-高等数学2第十一章答案

习题11-1 对弧长的曲线积分

1.计算下列对弧长的曲线积分： （1）

22

x y L

e

ds +⎰

，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的

扇形的整个边界；

（2）

2x yzds Γ

⎰

，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、

(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；

（3）

2L

y ds ⎰

，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.

2.有一段铁丝成半圆形22y a x =-，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。

解 曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ϕϕϕπ==≤≤ ()

()2

2

sin cos ds a a d ad ϕϕϕϕ=

-+=

依题意(),x y y ρ=，所求质量22

sin 2L

M yds a d a π

ϕϕ=

==⎰⎰ 习题11-2 对坐标的曲线积分

1.计算下列对坐标的曲线积分： （1）

2

2()L

x

y dx -⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；

（2）

22()()L

x y dx x y dy x y

+--+⎰，其中L 为圆周222

x y a +=（按逆时针方向绕行）；

（3）

(1)xdx ydy x y dz Γ

+++-⎰

，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；

（4）

dx dy ydz Γ

-+⎰

，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点

(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；

2.计算

()()L

x y dx y x dy ++-⎰，其中L 是：

（1）抛物线2

y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；

（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；

（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；

（4）曲线2

21x t t =++，2

1y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。

3.把对坐标的曲线积分

(,)(,)L

P x y dx Q x y dy +⎰

化成对弧长的曲线积分，其中L 为：

（1）在xOy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；

（2）沿抛物线2

y x =从点(0,0)到点(1,1)；

（3）沿上半圆周2

2

2x y x +=从点(0,0)到点(1,1).

4.设Γ为曲线x t =，2

y t =，3

z t =上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分

L

Pdx Qdy Rdz ++⎰

化成对弧长的曲线积分。

习题11-3 格林公式及其应用

1. 利用曲线积分，求星形线3

cos x a t =，3

sin y a t =所围成的图形的面积。

2.计算曲线积分222()

L ydx xdy x y -+⎰，其中L 为圆周22

(1)2x y -+=，L 的方向为逆时针方向。

3. 证明曲线积分(3,4)2322(1,2)

(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-⎰

在整个xOy 面内与路径无关，并计

算积分值。.

解：积分与路径无关，取路径()()():1,21,43,4L A B C →→，则有

(3,4)2322(1,2)

(6)(63)AB BC

xy y dx x y xy dy -+-=+⎰

⎰⎰

()()43

22

1

639664236y y dy x dx =-+-=⎰⎰

4.利用格林公式，计算下列曲线积分： （1）

(24)(536)L

x y dx y x dy -+++-⎰

，其中L 为三顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)

的三角形正向边界；

（2）

()()222

cos 22cos L x y y dx y x y dy ⎡⎤++++⎣⎦

⎰，其中L 是从()0,0O 沿sin y x =到点(,0)A π的一段弧. 解：原式()()222cos 2cos 2L

L

x y dx y x y dy y dx =

++++⎰

⎰

取(

)()2

2cos ,2cos P x y

Q y x y =+=+

()22sin P Q y x y y x

∂∂=-+=∂∂，所以上述第一个积分与路径无关，取点()0,0O 到点 (,0)A π的直线积分得：()()220

cos 2cos cos 0L

x y dx y x y dy xdx π

+++==⎰⎰

又L 的参数方程为sin ,,y x x x x ==从0变到π，所以

()2

2

22sin 1cos 2L

y dx xdx x dx ππ

π==-=⎰

⎰⎰

于是，原式()()222cos 2cos 2L

L

x y dx y x y dy y dx π=

++++=⎰

⎰

5.验证下列(,)(,)P x y dx Q x y dy +在整个xOy 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分，并求这样的一个(,)u x y ： （1）2

2xydx x dy +；

（2）2

2

(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++-