解直角三角形(三角函数)

A B

O C D

1500m 45°

60°

解直角三角形（三角函数） 例1.如图1，海上有一灯塔P ，在它周围6海里内有暗礁． 一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A 点 处测得灯塔P 在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后， 到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45°方向上，如果海轮不改变 方向继续前进有没有触礁的危险?

解：过P 作PC ⊥AB 于C 点，根据题意，得

AB ＝18×2060＝6，∠PAB ＝90°－60°＝30°， ∠PBC ＝90°－45°＝45°，∠PCB ＝90°， ∴PC ＝BC ． 在Rt △PAC 中，

tan30°＝6PC PC

AB BC PC

=++， 即336PC

PC =+，解得PC ＝333+． ∵333+＞6，∴海轮不改变方向继续前进无触礁危险．

例2.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度． 已知在离地面1500m 高度C 处的飞机上，测量人员测得

正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB 的长(3≈1.73)． 解：∵OA 35003

3

150030tan 1500=⨯=⨯=

， OB=OC=1500，

∴AB=635865150035001500=-≈-(m).

答：隧道AB 的长约为635m.

例3.如图是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运.根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图2中∠ACB =20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB =1.5m,木板超出车厢部分AD =0.5m,请求出木板CD 的长度

（参考数据：sin20°≈0.3420,

cos20°≈0.9397,精确到0.1m ）.

由题意可知：AB ⊥BC

∴在Rt △ABC 中, sin ∠ACB = AB AC

∴AC = AB sin ∠ACB = 1.5sin20° = 1.5

0.3420

≈4.39m

∴CD = AC +AD = 4.39+0.5 = 4.89 ≈ 4.9m 答：木板的长度约为4.9m .

例4.九（1）班的数学课外小组，对公园人工湖中的湖心亭A 处到笔直的南岸的距离进行测量．他们采取了以下方案：如图7，站在湖心亭的A 处测得南岸的一尊石雕C 在其东南方向，再向正北方向前进10米到达B 处，又测得石雕C 在其南偏东30°方向．你认为此方案

A B P

北 东

图1 A B P

60︒ 45︒ 北

东

C A B C D

图1 图2

N

M B

A

D C

F

E D C

B

A

45°

37°

65°

37°

北

北

A

C B

D

B

A

D C

北 东 西

南 能够测得该公园的湖心亭A 处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米（结果保留到小数点后一位）？

解：此方案能够测得该公园的湖心亭A 处到南岸的距离． 过点A 作南岸所在直线的垂线，垂足是点D ，AD 的长即为所求． 在Rt ADC △中，∵9045ADC DAC ∠=∠=°，°，∴DC AD = 在Rt BDC △中，∵9030BDC DBC ∠=∠=°

，°，∴3BD CD = 由题意得：103AB BD AD AD AD ==-=-，解得13.7AD =

答：该公园的湖心亭A 处到南岸的距离约是13.7米． 例5.如图，一巡逻艇航行至海面B 处时，得知其正北方向上C 处一渔船发生故障．已知港口A 处在B 处的北偏西37方向上，距B 处20海里；C 处在A 处的北偏东65方向上． 求,B C 之间的距离（结果精确到0.1海里）．

参考数据：sin370.60cos370.80tan370.75≈≈≈，，，

sin 650.91cos650.42tan 65 2.14.≈≈≈，， 解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ． 在Rt ABD △中，20AB =，37B ∠=°，

∴sin 3720sin 3712AD AB ==·°°≈． ·················3分

cos3720cos3716BD AB ==·°°≈． 在Rt ADC △中，65ACD ∠=°，

∴12

5.61tan 65 2.14

AD CD =

≈≈° 5.611621.6121.6BC BD CD ∴=++=≈≈（海里） 答：B C ，之间的距离约为21.6海里．

例6.如图所示，A 、B 两地之间有一条河，原来从A 地到B 地需要经过桥DC ，沿折线

A →D →C →

B 到达，现在新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B 地．已知B

C =12km ，∠A =45°，∠B =37°．桥DC 和AB 平行，则现在从A 地到达B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km ．参考数据： 1.412≈，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） 解：过C 、

D 分别作CN ⊥AB,DM ⊥AB 垂足分别为N ，M

在Rt △BCN 中，sin37°=BC

CN , ∴CN=12×0.60=7.20㎞

cos37°=

BC

BN

, ∴BN=12×0.80=9.60㎞(2分) 在Rt △ADM 中，∵ ∠A=45°∴CN=DM=AM=7.20㎞ Cos45°=

AD

AM

∴AD=AM 2=1.41×7.20=10.15㎞ ∴(AD+DC+BC)-AB=(AD+DC+BC)-(AM+MN+MN)

=(AD+BC)-(AM+BN)=( 10.15+12)-(7.20+9.60)=5.35≈5.4㎞ 答：从A 地到达B 地可比原来少走5.4㎞路程