组合数学递推关系

定义6.1.1 给定一个数的序列H(0),H(1),…, H(n),…若存在正整数n0，使得当n≥n0时，可 以用等号(或小于，大于号)把H(n)和前面某 些项H(i)，0≤ i <n，联系起来，这样的式子 叫做递推关系。 递推关系也称递归关系，递归方程。 从本质上讲，递推关系是研究整变量函数 的或者说是研究数列的，与此对应的是连 续论域中的微分方程。因此，我们可以类 似的方法对它们进行研究。
代入初值确定 c 和c , 得方程组
1 2
c c 1 1 5 1 5 c c 1 2 2 1 1 5 1 1 5 解得：c ，c 5 2 5 2
1 2 1 2 1 2
所以原递推关系解是： f ( n) 1 1 5 1 5 1 1 5 1 5 ( ) ( ) 5 2 2 5 2 2 1 1 5 1 1 5 ( ) ( ) 5 2 5 2
(6.2.4)
如果方程组（6.2.4）有唯一解b'1 , b'2 ,, b'k ，这说明可以找到 这k个常数，使得
解. 考察方程组（6.2.4），它的系数行列式为这是著名的 Vandermonde行列式.因为 q1 , q2 ,, qk 互不相等，所以该行 列式不等于零，这也就是说方程组（6.2.4）有唯一解.
利用递推关系和初值在某些情况下可以 求出序列的通项表示式H(n) 。 但是对于大多数递推关系，目前还解 不出H(n)的显式来， 即使这样，对于给定 的n也可以从初值开始，一步一步地计算出 H(n)的值或者范围，而H(n)一般代表了某 个组合计数问题的解，因此递推关系是组 合计数的重要工具，同时也是算法分析的 重要手段。
f(n)=2f(n-1)+1 f(1)=1
例6.1.4 在信道上传输由a ,b, c三个字母组成的长 为n的字符串，若字符串有两个a连续出现，则信道 就不能传输，令f(n)表示信道可以传输的长为n的字 符串的字数，求f(n)满足的递推关系。
解：信道上能够传输的长度为n的字符串可分成四类： （1）最左字符为b； （2）最左字符为c； （3）最左两个字符为ab； （4）最左两个字符为ac。 前两类字符串分别有f(n-1)个，后两类字符串分别有 f(n-2)个，容易求出f(1)=3 ， f(2)=8，从而得到
第六章
递推关系
递推关系是一种重要的组合计数方法
建立递推关系 分析已有递推关系的性质 求解递推关系
主要内容
§6.1 递推关系的建立 §6.2 常系数线性齐次递推关系的求解 §6.3 常系数线性非齐次递推关系的求解 §6.4* 用生成函数求解递推关系 §6.5* 用迭代归纳法求解递推关系及其应用
递推关系的定义 递推关系的实例 常系数线性齐次递推关系及其求解 常系数线性非齐次递推关系及其求解
解： 记f(n)为n个圆盘从A柱搬到C柱所需的最小次数.整个 搬运过程可分成三个阶段； （1）将套在A柱上面的n-1个圆盘从A柱按要求搬到 B柱，搬动 次数为f(n-1); （2）把A柱上最下面的那个圆盘搬到C柱上，搬动 次数为1; （3）把B柱上的n-1个圆盘按要求搬到C柱上，搬动 次数为f(n-1); 由加法原则知， f(n)=2f(n-1)+1 又显然f(1)=1，所以有如下带有初值的递推关系:
• 递推关系的特征方程
------(6.2.2)
方程 xk-c1xk-1-c2xk-2-……-ck=0 • 递推关系的特征根 特征方程的k个根q1 ， q2……qk(可能有重根)，其中qi (i=1,2,……,k)是复数。 • 递推关系的解与特征根的关系？
引理6.2.1 设q是非零复数.则f(n)=qn是常系数线 性齐次递推关系的解，当且仅当q是它的特征根. 证明 设f(n)=qn是递推关系(6.2.2)的解，即
f(n)＝b1q1 n＋b2q2 n＋……＋bkqk n
证明 由前面的分析可知, f(n)是递推关系(6.2.2)的解. 设h(n)是这个递推关系的任意一个解，则由k个初值 h(0)=a0, h(1)=a1,….., h(k-1)=ak-1 唯一地确定，所以有
b1 b2 bk a 0 , b q b q b q a , 1 1 2 2 k k 1 , b q k 1 b q k 1 b q k 1 a . 2 2 k k k 1 1 1
如果规定f(0)=1,则上式变成： f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n≥2, n为整数) f(0)=1,f(1)=1 称满足这个式子的数列就成为Fibonacci数列， 数列中的项叫做Fibonacci数.
例6.1.3 （Hanoi塔问题）现有A，B，C三根立柱以及
n个大小不等的中空圆盘，这些圆盘自小到大套在A 柱上形成塔形，如图6.1.1所示，要把n个圆盘从A柱 上搬到C柱上，并保持原来的顺序不变，要求每次 只能从一根立柱上拿下一个圆盘放在另一根立柱上， 且不允许大盘压在小盘上，问至少要搬多少次 ？
f(n)=2f(n-1)+2f(n-2) f(1)=3 ， f(2)=8 n≥3
界点，如下图所示。现用k种颜色对其着色，要求有公共边 界的相邻区域着以不同的颜色，令f(n)表示不同的着色方案 数，求它所满足的递推关系。
例6.1.5 设P是平面上n个连通区域D1,D2,…Dn的公共交
有： f(n)= (k-1)f(n-2)+(k-2)f(n-1) n≥4 f(2)=k(k-1) ， f(3)=k(k-1)(k-2)
•
关于微分方程求解的已知结论:
1. 对于4次以及4次以下的方程,目前已有代数解法.(在复数 域内求解) 2. 阿贝尔定理: 5次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法.
例6.2.1 求Fibonacci数的递推关系
n2 f (n) f (n 1) f (n 2) f (0) 1, f (1) 1 解：特征方程为x 2 x 1 0, 1 5 1 5 两个特征根分别是：x1 , x2 , 2 2 1 5 n 1 5 n 因此通解f (n) c1 ( ) c2 ( ) 2 2
引理6.2.2 如果 h1 (n), h2 (n) 都是递推关系（6.2.2） 的解， 1 ,b 2 是常数，则 b1 ,h1 (n) b2 h2 (n) 也是递推关 b 系（6.2.2）的解. 证明 因为h1 (n), h2 (n) 都是递推关系（6.2.2）的 解，所以 b1h1 (n) b2 h2 (n) = b1[c1h1 (n 1) ck h1 (n k )] b2[c1h2 (n 1) ck h2 (n k )] = c1[b1h1 (n 1) b2h2 (n 1)] ck [b1h1 (n k ) b2h2 (n k )] 从而也是递推关系(6.2.2)的解.
（1）等差数列（算术数列） h0, h0+q, h0+2q, …, h0+nq,… 递推关系：hn= hn-1+q 一般项： hn= h0+nq 前n+1项和：sn= (n+1)h0+q(n)(n+1)/2 （2）等比数列（几何数列） h0, qh0, q2h0, …, qnh0,… 递推关系：hn= qhn-1 一般项： hn= qnh0 前n+1项和：sn= h0(1-qn+1)/(1-q)
对于n=1,2,…,令f(n)表示第n个月开始时围栏 中的兔子对数，显然有f(1)=1,f(2)=2。 在第n个月的开始，那些第n-1个月初已经在 围栏中的兔子仍然存在，而且每对在第n-2个月 初就存在的兔子将在第n-1个月开始将要生出一 对新兔来，所以有： f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n≥3, n为整数) f(1)=1,f(2)=2 这是一个带有初值的递推关系。
h(n)＝b’1q1 n＋b’2q2 n＋……＋b’kqk n 成立，从而b1q1 n＋b2q2 n＋……＋bkqk n是该递推关系的通
• 常系数线性齐次递推关系的求解步骤 1. 根据题意求递推关系 2. 利用递推关系得到特征方程 3. 解特征方程，求特征根 4. 利用特征根写递推关系通解 5. 根据初值确定通解中的系数 6. 给出递推关系的解
例6.1.2 Fibonacci数列问题是一个古老的数 学问题，是于1202年提出的，问题表述如下: 把一对兔子（雌、雄各一只）在某年的 开始放到围栏中，每个月这对兔子都生出一 对新兔，其中雌、雄各一只。由第二个月开 始，每对新兔每个月也生出一对新兔，也是 雌、雄各一只。问一年后围栏中有多少对兔 子？这是一个数学模型的形象表示，不能真 正用来表示兔子的繁殖规律。
h( n) c q c q c q
' n 1 1 ' 2 n 2 ' k
n k
成立，则称
f(n)＝b1q1 n＋b2q2 n＋……＋ bkqk n
是递推关系（6.2.2）的通解，其中， b1 , b2 ,, bk 为任意常数。
定理6.2.1 设 q1 , q2 ,, qk是递推关系（6.2.2）的 个互不相等的特征根，则 是递推关系（6.2.2）的通解。
wk.baidu.com引理 6.2.1和引理6.2.2知， 若 q1，q2，……qk是递推关系6.2.2的特征根，
则 f(n)＝b1q1 n＋b2q2 n＋……＋bkqk n 是递推关系的解 .（b1,b2,…bk是常数）
定义6.2.3 如果对于递推关系（6.2.2）的 每个解h(n)，都可以选择一组常数 ' ' ' c1 , c2 ,, ck ，使得
• k 阶线性递推关系 f (n) • k 阶常系数线性递推关系
g ( n) 0
c1 (n), c2 (n), ck (n)都是常数，即为c1 , c2 , ck
• k 阶常系数线性齐次递推关系
• 递推关系的解
•如果一个数列满足以上递推关系
常系数线性齐次递推关系的一般形式为
f (n) c1 f (n 1) c2 f (n 2) ck f (n k ), (n k , ck 0)
q n c1q n1 c2 q n2 ck q nk (n k ) 因为 q 0 ，所以 q k c1q k 1 c2 q k 2 ck ,
即是递推关系的特征根，反之亦然. • 如果qn是常系数线性齐次递推关系的解，还有吗？ • 如果有，那么是否可以特征根构造递推关系的所 有解？即从特解如何构造通解？
§6.2 常系数线性齐次递推关系的求解
设k是给定的正整数，若数列 f (0), f (1), , f (n), 的相邻k+1项间满足关系
f (n) c1 (n) f (n 1) c2 (n) f (n 2) ck (n) f (n k ) g (n), 对 n k 成立，其中ck (n) 0
n n 1 n 1 n
例6.2.2
f (n) 2 f (n 1) 3 f (n 2) f (0) 1, f (1) 1 先求通解，特征方程是： x 2x 3 0
求解递推关系的常用方法 （1）迭代归纳法； （2）特征根法； （3）生成函数法；
例6.1.1（爬楼梯问题）一个小孩要爬上n阶 楼梯，每次可上一阶或两阶，问上n阶有多 少种上法？ 解：
显然登上1阶台阶有1种方法，登上2台阶有2种方法， f(1）=1，f(2)=2 ,称为递推关系的初始条件。 设有f(n) 种方法，要登上这n阶台阶，最后迈上一个台 阶或两个台阶完成. （1）若最后是迈上一个台阶完成的，则前面登上了n1阶台阶，有f(n-1) 种方法； （2）若最后是迈上两个台阶完成的，则前面登上了n2阶台阶，有f(n-2) 种方法，根据加法原理有递推关系： f(n)=f(n-1)+f(n-2) .