差；（3）蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续10天日需求量的统计数据为“平均数为6，方差为2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由.【答案】（1），；（2）平均数为（元），方差为；（3）一定要停止，330,306,30n n y n -<⎧=⎨-≥⎩n N ∈59 3.8理由见解析【分析】（1）当天需求量时，当天的利润，当天需求量时，当天的利润30n <330y n =-30n ≥，由此能求出当天的利润y 关于当天需求量n 的函数解析式.60y =（2）由题意，利用平均数和方差的公式，即可求出这30天的日利润的平均数和方差.（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产.推导出连续10天的日需求量都不超过10个，由此说明一定要停止这种面包的生产.【详解】（1）由题意可知，当天需求量时，当天的利润，30n <()853*******y n n n =+--⨯=-当天需求量时，当天的利润.30n ≥83063060y =⨯-⨯=故当天的利润y 关于当天需求量n 的函数解析式为:，.330,3060,30n n y n -<⎧=⎨≥⎩n ∈N （2）由题意可得：日需求量n 282930313233日利润545760606060频数346674所以这30天的日利润的平均数为（元），54357460235930⨯+⨯+⨯=方差为.()()()22254593575946059233.830-⨯+-⨯+-⨯=（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产.理由如下：由，()()()()()()22222212101210266621010x x xx x x x xx s -+-++--+-++-=== 可得，()()()222121066620x x x -+-++-= 所以（，，），所以，()2620kx -≤110k ≤≤N k ∈k x N ∈10k x ≤由此可以说明连续10天的日需求量都不超过10个，即说明一定要停止这种面包的生产.【点睛】本题主要考查了函数解析式、平均数、方差的求法，考查函数性质、平均数、方差公式等基础知识综合应用，考查运算求解能力.21．已知，分别是双曲线C ：(，)的左、右焦点，，P 是C 上1F 2F 22221x y a b -=0a >0b >126F F =一点，，且112PF F F ⊥12PF PF +=(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，过点A 作直线的垂线，垂足为D ，过点O2F 2x =作(O 为坐标原点)，垂足为M .则在x 轴上是否存在定点N ，使得为定值？若存在，OM BD ⊥MN求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22163x y -=(2)存在，.5,04N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】(1)根据双曲线的定义取出a 、b 、c 即可；(2)设BD 交x 轴于E 点，∵OM ⊥BD ，∴若在x 轴上存在定点N ，使得为定值，则E 为定点，NMN为OE 中点，，即直线BD 过x 轴上的定点E .12MN OE =【详解】（1）由题意得，212PF PF a-=∵，，112PF F F ⊥1226F F c ==∴，222136PF PF -=又，∴，解得，12PF PF +=236a ⋅=a =∴，，26a =2293b a =-=∴双曲线C 的标准方程为.22163x y -=（2）由(1)得，设，，则，()23,0F ()11,A x y ()22,B x y ()12,D y易知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为，3x ty =+t ≠联立直线l 与双曲线C 的方程，消去x 得，()222630ty ty -++=∵，∴，.()22410t∆=+>12262ty y t +=--12232y y t =-∵直线BD 的斜率，21212221y y y y k x ty --==-+∴直线BD 的方程为，()211221y y y y x ty --=-+设BD 交x 轴于E 点，如图，∵OM ⊥BD ，∴若在x 轴上存在定点N ，使得为定值，则E 为定点，MNN 为OE 中点，，即直线BD 过x 轴上的定点E .12MN OE =在直线BD 的方程中，令，得()211221y y y y x ty --=-+0y =()12112121121222ty y y ty y y x y y y y y ++=-=--+-，1122121233152222263222222t ty y t t t t y y t t ++--=-=-=+=⎛⎫---+ ⎪--⎝⎭∴直线BD 过定点.5,02E ⎛⎫⎪⎝⎭∴，则.5,04N ⎛⎫ ⎪⎝⎭1524MN OE ==综上，在x 轴上存在定点，使得为定值.5,04N ⎛⎫ ⎪⎝⎭MN5422．已知函数，，其中．()11ln f x a x x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭()()12e 1x g x x -=--a R ∈(1)当时，判断的单调性；10a -<<()f x (2)当时，是否存在，，且，使得？证明你的结论．18a <<1x 2x 12x x ≠()()()1,2i i f x g x i ==【答案】(1)在单调递增，在单调递减()f x 10,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭(2)不存在，证明见解析【分析】（1）由，求导得到，再根据()()11ln R f x a x a x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭()2211a a ax a f x x x x +++'=+=，由，求解；10a -<<()0f x ¢>()0f x '<（2）设，求导，分，()()()h x f x g x =-()()()121133e e x x ax a x h x f x x x --++-''=+-=+3x ≥，判断函数的单调性求解.03x <<【详解】（1）解：依题意，的定义域为，()f x ()0,∞+由，得，()()11ln R f x a x a x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭()2211a a ax a f x x x x +++'=+=当时，令，得，10a -<<()0f x '=1a x a +=-当时，，所以在单调递增；10,a x a +⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 10,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，所以在单调递减；1,a x a +⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a +⎛⎫-+∞⎪⎝⎭综上，当时，在单调递增，在单调递减．10a -<<()f x 10,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）法一：设，则，()()()h x f x g x =-()()()121133e e x x ax a x h x f x x x --++-''=+-=+①当时，恒成立，所以在单调递增，3x ≥()0h x '>()h x [)3,+∞又因为，所以，18a <<()221111113ln 31ln 31033e 33e h a ⎛⎫=---+>-+--> ⎪⎝⎭所以，在不存在零点；()0h x >()h x [)3,+∞②当时，设，则，03x <<()1ex x xϕ-=-()1e 1x x ϕ-'=-当时，，所以在单调递减；01x <<()0x ϕ'<()x ϕ()0,1当时，，所以在单调递增；13x <<()0x ϕ'>()x ϕ()1,3所以，即，因为，所以，()()10x ϕϕ≥=1e x x -≥0x >111e x x -≤又因为且，所以，18a <<03x <<133ex x x x ---≥所以，()()2223113x a x a ax a x h x x x x +-++++-'≥+=当时，函数18a <<()()231x x a x a δ=+-++，()()223411050a a a a ∆=--+=-+<所以，所以，所以在单调递增；()0x δ>()0h x '>()h x ()0,3综上可知，当时，均有在单调递增，18a <<()h x ()0,+∞因此不存在，，且，使得．1x 2x 12x x ≠()()()1,2i i f x g x i ==法二：设，则．()()()h x f x g x =-()()()121133e e x x ax a x h x f x x x --++-=+'-=+'则，又，()21221131113e e x x ax a x x h x a x x x x --++--⎛⎫'=+=+++ ⎪⎝⎭18a <<所以，()221211113123e e x x x x h x a x x x x x ----⎛⎫'=+++>++ ⎪⎝⎭当时，恒成立，所以在单调递增，3x ≥()0h x '>()h x [)3,+∞当时，设，则，03x <<()1ex x xϕ-'=-()1e 1x x ϕ-'=-当时，，所以在单调递减；01x <<()0x ϕ'<()x ϕ()0,1当时，，所以在单调递增；13x <<()0x ϕ'>()x ϕ()1,3所以，即，因为，所以．()()10x ϕϕ≥=1e x x -≥0x >111ex x -≤所以()222121221113123123220e e x x x x x x x h x a x x x x x x x x x ------+⎛⎫=+++>++≥++=> ⎪⎝⎭'所以，所以在单调递增；()0h x '>()h x ()0,3综上可知，当时，均有在单调递增，18a <<()h x ()0,+∞因此不存在，，且，使得．1x 2x 12x x ≠()()()1,2i i f x g x i ==。

黑龙江省海林市朝鲜族中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题

黑龙江省海林市朝鲜族中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若266C C x =，则x 的值为（）A ．2B ．4C ．4或2D ．32．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），那么获得冠军的可能种数为（）A ．35B ．53C ．35A D ．35C 3．在()52x -的展开式中，2x 的系数是A ．80-B ．10-C ．5D ．404．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有A ．60种B ．20种C ．10种D ．8种5．若()62601261+=+++×××+mx a a x a x a x ，且012664a a a a ++++=…，则实数m 的值为（）A ．1或3-B ．3-C ．1D ．1或36．如图所示，积木拼盘由A ，B ，C，D ，E 五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：A 与B 为相邻区域，A 与D 为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（）A ．780B ．840C ．900D ．9607．函数()f x 的图象在5x =处的切线方程是8y x =-+，则()()55f f ¢+等于（）A ．10B ．8C ．3D ．2三、单选题10．若()f x 是可导函数，则“'()0f x >，x D Î”是“x D Î内()f x 单调递增”的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．若函数()31y x ax a R =++Î在区间()3,2--上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．[)1,¥+B ．[)2,0-C ．(],3¥--D ．(],27¥--四、多选题12．已知函数()f x 的导函数()f x ¢的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A ．1x =是函数()f x 的极值点B ．()f x 在区间(2,3)-上单调递减C ．函数()f x 在=1x -处取得极小值D ．()f x 的图象在0x =处的切线斜率小于零六、解答题17．4个男生，3个女生站成一排．（必须写出算式再算出结果才得分）(1)3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)甲乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？18．若()()()()()821020121011222xx a a x a x a x +-=+-+-+×××+-.（Ⅰ）求12310a a a a +++×××+的值;（Ⅱ）求13579a a a a a ++++的值.参考答案：1．C【分析】利用组合数性质计算即可.【详解】当2x =时，满足题意；当26x +=，即4x =时，满足题意.故选：C.2．A【分析】依次考察3项冠军被获得的可能情况,分为3个步骤，利用分步计数原理求解.【详解】5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），依次考察3项冠军被获得的可能情况,分为3个步骤，每个步骤都有５种不同的可能，根据分步计数原理可知获得冠军的可能种数为35，故选：A.【点睛】本题考查分步计数原理的实际应用，关键是按什么标准分步骤的问题，分步计数原理，要保证每一步的不同选择对下一步选择的方法数的影响是相同的，本题属于基础题，重点题，易错题.3．A【分析】由二项展开式的通项公式，可直接得出结果.【详解】因为()52x -的展开式的通项为()()5515522kkk k k k k T C x C x --+=-=-，令3k =，则2x 的系数是()335280C ´-=-.故选A【点睛】本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.4．C【分析】试题分析：根据题意，先安排4盏不亮的路灯，有1种情况，排好后，有5个空位；在5个空位中任意选3个，插入3盏亮的路灯，有3510C =种情况，则不同的开灯方案有10种，故选C ．考点：1、排列；2、组合．5．A【分析】令1x =代入已知等式可解得m 值．【详解】在()62601261+=+++×××+mx a a x a x a x 中令1x =得6016(1)64m a a a +=+++=L ，解得1m =或3-．故选：A ．【点睛】本题考查二项式定理，考查用赋值法求二项展开式中各项系数和．在求二项展开式中系数和时对变量的赋值是解题关键．6．D【分析】先涂A ，再涂B ，再涂C ，再涂D ，最后涂E ，由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方法种数.【详解】解：先涂A ，则A 有15C =5种涂法，再涂B ，因为B 与A 相邻，所以B 的颜色只要与A 不同即可，有14C =4种涂法，同理C 有13C =3种涂法，D 有14C =4种涂法，E 有14C =4种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为54344960´´´´=．故选：D.7．D【分析】根据切线方程可求()()55f f ¢，的值.【详解】因为函数()f x 的图象在5x =处的切线方程是8y x =-+，所以()51f ¢=- ，()53f =，所以()()552f f ¢+=，故选：D.8．BCD【分析】根据导数的几何意义和常用函数的导数对选项一一分析即可.【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性的相互关系，导数大于零时，函数单调递增；函数单调递增时，导数是非负数.属于基础题.11．D【分析】由 2'30y x a =+£在区间()3,2--上恒成立，结合二次函数的性质即可求解．【详解】解： ()31y x ax a R =++ÎQ 在区间 ()3,2--上单调递减，2'30y x a \=+£在区间 ()3,2--上恒成立，即 23a x £-在区间 ()3,2--上恒成立，()2327,12x -Î--Q ，27a \£-．故选：D ．【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，是基础题.12．BD【分析】对于选项ABC ：首先利用导函数()f x ¢的图像判断()f x 的单调区间，然后根据极值和极值点的定义即可求解；对于选项D ：通过图像并结合导函数的几何意义即可求解.【详解】由图像可知，当<2x -时，'()0f x >；当23x -<<时，'()0f x £，从而()f x 在(,2)-¥-上单调递增，在(2,3)-上单调递减，故()f x 有极大值点2x =-，故AC 错误，B 正确；又由图像可知，'(0)0f <，从而()f x 的图像在0x =处的切线斜率小于零，故D 正确.故选BD.13．23【分析】先计算得到四个字的全排列，减去不满足题意的即可.【详解】“我爱中国”,这四个字的全排列有4424A =种，其中有一种是正确的，故错误的给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．16．e【详解】f （x ）=xlnx∴f'（x ）=lnx+1则f′（x 0）=lnx 0+1=2解得：x 0=e17．(1)720；(2)1440；(3)720.【分析】（1）先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素进行全排列，即可得到答案；（2）男生排好后，5个空中再插入3个女生，即可得到答案；（3）甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最后剩余的2个元素全排列，由分步计数原理，即可求解结果．【详解】（1）解：先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素进行全排列有3535A A 720=种．（2）解：男生排好后，5个空再插女生有4345A A 1440=种．（3）解：甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最后剩余的2个元素全排列，分步有233253A A A 720=种．18．（Ⅰ）2555（Ⅱ）1280【分析】（Ⅰ）令2x =，则05a =，再取3x =代入计算得到答案.（Ⅱ）令1x =得到012310+0a a a a a --+×××+=，联立（1）中方程计算得到答案.【详解】（Ⅰ）令2x =，则05a =.令3x =，则012310++2560a a a a a ++×××+=，所以12310+2555a a a a ++×××+=；（Ⅱ）令1x =，则012310+0a a a a a --+×××+=，故13579+1280a a a a a +++=.【点睛】本题考查了二项展开式中的系数和，取特殊值是解题的关键.19．(1)60(2)360(3)15(4)90【分析】（1）根据有序不均匀分组，结合分步乘法计数原理即可求解；（2）根据有序不均匀分组分配，结合分步乘法计数原理即可求解；（3）根据有序平均分组，结合分步乘法计数原理即可求解；（4）根据有序平均分组分配，结合分步乘法计数原理即可求解；【详解】（1）依题意，先选1本有16C 种选法；再从余下的5本中选2本有25C 种选法；最后余下3本全选有33C 种方法，故共有123653C C C 60=种；（2）由（1）知，分组后共有60种方法，分别分给甲乙丙的方法共有､､12336533C C C A 360=种；（3）分三步，先从6本书选2本，再从4本书选2本，剩余的就是最后一份2本书，共有222642C C C 种方法，该过程出现了重复；因此f（x）的递增区间是[lna，+∞）．﹣在（﹣2，3）上恒成立．（2）由f′（x）=e x a≤0∴a≥e x在x∈（﹣2，3）上恒成立．又∵﹣2＜x＜3，∴e﹣2＜e x＜e3，只需a≥e3．﹣3在x∈（﹣2，3）上，f′（x）＜0，当a=e3时f′（x）=e x e即f（x）在（﹣2，3）上为减函数，∴a≥e3．故存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．考点：利用导数研究函数的单调性．。

高二数学下学期第二次月考试题理含解析试题

智才艺州攀枝花市创界学校二中二零二零—二零二壹高二下学期第二次月考数学试卷(理科)一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.，且，那么实数的值是〔〕A.0B.1C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算，再求得，利用模的计算公式求得a.【详解】∵，∴∴＝3,得，那么，∴a=，应选：C．【点睛】此题主要考察复数模的运算、虚数i的周期，属于根底题．2.①是三角形一边的边长，是该边上的高，那么三角形的面积是，假设把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，那么①、②两个推理依次是A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．应选：A．点睛：此题考察的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，纯熟掌握三种推理方式的定义及特征是解答此题的关键．满足,那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由求得，利用复数的除法运算法那么化简即可.【详解】由得，所以=，应选A．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.=(i是虚数单位),那么复数的虚部为〔〕A.iB.-iC.1D.-1【答案】C【解析】故答案为C的导数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将f〔x〕＝sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．【详解】将y＝sin2x写成，y＝u2，u＝sinx的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cosx，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x应选：D．【点睛】此题考察复合函数的求导，熟记简单复合函数求导,准确计算是关键,是根底题=的极值点为()A. B.C.或者D.【答案】B【解析】【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】==，函数在上是增函数，在上是减函数，所以x=1是函数的极小值点，应选B.【点睛】该题考察的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，属于简单题目.()A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】时，时，应选D．与直线及所围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形如下列图，图形的面积为，选.考点：定积分的简单应用.9.某校高二(2)班每周都会选出两位“进步之星〞,期中考试之后一周“进步之星〞人选揭晓之前,小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋〞,小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞,小谭说:“小赵说的对〞.这四人中有且只有两人的说法是正确的,那么“进步之星〞是()A.小马、小谭B.小马、小宋C.小赵、小谭D.小赵、小宋【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，“进步之星〞是小赵和小谭．【详解】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞，假设小马说假话，那么小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋〞是假话，否那么，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞，是真话；小谭说：“小赵说的对〞，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“进步之星〞是小赵和小谭．应选：C．【点睛】此题考察了逻辑推理的应用问题，分情况讨论是关键,是根底题目．,直线过点且与曲线相切,那么切点的横坐标为()A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点〔0，﹣e〕代入，利用函数零点的断定求得切点横坐标．【详解】由f〔x〕＝e2x﹣1，得f′〔x〕＝2e2x﹣1，设切点为〔〕，那么f′〔x0〕，∴曲线y＝f〔x〕在切点处的切线方程为y〔x﹣〕．把点〔0，﹣e〕代入，得﹣e，即，两边取对数，得〔〕+ln〔〕﹣1＝0．令g〔x〕＝〔2x﹣1〕+ln〔2x﹣1〕﹣1，显然函数g〔x〕为〔，+∞〕上的增函数，又g〔1〕＝0，∴x＝1，即＝1．应选：B．【点睛】此题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察函数零点的断定及应用，是中档题．f(x)的导函数f'(x)的图象如下列图,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),那么不等式g(x)≥3x-3的解集是() A.[-1,1]∪[2,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,2]C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-1,2]【答案】A【解析】【分析】根据图象得到函数f〔x〕的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集．【详解】由题意得：f〔x〕在〔﹣∞，1〕递减，在〔1，+∞〕递增，解不等式g〔x〕≥3x﹣3，即解不等式〔x﹣1〕f〔x〕≥3〔x﹣1〕，①x﹣1≥0时，上式可化为：f〔x〕≥3＝f〔2〕，解得：x≥2，②x﹣1≤0时，不等式可化为：f〔x〕≤3＝f〔﹣1〕，解得：﹣1≤x≤1，综上：不等式的解集是[﹣1，1]∪[2，+∞〕，应选：A．【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，分类讨论思想,准确判断f(x)的单调性是关键，是一道中档题．在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，.假设，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，设，那么，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，∴，解得．考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，那么，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕为纯虚数，那么实数的值等于__________．【答案】0【解析】试题分析：由题意得，复数为纯虚数，那么，解得或者，当时，〔舍去〕，所以.考点：复数的概念.，，那么__________〔填入“〞或者“〞〕．【答案】.【解析】分析：利用分析法，逐步分析，即可得到与的大小关系.详解：由题意可知，那么比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，所以，即，即.点睛：此题主要考察了利用分析法比较大小，其中解答中合理利用分析法，逐步分析，得出大小关系是解答的关键，着重考察了推理与论证才能.15.．【答案】．【解析】试题分析：根据定积分性质：，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以，而，所以．考点：定积分．，假设对任意实数都有，那么实数的取值范围是____________.【答案】【解析】构造函数，函数为奇函数且在上递减，即，即，即，所以即恒成立，所以，所以，故实数的取值范围是．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕〔i为虚数单位〕．〔1〕当时，求复数的值；〔2〕假设复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕将代入，利用复数运算公式计算即可。

天津市第一百中学2013-2014学年高二下学期第二次月考数学(理)试题 Word版含答案

天津市第一百中学13-14学年第二学期第二次月考试卷高二数学（理科）命题人：杜华一、选择题：（每小题5分，共40分）1. 已知i 是虚数单位，则2i (1i)1i-+=+ （） A ．1- B ．1 C ．i - D ．i 2．作曲线x e y 2=在点)1,0(处的切线，则切线的斜率是（） A ． 1 B ．2 C ． e D ．2e3. 已知某产品的广告费x 与销售额y 回归直线方程为1.94.9^+=x y ，据此模型预报广告费为6万元时的销售额（）A. 0.72B. 2.66C. 7.67D. 5.654. 已知随机变量X ~(3,1)N ，且(24)0.6826P X ≤≤=，则(4)P X >=（） A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.15855. 10件产品中有5件次品，从中不放回的抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出的是正品的概率（） A ．21 B ．52 C ．185 D ．95 6．某同学从三个书店买四本不同的数学参考书，每个书店至少买一本书，则不同的购买方法有（）A ．36种B ． 72种C ．81种D ．64种7．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（）A. 1- B ． 1 C ．0 D ．2 8．设 ))(()(,),()(),()(,sin )(112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+ ,则=)(2014x f ( )A. x sin -B. x sinC.cos x -D.cos x二、填空题（每小题4分，共32分）9.921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项是（用数字作答）．10．已知随机变量ξ的分布列为为（用数字作答）．11. 设X ～),(p n B ，且6=EX ，3=DX ，则)1(=X P 的值为__________________ 12．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课排在第6节，则不同的排法种数为（用数字作答） 13．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

高二数学(理)下学期第二次月考试题(含答案)

上学期第二次月考高二数学卷（理）考试时间：120分钟满分：150一、选择题（每小题5分，共12题）1、已知全集{,,,,}U a b c d e =，{,,}M a c d =，{,,}N b d e =，则N M C U ⋂)( = （）A ．{}bB ．{}dC ．{,}b eD ．{,,}b d e2、 5()a x x +（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（）A ．-1B ．12 C ．1 D ．23、某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（）A. 24种B. 36种C. 38种D. 108种4、计算888281808242C C C C ++++ ＝（）A 、62B 、82C 、83 D 、63 5、一个盒子里有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则若已知第一只是好的,则第二只也是好的概率为( ) A.23 B.512 C.59 D.796、已知△ABC 的重心为P ，若实数λ满足：AB AC AP λ+=，则λ的值为A ．2B ．23C ．3D ．67、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（）A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种8、35(1(1+的展开式中x 的系数是（A ）4- （B ）2- （C ）2 （D ）49、某体育彩票规定: 从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B. 1052元C. 2100元D. 2102元10、9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（）A.2524C C ⋅ B.443424C C C ++ C.2524C C + D.054415342524C C C C C C ⋅+⋅+⋅11、已知,)(为偶函数x f x x f x x f x f 2)(,02),2()2(=≤≤--=+时当，若*,(),n n N a f n ∈=则2011a = ( )A ．1B ．21C ． 14D ．1812、如图，在A 、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（）A ．10B ．13C ．12D ．15二、填空题（每小题5分，共4小题）13、已知(1-2x)n的展开式中，二项式系数的和为64，则它的二项展开式中，系数最大的是第_____________项.14、乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_.15、同时投掷三颗骰子，至少有一颗骰子掷出6点的概率是_____________ (结果要求写成既约分数）.16、用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有_______种不同的涂色方案。

河北省任丘一中北校区2013-2014学年高二下学期第二次月考数学理试题 Word版含答案

任丘一中北校区2013—2014学年第二学期高二年级第二次月考数学试题（理）考试时间：4月5日考试范围：选修2-2第二、三章；选修2-3第一章—2.2.1一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知2a i b i i+=+（,a b R ∈），其中i 为虚数单位，则a b +=( ) A ．-1B ．1C ．2D ．3 2. 在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．103. 某汽车生产厂家准备推出10款不同的轿车参加车展，但主办方只能为该厂提供6个展位，每个展位摆放一辆车，并且甲、乙两款车不能摆放在1号展位，那么该厂家参展轿车的不同摆放方案有 ( )A ．C 210A 48 种B ．C 19A 59 种 C ．C 18A 59 种D ．C 18A 58 种4. 已知{1,2}⊆Z ⊆{1,2,3,4,5}，满足这个关系式的集合Z 共有 ( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个5. 从5双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有( )A ．120B ．240C ．360D ．726. 设X 是一个离散型随机变量，其分布列为X1- 0 1 P 12 12q - 2q则q 的值为（）A ．1B ．221±C ．221+D ． 221- 7. 在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( )A ．35B ．25C ． 59D ．1108. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 ( )A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种9. 在数字1，2，3与符号“⊗”，“*”这5个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是 ( )A ．6B ．12C ．18D ．2410. 从甲袋中取出一个红球的概率是13，从乙袋中取出一个红球的概率是12，从两袋中各取出一个球，则概率等于23的是( ) A ．两个球不都是红球 B ．两个球都是红球C ．两个球中至少有一个球是红球D ．两个球中恰有一个球是红球11. 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝-sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (-x )＝( )A ．-g (x )B ．-f (x )C ．g (x )D ． f (x )12. 直线l 1∥l 2，l 1上有4个点，l 2上有6个点，以这些点为端点连成线段，他们在l 1与l 2之间最多的交点个数是( )A ．24B ．45C ．80D ．90二．填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分，把正确答案填在答题纸给定的横线上）13. 设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________．14. 随机变量X 的概率分布列为()(1,2,3,4)(1)a P X n n n n ===+,其a 是常数,则⎪⎭⎫ ⎝⎛<<2521X P 的值为________． 15. 在()()611-+x x 展开式中5x 的系数是． 16. 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有种.三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(2)求(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2.18.已知(x－2x2)n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中二项式系数最大的项；(3)求展开式中有多少项有理项?（不必一一列出）19.有6个房间安排4个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住多个人，求下列问题中各有多少种不同的住法？(1) 每人随意选择，则所有的入住方法；(2) 第1号房间有1人，第2号房间有3人；(3) 指定的4个房间中各有1人；(4) 恰有1个房间中有2人；(5) 恰有2个房间中各有2人.20.已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．（1）求X的分布列；（2）求得分大于4的概率．21.试证当n为正整数时，f(n)＝32n+2－8n－9能被64整除．22. 某同学参加科普知识竞赛需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1、2、3个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第1、2、3个问题的概率分别为0．8、0．7、0．6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得200分的概率；(2)如果规定至少得300分则算通过，求某同学能通过竞赛的概率．任丘一中北校区2013—2014学年第二学期高二年级第二次月考数学试题（理）答案一、选择题 1-5 BDCDA 6-10 DCBBB 11-12 AD二、填空题 13．0 14. 5615. 9 16. 5 三、解答题 17．解析： (1) 令f (x )＝(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，a 0＝f (0)＝25＝32，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝f (1)＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32.(2)(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 10) ＝f (1)·f (－1)＝0.18．解析：由题意第五项系数为C n 4·(－2)4，第三项的系数为C n 2·(－2)2，则C n 4·(－2)4C n 2(－2)2＝101，解得n ＝8(n ＝－3舍去)．通项公式T r ＋1＝C 8r (x )8－r ·(－2x 2)r ＝C 8r (－2)r ·x 8－5r 2. (1)证明：若T r ＋1为常数项，当且仅当8－5r 2＝0，即5r ＝8，且r ∈Z ，这是不可能的，所以展开式中没有常数项．(2)展开式中的二项式系数最大的项为T 5＝11206x -.(3)由T r ＋1＝C 8r (－2)r x 8－5r 2，若T r ＋1为有理项，当且仅当8－5r 2为整数，而0≤r ≤8，故r ＝0,2,4,6,8，即展开式的有理项有5项。

福建省厦门双十中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷【含答案】

厦门双十中学2025届高二（下）第二次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆22:10C x y mx +++=的面积为π，则m =（）A ．2±B ．±C ．±D ．8±2．若随机变量()2~3,2X N ，随机变量1(3)2Y X =-，则()1()1E Y D Y +=+（）A ．0B ．12C ．45D ．23．甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（）A ．6种B ．3种C ．20种D ．12种4．已知,m n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A ．若m α⊥、//n α，则m n ⊥B ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥C ．若//m n ，n β⊥，m α⊥，则//αβD ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α5．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则()|P B A =（）A ．14B ．13C ．16D ．1126．已知n S 等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若0.91ln1.1,,e a b c ===）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．c a b<<8．如图，在ABC 中，120BAC ∠= ，其内切圆与AC 边相切于点D ，且1AD =.延长BA 至点E .使得BC BE =，连接CE .设以,C E 两点为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以,C E两点为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ，则12e e 的取值范围是（）A．∞⎫+⎪⎪⎣⎭B．∞⎫+⎪⎪⎝⎭C ．[)1,+∞D ．()1,∞+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．椭圆()2222:101x y C m m m +=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ，若12π3F AF ∠=，则（）A ．C 的焦距为2B ．C的短轴长为C ．C 的离心率为32D ．2ABF △的周长为810．已知321()2313f x x x x =-++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 有三个零点B ．()f x 有两个极值点C ．若方程()f x a =有三个实数根，则71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．曲线()y f x =关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称11．已知数列{}n a 的通项公式为143n na =-，其前n 项和为n S ，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与数列{}14nn n a a +的前n 项和分别为n R ，n T ，则（）A ．114n n a a +<B ．存在n ，使得13n T >C ．4339n S <D ．265n R n n≥-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 的项的系数为．13．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项的和，若341a a +=，6247S S =，则12S =.14．如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 体积为，则模型中最大球的体积为，模型中九个球的表面积之和为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为6的正方形，高为4，点M ，N 分别在线段PC ，AB 上，且2AN NB =，4PC PM =，E 为PC 的中点．(1)求证：BE ∥平面DMN ；(2)求直线AC 与平面DMN 所成角的正弦值．16．全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为20202318-年全球新能源汽车的销售量情况统计.年份201820192020202120222023年份编号x 123456销售量y /百万辆2.022.213.136.7010.8014.14若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：(1)求变量y 与x 的样本相关系数r (结果精确到0.01)；(2)求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量.附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()112211ˆˆˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb ay bx x x xnx ====--- ===---∑∑∑∑，样本相关系数()()nnii ii xx y y x ynx yr--- =∑∑参考数据：66211181.30,11.2i i i i i x y y ====≈≈∑∑.17．设函数()()24ln 42f x x ax a x =-+-，a ∈R(1)讨论()f x 的单调性．(2)若函数()f x 存在极值，对任意的120x x <<，存在正实数0x ，使得()()()()21021f x f x f x x x '-=-（ⅰ）证明不等式212121ln ln 2x x x x x x ->-+．（ⅱ）判断并证明122x x +与0x 的大小．18．已知抛物线2:2E y x =的焦点为F ，A ，B ，C 为E 上不重合的三点.(1)若0FA FB FC ++=，求FA FB FC ++ 的值；(2)过A ，B 两点分别作E 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点D ，过A ，B 两点分别作1l ，2l 的垂线3l ，4l ，3l 与4l 相交于点M .（i ）若AB 4=，求ABD △面积的最大值；（ii ）若直线AB 过点()1,0，求点M 的轨迹方程.19．设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n niM a a a a a i n i =∈≤≤∈N L ，从集合nM中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．(1)求3M 中(),2d A B =的点对的个数；(2)从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）1．B【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解.【详解】因为圆22:10C x y mx +++=，即222124m m x y ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，所以22π(1)ππ4m S r ==-=，解得m =±故选：B.2．B【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即()()(),E Y E kX b kE X b =+=+()2()()D Y D kX b k D X =+=，就可以求出结果.【详解】由()2~3,2X N 可知：()3,()4E X D X ==，又因为1(3)2Y X =-，所以()131333()()0222222E Y E X E X =-=-=-=，()131()(1224D Y D X D X =-==，则()1011()1112E Y D Y ++==++，故选：B.3．A【分析】采用插空法，在4个空座中间的3个空中插入甲、乙两人的座位即可得答案.【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座.要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐，即有23A 326=⨯=种坐法.故选：A.4．D【分析】对于A ，可过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，即可判断；对于B ，由线面垂直的性质即可判断；对于C ，由条件，可得m β⊥，又m α⊥，则//αβ，即可判断；对于D ，要考虑n 可能在平面α内，即可判断．【详解】对于A ，当//n α时，过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，因为m α⊥，l ⊂α，所以m l ⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，当m α⊥，//m n ，由线面垂直的性质可得n α⊥，故B 正确；对于C ，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊥，所以//αβ，故C 正确；对于D ，当m α⊥，m n ⊥时，n 可能在平面α内，故D 错误．故选：D ．5．B【分析】根据概率的性质解得()112P AB =，结合()()()P B P AB P AB =+可得()14P AB =，代入条件概率公式分析求解.【详解】因为()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，即()111243P AB =+-，解得()112P AB =，又因为()()()P B P AB P AB =+，即()11312P AB =+，解得()14P AB =，且()14P A =，可得()()314P A P A =-=，所以()()()114|334P AB P B A P A ===.故选：B.6．B【分析】正向举常数列反驳，反向利用等差数列求和公式和递减数列性质判断即可.【详解】当等差数列{}n a 为常数列时，此时n n S na =，满足前者，但是此时“{}n a 不是递减数列”，故充分性不成立；当{}n a 是递减数列，则对n *∀∈N ，1n n a a +<，()()1122n n n n n n a a n a a S na na +--=-=，当1n =时，0n n S na -=，当2n ≥时，1n a a >，0n n S na ->，所以对n *∀∈N ，n n S na ≥，则反推成立，故必要性成立，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的必要而不充分条件.故选：B.7．C【分析】初步判断三个数值都在0到1之间，常规方法不好处理，可考虑结合导数放缩来比较,a b 大小，设()()ln 1f x x x =--，()()e 1xg x x =-+，求出()f x '在()1,2的单调性，()g x '在()1,0-的单调性，可判断,a b 与0.1的大小；0.91,b c e ==断0.9e 大小，判断,b c ，进而得解.【详解】设()()ln 1f x x x =--，()11f x x'=-，当()1,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单减，故()()()1.1ln1.1 1.1110f f =--<=，即ln1.10.1<；设()()e 1x g x x =-+，()e 1xg x '=-，当()1,0x ∈-时，()0g x '<，所以()()0.90g g ->，即()()0.900e0.9101e ---+>-+=，即0.90.1e ->；1120.10.10.1c =>=，故a最小，0.91,b c e ==()100.99319683e <=，10510100000==，因为19683100000<，所以()10100.993e <<，所以0.9e<，0.91e >，所以b c a >>故选：C【点睛】本题考查由指对幂比大小，常规比大小步骤为：①结合指对幂函数单调性初步判断每个数值所在区间；②当两数值所在区间相同时，一般考虑引入中间量进一步比大小；③若常规方法不好处理时，常考虑构造函数法，结合导数放缩来进一步求解，此法难度较大，对学生基础能力要求较高，平常可积累一部分常见放缩公式，如1e 1ln x x x x x ≥+≥≥-≥等.8．D【分析】设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，设CF CD EG x ===，可得223CE x =+，结合椭圆和双曲线的定义可得12134e e x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用余弦定理求得3x >，结合对勾函数的单调性分析求解.【详解】如图，设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，由切线长定理和BCE 的对称性，可设CF CD EG x ===.由1AD =，可得1,1AC x AE EG AG x =+=-=-.在ACE △中，由余弦定理，()()2222(1)(1)211cos603CE x x x x x =++--+-=+ .于是根据椭圆和双曲线的定义，221222313224CE CE CE x e e x AC AE AC AE AC AE x x +⎛⎫=⋅===+ ⎪+--⋅⎝⎭.接下来确定x 的取值范围.设BF BG y ==，在ABC 中， 1.1,AC x AB y BC x y --=+=+，于是由余弦定理，()()222()(1)(1)211cos120x y x y x y +=+++-++，整理得()330xy x y -+-=，于是()3103x y x +=>-，故3x >，又因为3y x x =+在()3,∞+内单调递增，可知33341y x x =+>+=，可得121314e e x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以12e e 的取值范围是()1,∞+.故选：D.【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a，c代换，求e的值；2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．9．ABD【分析】根据12π3F AF ∠=以及椭圆的对称性可得222221b ma m==+⎝⎭，进而可求解2,1a b c===，即可根据选项逐一求解.【详解】由于12π3F AF∠=，所以12π6F AO OAF∠=∠=,故11πcos cos62AO bF AOAF a∠=====，因此222221b ma m==+⎝⎭，故23m=，所以椭圆22:143x yC+=，2,1a b c===对于A，焦距为22c=，故A正确，对于B，短轴长为2b=B正确，对于C，离心率为12cea==，C错误，对于D，2ABF△的周长为48a=，D正确，故选：ABD10．BC【分析】利用导函数讨论单调性和极值即可判断AB，再根函数的最值、单调性判断C，再根据特例，利用点的对称性判断D.【详解】2()43f x x x'=-+，令()0f x'<解得13x<<，令()0f x'>解得1x<或3x>，所以()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，因为13(1)03f -=-<，极大值7(1)03f =>，且极小值1(3)0f =>，所以()f x 在(1,1)-有一个零点，共1个零点，A 错误；由A 知，函数有1,3两个极值点，故B 正确；由A 知，函数()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，且x →-∞时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以方程()f x a =有三个实数根，需(3)(1)f a f <<，即71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为(3)1f =，所以点(3,1)在函数图象上，又点(3,1)关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭的对称点为111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，而13(1)3f -=-，即111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭不是函数()f x 图象上的点，故函数()f x 不关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误.故选：BC.11．ACD【分析】根据1191144434n n n a a ++-<-=即可求解A ，根据裂项求和即可求解B ，根据放缩法即可求解C ，根据作差求解数列单调性即可求解D.【详解】对A ，由143n n a =-可得11143n n a ++=-，所以()11111111994343114344414343443443n nn n n n n nn a a ++++++----====-<----，故A 正确，对B ，()()414441143,33143n n nn n R n n a --=-∴=-=--，()()11141114343434343n nn n n n n n a a +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，所以12231111111111111113434334343343433433n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,故B 错误，对C ，由于3n ≥时，1111449433n n n -->>⇒-，故111131114311443n n n n a --=<=-，所以221221111314111414214344111131113444134439393914n n n n S a a a --⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭=+++<++⨯=+-<+<+= ⎪⎝⎭-()()()222441441653656233n n n R n n n nn nn ----=--+=-+,对D ，记()()()()()1222144144144162,61216233n n n n n n P nn P P n n n n ++----=-+-=-++++-，故114124n n n P P n ++-=--，根据指数幂的性质可知14124n n +≥+，当且仅当1n =取等号，故11141240n n n n n P P n P P +++-=--≥⇒≥，只有1n =取等号，故143210n n P P P P P P ->>>>≥=,故D 正确，故选：ACD 12．118-【分析】由()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，写出()512x +展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】因为()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()5525221121212x x x x x +⋅-++=+，其中()512x +展开式的通项为()155C 22C rrr r r r T x x +==⋅（{}0,1,2,3,4,5r Î），所以251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中，含3x 的项为()215533355521C 2C (2)2C (2)118x x x x x x ⋅⋅+⋅⋅-⋅=-，所以含3x 的项的系数为118-．故答案为：118-13．6316【分析】由等比数列的求和公式和等比数列的性质进行计算即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得1q ≠，由6247S S =，可得()()6211417111a q a q qq--=--，解得212q =，又341a a +=，即22121a q a q +=，所以122a a +=，同理5612a a +=，7814a a +=，91018a a +=，1112116a a +=，因为12123456789101112S a a a a a a a a a a a a =+++++++++++，所以12111163212481616S =+++++=.故答案为：631614．43π##43π9π【分析】根据三棱锥的体积公式计算可得正四面体的棱长为出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】设正四面体的棱长为x ，高为h ，底面圆半径为r ，则2sin 60xr ︒=，得r =，又h x ，所以正四面体的体积为2111···sin 60332A BCD BCD V S h x ︒-=== ，解得x =如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则CE BE =，AE DE ===过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF ==4AF ===，点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ，设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF ==，解得1R =，所以最大球的体积为344ππ33R =，且1OM OF ==，则413AO =-=，1sin 3OM EAF AO ∠==，设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-，又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12b =，所以14a =，模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.故答案为：4π3；9π【点睛】思路点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.15．(1)证明见解析【分析】(1)构造面面平行，再证线面平行.(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求线面角的正弦.【详解】（1）在线段CD 上取点F ，使得2CF DF =，连接EF 、BF ，如图：因为4PC PM =，E 为PC 的中点，所以2CE ME =，所以//EF DM ，又EF ⊄平面DMN ，DM ⊂平面DMN ，所以//EF 平面DMN ，在平行四边形ABCD 中，因为2AN NB =，2CF DF =，所以DF NB =，且//DF NB ，所以四边形DFBN 是平行四边形，所以//DN FB ，又BF ⊄平面DMN ，DN ⊂平面DMN ，所以//BF 平面DMN ，又BF ，EF ⊂平面EFB ，且BF EF F ⋂=，所以平面//EFB 平面DMN ，又BF ⊂平面EFB ，所以//BE 平面DMN ．（2）连接BD 交AC 于点O ，连接PO ，因为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，所以PO ⊥平面ABCD ，且OA OB ⊥，故以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 所在直线依次为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示：由已知可得：()A，()B，()C -，()0,D -，324M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，)N所以()AC =-，)DN =，324DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DMN 的一个法向量为(),,n x y z = ，则·0·0DN n DM n ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒323040x z ⎧-++=⎪+=，取5,1,4n ⎛=- ⎝⎭设直线AC 与平面DMN 的夹角为θ，则：·102cos ,17·AC n sin AC n AC nθ===16．(1)0.95.r ≈(2)ˆ 2.56 2.46yx =-，15.46百万辆【分析】（1）利用相关系数r 公式即可求解；（2）根据已知数据，利用公式先求出ˆb，进而求出ˆa ，得到线性回归方程，再利用线性回归方程进行预测即可.【详解】（1）因为1234563.56x +++++==，2.02 2.213.13 6.710.814.146.56y +++++==，所以6221496149162536617.54i i x x =-=+++++-⨯=∑，622216380.2316 6.5126.731ii yy =-=-⨯=∑，所以6644.80.95.4.211.2iix yxyr -==≈≈⨯∑（2）由题意得61621644.8ˆ 2.5617.56iii ii x yxybxx ==-===-∑∑，所以ˆˆ 6.5 3.5 2.56 2.46ay bx =-=-⨯=-，得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.56 2.46yx =-，所以可以预测2024年全球新能源汽车的销售量为2.567 2.4615.46⨯-=百万辆.17．(1)()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）1202x xx +>，证明见解析【分析】（1）求导得()()()1241f x ax x x'-=-+，分a 是否大于0进行讨论即可得解；（2）（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即只需证明()()21ln 11t t t t ->>+，从而构造函数即可得证；（ⅱ）同构作差法并结合（ⅰ）中结论即可得解.【详解】（1）()()()41242241f x ax a ax x x x'-=-+-=-+，0x >，若0a ≤，则()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，若0a >，由()0f x '=得2x a=，当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x ¢>；当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（2）∵()f x 存在极值，由（1）知0a >，()()()()()()22212121214ln ln 42f x f x x x a x x a x x -=---+--()()()()()212121214ln ln 42x x a x x x x a x x =--+-+--，由题设得()()()()()212102121214ln ln 42f x f x x x f x a x x a x x x x --==-+'+---，∵120x x <<，设21(1)x t t x =>，（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即证明()()21ln 11t t t t ->>+，设()()21ln 1t g t t t -=-+，（1t >），则()()()22221211(1)0(1)(1)t t t g t t t t t +---=-=+'>+，∴()g t 在()1,+∞上单调递增，()()10g t g >=，∴()21ln 1t t t ->+，即212121ln ln 2x x x x x x ->-+得证，（ⅱ）()1221128422x x f a x x a x x '+⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭，()()2112210211221124ln ln ln ln 82402x x x x x x f x f x x x x x x x x '-⎛⎫+-⎛⎫-=-=-> ⎪ ⎪-+⎝'+-⎝⎭⎭，∴()1202x x f x f +⎛⎫> ⎪⎝'⎭'，∵()()424f x ax a x=-+-'在()0,∞+上是减函数，∴1202x x x +>.【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及到函数的单调性以及不等式证明问题，难点在于不等式的证明，解答时要注意根据所要证明的不等式的结构特征，构造恰当的函数，利用导数的单调性进行证明.18．(1)3(2)（i ）8；（ii ）224y x =-【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，根据向量的坐标运算即可得12332x x x ++=，再根据抛物线的定义即可得结论；（2）（i ）设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导，根据导数的几何意义求解切线斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可；（ii ）利用直线相交、直线过定点即可得点M 的轨迹方程.【详解】（1）依题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由0FA FB FC ++= 得，1231110222x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12332x x x ++=，由抛物线定义得，1231113222FA FB FC x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .（2）（i ）显然，直线AB 的斜率不为0，可设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y，由22,y x x my n⎧=⎨=+⎩得：2220y my n --=，2480m n ∆=+>，122y y m ∴+=，122y y n =-.22y x =Q，则y =1y y=='∴，∴切线1l 的方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，同理，切线2l 的方程为2212y y x y =+，联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121222y y x n y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即(),D n m -，则点D 到直线AB的距离为d =由4AB ===，化简得：22421m n m +=+，114822ABDS AB d ∴==⨯=≤ ，当且仅当0m =时取等号，ABD ∴ 面积的最大值为8.（ii ）若直线AB 过点()1,0，由（i ），可以设直线AB 的方程为1x my =+，122y y m ∴+=，122y y =-.∴直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得222,2,x m y m ⎧=+⎨=⎩消去m 得：224y x =-，∴点M 的轨迹方程为224y x =-.【点睛】关键点点睛：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、三角形面积问题最值问题.解决问题的关键是确定直线与抛物线交点坐标关系，并将题中几何性质转化为交点坐标关系，另外在求抛物线的切线可以考虑利用导数来求解切线斜率.19．(1)12对(2)①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【详解】（1）当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.（2）①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n n n n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且10C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n nn n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。

实验中学高二数学下学期第二次月考试题理含解析

10. 6把椅子摆成一排,3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）
A. 144B。120C. 72D. 24
【答案】D
【解析】
试题分析：先排三个空位,形成4个间隔，然后插入3个同学，故有种
考点：排列、组合及简单计数问题
11。若随机变量，则最大时，的值为（ )
A. 1或2B. 2或3C. 3或4D。 5
【答案】D
【解析】
【分析】
由，两边取对数得,化简得，构造函数，然后作图可求得答案。
【详解】由，两边取对数得, ，然后化简得，
设 ,然后可以画出的图像，如图，
明显地,当，且时，只有阴影部分内的取值能成立，此时，和的取值在阴影部分，即，从图像观察可得，的最大值是 ,没有最小值，但是 ,综上，的范围为
【点睛】本题考查了根据函数过点和公切线求参数,求公切线，意在考查学生的计算能力和转化能力。
20。“石头、剪刀、布"是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是:用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布;两个玩家同时出示各自手势次记为次游戏，“石头”胜“剪刀”,“剪刀"胜“布”，“布”胜“石头"；双方出示的手势相同时,不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的。
4。从集合｛0，1，2，3，4，5,6｝中任取两个互不相等的数，组成复数，其中虚数有（）
A。 30个B. 42个C. 36个D。 35个
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵a，b互不相等且为虚数，
∴所有b只能从{1，2,3，4,5，6}中选一个有6种，
a从剩余的6个选一个有6种，
∴根据分步计数原理知虚数有6×6=36(个）．

2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第二次月考数学试题(解析版)

2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第二次月考数学试题一、单选题1．202220212020819811980⨯⨯⨯⨯等于（） A ．19802022A B ．412022A C ．422022A D ．432022A【答案】D【分析】根据排列数公式判断即可；【详解】解：因为19802022一共有20221980143-+=个数，所以4320220A 20222021202081981198⨯⨯⨯⨯=，故选：D2．从2名男生和4名女生中选3人参加校庆汇报演出，其中至少要有一男一女，则不同的选法共有（） A ．16种 B ．32种 C ．95种 D ．192种【答案】A【分析】依题意分选出的3人为1男2女和选出的3人为2男1女两类，按分类计数原理求解即可【详解】若选出的3人为1男2女的情况有1224C C 种．若选出的3人为2男1女的情况有2124C C 种．所以至少要有一男一女的选法有21122424C C C C 16+=，故选：A3．下面几种概率是条件概率的是（）A ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率B ．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率C ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率D ．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，小明在一次上学途中遇到红灯的概率【答案】C【分析】根据条件概率的定义一次对选项进行判断即可.【详解】由条件概率的定义：某一事件已发生的情况下，另一事件发生的概率．选项A ：甲乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率；选项B ：抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率；选项C ：甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率；选项D ：一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率．故选：C4．下列结论正确的是（）A ．若()2sin f x x x =+，则()cos 2f x x x '=-+B ．若()f x ()f x '=C ．若()2f x =，则()2f x '=D ．若()()321f x x =-，则()()2321f x x ='- 【答案】B【分析】根据导数运算法则，结合基本函数的导数公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，()2sin f x x x =+，()cos 2f x x x ='+，故A 错误；对于B 选项，()12f x x =，()1212f x x -'=⋅=B 正确；对于C 选项，()2f x π=，()0f x '=，故C 错误；对于D 选项，()()321f x x =-，()()()23'3212621f x x x =-⋅=-，故D 错误．故选：B 5．函数31226y x x =-+的极小值点是（） A ．2 B ．23-C ．2-D ．143【答案】A【分析】利用极值点的定义求解. 【详解】解：由题意得：∵31226y x x =-+， ∴2122y x '=-，令0y '=，则2x =±，当(),2x ∞∈--时，0y '>，函数31226y x x =-+单调递增当[]2,2x ∈-时，0y '≤，函数31226y x x =-+单调递减当()2,x ∈+∞时，0y '>，函数31226y x x =-+单调递增故2x =是函数的极小值点.故选：A6．将三颗骰子各掷一次，设事件A =“三个点数都不同”，B =“至少出现一个6点”，则条件概率()P B A 的值是（） A ．6091B ．12C ．518D ．91216【答案】B【分析】根据题意，计算()P AB ，()P A ，进而结合条件概率公式求解即可.【详解】根据条件概率的含义，()P B A 其含义为在A 发生的情况下，B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”的概率，因为()23533C A 5618P AB ==，()363A 569P A ==，所以()()()5118529P AB P B A P A ===．故选：B7．()()52x y x y +-的展开式中的33x y 系数为（） A ．30 B ．10 C ．30- D ．10-【答案】B【分析】求得()5x y -的通项，令3r =和2r =，即可求出答案.【详解】因为()()()()55522x y x y x x y y x y +-=-+-，()5x y -的通项为：()515C rr rr T x y -+=-令3r =，则()33245=C T x y -，令2r =，则()22335=C T x y -，所以33x y 的系数为()()32325512C 110C 2010-+-=-+=．故选：B.8．回文联是我国对联中的一种，用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味，相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”．如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成3位“回文数”的个数为（） A ．30 B ．36C ．360D ．1296【答案】B【分析】根据题意，第一步选择第一位数，第二步选择第二位数，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，第一步选择第一位数，有6种方法，第二步选择第二位数，有6种方法，利用分步计数原理，共有6636⨯=种．故选：B. 二、多选题9．若随机变量X 的分布列如下，则（）A ．10t =B ．()10.8P X >=C ．11t =D ．()30.6P X ≥=【答案】AD【分析】由分布列的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】因为()112341t+++=，解得10t =，故A 正确，C 错误．由分布列可知：()()11110.10.9P X P X >=-==-=，故B 错误；()30.40.20.6P X ≥=+=，故D 正确.故选：AD.10．已知2nx⎛⎝的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是（）A ．二项展开式中各项系数之和为63B ．二项展开式中二项式系数最大的项为32160xC ．二项展开式中有常数项D ．二项展开式中系数最大的项为390x【答案】ABC【分析】根据二项式系数和得6n =，进而根据二项式展开式，二项式系数的性质等依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为2nx⎛⎝的二项展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以题中二项式为62x ⎛⎝，二项式展开式的通式公式为：()3666216622rr rrr r r T C x C x ---+==，对于选项A ，令1x =，可得二项展开式中各项系数之和为63，所以选项A 正确；对于选项B ，第4项的二项式系数最大，此时3r =，则二项展开式中二项式系数最大的项为336336322462160T C xx -⨯-==，所以选项B 正确；对于选项C ，令3602r -=，则4r =，所以二项展开式中的常数项为36446426260C x -⨯-=，所以选项C 正确；对于选项D ，令第1r +项的系数最大，则()()6161666161662222r r r r r r r r C C C C -----+-+⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，解得5733r ≤≤，因为*r N ∈，所以2r =时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为 2433362240T C x x ==，所以选项D 错误．故选：ABC11．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（） A ．若任意选科，选法总数为1224C C B ．若化学必选，选法总数为1123C CC ．若政治和地理至多选一门，选法总数为11112222C C C C +D ．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为111222C C C + 【答案】ABC【分析】根据题意，结合分类计数原理和分步计数原理，利用组合数的计算公式，逐项计算，即可求解.【详解】对于A 中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余的四科中任选2科，根据分步计数原理，可得选法总数为1224C C 种，所以A 正确；对于B 中，先从物理、历史中选1门，有12C 种选法，若化学必选，再从生物、政治、地理中再选1门，有13C 种选法，由分步计数原理，可得选法共有1123C C 种，所以B 正确；对于C 中，先从物理和历史中选1门，有12C 种选法，若从政治和地理中只选1门，再从化学和生物中选1门，有1122C C 种选法，若政治和地理都不选，则从化学和生物中选2门，只有1中选法，由分类计数原理，可得共有111222(1)C C C +，所以C 正确；对于D 中，若物理必选，只有1种选法，若化学、生物只选1门，则在政治、地理中选1门，有1122C C 种选法，若化学、生物都选，则只有1种选法，由分类计数原理，可得选法总数为11221C C +，所以D 错误. 故选：ABC.12．过点(),0P a 作曲线x y xe =的切线，若切线有且仅有两条，则实数a 的值可以是（） A ．2 B ．0 C ．4- D ．6-【答案】AD【分析】设切点为000(,)xx x e ，求得切线方程为：()()000001x x y x e x e x x -=+-，将切线过点(,0)P a ，代入切线方程，得到2000x ax a --=有两个解，结合0∆>，即可求解．【详解】由题意，函数x y xe =，可得(1)x y x e '=+设切点为000(,)xx x e ，则000|(1)x x x y x e ='=+，所以切线方程为：()()000001x xy x e x e x x -=+-，切线过点(,0)P a ，代入得()()000001x x x e x e a x -=+-，即方程2000x ax a --=有两个不同解，则有240a a ∆=+>，解得0a >或4a ．故选：AD. 三、填空题13．已知X 是一个离散型随机变量，分布列如表，则常数c 的值为__________．【答案】13【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，列出方程组，即可求解.【详解】由离散型随机变量分布列的性质，可得22903809381c c c c c c ⎧-≥⎪-≥⎨⎪-+-=⎩，解得13c =.故答案为：13.14．118除以9的余数是__________. 【答案】8【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】()1111819=-+，展开式的通项公式为()111119kkk C -⋅-⋅，当0k =时，为()11011191C ⋅-⋅=-. 所以118除以9的余数是198-+=. 故答案为：815．已知一个盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，则事件“第二次取到一等品”的概率为__________．【答案】340.75【分析】分析可得所求事件可分为第一次取到的是一等品，第二次取到的是一等品，和第一次取到的是二等品，第二次取到的是一等品，即可求得答案.【详解】设事件“第二次取到一等品”为事件A ，可分为第一次取到的是一等品，第二次取到的是一等品，和第一次取到的是二等品，第二次取到的是一等品，所以()3213343434P A =⨯+⨯=．故答案为：3416．()5231x x ++的展开式中2x 的系数为__________．【答案】95【分析】将2x ，3x ，1看作三个不同的对象，把问题可转化为将5个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题求解.【详解】解：将2x 看作对象甲，3x 看作对象乙，1看作对象丙，则题设可转化为将5个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题，则要得到2x ，则给甲1个元素，给乙0个元素，给丙4个元素，或给甲0个元素，给乙2个元素，给丙3个元素，即2x 的系数为1422551395C C ⨯+⨯=．故答案为：95 四、解答题17．已知()727012712x a a x a x a x -=++++.求：(1)1237a a a a ++++；(2)1357a a a a +++. 【答案】(1)2-； (2)1094-.【分析】（1）（2）根据给定的二项式的展开式，利用赋值法计算作答.【详解】(1)依题意，令()7()12f x x =-，当0x =时，0(0)1a f ==，当1x =时，()701234567(1)1211a a a a a a a a f =+++++++=-⨯=-，所以，1237(1)(0)2a f a a f a =-++++=-.(2)由（1）知，当1x =-时，7012345673218(71)a a a a a a a a f ++==-+---=-，因此，1357(1)(1)12187109422f f a a a a ----+++===-. 18．某种产品的加工需要经过5道工序．（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？【答案】（1）96，（2）36，（3）48，（4）72【分析】（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，再将剩余的4道工序全排列即可；（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，再将剩余的3道工序全排列；（3）先排这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列；（4）先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空【详解】解：（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有14C 4=种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有4424A =种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有42496⨯=种加工顺序；（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有236A =种不同的排法，再将剩余的3道工序全排列，有336A =种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有6636⨯=种加工顺序；（3）先排这2道工序，有222A =种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有4424A =种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有22448⨯=种加工顺序；（4）先排其余的3道工序，有336A =种不同的排法，出现4个空位，再将这2道工序插空，有2412A =种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有61272⨯=种加工顺序，19．已知等差数列{}n a 中11a =，公差为()0d d ≠，n S 为其前n 项和，且1S ，3S ，9S 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前2022项的和2022T ．【答案】(1)21n a n =- (2)202220224045T =【分析】（1）利用基本量法求解即可；（2）由（1）有21n a n =-，再利用裂项求和求解即可【详解】(1)等差数列{}n a 中11a =，公差为d （0d ≠），n S 为其前n 项和，且1S ，3S ，9S 成等比数列．所以111S a ==，333S d =+，9936S d =+．1S ，3S ，9S 成等比数列．所以()233936d d +=+，又因为0d ≠，解得2d =．所以21n a n =-． (2)因为21n a n =-，故()()111111212122121n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭． 11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭．所以21n n T n =+．所以202220224045T =．20．某工厂生产一种航天仪器零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.6，得到的不合格零件可以进行一次技术处理，技术处理费用为100元/件，技术处理后得到合格零件的概率为0.5，得到的不合格零件成为废品． (1)求得到一件合格零件的概率；(2)合格零件以1500元/件的价格销售，废品以100元/件的价格被回收．零件的生产成本为800元/件，假如每件产品是否合格相互独立，记X 为生产一件零件获得的利润，求X 的分布列．【答案】(1)0.8 (2)答案见解析【分析】（1）设事件A ：“一次性成型即合格”，设事件B ：“经过技术处理后合格”，求得(),()P A P B 的值，结合互斥事件的概率公式，即可求解；（2）根据题意，得到随机变量X 可取700，600，800-，求得相应的概率，即可得出X 的分布列.【详解】(1)解：设事件A ：“一次性成型即合格”，设事件B ：“经过技术处理后合格”，则()0.6P A =，()()10.60.50.2P B =-⨯=．所以得到一件合格零件的概率为()()0.8P P A P B =+=． (2)解：若一件零件一次成型即合格，则1500800700X =-=．若一件零件经过技术处理后合格，则1500800100600X =--=．若一件零件成为废品，则800100100800X =-+=--．所以X 可取700，600，800-，则()7000.6P X ==，()()60010.60.50.2P X ==-⨯=，()()()80010.610.50.2P X =-=-⨯-=，所以随机变量X 的分布列为21．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A =AB ，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°．【答案】（1）见解析（2）当点F 为BC 中点时，平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°【分析】（1）证明PA BC ⊥．AB BC ⊥，推出BC ⊥平面PAB ．得到AE BC ⊥．证明AE PB ⊥，得到AE ⊥平面PBC ．然后证明平面AEF ⊥平面PBC ．（2）分别以,,AB AD AP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方形ABCD 的边长为2，求出为平面AEF 的法向量，平面PCD 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【详解】解：（1）∵P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ∴P A ⊥BC ∵ABCD 为正方形 ∴AB ⊥BC又 P A ∩AB =A ，P A ，AB ⊂平面P AB ∴BC ⊥平面P AB ∴AE ⊂平面P AB ∴AE ⊥BC∵P A =AB ，E 为线段PB 的中点 ∴AE ⊥PB又 PB ∩BC =B ，PB ，BC ⊂平面PBC ∴AE ⊥平面PBC（2）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设正方形ABCD 的边长为2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0）P （0，0，2）E （1，0，1）∴(1,0,1)AE =，(2,2,2)PC =-，(0,2,2)PD =- 设F （2，λ，0）（0≤λ≤2）， ∴(2,,0)AF λ=设平面AEF 的一个法向量为()111,,n x y z =则·0·0n AE n AF ⎧=⎨=⎩∴1111020x z x y λ+=⎧⎨+=⎩ 令y 1=2，则11x z λλ=-⎧⎨=⎩ ∴(,2,)n λλ=-设平面PCD 的一个法向量为()222,,m x y z =则·0·0m PC m PD ⎧=⎨=⎩∴2222200x y z y z +-=⎧⎨-=⎩ 令y 2=1，则2201x z =⎧⎨=⎩ ∴()0,1,1m =∵平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°，∴2cos302m n m n︒===⨯ 解得λ=1，∴当点F 为BC 中点时，平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°【点睛】本题考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直的证明，二面角等基础知识，考查学生的逻辑推理能力，化归与转化能力和空间想象能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算．22．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，抛物线上一点()(),20A m m >到F 的距离为3． (1)求抛物线C 的方程：(2)设直线l 与抛物线C 交于D ，E 两点，抛物线C 在点D ，E 处的切线分别为1l ，2l ，若直线1l 与2l 的交点恰好在直线3y =-上，证明：直线l 恒过定点．【答案】(1)24x y = (2)证明见解析【分析】（1）由抛物线的定义即可求解；（2）设直线l 的方程并与抛物线方程联立，写出韦达定理和两条切线方程，将两切线方程联立可得交点坐标，根据交点在直线3y =-上，即可得到所求定点. 【详解】(1)由抛物线C ：22x py =上一点(),2A m 到F 的距离为3，可得232p+=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =． (2)证明：设211,4x D x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x E x ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx n =+，联立方程24y kx nx y=+⎧⎨=⎩，整理得2440x kx n --=，所以216160k n ∆=+>，且124x x k +=，124x x n =-，又由24x y =，可得=2x y '，所以抛物线C 在点D 处的切线1l 的方程为()211124x x y x x =-+，即21124x x y x =-，同理直线2l 的方程为22224x x y x =-，联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得122x x x +=，124x x y =，又因为直线1l 与2l 的交点恰好在直线y ＝－3上，所以，1234x x =-即1212x x =-，所以12412x x n =-=-，解得3n =，故直线l 的方程为3y kx =+，所以直线l 恒过定点()0,3．。

2022-2023学年四川省甘孜州康定中学高二年级下册学期3月月考数学(理)试题【含答案】

2022-2023学年四川省甘孜州康定中学高二下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（）条件xOy 0m <221x my +=A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【分析】由双曲线方程的特征计算得m 的范围，再由集合的包含关系可得结果.【详解】∵表示双曲线，221x my +=∴.0m <∴是表示双曲线的充要条件.0m <221x my +=故选：C.2．某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是（）A ．从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势B ．这10天白天的平均气温的极差大于6℃C ．这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大D ．这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天【答案】D【解析】观察折线图可得选项A 和选项B 正确；选项C ，这10天中白天的平均气温为26℃的频率比其他平均气温的频率都要大，所以该选项正确；选项D ，白天的平均气温大于26℃的只有4天，所以该选项错误.【详解】选项A ，从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势，所以该选项正确；.选项B ，这10天白天的平均气温的极差大于6℃，所以该选项正确；选项C ，这10天中白天的平均气温为26℃的频率为0.3，比其他平均气温的频率都要大，所以该选项正确；选项D ，这10天中白天的平均气温大于26℃的只有4天，所以该选项错误.故选：D.3．盒子内装有黑球、白球、红球三种，其数量分别为1，2，3，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为（）A ．至少有一个白球；没有白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红黑球各一个【答案】D【分析】根据互斥事件与对立事件的定义，对4个选项逐个验证即可．【详解】选项A ，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，故和“没有白球”互斥事件且为对立事件，故A 错误；选项B ，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，“至少一个红球”是指恰有1个红球或都是红球，都包含1个白球1个红球这种结果，故不是互斥事件，故B 错误；选项C ，“恰有一个白球”是指有1个白球1个红球或有1个白球1个黑球，和“一个白球一个黑球”不是互斥事件，故C 错误；选项D ，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，“红球、黑球各一个”则没有白球，故互斥，而没有白球也不一定是红球、黑球各一个，故不对立，故D 正确．故选：D ．4．到平面内两个定点，距离和等于10的动点M 的轨迹图形为（）()15,0F -()25,0F A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．以上均不正确【答案】C【分析】设，根据两点坐标求距离公式表示出，化简计算，整理得，即(,)M x y 12MF MF 、0y =，结合绝对值的几何意义即可求解.5510x x ++-=【详解】由题意知，设，(,)M x y，，10=，等式两边同时平方，10=，等式两边同时平方，5x=-整理得，解得，20y =0y =，510=-=当时，，解得，不符合题意，5x >210x =5x =当时，，解得，不符合题意，5x <-210x -=5x =-当时，，等式成立，55x -≤≤5510x x +-+=所以点M 的轨迹为线段.12F F 故选：C.5．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（）0m >0n >11e y x m =++ln 2y x n =-+11m n +A ．16B ．12C ．8D ．4【答案】D【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可,m n 得出答案.【详解】对求导得，ln 2y x n =-+1y x '=由得，则，即，11e y x '==e x =1e 1ln e 2e m n ⋅++=-+1m n +=所以，()11112224n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当时取等号．12m n ==故选：D ．6．在正四面体中，直线与直线所成的角的大小为（）A BCD -AB CD A ．B ．C ．D ．30︒45︒60︒90︒【答案】D【分析】取的中点，可证得，进而可得结果.CD E CD AB ⊥【详解】取的中点，连接，，则，，且，所以CD E AE BE AE CD ⊥BE CD ⊥AE BE E = 平面，因此，即直线与直线所成角的大小为.CD ⊥ABE CD AB ⊥AB CD 90 故选：D.7．已知幂函数过点，则过点的直线与曲线相切的切点横坐标为()f x x α=()2,4()2,12P --()y f x =（）A ．2或4B ．3或65C ．3或2D ．2或6-【答案】D【分析】根据已知求出幂函数解析式，设所求的切线的切点为，则斜率为，得到切线()00,x y 0()f x '的点斜式方程，将点坐标代入，建立关于的方程，求解即可.P 0x 【详解】代入幂函数方程得，()2,4()22,f x x α=∴=设曲线过点的切线切点坐标为，()y f x =()2,12P --()00,x y 切点的斜率为，00()2k f x x =='故该切线方程为，()20002y x x x x =-+由于切线过点，()2,12P --故，，()20001222x x x -=--+2004120x x +-=解得或.02x =06x =-故选：D .【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意已知点“过”与“切”的区别，属于基础题.8．已知点P 为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左、右焦点，点()222210,0x y a b a b -=>>12,F FI 是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则离心率的取12PF F △1212IPF IPF IF F S S-≥△△△值范围是（）A ．B．((1,C ．D．(1,(【答案】D【分析】根据条件和面积公式得出，的关系，从而得出离心率的范围.a c 【详解】设的内切圆的半径为r ，12PF F △则，12121212111,,222IPF IPF IF F S PF r S PF r S F F r =⋅=⋅=⋅△△△因为，1212IPF IPF IF F S S-≥△△△由双曲线的定义可知，12122,2PF PF a FF c-==所以，即，又由，22a c ≥a≥e 1c a =>所以双曲线的离心率的取值范围是.(故选：D 9．已知函数在处有极值，且极值为8，则的零点个数为()()3220f x x bx cx b b =+++<=1x -()f x （）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意求导后结合已知极值，得出，即可根据导数得出其单调性，再结合特值27b c =-⎧⎨=-⎩得出其零点个数.【详解】由题意得，()232f x x bx c¢=++因为函数在处有极值，且极值为8，()()3220f x x bx cx b b =+++<=1x -则，，()2118f b c b -=-+-+=()1320f b c '-=-+=解得(经检验适合题意)，或（经检验不合题意舍去）27b c =-⎧⎨=-⎩33b c =⎧⎨=⎩故，，()32274f x x x x =--+()()()2347137f x x x x x '=--=+-当或时，，即函数单调递增，(),1x ∈-∞-7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 当时，，即函数单调递减，71,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 又因为，，，，()30f -<()10f ->()10f <()40f >则有3个零点，()f x 故选：C.10．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙35组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（）53A ．B ．C ．D ．3.544.55【答案】D【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差.【详解】设甲组数据分别为、、、，乙组数据分别为、、、，1x 2x 6x 7x 8x 12x 甲组数据的平均数为，可得，方差为，可得，61136i i x ==∑6118i i x ==∑()6211356i i x =-=∑()621330i i x =-=∑乙组数据的平均数为，可得，方差为，可得，127156i i x ==∑12730ii x ==∑()12271536i i x =-=∑()1227518i i x =-=∑混合后，新数据的平均数为，1211183041212i i x =+==∑方差为()()()()61261222221717114431511212i i i i i i i i x x x x ====⎡⎤⎡⎤-+-=--+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()()()61261222171713523251212i i i i i i i i x x x x ====⎡⎤=-+---+-+⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑.()()130182336255612512⎡⎤=⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯+=⎣⎦故选：D.11．已知函数对任意的满足（其中是函数()y f x =ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()cos sin 0f x x f x x'->()f x '的导函数），则下列不等式成立的是（）()f x A ．B ．ππ34f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ34f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．D()π203f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()π04f ⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据条件构造函数，，求函数的导数，确定函数的单调性，()()cos g x f x x =ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭利用单调性比较函数值大小即可逐项判断，即可得到结论．【详解】构造函数，，则，所以()()cos g x f x x =ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()cos sin 0g x f x x f x x -''=>在上单调递增，()g x ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭则，所以，即，故A 不4ππ3g g ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos 3344f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ34f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正确；则，所以，即，故B 不正确；ππ34g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos3344f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ34f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，所以，即，故C 正确；()π03g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭()ππ0cos 0cos33f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()π203f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭则，所以，故D 不正确.()π04g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭()ππ0cos 0cos44f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()π04f ⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：C.12．设，，，则（）1sin5a =11cos 55b =11ln9c =A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>b c a >>c a b>>【答案】D【分析】根据已知数，构造函数比较a ，b 大小；构造函数()sin cos =-f x x x x 比较a ，c 大小作答.2(1)()ln 1x g x x x -=-+【详解】令，当时，，()sin cos =-f x x x x π(0,)2x ∈()cos (cos sin )sin 0f x x x x x x x '=--=>即函数在上单调递增，则有，因此，即，()f x π(0,)21()(0)05f f >=111sin cos555>a b >令，，有，则在上单调递增，2(1)()ln 1x g x x x -=-+0x >22214(1)()0(1)(1)x g x x x x x -'=-=≥++()g x (0,)+∞因此，即，则有，11()(1)09g g >=112(1)119ln 011919-->+111ln 95>令，，因此在上单调递增，()sin h x x x =-()1cos 0h x x '=-≥()h x R 即有，则，于是，即，1((0)05h h >=11sin55>111ln sin 95>c a >所以．c a b >>故选：D【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.二、填空题13．当命题“对任意实数，不等式恒成立”是假命题时，则的取值范围是x 210x kx ++>k __________.【答案】(][),22,-∞-+∞ 【分析】由“对任意实数，不等式恒成立”求得的取值范围，再根据其为假命题求x 210x kx ++>k 得的取值范围的补集，即为最终所求的的取值范围.k k 【详解】因为“对任意实数，不等式恒成立”，x 210x kx ++>则，即，240k ∆=-<2<<2k -又因为命题“对任意实数，不等式恒成立”是假命题，x 210x kx ++>所以或.2k ≤-2k ≥故答案为：(][),22,-∞-+∞ 14．某三棱锥的三视图，如图所示，该三棱锥的体积为___________.【答案】9【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可.【详解】由题意可知该几何体是将边长为3的正方体的6个面上的对角线构成的正四面体，如图，可以由正方体的体积截去4个小棱锥的体积计算，即该三棱锥的体积为.113334333932V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=故答案为：.915．已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于、两点（点π3l ()2:20C y px p =>F C P Q 在第一象限），若，则__________.P 4PF =QF =【答案】##43113【分析】设点、，则，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出、()11,P x y ()22,Q x y 12x x >l 1x ，利用抛物线的定义可求得的值，再利用抛物线的定义可求得的值.2x p QF 【详解】易知点，设点、，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()11,P x y ()22,Q x y 因为直线的倾斜角为，且点在第一象限，则，l π3P 12x x >联立可得，解得，，222p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩22122030x px p -+=132p x =26px =由抛物线的定义可得，可得，32422p pPF p =+==2p =因此，.246233p p p QF =+==故答案为：.4316．若正实数a ，b 满足，则的最小值为______.()1ln ln a a b a a be--+≥1ab【答案】e4【分析】由不等式变形为，通过换元，根据1(ln ln )ea ab a a b --+≥11ln e e 10a a b b a a ---+≥（）1e a b t a -=不等式恒成立得出a 与b 的关系，从而把表示为关于a 的表达式，再通过构造函数求最值即1ab 可．【详解】因为，所以，1(ln ln )e a a b a a b --+≥1ln ln e a b b a a a --+≥所以，即11ln ln e 1e a a b b a a --++≥11ln e e 10a ab b a a ---+≥（）令，则有()，1e a b t a -=ln 10t t -+≥0t >设，则，由得()ln 1f t t t =-+1()1f t t '=-()0f t '=1t =当时，，单调递增，当时，，单调递减，01t <<()0f t '>()f t 1t >()0f t '<()f t 所以，即，又因为，max ()(1)0f t f ==ln 10t t -+≤ln 10t t -+≥所以，当且仅当时等号成立ln 10t t -+=1t =所以，从而，所以()1e 1a b t a -==111e a b a -=121e a ab a -=0a >设()，则，由得12e ()x g x x -=0x >13(2)e ()x x g x x --'=()0g x '=2x =当时，，单调递减，当时，，单调递增，02x <<()0g x '<()g x 2x >()0g x '>()g x 所以，所以的最小值为．21min2e e ()(2)24g x g -===1ab e 4故答案为：．e4三、解答题17．如图,在四棱锥P －ABCD 中,四边形ABCD 是菱形,PA =PC ,E 为PB 的中点．求证:(1)平面AEC ;PD(2)平面AEC ⊥平面PBD ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可AC BD O = EO PD EO ∥证明;(2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定PA PC =AC PO ⊥ABCD AC BD ⊥理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.AC ⊥PBD 【详解】（1）设,连接,如图所示:AC BD O = EO因为O ,E 分别为,的中点,所以,BD PB PD EO ∥又因为平面,平面,PD AEC EO ⊂AEC 所以平面．PD AEC （2）连接,如图所示:PO因为,为的中点,所以,PA PC =O AC AC PO ⊥又因为四边形为菱形,所以,ABCD AC BD ⊥因为平面,平面,且,PO ⊂PBD BD ⊂PBD PO BD O = 所以平面,又因为平面,AC ⊥PBD AC ⊂AEC 所以平面平面．AEC ⊥PBD 18．若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦2222:1,(0)x y E a b a b +=>>24x y =221x y -=点．(1)求椭圆E 的方程；(2)不过原点O 的直线与椭圆E 交于A 、B 两点，求面积的最大值以及此时直线l :l y x m =+ABO 的方程．【答案】(1)2213x y +=(2)的方程为ABOl y x =【分析】(1)根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的的关系求解；,,a b c (2)利用韦达定理求出弦长，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解.AB【详解】（1）抛物线的焦点为，所以，24x y =(0,1)1b =因为双曲线的焦点坐标为，221x y -=(),所以则，222a b -=23a =所以椭圆E 的方程为.2213x y +=（2）设，1122(,),(,)A x y B x y 联立可得，2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2246330x mx m ++-=因为直线与椭圆E 交于A 、B 两点，:l y x m =+所以解得，223616(33)0m m ∆=-->24m <由韦达定理可得，21212333,24m m x x x x -+=-=由弦长公式可得AB ==点到直线的距离为O ld所以11||||22OAB S d AB m =⋅⋅=△14=≤当且仅当即时取得等号，22m =m =所以的方程为ABC l y x =±19．已知四棱锥的底面ABCD 为矩形，底面ABCD ，且，设P ABCD -PA ⊥22PA AD AB ===E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图．(1)求证：平面PBD ；//FH (2)求直线FH 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用中位线得到的线线平行，证明线面平行，再证面面平行，由面面平行得证线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.【详解】（1）证明：∵E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，∴，，//EF PB //FG BD ∵平面PBD ，平面PBD ，∴平面PBD ，同理可证平面PBD ，EF ⊄PB ⊂//EF //FG ∵，EF 、平面EFG ，∴平面平面PBD ，EF FG F ⋂=FG ⊂//EFG ∵平面EFG ，∴平面PBD ．FH ⊂//FH （2）∵平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，PA ⊥以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，()1,0,0B ()1,2,0C ()002P ,,()1,1,0F 1,1,12E ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭131,,222H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，()0,2,0BC =()1,0,2BP =-111,,222FH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 设平面PBC 的法向量为，则，(),,n x y z = 2020n BC y n BP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取，可得，∴，2x =()2,0,1n =cos ,FH n = 所以，直线FH 与平面PBC20．某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，按分组，，，，，，整理后得到如[)80,90[)90,100[)100,110[)110,120[)120130,[)130140,[]140,150下频率分布直方图.(1)求图中的值；x (2)请用样本数据估计本次联考该校语文平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；(3)用分层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在，的两组学生中抽取5名学生，[)130140,[]140,150再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在的概率.[)130140,【答案】(1)0.01x =(2)107.4分(3)25【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形面积和为1，求得x ；（2）用每一组区间的中点值代替该组数据，计算平均数；（3）计算分层抽样每层抽取人数，列出所有选出2人的基本事件，求出概率.【详解】（1）由频率分布直方可知，，()0.0120.0220.0280.0180.0080.002101x ++++++⨯=解得；0.01x =（2）由图可知，语文成绩在，，，，，，[)80,90[)90,100[)100,110[)110,120[)120130,[)130140,的频率[]140,150分别为0.12，0.22，0.28，0.18，0.10，0.08，0.02，设样本数据中语文平均成绩为，x 则850.12950.221050.281150.181250.101350.081450.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯85100.22200.28300.18400.10500.08600.02=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯85 2.2 5.6 5.444 1.2107.4=++++++=故估计本次联考该校语文平均成绩为107.4分；（3）由题知，样本内语文成绩在，的学生分别有8名和2名，[)130140,[]140,150按分层随机抽样抽取的5名学生中，分数在的学生有4名，记为A ，B ，C ，D ，[)130140,在的学生有1名，记为e ，[]140,150从这5名学生中随机选出2人，所有的情况有10种：AB ，AC ，AD ，Ae ，BC ，BD ，Be ，CD ，Ce ，De ，其中恰有一人语文成绩在的有4种：Ae ，Be ，Ce ，De ，[)130140,则这5名学生中随机选出2人，恰有一人语文成绩在的概率为.[)130140,42105P ==21．已知函数，其中．()3236g x ax x =-+0a >(1)若函数在处取得极值，求的值；()g x 2x =a(2)若在区间上，恒成立，求的取值范围．[]1,1-()0g x >a 【答案】(1)1a =(2)()0,3【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间，根据极值点的概念即()g x '()0g x '>()0g x '<可求解；（2）结合函数的单调性，分类讨论求的最小值，由最小值大于0可得参数范围.()g x 【详解】（1）因为，所以，32()36g x ax x =-+2g ()36x ax x '=-令，得；令，得或，()0g x '<20x a <<()0g x '>0x <2x a >所以的单调递减区间是，单调递增区间是，()g x 20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2(,0),,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭所以，若函数在处取得极值，()2()0,()g x g g x g a ⎛⎫== ⎪⎝⎭极大值极小值()g x 2x =则，解得．22a =1a =（2）①若，即时，在上单调递增，在上单调递减，21a ≥02a <≤()g x (1,0)-(0,1)因为在区间上，恒成立，[1,1]-()0g x >所以，解得，(1)30(1)30g a g a =+>⎧⎨-=-+>⎩33a -<<又，所以.02a <≤02a <≤②若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.21a <2a >()g x (1,0)-20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为在区间上，恒成立，[1,1]-()0g x >所以.()21302460g a g a a ⎧-=-+>⎪⎨⎛⎫=-+> ⎪⎪⎝⎭⎩3a <<又，所以.2a >23a <<综上，可得，即a 的取值范围是.0<<3a ()0,322．已知函数．()212x f x axe x x=--(1)讨论在上的单调性；()f x ()0,∞+(2)若时，方程有两个不等实根，，求证：．0a >()21ln 2f x x x =-1x 2x 21212x x x x e -->【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用导数，分类讨论函数在区间内的单调性；（2）令，原不等式即证，通过构造函数法，利用导数通过单调性证明.()e 0x t x x =>12ln ln 2t t +>【详解】（1）由题意得．()()()()1e 11e 1x x f x a x x x a '=+--=+⋅-因为，所以．0x >10x +>当时，，，所以在上单调递减．0a ≤e 10x a -<()0f x '<()f x ()0,∞+当时，令，则．0a >e 10xa -=ln x a =-①若，则，当时，，所以在上单调递增；1a ≥ln 0x a =-≤0x >()0f x ¢>()f x ()0,∞+②若，则，当时，，所以在上单调递减；01a <<ln 0x a =->()0,ln x a ∈-()0f x '<()f x ()0,ln a -当时，，所以在上单调递增．(ln ,)x a ∈-+∞()0f x ¢>()f x ()ln ,a -+∞综上，当时，在上单调递减；0a ≤()f x ()0,∞+当时，在上单调递增；1a ≥()f x ()0,∞+当时，在上单调递减，在上单调递增．01a <<()f x ()0,ln a -()ln ,a -+∞（2）证明：方程，即，()21ln 2f x x x =-e ln 0x ax x x --=因为，则，()e ln 0x ax x x -+=()e ln e 0x x ax x -=令，，所以函数在上单调递增，()e 0x t x x =>()1e 0x t x '=+>e xt x =()0,∞+因为方程有两个实根，，令，，则关于t 的方程()e ln 0x ax x x -+=1x 2x 111e x t x =222e xt x =也有两个实根，，且，ln 0at t -=1t 2t 12t t ≠要证，即证，即证，即证，21212e x x x x -->12212e e e x x x x ⋅>212e t t >12ln ln 2t t +>由已知，1122ln ln at t at t =⎧⎨=⎩所以，()()12121212ln ln ln ln a t t t t a t t t t ⎧-=-⎪⎨+=+⎪⎩整理可得，12121212ln ln ln ln t t t t t t t t ++=--不妨设，120t t >>即证，12112122ln ln ln 2t t t t t t t t ++=>-即证，()1122112122212ln 1t t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++令，即证，其中，12t s t =()21ln 1s s s ->+1s >构造函数，，()()()21ln 11s g s s s s -=->+()()()()222114011s g s s s s s -'=-=>++所以函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立．()g s ()1,+∞1s >()()10g s g >=【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

天津市第四十七中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷(含答案)

天津市第四十七中学2023—2024第二学期高二年级第二次阶段性检测数学试卷一、选择题（每题5分，共45分）1．设集合，则（）A ．B ．C ．D ．2．已知a 、b 、，则“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）A ．B ．C ．D ． 4．下列说法中正确的个数为（）个①对立事件一定是互斥事件；②在经验回归直线方程中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量减少0．1个单位；③两个随机变量的线性相关性越强，相关系数绝对值越接近于1；④在回归分析棋型中，若相关指数越小，则残差平方和越大，棋型的拟合效果越好．A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数，若，则（）A ．B ．C ．D ．6．若，则（）A ．B ．1 CD ．{}2{2},340A xx B x x x =>-=+-≤∣∣A B = (,1]-∞[4,2)--(2,1]-[1,)+∞c ∈R a b =22ac bc =()y f x =()f x e 1()e 1x x f x +=-e 1()e 1x x f x -=+()f x =()f x =ˆ0.110y x =+ˆy2R 1()f x x x=-0.550.5log 2,log 0.2,0.5a b c -===()()()f b f a f c <<()()()f c f b f a <<()()()f b f c f a <<()()()f a f b f c <<23,35,54a b c ===4log ()abc =2-127．已知随机变量X 服从正态分布，且，则等于（）A ．0．14B ．0．36C ．0．72D ．0．868．8．已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．9．设定义在上的函数与，若，且为奇函数，设的导函数为，则下列说法中一定正确的是（）A ．是奇函数B ．函数的图象关于点对称C ．D ．点（其中）是函数的对称中心二、填空题（每题5分，共30分）10．在的展开式中，项的系数为__________．（用数字作答）11．分别从0，2，4和1，3，5中各任取2个数字组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数有_____个．12．公差大于零的等差数列中，成等比数列，若，则________．13．已知，则的最小值为__________．14．某学校有A ，B 两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择A 餐厅和选择B 餐的概率均为．如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为，则某同学第2天去A 餐厅用餐的概率为假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量X 为该班3名同学中第2天选择B 餐厅的人数，则随机变量X 的均值_________．15．设，函数，若函数恰有4个学点，则数a 的取值范围为__________．三、解答题（共75分，需写出必要的文字说明、推理过程或计算步臻，只有结果的不给分）16．（本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在平面，，F 为线段PA 上一()22,N σ(1.52)0.36P x ≤<=( 2.5)P x >()||f x x x =[0,)x ∈+∞()214()f x x f x α-+≥(0,2](,2]-∞[0,)+∞(,0]-∞R ()f x ()g x (2)(1)2,()(1)2f x g x f x g x +--==++(1)g x +()g x ()g x '()f x ()g x '(1,0)20231()0k g k ==∑(2,2)k k ∈Z ()f x 322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x {}n a 5311,a a 25a =37a a +=2,0a b >>42a ab b+-123545()E X =a R ∈22||,0()54,0x a x f x x x x +<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩()||y f x ax =-90ADC BAD ∠=∠=︒点，，四边形PDCE 为矩形．（I ）若F 是PA 的中点，求证：平面DEF ；（Ⅱ）求直线AE 与平面BCP 所成角的正弦值；（Ⅲ）若点F 到平面BCP的距离为，求PF 的长．17．（本小题满分15分）2024年世界羽联赛已经开始，同时，也是奥运年，4年一度最精彩赛事即将来临！为了激发同学们的奥运精神，某校组织同学们参加羽毛球比赛，若甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立（I ）求甲以的比分获胜的概率；（Ⅱ）设X 表示比赛结束时进行的总局数，求X 的分布列及数学期望．18．今年是中国共产党建党103周年，为庆祝中国共产党成立103周年，某高中决定开展“学党史，知奋进”党史知识克赛活动，为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了选修历史和不选修历史各50人作为样本，设事件“获奖”，“选修历史”，据统计．统计100名学生的获奖情况后得到如下列联表：获奖没有获奖合计选修历史没有选修历史合计0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：（I ）完成上面列联表，并依据的独立性检验，能否有把握推断认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科有关”；（结果保留三位小数）112PD AB AD CD ====AC ∥1623133:1A =B =12(,()53P AB P B A ==∣∣αx α22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++22⨯0.05α=95%（Ⅱ）从选历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”，在某次活动中，从这6名学生中随机选取3人为宣讲员，求男生宣讲员人数的分布列和数学期望．19．（本小题满分15分）已知等差数列，满足，正项数列的前n 项和为，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求（Ⅲ）在之间插入1个数，使成等差数列，在之间插入2个数，使成等差数列，……；在之间插入n 个数，使成等差数列①求；②求20．（本小题满分16分）已知函数．（I ）讨论的单调区间；（Ⅱ）当时，令．①证明：当时，；②若数列满足，证明：．天津市第四十七中学2023-2024（二）高二年级第二次月考数学试卷答案一、选择题1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D9 ．D二、填空题（本大题共6小题．每题5分共30分）10．6 11．180 12．28 13．6 14．， 15．三、解答题16．（本小题满分14分）ξ{}n a 14591,a a a a =+={}n b n S 31n n S =-{}n a {}n b ()2*121(1)(1)nkk k k a n k k =⎡⎤++-∈⎢⎥⋅+⎣⎦∑N 12,b b 11c 1112,,b c b 23,b b 2122,c c 221223,,,b c c b 1,n n b b +12,,..,n n nn c c c ⋯121,,,..,,n n n nn n b c c c b +⋯nk c 11212231323312n n nn c c c c c c c c c ++++++++++…………()e ,x f x ax a a =--∈R ()f x 1a =22()()f x g x x =0x >()1g x >{}()*n x n ∈N()111,e 3n x n x g x +==()2e 11n x n -<710910(1,0)(1,2)-（I ）以D 为坐标原点，正方向为x ，y ，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面DEF 的法向量为，令平面DEF ，平面DEF ．（III ）设平面BCP 的法向量，令，解得：；设直线AE 与平面BCP 所成角为，．则直线AE 与平面BCP（III ），设由平面BCP 的法向量，点F 到平面BCP 的距离．解得，所以．17．（本小题满分15分）（I ）以的比分获胜，则甲在前3局胜2局输1局，第4局胜利，概率为：（Ⅱ）X 可能的取值为3，4，5，；；X345,,DA DC DP1(1,0,0)(1,1,0),(0,2,0),(0,2A B C P E F ⎛ ⎝(,,)m x y z = 00DE m z DF m x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1,2,(2,1,y z x m ===∴= 0,AC m AC mAC ∴⋅=⊥⊂/AC ∴∥(,,),(1,1,0),(0,(1,n x y z BC CP AE ==-=-=-020BC n x y CP n y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩ 1y =1,x z n ==∴= θ||sin |cos ,|||||AE n AE n AE n θ⋅∴=<>==⋅(1,0,PA = (,0,),[0,1]PF PA λλλ==∈n = ||||1||26PF n d n λ⋅===13λ=1||||3PF PA == 3:12232128C 33327P ⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭33211(3)333P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223812110(4)2733327P X C ⎛⎫==+⋅⋅⋅=⎪⎝⎭11081108107(5)1()345327273272727P X E X ==--==⨯+⨯+⨯=P18．（本小题满分15分）（I ）设获奖且没选修历史为x 人（人）又（人）获奖没有获奖合计选修历史203050没有选修历史104050合计3070100（I ）由题意可得列联表：零假设为：党史知识竞赛获奖与选修历史学科无关则故依据的独立性检验，推断不成立，即有把握认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科”有关．（Ⅱ）由题意的取值可能为0，1，2，则，故的分布列为：012P则．19．（本小题满分15分）（I ）设数列的公差为d ，由题意知，，解得，所以；因为数列的前n 项和为，且满足．所以当时，，1310278271(,10505x p A B x ===∣1030213=-0H 22100(20401030) 4.762 3.84130705050χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯0.05α=0H 95%ξ3122142424333666C C C C C 131(0),(1),(2)C 5C 5C 5P P P ξξξ=========ξξ153515131()0121555E ξ=⨯+⨯+⨯={}n a 111348a d a d a d +++=+1d =n a n ={}n b n S 31nn S =-1n =11312b =-=当时，．验证，当时，，满足上式，故．（Ⅱ）．（Ⅲ）成等差数列，，①②设，则，设，所以，，两式相减得，，所以．20．（本小题满分16分）（I ）函数定义域为R ，求导得，当时，恒成立，即在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，即在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，在上单调递增，2n ≥111313123n n n n n n b S S ---=-=--+=⨯1n =11b =123n n b -=⨯221(12)221112;(1)(1)2(1)1nk k k k n n k a n n k k k k =++⎛⎫==+-=-+ ⎪++⎝⎭∑21111111112(1)1112232212121nk k n k k n n n n =-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-++++=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 2212122(1)21nk k k n a n n k k n =⎡⎤++=+-⎢⎥++⎣⎦∑121,,,,,n n n nn n b c c c b +⋯111232343111n n n n n n b b d n n n --+-⨯-⨯⨯===+++1114321232311n n n nk n n k nc b kd k n n ---⨯++=+=⨯+=⨯⨯++111121(1)3(1)4323432121n n n n n n mnn n n n n n n M c c c nc d n n n n ----+-⨯=+++=+⋅=⨯⨯⨯+⨯=⨯++ ()()1121212112121212n n m n n mn n c c c c c c c c c c c c M M M +++++++=+++++++=+++ 12n n T M M M =+++ 012214383123(44)343n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-+⨯ 123134383123(44)343n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ (121012312443434343433333n n n n T n ---=+⨯+⨯++⨯-⨯=+++++ 1343443(24)3213nnn n n n n --⨯=⨯-⨯=-⨯--1(21)3n n T n =+-⨯()f x ()e x f x a '=-0a ≤()0f x '>()f x (,)-∞+∞0a >()e 0x f x a '=->ln x a >()e 0x f x a '=-<ln x a <()f x (,ln )a -∞(ln ,)a +∞0a ≤()f x (,)-∞+∞当时，在上单调递减，在上单调递增．（II ）当时，，①当时，，令恒成立，则在上单调递减，，因此，成立，所以当时，．②由①可知，当时，，由得，即，由，可得，而，又，即，则，由于，只需证，又当时，，令恒成立，则在上单调递增，，则当时，恒有，而，即成立，不等式成立，因此成立，即成立．0a >()f x (,ln )a -∞(ln ,)a +∞1a =()22e 1()x x g x x --=0x >()222112e 121e 112e xx xx x x x x x ++-->⇔>++⇔<2211122(),1,0,()0xx x x x F x x F x e e++-'=>=<()F x 0,)+∞01()(0)10e F x F <=-=21121exx x ++<0x >()1g x >(0,)x ∈+∞()1g x >113x =()21e 1xg x =>20x >()1e n x n g x +=0n x >113e 1e 1x -=-3327e e 028⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭133e 2<1131e 1e 12x -=-<()12e 11e 12nnnx x n⎛⎫-<⇔-< ⎪⎝⎭()()1111e 1e 11e 222n n n x x x n g x +-<-⇔-<-0x >()22211()1e 4e 44(2)(2)e (2)022x x x g x x x x x x x -<-⇔-+++=-+++>(2)e 102x x x -⇔+>+22(2)e e ()1,0,()02(2)x xx x h x x h x x x -'=+>=>++()h x (0,)+∞()(0)0h x h >=0x >2e 102x x x -⋅+>+0n x >()111e 22n x n g x -<-()11e1e 12n n x x +-<-()()()111211111e 1e 1e 1e 12222n n n x x x x n n +-+-<-<-<<-< 1e 12nnx ⎛⎫-< ⎪⎝⎭。

河南省高二下学期2月月考数学试题(解析版)

一、单选题1．，其中，，，每一个值都是0或2这两个值中的某一个，则一100122100333=++⋯+a a a x 1a 2a ⋯100a x 定不属于 ()A ．，B ．，C ．D ． [01)(01]12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】运用特殊值法，逐个排除、、，即可得出答案为．A B D C 【详解】解：本题可以用特殊值法进行排除，其中，，，每一个值都是0或2这两个值中的某一个，1a 2a ⋯100a 当得，，故错误，1231000a a a a ===⋯==0x =A 当，，，故、错误， 12a =231000a a a ==⋯==23x =B D 故选：．C 【点睛】本题根据选择题的特点，可以运用特例法进行排除得出结论，考查学生灵活运用数学方法解决问题的能力，属于基础题．2．已知公差不为0的等差数列，前项和为，满足，且成等比数列，则{}n a n n S 3110S S -=124,,a a a （）3a =A ．B ．C ．或D ．265612【答案】B【解析】将题设条件转化为基本量的方程组，求出基本量后可求. 3a 【详解】设等差数列的公差为，则， d ()()11211133103a d a a d a a d +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得或（舍），故， 122a d =⎧⎨=⎩150a d =⎧⎨=⎩()322316a =+⨯-=故选：B.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．3．已知等比数列满足，，则 {}n a 118a =35421a a a =-2a =A ． B ． C ．1 D ．21412【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式及，代入首项即可求得公比q ，进而求得的值．35421a a a =-2a 【详解】由等比数列通项公式及，可得，代入 35421a a a =-24311121a q a q a q ⋅=-118a =化简得，即 6316640q q -+=()2380q -=所以2q =由等比数列通项公式可得 2111284a a q ==⨯=所以选A【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用，属于基础题．4．已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为{}n a {}n b n n S n T 1n n S n T n =+87a b （）A ．B ．C ．D ． 1312141315141615【答案】C【分析】设等差数列、的公差分别为、,由题意利用等差数列的性质求出它们的首{}n a {}n b 1d 2d 项、公差之间的关系,可得结论. 【详解】设等差数列的公差分别为和{}{},n n a b 1d 2.d ,即 11111,12n n S S a n T n T b =∴==+1112a b =,即 ① 2112122223S a d T b d +∴==+11232b d d =-,即 ② 311312333334S a d T b d +∴==+21143d d b =-由①②解得1211,.d d b d == 11811712111771526614d d a a d b b d d d ++∴===++故选：C5．已知为等差数列，公差，，则（）{}n a 2d =24618a a a ++=57a a +=A ．8B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】利用等差数列的性质求解.【详解】， 24618a a a ++=，4318a ∴=解得，46a =，64210a a d ∴=+=.576220a a a ∴+==故选：D6．四棱锥中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若P ABCD -，则等于（）23AE x AB yBC z AP =++ x y z ++A ．1B ．C ．D ．21112116【答案】B 【解析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可111222AE AB BC AP =++ ,,x y z 得选项.【详解】因为， ()AE AB BC CE AB BC EP AB BC AP AE =++=++=++- 所以，所以，所以， 2AE AB BC AP =++ 111222AE AB BC AP =++ 111,2,3222x y z ===解得，所以， 111,,246x y z ===11111++24612x y z ++==故选：B.7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用表示解下（n a n ）个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4*9,≤∈n n N {}n a 11a =1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数个圆环所需的最少移动次数为（）A ．7B ．10C ．12D ．22【答案】A【分析】由递推式依次计算．【详解】由题意知，，， 21212111=-=⨯-=a a 32222124=+=⨯+=a a 43212417=-=⨯-=a a 故选：A.【点睛】本题考查由递推式求数列的项，解题时按照递推公式依次计算即得．8．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（）A ．545B ．547C ．549D ．551【答案】C【解析】观察数阵可得出数阵从左到右从上到下顺序是正奇数顺序排列，要求出某一个位置的数，只要求出这个位置是第几个奇数即可，而每一行有个数，可求出前行共有个数，根据12m -m 21m -以上特征，即可求解.【详解】由题意可得该数阵中第行有个数，m 12m -所以前行共有个数，所以前8行共255个数.m 21m -因为该数阵中的数依次相连成等差数列，所以该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是.()127512549+-⨯=故选:C.【点睛】本题以数阵为背景，考查等差、等比数列通项与前项和，认真审题，注意观察找出规律n 是解题的关键，属于中档题.二、多选题9．设、分别是双曲线：的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，1F 2F C 221y x b -=2F x C A B 若为正三角形，则下列结论正确的是（）1ABF AA ．B ．的焦距是2b =CC ．D ．的面积为C1ABF A 【答案】ACD【分析】设，则，根据双曲线的定义和离心率的公式可求得离心2||AF t =1||2AF t =率，从而对选项进行逐一判断即可得出答案.【详解】设，则，离心率C 正确， 2||AF t =1||2AF t =1212||||F F e AF AF ==-∴，，选项A正确，e =2b =，选项B 错误，12F F ==设，将，()AA A x y ，A x =的面积为D 正确，1ABF A 12122A S F F y =⋅⋅=故选:ACD.10．已知数列满足，下列说法中正确的有（）{}n a ()*,01N n n a n k n k =⋅∈<<A ．当时，数列为递减数列12k ={}n a B ．当时，数列不一定有最大项112k <<{}n a C ．当时，数列为递减数列 102k <<{}n a D ．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项1kk -{}n a 【答案】CD【分析】由于，再根据k 的条件讨论即可得出. ()()1111n n n n n kn k a a n k n +++⋅+==⋅【详解】选项A ，当时，，12k =12nn a n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∴，当时，，()111112212n n n n n a n a n n ++⎛⎫+⋅⎪+⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭1n =12a a =因此数列不是递减数列，故A 不正确．{}n a 选项B ，当时，，112k <<()()1111n n n n n k n ka a n k n +++⋅+==⋅∵随n 的增大逐渐减小，当时，， 111n n n +=+1n =()121n kk n +⋅=>当时，，且小于1， n →+∞()1n k k n+⋅→∴数列一定有最大项，故B 不正确． {}n a 选项C ．当时，，102k <<()()1111112n n n n n k n k a n a n k n n +++⋅++==<≤⋅∴，因此数列为递减数列，故C 正确．1n n a a +<{}n a 选项D ，∵为正整数，∴，∴． 1k k -1k k ≥-112k ≤<， ()()1111n n n n n k n k a a n k n+++⋅+==⋅当时，， 12k =1234a a a a =>>> 当时，令，则， 112k <<()*N 1k m m k =∈-1m k m =+∴，又，，总有成立， ()()111n n n m a a n m ++=+*N m ∈*N n ∈m n =∴， 11n na a +=因此数列必有两项相等的最大项，故D 正确．{}n a 综上可知，只有CD 正确．故选：CD.11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为{}n a n n S ，则下面对该数列描述正确的是（）A ．B ．C ．D ．共有202项11a =333S =437a a -=【答案】AB【分析】利用等差数列的定义、通项公式、前项和公式进行逐一判断即可.n 【详解】将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列为：1，11，21，31 ，2021，该数列是以1为首项，10为公差的等差数列， L 所以，所以，因此选项A 正确；109n a n =-11a =，因此选项B 正确； 31313210332S =⨯+⨯⨯⨯=，所以选项C 不正确；4310a a -=，∴．∴共有203项，所以选项D 不正确，1092021n -≤203n ≤故选：AB12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则n a n 数列满足：，记，则下列结论正确的是（）{}n a 12211,n n n a a a a a ++===+121ni n i a a a a ==+++∑ A ．B ．C ．D ．1055a =()2233n n n a a a n -+=+≥201920211i i a a ==∑20212202120221i i a a a ==∑A 【答案】ABD【分析】根据给定条件逐项分析、推理计算即可判断作答.【详解】依题意，的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，A 正{}n a 1055a =确；依题意，当时，，得，B 正3n ≥12n n n a a a --=+21213n n n n n n n n a a a a a a a a ---+=+++=++22n n a a -+=+确；由给定的递推公式得：，，…，，累加得321a a a -=432a a a -=202120202019a a a -=，20212122019a a a a a -=+++ 于是有，即，C 错误；1220192021220211a a a a a a +++=-=- 2019202111i i a a ==-∑，，，…，2121a a a =⋅()222312321a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅()233423432a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅ ()22021202120222020a a a a =⋅-，因此，，D 正确.2021202220212020a a a a =⋅-⋅22212202120212022a a a a a +++=⋅ 故选：ABD【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.三、填空题13．记为等差数列的前n 项和，已知，，则______n S {}n a 40S =510a =n n a S +=【答案】22410n n --【分析】设等差数列的公差为，然后由已知条件列方程组可求出，从而可求出答案.d 1,a d 【详解】设等差数列的公差为，d 因为，，40S =510a =所以，解得， 1143402410a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩164a d =-⎧⎨=⎩所以， 2(1)64(1)6424102n n n n a S n n n n -+=-+--+⨯=--故答案为： 22410n n --14．已知数列满足则___.{}n a 111,2(1),n n a na n a +==+8a =【答案】1024【分析】由可得，从而可得数列是以2为公比，1为首项的111,2(1),n n a na n a +==+121n n a a n n +=⋅+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭等比数列，可求出通项公式，进而可求出8a 【详解】因为111,2(1),n n a na n a +==+所以， 121n n a a n n+=⋅+所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列， n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以，所以， 112n n a n-=⨯12n n a n -=⋅所以，8137108822221024a -=⨯=⨯==故答案为：102415．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______．【答案】9【分析】由橘子个数组成等差数列，且公差为3求解.【详解】设第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分得的橘子个数组成数列，{}n a 其公差为3，所以，解得， 515453602S a ⨯=+⨯=16a =所以，即第二等诸侯分得的橘子个数是9．29a =故答案为：916．已知数列的首项，则_________． {}n a 1111,12n na a a +==-2021a =【答案】1-【分析】根据题意，分别求得，得出数列是以为周期的周期数列，结合周期1234,,,,a a a a {}n a 3性，即可求解.【详解】由，则， 1111,12n n a a a +==-234123111111,12,1,2a a a a a a =-=-=-==-= 以此类推可知，对任意的，都有，*n ∈N 3n n a a +=即数列是以为周期的周期数列，{}n a 3因为，所以.202136732=⨯+202121a a ==-故答案为：.1-四、解答题17．记是等差数列的前项和，若，n S {}n a n 535S =-721S =-(1)求的通项公式，{}n a (2)求的最小值n S 【答案】(1)419n a n =-(2)-36【分析】（1）设的公差为d ，由等差数列的前项和公式建立方程组，然后可得公差和首项，{}n a n 从而根据等差数列的通项公式即可得答案；（2）由解得，再根据等差数列的前项和公式及二次函数的性质即可求解. 0n a ≥194n ≥n 【详解】（1）解：设的公差为d ，则，， ()1{}n a 1545352a d ⨯+=-1767212a d ⨯+=-，，；115a ∴=-4d =()1541419n a n n ∴=-+-=-（2）解：由得， 4190n a n =-≥194n ≥，，，时，时，，1n ∴=2340n a <5n ≥0n a >的最小值为. n S ∴41434362S a d ⨯=+=-18．已知数列是等差数列，且，求：{}n a 11a =1028a a -=(1)的通项公式；{}n a (2)设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值． 21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S ()12n m S m N +≤∈n N +∈m 【答案】(1)n a n =(2)9【分析】（1）根据等差数列的定义以及题中所给条件求出公差，即求出了通项公式； d （2）写出数列的前项和，再通过裂项相减法化简，放缩法求出的范围，最后结合所给条件n n S n S 数轴法求出的取值范围并求得最小值.m 【详解】（1）设数列公差为，则，{}n a d 1019a a d =+21a a d =+则，解得.102119()8a a a d a d -=+-+=1d =∴的通项公式为：{}n a 1(1)1n a n n =+-⋅=（2）根据题意， 1324221111111324n n n n n a a a a a a S a a ++=+++=+++⨯⨯ 21111111111111112324223342n n a a n n +⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ . ()()111132331221242124n n n n n ⎡⎤+⎛⎫=⨯+-+=-< ⎪⎢⎥++⋅+⋅+⎝⎭⎣⎦若对任意恒成立，则，解得. ()12n m S m N +≤∈N n +∈3124m ≥9m ≥∴的最小值为9.m 19．在数列中，，对，．{}n a 11a =*n N ∀∈1(1)(1)n n na n a n n +-+=+（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，求数列的前项和． n b ={}n b n n S 【答案】（1）；（2） . 2n a n =1n n +【解析】（1）先由，进而说明数列是首项、公差均为11(1)(1)11n n n n a a na n a n n n n ++-+=+⇒-=+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1的等差数列，求出，即可求得； n a n n a （2）先由（1）中求得的求出，再利用裂项相消法即可求得其前项和．n a n b n n S 【详解】（1），1(1)(1)n n na n a n n +-+=+ ，又， ∴111n n a a n n +-=+111a =数列是首项、公差均为1的等差数列． ∴{)n a n ，所以； ∴()111n a n n n=+-⨯=2n a n =（2）由（1）得，2n a n =， 111(1)1n b n n n n ∴===-++． 111111(1()()1223111n n S n n n n ∴=-+-+⋯+-=-=+++【点评】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．20．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为{}n a 13a =n n S {}n b 11b =，且. (1)≠q q 222212S b S q b +==，(1)求与；n a n b (2)证明：. 1211123n S S S +++< 【答案】(1)；13,3n n n a n b -==(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差d ，公比q 的方程组，解方程组即可计算作答. （2）由（1）的结论，求出，再利用裂项相消法求和推理作答.n S 【详解】（1）设的公差为，因，，，则，而，解{}n a d 13a =11b =222212b S S q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩6126q d d q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩0q >得：，，3q =3d =于是得，3(1)33n a n n +-⨯==11133n n n b --=⨯=所以，.3n a n =13n n b -=（2）由（1）知，则，， (33)3(1)22n n n n n S ++==12211()3(1)31n S n n n n ==-++*N n ∈于是得， 12111211111111[()((()]31223341n S S S n n +++=-+-+-++-+ 212(1)313n =-<+所以. 1211123n S S S +++< 21．已知数列的前项和满足，．{}1n a +n n S 3n n S a =*n ∈N （1）求证数列为等比数列，并求关于的表达式；{}1n a +n a n （2）若，求数列的前项和． ()32log 1n n b a =+(){}1n n a b +n n T 【答案】（1）证明详见解析；;（2）．312n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭13366222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）因为，即，当时()()()1211...13n n n S a a a a =++++++=12...3n n a a a n a ++++=2n ≥，两式相减再配凑得到数列是首项为，公比为的等比数1211...13n n a a a n a --++++-={}1n a +3232列，即可计算出数列的通项公式，然后计算出数列的通项公式；{1}n a +{}n a （2）根据（1）的结果计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，根据{}n b {(1)}n n a b +通项公式的特点运用错位相减法计算出前项和．n n T 【详解】（1）由题设，()()()1211...13n n n S a a a a =++++++=即①12...3n n a a a n a ++++=当时，，解得， 1n =1113a a +=112a =当时②2n ≥1211...13n n a a a n a --++++-=①－②得，即 1133n n n a a a -+=-13122n n a a -=+又 ()()131122n n a a n -+=+≥1312a +=所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以 {}1n a +3232312n n a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故． 312nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由（1），则， ()33223log 1log 2n n n b a n ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭()312n n n a b n ⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭ ()123133333123...+122222n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2341333333123...1222222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得123111333333...+2222222n n n n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1333122n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13366222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前项和，考查学生逻辑推理能力n 和数学运算能力．属中档题．22．已知为等差数列的前项和，，.n S {}n a n 5134a a a =+416S =（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和. 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】（1）；（2）. 21n a n =-21n n T n =+【分析】（1）设数列的首项为，公差为.代入已知条件解得后可得通项公式； {}n a 1a d 1,a d （2）用裂项相消法求和．n T 【详解】（1）设数列的首项为，公差为.{}n a 1a d 由题意得 11141442,4616,a d a a d S a d +=++⎧⎨=+=⎩解得 11,2.a d =⎧⎨=⎩∴数列的通项公式{}n a ()121n a n =+-.21n =-（2）由（1）得， ()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+∴． 1111111...23352121⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和．数列求和除需掌握等差数列和等比数列的前项和公式外还需掌握错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法等n 求和方法．。

福建省四地六校2013-2014学年高二下学期第二次月考理科数学试题 Word版含答案

“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考2013-2014学年下学期第二次月考高二数学（理）试题（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数()i i z 21+=，其中i 为虚数单位，则z =（）A ．1B ．5C ．3D ．5 2．⎰=12dx xA ．31 B ．21 C ．32D ．1 3．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()()0,02>σσN .若ξ在（0，1）内取值的概率为0.3，则ξ在（1，+∞）内取值的概率为 A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.44．用1，2，3，4，5，6这六个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A ．30 B ．45 C ．60 D ．1205．已知n 为等差数列-4，-2，0…的第六项，则nx x ⎪⎭⎫⎝⎛+2的二项展开式的常数项是 A ．20 B ．60 C ．160 D ．240 6．若某人每次射击击中目标的概率均为53，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为A ．12581 B ．12554 C ．12536 D ．125277．如图，EFGH 是以O 为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形HOE （阴影部分）内”，则P （B|A ）= A ．41 B ．31 C ．8π D ．4π8．函数()x f y =的图象如图所示，()()x f x f 为'的导函数，则()()()()12,2,1f f f f -''的大小关系是A ．()()()()1221f f f f -<'<'B ．()()()()1122f f f f '<-<'C ．()()()()1212f f f f -<'<'D ．()()()()2121f f f f '<-<'9．已知多项式()()()()10109922101021111+++++++++=+x a x a x a x a a x x ，则2a =A ．32B ．42C ．46D ．5610．已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，当x>0时，()()1-=-x e x f x .给出以下命题： ①当0<x 时，()()1+=x e x f x ； ②函数()x f 有五个零点； ③若关于x 的方程()m x f =有解，则实数m 的取值范围是()()22f m f ≤≤-； ④对()()2,,1221<-∈∀x f x f R x x 恒成立. 其中正确命题的序号是（） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分..11．在(1)nx +的展开式中，若第三项和第六项的系数相等，则n = ．12．右表是某单位1-4月份水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是a x y+-=7.0ˆ，由此可预测该单位第5个月的用水量是百吨.13．函数)0(ln )(>=x x x x f 的单调递增区间是．14．将标号分别为1、2、3、4、5五个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里，每个盒子里只放1个小球．则1号球不在红盒内且2号球不在黄盒内的概率是． 15．已知实数,a b 满足11a -≤≤，01b ≤≤，则函数()32f x x ax bx =-+无．极值的概率是．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

内蒙古包头市高二数学下学期第二次月考试题理

2016-2017学年度第二学期第二次月考高二数学理科试题一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知复数zi=（）2016（i为虚数单位），则z=（）A.1B.-1C.iD.-i2.已知集合A={2，3，4}，B={x|2x＜16}，则A∩B=（）A.∅B.{2}C.{2，3，4}D.{2，3}3.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（）A.16B.17C.18D.194.已知集合A={x|x2-2x-3≤0}，B={x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A.（-1，+∞）B.[-1，+∞）C.（3，+∞）D.[3，+∞）5.在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）A.f（x）=x-1，g（x）=B.f（x）=|x+1|，g（x）=C.f（x）=x+1，x∈R，g（x）=x+1，x∈ZD.f（x）=x，g（x）=6.如表为某公司员工工作年限x（年）与平均月薪y（千元）对照表．已知y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A.回归直线一定过点（4.5，3.5）B.工作年限与平均月薪呈正相关C.t的取值是3.5D.工作年限每增加1年，工资平均提高700元7.10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是（）A. B. C. D.8.甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，，那么三人中恰有两人合格的概率是（）A. B. C. D.9.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A.4B.C.D.-110.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．已知图中x=0.018，则由直观图估算出中位数（精确到0.1）的值为（）A.75.5B.75.2C.75.1D.75.311.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则f（-1）与f（a2-2a+3）的大小关系是（）A.f（-1）≥f（a2-2a+3）B.f（-1）≤f（a2-2a+3）C.f（-1）＞f（a2-2a+3）D.f（-1）＜f（a2-2a+3）12.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意实数x，有f（x）＞f'（x），且f（x）+2017为奇函数，则不等式f（x）+2017e x＜0的解集是（）A.（0，+∞）B.（-∞，0）C.D.二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知函数，若，则m= ______ ．14.下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x＞2”是“＜”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是 ______ ．（写出所有不正确命题的序号）15.观察下列等式：，，，…，由以上等式得= ______ ．16.在平面直角坐标系内任取一个点P（x，y）满足，则点P落在曲线y=与直线x=2，y=2围成的阴影区域（如图所示）内的概率为 ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.（12分）已知集合A={x|x＜-3或x≥2}，B={x|x≤a-3}．（1）当a=2时，求（∁R A）∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．18. （12分）已知函数f（x）=x2+2ax+3，x∈[-2，2]．（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[-2，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；19.（12分）第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日至21日在巴西里约热内卢举行，为了选拔某个项目的奥运会参赛队员，共举行5次达标测试，选手如果通过2次达标测试即可参加里约奥运会，不用参加其余的测试，而每个选手最多只能参加5次测试，假设某个选手每次通过测试的概率都是，每次测试通过与是相互独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．（1）求该选手能够参加本届奥运会的概率；（2）记该选手参加测试的次数为X，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．20.（12分）为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如图，记成绩不低于70分者为“成绩优良”．（1）分别计算甲、乙两班20个样本中，化学分数前十的平均分，并据此判断哪种教学方式的教学效果更佳；（2）甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下的学生中任意选取2人，求这2人来自不同班级的概率；（3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？附：独立性检验临界值表：21.（12分）已知函数f（x）=x2-3x+lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若对于任意的x1，x2∈（1，+∞），x1≠x2，都有恒成立，求实数k的取值范围．22.(10分)在直角坐标系x O y中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系x O y取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（I）求直角坐标下圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P（l，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的值．高二第二次月考理数答案1.D2.D3.C4.C5.B6.C7.D8.B9.D 10.B 11.D 12.A13.14.①②15.=16.17.解：（1）当a=2时，B={x|x≤-1}，又A={x|x＜-3或x≥2}，全集为R，∴∁R A={x|-3≤x＜2}，∴（∁R A）∩B={x|-3≤x＜2}∩{x|x≤-1}={x|-3≤x≤-1}；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，∵A={x|x＜-3或x≥2}，B={x|x≤a-3}，∴a-3＜-3，即a＜0，则当A∩B=B时，实数a的取值范围是a＜0．18.解：（1）当a=-1时，f（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2，∵1∈[-2，2]，∴f min（x）=2，f max（x）=f（-2）=11；（2）∵函数f（x）=x2+2ax+3的对称轴为x=-a，∴-a≤-2或-a≥2，即a≤-2或a≥2．（3）由（2）知，g（a）=，则其值域为（-∞，3]．19.解：（1）记“该选手能够参加本届奥运会”为事件A，其对立事件为，P（）==，∴P（A）=1-P（A）=1-=．（2）该选手参加测试次数的可能取值为2，3，4，5，P（X=2）=（）2=，P（X=3）=，P（X=4）==，由于规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试，当X=5时的情况，说明前4次只通过了1次，但不必考虑第5次是否通过，∴P（X=5）==．∴X的分布列为：X 2 3 4 5PE（X）==．20.解：（1）甲班样本化学成绩前十的平均分为；乙班样本化学成绩前十的平均分为；甲班样本化学成绩前十的平均分远低于乙班样本化学成绩前十的平均分，大致可以判断“高效课堂”教学方式的教学效果更佳．（2）样本中成绩6（0分）以下的学生中甲班有4人，记为：a，b，c，d，乙班有2人，记为：1，2．则从a，b，c，d，1，2六个元素中任意选2个的所有基本事件如下：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12，一共有15个基本事件，设A表示“这2人来自不同班级”有如下：a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，一共有8个基本事件，所以．（3）根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为，∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．21.解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x-3+=，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，）（，1）1 （1，+∞）f′（x）+ 0 - 0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增当x=时，函数f（x）取得极大值为--ln2，当x=1时，函数f（x）取得极小值为-2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，不妨设x1＞x2＞1，则f（x1）-f（x2）＞0，所以原不等式等价于f（x1）-f（x2）＞kx1-kx2，即f（x1）-kx1＞f（x2）-kx2，令h（x）=f（x）-kx=x2-（3+k）x+lnx，则原不等式等价于h（x）在（1，+∞）上单调递增，即等价于h′（x）=2x-（3+k）+≥0在（1，+∞）上恒成立，也等价于3+k≤2x+在（1，+∞）上恒成立，令g（x）=2x+，x∈（1，+∞），因为g′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，所以g（x）＞g（1）=3，即g（x）min=3，所以3+k≤3，k≤0，故得所求实数k的取值范围为（-∞，0]．22.解：（I）圆C的方程为ρ=6sinθ，即ρ2=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程：x2+y2=6y，配方为x2+（y-3）2=9．（II）直线l的参数方程为（t为参数），代入圆的方程可得：t2-7=0，解得t1=，t2=-．∴|PA|+|PB|=|t1-t2|=2．【解析】1. 解：=，∴zi=（）2016=（-i）2016=[（-i）4]504=1，∴．故选：D．直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2. 解：由题意得，B={x|2x＜16}={x|x＜4}，又A={2，3，4}，则A∩B={2，3}，故选：D．由指数函数的性质求出B，由交集的运算求出A∩B．本题考查交集及其运算，以及指数函数的性质，属于基础题．3. 解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本，∴系统抽样的分段间隔为=25，设第一部分随机抽取一个号码为x，则抽取的第18编号为x+17×25=443，∴x=18．故选C．根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本，抽样的分段间隔为=25，结合从第18组抽取的号码为443，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．4. 解：A=[-1，3]，B=（-∞，a）；∵A⊆B；∴a＞3；∴a的取值范围为（3，+∞）．故选：C．解出集合A，集合B也给出了，根据A⊆B即可写出实数a的取值范围．考查解一元二次不等式，描述法表示集合，子集的概念，也可借助数轴求解．5. 解：A中的2个函数f（x）=x-1与g（x）=的定义域不同，故不是同一个函数．B中的2个函数f（x）=|x+1|与g（x）=具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．C中的2个函数f（x）=x+1，x∈R与g（x）=x+1，x∈Z的定义域不同，故不是同一个函数．D中的2个函数f（x）=x，g（x）=的定义域、对应关系都不同，故不是同一个函数．综上，A、C、D中的2个函数不是同一个函数，只有B中的2个函数才是同一个函数，故选 B．根据题意，逐一分析研究各个选项中的2个函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系．本题考查构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系．相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系．6. 解：由已知中的数据可得：=（3+4+5+6）÷4=4.5，=（2.5+t+4+4.5）÷4=，∵数据中心点（，）一定在回归直线上∴=0.7×4.5+0.35解得：t=3，故C错误；故=3.5，回归直线一定过点（4.5，3.5），ABD正确；故选：C．根据已知表中数据，可计算出数据中心点（，）的坐标，根据数据中心点一定在回归直线上，将（，）的坐标代入回归直线方程y=0.7x+0.35，解方程可得t的值，从而得到答案．本题考查的知识点是线性回归方程，其中数据中心点（，）一定在回归直线上是解答本题的关键．7. 解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生的总事件数是从10张奖券中抽5张共有C105种方法，至少有1人中奖的对立事件是没有人中奖，也就是从7张没有奖的中抽5张，共有C75，∴由对立事件的公式得到P=1-=1-=，故选D．由题意知本题是一个古典概型，试验发生的总事件数是从10张奖券中抽5张共有C105种方法，至少有1人中奖的对立事件是没有人中奖，也就是从7张没有奖的中抽5张，共有C75．本题主要考查古典概型和对立事件，正难则反是解题是要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加清楚明了．8. 解：由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的∴三人中恰有两人合格的概率+=故选B．本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的，写出三个人各有一次合格的概率的积，再求和．本题考查相互独立事件同时发生的概率，本题解题的关键是看出事件发生包括的所有的情况，这里的数字比较多，容易出错．9. 解：第一次运行得：S=-1，i=2，满足i＜6，则继续运行第二次运行得：S=，i=3，满足i＜6，则继续运行第三次运行得：S=，i=4，满足i＜6，则继续运行第四次运行得：S=4，i=5，满足i＜6，则继续运行第五次运行得：S=-1，i=6，不满足i＜6，则停止运行输出S=-1，故选D．根据流程图，先进行判定条件，满足条件则运行循环体，一直执行到不满足条件即跳出循环体，求出此时的S即可．本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10. 解：根据频率分布直方图，得；（0.006×2+0.01）×10=0.22＜0.5，0.22+0.054×10=0.76＞0.5，所以中位数应在[70，80）内，可设为x，则（x-70）×0.054+0.22=0.5，解得x≈75.2．故选：B．根据频率分布直方图，利用中位数两侧的频率相等，列出方程求出中位数的值．本题考查了利用频率分布直方图求中位数的应用问题，解题时要熟练掌握直方图的基本性质，是基础题．11. 解：a2-2a+3=（a-1）2+2≥2，f（-1）=f（1），偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，可得：f（-1）＜f（a2-2a+3）．故选：D．直接利用函数的单调性，推出不等式求解即可．本题考查函数的单调性的应用，函数是奇偶性的应用，考查计算能力．12. 解：从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，且列队服务，基本事件总数n=（+）=720，甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数m==120，甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率p==．故选：C．先求出基本事件总数n=（+）=720，再求出甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数m==120，由此能求出甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．13. 解：⇔或解得m=或m=-1故答案为或-1由于函数f（x）为分段函数，故方程可转化为不等式组，分别解得方程的解即可本题主要考查了分段函数的用法，函数与方程间的关系，简单的对数方程和指数方程的解法，属基础题14. 解：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故①错误；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”的逆否命题为：“若a=3且b=3，则a+b=6”，是真命题，故②错误；③由x＞2，得＜，反之，由＜，不一定有x＞2，x可能为负值，∴“x＞2”是“＜”的充分不必要条件，故③正确；④一个命题的否命题与逆命题互为逆否命题，∴一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真，故④正确．故答案为：①②．由互为逆否命题的两个命题共真假判断①②④；由充分必要条件的判定方法结合举例判断③．本题考查命题的真假判断与应用，考查了逆命题、否命题和逆否命题，训练了充分必要条件的判断方法，是中档题．15. 解：由题意可知，得=，故答案为：根据题意，由每个等式的左边的变化规律，以及右边式子的变化规律，可得答案．本题考查了归纳推理，培养学生分析问题的能力．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．16. 解：S阴影=2×（2-）-dx=3-lnx|=3-（ln2-ln）=3-ln4S正方形=4，则点P落在曲线y=与直线x=2，y=2围成的阴影区域（如图所示）内的概率为，故答案为：根据定积分求出阴影部分的面积，结合几何概型求出事件的概率即可．本题考查定积分的求法以及几何概型问题，是一道中档题．17.（1）将a的值代入确定出集合B，由全集R求出A的补集，即可确定出A补集与B的交集；（2）由A与B的交集为B，得到B为A的子集，根据A与B列出关于a的不等式，即可确定出a的范围．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18.（1）代入，由配方法求函数的最值；（2）f（x）在区间[-2，2]上是单调函数，则对称轴在区间外；（3）由（2）中的单调性可直接写出g（a），再求分段函数的值域．本题综合考查了二次函数的最值，单调区间及分段函数的值域，属于中档题．19.（1）记“该选手能够参加本届奥运会”为事件A，其对立事件为，利用对立事件概率计算公式能求出该选手能够参加本届奥运会的概率．（2）该选手参加测试次数的可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列、E（X）．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．20. 解：（1）甲班样本化学成绩前十的平均分为；乙班样本化学成绩前十的平均分为；甲班样本化学成绩前十的平均分远低于乙班样本化学成绩前十的平均分，大致可以判断“高效课堂”教学方式的教学效果更佳．（2）样本中成绩6（0分）以下的学生中甲班有4人，记为：a，b，c，d，乙班有2人，记为：1，2．则从a，b，c，d，1，2六个元素中任意选2个的所有基本事件如下：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12，一共有15个基本事件，设A表示“这2人来自不同班级”有如下：a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，一共有8个基本事件，所以．（3）根据2×2列联表中的数据，得K2的观测值为，∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．（1）根据茎叶图计算甲、乙两班化学成绩前10名学生的平均分即可；（2）确定基本事件的个数，即可求出这2人来自不同班级的概率；（3）填写列联表，计算K2，对照数表即可得出结论．本题考查了计算平均数与独立性检验的应用问题，考查概率的计算，解题时应根据列联表求出观测值，对照临界值表得出结论，是基础题目．21.（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（Ⅱ）不妨设x1＞x2＞1，原不等式等价于f（x1）-f（x2）＞kx1-kx2，令h（x）=f（x）-kx=x2-（3+k）x+lnx，问题等价于h′（x）=2x-（3+k）+≥0在（1，+∞）上恒成立，得到3+k≤2x+在（1，+∞）上恒成立，根据函数的单调性求出k的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．22.（I）圆C的方程为ρ=6sinθ，即ρ2=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程，配方可得标准方程．（II）直线l的参数方程为（t为参数），代入圆的方程可得：t2-7=0，解得t1，t2．利用|PA|+|PB|=|t1-t2|，即可得出．本题考查了直线的参数方程及其应用、圆的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

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莆田八中高二下学期理科数学第二次月考试卷
命题人：许丽芳审核：高二备课组
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1．直线
的倾斜角为（）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
2．在所给的四个条件：①b>0>a ；②0>a>b ；③a>0>b ；④a>b>0中，
能推出1a <1
b 成立的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 3．用数学归纳法证明：（n∈N *）时
第一步需要证明（） A ． B ．
C ．
D ．
4．已知14
0,0,2a b a b
>>+=，则4y a b =+的最小值是（）
A ．8
B ．6
C ．2
D ．9
5．已知集合A 为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A ＝{0}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知全集U 为实数集R ，集合M ＝{x|x ＋3
x －1≤0}，{}
2,11x N y y x ==-≤≤，
则下图阴影部分表示的集合是( )
1.3,2A ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 1.3,2B ⎛⎤- ⎥⎝⎦ 1.(3,)2C - 1.3,2D ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
7．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或一枚6点出现时，就说这次实验成功，
则在30次实验中成功次数X 的期望是（） A ．556 B ．403 C ．503
D ．10
8 ．已知p ：函数()()()21f x x a =--∞在，上是减函数，
21:0,x q x a x +∀>≤恒成立，则p ⌝是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．六个人排成一排，甲、乙两人之间至少有一个人的排法种数为（） A ．600 B ．480 C ．360 D ．240
10．点P （x ，y ）是椭圆2x 2+3y 2=12上的一个动点，则x+2y 的最大值为（）
A ．
B ．
.
C
．
D
11．下列有关命题的说法中，正确的是( )
A ．命题“若2x ＞1，则x ＞1”的否命题为 “若2x ＞1，则x ≤1”
B ．命题“若αβ>，则sin sin αβ> ”的逆否命题为真命题
C ．命题“x ∃∈R ，使得x 2 +x+1＜0”的否定是“x ∀∈R ，都有2x +x +1 ＞0”
D ． “2x +x －2 ＞0”的一个充分不必要条件是“x ＞1”
12．设A 是整数集的一个非空子集，对于k∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有( )个．
A ．6
B ．7
C ．4
D ．5 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.若关于x 的不等式
15
kx -≤的解集为
{}32x x -≤≤，则k =__________
14．设
101010111111
...2212221A =
++++++-，则A 与1的大小关系是_____________。

15．将4名学生分到3个不同的班级，每个班级至少分到一名学生的分配种类为
__________
16．函数()()()42101f x x x x =-<<的最大值为__________
三、解答题(本大题6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知集合A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，
若B ⊆A ，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m －1}，求实数m 的取值范围；
18．（12分）一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，求随机变量X 的分布列与数学期望．
19．（12分）已知命题
[]2:1,1,572
p m a a m ∀∈--+≥+都有，
命题
2
:20q x ax ++=方程有两个不同的实数根，若p∈q 为真，且p∈q 为假，求实数a 的取值范围．
20.(12()f x =分）设函数（1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的定义域为R ,求a 的取值范围。

21．（12分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为
（t 为参数），
在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为
ρθ
=．
（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为
(
，分别求
PA PB AB +和的长．
22．（12分）已知函数()21
f x mx mx =--
(1) 若对于
(),0
x R f x ∈<恒成立，求实数m 的取值范围；
(2) 若[]1,3x ∃∈使得
()5f x m
<-成立，求实数m 的取值范围．
(3) 解关于x 的不等式()()20f x x m ≤-≠
莆田八中高二下学期理科数学第二次月考试卷答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
DCCAB DCABD DA
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. -2 14. A<1 15. 36 16.4/27 三、解答题
17. 解：由A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x|－2≤x≤5}，
∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m<2，此时满足B ⊆A.
②若B≠∅，则⎩⎨⎧
m ＋1≤2m －1，
－2≤m ＋1，
2m －1≤5.
解得2≤m≤3.
由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．
18．
()1339345101052E X ∴=⨯
+⨯+⨯=
19．解：命题p 真：∀m ∈[-1，1]，
不等式a 2-5a+7≥m+2恒成立⇒a 2-5a+7≥（m+2）max =3⇒a≤1或a≥4；命题q 真：x 2+ax=2=0有两个不同的实数根⇒△=a 2-8＞0⇒a ＜-或a
；
若p ∨q 为真，且p ∧q 为假，则p 、q 一真一假，
当p 真q 假时，⇒-2≤a≤1
当p 假q 真时，
⇒2＜a ＜4 ∴实数a 的取值范围为：⇒-2≤a≤1或2
＜a ＜4．
20. （Ⅰ） 5-=a 时，
05|2||1|≥--++x x ，
3≥x 或2-≤x
定义域为]2,(),3[--∞⋃+∞ ………………………………………6分
（Ⅱ）0|2||1|≥+-++a x x 恒成立，
即a x x -≥-++|2||1|恒成立，
⎪⎩⎪
⎨⎧-<-≤≤->-=)1(21)
21(3)2(12)(x x x x x x g 由)(x g 的图象知3)(min =x g ，
3≤-∴a ，3-≥a . ………………………………………… 6分
21、略解：（1
）
22(5x y +-= （2）将l 的参数方程代入圆C
的直角坐标方程，得2
40t -+=
由
2
4420∆=-⨯=>，故可设12,t t 是上述方程的两根
所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨
⋅=⎪⎩ ，又直线l
过点，故结合t 的几何意义得 ||||PA PB +
=1212||||t t t t +=+=
12AB t t =-===
22.解
.
（2）依题意得：[]2
1513mx mx m --<-在，有解 []()
22
22max
(1)6
13x x 1x 0
2461,31
6
1x x m m x x m x x ∴-+<⎛
⎫-+=-+> ⎪⎝
⎭∴<-+∴<-+2又在有解
()[]211,3x x =-+又g x 在为增函数 ()min (1)1g ∴==g x
……………… 3 分
……………… 9 分
……………… 12 分
2max
66
16
x x m ⎛⎫
∴= ⎪-+⎝⎭∴< (3) 2
12()mx mx x m o --≤-≠
2(1)10()mx m x m o ∴-++≤≠
()()110x mx ∴--≤
()()1
1101m x mx ∴--=的两根为，
[1,)m ⎛⎤
∞⋃+∞ ⎥⎦⎝1当m<0,不等式的解集为-,
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
1当o<m<1,不等式的解集为1,m
{}1x x =当m=1,不等式的解集为 1,1m ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
当m>1,不等式的解集为。