二元关系的性质及判定2

二元关系是离散数学中的一个重要的基本概念， 定义在某一集合 上 的 二 元 关 系 有 自 反 性 、反 自 反 性 、对 称 性 、反 对 称 性 和 传 递 性 等 性 质。
一 、二 元 关 系 的 性 质 定义 １ 设 Ｒ 是集合 Ａ 上的二元关系， （ １） 若对所有的 ａ∈Ａ，有＜ａ，ａ＞∈Ｒ， 则称 Ｒ 是自反的。 （ ２） 若对所有的 ａ∈Ａ，有＜ａ，ａ＞"Ｒ， 则称 Ｒ 是反自反的。 （ ３） 若 对 所 有 的 ａ， ｂ∈Ａ， 每 当＜ａ， ｂ＞∈Ｒ 时 ， 就 有＜ｂ， ａ＞∈Ｒ， 则 称 Ｒ 是对称的。 （ ４） 若 对 所 有 的 ａ， ｂ∈Ａ， 每 当＜ａ， ｂ＞∈Ａ 和＜ｂ， ａ＞∈Ａ 时 ， 就 必 有 ａ＝ｂ， 则称 Ｒ 是反对称的。 （ ５） 若 对 所 有 的 ａ， ｂ∈Ａ， 每 当 ＜ａ， ｂ＞∈Ｒ 和 ＜ｂ， ｃ＞∈Ｒ 时 ， 有 ＜ａ， ｃ＞∈Ｒ， 则称 Ｒ 是传递的。 例 １ Ａ＝｛ａ， ｂ， ｃ｝， Ａ 上的二元关系 Ｒ１＝｛＜ａ， ａ＞， ＜ｂ， ｂ＞， ＜ｃ， ｃ＞， ＜ａ， ｃ＞｝是自反的。 Ｒ２＝｛＜ａ， ｂ＞， ＜ｂ， ｃ＞， ＜ｃ， ａ＞｝是反自反的。 Ｒ３＝｛＜ａ， ａ＞， ＜ａ， ｂ＞， ＜ｃ， ｃ＞， ＜ｂ， ａ＞｝是对称的。 Ｒ４＝｛＜ａ， ｂ＞， ＜ａ， ｃ＞， ＜ｂ， ｃ＞｝是反对称的。 Ｒ５＝｛＜ａ， ａ＞， ＜ａ， ｂ＞， ＜ａ， ｃ＞， ＜ｂ， ｃ＞｝是传递的。 二 、二 元 关 系 性 质 的 判 定
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ｈｔ＝ａ０＋ａ１"ｔ－ １ ＋ａ２ｈｔ－ １＋［ｂ０＋ｂ１"ｔ－ １ ＋ｂ２ｈｔ－ １］·Ｆ（"ｔ－ １）
如果 $＜０ 非对称均值回归系数与风险补偿有关， 如果 $≥０ 非对
称均值回归系数与风险补偿无关。
模型 ４：Ｒｔ＝!＋［!１＋!２·Ｆ（"ｔ－１）＋$ ’ｈｔ ］·Ｒｔ－１＋"ｔ
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ｈｔ＝ａ０＋ａ１"ｔ－ １ ＋ａ２ｈｔ－ １＋［ｂ０＋ｂ１"ｔ－ １ ＋ｂ２ｈｔ－ １］·Ｆ（"ｔ－ １）
尽管可以利用上面的定义 １ 来判定二元关系是否具有某一性质， 但这一方法应用起来是比较繁琐的。实际上， 反对称性和传递性的判 定有时较困难。
例 ２ 设集合 Ａ＝｛１， ２， ３， ４｝， （１）判定 Ａ 上的二元关系 Ｒ１＝｛＜１， １＞， ＜２， ３＞｝是否具有反对称性。 （２）判定 Ａ 上的二元关系 Ｒ２＝｛＜１， ２＞， ＜３， ４＞｝是否具有传递性。 （３）判定 Ａ 上的二元关系 Ｒ３＝｛＜１， １＞， ＜１， ２＞， ＜１， ３＞， ＜２， ３＞｝是否具 有传递性。 直接根据上述定义 １， 例 ２ 是不好判断的。 二 元 关 系 的 反 对 称 性 、传 递 性 的 等 价 定 义 如 下 ： 定 义 ２ Ｒ 为 集 合 Ａ 上 的 二 元 关 系 ， 如 果 对 于 所 有 的＜ａ， ｂ＞∈Ｒ 且 ａ≠ｂ， 没有＜ｂ， ａ＞∈Ｒ， 则称 Ｒ 是 Ａ 上的反对称关系。 定 义 ３ Ｒ 为 集 合 Ａ 上 的 二 元 关 系 ， 如 果 对 于 所 有 的＜ａ， ｂ＞∈Ｒ 有＜ｂ，ｃ＞"Ｒ， 或＜ｂ，ｃ＞∈Ｒ 且＜ａ， ｃ＞∈Ｒ，则称 Ｒ 是 Ａ 上传递关系。 利用等价定义可以很快地判定例 ２。 例 ２ 解： （ １） 对 Ｒ１ 中的有序对＜１， １＞， ａ＝ｂ＝１。 对 Ｒ１ 中的有序对＜２， ３＞， ａ≠ｂ 且没有＜３， ２＞∈Ｒ１ 因此 Ｒ１ 是具有反对称性的。 （ ２） 对 Ｒ２ 中的有序对＜１， ２＞， 没有＜２， ｘ＞∈Ｒ２（&ｘ∈Ａ） 对 Ｒ２ 中的有序对＜３， ４＞， 没有＜４， ｘ＞∈Ｒ２（&ｘ∈Ａ） 因此 Ｒ２ 是具有传递性的。 （ ３） 对 Ｒ３ 中的有序对＜１， １＞， 有＜１， ２＞∈Ｒ３ 且＜１， ２＞∈Ｒ３ 对 Ｒ３ 中的有序对＜１， １＞， 有＜１， ３＞∈Ｒ３ 且＜１， ３＞∈Ｒ３ 对 Ｒ３ 中的有序对＜１， ２＞， 有＜２， ３＞∈Ｒ３ 且＜１， ３＞∈Ｒ３ 对 Ｒ３ 中的有序对＜１， ３＞， 没有＜３， ｘ＞∈Ｒ３（&ｘ∈Ａ） 对 Ｒ３ 中的有序对＜２， ３＞， 没有＜３， ｘ＞∈Ｒ３（&ｘ∈Ａ）
永远持续下去。在一个趋势内， 股票价格呈持续上升或下降， 我们称之
为均值回避（ Ｍｅａｎ Ａｖｅｒｓｉｏｎ） 。当出现相反趋势时就呈均值回归（ Ｍｅａｎ Ｒｅｖｅｒｓｉｏｎ） 。到目前为止， 均值回归理论仍不能解决的或者说不能预测 的是回归的时间间隔， 即回归的周期呈“随机漫步”。不同的股票市场， 回归的周期会不一样， 就是对同一个股票市场来说， 每次回归的周期 也 不 一 样 。如 果 能 够 发 现 均 值 回 归 的 时 间 周 期 或 者 回 归 时 间 周 期 的 分 布范围， 股票收益的可预测性就会很强。否则， 仅仅是证明某一股票市 场是否存在均值回归仍然是没有意义的。
如 果 !２＝２ 收 益 率 序 列 的 非 对 称 均 值 回 归 系 数 与 风 险 补 偿 有 关 ；
如果 !２＞０， 不管 $ 的符号， 非对称系数与风险补偿无关。
二 、评 述
证券投资理论发展到今天， 仅仅揭示一个“随机漫步”肯定是不够
的 。能 够 在 一 定 程 度 上 或 一 定 范 围 内 对 股 票 收 益 率 进 行 预 测 才 是 证 券
投 资 理 论 研 究 的 直 接 目 的 。均 值 回 归 理 论 就 是 股 票 收 益 可 预 测 理 论 的
一个突破性进展， 尤其对于长线投资者具有重要指导意义。对均值回
归理论， 我们做以评述：
１．均值回归从理论上讲应具有必然性。因为有一点是肯定的， 股
票价格不能总是上涨或下跌， 一种趋势不管其持续的时间多长都不能
因此，Ｒ３ 是具有传递性的。 下面的定理也是判定二元关系具有某一性质的简捷有效的方法： 定理 １ 设 Ｒ’Ａ２， ＩＡ’Ａ２， 则 （ １） Ｒ 是自反的当且仅当 ＩＡ’Ｒ； （ ２） Ｒ 是反自反的当且仅当 Ｒ∩ＩＡ＝! （ ３） Ｒ 是对称的当且仅当 Ｒ＝Ｒ－１； （ ４） Ｒ 是反对称的当且仅当 Ｒ∩Ｒ－１’ＩＡ； （ ５） Ｒ 是传递的当且仅当 ＲｏＲ’Ｒ。 利用关系矩阵与关系图同样可以建立某一关系 Ｒ 是否具有某种 性质的判定准则。 定理 ２ 设 Ｒ 为 Ａ＝｛ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ｝上的关系， ＧＲ 为 Ｒ 的关系图， 关系矩 阵 ＭＲ＝（ａｉｊ）ｍ×ｎ， 则有 （ １） 下列命题是等价的 ①Ｒ 是自反的 ②ＭＲ 的对角线上的元素全为 １ ③ＧＲ 中每个结点都有自圈。 （ ２） 下列命题是等价的 ①Ｒ 是反自反的。 ②ＭＲ 的对角线上的元素全为 ０ ③ＧＲ 中每个结点都无自圈。 （３）下 列 命 题 是 等 价 的 ①Ｒ 是对称的 ②ＭＲ 是对称矩阵 ③ＧＲ 中任意两个结点间若存在有向边，那么必有双向的有向边。 （４）下 列 命 题 是 等 价 的 ①Ｒ 是反对称的 ②在 ＭＲ 中，有 ａｉ·ｊ ａｊｉ＝０，其中 １≤ｉ，ｊ≤ｎ 且 ｉ≠ｊ ③ＧＲ 中任意两个结点间都无双向边。 （５）下 列 命 题 是 等 价 的 ①Ｒ 是传递的 ②ＭＲ２≤ＭＲ ③对 ＧＲ 中任意两个结点间 ｘｉ 和 ｘｊ （ｘｉ 与 ｘｊ 可以是同一个结点），若 从 ｘｉ 到 ｘｊ 有有向通路，则必有一条从 ｘｉ 到 ｘｊ 的有向边。 三 、值 得 注 意 的 几 个 问 题 １．自 反 和 反 自 反 关 系 不 是 一 对 矛 盾 概 念 一个关系不是自反关系， 不一定就是反自反关系， 反之亦然。 如 Ａ＝｛ａ，ｂ，ｃ｝上 的 二 元 关 系 Ｒ＝｛＜ａ，ａ＞，＜ａ，ｂ＞｝，Ｒ 不 是 自 反 的，因 为＜ ｂ，ｂ＞，＜ｃ，ｃ＞都不属于 Ｒ； Ｒ 也不是反自反的，因为＜ａ，ａ＞∈Ｒ。 利用文氏图可以清楚地表现非空集合上的自反关系与反自反关 系间的联系。
关键词： 离散数学； 二元关系； 性质； 判定 Ｐｒ ｏｐｅｒ ｔｉｅｓ ａｎｄ ｊｕｄｇｍｅｎｔ ｏｆ ｂｉｎａｒ ｙ ｒ ｅｌａｔｉｏｎ
Ａｎ Ｓｈｕｎ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｇｕｉ Ｚｈｏｕ Ｐｒ ｏｖｉｎｃｅ Ｗｕ Ｑｉｎｇｃｈｅｎｇ ５６１００ Ａｂｓｔｒ ａｃｔ： Ｂｉｎａｒｙ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｉｎ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｉｓ ａ ｖｅｒｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｂａｓｉｃ ｃｏｎｃｅｐｔ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｈｅ ｆｉｖｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｄｕａｌ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｈｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｙ ａｎｄ ｔｒａｎｓｉｔｉｖｉｔｙ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｊｕｄｇｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｏ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｄｕａｌ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃｏｎｆｕｓａｂｌｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅ ａｌｓｏ ｇｉｖｅｎ． Ｋｅｙ Ｗｏｒ ｄｓ：ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；ｂｉｎａｒｙ ｒｅｌａｔｉｏｎ；ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ；ｊｕｄｇｍｅｎｔ
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科技信息
○高校讲台○
ＳＣＩＥＮＣＥ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００７ 年 第 ９ 期
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模型 ２
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Ｒｔ＝!＋［!１＋!２·Ｆ （"ｔ－１）］·Ｒｔ－１＋#·$ｈｔ ＋"ｔ；ｈｔ＝ａ０＋ａ１"ｔ－ １ ＋ａ２ｈｔ－１＋［ｂ０＋ｂ１"ｔ－ １ ＋
ｂ２ｈｔ－ １］·Ｆ（"ｔ－ １）
ＡＮＳＴ－ ＧＡＲＣＨ－ Ｍ 模 型 用 于 检 验 非 对 称 均 值 回 归 特 征 是 否 可 以
由时变理性预期假设解释以及风险补偿是否具有非对称性。如果 !２＞０
并 #≠０， 则说明风险补偿具有时变的非对称性， 时变理 性 预 期 假 设 不
成立。
模型 ３：Ｒｔ＝!＋［!１＋$ $ｈｔ ］·Ｒｔ－１＋"ｔ