2018年高考数学黄金100题系列第16题对数函数理

第16题对数函数

I ．题源探究·黄金母题

【例1】已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-，

(0,1)a a >≠且．

（1）求函数()()f x g x +的定义域；

（2）判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由． 【解析】（1）由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数

()()f x g x +的定义域为(1,1)-．

（2）根据（1）知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- ∴函数()()f x g x +的定义域关于原点对称． 又∵()()log (1)log (1)a a f x g x x x -+-=-++ ＝()()f x g x +，

∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数．

精彩解读

【试题来源】人教版A 版必修一第75页B 组第4题

【母题评析】本题以对数函数为载体，考查函数的定义域与奇偶性．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，能达到考查运算能力以及代数恒等变换能力．

【思路方法】求含有对数的函数的定义域时，除考虑前面所知晓的分母、根式要求外，还须考虑对数的真数必须大于0．判断对数型函数的奇偶性时首先必须确定函数的定义域是否对称，对称的情况下判断()f x 与()f x -的关系，进而判定．

II ．考场精彩·真题回放

【例1】【2017高考北京卷】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与M

N

最接近的是（） （参考数据：lg3≈0．48） A ．1033

B ．1053

C ．1073

D ．1093

【答案】D

【解析】设

361

803

10

M x N ==，两边取对数，361

36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M

N

最接近9310，故选D ．

【例2】【2017高考天津卷文理】已知奇函数()f x 在R 上是

增函数．若0.8

221

(log ),(log 4.1),(2)5

a f

b f

c f =-==，则

【命题意图】本类题考查对数型函数的定义域与奇偶性．

【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查对数运算构成的对数型函数奇偶性、对数函数的单调性应用、对数函数的图象、在实际生活中的应用．

【难点中心】（1）处理含有参数的对数型

函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，体现待定系数法的应用；

（2）应用对数函数的图象时，常常涉及

不太规范的对数型函数的图象，其作法可能较难，常常利用转化思想；（3）解决对数不等式问题的方法就是化为同底的对数或对数的形式，再利用函数的单调性转

,,a b c 的大小关系为（）

A ．a b c <<

B ．b a c <<

C ．c b a <<

D ．c a b << 【答案】C

【解析】由题意：()2

21log log 55a f f ⎛

⎫

=-= ⎪⎝⎭

，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，

据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：

()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，

即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项．

【例3】【2017高考新课标I 理数】设x 、y 、z 为正数，且

235x y z ==，则

A ．2x <3y <5z

B ．5z <2x <3y

C ．3y <5z <2x

D ．3y <2x <5z

【答案】D

【解析】令235(1)x

y

z

k k ===>，则2log x k =，

3log y k =，5log z k =，∴

22lg lg3lg9

13lg 23lg lg8

x k y k =⋅=>，则23x y >，22lg lg5lg 25

15lg 25lg lg32

x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D ．

化为熟悉的代数不等式求解；（4）在实际生活中的应用时如何建立与对数相关的函数模型，也是相对较难．

III ．理论基础·解题原理 考点一 对数与对数的运算性质 （1）对数的定义

如果x

a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数

的底数，N 叫做真数． （2）几种常见对数

2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）： ①log 10a =，②log 1a a =，③log a N

a N =，④log N a a N =．

（2）对数的运算法则：

如果0a >，且1a ≠，0>M ，0>N ，那么： 1．M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； 2．=N

M

a

log M a log －N a log ； 3．n a M log n =M a log )(R n ∈． （2）换底公式：

log log log a b a N

N b

=

（,a b 均为大于零且不等于1，0N >）；

利用换底公式推导下面的结论 （1）a

b b a log 1

log =

．推广log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=．

（2）b m

n

b a n a m log log =

，特例：log log n n a a b b = 考点二 对数函数的定义

函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自量，函数的定义域是(0,)+∞．

注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5

log 5x y =都

不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 考点三 对数函数图象与性质