组合数学递推关系
组合数 公式
组合数公式组合数公式什么是组合数？组合数是数学中一个重要的概念，表示从一个元素集合中取出若干元素而不考虑元素的顺序的方式的总数。
组合数经常在概率论、统计学以及组合数学等领域中使用，并有许多相关的公式。
公式一：组合数的定义公式组合数的定义公式如下：C(n,k)=n!k!(n−k)!其中，n表示元素集合中的元素个数，k表示从中取出的元素个数，n!表示n的阶乘。
公式二：组合数的递推公式组合数的递推公式可以通过组合数的定义公式化简得到：C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)这个公式表示从n个元素中选取k个元素的方式数等于从n−1个元素中选取k−1个元素的方式数加上从n−1个元素中选取k个元素的方式数。
公式三：组合数的性质公式组合数有以下两个性质公式：1.C(n,k)=C(n,n−k)，即从n个元素中选取k个元素的方式数等于从n个元素中选取n−k个元素的方式数。
2.C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)，即组合数的递推公式。
例子解释假设有一箱子里有红球和蓝球，其中分别有5个红球和3个蓝球。
现在要从箱子中选取2个球，问有多少种不同的选取方式？根据组合数的定义公式，可以计算出结果：C(8,2)=8!2!(8−2)!=8!2!6!=8∗72∗1=28所以，从这个箱子中选取2个球的方式有28种。
再假设箱子里的球数稍有不同，有5个红球和4个蓝球。
现在要从箱子中选取3个球，问有多少种不同的选取方式？根据组合数的递推公式，可以将问题化简：C(9,3)=C(8,2)+C(8,3)=8!2!(8−2)!+8!3!(8−3)!=28+56=84所以，从这个箱子中选取3个球的方式有84种。
综上所述，组合数公式能够帮助我们计算从一个元素集合中选取若干元素的不同方式数。
无论是组合问题还是概率问题，组合数公式都具有重要的应用价值。
公式四：组合数的乘法公式组合数有一个重要的乘法公式：C(n,k)=C(n−1,k−1)∗n k这个公式可以通过组合数的定义公式推导得到。
组合数学讲义3章递推关系
组合数学讲义3章递推关系递推关系§3.1 基本概念（一）递推关系定义3.1.1 （隐式）对数列aii 0 和任意自然数n，一个关系到an和某些个ai i n 的方程式，称为递推关系，记作F a0,a1, ,an 0 (3.1.1)__例an an 1 an 2 a0 n 0an 3an 1 2an 2 2a1 1 0定义3.1.1＇（显式）对数列aii 0 ，把an与其之前若干项联系起来的等式对所有n≥k均成立（k为某个给定的自然数），称该等式为ai 的递推关系，记为an F an 1,an 2, ,an k (3.1.1)＇例an 3an 1 2an 2 2a1 1 （二）分类（1）按常量部分：① 齐次递推关系：指常量＝0，如Fn Fn 1 Fn 2；② 非齐次递推关系，即常量≠0，如hn 2hn 1 1。
（2）按ai的运算关系：组合数学讲义① 线性关系，F是关于ai的线性函数，如（1）中的Fn与hn均是如此；② 非线性关系，F是ai的非线性函数，如hn h1hn 1 h2hn2 hn 1h1。
（3）按ai的系数：① 常系数递推关系，如（1）中的Fn与hn；② 变系数递推关系，如pn npn 1，pn 1之前的系数是随着n而变的。
（4）按数列的多少：① 一元递推关系，其中的方程只涉及一个数列，如(3.1.1)和(3.1.1)＇均为一元的；② 多元递推关系，方程中涉及多个数列，如an 7an 1 bn 1bn 7bn 1 an 1（5）显式与隐式：yn 1（三）定解问题xn 1yn h yn 1 2 yn 1定义3.1.2 （定解问题）称含有初始条件的递推关系为定解问题，其一般形式为F a0,a1, ,an 0,(3.1.2)a0 d0,a1 d1, ,ak 1 dk 1所谓解递推关系，就是指根据式(3.1.1)或(3.1.2)求an的与a0、a1、、an－1无关的解析表达式或数列{an}的母函数。
组合数常用公式
组合数常用公式摘要：一、组合数定义二、组合数公式1.二项式定理2.阶乘与组合数的关系3.组合数的性质4.组合数公式推导三、组合数的应用1.组合数的计算2.组合数的应用场景四、组合数的递推关系1.递推关系的一般形式2.常见递推关系举例五、组合数的性质与公式总结正文：一、组合数定义组合数（Combination）是离散数学中的一个概念，它表示从n 个元素中取出m 个元素的不同组合方式数量。
用符号表示为C(n, m)，即n 个元素中取m 个元素的组合数。
二、组合数公式1.二项式定理二项式定理是组合数计算的基础，它表示如下：(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + ...+ C(n, n)a^0 b^n其中，C(n, 0), C(n, 1), ..., C(n, n) 即为组合数。
2.阶乘与组合数的关系组合数与阶乘（n!）之间存在如下关系：C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]3.组合数的性质组合数具有以下几个性质：- C(n, m) = C(n, n-m)- C(n, 0) = 1- C(n, n) = 1- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)4.组合数公式推导根据阶乘与组合数的关系，可以推导出组合数的计算公式。
三、组合数的应用1.组合数的计算组合数的计算是组合数学中的基本操作，可以通过递推关系、二项式定理等方法进行计算。
2.组合数的应用场景组合数在实际生活中有很多应用场景，例如概率论、组合优化、密码学等。
四、组合数的递推关系1.递推关系的一般形式根据组合数的性质，可以得到递推关系的一般形式：C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)2.常见递推关系举例常见的组合数递推关系有：- C(n, 0) = 1- C(n, 1) = n- C(n, n) = 1- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)五、组合数的性质与公式总结组合数是组合数学中的基本概念，它表示从n 个元素中取出m 个元素的不同组合方式数量。
组合数公式大全
组合数公式大全组合数公式是组合数学中重要的概念，它们在概率论、统计学、离散数学等领域都有广泛的应用。
组合数公式可以用来计算从n个不同元素中取出r个元素的组合数，它们的计算方法多种多样，其中包括排列组合公式、二项式定理、组合数的递推关系等。
接下来，我们将详细介绍组合数公式的各种计算方法，让我们一起来深入探讨。
一、排列组合公式排列组合公式是组合数学中最基本的概念之一，它用于计算从n个不同元素中取出r个元素的组合数。
排列组合公式的计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)C(n, r)表示从n个不同元素中取出r个元素的组合数，n!代表n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1，r!代表r的阶乘，(n-r)!代表n-r的阶乘。
二、二项式定理二项式定理是组合数学中的一个重要定理，它用于计算二项式展开式中各项的系数。
二项式定理的公式如下：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + ... + C(n,r)*a^(n-r)*b^r + ... + C(n,n)*a^0*b^n(a+b)^n表示(a+b)的n次幂展开式，C(n,r)表示从n个不同元素中取出r个元素的组合数。
从上述公式可以看出，二项式定理可以用来计算二项式展开式中各项的系数，因此它在代数学和离散数学中有着广泛的应用。
三、组合数的递推关系组合数的递推关系是一种用来计算组合数的方法，它可以在一定程度上简化计算过程。
组合数的递推关系公式如下：C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)C(n, r)表示从n个不同元素中取出r个元素的组合数，根据递推关系可以得到不同组合数之间的关系，从而简化计算过程。
以上介绍了排列组合公式、二项式定理和组合数的递推关系，它们是组合数学中常用的计算方法，对于理解和应用组合数具有重要的意义。
通过深入学习这些公式和定理，我们可以更好地理解组合数的概念，并且在实际问题中灵活运用。
组合数定理
组合数定理组合数定理是组合数学中的重要定理之一。
在数学中，组合数是从给定集合中选择出特定个数的元素组成的集合的个数，通常用C(n, k)表示。
组合数定理主要研究的是这些组合数的性质和计算方法。
首先，我们需要了解一下组合数的定义。
给定一个n 元素的集合，从中选取k个元素，组成一个无序的集合，这样的集合个数即为组合数。
组合数的计算方法可以通过以下公式进行计算：C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)其中n!表示n的阶乘，即n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 1，0的阶乘定义为1。
组合数的计算方法还可以通过递推公式进行计算：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)这个递推公式的意思是，要么选择n作为组合的一部分，那么剩下的k-1个元素就要从剩下的n-1个元素中选择；要么不选择n，那么k个元素就要从剩下的n-1个元素中选择。
通过递推公式，我们可以通过计算相对较小的组合数，迭代地计算出较大的组合数。
组合数定理具有以下几个重要的性质：1. 对任意整数n和k，组合数C(n, k)满足对称性质：C(n, k) = C(n, n-k)。
这是由组合数的定义以及递推公式可以得到的结论。
2. 组合数满足递推关系：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
这个递推关系可以用来计算较大的组合数，通过计算较小的组合数，不断迭代得到结果。
3. 组合数的性质可以帮助我们解决很多实际问题。
比如，在排列组合数的计算中，组合数可以用来解决从n个元素中选择k个元素的问题；在概率论中，组合数可以用来计算事件的发生概率。
除了上述性质外，组合数定理还有一些重要的应用：1. 组合公式的应用：组合数定理可以用来简化复杂的组合公式，使得计算更加方便。
比如，通过组合数定理，我们可以证明等式(1+x)^n = C(n, 0)*x^0 + C(n, 1)*x^1 + ... + C(n, n)*x^n。
组合数学
组合数学中的基本原理及其应用卡特兰数Catalan，Eugene，Charles，卡特兰（1814～1894）比利时数学家，生于布鲁日（Brugge），早年在巴黎综合工科学校就读。
1856年任列日（Liege）大学数学教授，并被选为比利时布鲁塞尔科学院院士。
卡特兰一生共发表200多种数学各领域的论著。
在微分几何中，他证明了下述所谓的卡特兰定理：当一个直纹曲线是平面和一般的螺旋面时，他只能是实的极小曲面。
他还和雅可比（Jacobi，C·G·J）同时解决了多重积分的变量替换问题，建立了有关的公式。
1842年，他提出了一种猜想：方程x z－y t＝1没有大于1的正整数解，除非平凡情形32－23＝1。
这一问题至今尚未解决。
（mathoe注：即除了8、9这两个连续正整数都是正整数的方幂外，没有其他。
1962年我国数学家柯召以极其精湛的方法证明了不存在三个连续正整数，它们都是正整数的方幂，以及方程x2－y n＝1，n ＞1，xy≠0无正整数解。
并且还证明了如果卡特兰猜想不成立，其最小的反例也得大于1016。
）此外，卡特兰还在函数论、伯努利数和其他领域也做出了一定的贡献。
卡特兰通过解决凸n边形的剖分得到了数列C n。
凸n＋2边形用其n－1条对角线把此凸n＋2边形分割为互不重叠的三角形，这种分法的总数为C n。
为纪念卡特兰，人们使用“卡特兰数”来命名这一数列。
据说有几十种看上去毫不相干的组合计数问题的最终表达式都是卡特兰数的形式。
卡特兰数在数学竞赛、信息学竞赛、组合数学、计算机编程等都会有其不同侧面的介绍。
前几个卡特兰数：规定C0＝1，而C1＝1，C2＝2，C3＝5，C4＝14，C5＝42，C6＝132，C7＝429，C8＝1430，C9＝4862，C10＝16796，C11＝58786，C12＝208012，C13＝742900，C14＝2674440，C15＝9694845。
递推公式圆周上有标号为1，2，3，4，……，2n的共计2n个点，这2n个点配对可连成n条弦，且这些弦两两不相交的方式数为卡特兰数C n。
卢开澄组合数学--组合数学第二章幻灯片
(A B)2-A(B)x (1x)1(2x)
( A B ) ( 2 A B ) x x
§2.2 递推关系
由上式可得：
{ A 2 A B B 01 A 1 , B1 .
即：H(x) 1 1 12x 1x
(12x22x223x3)(1xx2) (21)x(21)x(21)x
C(mn,mn)xmn
§2.1 母函数
比较等号两端项对应系数，可得一等式
C ( m n ,r ) C ( m , 0 ) C ( n ,r ) C ( m , 1 ) C ( n ,r 1 ) C ( m ,r ) C ( n , 0 )
§2.1 同母样函对数于
，〔设
用类似的方法可得等式：
§2.2 递推关系
Hanoi问题是个典型的问题，第一步要设 计算法，进而估计它的复杂性，集估计工作量。
算法： N=2时 第最第一后二步把步先B上把把的下最圆面上盘的面移一的到个一C圆个上盘圆移盘到套C在上B上 到此转移完毕
A
B
C
§2.2 递推关系
假定n-1个盘子的转移算法已经确定。 对于一般n个圆盘的问题，
x 2 x 3 x 2 /1 ( x )
§2.2 递推关系
整理得
(1 2 x)H (x)x2 xx 1 x 1 x
这两种做法得到的结果是一样的。即：
H(x) x (1x)1(2x)
§2.2 递推关系
如何从母函数得到序列h(1 )h ,(2) , ？下 面介绍一种化为局部分数的算法。 令
以依次求得h(2)h ,(3) , ，这样的连锁反应关
系，叫做递推关系。
§2.2 递推关系
chap7递推关系生成函数
-------(1) -------(2)
指数生成函数(EGF)
序列h0,h1,h2,…的指数生成函数定义为
g
(e )
( x ) h0 h1
x 1!
h2
x
2
2!
hk
x
k
k!
例. 排列数序列 P(n,0), P(n,1), …, P(n,n)的EGF是 g(e)(x) = ( 1+x )n . 对比组合数序列C(n,0), C(n,1), …, C(n,n)的GF是 g(x) = ( 1+x )n . 注: hk = 指数生成函数的k次项系数k!
除多项式外,经常用到的函数还有:
1 1 x
1 (1 x ) 1
2
1 x x
2
( 1 x )( 1 x ) 1 2 x 3 x
2
n k 1 n (1 x ) x k (1 x ) k 1 n0
第一部分小结
Fibonacci数列 线性常系数齐次递推关系的求解 线性常系数非齐次关系的求解
转移矩阵
对于线性齐次常系数递推关系, 以4阶为例 hn - a1 hn-1 - a2 hn-2 - a3 hn-3 … - a4 hn-4 = 0 我们有如下计算的hn方法,
hn a 1 hn 1 1 h 0 n2 hn 3 0 a2 0 1 0 a3 0 0 1 a 4 hn 1 a 1 0 hn 2 1 h 0 0 n3 0 hn 4 0
5b
4 r 0
x ) (
r
二中二公式表
二中二公式表二中二公式是组合数学中的经典定理，是指从n个不同元素中取出k个元素的组合数量，即C(n,k)可以表示为∑C(n-1,m-1)，其中m=1,2,...,k。
该公式有两种常见的表达方式，一种是利用递推关系式进行计算，另一种是通过简化组合式的形式推导出来。
一、递推关系式递推关系式是利用已知的n-1个元素取k-1个元素和n-1个元素取k个元素的组合数计算n个元素取k个元素的组合数。
具体来说，可以利用以下两个递推式计算C(n,k)：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)C(n,0) = 1，C(n,n) = 1其中C(n,k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数。
这两个递推式可以递归地计算所有的组合数，时间复杂度为O(nk)。
二、简化组合式的形式另一种常见的求解二中二公式的方法是通过简化组合式的形式得到。
具体来说，可以利用以下等式计算C(n,k)：C(n,k) = n!/[k!(n-k)!]= (n-k+1)/1 * (n-k+2)/2 * ... * n/k= C(n-1,k-1) * n/k其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*...*2*1。
这种方法的时间复杂度为O(k)，比递推关系式的时间复杂度低。
三、应用二中二公式广泛应用于组合数学、概率论、统计学等领域。
例如，在概率论中，可以利用二中二公式计算从n个球中取k个球的概率；在图论中，可以利用二中二公式计算从n个点中取k个点形成的子图的数量；在密码学中，可以利用二中二公式计算从n个字母中取k个字母组成的密码的种数。
总之，二中二公式是组合数学中的核心定理之一，具有广泛的应用价值。
掌握它的计算方法和应用场景，对于深入理解和应用组合数学至关重要。
组合数学-catlan数
§2.11 即
Catalan 数
f n1 (2n 2)(2n 3) , f 2 h2 1, fn (n 1)(n 1) f n1 f n f n1 f 4 f 3 f n1 f n f n1 f n2 f 3 f 2
§2.11
Catalan 数
用上述方法建立了由 n 1个0和 n 1 个1 组成的2n位数，与由n个0和n个1组成的2n位 数中从左向右扫描出现0的累计数超过1的累 计数的数一一对应。 * 例如10100101是由4个0和4个1组成的8位2 进制数。但从左而右扫描在第5位（打*号） 出现0的累计数3超过1的累计数2，它对应于
§2.11
Catalan 数
反过来，任何一个由 n 1个0，n 1 个1组 成的2n位数，由于0的个数多2个，2n是偶数， 故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1 的累计数。同样在后面的部分，令0和1互换， 使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n 1 个0和 n 1个1组成的2n位数，必对应于一个 不合要求的数。
个0的累计数，和m个1的累计数。 此后的2(n m) 1 位上有n m 个1， n m 1 个0。如若把后面这部分2(n m) 1 n m 1 位，0与1交换，使之成为 n m个0， 个1，结果得1个由 n 1 个0和 n 1 个1组成 的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个 由 n 1 个0和 n 1 个1组成的一个排列。
§2.11
Catalan 数
例3的问题。 ' ' ' 根据例3的结果。从O (0,1) 点通过 O A 的 ' ' ' 点，以及 O A 上方的点到达 A (n 1, n) 的路径 数为 1 2n 2 2n 2 (2n 2)
初中数学知识归纳解组合数的问题组合数是数学中一个非常重要的概念，它在组合数学、概率论、统计学等领域中都有广泛的应用。
本文将对初中阶段学习的数学知识进行归纳总结，重点解析组合数的相关问题。
一、组合数的定义与性质组合数是从n个不同元素中取出m个元素（不考虑元素的顺序）所组成的集合的个数，通常用C(n,m)或者(n, m)表示。
组合数的计算公式为：C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × ... × 3 × 2 × 1。
组合数的性质有：1. C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个元素或者取出n个元素的组合数都等于1。
2. C(n,1) = C(n,n-1) = n，即从n个元素中取出1个元素或者取出n-1个元素的组合数都等于n。
3. C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元素的组合数与取出n-m个元素的组合数相等。
二、组合数的计算方法1. 利用组合数的计算公式直接计算。
例如，计算C(5,2)的值，按照组合数的计算公式，可以得到：C(5,2) = 5! / (2!(5-2)!) = 5! / (2!3!) = (5×4×3×2×1) / ((2×1)×(3×2×1)) = 10。
2. 利用递推关系进行计算。
根据组合数的递推关系，可以通过前一行组合数的值计算出下一行的组合数。
具体方法是，利用C(n+1,m) = C(n,m) + C(n,m-1)的递推关系，逐次计算出所需要的组合数。
例如，计算C(5,3)的值，可以通过如下计算过程得到：C(5,3) = C(4,3) + C(4,2) = (C(3,3) + C(3,2)) + (C(3,2) + C(3,1)) = 1 + 3 + 3 + 3 + 1 = 10。
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第三章递推关系1.在平面上画n条无限直线,每对直线都在不同的点相交,它们构成的无限区域数记为f(n),求f(n)满足的递推关系.解： f(n)=f(n-1)+2f(1)=2,f(2)=4解得f(n)=2n.2.n位三进制数中,没有1出现在任何2的右边的序列的数目记为f(n),求f(n)满足的递推关系.解：设a n-1a n-2…a1是满足条件的n-1位三进制数序列，则它的个数可以用f(n-1)表示。
a n可以有两种情况：1）不管上述序列中是否有2，因为a n的位置在最左边，因此0和1均可选；2）当上述序列中没有1时，2可选；故满足条件的序列数为f(n)=2f(n-1)+2n-1 n 1,f(1)=3解得f(n)=2n-1(2+n).3.n位四进制数中,2和3出现偶数次的序列的数目记为f(n),求f(n)满足的递推关系.解：设h(n)表示2出现偶数次的序列的数目，g(n)表示有偶数个2奇数个3的序列的数目，由对称性它同时还可以表示奇数个2偶数个3的序列的数目。
则有h(n)=3h(n-1)+4n-1-h(n-1),h(1)=3 （1）f(n)=h(n)-g(n),f(n)=2f(n-1)+2g(n-1) （2）将（1）得到的h(n)=(2n+4n)/2代入（2），可得f(n+1)= (2n+4n)/2-2f(n),f(1)=2.4.求满足相邻位不同为0的n位二进制序列中0的个数f(n).解：这种序列有两种情况：1)最后一位为0，这种情况有f(n-3)个；2)最后一位为1，这种情况有2f(n-2)个；所以f(n)=f(n-3)+2f(n-2)f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5.5.求n位0,1序列中“00”只在最后两位才出现的序列数f(n).解：最后两位是“00”的序列共有2n-2个。
f(n)包含了在最后两位第一次出现“00”的序列数，同时排除了在n-1位第一次出现“00”的可能；f(n-1)表示在第n-1位第一次出现“00”的序列数，同时同时排除了在n-2位第一次出现“00”的可能；依此类推，有f(n)+f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)=2n-2f(2)=1,f(3)=1,f(4)=2.6.求n 位0,1序列中“010”只出现一次且在第n 位出现的序列数f(n).解：最后三位是“010”的序列共有2n-3个。
中科大-组合数学复习知识点
中科⼤-组合数学复习知识点⼀、鸽巢原理定理：n+1个物品放⼊n个盒⼦中，那⾄少有 1 个盒⼦中⾄少有 2 个物品。
解题思路：构造部分和序列正整数a i=2s i×r i,s i为⾮负整数,r i为奇数加强形式：m个物品放⼊n个盒⼦中，⾄少有 1 个盒⼦中⾄少有mn个物品。
若物品数与盒⼦数相等，则⾄少 1 个盒⼦中⾄少有 1 个物品。
若m=n+1，则⾄少 1 ⼀个盒⼦中⾄少有 2 个物品。
解题思路：递增⼦序列问题：构造{m k},m k表⽰从a k开始的最长递增⼦序列长度将集合分成 n 部分，使⽤加强形式取余⼆、排列与组合2.1 集合的排列组合r排列=P(n,r)=A rn =n! (n−r)!r圆排列=1r P(n,r)=1r A rn=n!r(n−r)!r组合数=nr=C rn=n!r!(n−r)!定理：(n0)+(n1)+⋯+(nn)=2n解题思路：能被 3 整除的数，各位数字之和也要能被 3 整除2.2 多重集合定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}的r排列数为k r.定理：多重集合M={k1⋅a1,k2⋅a2,⋯,k n⋅a n}的全排列数为(k1+k2+⋯+k n)!k1!k2!⋯k n!.只适⽤全排列，如果 k 排列，则⽤指数型⽣成函数。
定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}的r组合数为(k+r−1r)=C rk+r−1.证明⽅法：对应求⾮负整数解⽅案数x1+x2+⋯+x k=r =>r 个相同的球放⼊ k 个不同的盒⼦中定理：多重集合M={∞⋅a1,∞⋅a2,⋯,∞⋅a k}，要求各元素⾄少出现⼀次的r组合数为(r−1k−1)=C k−1r−1.证明⽅法：对应求满⾜⼀定条件的整数解⽅案数x1+x2+⋯+x k=r,x i≥1例题：求⽅程x1+x2+x3+x4=18满⾜条件x1≥3,x2≥1,x3≥4,x4≥2的整数解数⽬。
解：令y1=x1−3,y2=x2−1,y3=x3−4.y4=x4−2，则原⽅程变为y1+y2+y3+y4=8的⾮负整数解数⽬，(8+4−1 8)⌈⌉()课后习题 13，不穿过直线y=x课后习题 13，不穿过直线y=x的⾮降路径数？三、⼆项式系数⼆项式定理：(x+y)n=x n+(n1)x n−1y+(n2)x n−1y2+⋯+y n=∑ni=0(ni)x n−i y i⽜顿⼆项式定理：(1+x)α=∑∞r=0(αr)x r,(αr)=α(α−1)⋯(α−r+1)r!,α为⼀切实数,|x|<1α=−n 时，有(αr)=(−1)r(n+r−1r)(1+x)−n=∑∞r=0(−1)r(n+r−1 r)x r(1−x)−n=∑∞r=0(n+r−1 r)x r(1+x)−1=1−x+x2−x3+⋯(1−x)−1=1+x+x2+x3+⋯α=12时，有(αr)=(−1)r−11r22r−1(2r−2r−1)(1+x)12=∑∞r=1(−1)r−11r22r−1(2r−2r−1)x r,Catalan数基本性质：对称关系：(nr)=(nn−r)递推关系：(nr)=(n−1r)+(n−1r−1)=C rn−1+C r−1n−1组合恒等式：C1 n +2C2n+3C3n+⋯+nC nn=n2n−1C k 0+C k1+C k2+⋯+C kn=C k+1n+1∑n i=0(C in)2=C n2n∑r i=0C imC r−in=C rm+n,Vandermonde恒等式∑m i=0C imC r+in=C m+rm+n多项式定理：(x1+x2+⋯+x t)n=∑(nn1n2⋯n t)x n11x n22⋯x n tt,(nn1n2⋯n t)=n!n1!n2!⋯n t!例题：展开 (2x1−3x2+5x3)6，则 x31x2x23系数为解：6!3!1!2!23(−3)52多项式定理性质：展开式项数为n1+n2+⋯+n t=n的⾮负整数解个数，为(n+t−1 n)∑(nn1n2⋯n t)=t n,令所有xi都为1四、容斥原理定理：|¯A1∩¯A2∩⋯∩¯A m|=|S|−∑|Ai|+∑|A i∩A j|+⋯+(−1)m|A1∩A2∩⋯∩A m|推论：|A1∪A2∪⋯∪A m|=|S|−|¯A1∩¯A2∩⋯∩¯A m|欧拉函数的证明欧拉函数表⽰⼩于 n 且与 n 互素的整数的个数n =p i 11p i 12⋯p iq q 记 A i ={x |x ≤n 且p i |x} ，表⽰与 p i 成倍数的那些数那么 φ(n)=|¯A 1∩¯A 2∩⋯∩¯A q |=n ∏q i=1(1−1p i )定义：N (P i 1,P i 2,⋯,P i k ) 表⽰ S 中具有性质 P i 1,P i 2,⋯,P i k的元素个数ω(k )=∑N (P i 1,P i 2,⋯,P i k) 表⽰具备 k 个性质的元素计数，其中⼀个元素会被多次计数。
组合数学第六章递推关系
（1）等差数列（算术数列） ）等差数列（算术数列） h0, h0+q, h0+2q, …, h0+nq,… 递推关系： 递推关系：hn= hn-1+q 一般项： 一般项： hn= h0+nq 项和： 前n+1项和：sn= (n+1)h0+q(n)(n+1)/2 项和 （2）等比数列（几何数列） ）等比数列（几何数列） h0, qh0, q2h0, …, qnh0,… 递推关系： 递推关系：hn= qhn-1 一般项： 一般项： hn= qnh0 项和： 前n+1项和：sn= h0(1-qn+1)/(1-q) 项和
qn = c1qn−1 + c2qn−2 +L+ ck qn−k (n ≥ k)
因为 q ≠ 0 ，所以
qk = c1qk −1 + c2qk −2 +L+ ck ,
即是递推关系的特征根，反之亦然. • 如果 n是常系数线性齐次递推关系的解，还有吗？ 如果q 是常系数线性齐次递推关系的解，还有吗？ • 如果有，那么是否可以特征根构造递推关系的所 如果有， 有解？即从特解如何构造通解？ 有解？即从特解如何构造通解？
如果规定f(0)=1,则上式变成： f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n≥2, n为整数) f(0)=1,f(1)=1 称满足这个式子的数列就成为Fibonacci数列， 数列中的项叫做Fibonacci数.
例6.1.3 （Hanoi塔问题）现有A，B，C三根立柱以及
n个大小不等的中空圆盘，这些圆盘自小到大套在A 柱上形成塔形，如图6.1.1所示，要把n个圆盘从A柱 上搬到C柱上，并保持原来的顺序不变，要求每次 只能从一根立柱上拿下一个圆盘放在另一根立柱上， 且不允许大盘压在小盘上，问至少要搬多少次 ？
利用递推关系解决组合问题
利用递推关系解决组合问题在数学上，组合问题是指从给定集合中选取一定数量的元素（不能有序）的方式和数量。
解决组合问题可以用递推关系的方法来进行。
在这里，我们将探讨如何利用递推关系解决组合问题。
首先，让我们回顾一下组合的概念。
假设有一个具有n个元素的集合，我们想要从中选择r个元素（r≤n），这样的选择称为一个组合。
组合数通常表示为C(n,r)，表示从n个元素中选择r个元素的方式数量。
计算组合数可以用以下的组合公式：\[ C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]其中，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1。
然而，在某些情况下，直接计算组合数可能会比较麻烦，这时候可以利用递推关系来解决组合问题。
递推关系指的是通过已知的子问题的解来推导出更大规模问题的解。
在组合问题中，可以利用以下的递推关系来计算组合数：\[ C(n,r) = C(n-1,r) + C(n-1,r-1) \]这个递推关系的意思是，要么选择第n个元素，然后从前n-1个元素中再选择r-1个元素；要么不选择第n个元素，然后从前n-1个元素中选择r个元素。
通过不断地递归计算，最终可以得到从n个元素中选择r个元素的组合数。
举个例子来说明递推关系的运用。
假设我们想要从{A, B, C, D, E}这个集合中选择3个元素的组合数。
根据递推关系，可以得到以下计算过程：C(5,3) = C(4,3) + C(4,2)C(4,3) = C(3,3) + C(3,2)C(4,2) = C(3,2) + C(3,1)C(3,3) = 1C(3,2) = 3C(3,1) = 3通过上面的计算过程，我们可以得到C(5,3)=10，即从{A, B, C, D, E}这个集合中选择3个元素的组合数为10种。
总而言之，递推关系是一种解决组合问题的有效方法。
通过不断地推导子问题的解，最终可以得到更大规模问题的解。
利用递推关系解决组合问题，不仅可以简化计算过程，还可以提高计算效率，是解决组合问题的一种重要方法。
组合数学
1.斐波那契数列这个数列是由13世纪意大利斐波那契提出的的,故叫斐波那契数列。
该数列由下面的递推关系决定： F 0=0,F 1=1 F n+2=F n + F n+1(n>=0) 它的通项公式是11515225n n n F ⎧⎫⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪=- ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭(n 属于正整数)补充问题：菲波那契数列指的是这样一个数列： 1，1，2，3，5，8，13，21…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
该数列有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…… 还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1 如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了菲波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到 如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值2.七桥问题和欧拉定理欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为欧拉定理。
对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。
人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。
具有欧拉回路的图叫做欧拉图。
此题被人教版小学数学第十二册书收录.在95页。
此题也被人教版初中第一册收录．在121页。
组合数与排列数的计算
组合数与排列数的计算组合数（Combination）和排列数（Permutation）是概率与统计等相关学科中经常用到的概念。
它们在计算样本空间、计算事件发生的概率等问题中起着重要的作用。
本文将介绍组合数和排列数的计算方法及应用。
一、组合数的计算组合数是从n个不同元素中，取出m个元素（m<=n）的组合方式的数量。
组合数用符号C(n,m)或者(n choose m)表示。
计算组合数的方法有两种：公式法和递推法。
1. 公式法组合数的计算公式为：C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*...*3*2*1。
例如，计算C(5,2)的值：C(5,2) = 5!/(2!(5-2)!）= 5!/(2!3!) = 5*4/(2*1) = 102. 递推法通过使用组合数的递推关系，可以简化组合数的计算过程。
组合数的递推关系为：C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)其中，C(n-1,m-1)表示从前n-1个元素中选择m-1个元素的组合数，C(n-1,m)表示从前n-1个元素中选择m个元素的组合数。
例如，计算C(5,2)的值：C(5,2) = C(4,1) + C(4,2) = 4 + 6 = 10二、排列数的计算排列数是从n个不同元素中，按照一定的顺序取出m个元素的排列方式的数量。
排列数用符号P(n,m)或者(nPm)表示。
计算排列数的方法有两种：公式法和递推法。
1. 公式法排列数的计算公式为：P(n,m) = n!/(n-m)!例如，计算P(5,2)的值：P(5,2) = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 5*4 = 202. 递推法通过使用排列数的递推关系，可以简化排列数的计算过程。
排列数的递推关系为：P(n,m) = n*P(n-1,m-1)其中，P(n-1,m-1)表示从前n-1个元素中选择m-1个元素的排列数。
例如，计算P(5,2)的值：P(5,2) = 5*P(4,1) = 5*4 = 20三、组合数与排列数的应用1. 组合数的应用组合数在组合数学、概率与统计等领域有广泛的应用。
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(6.2.4)
如果方程组（6.2.4）有唯一解b'1 , b'2 ,, b'k ，这说明可以找到 这k个常数，使得
解. 考察方程组（6.2.4），它的系数行列式为这是著名的 Vandermonde行列式.因为 q1 , q2 ,, qk 互不相等，所以该行 列式不等于零，这也就是说方程组（6.2.4）有唯一解.
求解递推关系的常用方法 （1）迭代归纳法； （2）特征根法； （3）生成函数法；
例6.1.1（爬楼梯问题）一个小孩要爬上n阶 楼梯，每次可上一阶或两阶，问上n阶有多 少种上法？ 解：
显然登上1阶台阶有1种方法，登上2台阶有2种方法， f(1）=1，f(2)=2 ,称为递推关系的初始条件。 设有f(n) 种方法，要登上这n阶台阶，最后迈上一个台 阶或两个台阶完成. （1）若最后是迈上一个台阶完成的，则前面登上了n1阶台阶，有f(n-1) 种方法； （2）若最后是迈上两个台阶完成的，则前面登上了n2阶台阶，有f(n-2) 种方法，根据加法原理有递推关系： f(n)=f(n-1)+f(n-2) .
n n 1 n 1 n
例6.2.2
f (n) 2 f (n 1) 3 f (n 2) f (0) 1, f (1) 1 先求通解，特征方程是： x 2x 3 0
•
关于微分方程求解的已知结论:
1. 对于4次以及4次以下的方程,目前已有代数解法.(在复数 域内求解) 2. 阿贝尔定理: 5次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法.
例6.2.1 求Fibonacci数的递推关系
n2 f (n) f (n 1) f (n 2) f (0) 1, f (1) 1 解：特征方程为x 2 x 1 0, 1 5 1 5 两个特征根分别是：x1 , x2 , 2 2 1 5 n 1 5 n 因此通解f (n) c1 ( ) c2 ( ) 2 2
h( n) c q c q c q
' n 1 1 ' 2 n 2 ' k
n k
成立，则称
f(n)＝b1q1 n＋b2q2 n＋……＋ bkqk n
是递推关系（6.2.2）的通解，其中， b1 , b2 ,, bk 为任意常数。
定理6.2.1 设 q1 , q2 ,, qk是递推关系（6.2.2）的 个互不相等的特征根，则 是递推关系（6.2.2）的通解。
代入初值确定 c 和c , 得方程组
1 2
c c 1 1 5 1 5 c c 1 2 2 1 1 5 1 1 5 解得：c ，c 5 2 5 2
1 2 1 2 1 2
所以原递推关系解是： f ( n) 1 1 5 1 5 1 1 5 1 5 ( ) ( ) 5 2 2 5 2 2 1 1 5 1 1 5 ( ) ( ) 5 2 5 2
f(n)=2f(n-1)+2f(n-2) f(1)=3 ， f(2)=8 n≥3
界点，如下图所示。现用k种颜色对其着色，要求有公共边 界的相邻区域着以不同的颜色，令f(n)表示不同的着色方案 数，求它所满足的递推关系。
例6.1.5 设P是平面上n个连通区域D1,D2,…Dn的公共交
有： f(n)= (k-1)f(n-2)+(k-2)f(n-1) n≥4 f(2)=k(k-1) ， f(3)=k(k-1)(k-2)
定义6.1.1 给定一个数的序列H(0),H(1),…, H(n),…若存在正整数n0，使得当n≥n0时，可 以用等号(或小于，大于号)把H(n)和前面某 些项H(i)，0≤ i <n，联系起来，这样的式子 叫做递推关系。 递推关系也称递归关系，递归方程。 从本质上讲，递推关系是研究整变量函数 的或者说是研究数列的，与此对应的是连 续论域中的微分方程。因此，我们可以类 似的方法对它们进行研究。
解： 记f(n)为n个圆盘从A柱搬到C柱所需的最小次数.整个 搬运过程可分成三个阶段； （1）将套在A柱上面的n-1个圆盘从A柱按要求搬到 B柱，搬动 次数为f(n-1); （2）把A柱上最下面的那个圆盘搬到C柱上，搬动 次数为1; （3）把B柱上的n-1个圆盘按要求搬到C柱上，搬动 次数为f(n-1); 由加法原则知， f(n)=2f(n-1)+1 又显然f(1)=1，所以有如下带有初值的递推关系:
h(n)＝b’1q1 n＋b’2q2 n＋……＋b’kqk n 成立，从而b1q1 n＋b2q2 n＋……＋bkqk n是该递推关系的通
• 常系数线性齐次递推关系的求解步骤 1. 根据题意求递推关系 2. 利用递推关系得到特征方程 3. 解特征方程，求特征根 4. 利用特征根写递推关系通解 5. 根据初值确定通解中的系数 6. 给出递推关系的解
由引理 6.2.1和引理6.2.2知， 若 q1，q2，……qk是递推关系6.2.2的特征根，
则 f(n)＝b1q1 n＋b2q2 n＋……＋bkqk n 是递推关系的解 .（b1,b2,…bk是常数）
定义6.2.3 如果对于递推关系（6.2.2）的 每个解h(n)，都可以选择一组常数 ' ' ' c1 , c2 ,, ck ，使得
对于n=1,2,…,令f(n)表示第n个月开始时围栏 中的兔子对数，显然有f(1)=1,f(2)=2。 在第n个月的开始，那些第n-1个月初已经在 围栏中的兔子仍然存在，而且每对在第n-2个月 初就存在的兔子将在第n-1个月开始将要生出一 对新兔来，所以有： f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n≥3, n为整数) f(1)=1,f(2)=2 这是一个带有初值的递推关系。
q n c1q n1 c2 q n2 ck q nk (n k ) 因为 q 0 ，所以 q k c1q k 1 c2 q k 2 ck ,
即是递推关系的特征根，反之亦然. • 如果qn是常系数线性齐次递推关系的解，还有吗？ • 如果有，那么是否可以特征根构造递推关系的所 有解？即从特解如何构造通解？
引理6.2.2 如果 h1 (n), h2 (n) 都是递推关系（6.2.2） 的解， 1 ,b 2 是常数，则 b1 ,h1 (n) b2 h2 (n) 也是递推关 b 系（6.2.2）的解. 证明 因为h1 (n), h2 (n) 都是递推关系（6.2.2）的 解，所以 b1h1 (n) b2 h2 (n) = b1[c1h1 (n 1) ck h1 (n k )] b2[c1h2 (n 1) ck h2 (n k )] = c1[b1h1 (n 1) b2h2 (n 1)] ck [b1h1 (n k ) b2h2 (n k )] 从而也是递推关系(6.2.2)的解.
第六章
递推关系
递推关系是一种重要的组合计数方法
建立递推关系 分析已有递推关系的性质 求解递推关系
主要内容
§6.1 递推关系的建立 §6.2 常系数线性齐次递推关系的求解 §6.3 常系数线性非齐次递推关系的求解 §6.4* 用生成函数求解递推关系 §6.5* 用迭代归纳法求解递推关系及其应用
递推关系的定义 递推关系的实例 常系数线性齐次递推关系及其求解 常系数线性非齐次递推关系及其求解
例6.1.2 Fibonacci数列问题是一个古老的数 学问题，是于1202年提出的，问题表述如下: 把一对兔子（雌、雄各一只）在某年的 开始放到围栏中，每个月这对兔子都生出一 对新兔，其中雌、雄各一只。由第二个月开 始，每对新兔每个月也生出一对新兔，也是 雌、雄各一只。问一年后围栏中有多少对兔 子？这是一个数学模型的形象表示，不能真 正用来表示兔子的繁殖规律。
• k 阶线性递推关系 f (n) • k 阶常系数线性递推关系
g ( n) 0
c1 (n), c2 (n), ck (n)都是常数，即为c1 , c2 , ck
• k 阶常系数线性齐次递推关系
• 递推关系的解
•如果一个数列满足以上递推关系
常系数线性齐次递推关系的一般形式为
f (n) c1 f (n 1) c2Байду номын сангаасf (n 2) ck f (n k ), (n k , ck 0)
§6.2 常系数线性齐次递推关系的求解
设k是给定的正整数，若数列 f (0), f (1), , f (n), 的相邻k+1项间满足关系
f (n) c1 (n) f (n 1) c2 (n) f (n 2) ck (n) f (n k ) g (n), 对 n k 成立，其中ck (n) 0
（1）等差数列（算术数列） h0, h0+q, h0+2q, …, h0+nq,… 递推关系：hn= hn-1+q 一般项： hn= h0+nq 前n+1项和：sn= (n+1)h0+q(n)(n+1)/2 （2）等比数列（几何数列） h0, qh0, q2h0, …, qnh0,… 递推关系：hn= qhn-1 一般项： hn= qnh0 前n+1项和：sn= h0(1-qn+1)/(1-q)
f(n)＝b1q1 n＋b2q2 n＋……＋bkqk n
证明 由前面的分析可知, f(n)是递推关系(6.2.2)的解. 设h(n)是这个递推关系的任意一个解，则由k个初值 h(0)=a0, h(1)=a1,….., h(k-1)=ak-1 唯一地确定，所以有
b1 b2 bk a 0 , b q b q b q a , 1 1 2 2 k k 1 , b q k 1 b q k 1 b q k 1 a . 2 2 k k k 1 1 1
利用递推关系和初值在某些情况下可以 求出序列的通项表示式H(n) 。 但是对于大多数递推关系，目前还解 不出H(n)的显式来， 即使这样，对于给定 的n也可以从初值开始，一步一步地计算出 H(n)的值或者范围，而H(n)一般代表了某 个组合计数问题的解，因此递推关系是组 合计数的重要工具，同时也是算法分析的 重要手段。