各向异性网格
基于各向异性非结构网格的超声速流动自适应计算
吻 合 很 好 。超 声 速 横 向 喷 流 流 场 存 在 激 波 、 分离涡 、 边 界 层 等 流 场 结 构 的 相 互 干 扰 。计 算 研 究 表 明 ， 单 纯 基 于 Ｈｅ ｓ —
和实践 ； 文献 ［ ９ 一 ｌ Ｏ ］ 则将 各 向异 性 自适 应 技术 应 用 于 计算 具有 强 间断 的多介 质界 面流 动问题 ， 并 对计 算 的 可靠性 和 准确性 做 了对 比研 究 。 国 内 已有 的 相关 研 究主要 关 注各 向异性 网格 的 自动生 成工 作口 ］ 。 超 声 速楔形 体 绕 流及 超 声 速 横 向喷 流 问题 是 高 超 声速 飞 行器 流动 控 制 及超 燃 冲压 发 动 机燃 料 喷射
Ｍ ａ ｎ度 量 张 量 的各 向 异性 网格 生成 及 自适 应 算 法 不 能 有 效 模 拟 边 界 层 内 的 流 动 情 况 ， 是 将 来 需 要 进 一 步 开展 的 研
究 挑战。
关键词 ： 各 向异 性 非 结 构 网格 ； 度量张量 ； 自适 应 求 解 ； 超声速楔形体绕 流 ； 超 声 速 横 向 喷 流
第 ３ １卷
第 ｌ期
空
气
动
力
学
学
报
Ｖｏ １ ． ３ １ 。Ｎｏ ． １
Ｆｅ ｂ．， ２ Ｏ１ ３
２ ０ １ ３ 年 ２ 月 文章编号 ： ０ ２ ５ ８ — １ ８ ２ ５ （ ２ ０ １ ３ Ｊ Ｏ １ — ０ ０ ４ ７ — ０ ５
ＡＣＴＡ ＡＥＲｏＤＹ ＮＡＭ Ｉ ＣＡ ＳＩ ＮＩ ＣＡ
基于“各向异性”四面体网格聚合的复杂外形混合网格生成方法
基 于“ 各 向异性 ＂ 四面体 网格 聚 合 的 复 杂 外 形 混合 网格 生成 方 法
赵 钟 ， 张来平 ， 赫 新
（ １ ．中 国空 气 动 力 研 究 与 发 展 中心 计 算 空 气 动 力 研 究 所 ，四 川 绵 阳 ６ ２ １ ０ ０ ０ ； ２ ．空 气 动 力 学 国家 重 点 实 验 室 ，四川 绵 阳 ６ ２ １ ０ ０ ０ ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
整个计 算 流程 的 ６ ０ ～７ ０ 时间 ， 这 一 点 对 于 复 杂
外形 高质量 粘性 流动 计算 网格 的生成 更 为突 出口 一 。 依照 网格 的拓扑 结构 ， 计算 网格 分为 结构 网格 和 非结 构 网格 。结 构 网格 的优点 是数据 结构 简单 ， 存储
方便 ， 计算 简单 快捷 ， 计算 结果 精度 高 ； 其 缺点是 难 以
效 率低 。非 结构 网格 的缺 点 在 高雷 诺 数 计算 时表 现
得 尤 为突 出 ： 高雷 诺数 边界层 模 拟要求 在物 面法 向有
层推进 方法 胡和 求解 双 曲型 方 程 的方 法 ］ 。这 些
方法在 实 际工程 应用 中得 到 了成 功 的应用 。但是 ， 对 于工业 应用 中很 多极 端复 杂 的实 际外 形而 言 ， 要 生成 边界层 的三 棱柱 网格并 非 易事 ， 往 往会 在几 何 曲率变
的应 用 。
两个 各 向异 性 四面体 单 元 的 中心 连线 和 物 面 法 向 的 偏离 使得计 算 在某些 情况 下不 够精确 （ 如 利用格 心 型 有 限体积 法求解 单元 内的物理 量梯 度时 ） 。
鉴 于复杂外 形 三棱柱 ／ 四面体 混合 网格 生成 的 困
各向异性介质弹性波传播的三维不规则网格有限差分方法
r1 2
+
r2
3
+
54 < 5 x4
1 4!
r1 2
+
r2
4
+ …,
(11)
由上述方程组
,55
<表示为
x
<
的线性组合
5 5
<
x
= η1 <m +1
-
η2 <m
+ η3 <m+2
-
η4 <m- 1
,
(12)
η1
=
1 4
r21
+ 4 r1 r2 + 4 s1 r2 r1 r2 ( r1 + s1 )
,
(13)
1 2!
r1 2
+ s1
2
-
53 < 5 x3
1 3!
r1 2
+
s1
3
+
54 < 5 x4
1 4!
r1 2
+
s1
4
+ …,
(8)
<m
= <i
-
5 < r1 5x 2
+
52 < 5 x2
1 2!
r1 2
2
-
53 < 1 5 x3 3 !
r1 2
3
+
54 < 5 x4
1 4!
r1 2
4
+ …,
2 理论公式
Hale Waihona Puke 方晶系介质弹性系数矩阵 C (9 个独立系数) 定义如
四节点能量正交三角形元及在各向异性网格下的收敛性分析
ｉｆ ， ｎ２
．
其弱形式为： ｔ （ ） 使得 求 ｉ ｅ Ｑ，
ａｕｖ ＝ ／ ｖ Ｖ ∈ ｏｆ ， （，） （ ，） ｖ Ｈ￣ ２ （）
其 中：（ ） Ｖ“ ｄｒ 厂 ｖ＝ 口 ＝ Ｖｖｃ，（，）
．
令 表示Ｑ 上的有限元空问， 则问题 （ ） １ 的离散形式为
（ ｖ） ｆ ｖ） Ｖ ∈ ， ，ｈ＝（ ，ｈ ， （ ２）
收 稿 日期 ：２０ ．３ ｌ ０ ８０ 一１
作者简介： 明亮（ ６． 贝， 张 １ ２， ９ ） 河南兰考人， 河南火学数学学 院洲教授， 研究方向： 有限元方法及应用 基金项 目：国家 自然科学 金项 目（０７ ｌ８１５ ０ ５ ） ｍ省教育厅 自然科学 金项 日（０ ８ １０２． １ ７ １９ ；０ ９ ３３ ２ ０Ａ１００ ）
＋ ＋
２ ２ ２
，１ ｉ２ ＝， ， ３
（ ３） （ ４）
四节点能量正交三 角形元的形函数空问为
ＰＫ）ｓ ａ ｛ ， （ ）＋（ 一 ） ＋ 一 ． （ ＝ ｐ ｎ Ａ， ， Ａ一 （ Ａ）｝
自由度 取为
Ｄ（） Ｖ Ｖ， ， ． Ｖ （Ｉ ２ ， ， ）
ｌ ０
０ ｌ Ｃ＝
０ ０
０ ０
因为 ｄｔ ） ， ，＋３ ０ 所以四个 自由度可唯一确定 ＰＫ 中的元素． ｅ Ｃ ＝ 。 ｔ≠ ， （ ＋ （） 经过计算可以证明下面两式：
（ ）＋ 一 ）＋ 一Ａ）＝６２ ＋ 一 （ （ （ａ
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第３ ４卷第 ４期
Ｊ
ｉ ｅｒ ｉｙ ｏ ｏ ｒ ａ ｆ ｏ ｔ ｗｅｓ Ｕ ｎ ｖ ｓ ｔ ｆ ｒＮａ ｉ ａ ｉｉ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ｕ ｎ ｌ Ｓ ｕｈ ｏ ｔ ｔｏｎ ｌｔｅ ｔ ｒ １ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ｓ ｌ Ｓ ｉBiblioteka 其中： 号 △ ， Ｉｖ ＝
各向异性网格下线性三角形元的超收敛性分析
时 （） Ｖ ： Ｐ（ ） Ｆ ， １ ＝０ Ｑ ：｛ Ｖ ｌ ｈ ｈ Ｋ∈ Ｉ ， Ｋ∈ ｈＶ ０ Ｋ Ｖ ｈ￣ ）
其中 Ｖ ｌ 由 Ｖ ｈ ｈ在 Ｋ 的三个顶点上 的函数值 唯一确 定。
（） ２ 的逼近形式 为
Ｊ ∈ ， 使 Ｉ 找 喈 得
ｎ ｈＶ） （ ，Ｖ ｈ （ ，ｈ＝， ） ∈喈 ． Ｖ
中图分类号： ４ ．１ ０２ ２２
文献标识码：Ａ
１ 引言
各 向异 性有 限元是 当前关注 的热 点 。有 些椭 圆边值 问题 的解 具有各 向异性 ， 即沿 某个方
向解变 化非 常剧烈 ，而沿 另外 方 向解 变化 平缓 。例 如： 奇异摄 动 问题 、对 流扩 散 问题 等ｆ 其
解 出现边 界 层１ 因此 ，从理 论 分析 和 实 际应 用 的观 点来说 ，传 统有 限元 方法 一个 很 大 的 。
文章￣ ： ０—０５２０）３０８—７ １ ５３８ （０７０—４ ７０ ０
各 向异性 网格下线性 三 角形元 的超收敛性 分析 木
石东洋 梁 ， 慧 ，
（一郑州大学数学系，郑州 ４ ０ ５ ； ２ 哈尔滨工业大学数学系，哈尔滨 １０ ０ ） １ ５０２ 一 ５ ０ １
摘 要 ：讨 论 在有 限制 的各 向异 性 网 格 下 用 线 性三 角形 有 限元 逼 近 二 阶 椭 圆 边 值 问题 ，利 用 单 元 构 造 的 特
限制就 是分 析 中对 网格剖 分 的正则性 假 设 ｈ ｐ Ｃ和拟 一致 假 设 ｈ ｈ Ｃ ｇ／Ｋ ／ ，这 里 为
单 元 ，ｈ 和 Ｐ ：分别 是 ｇ ｋ 的直 径 和最 大 内切 圆直径 ，Ｃ是 不依 赖于 ｈ＝ ｍａ ｈ 和 ｈ＝ ｘ ｇ ｍｉ ｈ 的 正常数［ 。在 这种情 况 下 ，一个 明显 能够反 映这 种解 的各 向异性特 征和 克服 上述 ｎ ｇ １ 】 限制的思想就 是采用各 向异性剖 分单元 。此 时上述 比值 可 以非常 大甚至趋 于无穷 。最近 一些
各向异性网格下二阶椭圆齐边值问题的双线性元的超收敛性分析
０ 引 言
本 文给出双线性元关 于二 阶椭 圆边值问题
于有限元各向异性性质的判定 ， 文献 ［ ］ 出了一个 非 常方 ４给
便 和实用的判别方法．
ห้องสมุดไป่ตู้
文 ［］ ８ 给出了双线性单元各 向异性 的证 明 ， 本文 将给 出
｛ｕ ， …一 塞 －＝ Ａｆ
Ｃ 力）． （
在 各向异 性矩形 网格下 整体超 收 敛的一个应 用 ， 中ｆ ｅ 其
基 础理 论研究 ・
各 向异性网格下二阶椭 圆齐边值问题 的 双线性元的超收敛性分析
彭 玉成 ， 迎 达 俞
（ 信阳师范学 院 数学与信息科学 学院 ， 河南 信阳 ４４０ ） ５００
摘 要 ： 用 Ｂａ ｂｅＨｌｅｔ 利 ｒｍ ｌ・ ｉ ｒ 引理 ， 出 了二 阶 椭 圆 齐 次 边 值 问题 的 双 线 性 元 在 各 向 异 性 网格 下 的 整 体 ｂ 给
书写．
个元 的整 体超 收敛性 ． 然而 ， 这些结果都是在对 区域的网格
剖分满足 正则 性条 件或拟一致 假设 这种传统 有 限元 分析 方 法的基础上得 到的．随着计 算机技 术的发 展和 理论分 析 的 件或拟一致假设是 不必 要 的，甚至 限制 了有 限元 的应 用 和
深入 ， 越来越 多的事 实证 明 ， 传统有限元方法中的正则性条 １
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信 阳师范学院学报 ： 然科学版 自 第２卷 第３ １ 期 ２０ ０ ８年 ７月
・
Ｊｕ ｎ ｆＸｉｙ ｎ ｒ ａ ｉｅｓｔ ｏｒ ａ ｏ ｎ ａ ｇＮｏ ｌ Ｕｎｖ ｒｉ ｌ ｍ ｙ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎＶｏ． １Ｎｏ ３Ｊ １２ （ ｔｒ ｌ ｉｎ ｅＥ ｉｏ １２ ． ｕ． ０） Ｓ ｉ ８
Stokes问题各向异性网格Q2-P1混合元超收敛分析
（） ３
｛ ｆｄ ＝ Ｉ ｑｐｇｚ ０ ｔ．ｄ ） ｃ￣ｑｙ ；
Ｖ ｖ Ｖ ｈ ｈ ，
ｖ
．
显然 Ｘ ｏＣ（ （） Ｘ塌（）则 （） Ｐ 础 Ｑ ） ＇ Ｑ ： ２ 的有限元离散形式为：
０ｔ ＝ ／Ｖ Ｖｄｄ．ｂ ． ＝～／ ｄ ｖ：ｇ （ ＝／， （ Ｉ ＇ ） Ｑ ｖｚｙ （ｑ ｖ ） ｔ ２ｑｉ ｄｄ √Ｑ ｆ ｖ ｒ ，， ） ，（
为 了简 单起见 ，设 是 边 界 同坐 标轴 平行 的 凸多 边 形 区域 ． 是 一族均 匀矩 形剖 分 ，即 要 求 所 有 行 ｚ ～轴 的 ＾ 相同 ，所 有 行 一轴 的 ７ 相 同 ，不妨设 ｈ ． 兰ｈ ． ２ ＶＫ ∈Ｔ １ ｈ 三ｈ ， ｈ
＾ １ ｈ
ｈ： 皿 ｈ 是 一 个与 ｈ无关 的正 常数 ．但是 ，从 理 论分 析和 实 际 应 用 的观 点来 说 ，如 此 假 Ｋｃ 设 在很 大 程度上 限 制 了有 限 元方 法 的应 用 范 围 ，同时 对 有些 定 义 在 窄边 区域 的 问题 ，如 果用 正 则 性剖 分 ， 算 量将 非常 大 ；另 一方 面有 些 问题 的解 呈各 向异 性 ，器 沿某 个方 向解 变化 非常 计 ｐ 剧 烈，而 沿另外方 向解 变 化平 缓 ，这 时采 用各 向异性单 元 剖分 ，求 解 的 效果 会更 好 ．本文 基 于
性 【 ．但 这 些研 究 都是 基 于 对 剖 分 的 正 则 性 条 件 或拟 一 致 假 设 【． ２ 一ｊ ５ 即满 足 ｈ ／ Ｋ ｃ 或 ｊ Ｋ Ｐ ，
ｈ ｈ ｃ ∈ ， 中 ／ Ｋ 其 Ｖ
＾ ∈ 』ｈ
分别是 一 般 单元 的最 大直 径和最 大 内切 圆直径 ， ｈ＝ …ａ Ｋ ｍ ｘｈ
二维各向异性介质中地震波场的高阶同位网格有限差分模拟
二维各向异性介质中地震波场的高阶同位网格有限差分模拟祝贺君;张伟;陈晓非【期刊名称】《地球物理学报》【年(卷),期】2009(052)006【摘要】本文将DRP/opt MacCormack有限差分格式用于模拟二维各向异性介质中的地震波传播.DRP/optMacCormack是一种同位网格下的差分格式,避免了传统的交错网格在计算各向异性问题时由于变量插值而导致的误差.而且相对于低阶同位网格差分格式,它具有低色散、低耗散的优点.此格式将中心差分算子分成前向和后向两个空间单边差分,然后在4-6步Runge-Kutta时间积分中使用单边差分组合.在具有垂直对称轴的横向各向同性(VTI)模型下,通过对比DRP/opt MacCormack有限差分和谱元方法的模拟结果,验证了前者具有很高的精度和稳定性.由于实际地质条件下TI介质的对称轴通常是倾斜的(TTI),本文在二维三分量框架下模拟TTI介质中的地震波场.结果显示横波分裂和切平面/反平面运动耦合的特征.数值实验表明DRP/opt MacCormack是一种有效的研究各向异性介质中地震波传播规律的差分格式.【总页数】11页(P1536-1546)【作者】祝贺君;张伟;陈晓非【作者单位】北京大学,地球与空间科学学院计算地球动力学实验室,北京,100871;北京大学,地球与空间科学学院计算地球动力学实验室,北京,100871;Graduate School of Oceanography,University of Rhode Island,USA;中国科学技术大学,地球和空间科学学院,蒙城地球物理国家野外观测研究站,合肥,230026【正文语种】中文【中图分类】P631【相关文献】1.任意倾斜各向异性介质中弹性波波场交错网格高阶有限差分法模拟 [J], 裴正林;王尚旭2.地震波场的高阶交错网格有限差分模拟 [J], 霍凤斌;李振鹏;徐发;张涛;3.基于高阶交错网格有限差分的隧道超前探测地震波场模拟 [J], 张焕钧;陈祖斌;李昊;杨兴林4.基于高阶交错网格有限差分的隧道超前探测地震波场模拟 [J], 张焕钧;陈祖斌;李昊;杨兴林5.二维弹性及粘弹性TTI介质中地震波场数值模拟:四种不同网格高阶有限差分算法研究 [J], 孙耀充;张延腾;白超英因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
各向异性自适应笛卡尔网格生成方法研究
能够提高 网格 的生 成 与使 用 效 率 ， 文 采用 交错 二 本 叉树 （ Ｄ ） Ａ Ｔ 来管理物体表面单元 ， 采用全叉树来管
理复杂外形的途径有分区结构 网格、 非结构网格和 笛卡尔网格等方法 。近年来 ， 笛卡尔 网格引起了人 们 的普遍 兴 趣 ¨ 】 。相 比 于前 ２种 网格 ， 卡 尔 网 笛 格有其特殊的优点 ］①笛卡尔网格不需预先生 ： 成严格规 定 的某 种物 面 网格 ， 生成过 程统 一 ， 需要 不 人为 干预 ， 比于结 构 网格 和非 结构 网格 ， 相 它是 真正
成过程的可靠性和网格的质量。采用交错二叉树管理物体表面单元， 全叉树管理笛卡 尔网格单元， 并 采用点、 面和体三级数 据组织方 式 ， 以方便 快捷 地 实现 网格 的 类型判 断、 向异性 自适应 、 割 、 可 各 切 光
顺和融合等操作 ， 而可以快速 生成 高质 量的 笛卡 尔网格 。 从
从点 Ｐ引 出的射 线与此 区域 力 的边 界 ａ 相交 次数 的奇偶来 分别判 断。 由于待 判断 的网格为 固体网格 和流场 网格 ， 可以通 过判 断 网格上 一 点在 体 的 内外 来判断 网格在体 的内外 。对 于固体 网格 要作删 除处 理或进行标注 ， 物 面网格 的处 理要复 杂 的多 ， 而对 要 对 网格进行切割 处理 。本 文采用 逐次多 边形裁剪 的 ＳｔｅａｄＨ ｄｍ ｎ算法 得 到 与 网 格相 交 的 物 面 ｕｈｒｎ —ｏｇ ａ ｌ
基金项 目： 国家 自然科学基金 （０ ０ ０７ 资助 １８２ ６ ）
作者简介 ： 逯雪玲（ ９ １ ， １８ 一） 西北工业 大学 博士研 究生 ， 主要从事计算流体力学研究 。
・
１８・ ４ 西源自北工 业大
各向异性图像扩散的多重网格格子波尔兹曼方法
中图分类号 ： Ｔ Ｎ ９ １ １ ． ７ ３
文章编号 ： ０ ２ ５ ５ ． ８ ２ ９ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — ０ ６ １ ９ ． ０ ９
Ｍ ｕｌ ｔ ｉ — ｇ ｒ ｉ ｄ Ｌａ ｔ ｔ ｉ ｃ ｅ Ｂｏ ｌ ｔ ｚｐｉ ｃ Ｉ ｍａ ｇ ｅ Ｄｉ ｆｕｓ ｉ ｏ ｎ
ＨＵＡＮＧ Ｂｉ ｎ ． ＂ ／ ＡＮ Ｚｈｕ ａ ｎ ｇ － ｚ ｈｉ ．
Ｚ ＨＯＵ Ｍｉ ｎｇ
１ ．Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｏ ｍｍｕ ｎ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ ２ ０ ０ ０ ７ ２ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ
ｃ ａ ｒ ｒ ｉ ｅ ｄ ｏ ｕ ｔ ｔ ｏ ｔ ｅ ｓ ｔ ｔ ｈｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｆ ｏ ｒ ｓ ｐ ｅ ｃ ｋ ｌ ｅ ｎ ｏ ｉ ｓ ｅ ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ．Ｔｈ ｅ ｐｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ Ｍ－ Ｌ Ｂ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ ｗａ ｓ ｃ ｏ ｍｐ ａ ｒ ｅ ｄ ｔ ｏ ａ ｎ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｉ ｎ ｇ ｍｕ ｌ ｔ ｉ － ｇ ｒ ｉ ｄ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ａ ｎｄ ｔ ｗｏ ｔ ｒ ａ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ＬＢ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓ ．Ｎａ ｔ ｕｒ ａ ｌ ｉ ｍａ ｇ ｅ ｓ ，ｃ ｏ ｍｐｏ ｓ ｉ ｔ ｅ ｉ ｍａ ｇ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｍｅ ｄ ｉ ｃ ａ ｌ
各向异性网格
各向异性网格在流场中，梯度变化剧烈的地方，如边界层和激波区域，流场呈现各向异性，在求解各向异性流场时，各向异性网格在这些区域中应该有很好的适应性。
目前关于三角形网格的生成，主要采用Delaunay方法，或其修正方法（Gridgen/pointwise），其网格生成关键是距离测量，要求三角形的外接圆不包含其他节点在内，由于节点所在空间各方向的伸展度均与一致，故生成的单元也最大程度地满足了与方向无关的要求，单元在形状上夜更接近正三角形。
各向异性网格是指网格单元沿某一方向的伸展度较大，而沿另一方向的伸展度较小，单元的形状扁平。
在主流区域由于流场的各向同性，应用各向同性网格是一个很好的选择，因此在常见的商用软件中，非结构网格一般都是各向同性的，因为他们并没有捕捉边界层区域，特别是第一层厚度，即y+值，因此各向同性网格在CFD计算中的对一些问题是不适用的，如在下面一些情况不宜采用各向同性网格：1、边界层区域，如果在边界层区域采用各向同性网格，那么网格数量将会使巨大的，是目前软件和硬件技术水平所部能承受的。
2、分块网格。
在分块网格中，需要保持穿越网格边界时网格尺寸的近似连续，以便降低认为因素对CFD计算结果的影响。
如图1所示，交界面网格尺寸不连续，这是不好的网格。
3、在形状上，如果表面元素自身是各向异性的。
那么各向异性网格在既可以捕捉关键的几何特征又可以保持网格数量在一个合理的范围。
4、所以在上述三个问题区域中，采用各向异性网格是一个理想的选择，而采用各向异性网格时，不宜用aspect ratio参数来评价网格质量，因为不管是各向异性结构还是非结构网格，其aspect ratio都是很大的。
在Gridgen/Pointwise中各向异性三角形/四面体网格主要是通过表面变形和顶点变形的方法实现的，如果生成的网格质量没有满足指定值，那么通过最速下降法对网格进行优化，直到满足质量要求，否则会放弃。
Pointwise公司把这项技术称为T-Rex（Anisotropic Tetrahedral Extrusion），其是一项可以在复杂几何形状边界区域快速生成高质量的边界层网格和空间网格，并且可以对网格畸变参数：Equi-Volume，Equi-Angle，Centroid和Max Angle进行控制。
三角网格模型的各向异性孔洞修补算法
（ Ｉ ｎ ｕｔ ｄ ａＬ ｂ ｒ ｔｒ ＨＣ ｄ Ｍ ｌ ｍｅ ｉ ａ ｏ ａｏｙ，Ｓ ｈ ｏ ｏ ｅｔ ｎｃ ｇ ｎ ｅｉｇ ＆ Ｃ ｍｐ ｔ ｃｅ ｃ ， ｅ ｉｇ Ｕ ｉｅ ｓ ｙ， ｅ ｉｇ １ ０ ７ ） ａ ｉ ｃｏ ｌ ｆＥｌ ｒ ｉ Ｅｎ ｉｅｒｎ ｃｏ ｓ ｏ ｕｅ Ｓ ｉ ｅ Ｐ ｋｎ ｎ ｖｒｉ Ｂ ｉ ｎ ０ ８ １ ｒ ｎ ｔ ｊ
随着 细分 等离散 造 型 技 术 的不 断 发 展 ， 于 离 散 网 基
造 成 了障碍 ， 因此 三维 网格 模 型 上 的孔 洞 修 补 是 几 何处 理 的一 个 重要 组 成部 分 ． 现 阶段 ， 角 网 格 在 三 因其简单 、 活 、 件支 持 、 法成 熟等 优势 ， 灵 硬 算 成为 离
ｏ ｌ ｃ ｏ ｄｎ ｏ ｔ ｏ ｒｉｓｏ ｕ ｒ ｕ ｄｉｇ ｍｅ ｈ．Ｔｈ ｆｉｉｎ ｙ，ｓ ａ ｉｉｙ ａ ｄ ｇ ｎｅ ａｉｙ ｏ ｏ ｏ ｅ ｆｈｏｅ ａ ｃ ｒ ｉｇ ｔ ｈｅｐｒ ｐｅ ｔｅ ｆｓ ｒ ｏ ｎ ｎ ｓ ｅ ｅｆｃｅ ｃ ｔ ｂ ｌｔ ｎ ｅ ｒ ｌｔ ｆｐｒ ｐ ｓ ｄ ａｇｏ ｉｈ ｈ ｖ ｅ ｎ ｖ ｒｆｅ ｙ ｍａ ｙ ｅ ｍｐｌｓ ｌ ｒｔ ｍ ａ ｅ ｂ ｅ ｅ ｉｉｄ ｂ ｎ ｘａ ｅ．
Ｊｌ ｕｙ，２ ０ ０７
三 角 网格模 型 的各 向异 性 孔洞 修 补算 法
张 岳玮宁 楠 洁 王 汪国平
（ 京 大 学信 息 科 学 技 术 学 院 人 机 交 互 与 多媒 体 实验 室 北
（ｊ ｒｐ ｉ ． ｋ ．ｄ ．ｎ ｚ ＠ｇ ａ ｈｃ ｐ ｕ ｅ ｕ ｃ ） ｓ
线性抛物方程的变网格各向异性双线性有限元方法
Ａｎｉ ｏ ｒ ｐｉ ｌｎｅ ｒ Ｆｉ ｔ ｅ ｅ ｅ ｈ ｄ ｗ ｉｈ ｓ ｔ ｏ ｃ Ｂｉｉ ａ ｎｉｅ Ｅｌ ｍ ｎｔＭ ｔ ｏ ｔ
Ｍ ｏ ｉ ｒ ｄ ｆ ｒ Ｌｉ ｅ ｒ Ｐａ ａ ｏｌｃ Ｅｑ ａ ｉ ｎ ｖ ｎｇ Ｇ ｉ ｏ ｎ ａ ｒ ｂ ｉ ｕ ｔｏ
设念一 ［ ，］×［ ，］ 一１１ 一１１ 为参考单元， 仿射变换 Ｆ Ｋ定义为：
ｆ ＾ －ｚ， ｚ＝ ４ ｋ ∈ ［ １１ － 一 ，］
【 ｈｊ４ｙ ， ∈ ［ １１ ｙ＝ － Ｋｊ 一 ，］ ７－ ７
则Ｆ 把愈变到一般单元 Ｋ， Ｆ 而 把顶点口变到 愈的顶点以， ｚ Ａ 把边 变到愈的边 ２（： １ ， ２３４． ，，）在参考单元愈上定义双线性元空间ｐ＝ｓａ ｛，，，ｊ， ｐｎ １ ｊ ７ 自由度为｛ （ｊ，：１ ７ ｝ ： ）ｉ ，
・ 中 南 大 学 博 士后 基 金 资 助项 目 韩 旭 里 教 授推 荐 收 稿 日期 ：０ ７ ４月 ７ 日 ２０年
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４ ８
数 学 理 论 与 应 用
第２ ７卷
２ 单 元 的构 造
设 ｛ ｈ 是 ｎｃ Ｒ 各 向异性 矩形 剖分 ， Ｔ） 一般 单元 Ｋ 的 中心 点为 （Ｋ Ｙ ）ｚ， 向 的边 长分 ｘ ，Ｋ ， Ｙ方
别 为 ２ ２ 顶点 为 ａ （ Ｋ一 ＾ ， 一 ｂ ） 以 （ Ｋ＋ ｈ ， Ｋ— ｂ ）以 （ Ｋ＋ ｈ ， Ｋ＋ ｂ ）以 （ ＾ ，＾ ， １ｚ ｙ ，２ｘ ｚｙ ｙ ， ３ｚ ｚｙ ｙ ，４
一
ｈ ，Ｋ＋ ｂ ） 四条边分 别 为 ＝ —ａ＋ （ ＝ １ ２ ３ ４ ． Ｙ ｙ， ａ —ｌｉ ｉ ｉ ，， ，）
含体力各向异性体二维问题的边界单元法
含体力各向异性体二维问题的边界单元法
边界单元法是一种用于解决含有体力各向异性体二维问题的数值方法。
它是一种基于网格的有限元法，可以用来解决给定问题的偏微分方程。
边界单元法的基本思想是将问题划分为一个或多个网格，网格的节点被认为是有限的，并且每个节点都有一定的属性（比如位置、质量、速度等）。
然后，通过在网格上定义一组边界条件，可以得到问题的解。
在解决含有体力各向异性体二维问题时，边界单元法的一般步骤如下：
1. 将问题划分为一个或多个网格，每个网格都有一定的属性（比如位置、质量、速度等）。
2. 在网格上定义一组边界条件，以确定问题的解。
3. 利用有限差分法，计算出网格上每个节点的体力各向异性体的属性。
4. 对网格上的每个节点，根据体力各向异性体的属性，计算出它们的力和势。
5. 最后，根据计算出的力和势，求解问题的解。
用混合网格及各向异性多重网格法求解三维可压紊流流动
成及 方 程 的求 解 。本 文采 用 的 网格是 半 结构 化 与非 结构 网格 的混 合 网格 。 与 单 一 的 非 结 构 网 格 相 比 ，
这种 网格 更 能描 述 网格 到 物 面 的距 离 ， 同时 在 相 同 的点 数情 况 下 ， 种 网 格 的 数 目要 比单 一 的非 结 构 这
网格 的数 目要少 得 多 ， 省 了计算 的储存 空 间 ， 得 节 使 在有 限 的计 算 机资 源情 况 下 能解 决具 体 的工 程实 际 问题 。 在算法 方 面 ， 用 了 Ｊｍｓｎ的有 限体 积 法 ， 采 ａ ｏ 紊 流模 型 采 用 两 层 Ｂ ｌ ｎＬ ｍａ ａ ｗｉ．ｏ ｘ代 数 紊 流模 型 ， ｄ
３ 对外 法矢 及 曲率 进行 光 顺 。 ） 光顺 公 式 为 ：
基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 （９ ８ ｏ ９ 资 助 项 目； 稿 日期 ：０ １０ ．６ 修 回 日期 ：０ １１ ８ １９２ｏ ） 来 ２ ０ ．５１ ２ ０ ．００
第一作者 简介： 刘学强 ， ，９ ４年生 ， 士生； 男 １７ 博 研究 方向 ： 算流体力学 ． 计
维普资讯
应
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报
第 ｌ 卷 ９
＝ ・ ＋（一 ・ １ ） ∑
Ｊ：ｎ（ ） １
（） １ （） ２
Ｎ（ ） ｉ
ｋ ＝ － 卜 ） ｋ＋（ －∑ ｋ ｊ
Ｊ＝Ｎ （ ） １
其 中 ， 为 光顺 系数 ， （ ） 围绕 节 点 ｉ的 所 有 节 Ｎ ｉ为 点 的集 合 ， 物 面是 三角 片 而言 ， 指 环绕 ｉ 的 三 对 是 点
求解Poisson方程的一个各向异性网格自适应算法
求解 Ｐ ｉ ｏ ｏｓ ｎ方 程 的一 个 各 向异 性 网格 自适应 算法 ｓ
孟庆江
（德 州学 院 数 学 系 ， 山 东 德州 ２ ３ ２ ５ ０ ３）
摘要 针对 实际 问题 中由于解 的奇异性存在很 难提 高计 算精度的情况 ，提 出了一种各向异性 网格 的 自适应算法． 此算法主要 给 出了各 向异性三 角形单元的加 密方向， 并且更新 了数据 结构．数值 实例说明 了该方法能 大幅度地减
第３ ９卷 第 ３ 期
、０ －９ Ｎ ｏ３ ，ｌ３ ．
河
北
工
业２１ ０ ０年 ６月
Ｊ ｎｅ ｕ ２Ｏｌ ０
Ｊ ＵＲＮ Ａ Ｌ Ｆ Ｈ ＥＢＥＩＵ ＮＩ ＥＲ Ｓ ＴＹ Ｆ ＴＥＣＨＮ０ Ｌ０ ＧＹ Ｏ Ｏ Ｖ Ｉ Ｏ
文 章 编 号 ： １０ —３ ３（０ ０ ３０ ７ ４ ０ ７２ ７ ２ １）０ —０ ３０
Ｓｏ ｖ ｎ ｉｓ ｎ Ｅｑ ｔｏ ｌ ｉ ｇ Ｐｏ ｓ ｏ ｕａｉ ｎ
ＭＥ ＮＧ ｎ －ａｇ Ｑｉｇｊ ｎ ｉ
（ ｐ ｒ ｎ ｆ ｔｅ ｔ ｓ Ｄｅａｔ ｔ ｈｍａｉ ，Ｄｅｈ ｕＵ ｉｅｓｙ ｈｎ ｏ ｇＤｅｈ ｕ２ ３ ２ ，Ｃ ｉａ ｍｅ ｏ Ｍａ ｃ ｚ ｏ ｎｖｒｉ ，Ｓ ａｄ ｎ ｚｏ ５ ０ ３ ｈｎ ） ｔ
自适应 网格 加密方 法是有 限元方 法中为提 高计算 精度最流 行 的方 法之一 ，近年来 受到广泛 的关注 ” ．其 主 旨是说 ，如果有一个 指标 能够提 供局 部计算 的质 量信息 ，那 么 ，使这 个指标在 有的计算 网格 上分布 的 比较均
匀 的 网格 ，将会 在 同等工 作量 的前提下 ，获 得 比较 好 的效果 ．最基 本 的例 子是 ，误差 能够 告诉计算 结果 的好
各向异性网格下Stokes问题Bernardi-Raugel混合元近似的超收敛
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｓ ｐ ｒ ｌｓ ｎ ｕ ｅ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｏ ｈ ｅ ｎ ｒ ｉ ｕ ｅ ｘ ｄ ｆ ｉ ｌｍｅ ｔａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｎ ｓｒ ｃ ： ｕ ｅ ｃ ｅ ａ ｄ ｓ ｐ ｒ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｆｔ ｅ Ｂ ｒ ａ ｄ — ｏ Ｒａ ｇ ｌ ｍｉ ｅ ｉ ｔ ｅｅ ｎ ｐ ｒ ｘ ｍａ ｉ ｎ ｅ ｏ
Ｓ ｐ ｒ ０ Ｖ ｒ ｅ ｃ ｆ Ｂｅ ｎａ ｄｉＲａ ｇ ｉｍ ｉ ｅ ｉ ｔ ｕ ｅ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｏ ｒ ｒ ・ ｕ ｅ ｘ ｄ ｆｎｉｅ ｅ ｅ ｅ ｔ ａ ｐｒ ｘ ｍ ａ ｉ ｎ ｆ ｒ Ｓ ｏ ｅ ｒ ｂ ｅ ｎ ｌ ｍ ｎ ｐ ｏ ｉ ｔｏ ｏ ｔ ｋ ｓ ｐ ｏ ｌ ｍ ｏ
ａ ｉｏ ｒ ｐ ｃ ｍ ｅ ｈ ｓ ｎ ｓ ｔ ｏ ｉ ｓ ｅ
Ｚ Ｕ ｈｅ ｇ ｈ Ｈ Ｓ ｎｚｉ
（ ｃｏｌ ｆ ｉ ｃ ， ｅ ｉ ｉ ｔｎ ｎｖｒ ｔ， ｅｉｇ１０ ４ ， ｈｎ ） Ｓｈ ｏ ｏ ｅ ｅ Ｂ ｉｎ Ｊ ｏｏｇＵ ｉ ｓｙ Ｂ ｉｎ ０ ０ ４ Ｃ ｉ Ｓ ｎ ｃ ｊｇ ａ ｅｉ ｊ ａ
１ 有 限元 近 似 与 插值 误 差 估 计
考 虑如 下 Ｓｏ ｅ 问题 ｔｋ ｓ
ｆ ｌ ＋ Ｐ ＝ ｆ， 一△ ｌ ｉ ｎ
＿ ｉｕ ＝ ０ ｉ 《ｖ ｄ ， ｎ
（） １
ｌ ：０ ｎｎ Ｕ ． ｏａ
其 中 Ｕ＝（ ， ［ 为速 度 ； ［ “ ） Ｐ是 压 力 ． ｆ＝（ ［ 厂 ，
敛． Ｈ 在 范数下， 速度函数 Ｕ的近似解经插值后处理后 ， 与通常有限元误差估计相比， 其收敛于 精确 解 的速度提 高 了一 阶 ．
关键 词 ：ｔｋ ｓ问题 ； Ｓｏ ｅ 混合 元 ； 收敛 ； 处 理 ； 向异性 超 后 各
自适应有限元方法凝固问题模拟的网格各向异性研究
由于 有 限元 和有 限差 分方 法 微 分方 程 的离 散 、
如界面能 、界面动力学具有不 同程度 的各 向异性 。 理论 和实验研究均表明 ， 向异性对 晶体 生长形态 各 和生长行为有着决定性 的影响 ３ 通过数值方法模 －。 ］ 拟凝 固组织演化是凝 固学研究 的热 点之一 ，其 中 液一 固界面追踪是数值求解 的难点。近年来 出现 的 相场模 型通过引入序参量场 ， 把凝固模型从尖锐界 面模 型转化为数学上等价的相场模型 ， 从而避免 了 数值求解 中追踪界 面的困难 ， 在凝 固组织模拟中得 到 了广 泛 应用 ［。
ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅＴ ｅ ｌｔ ｃ ｎ ｓ ｔｏ ｙ ｉ ｃ ｅ ｓ ｓ ｗｉ ｐ ｔ ｌｓｅ ｕ ｎ ｅ ｅ ｄ ｎ ｆｃ ｓａ ｉｅＡｔｗｅ ｋ ａ ｉｏｒ ｐ ｔ ｅ ｃ ｎｒｂ ｔ ｎ ｏ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ． ａｔ ｅ ａ ｉ ｒ ｐ ｎ ｒ ａ ｅ ｔ ｓ ａｉ ｔ ｐ ｂ ｔｉ ｄ ｐ ｎ ｅ ｔｏ ｒ ｔ ｌｓｚ ． ａ ｎ ｓ ｔｏ ｙ， ｏ ｔ ｕ ｉ ｆ ｈ ｉ ｏ ｈ ａ ｙ ｈ ｉ ｏ ｇ ｉ ｎ ｓ ｔｏ ｙ ｍｕ ｔｂ ｎ ｌ ｄ ｄ． ｈ ｒ ａ ａｇ ｈ ｎ ００ ｔ ｏ ｌ ｅ ｏ ｔ ｄ ｒｄ ａ ｉ ｒ ｐ ｓ ｅ ｉｃ ｕ ｅ ｗ ｅ ｅ ｓｌｒ ｅ ｔ ａ ．３ ｉ ｃ ｕ ｄ ｂ ｍｉ ｅ ． ｏ ｔ
１ 相 场模 型及 求解
这里 以纯物质凝 固为研究对象 。 相场模型为ｒ： ５ ］ （） ＝ ［ （） ］ Ｖ． Ｖ ＋
度场的偏微分方程组成 ． 通常通过有限差分或者 自 适应有限元方法进行数值求解 。 数值求解过程 中首 先 要 把 求解 区域 划分 为 多 个单 元 组 成 的 网格 。 在 这 计算 中往往 引入额外的各 向异性 ， 一般称之为网格
各向异性介质数值模拟的算法研究
各向异性介质数值模拟的算法研究随着科技的不断发展，数值模拟在各个领域的应用越来越广泛。
各向异性介质数值模拟作为其中的重要分支之一，具有广泛的应用前景。
本文将对各向异性介质数值模拟的算法进行深入研究，以期提出更加高效、准确的模拟方法。
一、介绍各向异性介质是指其性质在各个方向上不尽相同的介质。
例如，在地质勘探领域，岩石的渗透率在不同方向上会有所差异。
这种差异性给数值模拟带来了更大的难度。
因此，研究各向异性介质数值模拟的算法显得尤为重要。
二、现有算法综述目前已有多种各向异性介质数值模拟的算法被提出并得到了广泛应用。
其中较为常见的算法包括有限差分法（Finite Difference Method，FDM）、有限体积法（Finite Volume Method，FVM）、有限元法（Finite Element Method，FEM）等。
这些算法各具特点，在满足不同条件下的应用具有一定优势。
1. 有限差分法有限差分法是将连续的方程通过差分近似的方法离散化，然后利用离散方程进行求解的一种常见数值模拟方法。
在各向异性介质数值模拟中，有限差分法可以通过适当的差分格式来处理不同方向上的差异性，从而得到较为准确的结果。
2. 有限体积法有限体积法是将连续介质分割成小的控制体积，然后在控制体积上进行积分，通过对守恒定律的离散化来进行求解的数值方法。
由于有限体积法在空间上的离散化较为自由，因此能够较好地适应各向异性介质的模拟需求。
3. 有限元法有限元法是将区域分割成小的单元，然后在每个单元上进行逼近，通过拟合的方式来对原方程进行求解的数值方法。
有限元法适用于较为复杂的几何形状，能够较好地处理各向异性介质的模拟问题。
三、改进算法研究尽管目前已有多种算法可以用于各向异性介质的数值模拟，但仍然存在一些问题和挑战。
接下来，本文将探讨一些改进算法的研究方向，以期能够提高模拟的准确性和效率。
1. 多网格方法多网格方法是一种多尺度的数值求解方法，通过在不同尺度上进行迭代求解，能够有效地提高计算效率。
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各向异性网格
在流场中，梯度变化剧烈的地方，如边界层和激波区域，流场呈现各向异性，在求解各向异性流场时，各向异性网格在这些区域中应该有很好的适应性。
目前关于三角形网格的生成，主要采用Delaunay方法，或其修正方法（Gridgen/pointwise），其网格生成关键是距离测量，要求三角形的外接圆不包含其他节点在内，由于节点所在空间各方向的伸展度均与一致，故生成的单元也最大程度地满足了与方向无关的要求，单元在形状上夜更接近正三角形。
各向异性网格是指网格单元沿某一方向的伸展度较大，而沿另一方向的伸展度较小，单元的形状扁平。
在主流区域由于流场的各向同性，应用各向同性网格是一个很好的选择，因此在常见的商用软件中，非结构网格一般都是各向同性的，因为他们并没有捕捉边界层区域，特别是第一层厚度，即y+值，因此各向同性网格在CFD计算中的对一些问题是不适用的，如在下面一些情况不宜采用各向同性网格：
1、边界层区域，如果在边界层区域采用各向同性网格，那么网格数量将会使巨大的，是目前软件和硬件技术水平所部能承受的。
2、分块网格。
在分块网格中，需要保持穿越网格边界时网格尺寸的近似连续，以便降低认为因素对CFD计算结果的影响。
如图1所示，交界面网格尺寸不连续，这是不好的网格。
3、在形状上，如果表面元素自身是各向异性的。
那么各向异性网格在既可以捕捉关键的几何特征又可以保持网格数量在一个合理的范围。
4、
所以在上述三个问题区域中，采用各向异性网格是一个理想的选择，而采用各向异性网格时，不宜用aspect ratio参数来评价网格质量，因为不管是各向异性结构还是非结构网格，其aspect ratio都是很大的。
在Gridgen/Pointwise中各向异性三角形/四面体网格主要是通过表面变形和顶点变形的方法实现的，如果生成的网格质量没有满足指定值，那么通过最速下降法对网格进行优化，直到满足质量要求，否则会放弃。
Pointwise公司把这项技术称为T-Rex（Anisotropic Tetrahedral Extrusion），其是一项可以在复杂几何形状边界区域快速生成高质量的边界层网格和空间网格，并且可以对网格畸变参数：Equi-Volume，Equi-Angle，Centroid和Max Angle进行控制。
在Gridgen/Pointwise中网格质量一般是检查Max. Included Angle or/and Skewness Centroid。