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最新人教版28.1锐角三角函数提高练习题含答案(1)

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人教版九年级数学下册《28.1 锐角三角函数》提升练习题-带有答案

人教版九年级数学下册《28.1 锐角三角函数》提升练习题-带有答案

人教版九年级数学下册《28.1 锐角三角函数》提升练习题-带有答案学校:班级:姓名:考号:一、选择题1．已知α是锐角sinα=cos30°，则α的值为（）A．30°B．60°C．45°D．无法确定2．已知√32＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80°B．30°＜A＜80°C．10°＜A＜60°D．10°＜A＜30°3．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=1，AB=2则下列结论正确的是（）A．sin A=√32B．tan A=12C．cos B=√32D．tan B=√34．在Rt△ABC中∠C=90∘，∠B=35∘，AB=则BC的长为（）A．7sin35∘B．7cos35∘C．7tan35∘D．7cos35∘5．如图，在ΔABC中AB=AC，AD⊥BC于点D．若BC=24，cosB=1213则AD的长为（）A．12 B．10 C．6 D．56．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠ABC＝（）A．√26B．√2626C．√2613D．√13137．如图，在△ABC中，∠BAC=90°， AB=20， AC=15，△ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则DEAF的值为（）A ．35B ．34C ．12D ．23 8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF ＝（ ）A ．34B ．43C ．35D ．45 二、填空题 9．如果cosA =√32，那么锐角A 的度数为 °. 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sinA ＝ ，则斜边上的高等于 ．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，CD ⊥AB ，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是 .12．如图所示，在四边形 ABCD 中 ∠B =90°，AB =2，CD =8，AC ⊥CD 若 sin∠ACB =13 ，则 cos∠ADC = ．13．如图，在半径为6的⊙O 中，点A 是劣弧BC ⌢的中点，点D 是优弧BC ⌢上一点∠tanD =√33，则BC 的长为 .三、解答题14．计算： .15．先化简，再求代数式m2−2m+1m3−m ÷m−1m的值，其中m=tan60°−2sin30°16．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．17．在直角梯形ABCD中AB∥CD，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=2CD对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．（1）求证：△FOE≌△DOC；（2）求sin∠OEF的值．参考答案1．B2．D3．D4．B5．D6．B7．A8．D9．3010．482511．3412．4513．6√314．解：原式15．解：m=tan60°−2sin30°=√3−2×12=√3−1m2−2m+1 m3−m ÷m−1m=(m−1)2m(m+1)(m−1)×mm−1=1m+1将m=√3−1代入上式，得：1 m+1=√3−1+1=√3316．解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x ∴EC= √(3x)2+(4x)2 =5xEM= √x2+(2x)2 = √5 xCM= √(2x)2+(4x)2 =2 √5 x∴EM2+CM2=CE2∴△CEM是直角三角形∴sin ∠ECM= EM CE = √55 17．（1）证明：∵E ，F 为线段OA ，OB 的中点 ∴AB ∥EF 且AB =2EF∵AB =2CD∴EF =CD EF//CD∴∠OCD=∠OEF ，且∠DOC=∠FOE在△FOE 和△DOC 中：{∠DOC =∠FOE∠OCD =∠OEF CD =EF∴△FOE ≌△DOC(AAS)；（2）解：过D 点作DH ⊥AB 于H∵∠DAB=60°∴AH=√33DH ，设DH=√3x ，则AH=x ∵AB ∥CD ，∠DHB=∠ABC=90°∴四边形DCBH 为矩形∴BC=DH=√3x ，CD=BH又AB=2CD∴BH=AH=x在Rt △ABC 中，由勾股定理可知：AC =√AB 2+BC 2=√(2x)2+(√3x)2=√7x ∵AB ∥EF 得到∠OEF=∠OAB∴sin∠OEF =sin∠OAB =BC AC =√3x√7x =√217．。

28.1锐角三角函数(1)

28.1锐角三角函数(1)

A 45.
A
（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆 锥的底面半径OB的 3 倍，求 a ．
O

B
AO 3OB 解 tan 3, OB OB
60.
当A，B为锐角 时，若A≠B，则 sinA≠sinB, cosA≠cosB, tanA≠tanB.
B
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，
BC=12,BD= 8
3,求∠A的度数及AD的长.
A
D B
C
小结 :
我们学习了30°, 45°, 60°这 几类特殊角的三角函数值．
作业
课本P82 第3题 《同步练习》P51-52（四）（五）
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28.1锐角三角函数（4）
引例 升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼。 当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42°（如 图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出 A 旗杆AB的高度吗？
锐角A的正弦、余弦、 正切都叫做∠A的锐角三 角函数.
c A b
a C
对于锐角A的每一 个确定的值，sinA有 唯一确定的值与它对 应，所以sinA是A的函 数。
同样地， cosA， tanA也是A的函数。
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 3 ，求cosA和tanB的值． BC=6， sin A 5
B
BC sin A AB BC 3k, AB 5k AC AB 2 BC 2 4k ,
A
C
AC 4 AC 4 cos A , tan B . AB 5 BC 3
请同学们拿出 自己的学习工具— 1 —一副三角尺，思 考并回答下列问题：

人教版初中数学28锐角三角函数练习题-答案

人教版初中数学28锐角三角函数练习题-答案

人教版初中数学28锐角三角函数练习题【答案】一、客观题1. C2. B3. C4. B5. B6. A7. B8. B9. A 10. C11. C 12. A 13. D 14. D 15. C16. A 17. C 18. A 19. B 20. C21. B 22. A 23. A 24. D 25. D26. B 27. A 28. B 29. D 30. B31. D 32. B 33. B 34. B 35. A36. A 37. A 38. C 39. A 40. C41. A 42. C 43. C 44. C 45. A46. B 47. B 48. B 49. C 50. C51. A 52. A 53. A 54. C 55. B56. A 57. D 58. A 59. A 60. D61. D 62. C 63. D 64. B 65. B66. C 67. A 68. B 69. A 70. B71. A 72. B 73. A 74. B 75. A76. B 77. A 78. A 79. C 80. D81. C 82. D 83. A 84. B 85. B86. C 87. D 88. D 89. B 90. C91. B 92. B 93. D 94. B 95. B96. B 97. C 98. B 99. B 100. D101. C 102. D二、主观题103.104. (-2，0)或(4，0)105.106.107.108.109.110.111.112. 60113.114. ±2115.116.117. 5;118. 60°≤∠A＜90°119.120.121.122. 1123. -4124. 30125. 45126. 60;127. 105128. 75129. 8130.131. ( )132. 6133. 5134.135. 24136.137.138.139. 6;8; ;5x;4x; ; ; ;36°52′12″;53°7′48″140.141.142. 5143. 75°144. 10米145. 82.0米．146. 3.7(米)147. bsinα148. 6149. 1150. 30° 3151. 20152. (10+3 )153.154. cm155. 5.5156. 12157. 75°158. 0.433;91.2159. 2( )160. 6161. 15162. 8.7163. 250164. 解：过A作AD⊥BC于点D．∵S △ABC= BC•AD=33，∴×11×AD=33，∴AD=6．又∵AB=10，∴BD= = =8．∴CD=11-8=3．在Rt△ADC中，∴= =2．165. 解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∠A=∠ACD=45°，∴∠ADC=∠BDC=90°．∵AD=CD=1，∴AC=AB= ，．在直角△BCD中，．166. 解：∵AE⊥BC，∴∠AEF+∠1=90°；∵EF⊥AB，∴∠1+∠B=90°；∴∠B=∠AEF；(1分)∴∵在Rt△ABE中，∠AEB=90°∴；(2分)设BE=4k，AB=5k，∵BC=AB，∴EC=BC-BE=BA-BE=k；∵EC=1，∴k=1；(3分)∴BE=4，AB=5；∴AE=3；(4分)在Rt△AEF中，∠AFE=90°，∵，(5分)∴．(6分)167. 证明：过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，sinB= ，∴AD=ABsinB，在Rt△ADC中，sinC= ，∴AD=ACsinC，∴ABsinB=ACsinC，而AB=c，AC=b，∴csinB=bsinC，∴= ．168. 解：(1)原式=2×-1+3=3．(2)去分母得：2-x+3(x-3)=-2，化简得2x=5，解得x= ．经检验，x= 是原方程的根．∴原方程的根是x= ．169. 解：原式= ×+ ×-3=1+ -3=- ．170. 解：原式=1-3+2- +3×=- +=0．171. 解：原式= -1-2×+1+= -1- +1+= ．172. 解：原式= ×=xy-3．∵(x- ) 2+|y-cos30°|=0，∴原式= = ．173. 解：原式= = ．174. 解：∵，∴tanB= ，sinA= ，∵∠A、∠B均为锐角，∴∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-60°=60°，∴△ABC是等边三角形．175. 解：原式= (4分)= (7分)= = (10分)176. 解：原式=-(3.14-π)+3.14÷1-2×+ +(-1)=π-3.14+3.14- + -1=π- + +1-1=π．177. 解：原式=4-3 +1-5+4×=- ．178. 解：原式=1-2 -2+6×，=1-2 -2+2 ，=1-2，=-1，179. 解：原式=3 -3×+1+9(4分)=2 +10．(5分)故答案为：2 +10．180. 解：，= ，= ．181. 解：原式=9-2×+1+ -1=9．182. 解：原式=( - )• = • =a+1(3分)把a=sin60°= 代入(1分)原式= = (1分)183. 解：原式=2- -1+2×+ =2．184. 解：原式=1-2 ×+9=10-3=7．185. 解：原式=2-2+1+2 ×=1+2=3．186. 解：原式= + ×= +=2．187. 解：原式可化为：x 2- x+ =0，∴，∴x 1=x 2= ，∴∠A=∠B=45°．188. 解：2sin45°+sin60°-cos30°+tan 260°．= ，= ．故答案为：+3．189. 解：原式=4×-( ) 2-( ) 2+1-=2 - - +1-= ．190. 解：在Rt△BCD中，sinB= ，∴BC= = =12，在Rt△ABC中，cosB= ，∴AB= = =8 ．191. 解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ABD中，∵AB=8，∠ABD=30°，∴AD= AB=4，BD= AD=4 ．在Rt△ADC中，∵∠CAD=45°，∠ADC=90°，∴DC=AD=4，∴BC=BD+DC=4 +4．192. 解：在Rt△ABC中，∵∠B=30°，∴AC= AB= ×4 =2 ．∵AD平分∠BAC，∴在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴AD= = =4．193. (1)证明：∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∠ADC=90°，在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tanB= ，cos∠DAC= ，又∵tanB=cos∠DAC，∴= ，∴AC=BD．(2)解：在Rt△ADC中，，故可设AD=12k，AC=13k，∴CD= =5k，∵BC=BD+CD，又AC=BD，∴BC=13k+5k=18k由已知BC=12，∴18k=12，∴k= ，∴AD=12k=12×=8．194. 解：∵CD⊥AB于D，∠A=30°，sinB= ，AC= ，∴，∴CD= ，∵AC 2=CD 2+AD 2，= +AD 2，∴AD=3，∵sinB= = = ，∴BC= ，∵BC 2=CD 2+DB 2，解得：BD=2，∴AB之长为：BD+AD=2+3=5．195. 解：(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB= ，AD=1，∴AB= =3，∴BD= =2 ，∴BC=BD+DC=2 +1；(2)∵AE是BC边上的中线，∴CE= BC= + ，∴DE=CE-CD= - ，∴tan∠DAE= = - ．196. 解：(1)∵△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∵c=8 ，sin60°= = = ，∴a=12，∵cos60°= = = ，∴b=4 ；(2)同理得：∠B=30°，b=9 ，c=6 ．197. 解∵△ABC中，∠C=90°∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=30°，∴在Rt△ADC中，AD= =2．198. 解：作AF⊥BC于F．在Rt△ABF中，∠ABF＝∠α＝60°，．（5分）在Rt△AEF中，∵∠β＝45°，∴AF＝EF，（7分）于是．即AC的长度为．（10分）199. 解：（1）过点P作PC⊥MN于点C，在Rt△APC中，∠PAC＝32°，PA＝30．，∴PC＝PA·sin∠PAC≈15.9．答：船P到海岸线MN的距离为15.9海里．（2）在Rt△BPC中，∠PBC＝55°，PC≈15.9，，．船A的时间：，船B的时间：．答：船B先到．200. 解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B＝60°．在R t△BAC中，cosB＝，t anB＝，∴BC＝，AC＝AB·t anB＝2 t an60°＝∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝2+4+＝．201. 解：如图：过C作CD⊥AB于D，CD为最近的简易公路．设CD= x，依题意得：在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠A=30°．∵=tan30°，∴AD=同理：BD= ．∵AD－BD=6，∴－=6，解得：x= ，x≈5.20(千米)．5.20×16 000=83200(元)．答：这条最近的简易公路长为5.20千米，修建简易公路的最低费用为83200元．202. 解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，根据题意，∠CAE＝45°，∠DAE＝30°．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴四边形ABDE为矩形．∴DE＝AB＝123．在R t△ADE中，t an∠DAE＝，∴AE＝．在R t△ACE中，由∠CAE＝45°，得CE＝AE＝．∴CD＝CE+DE＝．答：乙楼CD的高度约为335.8 m．203. 解：如图，作CD⊥AB交AB的延长线于点D，则∠BCD＝45°，∠ACD＝65°在R t△ACD和R t△BCD中，设AC＝x，则AD＝x sin65°，BD＝CD＝x cos65°．∴100+ x cos65°＝x sin65°．∴x＝(米)．∴湖心岛上的迎宾槐C处与凉亭A处之间距离约为207米．204. 解：如图，过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形．∴AF＝BE，EF＝AB＝2.设DE＝x，在Rt△CDE中，.在Rt△ABC中，∵，AB=2，∴.在Rt△AFD中，DF＝DE＝EF＝x－2，∴∵AF＝BE＝BC+ CE，∴.解得x＝6．答：树DE的高度为6米．205. 解：设CD= x．在Rt△ACD中，tan37°= ，则．∴AD= x．在Rt△BCD中，tan48°= ，则= ，∴BD= x．∵AD+BD=AB，∴x+ x=80．解得：x≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．206. 解：如图所示延长AB交DE于C．设CD的长为x米．由图可知，在Rt△DBC中，∠DBC＝45°.∠DCB＝90°，则∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝x米．在Rt△ACD中，∠A＝30°，DC＝x，∴即，∴.∴AC－BC＝AB，AB＝20(米)∴，解得.∴.答：这棵古松的高是28.82米．207. 解：（1）如图，作AD上BC于点D，Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4×= ．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD= ≈5.6．即新传送带AC的长度约为5.6米．（2）结论：货物MNQP应挪走．在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4×=2 ，在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=4 ×=2 ，∴CB=CD－BD=2 －2 =2( －)≈2.1．∵PC=PB－CB≈4－2.1=1.9＜2，∴货物MNQP应挪走．208. 解：（1）过点E作ED⊥BC，垂足为D．由题意知，四边形EFCD是矩形，∴ED＝FC＝12，DC＝EF＝1.6．在Rt△BED中，∠BED＝45°，∴BD＝ED＝12．∴BC＝BD+ DC＝12+1.6＝13.6．答：建筑物BC的高度为13.6 m．（2）在Rt△AED中，∠AED＝52°，∴AD＝ED·tan∠AED＝12×tan52°，∴AB＝AD－BD＝12×tan52°－12≈12×1.28－12＝15.36－12＝3.36≈3.4．答：旗杆AB的高度约为3.4m．209. 解：（1）30．（2）由题意得∠PBH＝60o，∠APB＝45o．∵∠ABC＝30o，∴∠ABP＝90o．在Rt△PHB中，，在Rt△PBA中，．答：A，B两点间的距离约34.6米．210. 解：过C作CD⊥AB于D点，由题意可知AB=50×20=1000m，∠CAB=30°，∠CBA=45°，AD= ，∵AD+BD= + =1000，解得CD= 366 m．211. 解：在Rt△ABC中，∵∠B=30°．AC= AB= ×4 =2 ．∵AD平分∠BAC，∴在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴AD= = =4212. 解：过点P作PC⊥AB，C是垂足，则∠APC=30°，∠BPC=45°，AC=PC·tan30°，BC=PC·tan45°，∵AC+BC=AB，∴PC·tan30°+PC·tan45°=100，∴( )PC=100，∴PC=50( )≈50×(3-1.732)≈63.4＞50，答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区. 213. 考查学生利用三角函数解决实际问题的能力，通过作垂线构造直角三角形是解决问题的关键.214. 解：在Rt△ACE中，∠ACE＝30°CE＝BD＝15∴tan∠ACE＝∴AE＝CE·tan∠ACE＝15·tan30°＝5∴AB＝AE＋BE＝5 ＋1.5＝8.6＋1.5＝10.1215. 解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H.∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH EG，故四边形EGHD是矩形．∴ED＝GH.在Rt△ADH中，AH＝DH·tan∠ADH＝10×tan 45°＝10(米)，在Rt△FGE中，i＝1∶＝，∴FG＝＝(米)．∴AF＝FG+GH－AH＝+3－10＝(米)．（2）设防洪堤长为l，×l＝(3+ －7)×10×500＝－10 000(立方米)．加宽部分主体的体积V＝S梯形AFED答：加固后坝底增加的宽度为( )米，需土石( －10 000)立方米．216. 在Rt△ABD中，AB＝3 m，∠ADB＝45°，所以可利用解直角三角形的知识求出AD；类似地，可以求出AC.解：在Rt△ABD中，AB＝3 m，∠ADB＝45°，所以AD＝＝3(m)．在Rt△ACD中，AD＝3 m，∠ADC＝60°.所以AC＝ADtan∠ADC＝3×tan60°＝3×＝(m)．所以路况显示牌BC的高度为( －3) m.217. （1）如题图，在Rt△ABC中，＝sin 30°，∴BC＝＝10(米)．（2）收绳8秒后，绳子缩短了4米，只有6米，这时船离岸的距离为(米)．9．题型：解答题；其它备注：主观题；分值：6；$$在△ABC中，已知AB＝1，AC＝，∠ABC＝45°，求BC的长．218. 解：在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝，∠ADC＝60°，因为sin∠ADC＝，即，所以AD＝2.由勾股定理得DC＝＝1，BD＝2AD＝4，BC＝BD+DC＝5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝5，由勾股定理得AB＝＝，所以Rt△ABC的周长为AB+BC+AC＝+5+ .219. 解：存在的一般关系有：（1）sin 2A+cos 2A＝1，（2）ta n A＝.（1）证明：∵sin A＝，cos A＝，a2+ b2＝c 2，∴sin 2A+cos 2A＝＝1.（2）证明：∵sin A＝，cos A＝，∴ta n A＝＝.220. 解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D．则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240米．在Rt△ACD中，tan∠CAD= ，∴AD＝.在Rt△ABD中，tan∠BAD＝，∴BD＝AD·tan 30°＝80 ×＝80，∴BC＝CD－BD＝240－80＝160(米)．答：这栋大楼的高为160米．221. 解:分别过B、C两点作BE⊥AD于E,CF⊥AD于F,则四边形BCFE为矩形,∴BE=CF,BC=EF.(1)在Rt△BAE中,i=1∶3,tanα= ≈0.333 3,∴α≈18°26′.(2)在Rt△ABE中,i=1∶3,BE=23,∴AE=3BE=3×23=69(米).在Rt△CDF中,i=1∶2.5,CF=BE=23,∴DF=2.5×23=57.5(米).∴AD=AE+EF+FD=AE+BC+FD=69+6+57.5=132.5(米),AB= ≈72.7(米).答:坡角α为18°26′,坝底AD为132.5米,斜坡AB约为72.7米.222. 解:如图1-2所示，过点A作AD⊥BD于点D,易知:AC=BC=24,∠DAC=30°.图12∴AD=24·cos30°=24×≈20.78＞20.答:货轮继续向西航行，没有触礁危险.223. 解：∵BD=AB，∴∠A=∠ADB=30°×=15°，∠BDC=60°.∴∠ADC=75°.设DC=1，则BD=AB=2，BC= ，∴tan75°=.224. 解:过A作BC的垂线,垂足为D.在Rt△ADB中,∠B=60°,∴∠BAD=30°.∴BD=AD·tan30°= AD.在Rt△ADC中,∠C=45°,∴CD=AD.又∵BC=200,∴BD+CD= AD+AD=200.∴AD= ≈126.8(米).答:这段河宽约为126.8米.225. 解:如图,过点A作AE⊥CD,在Rt△ABD中,∠ADB=β,AB=24,∴BD= .在Rt△AEC中,∠CAE=α,BD= ,∴CE=8.∴CD=CE+AB=32(米).226. 解：设AB=x米，∴AD=xcos60°= ，在直角三角形EAC中，∠EAC=90°,∠C=45°，∴AE=AC，即x+30= +40，∴x= （米）.227. 解：过C作CD⊥AB，垂足为D，可求得CD=136.5 m.∵CD=136.5 m＞120 m，∴船继续前进没有浅滩阻碍的危险. 228. 解:过C作CD⊥AB,垂足为D.设气球离地面的高度是x m,在Rt△ACD中,∠CAD=45°,∴AD=CD=x.在Rt△CBD中,∠CBD=60°,∴cos60°= .∴BD= .∵AB=AD-BD,∴20= .∴x= .答:气球离地面的高度是( ) m.229. 解：如图，过点C作CD⊥AB于D，则∠BCD＝45°，∠ACD＝60°.设CD＝x m，则BD＝x m，AD＝CDtan 60°＝x(m)．∵AB＝50×20＝1 000(m)，∴x+ x＝1 000.∴x＝≈366.因此，建筑物C到公路的距离约为366 m.230. 解：∵l∥BC，∴∠ACB＝∠α＝8°.在Rt△ABC中，∵tan α＝，∴BC＝＝42(cm)．根据题意，得h2+42 2＝( h+6) 2，∴h＝144(cm)．答：铅锤P处的水深约为144 cm.231. 解：作CE⊥AB，垂足为E，根据题意，得CE=3 m，∠BCE=30°，∠ACE=60°.在Rt△CBE中，tan30°= ，∴BE=CE·tan30°=3×（m）.在Rt△CAE中，tan60°= ，∴AE=CE·tan60°=3×（m）.∴AB=AE+BE=≈4×1.73=6.92（m）＜8 m.因此可判断该保护物不在危险之内.232. 答：该船所在B处距离灯塔有浬.233. 解：在Rt△AED中，有AE=DE·cot60°=20×；在Rt△BFC中，有；∴BF=20×1.2=24;又EF=DC，∴AB= +6+24=30+11.53≈41.5（米）.答：坝底宽约为41.5米.234. 解：过点C作AB的垂线，交点为D，设BD=x.在Rt△BCD中，∵∠CBD=45°，∴BD=CD=x.在Rt△ACD中,∵tanA= ,∠A=30°,∴( )x=1 000.∴x=500( )≈1 366(m).答：飞机再向前飞行1 366 m与地面控制点距离最近.235. 解:如图,作AD⊥BC,垂足为点D.在Rt△ADC中,AD=AC·sinC=8.在Rt△ADB中,AB= .236. 解：根据题意可知：∠BAD＝45°，∠BCD＝30°，AC＝20 m．在Rt△ABD中，由∠BAD＝∠BDA＝45°，得AB＝BD．在Rt△BDC中，由tan∠BCD＝，得BC＝BD．又BC－AB＝AC，∴BD－BD＝20，∴BD＝≈27.3.∴古塔BD的高度约为27.3 m.237. 解：（1）在Rt△ACD中，∵cos∠CAD＝，∠CAD为锐角，∴∠CAD＝30°，∠BAD＝∠CAD＝30°，即∠CAB＝60°.∴∠B＝90°－∠CAB＝30°.（2）在Rt△ABC中，∵sin B＝，∴AB＝＝16.又cos B＝，∴BC＝AB·cos B＝16×.238. 解：第一次观察到的影子长为5×cot45°=5(米)；第二次观察到的影子长为5×cot30°=5 (米)．两次观察到的影子长的差=5 -5(米)．答：第二次观察到的影子比第一次长5 -5米．239. 解：如图，过点A作AD⊥BD于点D，∵∠EBA=60°，∠FCA=30°，∴∠ABC=∠BAC=30°．∴AC=BC=24，∠DAC=30°．∴AD=AC•cos30°=12 ≈20.78＞20．答：货轮继续向西航行，没有触礁危险．240. 解：作CD⊥AB于D，由题意知：∠CAB=30°∠CBA=60°∠ACB=90°∴∠DCB=30°∴在Rt△ABC中，BC= AB=30在Rt△DBC中，CD=BCcos30°= =答：这条公路不经过该区域．241. 解：如图，作CD⊥AB于点D．在Rt△CDA中，AC=30m，∠CAD=180°-∠CAB=180°-120°=60°．∴CD=AC•sin∠C AD=30•sin60°=15 m．AD=AC•cos∠CAD=30•cos60°=15m．在Rt△CDB中，∵BC=70，BD 2=BC 2-CD 2，∴BD= =65m．∴AB=BD-AD=65-15=50m．答：A，B两个凉亭之间的距离为50m．242. 解：在Rt△ACD中，∠ACD=45°，AD=50，∴CD=AD•cot45°=50；在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=50，∴BD=AD•cot30°=50 ；∴BC=BD-CD= -50≈36.6(m)；答：河宽为36.6米．243. 解：延长过点A的水平线交CD于点E则有AE⊥CD，四边形ABDE是矩形，AE=BD=36∵∠CAE=45°∴△AEC是等腰直角三角形∴CE=AE=36在Rt△AED中，tan∠EAD=∴ED=36×tan30°=∴CD=CE+ED=36+12答：楼CD的高是(36+12 )米．244. 解：由题意得∠CAO=60°，∠CBO=45°，∵OA=1500×tan30°=1500×=500 ，OB=OC=1500，∴AB=1500-500 ≈634(m)．答：隧道AB的长约为634m．245. 解：过点A作AE∥BD交DC的延长线于点E．则∠AEC=∠BDC=90度．∵∠EAC=45°，AE=BD=20，∴EC=20．∵tan∠ADB=tan∠EAD= ，∴AB=20•tan60°=20 ，CD=ED-EC=AB-EC=20 -20≈14.6(米)．答：树高约为14.6米．246. 解：过点P作PC⊥AB，垂足为C． (1分)由题意，得∠PAB=30°，∠PBC=60°．∵∠PBC是△APB的一个外角，∴∠APB=∠PBC-∠PAB=30°． (3分)∴∠PAB=∠APB，(4分)故AB=PB=400． (6分)在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，PB=400，∴PC=PB•sin60°=400× = 米． (10分)247. 解：如图，设光线FE影响到B楼的E处．作EG⊥FM于G，由题知：四边形GMNE是矩形，∴EG=MN=30米，∠FEG=30°，在Rt△EGF中，FG=EG×tan30°=MN×tan30°=30×=10 =17.32(米)．则MG=FM-GF=20-17.32=2.68(米)，因为DN=2，CD=1.8，所以ED=2.68-2=0.68(米)，即A楼影子影响到B楼一楼采光，挡住该户窗户0.68米．248. 解：设OC=x海里，依题意得，BC=OC=x，AC= ．(3分)∴AC-BC=10，即( )x=10，∴x= =5( +1)，答：船与小岛的距离是5( +1)海里．(8分)249. 解：过B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E．在Rt△BDE中，tan∠BDE= ．∴BE=DE•tan∠BDE．在Rt△ABE中，tan∠BAE= ．∴BE=AE•tan∠BAE．∴DE•tan∠BDE=AE•tan∠BAE．∴DE•tan60°=(DE+82)•tan30°．∴DE=(DE+82) ，即3DE=DE+82．∴DE=41．∴AC=BE=41 (米)．∴BC=AE=41+82=123(米)．250. 解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD= ，∴tan30°= ，∴= ，∴AD=3 m，在Rt△BCD中，∵tan∠BCD= ，∴tan45°= ，∴BD=9m，∴AB=AD+BD=3 +9(m)．答：旗杆的高度是(3 +9)m．251. 解：∵在Rt△ADB中，∠BDA=45°，AB=3米，∴DA=3米，在Rt△ADC中，∠CDA=60°，∴tan60°= ，∴CA=3 ．∴BC=CA-BA=(3 -3)米．答：路况显示牌BC是(3 -3)米．252. 解：过点P作PC⊥AB于C点，根据题意，得AB=18×=6(海里)，∠PAB=90°-60°=30°，∠PBC=90°-45°=45°，∠PCB=90°，∴PC=BC在Rt△PAC中tan30°= =即，解得PC=( +3)海里，∵+3＞6，∴海轮不改变方向继续前进无触礁危险．253. 解：过点M作直线AB的垂线MC，垂足为C，设CM=x海里，在Rt△AMC中，AC= x；在Rt△BMC中，BC= x由于AC-BC=AB得：x- x=14，解得：x=7 ，BC= x=7在Rt△BMC中，BM=2BC=14．答：灯塔B与渔船M的距离是14海里．254. 解：在Rt△DBC中，DB=3，∴BC=BD÷cos30°=2 ；在Rt△ABC中，BC=2 ，∠CAB=30°，∴AB=BC÷sin30°=4 ．∵8＞4 ，∴距离B点8米远的保护物不在危险区内．255. 解：作AB⊥CD交CD的延长线于点B，在Rt△ABC中，∵∠ACB=∠CAE=30°，∠ADB=∠EAD=45°，∴AC=2AB，DB=AB．设AB=x，则BD=x，AC=2x，CB=50+x，∵tan∠ACB=tan30°，∴AB=CB•tan∠ACB=CB•tan30°．∴x=(50+x)• ．解得：x=25(1+ )，∴AC=50(1+ )(米)．答：缆绳AC的长为50(1+ )米．256. 解：在直角△BCD中，sin∠CBD= ，∴CD=BC•sin∠CBD=30×sin60°=15 ≈25.95．∴CE=CD+AB=25.95+1.5=27.45≈27.5(米)．答：此时风筝离地面的高度是27.5米．257. 解：过点A作BC的垂线，垂足为D点． (1分)由题意知：∠CAD=45°，∠BAD=60°，AD=60．在Rt△ACD中，∠CAD=45°，AD⊥BC，∴CD=AD=60． (3分)在Rt△ABD中，∵，(4分)∴BD=AD•tan∠BAD=60 ． (5分)∴BC=CD+BD=60+60 (6分)≈163.9(m)． (7分)答：这栋高楼约有163.9m． (8分)(本题其它解法参照此标准给分)258. 解：∵∠BFC=30°，∠BEC=60°，∠BCF=90°，∴∠EBF=∠EBC=30°．∴BE=EF=20米．在Rt△BCE中，BC=BE•sin60°=20× ≈17.3(米)．答：宣传条幅BC的长是17.3米．259. 解：(1)正确画出示意图；(2)①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；②在测点A与小山之间的B处安置测倾器(A、B与N在同一条直线上)，测得此时山顶M的仰角∠MDE=β；③量出测倾器的高度AC=BD=h，以及测点A、B之间的距离AB=m．根据上述测量数据，即可求出小山的高度MN．260. 解：由题意知，DE=CB=10米．在Rt△ADE中，tan∠ADE= ，∵DE=10，∠ADE=40°，∴AE=DEtan∠ADE=10tan40°≈10×0.84=8.4，∴AB=AE+EB=AE+DC=8.4+1.5=9.9．答：旗杆AB的高为9.9米．261. 解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC=30°，∠BPC=45°，AC=PC•tan30°，BC=PC•tan45°．∵AC+BC=AB，∴PC•tan30°+PC•tan45°=100km，∴PC=100，∴PC=50(3- )≈50×(3-1.732)≈63.4km＞50km．答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．262. 解：由矩形BCEF得到CE=BF，BC=EF，(2分)得到∠CAB=55°，(2分)得到BC=ACtan55°，(2分)BC=17.9米．(1分)答：两楼间距至少17.9米．263. 解：过点B作BD⊥AC于D，根据题意可得：EC⊥AC，FA⊥AC，∠ECB=60°，∠FAB=45°，∴∠BCD=30°，∠BAD=45°，在Rt△ABD中，AB=20(海里)，∴BD=AB•sin45°=20× =10 (海里)，在Rt△BCD中，∠BCD=30°，∴BC=2×10 =20 ≈28(海里)，∴护渔舰需小时可以到达该商船所在的位置C处，∴×60=28(分钟)，答：护渔舰约需28分钟就可到达该渔船所在的位置C处．264. 解：作CD⊥AB于D，依题意，AB=1000，∠DAC=30°，∠CBD=45°，设CD=x，则BD=x，Rt△ACD中，tan30°= = = ，整理得出：3x=1000 + x，(3- )x=1000 ，x= = =500( +1)≈1366米，即黑匣子C离海面约1366米．265. 解：∵两条水平线是平行的，∴∠B=30°，∠PAO=60°．∵PO=30，∠POA=90°，∴OB= =30 ，OA= =10 ．∴AB=OB-OA=20 ．266. 解：(1)在Rt△ABD中，AD=ABsin45°= ，(2分)∴在Rt△ACD中，AC= =2AD=8，即新传送带AC的长度约为8米．(4分)(2)结论：货物MNQP不需挪走．(5分)在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=在Rt△ACD中，CD=ACcos30°= ∴CB=CD-BD=∵PC=PB-CB=5-( )=9- ≈2.2＞2∴货物MNQP不需挪走．(8分)267. 解：(1)分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．∵在Rt△ABF中，AB=16米，∠B=60°，sin∠B= ，∴在矩形AFGD中，AF=16×=8 ，DG=8 米∴S △DCE= ×CE×DG= ×8×8 =32需要填方：150×32 =4800 (立方米)；(2)在直角三角形DGC中，DC=16 米，∴GC= =24米，∴GE=GC+CE=32米，坡度i= = = ．268. 解：(1)已知AB=6m，∠ABC=45°，∴AC=BC=AB•sin45°=6× =3 ，已知∠ADC=30°．∴AD=2AC=6 ．答：调整后楼梯AD的长为6 m；(2)CD=AD•cos30°=6 ×=3 ，∴BD=CD-BC=3 -3 ．答：BD的长为3 -3 (m)．269. 解：如图，在△ABD中，∠A=45°，∠D=90°，AD=300∴AB= =300 ，BD=AD•tan45°=300，在△BCD中，∵∠BCD=60°，∠D=90°，∴BC= ，∴=100 ．1号救生员到达B点所用的时间为=150 ≈210(秒)2号救生员到达B点所用的时间为≈191.7(秒)3号救生员到达B点所用的时间为=200(秒)∵191.7＜200＜210，∴2号救生员先到达营救地点B．270. 解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．∵AB=AC，∴CE= BC=0.5．在Rt△AEC和Rt△DFC中，∵tan78°= ，∴AE=EC×tan78°≈0.5×4.70=2.35．又∵sinα= = ，DF= •AE= ×AE≈1.007．∴李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：1.007+1.78=2.787．头顶与天花板的距离约为：2.90-2.787≈0.11．∵0.05＜0.11＜0.20，∴他安装比较方便．271. 解：根据题意得：∠A=30°，∠PBC=60°所以∠APB=60°-30°，所以∠APB=∠A，所以AB=PB在Rt△BCP中，∠C=90°，∠PBC=60°，PC=450，所以PB=所以AB=PB=300 ≈520(米)答：A、B两个村庄间的距离520米．272. 解：易知四边形ABCD为矩形．∴CD=AB=1.5米．(1分)在等腰直角三角形ADE中，AD=DE÷tan45°=14.5-1.5=13米．(2分)在直角三角形ADF中，DF=AD•×tan55°．(4分)∴13+EF=13×1.4．∴EF=5.2≈5(米)．(6分)273. 解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，∴BD=AD=50(m)．在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，∴(m)．∴BC=BD+CD= = (m)．答：这栋楼约高136.6m．274. 解：在Rt△CEB中，sin60°= ，∴CE=BC•sin60°=10× ≈8.65m，∴CD=CE+ED=8.65+1.55=10.2≈10m，答：风筝离地面的高度为10m．275. 解：根据题意，有∠AOC=30°，∠ABC=45°，∠ACB=90°，所以BC=AC，于是在Rt△AOC中，由tan30°= ，得，解得AC= ≈27.32(海里)，因为27.32＞25，所以轮船不会触礁．276. 解：解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°，在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，∠CBD=60°，∴∠BCD=30°，∴∠ACB=∠BCD．∴△CDB∽△ADC．∴=∵AB=CB=8∴BD=4，AD=12．∴=∴CD=4≈6.928＞6．∴船继续向东航行无触礁危险．277. 解：如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴四边形BCDF是矩形，∴BC=DF，CD=BF，设AB=x米，在Rt△ABE中，∠AEB=∠BAE=45°，∴BE=AB=x，在Rt△ADF中，∠ADF=30°，AF=AB-BF=x-3，∴DF= = (x-3)，∵DF=BC=BE+EC，∴(x-3)=x+15，解得x=12+9 ，答：塔AB的高度(12+9 )米．【解析】1.解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB=5；∴sinA= = ．故选C．2.解：设小正方形的边长为1，则AB=4 ，BD=4，∴cos∠B= = ．故选B．3.解：设Rt△ABC的两直角边分别为a、b，斜边为c，则sinA= ，cosB= ．∴sinA=cosB．故选C．4.解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为=2 ．∴cos∠ABC= = ．故选B．5.解：∵点P(3，4)，根据点的坐标的意义可知，∠α的对边是4，邻边为3，斜边为=5，则sinα的值为．故选B．6.解：由题意得，AO⊥BO，AO= AC=5cm，BO= BD=3cm，则tan =tan∠BAO= = ．故选A．7.解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE= ，∴sin∠AOB= = = ．故选B．8.解：如图，∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，∴cosB= = ．故选B．9.解：利用三角函数的定义可知tan∠A= ．故选A．10.解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=2，∴AB=2CD=4．∴sinB= ．故选C．11.解：过点A向BC引垂线，与BC的延长线交于点D．在Rt△ABD中，AD=2，BD=4，∴AB= =2 ，sin∠ABC= = ．故选C．12.解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，∴AB= ，sinB= ，cosB= ，tanB= ，cotB=2．故选A．13.解：∵AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆∴△AEF∽△ABC∴，即cos∠BAC=∴sin∠BAC=∴在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6 = ．故选D．14.解：由勾股定理得，AB= = =5．由同角的余角相等知，∠BCD=∠A．∴cos∠BCD=cos∠A= = ．故选D．15.解：A、错误，无法计算；B、错误，sin60°= ，2sin30°=2×=1；C、正确，符合互余两角的三角函数关系；D、错误，cos30°= ＞cos60°= ．故选C．16.解：tanA= ，∵AC=2BC，∴tanA= ．故选A．17.解：在△ABC中，∵∠C=90°，c=3b，∴cosA= = = ．故选C．18.解：∵Rt△ABC∽Rt△DEF，∴∠E=∠ABC=60°，∴cosE=cos60°= ．故选A．19.解：cot∠A= ，∴AC=BC•cotA=a•cotA，故选B．20.解：过点O作OM⊥AB于M，在直角△AOM中，OA=2．根据OC⊥AB，则AM= AB= ，所以cos∠OAM= ，则∠OAM=30°，同理可以求出∠OAC=45°，当AB，AC位于圆心的同侧时，∠BAC的度数为45-30=15°；当AB，AC位于圆心的异侧时，∠BAC的度数为45+30=75°．故选C．21.解：连接BD，由AB是直径得，∠ADB=90°．∵∠C=∠A，∠CPD=∠APB，∴△CPD∽△APB，∴CD：AB=PD：PB=cosα．故选B．22.解：利用互为余角的三角函数关系式求解，只有A不一定成立．故选A．23.解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB= = =3．∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD．∴sin∠ACD=sin∠B= = ，故选A．24.解：如图，过点A作AD⊥BC于D．在△ABD中，∵∠ADB=90°，AD=3，BD=4，∴AB=5，∴sinB= = ，故A正确，不符合题意；cosB= = ，故B正确，不符合题意；tanB= = ，故C正确，不符合题意；∵tan∠BAD= = ，∠A＜∠BAD，∴tanA＜，故D错误，符合题意．故选D．25.解：∵∠C=90°，AB=13，BC=5，∴AC= =12，∴cosA= = ，故选：D．26.解：根据题意，由三角函数的定义可得sinA= ，则sinA= ；故选B．27.解：在Rt△ABC中，设a=2m，则c=3m．根据勾股定理可得b= m．根据三角函数的定义可得：tanB= = ．故选A．28.解：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA= ，∴设BC=5x，则AC=12x，∴AB=13x，sinB= = ．故选B．29.解：在△ABC中，∠C=90°，∵tanA= ，∴设BC=x，则AC=3x．故AB= x．sinB= = = ．故选D．30.解：∵cos40°= ，∴BC=AB•cos40°=mcos40°．故选B．31.解：∵关于x的方程(b+c)x 2-2ax+c-b=0有两个相等的实根，∴(-2a) 2-4(b+c)(c-b)=0，化简，得a 2+b 2-c 2=0，即a 2+b 2=c 2．又∵sinB•cosA-cosB•sinA=0，∴tanA=tanB，故∠A=∠B，∴a=b，所以△ABC的形状为等腰直角三角形．故选D．32.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，∴c= =5，∴cosA= = ，故选B．33.解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，cosB= = ．故选B．34.解：∵点P的坐标为(3，4)，∴OP=5．∴sinα= ．故选B．35.解：设AD=x，则CD=x-3，在直角△ACD中，(x-3) 2+ =x 2，解得，x=4，∴CD=4-3=1，∴sin∠CAD= = ；故选A．36.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=1，由勾股定理可知AC= ，则cosA= = ．故选A．37.解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，b= c，∴sinB= = = ．故选A．38.解：由点A(3，0)，点B(0，-4)，∴tan∠OAB= = ．故选C．39.解：根据锐角三角函数的概念知：把Rt△ABC各边的长度都扩大2倍，那么它们的余弦值不变．故选A．40.解：∵各边的长度都扩大两倍，∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，∴锐角A的各三角函数值都不变．故选C．41.解：原式=3×= ．故选A．42.解：A、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，AD∥BE，故正确；B、由菱形的性质知，对角线互相垂直，所以有AC⊥BD，故正确；C、∵△ABC≌△CED，∴AB=BC=CE=DE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACD=180°-∠ACB-∠ECD=60°，∴△ACD也是等边三角形，有AD=AB=BC=CD，∴四边形ADCB是菱形，∴S ABCD=2S △ABC=2××AB×BC×sin60°=2 ，故错误；D、∵AD∥BE，AB=DE，∴四边形ABED是等腰梯形，故正确．故选C．43.解：因为cos30°= ，所以C正确．故选C．44.解：根据特殊角的三角函数值可知：sin60°= ．故选C．45.解：cos60°= ．故选A．46.解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠A=45°，sinA= ．故选B．47.解：sin30°= ．故选B．48.解：sin45°= ．故选B．49.解：∵关于x的方程x 2- +cosα=0有两个相等的实数根，∴△=0，即-4×1×cosα=0，∴cosα= ，∴α=60°．故选C．50.解：原式= + - = ．故选C．51.解：∵sin45°= ，cos45°= ，∴sin45°+cos45°= + = ．故选A．52.解：∵sin30°= ，cot45°=1，∴sin30°•cot45°= ×1= ．故选A．53.解：∵∠ACB=90°，BC=2，AB=4，∴∠A=30°，∴∠B=90°-30°=60°，∴tanB=tan60°= ，tanA=tan30°= ，cosB=cos60°= ，sinA=sin30°= ．故选A．54.解：∵sin60°= ，∴a-10°=60°，即a=70°．故选C．55.解：原式=5×+2×-3= ．故选B．56.解：∵α为锐角，tan(90°-α)= ，∴90°-α=60°，∴α=30°．故选A．57.解：∵tan(α+20°)=1，∴tan(α+20°)= ，∵α为锐角，∴α+20°=30°，α=10°．故选D．58.解：∵∠A为锐角，sinA= ，∴∠A=30°．故选A．59.解：∵sinA= ，∴∠A=30°；又∵tanB= ，∴∠B=60°．∴∠C=180°-30°-60°=90°．故选A．60.解：∵|sinA- |+(cosB- ) 2=0，∴sinA= ，cosB= ，∴∠A=30°，∠B=60°，则∠C=180°-30°-60°=90°．故选D．61.解：∵正弦函数在30°到90°中是单调递增的，且sin30°= ，sin90°=1，∴＜sinA＜1．故选D．62.解：如图，过A作AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC= BC=3，在Rt△ABD中，AB=4，BD=3，∴cosB= = ．故选C．63.解：在直角三角形中，根据cosB= ，求得AB= ．再根据中心对称图形的性质得到：BB′=2AB= ．故选D．64.解：如图，作底边上的高AD．∠B=30°，AB=6cm，AD为高，则AD=ABsinB=ABsin30°=3，BD=ABcosB=6×=3 ．∴BC=2BD=6 ，S △ABC= = ×3×6 =9 ．故选B．65.解：如图，过A点作AC⊥x轴于点C，∵∠AOB=30°，∴AC= OA，∵OA=6，∴AC=3，在Rt△ACO中，OC 2=AO 2-AC 2，∴OC= =3 ，∴A点坐标是：(3 ，3)，设反比例函数解析式为y= ，∵反比例函数的图象经过点A，∴k=3×3 =9 ，∴反比例函数解析式为y= ．故选B．66.解：在Rt△ABC中，cosB= ，∴BC=AB•cosB=7cos35°．故选C．67.解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，∴BD=AD，∴CD+BD=8，∵cos∠BDC= = ，∴= ，解得：CD=3，BD=5，∴BC=4．故选A．68.解：作DE⊥AB于E点．∵tan∠DBA= = ，∴BE=5DE，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE．∴BE=5AE，又∵AC=6，∴AB=6 ．∴AE+BE=5AE+AE=6 ，∴AE= ，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD= AE=2．故选B．69.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA=∴c= ．故选A．70.解：∵∠C=30°，∠BAC=105°，∴∠BAD=∠ABD=45°．在Rt△ADB中，BD=AD，在Rt△ADC中，CD=cot∠CAD= AD，∴BC=(1+ )AD=2+2 ．解得：AD=2．故选B．71.解：设CD=x，则AC= = x，∵AC 2+BC 2=AB 2，AC 2+(CD+BD) 2=AB 2，∴( x) 2+(x+2) 2=(2 ) 2，解得，x=1，∴AC= ．故选A．72.解：∵cosB= ，∴BC=ABcosB=10cos50°．故选B．73.解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠A=∠BCD．∴tanA= =tan∠BCD= ，∴CD 2=AD•BD=4，∴CD=2．故选A．74.解：作CD⊥AB于点D．由题意知，∵sinA= ，∴CD=ACsinA=ACsin30°=2 ×= ，∵cosA= ，∴AD=ACcos30°=2 ×=3．∵tanB= = ，∴BD=2．∴AB=AD+BD=2+3=5．故选B．75. 本题考查用三角函数解决实际问题的能力，难度中等．因为，解得，故选A．76. 本题考查三角函数的计算与推理，难度中等．，AB＝4，．由勾股定理可得，∵AB×斜边上的高＝AC×BC，，故选B．77. 本题直接考查了锐角三角函数的定义。

人教版九年级下册数学 第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 课后练习

人教版九年级下册数学 第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 课后练习

人教版九年级下册数学第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 课后练习一.选择题1．在ABC 中，90C ∠=︒，tan 2A =，则sin A 的值是（ ）A ．23B ．13CD 2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是高，如果AB =m ，∠A =α，那么CD 的长为（ ）A ．sin tan m αα⋅⋅B ．sin cos m αα⋅⋅C ．cos tan m αα⋅⋅D ．cos cot m αα⋅⋅ 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,3P ，点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为()090αα︒<<︒，那么tan α的值是（ ）A ．10B ．13CD ．34．如图，点O 为坐标原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），圆D 过A ，B ，O 三点，点C 为弧OBA 上的一点（不与O 、A 两点重合），连接OC ，AC ，则tanC 的值为（ ）A ．35B ．34C ．45D ．43 5．如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面直径，已知6cm BC ，圆锥的侧面积为215cm π，则cos ABC ∠的值为（ ）A ．34B ．35C ．45D ．536．在直角ABC 中，90,ABC AD DC ∠=︒=，圆O 经过A 、B 、D 三点，CB 的延长线交圆O 于点E ，过点A 作圆O 的切线，交EC 的延长线于点F ，若3CF CB =，则tan CAB ∠为（ ）A ．2B ．12C ．3D ．13 7．如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 、N 分别在边AD ，BC ，沿着MN 折叠矩形ABCD ，使点A 、B 分别落在E 、F 处，且点F 在线段CD 上（不与两端点重合），过点M 作MH ⊥BC 于点H ，连接BF ，给出下列判断：①△MHN ∽△BCF ；②折痕MN 的长度的取值范围为3＜MN ＜154；③当四边形CDMH 为正方形时，N 为BC 的中点；④若DF ＝13DC ，则折叠后重叠部分的面积为5512．其中正确的是个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．如图，正方形ABCD 中，BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD ，BG 分别交AE 、AF 于M 、N ，下列结论：①AF ⊥BG ；②43BN NF =；③ABN CGNF S S ∆=四边形；④38BM MG =，其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①③④9．如图，在正方形ABCD 中．以AD 、AB 为斜边分别向外和向内作Rt △ADN 和Rt △ABM ，且满足AN=AM ，连接MN 交AD 于点T ．若DC=4，tan ∠ABM=13，则AT 的长为（ ） A ．1 B ．4 3 C ．54 D ．3 210．在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O 重合，顶点A 、B 恰好分别落在反比例函数1(0)y x x =-<、4(0)y x x=>的图像上，则cos ABO ∠的值为（ ） A ．12 B ．23 C ．25 D ．14二、填空题11045|1(3)π︒+---＝_____．12．已知点P (6，a )在反比例函数12y x=的图象上，点Q 是x 轴正半轴上一点，则tan ∠POQ 的值为__________． 13．若三个锐角,,αβγ满足sin 48,cos 48,tan 48αβγ===，则,,αβγ由小到大的顺序为_______． 14．如图，已知AB 是半圆O 的直径，6AB =，点C ，D 在半圆上，OC AB ⊥，2BD CD =，点P 是OC 上的一个动点，则BP DP +的最小值为_______．15．已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=，1BC =，2AC =，以点C 为直角顶点的Rt DCE ∆的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若1tan 2CED ∠=，CE GE =，那么BD 的长等于______．三、解答题16．（1）计算：224sin 60tan 458cos 30︒+︒-︒（2）将221y x x =-+的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求两次平移后所得到的抛物线解析式．17．如图，已知ABC ，1sin 3B =，15C ∠=︒．（要求：尺规作图．．．．，不写作法．．．．，保留作图痕迹．．．．．．）（1）在BC 边上求作点P ，连接PA ，使15PAC ∠=︒．（2）在第（1）问图中，过点A 作BC 边的垂线，交BC 于点G ，若3AB =，求CG 的长度．18．如图，已知Rt AOB △的锐角顶点A 在反比例函数m y x=的图象上，且AOB 的面积为2，若2OB =．（1）求反比例函数的解析式；（2）一条直线过A 点且交x 轴于C 点，已知1tan 5ACB ∠=，求直线AC 的解析式．19．如图，矩形ABCD 中，已知6AB =．8BC =，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ．将ABE △沿直线AE 翻折，点B 的对应点为点B '，延长AB '交直线CD 于点M ．（1）如图1，若点B '恰好落在对角线AC 上，求BE CE的值． （2）如图2．当点E 为BC 的中点时，求DM 之长．（3）若32BE CE =，求sin DAB '∠．20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点()6,0A ，()0,8B ，动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点D 从点A 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，连结CD 交直线AB 于点E ，设点C 运动的时间为t 秒．（1）当点C 在线段BO 上时，①当5OC =时，求点D 的坐标；②问：在运动过程中，CE ED 的值是否为一个不变的值？若是，请求出的值，若不是，请说CE ED明理由？ （2）是否存在t 的值，使得BCE 与DAE △全等？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；不存在，请说明理由．（3）过点E 作AB 的垂线交x 轴于点H ，交y 轴于点G （如图），当2HG EH 时，请直接写出所有满足条件的t 的值．21．如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，动点E ，F 同时分别从点AB 出发，分别沿着射线 AD 和射线BD 的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF ，以EF 为直径作⊙O 交射线BD 于点M ，设运动时间为t ．（1）BD =________，cos ADB ∠=________（直接写出答案）．（2）当点E 在线段AD 上时，用关于t 的代数式表示DE ，DM ．（3）在整个运动过程中，①连接CM ，当t 为何值时，CDM 为等腰三角形；②圆心O 处在矩形ABCD 内（包括边界）时，求t 的取值范围直接写出答案．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1(0)2y x m m =-+>与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．抛物线24y ax bx =++（a ≠0）经过点A ，且与y 轴相交于点C ，∠OCA =∠OAB ．（1）求直线AB 的表达式；（2）如果点D 在线段AB 的延长线上，且AD =AC ．求经过点D 的抛物线24y ax bx =++的表达式；（3）如果抛物线24y ax bx =++的对称轴与线段AB 、AC 分别相交于点E 、F ，且EF =1，求此抛物线的顶点坐标．23．如图，在 RtΔABC 中，∠C=90°，BC=5cm ，tanA 512=．点 M 在边 AB 上，以 2 cm/s 的速度 由点B 出发沿BA 向点A 匀速运动；同时点N 在边AC 上，以1 cm/s 的速度由A 出发沿AC 向点C 匀速运动．当点M 到达A 点时，点M ，N 同时停止运动．连接MN ，设点M 运动的时间为t (单位：s)．（1）求AB 的长；（2）当t 为何值时，ΔAMN 的面积为△ABC 面积的326； （3）是否存在时间t ，使得以A ，M ，N 为顶点的三角形与ΔABC 相似？若存在，求出时间t 的值；若不存在，请说明理由．。

28.1锐角三角函数(1)

28.1锐角三角函数(1)
的值为_5__/1_3_.
• 5、(2013年广东省) 在Rt△ABC中
∠ABC=90°,AB=3,BC=4,则sinA=__4_/_5_.
6、(2011 浙江湖州)如图，已知在Rt△ABC中， ∠ C＝90°，BC＝1，AC=2，则tanA的值为
_____. 1/2
• 7、（2011四川乐山）如图，在4×4的正方
形网格中，tanα= ___2__.
• 8、 （2011江苏苏州）如图，在四边形 ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若
EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于__4_/3__
是（ C ）
A、 3/4 B4/3 C3/5 D4/5
• 2、（2013•攀枝花）如图，在菱形ABCD中， DE⊥AB于点E，cosA=3/5，BE=4，则
tan∠DBE的值是 2．
• 3、（2013鞍山）△ABC中，∠C=90°， AB=8，cosA=3/4，则BC的长 ．
• 4、（2013•湖州）如图，已知在Rt△ACB 中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosB
AC1
A
C
(3)如果梯子的倾斜角不变，
只改变B在梯子上的位置呢?
C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三 角 形ABC有什么关系?
B
A
C
BC
(2) AB和
B1C1
AB1,
AC AB
和
AC1 AB1
,
BC AC
和B1C1有什么关系?
AC1
(3)如果梯子的倾斜角不变，
只改变B在梯子上的位置呢?
5
cos A sin B
cosA 4 5
tan A • tan B 1

2022-2023学年人教版九年级数学下册《28-1锐角三角函数》同步练习题(附答案)

2022-2023学年人教版九年级数学下册《28-1锐角三角函数》同步练习题(附答案)

2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步练习题（附答案）一．选择题1．计算4cos230°的值（）A．3B．1C．D．2．如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，且a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则tan A等于（）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A的值为（）A．B．C．D．4．已知α为锐角，且，那么α的正切值为（）A．B．C．D．5．已知sin a＞，那么锐角a的取值范围是（）A．60°＜a＜90°B．0°＜a＜60°C．45°＜a＜90°D．0°＜a＜30°6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（）A．tan B＝0.75B．sin B＝0.6C．sin B＝0.8D．cos B＝0.8二．填空题7．已知α是锐角，，则α＝；cosα＝．8．若sin65°＝，则cos25°＝．9．如果（α、β为锐角），则α＝，β＝．10．Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，则cos A的值为．11．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a2＝bc，则sin B 的值为．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是．13．已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则sin C＝．14．直角坐标系内，点A与点B（sin60°，）关于y轴对称，如果函数的图象经过点A，那么k＝．15．若锐角x满足tan2x﹣（+1）tan x+＝0，则x＝．三．解答题16．计算：cos60°﹣sin245°+30°+cos30°﹣sin30°．17．计算：（1）﹣4cos30°+20220；（2）已知α为锐角，sin（α+15°）＝，计算﹣4cosα+tanα+（）﹣1的值．18．计算：（1）cos45°+3tan30°﹣2sin60°；（2）tan45°﹣4sin30°•cos230°．19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，（1）a＝5，c＝2a，求b、∠A．（2）tan A＝2，S△ABC＝9，求△ABC的周长．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．（1）求线段CD的长；（2）求△ADE的面积．参考答案一．选择题1．解：4cos230°＝4×（）2＝4×＝3，故选：A．2．解：tan A＝＝，故选：A．3．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A＝＝，故选：C．4．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，∵sin A＝sinα＝＝，∴设BC＝5x，AB＝13x，∴AC＝＝＝12x，∴tan A＝＝＝，即α的正切值为．故选：A．5．解：∵sin60°＝，sinα＞，一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大，∴α＞60°，∵α为锐角，∴60°＜α＜90°，故选：A．6．解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，A选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；B选项，原式＝＝＝0.8，故该选项不符合题意；C选项，原式＝＝＝0.8，故该选项符合题意；D选项，原式＝＝＝0.6，故该选项不符合题意；故选：C．二．填空题7．解：∵tanα﹣＝0，∴tanα＝，∵α是锐角，∴α＝60°，∴cos60°＝，故答案为：60°；．8．解：∵65°+25°＝90°，∴cos25°＝sin65°＝，故答案为：．9．解：∵|1﹣tanα|≥0，≥0，∴当（α、β为锐角），则tanα＝1，sinβ＝．∴α＝45°，β＝30°．故答案为：45°，30°．10．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，得AB为斜边．由tan A＝＝2，得BC＝2AC．在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理，得AB＝＝AC．cos A＝＝＝，故答案为：．11．解：∵a2＝bc，即b＝，∴sin B＝＝＝＝（）2＝sin2A，又∵sin2A+sin2B＝1，∴sin2B+sin B﹣1＝0，∴sin B＝（取正值），故答案为：．12．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，不妨设BC＝k，则AB＝3k，由勾股定理得，AC＝＝2k，所以tan B＝＝，故答案为：2．13．解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，解得：x＝4，∴CD＝4，∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°﹣30°＝60°，∴sin C＝sin60°＝．故答案为：．14．解：∵sin60°＝，∴点B（，）．根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”可知：点A为（﹣，），∵函数的图象经过点A，∴k＝×＝．15．解：∵tan2x﹣（+1）tan x+＝0，∴（tan x﹣1）（tan x﹣）＝0，∴tan x＝1或，当tan x＝1时，x＝45°；当tan x＝时，x＝60°．故x＝45°或60°．三．解答题16．解：cos60°﹣sin245°+30°+cos30°﹣sin30°＝﹣（）2+×（）2+﹣＝﹣+×+﹣＝﹣++﹣＝﹣．17．解：（1）原式＝|1﹣|﹣4×+1＝﹣1﹣2+1＝﹣；（2）∵sin60°＝，sin（α+15°）＝，∴α+15°＝60°，∴α＝45°，∴﹣4cosα+tanα+（）﹣1＝2﹣4×+1+3＝4．18．解：（1）原式＝+3×﹣2×＝+﹣＝；（2）原式＝1﹣4××（）2＝1﹣2×＝1﹣＝﹣．19．解：（1）∵a＝5，c＝2a＝10，∴b＝＝＝5，∵sin A＝＝＝，∴∠A＝30°；（2）∵tan A＝＝2，∴a＝2b，∵S△ABC＝9，∴＝9，∴＝9，解得：b＝3（负数舍去），即a＝6，由勾股定理得：c＝＝＝3，∴△ABC的周长为a+b+c＝6+3+3＝9+3．20．解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，∴DH＝DC＝x，则AD＝3﹣x．∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∵，∴，∴，即CD＝；（2），∵BD＝2DE，∴，∴．。

人教中考数学提高题专题复习锐角三角函数练习题含详细答案

人教中考数学提高题专题复习锐角三角函数练习题含详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m．【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，BE=33PE=33x米，∵AB=AE-BE=6米，则3，解得：3则BE=（33+3）米．在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=（3+3）米．∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．3．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2) 求证：∠ACF=90°；(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.图1 图2【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析（2）证明见解析（3）=2π【解析】试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：（1）BE=FH．理由如下：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF∴△ABE≌△EHF（SAS）∴BE=FH(2)∵△ABE≌△EHF∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"∴CH=FH∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°过E 作EN ⊥AC 于点NRt △ENC 中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=Rt △ENA 中，EN =又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）∴∠EAC=30° ∴AE=Rt △AFE 中，AE== EF ，∴AF=8AE 所在的圆O 半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90° =2π·4·（90°÷360°）=2π考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数4．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现：如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究：把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)记ACBC＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 3CPE 总是等边三角形 【解析】【分析】（1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有EM FPMC PB=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，ACBC=tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可． 【详解】解：（1）PC=PE 成立，理由如下：如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴EM FPMC PB=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；（2）PC=PE 成立，理由如下：如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中 ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ， ∴△DAF ≌△EAF （AAS ）， ∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中， ∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ， ∴△DAP ≌△EAP （SAS ）， ∴PD=PE ，∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ， ∴FD ∥BC ∥PM ， ∴DM FPMC PB=， ∵点P 是BF 的中点，∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ， ∴PC=PD ，又∵PD=PE ， ∴PC=PE ；（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形， ∴∠CEP=60°， ∴∠CAB=60°， ∵∠ACB=90°，∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵AC k BC ，ACBC=tan30°， ∴k=tan30°=33， ∴当k 为3时，△CPE 总是等边三角形．【点睛】考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．5．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD ，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E 为CD 边上的中点，连接AE ，将△ADE 沿AE 所在直线翻折得到△AD′E ，D′E 交AC 于F 点．若AB=6cm ．（1）AE 的长为 cm ；（2）试在线段AC 上确定一点P ，使得DP+EP 的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．【解析】试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．试题解析：解：（1）．（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．∴点E，D′关于直线AC对称．如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，∴，即DP+EP最小值为12cm．（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=．在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．设D′G长为xcm，则CG长为cm，在Rt△GD′C中，由勾股定理得，解得：（不合题意舍去）．∴点D′到BC边的距离为cm．考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．6．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：y＝13x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．①当点F1移动到点B时，求t的值；②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积．【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-43x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，t=1010÷10=10；②F点移动到F'的距离是10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，t=4，S=12×(12+454)×11=10238；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，PKF K'=13，PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PKKG'＝31539tt--+＝43，t=7，S=15×（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），∴30040k bb+=⎧⎨=⎩，∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y＝﹣43x+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝1010，∴当点F1移动到点B时，t＝101010÷＝10；②当点H运动到直线DE上时，F 点移动到F'的距离是10t ， 在Rt △F'NF 中，NF NF '=13， ∴FN ＝t ，F'N ＝3t ， ∵MH'＝FN ＝t ，EM ＝NG'＝15﹣F'N ＝15﹣3t ， 在Rt △DMH'中，43MH EM '=， ∴41533t t =-， ∴t ＝4，∴EM ＝3，MH'＝4，∴S ＝1451023(12)11248⨯+⨯=； 当点G 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'10， ∵PF ＝10 ∴PF'10t ﹣10， 在Rt △F'PK 中，13PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9， 在Rt △PKG'中，PK KG '＝31539t t --+＝43， ∴t ＝7，∴S ＝15×（15﹣7）＝120. 【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．7．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ，EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .（1）求证：DE DF ⊥；（2）求证：DH DF =：（3）过点H 作HM EF ⊥于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HN BH HN HM ===︒. 由22cos 45DF EF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。

2022--2023学年人教版九年级数学下册《28-1锐角三角函数》同步练习题(附答案)

2022--2023学年人教版九年级数学下册《28-1锐角三角函数》同步练习题(附答案)

2022--2023学年人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步练习题（附答案）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝2．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A．sin30°＜cos16°＜cos43°B．cos43°＜sin30°＜cos16°C．sin30°＜cos43°＜cos16°D．sin16°＜cos30°＜cos43°3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sin A 的是（）A．B．C．D．4．如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（）A．0＜sin A＜B．0＜cos A＜C．＜tan A＜1D．1＜cot A＜5．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的3倍，则锐角∠A的余弦值（）A．扩大为原来的3倍B．没有变化C．缩小为原来的D．不能确定6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，则sin A的值为（）A．B．C．D．7．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°8．在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，则sin A＝（）A．B．C．D．9．若tan B＝，则∠B的度数为（）A．30°B．60°C．45°D．15°10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（）A．tan B＝0.75B．sin B＝0.6C．sin B＝0.8D．cos B＝0.8 11．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ABC的值为（）A．B．C．D．二．填空题12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5，sin B＝，则AC＝．13．在△ABC中，∠C＝90°，如果tan∠A＝2，AC＝3，那么BC＝．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上异于A，B的一点，AC≠BC．（1）若D为AB中点，且CD＝2，则AB＝．（2）当CD＝AB时，∠A＝α，要使点D必为AB的中点，则α的取值范围是．15．若∠A为锐角，且cos A＝，则∠A的取值范围是．16．如图，已知两点A（2，0），B（0，4），且∠1＝∠2，则tan∠OCA＝．三．解答题17．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sin A的值．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．19．（1）如图锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．（3）比较大小（在空格处填写“＞”“＝”“＜”号），若α＝45°，则sinαcosα；若0°＜α＜45°，则sinαcosα；若45°＜α＜90°，sinαcosα．20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．21．已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．22．在△ABC中，BC＝2AB＝12，∠ABC＝α，BD是∠ABC的角平分线，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角△BEC，连接DE．（1）求证：CD＝2AD；（2）当α＝90°时，求DE的长；（3）当0°＜α＜180°时，求DE的最大值．参考答案一．选择题1．解：如图所示：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝4，∴sin A＝，故A错误；cos A＝，故B正确；tan A＝；故C错误；cos A＝，故D错误；故选：B．2．解：∵sin30°＝cos60°，又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小，∴cos16°＞cos43°＞sin30°．故选：C．3．解：在Rt△ABC中，sin A＝，在Rt△ACD中，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sin∠BCD＝sin A＝，故选：D．4．解：A．∵sin30°＝，∴0＜sin25°＜，故A符合题意；B．∵cos30°＝，∴cos25°＞，故B不符合题意；C．∵tan30°＝，∴tan25°＜，故C不符合题意；D．∵cot30°＝，∴cot25°＞，故D不符合题意；故选：A．5．解：设原来三角形的各边分别为a，b，c，则cos A＝，若把各边扩大为原来的3倍，则各边为3a，3b，3c，那么cos A＝＝，所以余弦值不变．故选：B．6．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，∴BC＝＝＝2，∴sin A＝＝＝，故选：D．7．解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°＝0，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．8．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，cos A＝，∴设AB＝12k，AC＝13k，∴BC＝＝＝5k，∴sin A＝＝＝，故选：A．10．解：∵tan B＝，∴∠B＝60°．故选：B．11．解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，A选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；B选项，原式＝＝＝0.8，故该选项不符合题意；C选项，原式＝＝＝0.8，故该选项符合题意；D选项，原式＝＝＝0.6，故该选项不符合题意；故选：C．二．填空题12．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c＝5，sin B＝，所以sin B＝＝＝，所以AC＝4，故答案为：4．13．解：在△ABC中，∠C＝90°，tan∠A＝2，AC＝3，∴BC＝AC tan∠A＝3×2＝6，故答案为：6．14．解：（1）∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴AB＝2CD＝2×2＝4；故答案为：4；（2）当以C点为圆心，CD为半径画弧与线段AB只有一个交点（点A、B除外），则点D必为AB的中点，∴CB≤CD或CA≤CD，∵CD＝AB，∴CB≤AB或CA≤AB∵sin A＝≤或sin B＝≤，即sinα≤sin30°或sin B≤sin30°，∴α≤30或∠B≤30°，∴α≤30°或α≥60°，∴α的取值范围为0°＜α≤30°或60°≤α＜90°．故答案为：0°＜α≤30°或45°或60°≤α＜90°．15．解：∵0＜＜，又cos60°＝，cos90°＝0，锐角余弦函数值随角度的增大而减小，∴当cos A＝时，60°＜∠A＜90°．故答案为：60°＜∠A＜90°．16．解：∵∠1＝∠2，∴∠BAO＝∠ACO，∵A（2，0），B（0，4），∴tan∠OCA＝tan∠BAO＝＝2．故答案为：2．三．解答题17．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sin A＝＝．答：AC的长为4，sin A的值为．18．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．19．解：（1）在图中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC 于点C3，显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，而＞＞，∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．在图中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，∵AB3＞AB2＞AB1，∴＞＞．即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC；结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．（2）由（1）可知：sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°．（3）若α＝45°，则sinα＝cosα；若0°＜α＜45°，则sinα＜cosα；若45°＜α＜90°，则sinα＞cosα．故答案为：＝，＜，＞．20．解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的解，∴a+b＝m，ab＝2m﹣2，在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2＝c2，而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，c＝5，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25，即：m2﹣2（2m﹣2）＝25解得，m1＝7，m2＝﹣3，∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．∴a+b＝m＞0，m＝﹣3不合题意，舍去．∴m＝7，当m＝7时，原方程为x2﹣7x+12＝0，解得，x1＝3，x2＝4，不妨设a＝3，则sin A＝＝，∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为21．解：∠OBA＝∠OCD，理由如下：由勾股定理，得AB＝＝＝5，CD＝＝＝15，sin∠OBA＝＝，sin∠OCD＝＝＝，∠OBA＝∠OCD．22．（1）证明：如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，∴∠ODB＝∠CBD，∵BD是角平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD，∵OD∥BC，∴＝，△AOD∽△ABC，∴＝，∴＝＝＝，∴＝，∴CD＝2AD；解：（2）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，当α＝90°时，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠OBD＝45°，∠DOB＝90°，∵△BEC为等腰直角三角形，BC＝12，∴∠EBC＝45°，BE＝6，∴∠DBE＝90°，由（1）可得AB＝6，＝＝，∴OB＝4，∴BD＝4，∴DE＝＝2；（3）如图，过点D作DO∥BC交AB于点O，DE交BC于点F，设BC中点为点G，连接EG，∴BG＝6，当α变化时，OB的长度不变，∴点O在以点B为圆心，半径为4的圆弧上，令圆弧与BC交于点F，∴BF＝4，此时，点D在以点F为圆心，半径为4的圆弧上，当点D，E，F三点共线时，DE最大，∴GF＝BG﹣BF＝2，∴EF＝＝2，∴DE的最大值＝DF+FE＝2+4．。

人教中考数学提高题专题复习锐角三角函数练习题及答案

人教中考数学提高题专题复习锐角三角函数练习题及答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∠COD＝30°，∴∠COP＝12∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝1OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22-＝26（分米），EF FK∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝22-（2）＝26，63∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP6223.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=23，AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=33，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=12EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=12PF=1，HF=3，OH=2﹣3，∴OP=()2212362+-=-.如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=33OE=33，综上所述：OP6223.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.3．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥CD，∠ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD 垂直平分 A C．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作 PE⊥AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥AC，分别交 AD， OD 于点 F， G．连接 OP，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2315688t t =-++ ，(05)t <<；（3）52t =时，PEGO S 四边形取得最大值；（4）165t =时，OE OQ ⊥. 【解析】【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题．【详解】（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，∴22108-=6（cm ），∵OD 垂直平分线段AC ，∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°，∵CD ∥AB ，∴∠BAC=∠DCO ，∵∠DOC=∠ACB ，∴△DOC ∽△BCA ， ∴AC AB BC OC CD OD ==， ∴61083CD OD==，∴CD=5（cm ），OD=4（cm ），∵PB=t ，PE ⊥AB ，易知：PE=34t ，BE=54t ， 当点E 在∠BAC 的平分线上时，∵EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，∴PE=EC ， ∴34t=8-54t ， ∴t=4． ∴当t 为4秒时，点E 在∠BAC 的平分线上．（2）如图，连接OE ，PC ．S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）=1414153154338838252524524t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣ =281516(05)33t t t -++<<． （3）存在． ∵28568(05)323S t t ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭， ∴t=52时，四边形OPEG 的面积最大，最大值为683． （4）存在．如图，连接OQ ．∵OE ⊥OQ ，∴∠EOC+∠QOC=90°，∵∠QOC+∠QOG=90°，∴∠EOC=∠QOG ，∴tan ∠EOC=tan ∠QOG ，∴EC GQ OC OG =，∴358544345ttt-=-，整理得：5t2-66t+160=0，解得165t=或10（舍弃）∴当165t=秒时，OE⊥OQ．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.4．问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.（1）实践运用：如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．（2）知识拓展：如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．【答案】解：（1）22．（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′．∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE．则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) ．在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10，∴．∴BE+EF的最小值为【解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A．作直径AC′，连接C′E，根据垂径定理得弧BD=弧DE．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°．∴∠AOE=90°．∴∠C′AE=45°．又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°．∴∠C′=∠C′AE=45°．∴C′E=A E=AC′=22．∴AP+BP的最小值是22．（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求．5．如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【解析】试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C （0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定△ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．①∵OC=2，∴C（0，2）．∵点C在抛物线C2上，∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入（I）式，得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．②在（I）式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．假设存在满足条件的a值．∵AP=BP，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，∴OP⊥BC．如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OP⊥BC，OE=a．∵点P在直线BC上，∴P（a，a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO=，∴，解得：a=．∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+m）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．∴D（﹣m，3）．AB=OB+OA=2﹣m+m=2．如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．∵tan∠ABD=，∴∠ABD=60°．又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE•tan30°=×=1，∴P1（﹣m，1）；在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．在Rt△BEP2中，P2E=BE•tan60°=•=3，∴P2（﹣m，﹣3）；易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【考点】二次函数综合题．6．如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A 在地面上的影子E 与墙角C 的距离为15米（B 、E 、C 在一条直线上），求塔AB 的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：s in32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，2 1.4142≈．【答案】塔高AB 约为32.99米.【解析】【分析】过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ，设AB ＝x ，则 AH ＝x ﹣3，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ．由题意，得 HB = CD = 3，EC = 15，HD = BC ，∠ABC =∠AHD = 90°，∠ADH = 32°．设AB = x ，则 AH = x – 3．在Rt △ABE 中，由 ∠AEB = 45°，得 tan tan451AB AEB EB ∠=︒==． ∴ EB = AB = x ．∴ HD = BC = BE + EC = x + 15．在Rt △AHD 中，由 ∠AHD = 90°，得 tan AH ADH HD ∠=． 即得 3tan3215x x -︒=+． 解得 15tan32332.991tan32x ⋅︒+=≈-︒． ∴ 塔高AB 约为32.99米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）．【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速【解析】分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°，∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH=tanPHPAH∠333，∵AC∥BD，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°，则PH=BH=50，∴3，∵60千米/时=503米/秒，∴时间t=503505033≈8.1（秒），即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。

人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步测试题及答案

人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步测试题及答案

人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步测试题及答案任务一 求锐角三角函数值子任务1 利用参数法求锐角三角函数值母题1 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3AC ,则tan B=( )A .13B .3C .√1010 D .3√1010变式练1：在直角三角形ABC 中,若2AB=AC ,则cos C 的值为( )A .12或2√35B .12或2√55 C .√32或2√55 D .√32或2√35子任务2 构造直角三角形求锐角三角函数值母题2 如图,已知钝角三角形ABC ,点D 在BC 的延长线上,连接AD ,若∠DAB=90°,∠ACB=2∠D ,AD=2,AC=32,求tan D 的值.变式练2：如图,△ABC与△BDC均为直角三角形,若∠ACB=30°,∠DBC=45°,求∠ADB的正切值.母题3如图,在△ABC中,CA=CB=4,cos C=14,则sin B的值为()A.√102B.√153C.√64D.√104变式练3：如图,在Rt△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=12BD,连接AC.若tan B=53,则tan∠CAD的值为.子任务3利用等角转换法求锐角三角函数值母题4如图,在半径为3的☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tan D=()A.2√2B.√24C.13D.2√23【关键点拨】变式练4：如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=1∠BAC,求sin∠BPC.2子任务4利用网格求锐角三角函数值母题5如图,这是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上,线段AB,PQ相交于点M,则图中∠QMB的正切值是.【关键点拨】变式练5：如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC=()A.√1313B.√66C.√2613D.√2626子任务5在折叠问题中求锐角三角函数值母题6如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,将△ABC折叠,使点A落在BC边上的点D 处,EF为折痕,若AE=3,则sin∠BFD的值为.【关键点拨】变式练6：直角三角形纸片ABC,两直角边BC=4,AC=8,现将△ABC纸片按图中方式折叠,使点A 与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是()A.12B.34C.1D.43任务二 由一个锐角的三角函数值求三角形的边长母题7 在Rt △ABC 中,∠C=90°,sin A=35,AC=8 cm,则BC 的长度为( )A .3 cmB .4 cmC .5 cmD .6 cm变式练7：已知∠A 是锐角,sin A=35,则cos A 的值为( )A .35B .45C .34D .54任务三 由一个锐角的三角函数值求三角形的面积母题8 已知△ABC 中,tan B=23,BC=6,过点A 作BC 边上的高,垂足为点D ,且满足BD ∶CD=2∶1,则△ABC 面积的所有可能值为 .变式练8：在△ABC 中,AB=3√6,AC=6,∠B=45°,则BC= .任务四 锐角三角函数的探究问题母题9 如图1,在Rt △ABC 中,以下是小亮探究asinA 与bsinB 之间关系的方法:∵sin A=a c ,sin B=b c , ∴c=a sinA ,c=bsinB ∴asinA =bsinB .根据你掌握的三角函数知识,在图2的锐角三角形ABC 中,探究asinA ，bsinB ，csinC 之间的关系,并写出探究过程.图1 图2变式练9：把(sin α)2记作sin 2α,根据图完成下列各题:图1图2(1)如图1,sin 2A 1+cos 2A 1= ,sin 2A 2+cos 2A 2= sin 2A 3+cos 2A 3= .(2)观察上述等式后猜想:在Rt △ABC 中,∠C=90°,总有sin 2A+cos 2A= . (3)如图2,在Rt △ABC 中证明(2)题中的猜想.(4)已知在△ABC 中,∠A+∠B=90°,且sin A=1213,求cos A 的值.参考答案母题1 A 提示:在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3AC∴tan B=AC BC =AC 3AC =13.故选A .变式练1 C 提示:①当AC 为直角边时∵2AB=AC∴BC=√AB 2+AC 2=√5AB∴cos C=AC BC =2AB √5AB =2√55;②当AC 为斜边时 ∵2AB=AC∴BC=√AC 2-AB 2=√3AB∴cos C=BC AC =√3AB 2AB=√32. 综上,cos C=2√55或√32. 故选C .母题2 解:∵∠ACB=∠D+∠CAD ,∠ACB=2∠D∴∠CAD=∠D∴CA=CD. ∵∠DAB=90°∴∠B+∠D=90°,∠BAC+∠CAD=90° ∴∠B=∠BAC ∴AC=CB∴BD=2AC=2×32=3. 在Rt △ABD 中,∵∠DAB=90°,AD=2∴AB=√32-22=√5∴tan D=AB AD =√52.变式练2解:如图,过点A 作DB 延长线的垂线,垂足为点E 则∠E=90°,∠ABE=45°,AE=BE.设AE=BE=x ,则AB=√2x ,BC=√6x ,BD=CD=√3x∴DE=√3x+x ,∴tan ∠ADB=AE DE =(√3+1)x =√3+1=√3-12.母题3 D 提示:如图,过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D在Rt △ACD 中,CD=CA ·cos C=1∴AD=√AC 2-CD 2=√15.在Rt △ABD 中,BD=CB-CD=3,AD=√15.∴AB=√BD 2+AD 2=2√6.∴sin B=AD AB =√104.故选D . 变式练3 15 提示:如图,延长AD ,过点C 作CE ⊥AD ,垂足为E.在Rt △BAD 中,tan B=AD AB =53. 可设AD=5x ,则AB=3x.∵∠CDE=∠BDA ,∠CED=∠BAD ∴△CDE ∽△BDA∴CE AB =DE AD =CD BD =12 ∴CE=32x ,DE=52x ∴AE=AD+DE=152x ∴在Rt △AEC 中,tan ∠CAD=CE AE =15.故答案为15.母题4 A 提示:如图,连接BC.∵AB 是直径,∴∠ACB=90°. ∵☉O 的半径为3,∴AB=6 ∴BC=√AB 2-AC 2=√62-22=4√2∴tan D=tan A=BC AC =4√22=2√2. 故选A .变式练4 解:如图,作AD ⊥BC 于点D.∵AB=AC=5,BC=8∴BD=CD=4,∠BAD=12∠BAC. ∵∠ADB=90°,∴sin ∠BAD=BD AB =45.又∵∠BPC=12∠BAC∴∠BPC=∠BAD ∴sin ∠BPC=45. 母题5 2 提示:如图,过点Q 作QC ∥BA ,连接PC∴∠QMB=∠CQP. 由题意得CQ 2=22+22=8 PC 2=42+42=32 PQ 2=22+62=40∴PC 2+CQ 2=PQ 2∴△PCQ 是直角三角形 ∴∠PCQ=90°∴tan ∠CQP=PC CQ =√22√2=2∴tan ∠QMB=tan ∠CQP=2. 故答案为2.变式练5 D 提示:如图,延长AC 到点D ,连接BE 交CD 于点O∴BE ⊥CD ,AB=√22+32=√13,OB=12BE=12√12+12=√22∴sin ∠BAC=OB AB =√22√13=√2626. 故选D .母题6 13 提示:∵在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4∴∠A=∠B.由折叠的性质得到△AEF ≌△DEF∴∠EDF=∠A ∴∠EDF=∠B∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180° ∴∠CDE=∠BFD. 又∵AE=DE=3∴CE=4-3=1.在直角△ECD 中,sin ∠CDE=CEED =13∴sin ∠BFD=13. 故答案为13.变式练6 B 提示:根据题意,BE=AE.设BE=x ,则CE=8-x. 在Rt △BCE 中,x 2=(8-x )2+42 解得x=5∴CE=8-5=3∴tan ∠CBE=CE CB =34.故选B .母题7 D 提示:∵sin A=BCAB =35∴设BC=3x ,AB=5x. 又∵AC 2+BC 2=AB 2∴82+(3x )2=(5x )2解得x=2或x=-2(舍去)∴BC=3x=6 cm . 故选D .变式练7 B 提示:∵sin 2A+cos 2A=1∴cos A=√1−(35) 2=45. 故选B .母题8 8或24 提示:如图1所示∵BC=6,BD ∶CD=2∶1∴BD=4.∵AD ⊥BC ,tan B=23∴AD BD =23∴AD=23BD=83∴S △ABC =12BC •AD=12×6×83=8. 如图2所示∵BC=6,BD ∶CD=2∶1,∴BD=12.∵AD ⊥BC ,tan B=23,∴AD BD =23,∴AD=23BD=8 ∴S △ABC =12BC •AD=12×6×8=24. 综上所述,△ABC 面积的所有可能值为8或24. 故答案为8或24.图1 图2变式练8 3√3+3或3√3-3 提示:①当△ABC 为锐角三角形时 过点A 作AD ⊥BC 于点D ,如图1.图1∵AB=3√6,∠B=45°∴AD=BD=AB ·sin 45°=3√3∴CD=√AC 2-AD 2=3,∴BC=BD+CD=3√3+3. ②当△ABC 为钝角三角形时过点A 作AD ⊥BC 交BC 延长线于点D ,如图2.图2∵AB=3√6,∠B=45°∴AD=BD=AB ·sin 45°=3√3∴CD=√AC 2-AD 2=3∴BC=BD-CD=3√3-3.综上,BC 的长为3√3+3或3√3-3.故答案为3√3+3或3√3-3.母题9 解:a sinA =b sinB =c sinC .理由如下:如图,过点A 作AD ⊥BC ,过点B 作BE ⊥AC在Rt △ABD 中,sin B=AD c ,即AD=c sin B 在Rt △ADC 中,sin C=AD b ,即AD=b sin C∴c sin B=b sin C ,即b sinB =c sinC 同理可得a sinA =c sinC则a sinA =b sinB =c sinC .变式练9 解:(1)1;1;1 提示:sin 2A 1+cos 2A 1=122+√322=14+34=1 sin 2A 2+cos 2A 2=1√22+1√22=12+12=1 sin 2A 3+cos 2A 3=352+452=925+1625=1.故答案为1;1;1.(2)1.(3)在题图2中,∵sin A=a c ,cos A=b c ,且a 2+b 2=c 2 则sin 2A+cos 2A=a c 2+b c 2=a 2c 2+b 2c 2=a 2+b 2c 2=c 2c 2=1 即sin 2A+cos 2A=1.(4)在△ABC 中,∠A+∠B=90°,∴∠C=90°. ∵sin 2A+cos 2A=1,∴12132+cos 2A=1 解得cos A=513或cos A=-513(舍去),∴cos A=513.。

年人教版28.1锐角三角函数提高练习题含答案

年人教版28.1锐角三角函数提高练习题含答案

--1.锐角三角函数一、课前预习 (５分钟训练)１.如图１所示，某斜坡A Ｂ上有一点B′,B′Ｃ′、B Ｃ是边AC 上的高，则图中相似的三角形是__＿__＿________,则B′C′∶AB′=＿_____＿___＿__＿,B′C′∶AＣ′=___＿_＿___＿____.2.在Rt△ABC 中,如果边长都扩大5倍，则锐角Ａ的正弦值、余弦值和正切值 ( )A.没有变化B.都扩大5倍C.都缩小5倍D.不能确定3．在△AＢC 中，∠C＝90°,sｉnA=３/5，则sinB 等于( )A.2/5 B.3/5 C.４/5 Ｄ．3／4 二、课中强化(10分钟训练）１．在Rt△ＡB Ｃ中，∠C=90°,已知tanB=25,则cosA 等于( )A.25B.35 C.552 D.322.如果α是锐角，且sinα=54，那么cos(90°-α)的值为( )A.54 Ｂ.43 C ．53 D ．513.在△ABC 中，∠C＝9０°，AC=2，AB ＝5，则cosB 的值为( ）A ．210 Ｂ.510 C ．515D.51534.在R ｔ△ABC 中,∠C=90°，sin Ａ=5/1３，BC=１5,则ＡC ＝__＿__＿＿_______．5.如图２，△ＡＢC 中,AB ＝AC=６，BC ＝4,求ｓi ｎB 的值．三、课后巩固(30分钟训练)1.如图3,已知菱形A BC Ｄ,对角线ＡC=10 cm ，ＢD=6 ｃm,，那么t ａn 2A 等于（ )Ａ.53 Ｂ.54 C.343 D.345２.如果si ｎ２α＋ｃos ２３0°=１,那么锐角α的度数是( ) Ａ.１5° Ｂ.30° Ｃ.4５° D.60°3.如图28-1－1-4,在坡度为１∶2．5的楼梯表面铺地毯,地毯长度至少是＿______＿___＿＿＿_＿.4.在Rt△ＡBC 中，斜边AB=22,且tanA+ｔa ｎB=22,则Rt△AＢＣ的面积是_______＿___.5.在R ｔ△ＡＢＣ中,∠C=90°,a、b 、ｃ分别是∠A、∠Ｂ、∠C 的对边,且a=３,ｃ=5,求∠A、∠B 的三角函数值.6．在Rt△AＢC 中,∠Ｃ=90°,a、ｂ、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边,且b=6,ｔanA=1,求c.7.如图２8-１-１-５,在Rt△ＡB Ｃ中,∠C＝９０°,sinA＝53,D 为AC 上一点,∠ＢDC ＝４５°,DC ＝6 cm ，求ＡB 、AD 的长．图28－１-1-５8.如图２8-１-1-6,在△AＢC中,AB=AＣ,AD⊥B C于Ｄ点，BＥ⊥AＣ于Ｅ点,AＤ=BC,BE=4.求:(1）taｎC的值;（2）ＡD的长．图28-1-1－62. 特殊角的三角函数值1.已知:Rｔ△ＡＢＣ中，∠C＝90°,cosA=35，ＡB＝15,则AC的长是（)．A．３ B.6 Ｃ．9 D.１22.下列各式中不正确的是( )．A．sin26０°＋ｃoｓ260°=1B．ｓｉn30°+cos30°=1C.sｉn35°＝cｏs５5°D．ｔaｎ45°>sin４5°3.计算2sin３０°－2cos６０°+tan４５°的结果是( ). A.２3Ｃ．2 D.１４．已知∠A为锐角，且cosA≤12，那么( ）A.0°＜∠A≤6０°B.60°≤∠A<9０°Ｃ．0°<∠Ａ≤30°Ｄ．3０°≤∠Ａ<９0°5．在△ABC中，∠A、∠Ｂ都是锐角，且sinA=12，cos3,则△ABC的形状是（）A．直角三角形Ｂ．钝角三角形C．锐角三角形 D.不能确定6．Rt△ABＣ中,∠ACB=90°，CＤ⊥AB于D,BC=3,ＡC=４,设∠ＢＣD=a,则taｎa的值为（）．A.34B．43C．35D.457．当锐角a>６0°时，coｓａ的值( ）. Ａ．小于12B.大于12C3 D.大于１８．在△ABC中，三边之比为a：b：ｃ＝3siｎA＋ｔanＡ等于( )．32313331.3..2B C D++9.已知梯形ABCＤ中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分ＡC,3，•则∠CAB等于( )A.3０°Ｂ.6０° C.45° D.以上都不对10．sin2７2°+sin２１8°的值是（)．A．1 B．0 C.12D3１１.若3ｎＡ-3)2＋│２cｏ3=０,则△AＢC( ）．A.是直角三角形B．是等边三角形C．是含有６0°的任意三角形Ｄ.是顶角为钝角的等腰三角形----12.设α、β均为锐角，且sin α-c ｏs β=0，则α+β=_＿＿___＿.13.cos 45sin 301cos 60tan 452︒-︒︒+︒的值是_______．14.已知，等腰△ABC•的腰长为43,•底为30•°,•则底边上的高为＿_＿＿__，•周长为__＿＿_＿．1５．在Rt △A ＢC 中,∠C=90°,已知t ａn Ｂ=52,则cos Ａ=＿_______．16.正方形AB ＣＤ边长为１，如果将线段BD 绕点B 旋转后，点Ｄ落在BC 的延长线上的点D ′处,那么ｔa ｎ∠BAD ′=＿＿___＿_＿．17．在Rt △ABC 中,∠C=９０°，∠C ＡB=60°,ＡＤ平分∠ＣＡB,得AB AC CD CD -的值为____＿__.18．求下列各式的值．（1）sin30°·co ｓ４５°+co ｓ60°；(2）2sin6０°-2ｃｏs30°·sin45°（3）2cos 602sin 302︒︒-； （4）sin 45cos3032cos 60︒+︒-︒-sin60°(１-s ｉn30°）.(5)ta ｎ45°·ｓin60°-4sin ３0°·cos ４５°+6·ta ｎ３0°（6)sin 45tan 30tan 60︒︒-︒+ｃo ｓ45°·ｃos30°参考答案一、课前预习 （５分钟训练)1．如图28-1－1-1所示,某斜坡A Ｂ上有一点Ｂ′,B ′C ′、ＢC 是边AC 上的高,则图中相似的三角形是___＿____＿_＿___,则Ｂ′C ′∶ＡＢ′=＿__＿____＿____＿，Ｂ′C ′∶AC ′=____＿__＿___＿__.图２8-1-１-1解析:由相似三角形的判定得△AB ′C ′∽△ＡＢC ，由性质得B ′C ′∶ＡＢ′=ＢC ∶AB ，B ′C ′∶AC ′=BC ∶AC.答案：△AB ′C ′∽△ＡB Ｃ BC ∶AB BC ∶ＡC2．在R ｔ△AB Ｃ中，如果边长都扩大５倍,则锐角Ａ的正弦值、余弦值和正切值 （ )Ａ．没有变化 B.都扩大5倍 C.都缩小5倍 D.不能确定 解析：三角函数值的大小只与角的大小有关,当角度一定时,其三角函数值不变. 答案：A3.在△ABC 中,∠C=90°,sin Ａ＝53,则ｓinB 等于( ) A ．52Ｂ．53 Ｃ.54Ｄ.43解析:si ｎA=53,设a=3k ，ｃ=5ｋ,∴b=4k. ∴s ｉnB=5454==k k c b .答案:C二、课中强化(10分钟训练)1.在Rt △A ＢC 中,∠C ＝90°,已知tanB ＝25，则cosA 等于( )--A.25 B.35 C.552 D.32 解析:tan Ｂ=25,设ｂ=5k,a ＝2k.∴c ＝３k ．∴ｃo ｓA=3535==k k c b ．答案:B２.如果α是锐角,且sin α=54,那么ｃos （90°-α)的值为( ） A.54 B ．43 C.53D.51 解析:cos(90°-α)=s ｉn α＝54．答案:A3．在△AB Ｃ中，∠C=９０°,AC=2,ＡB=5，则cosB 的值为()A.210 B.510 Ｃ.515D.5153解析:由勾股定理,得BC ＝3,∴cosB ＝51553==AB BC . 答案：C4．在Rt △ABC 中,∠Ｃ＝90°,ｓinA=135,BC=15,则A Ｃ=_＿____＿__＿___＿． 解析:∵ｓi ｎA ＝135=AB BC ,BC=15,∴AB=39.由勾股定理,得AC=３6. 答案：365.如图２８-1－1-2,△ABC 中,ＡB ＝ＡC=6,BC=４,求si ｎB 的值.图２8－1-１-２分析:因为三角函数值是在直角三角形中求得,所以构造直角三角形就比较重要，对于等腰三角形首先作底边的垂线．解:过A 作AD ⊥BC 于Ｄ, ∵A Ｂ＝A Ｃ,∴B Ｄ=2.在Rt △ADB 中,由勾股定理,知A Ｄ＝24262222=-=-BD AB ，∴s ｉnB=322=AB AD .三、课后巩固(3０分钟训练)--1.如图28－1-１-3,已知菱形A ＢＣD,对角线AC=１0 cm,B Ｄ=6 cm,,那么t ａn2A 等于( ）图2８-1-１-3A.53 Ｂ.54C ．343 D.345解析:菱形的对角线互相垂直且平分，由三角函数定义,得tan 2A ＝ｔan ∠DA Ｃ=53. 答案：Ａ2．如果sin 2α+cos 230°=１,那么锐角α的度数是( )A.15° Ｂ.3０° Ｃ.４5° D.60° 解析:由sin 2α＋cos 2α=1,∴α=30°. 答案：B３.如图28-1-1－４,在坡度为１∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是___＿_＿＿_＿_＿__＿＿＿.图２8-１－1-4解析：坡度=BCAC,所以BC ＝5,由割补法知地毯长=ＡC+BC ＝7（米）. 答案:7米4.在Rt △ＡBC 中，斜边AB=22,且t ａn Ａ＋ｔanB ＝22，则Rt △ABC 的面积是＿________＿_．解析:∵ta ｎA ＝ACBC,t ａnB=BCAC ,且AB ２＝BC ２+AC ２,由tanA+tanB=22,得AC BC +BC AC=22，即AC ·BC ＝28.∴S△ＡBC=24.答案:24５．在Rt △ＡB Ｃ中,∠C=９0°,ａ、b 、ｃ分别是∠Ａ、∠B 、∠C 的对边,且a=3,c=5,求∠A 、∠Ｂ的三角函数值．解：根据勾股定理得b=4,sin Ａ＝53,cosA ＝54，tan Ａ=43；sinB ＝54,co ｓＢ＝53，t ａnB=34. ６．在Ｒt △ＡB Ｃ中,∠C=9０°,a 、ｂ、c 分别是∠A 、∠B 、∠Ｃ的对边,且b ＝6,tan Ａ=1,求c.解：由三角函数定义知ａ=btan Ａ,所以a ＝6,根据勾股定理得c=26.７．如图２8-1－1-５,在Rt △ＡBC 中,∠C=9０°，sinA=53，Ｄ为AC 上一点,∠BDC=45°，DC=6 c ｍ,求AB 、AD 的长.图２８-1-1-5解:如题图,在Rt △BC Ｄ中，∠BD Ｃ=45°,∴ＢＣ＝DC ＝6．在Rt △ABC 中，s ｉnA=53,--∴AB BC ＝53． ∴ＡB=10．∴A Ｃ=2222610-=-BC AB ＝8.∴A Ｄ＝ＡC －ＣD=8-6=2.8.如图28-1－１-6,在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥B C 于D 点，BE ⊥AC 于Ｅ点,AD ＝B Ｃ，BE=4.求:(1)ｔan Ｃ的值;（２)AD 的长.图28-1－1-6解：(1)∵AB ＝AC,ＡD ⊥B Ｃ, ∴A Ｄ＝ＢC=2D Ｃ. ∴tanC=2．（2）∵ta ｎC=２，ＢE ⊥AC,BE ＝４,∴E Ｃ＝2． ∵BC ２＝BE 2+E Ｃ2， ∴BC=52．∴A Ｄ＝52.第2课时作业设计(答案)一、1.C 2．B 3.D 4．B ５．Ｂ 6．Ａ 7.Ａ 8.A 9.Ｂ １0．A 1１.Ａ二、１2．90° 1３.212１４3,12＋3 15.53123三、18．(1）222362(2)(3)1;(4)424+- (5)32； （6）0。

人教版九年级数学下册28.1 锐角三角函数同步练习(填空题) 含答案

人教版九年级数学下册28.1 锐角三角函数同步练习(填空题) 含答案

第28章锐角三角函数 同步学习检测（一）一、填空题：注意：填空题的答案请写在下面的横线上, （每小题3分，共96分） 1、 ；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ； 6、 ；7、 ；8、 ；9、 ；10、 ； 11、 ；12、 ；13、 ；14、 ；15、 ； 16、 ；17、 ；18、 ；19、 ；20、 、 ；21、 ； 22、 ；23、 ； 24、 ； 25、 ；26、 ；27、 ；28、 ；29、 ；30、 ；31、 ；32、 ；1．（2009年济南）如图，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则cos AOB ∠的值是 ．2．（2009年济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角60CBD =︒∠； （2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米； （3）量出测倾器的高度 1.5AB =米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为 米．（精确到0.1米，3 1.73≈） 3. （2009仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点．C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)4．（2009年安徽）长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．5.（2009年桂林市．百色市）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电 线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米．（结果保留根号）．6．（2009湖北省荆门市）计算：104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---=______． 7.（2009年宁波市）如图，在坡屋顶的设计图中，AB AC =，屋顶的宽度l 为10米，坡角α为35°，则坡屋顶高度h 为 米．（结果精确到0.1米）8．（2009桂林百色）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是 米．（结果保留根号）．9．（2009丽水市）将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合.已知AB =AC =8 cm,将△MED 绕点A (M )逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是 ▲ cm 2(结果 精确到0.1，73.13≈)10．（09湖南怀化）如图，小明从A 地沿北偏东ο30方向走1003m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时小明离A 地 m ．11．（2009年孝感）如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．12．（2009泰安）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值为 ． 13．（2009年南宁市）如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔402A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则海轮行驶 的路程AB为 _____________海里（结果保留根号）．14．（2009年衡阳市）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个破面的坡度为_________.15.2009年鄂州)小明同学在东西方向的沿江大道A 处，测得江中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B 处，测得江中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到沿江大道的距离为____________米．16．（2009年广西梧州）在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，53sin =A ， 则AB 的长是 cm ．17．(2009宁夏)10．在Rt ABC △中，903C AB BC ∠===°，，， 则cos A 的值是 ．18．（2009年包头）如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）． 19．（2009年包头）如图，已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D 、、、在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的ACB △绕点C 顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为 cm （保留根号）．20．（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．ANBM21．（2009年益阳市）如图，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到△C B A '''，使点B '与C 重合，连结B A '，则C B A ''∠tan 的值为 . 22．（2009白银市）如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B ．C ，那么线段AO = cm ．23. (2009年金华市) “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α的值等于 .24．(2009年温州)如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA=43，则AC 的长是 25．（2009年深圳市）如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC 的高度，他发现 绳子刚好比旗杆长11米，若把绳子往外拉直，绳子接触地面A 点并与地面形成30º角时，绳子末端D 距A 点还有1米，那么旗杆BC 的高度为 .26．（2009年深圳市）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，点D 是BC 上一点，AD=BD ， 若AB=8，BD=5，则CD= .27．（2009年黄石市）计算：1132|20093tan 303-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭°＝ .28．．（2009年中山）计算：19sin 30π+32-0°+()＝ .29．（2009年遂宁）计算：()3208160cot 33+--o －＝ .30．(2009年湖州)计算：()02cos602009π9--+°＝ . 31.（2009年泸州）︒+--+-30sin 29)2009()21(01＝ . 32.（2009年安徽）计算：|2-|o 2o 12sin30(3)(tan 45)-+--+＝ . 二、解答题（每小题4分，24分）1.(2009年河北)图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin∠DOE = 1213． （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？OEC D2．（2009年新疆乌鲁木齐市）九（1）班的数学课外小组，对公园人工湖中的湖心亭A 处到笔直的南岸的距离进行测量．他们采取了以下方案：如图7，站在湖心亭的A 处测得南岸的一尊石雕C 在其东南方向，再向正北方向前进10米到达B 处，又测得石雕C 在其南偏东30°方向．你认为此方案能够测得该公园的湖心亭A 处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米（结果保留到小数点后一位）？3．（2009年哈尔滨）如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B 处，在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时，求此时轮船与灯塔C 的距离．（结果保留根号）BADC北东西南4. （2009山西省太原市）如图，从热气球C 上测得两建筑物A ．B 底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的高度CD 为90米．且点A ．D ．B 在同一直线上，求建筑物A ．B 间的距离．5．（2009年中山）如图所示，A ．B 两城市相距100km ，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏ABC EF60°30°CDBA 北60°30°西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：3≈1.732，2≈1.414）6．（2009河池）如图，为测量某塔AB 的高度，在离该塔底部20米处目测其顶A ，仰角为60o ，目高1.5米，试求该塔的高度(3 1.7)≈．1.5C 60oA1.51．22 2. 16.1 3. 3.5 4. 2(32)- 5. 43 6. 327. 3.5 8. 43 9. 20.3 10. 100 11. 45(或0.8); 12. 33 13.. ()40340+ 14.1:215. 3200 16. 10 17. 53 18. π33-19..532 20. 10，22916n +（或23664n +）21. 3122. 5 23。

28.1锐角三角函数(1)(知识点总结和典型例题汇总)

28.1锐角三角函数(1)(知识点总结和典型例题汇总)

28.1锐角函数（一）知识点1：当锐角A 的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的角都有唯一的确定的值。

观察图的Rt △AB 1C 1、Rt △AB 2C 2和Rt △AB 3C 3，它们之间有什么关系？Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3所以 ＝__________=__________.可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是惟一确定的.同时： ＝__________=__________； ＝__________=__________. 所以当锐角A 的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值。

知识点2：正弦和余弦的定义：由知识点1可知，当锐角A 固定时，∠A 的对边和斜边的比值是一个固定 的值，∠A 的邻边与斜边的比值也是一个固定的值。

（1）在Rt △ABC 中,∠C=900,把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦(sine),记作sinA ( sin ∠BAC ) 即 sinA= =（2）我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cosA ， 即注意：（1）正弦、余弦都是一个比值，是没有单位的数值；（2）正弦、余弦只与角的大小有关，而与三角形的大小无关 （3）sinA ，cosA 是整体符号，不能写成sinA,cosA 。

（4）每用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如 sin ∠BAC图19.3.2 A BC 对边邻边 ┌斜边ab c 在图中 ∠A 的对边记作a ∠B 的对边记作b ∠C 的对边记作cc b A A =∠=斜边的邻边cos（5）sin 2A 表示（sinA ）2，而不能写成sinA 2（6）三角函数还可以写成sin α，cos β。

知识点3正切的定义： 由知识点1可知，当锐角A 固定时，∠A 的对边与邻边的比值是一个固定的值。

我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tanA ， 即注意：（1）正切是一个比值，是没有单位的数值；（2）正切只与角的大小有关，而与三角形的大小无关 (3)tanA 是整体符号，不能写成sin 。

28.1 锐角三角函数 同步作业(含答案)

28.1 锐角三角函数 同步作业(含答案)

练习8 锐角三角函数一、自主学习1.如图28-1所示，△ABC 中，∠C=90°，BC=a 、AC=b ，AB=c ，则s inA=_________，cosB=_________，tanB=_________.图28-12.sin30°=________，sin45°=________，sin60°=______.cos30°=_________，cos45°=_________，cos60°=_________.tan30°=_________，tan45°=________，tan60°=________.二、基础巩固3.Rt △ABC 中，∠C=90°、AB=10、AC=8，则sinA=________，cosB=_______.4.Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别是∠A 、∠B 的对边，若sinA ∶sinB=1∶2，则a ∶b=________5.Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanB=34，则sinA=________. 6.Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=10，S △ABC =3350，则∠A=________. 7.Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，两直角边之和为14，则它的斜边长为_________. 8.若α为锐角，且tanα=3，则∠cosα=__________.9.计算︒︒+︒60sin 30cos 60tan =_______________. 10.计算cos 245°+tan30°·cos30°=__________. 11.Rt △ABC 中，∠C=90°，a=15，sinB=41，则b=__________. 12.△ABC 中，∠B=45°，∠C=60°，AC=4，则AB=__________.三、能力提高13.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，若AB=a ，∠B=α，则AD 等于( )A.asin 2αB.acos 2αC.asinα·cosαD.atanα14.若cosα≤23，则锐角α的取值范围是( ) A.0°＜α≤30° B.α≥30° C.α≤60° D.30°≤α＜90°15.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，若AD=2，BD=8，则tanA=( )A.4B.2C.21 D.41 16.菱形ABCD 中，对角线AC=10，BD=6，则sin 2A =( )[来源:Z|xx|] A.53 B.54 C.34343 D.34345 17.Rt △ABC 中，∠C=90°，则sin 2A+cos 2A 的值等于( )A.1B.2sin 2AC.(sinA+cosA)2D.018.计算︒+︒︒-︒46tan 2160cos 30sin 45cos 的值是( ) A.213- B.212- C.1 D.0 19.已知sinα·cosα=81,且α为锐角，则cosα-sinα的值为( ) A.23 B.23- C.43 D.23或23- 20.已知α为锐角，且tan α=3,则ααααsin cos 2cos 2sin +-的值为( ) A.31 B.41 C.51 D.61 四、模拟链接21.如图28-2所示，△ABC 中，∠B=90°、∠A=15°，试求tan75°的值.图28-122.计算：sin30°-sin45°·cos45°+sin60°·tan30°-tan45°·cos60°23.观察：sin30°=cos60°=21，且30°+60°=90° sin45°=cos45°=22，且45°+45°=90° sin60°=cos30°=23，且60°+30°=90° 若∠α+∠β=90°，且∠α、∠β为0°—90°范围内的任意两锐角，试确定sinα与cosβ之间的大小关系并说明理由.24.△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b ，c ，且718a b c a -=+，81=--a c b c 求sinA 、tanB 的值.参考答案一、自主学习1.如图28-1所示，△ABC 中，∠C=90°，BC=a 、AC=b ，AB=c ，则s inA=_________，cosB=_________，tanB=_________.图28-1 答案：c a c a ab 2.sin30°=________，sin45°=________，sin60°=______.cos30°=_________，cos45°=_________，cos60°=_________.tan30°=_________，tan45°=________，tan60°=________. 答案：21 22 23 23 22 21 23 1 3 二、基础巩固3.Rt △ABC 中，∠C=90°、AB=10、AC=8，则sinA=________，cosB=_______. 答案：53 53 4.Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别是∠A 、∠B 的对边，若sinA ∶sinB=1∶2，则a ∶b=________ 答案：1∶25.Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanB=34，则sinA=________. 答案：53 6.Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=10，S △ABC =3350，则∠A=________. 答案：60°7.Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，两直角边之和为14，则它的斜边长为_________. 答案：314-14 8.若α为锐角，且tanα=3，则∠cosα=__________.答案：21 9.计算︒︒+︒60sin 30cos 60tan =_______________. 答案：310.计算cos 245°+tan30°·cos30°=__________.答案：111.Rt △ABC 中，∠C=90°，a=15，sinB=41，则b=__________. 答案：112.△ABC 中，∠B=45°，∠C=60°，AC=4，则AB=__________. 答案：62三、能力提高13.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，若AB=a ，∠B=α，则AD 等于( )A.asin 2αB.acos 2αC.a sinα·cosαD.atanα 答案：A14.若cosα≤23，则锐角α的取值范围是( ) A.0°＜α≤30° B.α≥30° C.α≤60° D.30°≤α＜90° 答案：D15.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，若AD=2，BD=8，则tanA=( )A.4B.2C.21 D.41 答案：B16.菱形ABCD 中，对角线AC=10，BD=6，则sin 2A =( )[来源:Z|xx|] A.53 B.54 C.34343 D.34345 答案：C17.Rt △ABC 中，∠C=90°，则sin 2A+cos 2A 的值等于( )A.1B.2sin 2AC.(sinA+cosA)2D.0 答案：A18.计算︒+︒︒-︒46tan 2160cos 30sin 45cos 的值是( ) A.213- B.212- C.1 D.0 答案：B19.已知sinα·cosα=81,且α为锐角，则cosα-sinα的值为( ) A.23 B.23- C.43 D.23或23- 答案：D20.已知α为锐角，且tan α=3,则ααααsin cos 2cos 2sin +-的值为( ) A.31 B.41 C.51 D.61 答案：C四、模拟链接21.如图28-2所示，△ABC 中，∠B=90°、∠A=15°，试求tan75°的值.图28-1答案：2+322.计算：sin30°-sin45°·cos45°+sin60°·tan30°-tan45°·cos60°答案：023.观察：sin30°=cos60°=21，且30°+60°=90° sin45°=cos45°=22，且45°+45°=90° sin60°=cos30°=23，且60°+30°=90° 若∠α+∠β=90°，且∠α、∠β为0°—90°范围内的任意两锐角，试确定sinα与cosβ之间的大小关系并说明理由.答案：sinα=cosβ提示：以α、β为两内角构造直角三角形)24.△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b ，c ，且718a b c a -=+，81=--a c b c 求sinA 、tanB 的值.答案：sinA=135，tanB=512. 。

秋九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数练习 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级下册数学

秋九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数练习 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级下册数学

第二十八章 锐角三角函数28．1 锐角三角函数第1课时 正弦01基础题知识点1 已知直角三角形的边长求锐角的正弦值如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac.1．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝12，BC ＝5，则sin A 的值为(D )A.512B.125 C.1213D.5132．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则sin A ＝(A )A.35B.45C.53D.343．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么sin α的值是(A )A.35B.45C.34D.43第3题图 第4题图4. 如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC 的每一个顶点都在网格的交点处，则sin A ＝35.5．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sin B 的值是34.6．根据图中数据，求sin C 和sin B 的值．解：在Rt△ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝34， ∴sinC ＝AB BC ＝53434，sinB ＝AC BC ＝33434.7．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，a∶c＝2∶3，求sin A 和sin B 的值．解：在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，a∶c ＝2∶3，设a ＝2k ，c ＝3k.(k>0)∴b ＝c 2－a 2＝5k. ∴sinA ＝a c ＝2k 3k ＝23，sinB ＝b c ＝5k 3k ＝53.知识点2 已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长8．(来宾中考)在△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝6，sin A ＝23，则AB 边的长是9.9．(某某中考)在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，sin ∠ABC＝0.8，则BC ＝6.易错点 对正弦的概念理解不清10．把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值(A )A ．不变B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定02中档题11．已知Rt △ABC∽Rt △A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，且AB ＝2A′B′，则sin A 与sin A′的关系为(B )A ．sin A ＝2sin A ′ B．sin A ＝sin A ′ C ．2sin A ＝sin A ′ D．不确定12．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为(C )A.12B.22C.32D ．1 13．在△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝3a ，则sin A 的值是(A )A.13B.233 C ．3 D ．以上都不对14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点 D.若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为(A )A.53 B.255 C.52 D.23第14题图 第16题图15．已知锐角A 的正弦sin A 是一元二次方程2x 2－7x ＋3＝0的根，则sin A ＝12.16．(某某中考)如图，⊙O 的直径CD ＝10 cm ，且AB⊥CD，垂足为P ，AB ＝8 cm ，则sin ∠OAP＝35.17．如图，直径为10的⊙A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧OC 上一点，求∠OBC 的正弦值．解：连接OA 并延长交⊙A 于点D ，连接CD.∴∠OBC ＝∠ODC， ∠OCD ＝90°.∴sin∠OBC ＝sin∠ODC ＝OC OD ＝510＝12.03综合题18．(某某中考)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin 2A 1＋sin 2B 1＝1；sin 2A 2＋sin 2B 2＝1；sin 2A 3＋sin 2B 3＝1.(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，都有sin 2A ＋sin 2B ＝1；(2)如图4，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(3)已知：∠A ＋∠B ＝90°，且sin A ＝513，求sin B .解：(2)∵在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝a c ，sinB ＝b c ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝a 2＋b 2c2.∵∠C ＝90°， ∴a 2＋b 2＝c 2. ∴sin 2A ＋sin 2B ＝1.(3)∵sinA ＝513，sin 2A ＋sin 2B ＝1，且sinB ＞0，∴sinB ＝1－（513）2＝1213.第2课时 锐角三角函数01基础题 知识点1 余弦如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc.1．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是(A )A.35B.45C.34D.432．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，cos A ＝35，AC ＝6 cm ，那么BC 等于(A )A ．8 cm B.245 cmC.185 cm D.65cm 3．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝1，求cos A 和cos B 的值．解：∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝22＋12＝ 5.cosA ＝AC AB ＝25＝255，cosB ＝BC AB ＝15＝55.知识点2 正切如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝a b.4．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值是(A )A.34B.43C.35D.455．在4×4的正方形的网格中画出了如图所示的格点△ABC，则tan ∠ABC 的值为(D )A.31313 B.21313 C.32 D.23第5题图 第6题图6．(某某中考)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝1，则tan A 的值是12.7．已知等腰三角形的腰长为6 cm ，底边长为10 cm ，则底角的正切值为115.知识点3 锐角三角函数∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数．8．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝17.第8题图 第9题图9．(崇左中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是(A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝12510．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝7，BC ＝24.(1)求AB 的长；(2)求sin A ，cos A ，tan A 的值． 解：(1)由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝72＋242＝25.(2)sinA ＝BC AB ＝2425，cosA ＝AC AB ＝725，tanA ＝BC AC ＝247.02中档题11．在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cos B ＝(C )A.512 B.125C.513 D.121312．(某某中考)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若sin A ＝35，则cos B 的值是(B )A.45B.35C.34D.4313．将△AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点A 的坐标为(2，1)，则tan ∠A′OB′的值为(A )A.12B ．2 C.55 D.255第13题图 第14题图14．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD⊥AB ，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是34．15．(某某中考)如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 交于点E ，连接AC ，B D.若AC ＝2，则cos D ＝13.16．(某某中考)如图，在△ABC 中，CD⊥AB，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sin B ＋cos B 的值．解：在Rt△ACD 中，CD ＝6，tanA ＝32，∴CD AD ＝6AD ＝32，即AD ＝4. 又AB ＝12，∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt△BCD 中，BC ＝CD 2＋BD 2＝10.∴sinB ＝CD BC ＝610＝35，cosB ＝BD BC ＝810＝45.∴sinB ＋cosB ＝35＋45＝75.17．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB BC ＝23，求tan ∠DCF 的值．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠D ＝90°. ∵AB BC ＝23，且由折叠知CF ＝BC ， ∴CD CF ＝23.设CD ＝2x ，CF ＝3x (x>0)，∴DF ＝CF 2－CD 2＝5x. ∴tan∠DCF ＝DF CD ＝5x 2x ＝52.03综合题18．如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作c tan α，即c tan α＝角α的邻边角α的对边＝ACBC，根据上述角的余切定义，解下列问题：(1)c tan 30°＝3；(2)如图，已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求c tan A 的值．解：∵tanA ＝34，且tanA ＝BC AC，∴设BC ＝3x ，AC ＝4x. ∴ctanA ＝AC BC ＝4x 3x ＝43.第3课时 特殊角的三角函数值01基础题知识点1 特殊角的三角函数值填写下表：30° 45° 60° sin α 12 22 32 cosα 32 22 12 tanα33131．已知∠A＝30°，下列判断正确的是(A )A ．sin A ＝12B ．cos A ＝12C ．tan A ＝12D ．cot A ＝122．计算：cos 230°＝(D )A.12B.14C.32D.34 3．(某某中考)计算：cos 245°＋sin 245°＝(B )A.12B ．1 C.14 D.224．计算：tan 45°＋2cos 45°＝2. 5．计算：(1)sin 30°＋cos 45°； 解：原式＝12＋22＝1＋22.(2)cos30°·tan30°－tan 245°； 解：原式＝32×33－12＝12－1＝－12. (3)22sin45°＋sin60°·cos45°. 解：原式＝22×22＋32×22＝2＋64.知识点2 由三角函数值求特殊角6．(某某中考)在△ABC 中，若|sin A －12|＋(cos B －12)2＝0，则∠C 的度数是(D )A ．30° B．45° C．60° D．90° 7．如果在△ABC 中，sin A ＝cosB ＝22，那么下列最确切的结论是(C ) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形8．已知α为锐角，且cos (90°－α)＝12，则α＝30°.9．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝2，BC ＝23，则∠A＝60°.知识点3 用计算器计算三角函数值10．用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是(B )A ．0.90B ．0.72C ．0.6911．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC ＝5.若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是(D )A ．5÷tan26°＝B ．5÷sin26°＝C ．5×cos26°＝D ．5×tan26°＝12．利用计算器求∠A ＝18°36′的三个锐角三角函数值．解：sinA ＝sin18°36′≈0.319 0，cosA ＝cos18°36′≈0.947 8， tanA ＝tan18°36′≈0.336 5.13．已知下列正(余)弦值，用计算器求对应的锐角(精确到0.1°)．(1)sin α＝0.822 1； 解：α≈55.3°.(2)cos β＝0.843 4. 解：β≈32.5°.02中档题14．点M(－sin 60°，cos 60°)关于x 轴对称的点的坐标是(B )A．(32，12) B．(－32，－12)C．(－32，12) D．(－12，－32)15．李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(D)A．40° B．30° C．20° D．10°16．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为(D)A.12B.33C.22D.3217．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝2，则点B的坐标为(C) A．(2，1) B．(1，2)C．(2＋1，1) D．(1，2＋1)第17题图第18题图18．(某某中考)如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接C B.若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝8.19．计算：(1)(某某中考改编)2 0180＋(－1)2－2tan45°＋4；解：原式＝1＋1－2×1＋2＝2.(2)(－1)－2＋|2－3|＋(π－3.14)0－tan60°＋8.解：原式＝1＋(3－2)＋1－3＋2 2＝2＋ 2.20．若tan A 的值是方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0的一个根，求锐角A 的度数．解：解方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0， 得x 1＝1，x 2＝ 3.由题意知tanA ＝1或tanA ＝ 3.∴∠A ＝45°或60°.21．(原创题)如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1.(1)若BC ＝2，求△ABC 三个内角的度数； (2)若BC ＝3，求△ABC 三个内角的度数．解：(1)∵AB ＝AC ＝1，BC ＝2，∴AB 2＋AC 2＝BC 2.∴∠BAC ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°.(2)过点A 作AD⊥BC，垂足为D.∵AB ＝AC ＝1，AD⊥BC， ∴BD ＝12BC ＝32.∴cosB ＝BD AB ＝321＝32.∴∠B ＝30°.∴∠C ＝30°，∠BAC ＝120°.03综合题22．(某某中考)一般地，当α，β为任意角时，sin (α＋β)与sin (α－β)的值可以用下面的公式求得：sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β；sin (α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β.例如：sin 90°＝sin (60°＋30°)＝sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＝32×32＋12×12＝1.类似地，可以求得sin 15°的值是6－24. 解直角三角形及其应用 28． 解直角三角形01基础题知识点1 已知两边解直角三角形如图，已知两边：(1)已知a ，b ，则c ＝a 2＋b 2，sin A ＝cos B ＝a c，sin B ＝cos A ＝bc ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a；(2)已知a ，c ，则b ＝c 2－a 2，sin A ＝cos B ＝a c ，sin B ＝cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a. 1．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，AB ＝4，欲求∠A 的值，最适宜的做法是(C )A ．计算tan A 的值求出B ．计算sin A 的值求出C ．计算cos A 的值求出D ．先根据sin B 求出∠B ，再利用90°－∠B 求出2．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，a ＝4，b ＝3，则cos A 的值是(A )A.35B.45C.43D.543．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，a ＝20，c ＝202，则∠A＝45°，∠B ＝45°，b ＝20. 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，已知BC ＝26，AC ＝62，解此直角三角形．解：∵tanA ＝BC AC ＝2662＝33，∴∠A ＝30°.∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°，AB ＝2BC ＝4 6.知识点2 已知一边一锐角解直角三角形如图，已知一边一角：(1)已知a ，∠A ，则∠B ＝90°－∠A ，c ＝a sinA ，b ＝a tanA； (2)已知c ，∠A ，则∠B ＝90°－∠A ，a ＝c·sinA .5．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB ＝8，则BC 的长是(D )A.433B ．4C ．8 3D ．4 36．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，tan A ＝43，BC ＝8，则△ABC 的面积为(C )A ．12B ．18C ．24D ．487．(某某中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC ＝32，则AC ＝24.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)8．(教材9下P 73例2变式)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝55°，AC ＝4，解此直角三角形．(结果保留小数点后一位)解：根据题意，∠A ＝90°－∠B ＝90°－55°＝35°. 根据正弦定义，sinB ＝AC AB，则AB ＝AC sinB ＝4sin55°≈4.9.根据正切的定义，tanB ＝AC BC，则BC ＝AC tanB ＝4sin55°≈2.8.所以△ABC 的另一个锐角度数为35°，另一条直角边长为2.8，斜边长为4.9. 易错点 忽视钝角三角形而致错9．在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝2，∠B＝30°，则BC 的长为2或4.02中档题10. 如图，在△AB C 中，∠C＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若cos ∠BDC＝35，则BC的长是(A )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm11．(某某中考)在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cos B ＝22，则BC 边长为(D )A ．7B ．8C ．8或17D ．7或1712.(某某中考)如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝5，sin A ＝23，则tan B ＝43.第12题图 第13题图13．(某某中考)如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB 于点E ，cos A ＝35，BE ＝4，则tan ∠DBE 的值是2.14．(某某中考)如图，在△ABC 中，BD⊥AC，AB ＝6，AC ＝53，∠A＝30°.(1)求BD 和AD 的长； (2)求tan C 的值．解：(1)∵BD⊥AC，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°.在Rt△ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∴BD ＝12AB ＝3.∴AD ＝3BD ＝3 3.(2)CD ＝AC －AD ＝53－33＝23， 在Rt△BDC 中，tanC ＝BD CD ＝323＝32.15．(某某中考)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB ＝6，CD ＝4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC 的长； (2)若sin A ＝45，求AD 的长．解：(1)∵在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝6，tanA ＝BE AB，∴BE ＝6·tan60°＝6 3.∵在Rt△CDE 中，∠CDE ＝90°，∠E ＝90°－60°＝30°， CD ＝4， ∴CE ＝2CD ＝8.∴BC ＝BE －CE ＝63－8.(2) ∵在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°，sinA ＝45，∴BE AE ＝45. 设BE ＝4x ，则AE ＝5x (x ＞0)．∵AE 2－BE 2＝AB 2，∴(5x )2－(4x )2＝62.∴x ＝2. ∴BE ＝8，AE ＝10.∵在Rt△CDE 中，∠CDE ＝90°，CD ＝4，tanE ＝CD ED ，而在Rt△ABE 中，tanE ＝AB BE ＝68＝34，∴CD ED ＝34. ∴ED ＝43CD ＝163.∴AD ＝AE －ED ＝143.03综合题16. 如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线，∠B 是锐角，且sin B ＝22，tan A ＝12，AC ＝3 5. (1)求∠B 的度数与AB 的长； (2)求tan ∠CDB 的值．解：(1)作CE⊥AB 于E ，设CE ＝x ， 在Rt△ACE 中，∵tanA ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x.∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x. ∴5x ＝35，解得x ＝3. ∴CE ＝3，AE ＝6.在Rt△BCE 中，∵sinB ＝22， ∴∠B ＝45°.∴△BCE 为等腰直角三角形． ∴BE ＝CE ＝3. ∴AB ＝AE ＋BE ＝9.(2)∵CD 是边AB 上的中线，∴BD ＝12AB ＝4.5.∴DE ＝BD －BE ＝－3＝1.5. ∴tan∠CDE ＝CEDE＝错误!＝2，即tan∠CDB 的值为2.28.2.2 应用举例第1课时 与视角有关的解直角三角形应用题01基础题知识点1 利用解直角三角形解决简单问题1. 如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC ＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D 为底边中点)的长是(C )A ．5sin36°米B ．5cos36°米C ．5tan36°米D ．10tan36°米第1题图 第2题图2．(教材9下P 74例3变式)如图，某航天飞船在地球表面P 点的正上方A 处，从A 处观测到地球上的最远点Q.若∠QAP＝α，地球半径为R ，则航天飞船距离地球表面最近距离AP ＝Rsinα－R. 3．(某某中考)为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB 与MN 之间的距离)．如图，在测量时，选定河对岸MN 上的点C 处为桥的一端，在河岸点A 处，测得∠CAB ＝30°，沿河岸AB 前行30米后到达B 处，在B 处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果保留整数)解：过点C 作CD⊥AB，垂足为D.∵∠CAB ＝30°， ∴AD ＝3CD. ∵∠CBA ＝60°，∴DB ＝33CD. ∵AB ＝AD ＋DB ＝30，∴3CD ＋33CD ＝30. ∴CD ＝1523＝152×1.73≈13(米)．答：河的宽度约为13米．知识点2 解与视角有关的实际问题4．(教材9下P 75例4变式)(某某中考)如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球A 处与楼的水平距离为120 m ，则这栋楼的高度为(A )A ．160 3 mB ．120 3 mC ．300 mD ．160 2 m5．(某某中考)如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB⊥BD，CD⊥BD，AB ＝15 m ，CD ＝20 m ，AB 和CD 之间有一景观池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°(点B ，E ，D 在同一直线上)，求两幢建筑物之间的距离BD(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)解：由题意，得∠AEB ＝42°，∠DEC ＝45°.∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴在Rt△ABE 中，∠ABE ＝90°. ∵AB ＝15，∠AEB ＝42°， tan∠AEB ＝ABBE ，∴BE ＝15tan42°＝503.在Rt△DEC 中，∠CDE ＝90°，∠DEC ＝45°，CD ＝20.∴ED ＝CD ＝20.∴BD ＝BE ＋ED ＝503＋(m )．答：两幢建筑物之间的距离BD 约为36.7 m.易错点 混淆三点函数的数量关系而导致错误6．(某某中考)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为(C )A.30tanα米 B ．30sinα米 C ．30tanα米 D ．30cosα米 02中档题7. (某某中考)某某市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD＝60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数(结果精确到1°)．解：延长AD交BC所在直线于点E.由题意，得BC＝17米，AE＝15米，∠CAE＝60°，∠AEB＝90°，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝CE AE ，∴CE＝AE·tan60°＝153米．在Rt△ABE中，tan∠BAE＝BEAE＝17＋15315，∴∠BAE≈71°.答：第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD约为71°.8．(某某中考)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示)，建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)，无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′.(1)求主桥AB的长度；(2)若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．(长度均精确到1 m，参考数据：3≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06)解：(1)由题意知∠ABP＝30°，AP＝97，∴AB＝APtan∠ABP ＝97tan30°＝9733＝973≈168.答：主桥AB的长度约为168 m.(2)∵∠ABP＝30°，AP＝97，∴PB＝2PA＝194.又∵∠DBC＝∠DBA＝90°，∠PB A＝30°，∴∠DBP＝∠DPB＝60°.∴△PBD是等边三角形．∴DB＝PB＝194.在Rt△BCD中，∵∠C＝80°36′，∴BC＝DBtanC ＝194tan80°36′≈32.答：引桥BC的长约为32 m.03综合题9．(六盘水中考)为践行党的群众路线，六盘水市教育局开展了大量的教育教学实践活动．如图是其中一次“测量旗杆高度”的活动场景抽象出的平面几何图形．活动中测得数据如下：①小明的身高DC＝1.5米；②小明的影长CE＝1.7米；③小明的脚到旗杆底部的距离BC＝9米；④旗杆的影长BF＝7.6米；⑤从D点看A点的仰角为30°.请你选择需要的数据，求出旗杆的高度．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)情况一：选用①，②，④.∵AB⊥FC，CD⊥FC，∴∠ABF＝∠DCE＝90°.又∵AF∥DE，∴∠AFB＝∠DEC.则△ABF∽△DCE.∴ABDC＝FBEC.又∵DC ＝1.5 m ，FB ＝7.6 m ，EC ＝1.7 m ，∴AB≈6.7 m.即旗杆高度约为6.7 m. 情况二： 选用①，③，⑤. 过D 点作DG⊥AB 于G 点， ∵AB⊥FC，DC⊥FC，∴四边形BCDG 为矩形． ∴CD ＝BG ＝1.5 m ，DG ＝BC ＝9 m.在Rt△AGD 中，∠ADG ＝30°，tan30°＝AG DG，∴AG ＝3 3 m.又AB ＝AG ＋GB ，∴AB ＝33＋(m)．∴旗杆高度约为6.7 m.第2课时 与方位角、棱角有关的解直角三角形应用问题01基础题知识点1 解与方位角有关的实际问题1．如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A 处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是(A )A ．250米B ．2503米 C.50033米 D ．5002米第1题图 第2题图2．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A 附近沿正东方向航行，船在B 点时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．则船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．3．(某某中考)小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示)．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米？(精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73)解：过P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中，AP ＝ 200 m，∠ACP ＝90°，∠PAC ＝60°.∴PC＝ 200×sin60°＝200 ×32＝1003(m)．∵在Rt△PBC中，sin37°＝PCPB ，∴PB＝PCsin37°＝错误!≈288(m)．答：小亮与妈妈相距约288米．知识点2解与坡角有关的实际问题4．(聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为(A) A．12米 B．43米C．53米 D．63米第4题图第5题图5．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是35米．6．(教材9下P77练习T2变式)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形．由题意得，BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i为1∶2.5，在Rt△ABE中，BEAE＝错误!，∴AE＝50米．在Rt△CFD中，∠D＝30°，∴DF＝3CF＝203米．∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋203(米)．答：坝底AD的长度约为米．02中档题7．(某某中考)如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．已知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？(3≈1.732)解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险．理由如下：由题意，得∠ABD＝30°，∠ACD＝60°.∴∠CAB＝∠ABD.∴BC ＝AC ＝200海里．在Rt△ACD 中，设CD ＝x ，则AC ＝2x ，AD ＝AC 2－CD 2＝（2x ）2－x 2＝3x. 在Rt△ABD 中，AB ＝2AD ＝23x ，BD ＝AB 2－AD 2＝（23x ）2－（3x ）2＝3x.又∵BD ＝BC ＋CD ，∴3x ＝200＋x ，解得x ＝100.∴AD ＝3x ＝1003≈173.2.海里＞170海里，且D 处距离A 处最近，∴轮船不改变航向继续向前行驶，轮船无触礁的危险．8．(某某中考)“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B 点先乘坐缆车到达观景平台DE 观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由E 点步行到达“蘑菇石”A 点，“蘑菇石”A 点到水平面BC 的垂直距离为1 790 m ．如图，DE∥BC，BD ＝1 700 m ，∠DBC＝80°，求斜坡AE 的长度．(结果精确到0.1 m )解：过点D 作DF⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M. 由题意，得EM ⊥AC，DF ＝CM ，∠AEM ＝29°， 在Rt△DFB 中，sin80°＝DFBD，∴DF ＝BDsin80°.AM ＝AC －CM ＝1 790－1 700sin80°.在Rt△AME 中，sin29°＝AM AE，∴AE ＝AM sin29°＝1 790－1 700sin80°sin29°(m )，答：斜坡的长度约为238.9 m. 03综合题9．(黔东南中考)黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学测量学校附近一电线杆的高，如图，已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，在C 处测得电线杆顶端A 的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD ＝4 m ，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)．(结果精确到1 m ，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)解：延长AD交BC的延长线于点G，过点D作DH⊥BG，垂足为点H，则∠G＝30°.∵在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，∴C H＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2.DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2 3.又∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝DHtanG ＝23tan30°＝6.∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8.设AB＝x m.又∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x.∴BG＝ABtanG ＝xtan30°＝3x.∵BG－BC＝CG，∴3x－x＝8.解得x≈11 m.答：电线杆的高(AB)约为11 m.小专题17解直角三角形的实际应用1．(某某月考)如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B)处6 m的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5 m．试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1 m，3≈1.732)解：过点E作EC⊥AB于C.∵CE＝BD＝6 m，∠AEC＝60°，∴AC＝CE·tan60°＝6×3＝63(m)．∴AB＝AC＋DE＝＋＝(m)．答：旗杆AB的高度约为11.9 m.2．钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我国海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短．(1)请在图中作出该船在点B处的位置；(2)求钓鱼岛C到B处距离(结果保留根号)．解：(1)如图．(2)AB＝30×＝15(海里)．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝BC AB ，∴BC＝AB·tan∠BAC＝AB·tan30° ＝15×33＝53(海里)．答：钓鱼岛C 到B 处距离为53海里．3．(某某中考)为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道A B.如图，在山外一点C 测得BC 距离为200 m ，∠CAB ＝54°，∠CBA ＝30°，求隧道AB 的长．(参考数据： sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，结果精确到个位)解：过点C 作CD⊥AB 于D ，在Rt△BCD 中，∵∠B ＝30°，BC ＝200，∴CD ＝12BC ＝100，BD ＝1003≈173.在Rt△ACD 中，∵tan∠CAB ＝CD AD ，∴AD ＝100tan54°≈72.∴AB ＝AD ＋BD≈245.答：隧道AB 的长约为245米．4．(黔东南中考)如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81，2，3≈1.73，4≈2.24)解：假设点D 移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D 作DE⊥AC 于点E ，作D′E′⊥AC 于点E′，∵CD ＝12米，∠DCE ＝60°， ∴DE ＝CD·sin60°＝12×32＝63(米)， CE ＝CD·cos60°＝12×12＝6(米)．易知：四边形DEE′D′是矩形．∴DE ＝D′E′＝63米． ∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝D′E′tan39°≈错误!≈12.8，∴EE′＝CE′－CE ＝－6＝(米)． ∴DD′＝EE′＝米．答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动米才能保证教学楼的安全．5．(某某中考)如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC ＝4米，AB ＝6米，中间平台宽度DE ＝1米，EN ，DM ，CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N ，M ，B ，∠EAB＝31°，DF⊥BC 于F ，∠CDF＝45°.求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)解：设BM ＝x 米．∵∠CDF ＝45°，∠CFD ＝90°， ∴CF ＝DF ＝x 米．∴BF ＝BC －CF ＝(4－x )米． ∴EN ＝DM ＝BF ＝(4－x )米．∵AB ＝6米，DE ＝MN ＝1米，BM ＝x 米， ∴AN ＝AB －MN －BM ＝(5－x )米．在△AEN 中，∠ANE ＝90°，∠EAN ＝31°，∴EN ＝AN·tan31°，即4－x ＝(5－x )． ∴x ＝2.5.答：DM 和BC 的水平距离BM 的长度约为米．6．(某某中考)某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB 的长为3 m ，静止时，踏板到地面距离BD 的长为0.6 m (踏板厚度忽略不计)．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m ，成人的“安全高度”为2 m ．(计算结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)(1)当摆绳OA 与OB 成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h ＝m ； (2)某成人在玩秋千时，摆绳OC 与OB 的最大夹角为55°，问此人是否安全？解：过C 点作CM⊥DF，CE⊥OD，垂足分别为M ，E ，∵在Rt△CEO 中，∠CEO ＝90°， ∠COE ＝55°， ∴cos∠COE ＝OEOC.∴OE ＝OC·cos∠COE ＝3·cos55°≈1.7 m. ∴ED ＝3＋－＝(m )．∴CM ＝ED ＝1.9 m ＜2 m.∴此人是安全的．章末复习(八) 锐角三角函数01分点突破知识点1 求锐角三角函数值1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是(C )A ．sinB ＝AD AB B ．sin B ＝AC BC C ．sin B ＝AD ACD ．sin B ＝CD AC第1题图第3题图2．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是(D )A.13B ．3 C.24D ．2 2 3．如图，在△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE ，若BE ＝9，BC ＝12，则cos C ＝23．知识点2 特殊角的三角函数值(某某2016T19、2015T19、2014T19) 4．在△ABC 中，若(3tan A －3)2＋|2cos B －3|＝0，则△ABC 为(A )A ．直角三角形B ．含60°角的任意三角形C ．等边三角形D ．顶角为钝角的等腰三角形5．(某某中考改编)计算：(π－2 016)0＋|1－2|＋2－1－2sin 45°＝12．知识点3 解直角三角形及其应用(某某2017T22、2016T21、2015T21、2014T21、2013T21) 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则tan A 2＝33．7．如图，在电线杆CD 上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B 处安置高为1.5米的测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，求拉线CE 的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：过点A 作AH⊥CD，垂足为H. 则AB ＝DH ＝米，BD ＝AH ＝6米．在Rt△ACH 中，∵∠CAH ＝30°，tan∠CAH ＝CH AH，∴CH ＝AH·tan∠CAH ＝6·tan30°＝23(米)． ∴CD ＝CH ＋HD ＝(23＋)米．在Rt△CDE 中，∵∠CED ＝60°，sin∠CED ＝CD CE，∴CE ＝CDsin60°＝4＋3(米)．答：拉线CE 的长约为米．02中考题型演练8．(某某中考)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是(A )A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米第8题图 第9题图9．(某某中考) △ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC 于D ，下列四个选项中，错误的是(C )A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝110.(某某中考)如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为33．第10题图 第12题图11．(某某中考) △ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B＝30°，则△ABC 的面积是213或153.12．(某某中考)如图，某城市的电视塔AB 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB 的高度，在点M 处测得塔尖点A 的仰角∠AMB 为22.5°，沿射线MB 方向前进200米到达湖边点N 处，测得塔尖点A 在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB 为45°，则电视塔AB 的高度为1002米．(结果保留根号)13．(某某中考)如图，一楼房AB 后有一座假山，其坡度为i ＝1∶3，山坡坡面上E 点处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC ＝25米，与亭子距离CE ＝20米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，求楼房AB 的高．(注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解：过点E 作EF⊥BC 的延长线于点F ，EH⊥AB 于点H ， 在Rt△CEF 中，∵i ＝EFCF＝13＝tan∠ECF， ∴∠ECF ＝30°.∴EF ＝12CE ＝10米，CF ＝103米．∴BH ＝EF ＝10米，HE ＝BF ＝BC ＋CF ＝(25＋103)米．在Rt△AHE 中，∵∠HAE ＝45°，∴AH ＝HE ＝(25＋103)米． ∴AB ＝AH ＋HB ＝(35＋103)米．答：楼房AB 的高为(35＋103)米．14．(某某中考)今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”某某行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为752海里．(1)求B点到直线CA的距离；(2)执法船从A到D航行了多少海里？(结果保留根号)解：(1)过点B作BH⊥CA，交CA的延长线于点H.∵∠MBC＝60°.∴∠CBA＝30°.∵∠NAD＝30°，∴∠BAC＝120°.∴∠C＝180°－∠BAC－∠CBA＝30°.∴BH＝BC·sin∠BCA＝150×12＝75海里．答：B点到直线CA的距离是75海里．(2)∵在Rt△BDH中，BD＝752海里，BH＝75海里，∴DH＝BD2－BH2＝75海里，∵∠BAH＝180°－∠BAC＝60°，在Rt△ABH中，tan∠BAH＝BHAH＝3，∴AH＝253海里．∴AD＝DH－AH＝(75－253)海里．答：执法船从A到D航行了(75－253)海里．。

28.1 锐角三角函数 题目

28.1 锐角三角函数 题目
2、已知：α为锐角，且满
足 3tan 数。 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，化简
2
-4tan + 3 =0 ，求α的度
1-2sinAcosA
知识回顾 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3，则
AB= 5 ,sinA = 3 tanA = 4 .
cosB=
5
3 5
, cosA=
A
D
C
E
B
你能利用直角三角形的三边关系得到 sinA的取值范围吗？
0＜sin A＜1
正弦函数 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作 B sinA 即
A的对边 a sin A 斜边 c
斜边 A
c
a 对边 C
b
例如，当∠A＝30°时，我们有
c a A b ┌ C
300
450
450
┌
600
┌
P13 习题1.3 3题
独立 作业
3.如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是300和600 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为 5m,那么这棵树大约有多高?
做一做P8 6
知识的内在联系
如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10, cos 求:AB,sinB. 怎样 思考？
cos45 tan45 （2） sin 45
(3)tan450.sin450-4sin300.cos450+cos2300

练习
1.求下列各式的值： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60°
cos60 1 （3） 1 sin 60 tan30

28.1 锐角三角函数(1)

28.1 锐角三角函数(1)

小结 1.锐角三角函数定义: 1.锐角三角函数定义: 锐角三角函数定义
在直角三角形中
斜边 ∠A的对边 的对边
B
sinA= Sin300
∠A的对边 的对边 斜边
A
┌ C
1 = 2
sin45°= °
2 2

2.sinA是∠A的函数. 2.sinA是 的函数.
作业： 作业：
必做题： P82：1（只求正弦） 选做题： 无 课外作业： 练习册和学习评价的相关内容
B c 斜边 A b 对边 a C
1 sin A = sin 30 = 2 当∠A＝45°时，我们有 ＝ °
2 sin A = sin 45 = 2
在图中
的对边记作a ∠A的对边记作 的对边记作 的对边记作b ∠B的对边记作 的对边记作 的对边记作c ∠C的对边记作 的对边记作
如图， 的值． 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． △ 中 ＝ ° 和 的值
可得AB＝ 可得 ＝2BC＝70m，也就是说，需要准备 ＝ ，也就是说，需要准备70m长 长 的水管． 的水管．
想一想
在上面的问题中， 在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？ ，那么需要准备多长的水管？
B' B 35m A C 50m C'
想一想
∠ 的 边 B'C' 1 A 对 = = , ＝ × ＝ 斜 边 AB' 2 AB'＝2B ' C ' ＝2×50＝100
A
C
的值. 若ＡC=5,CD=3,求sinB的值 求 的值 ∵∠B=∠ 解: ∵∠ ∠ACD ∴sinB=sin∠ACD ∠ 在Rt△ACD中，AD= AC 2－CD 2 = 52－32 =4 △ 中 AD 4 sin ∠ACD= AC = 5 4 ∴sinB= 5

第28章《锐角三角函数》好题集(01)：28.1 锐角三角函数

第28章《锐角三角函数》好题集(01)：28.1 锐角三角函数

第28章《锐角三角函数》好题集（01）：28.1锐角三角函数第28章《锐角三角函数》好题集（01）：28.1 锐角三角函数选择题22．（2001•黑龙江）已a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若关于x的方程（b+c）x2﹣2ax+c﹣b=03．（2001•河北）已知等腰三角形三边的长为a、b、c，且a=c．若关于x的一元二次方程的两根4．已知α是锐角，且点A（，a），B（sinα+cosα，b），C（﹣m2+2m﹣2，c）都在二次函数y=﹣x2+x+3的图象上，5．（2010•临沂）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA=2，∠AOC=45°，则B点的坐标是（），﹣）2+，﹣）6．如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，sinA=，则这个菱形的面积是（）7．（2002•崇文区）如图，菱形ABCD的边长为5，AC、BD相交于点O，AC=6，若∠ABD=α，则下列式子正确的是（）=8．（2010•兰州）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（）C D9．（2009•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=（）．C D10．（2008•昆明）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6cm，AB=8cm，把AB边翻折，使AB边落在BC边上，点A落在点E处，折痕为BD，则sin∠DBE的值为（）．C D．11．如图a是长方形纸带，∠DEF=10°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的tan∠DHF的度数是（）．C．12．（2010•漳州）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是（）．C D．13．（2010•孝感）如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan∠A的值是（）．C D．15．（2010•包头）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tan B的值为（）．C D．16．（2009•绥化）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是（）．C D．17．（2008•淄博）如图，在Rt△ABC中，tanB=，BC=2，则AC等于（）18．（2008•内江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，三边分别为a，b，c，则cosA等于（）．C D．19．（2008•海南）如图所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于（）．C D．20．（2008•甘南州）在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（）．C D．．C D．．C D．23．（2006•辽宁）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（）．C D．24．（2006•丽水）如图，sinA=（）．C D．25．（2006•海南）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则sinα的值是（）．C D．26．（2005•南京）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）．C D．cosB=28．（2000•嘉兴）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是，则的值是（）．C D．29．（2004•云南）在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值等于（）．C D．．C D．第28章《锐角三角函数》好题集（01）：28.1 锐角三角函数参考答案与试题解析选择题2﹣，2．（2001•黑龙江）已a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若关于x的方程（b+c）x2﹣2ax+c﹣b=03．（2001•河北）已知等腰三角形三边的长为a、b、c，且a=c．若关于x的一元二次方程的两根，，×﹣×=2a=4．已知α是锐角，且点A（，a），B（sinα+cosα，b），C（﹣m2+2m﹣2，c）都在二次函数y=﹣x2+x+3的图象上，，抛物线开口向下，可知，开口向下，（5．（2010•临沂）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA=2，∠AOC=45°，则B点的坐标是（），﹣）2+，﹣），2+，纵坐标为，）6．如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，sinA=，则这个菱形的面积是（）sinA=，易得，7．（2002•崇文区）如图，菱形ABCD的边长为5，AC、BD相交于点O，AC=6，若∠ABD=α，则下列式子正确的是（）==；=；=；==8．（2010•兰州）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（）C D，AB=2AD=29．（2009•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=（）．C DODA=10．（2008•昆明）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6cm，AB=8cm，把AB边翻折，使AB边落在BC边上，点A落在点E处，折痕为BD，则sin∠DBE的值为（）．C D．AB BC ABx===11．如图a是长方形纸带，∠DEF=10°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的tan∠DHF的度数是（）．C．．C D．．13．（2010•孝感）如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan∠A的值是（）．C D．A=15．（2010•包头）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tan B的值为（）．C D．，tanB=，设．=sinA==，==16．（2009•绥化）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是（）．C D．17．（2008•淄博）如图，在Rt△ABC中，tanB=，BC=2，则AC等于（）=，∴××18．（2008•内江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，三边分别为a，b，c，则cosA等于（）．C D．cosA=．19．（2008•海南）如图所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于（）．C D．．20．（2008•甘南州）在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（）．C D．，=．．C D．==5=．C D．=23．（2006•辽宁）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（）．C D．=sinA=24．（2006•丽水）如图，sinA=（）．C D．=．25．（2006•海南）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则sinα的值是（）．C D．，斜边为=5= 26．（2005•南京）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）．C D．=．，，28．（2000•嘉兴）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是，则的值是（）．C D．，即可求出ACD==29．（2004•云南）在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值等于（）．C D．，=．C D．= =．菁优网 ©2010-2013 菁优网参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ ；Liuzhx ；蓝月梦；zhjh ；zhehe ；星期八；CJX ；未来；MMCH ；Linaliu ；hbxglhl ；haoyujun ；自由人；ln_86；zzz ；bjf ；心若在；zcx （排名不分先后）菁优网2013年3月15日。

人教版数学九年级下册第28章测试题(含答案)

人教版数学九年级下册第28章测试题(含答案)

人教版数学九年级下册第28章测试题(含答案)28.1《锐角三角函数》一、选择题1.2cos60°=（）A.1B.C.D.2.在菱形ABCD中，BD为对角线，AB=BD，则sin∠BAD=（）A. B. C. D.3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（）个（1）（2）（3）（4）.A.1B.2C.3D.44.tan45°sin45°﹣2sin30°cos45°+tan30°=（）A. B. C. D.5.计算的值是（）A. B. C. D.6.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（）A.1B.C.D.7.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等.若∠BOC=120°，则tanA的值为（）A. B. C. D.8.计算sin60°+cos45°的值等于（）A. B. C. D.9.sin60°的值等于（）A. B. C. D.10.在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则sinA的值是( )A. B. C. D.11.tan30°的值为（）A. B. C. D.12.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则cos∠APB的值是（）A.45°B.1C.D.无法确定二、填空题13.计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°= .14.已知在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB=____________.15.△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C= .16.在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是________.17.计算：=18.△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是三角形.三、计算题19.计算：20.计算：四、解答题21.先化简，再求值，其中a=1+2cos45°；b=1－2sin45°22.一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)=sin αcos β＋cos αsin β；sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β.例如sin 90°=sin(60°＋30°)=sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°=×＋×=1.类似地，可以求得sin 15°的值是___________________.23.小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1.据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1.(1)当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.24.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值.参考答案1.答案为：A；.2.答案为：C3.答案为：C4.答案为：D.5.答案为：A；6.答案为：C.7.答案为：A；8.答案为：B；9.答案为：C10.答案为：C11.答案为：B；.12.答案为：C13.答案为：14.答案为：0.75；15.答案为：60°.16.答案为：75°17.答案为：18.答案为：直角.19.原式=120.原式=721.原式=22.原式=.23.解1：(1)当α=30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）=sin230°+sin260°=（）2+（）2=1；(2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）=（）2+（）2===1.24.解：（1）CD与⊙O相切.理由是：连接OD.则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDO=∠AOD=90°.∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切.（2）连接BE，由圆周角定理，得∠ADE=∠ABE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，AB=2×3=6（cm）.在Rt△ABE中，sin∠ABE==，∴sin∠ADE=sin∠ABE=.28.2解直角三角形及其应用一．选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AB＝2，则∠B等于（）A．15°B．20°C．30°D．60°2．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sin A的值为（）3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（）A．B．C．D．4．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．3米B．米C．2米D．3米5．如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．6.29B．4.71C．4D．5.336．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B 滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（）7．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度为i＝1：2.4，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（）米（结果精确到1米）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）A．27B．28C．29D．308．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD．在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为45°，测得与大桥主架的水平距离AB为100米．则大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．（100+100•sinα）米B．（100+100•tanα）米C．（100+）米D．（100+）米9．某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1：．在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（）（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）A．39.3B．37.8C．33.3D．25.710．在数学综合实践课上，老师和同学们一起测量学校旗杆的高度，他们首先在旗杆底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后沿着斜坡CD到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A的仰角为37°（身高忽略不计），已知斜坡CD的坡度i＝1：2.4，坡面CD长2.6米，旗杆AB所在旗台高度为1.4米，旗杆、旗台底部、斜坡在同一平面，则旗杆AB的高度为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．9.5米B．9.6米C．9.7米D．9.8米二．填空题11．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是．12．如图，在平面直角坐标系中有一点P（6，8），那么OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值为．13．一座建于若干年前的水库大坝，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了平方米．14．如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为千米．15．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）三．解答题16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝4，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段CD的长；（2）sin∠BAC的值．17．石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B、C、D三点，再在桥外确定一点A，使得AB⊥BD，测得AB之间15米，使得∠ADC ＝30°，∠ACB＝60°．（1）求CD的长（精确到0.01，≈1.73，≈1.41）．（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明理由．18．如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行（40﹣16）海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径16海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：sin22°＝，cos22°＝，tan22°＝）参考答案一．选择题1．解：∵∠C＝90°，BC＝，AB＝2，∴cos B＝＝，∴∠B＝30°，故选：C．2．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝＝．故选：A．3．解：如图，作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，由已知可得，AC＝＝，AB＝5，BC＝＝5，CD＝3，∵S△ABC＝AB•CD＝BC•AE，∴AE＝＝＝3，∴CE＝＝＝1，∴cos∠ACB＝＝＝，故选：B．4．解：过B作BC⊥地面于C，如图所示：∵BC：AC＝1：3，即1：AC＝1：3，∴AC＝3（米），∴AB＝＝＝（米），即物体从A到B所经过的路程为米，故选：B．5．解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，∵坡面DE的坡度为1，∴＝1，∴DM＝EM＝1＝FC，在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，∵tan∠DAF＝≈0.75，设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，在Rt△ABC中，∵tan∠B＝，∴tan37°＝≈0.75，解得x＝≈6.29（米），故选：A．6．解：如图．∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，∴可设AC＝4x，那么BC＝3x，∴AB＝＝＝5x，∴A′B′＝AB＝5x．∵在直角△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝4x﹣1，B′C＝3x+1，∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，解得x＝1，∴A′C＝3，B′C＝4，A′B′＝5，∴cosβ＝．故选：A．7．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，由题意得：FG＝BC＝20米，DE＝40米，BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝1：2.4，CD＝26米，∴BF＝CG＝10米，GD＝24米，在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，FE＝FG+GD+DE＝84米，∠E＝24°，∴AF＝FE•tan24°≈84×0.45＝37.8（米），∴AB＝AF﹣BF＝37.8﹣10≈28（米）；即建筑物AB的高度为28米；故选：B．8．解：在Rt△ABC中，，∴BC＝AB•tanα，在Rt△ABD中，tan45°＝，∴BD＝AB•tan45°＝AB，∴CD＝a＝BC+BD＝AB•tanα+AB＝（100+100•tanα）米，故选：B．9．解：如图，延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．∵在Rt△BCF中，BF：CF＝1：，∴设BF＝k，则CF＝k，∴BC＝2k．又∵BC＝12，∴k＝6，∴BF＝6，CF＝6，∵DF＝DC+CF，∴DF＝40+6在Rt△AEH中，tan∠AEH＝，∴AH＝tan37°×（40+6）≈37.785（米），∵BH＝BF﹣FH，∴BH＝6﹣1.5＝4.5．∵AB＝AH﹣HB，∴AB＝37.785﹣4.5≈33.3．答：大楼AB的高度约为33.3米．故选：C．10．解：作DH⊥FC交FC的延长线于点H，延长AB交CF的延长线于点T，作DJ⊥AT于点J，如图所示：则四边形EFTB与四边形DHTJ都是矩形，∴BT＝EF＝1.4米，JT＝DH，在Rt△DCH中，CD＝2.6米，＝，∴DH＝1（米），CH＝2.4（米），∵∠ACT＝45°，∠T＝90°，∴AT＝TC，设AT＝TC＝x．则DJ＝TH＝（x+2.4）米，AJ＝（x﹣1）米，在Rt△ADJ中，tan∠ADJ＝＝0.75，∴＝0.75，解得：x＝11.2，∴AB＝AT﹣BT＝11.2﹣1.4＝9.8（米），故选：D．二．填空题11．解：如图取格点K，连接BK，过点K作KH⊥AB于H，如图所示：∵DB＝CK＝2，DB∥CK，∴四边形CDBK是平行四边形，∴CD∥BK，∴∠AOC＝∠ABK，过点K作KH⊥AB于H．∵AB＝＝，S△ABK＝•AK•4＝•AB•KH＝20，∴HK＝＝，∵BK＝＝2，∴BH＝＝＝，∴tan∠AOC＝tan∠ABK＝＝＝，故答案为：．12．解：如图作PH⊥x轴于H．∵P（6，8），∴OH＝6，PH＝8，∴OP＝＝10，∴cosα＝＝＝．故答案为：．13．解：∵背水坡AB的坡度为1：0.75，AC＝4，∴＝0.75，解得，BC＝3，∵坡AD的坡度为1：2，AC＝4，∴CD＝8，∴BD＝DC﹣BC＝5，∴△ADB的面积＝×5×4＝10（平方米），故答案为：10．14．解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，∴∠PCA＝90°，∠P AC＝30°，∵AP＝12千米，∴PC＝6千米，AC＝6千米，∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，∴∠PBC＝60°，∴BC＝＝＝2千米，∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），故答案为：4千米．15．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30，∵AB＝57，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝57﹣30，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．三．解答题16．解：（1）∵AD是BC边上的高，∴∠D＝90°，在Rt△ABD中，∵sin B＝．∴＝，又∵AD＝12，∴AB＝15，∴BD＝＝9，又∵BC＝4，∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5；答：线段CD的长为5；（2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，∵S△ABC＝BC•AD＝AB•CE∴×4×12＝×15×CE，∴CE＝，在Rt△AEC中，∴sin∠BAC＝＝＝，答：sin∠BAC的值为．17．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝15米，∴BC＝＝＝5米，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，∴BD＝AB＝15米，∴CD＝BD﹣BC＝10≈17.32米，∴CD的长为17.32米；（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝米/秒，而10÷2≈8.66＞，∴汽车超速．18．解：如图1，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠P AC＝64°﹣42°＝22°，∠PBC＝72°﹣42°＝30°，AB＝40﹣16，设PC＝x，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝30°，∴BC＝PC＝x，∴AC＝AB+BC＝40﹣16+x，在Rt△P AC中，∵∠P AC＝22°，∴tan∠P AC＝，即＝，解得，x＝16，即PC＝16，BP＝2PC＝32，∵16＜16，∴有危险．如图2，渔船沿着BD方向航行，过点P作PD⊥BD，垂足为D，在Rt△PBD中，∵sin∠PBD＝＝＝，∴∠PBD＝45°，∴∠QBD＝∠QBP﹣∠DBP＝72°﹣45°＝27°，即渔船自B处开始，沿南偏东27°的方向航行，能够安全通过这一海域．。

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精品文档1.锐角三角函数一、课前预习 (5分钟训练)1.如图1所示，某斜坡AB 上有一点B′，B′C′、BC 是边AC 上的高，则图中相似的三角形是______________，则B′C′∶AB′=______________,B′C′∶AC′=______________.2.在Rt△ABC 中，如果边长都扩大5倍，则锐角A 的正弦值、余弦值和正切值 ( )A.没有变化B.都扩大5倍C.都缩小5倍D.不能确定 3.在△ABC 中，∠C＝90°，sinA=3/5，则sinB 等于( )A.2/5 B.3/5 C.4/5 D.3/4 二、课中强化(10分钟训练)1.在Rt△ABC 中,∠C=90°,已知tanB=25，则cosA 等于( )A.25 B.35 C.552 D.322.如果α是锐角,且sin α=54,那么cos(90°-α)的值为( )A.54 B.43 C.53 D.513.在△ABC 中，∠C＝90°，AC=2，AB=5，则cosB 的值为( )A.210 B.510 C.515 D.51534.在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=5/13,BC=15,则AC=______________.5.如图2,△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝4，求sinB 的值.三、课后巩固(30分钟训练)1.如图3,已知菱形A BCD ，对角线AC=10 cm,BD=6 cm,，那么tan 2A 等于( )A.53B.54C.343 D.3452.如果sin 2α+cos 230°=1,那么锐角α的度数是( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.4.在Rt△ABC 中，斜边AB=22,且tanA+tanB=22，则Rt△ABC 的面积是___________.5.在Rt△ABC 中,∠C=90°,a、b 、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边,且a=3,c=5,求∠A、∠B 的三角函数值.6.在Rt△ABC 中,∠C=90°,a、b 、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边,且b=6,tanA=1,求c.7.如图28-1-1-5，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA=53，D 为AC 上一点，∠BDC＝45°，DC ＝6 cm ，求AB 、AD 的长.图28-1-1-58.如图28-1-1-6，在△ABC 中，AB=AC,AD⊥B C 于D 点，BE⊥AC 于E 点,AD=BC,BE=4.求:（1）tanC 的值；（2）AD 的长.图28-1-1-6 2. 特殊角的三角函数值1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=35，AB=15，则AC的长是（）．A．3 B．6 C．9 D．122．下列各式中不正确的是（）．A．sin260°+cos260°=1 B．sin30°+cos30°=1 C．sin35°=cos55°D．tan45°>sin45°3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）．A．2 BCD．14．已知∠A为锐角，且cosA≤12，那么（）A．0°<∠A≤60°B．60°≤∠A<90°C．0°<∠A≤30°D．30°≤∠A<90°5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=12，cosB=2，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定6．Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana的值为（）．A．34B．43C．35D．457．当锐角a>60°时，cosa的值（）．A．小于12B．大于12CD．大于1 8．在△ABC中，三边之比为a：b：c=1：2，则sinA+tanA等于（）．A1.2B C D9．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，•则∠CAB等于（）A．30°B．60°C．45°D．以上都不对10．sin272°+sin218°的值是（）．A．1 B．0 C．12D11）2+│=0，则△ABC（）．A．是直角三角形B．是等边三角形C．是含有60°的任意三角形D．是顶角为钝角的等腰三角形12．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．13．cos45sin301cos60tan452︒-︒︒+︒的值是_______．14．已知，等腰△ABC•的腰长为•底为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=________．16．正方形ABCD边长为1，如果将线段BD绕点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点D′精品文档精品文档处，那么tan ∠BAD ′=________．17．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，得AB AC CD CD -的值为_______．18．求下列各式的值．（1）sin30°·cos45°+cos60°;（2）2sin60°-2cos30°·sin45°（3）2cos 602sin 302︒︒-; （4）sin 45cos3032cos 60︒+︒-︒-sin60°（1-sin30°）．（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°·tan30°（6）sin 45tan 30tan 60︒︒-︒+cos45°·cos30°参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.如图28-1-1-1所示，某斜坡AB 上有一点B ′，B ′C ′、BC 是边AC 上的高，则图中相似的三角形是______________，则B ′C ′∶AB ′=______________,B ′C ′∶AC ′=______________.图28-1-1-1解析：由相似三角形的判定得△AB ′C ′∽△ABC ，由性质得B ′C ′∶AB ′=BC ∶AB ，B ′C ′∶AC ′=BC ∶AC.答案：△AB ′C ′∽△ABC BC ∶AB BC ∶AC2.在Rt △ABC 中，如果边长都扩大5倍，则锐角A 的正弦值、余弦值和正切值 ( )A.没有变化B.都扩大5倍C.都缩小5倍D.不能确定 解析：三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变. 答案：A3.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA=53，则sinB 等于( ) A.52 B.53 C.54 D.43 解析：sinA=53,设a=3k,c=5k,∴b=4k.∴sinB=5454==k k c b .答案：C二、课中强化(10分钟训练)1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,已知tanB=25，则cosA 等于( )A.25 B.35 C.552 D.32解析：tanB=25,设b=5k,a=2k.∴c=3k.∴cosA=3535==k k c b .答案：B2.如果α是锐角,且sin α=54,那么cos(90°-α)的值为( )精品文档A.54B.43C.53D.51 解析：cos(90°-α)=sin α=54.答案：A3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC=2，AB=5，则cosB 的值为( )A.210 B.510 C.515 D.5153解析：由勾股定理,得BC=3，∴cosB=51553==AB BC . 答案：C4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=135,BC=15,则AC=______________.解析：∵sinA=135=AB BC ,BC=15,∴AB=39.由勾股定理,得AC=36.答案：365.如图28-1-1-2,△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝4，求sinB 的值.图28-1-1-2分析：因为三角函数值是在直角三角形中求得，所以构造直角三角形就比较重要,对于等腰三角形首先作底边的垂线.解：过A 作AD ⊥BC 于D,∵AB=AC,∴BD=2.在Rt △ADB 中，由勾股定理,知AD=24262222=-=-BD AB ，∴sinB=322=AB AD .三、课后巩固(30分钟训练)1.如图28-1-1-3,已知菱形A BCD ，对角线AC=10 cm,BD=6 cm,，那么tan2A 等于( )图28-1-1-3A.53 B.54C.343 D.345解析：菱形的对角线互相垂直且平分，由三角函数定义,得tan2A =tan ∠DAC=53. 答案：A2.如果sin 2α+cos 230°=1,那么锐角α的度数是( )A.15°B.30°C.45°D.60°精品文档解析：由sin 2α+cos 2α=1,∴α=30°. 答案：B3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.图28-1-1-4解析：坡度=BCAC,所以BC=5，由割补法知地毯长=AC+BC ＝7（米）. 答案：７米4.在Rt △ABC 中，斜边AB=22,且tanA+tanB=22，则Rt △ABC 的面积是___________.解析：∵tanA=AC BC ,tanB=BCAC,且AB 2=BC 2+AC 2,由tanA+tanB=22,得AC BC +BC AC=22,即AC ·BC=28.∴S△ABC=24.答案：245.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且a=3,c=5,求∠A 、∠B 的三角函数值.解：根据勾股定理得b=4,sinA=53,cosA=54，tanA=43;sinB=54,cosB=53，tanB=34. 6.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且b=6,tanA=1,求c.解：由三角函数定义知a=btanA ，所以a=6，根据勾股定理得c=26.7.如图28-1-1-5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=53，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6 cm ，求AB 、AD 的长.图28-1-1-5解：如题图，在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°, ∴BC ＝DC ＝6.在Rt △ABC 中，sinA=53, ∴AB BC =53.∴AB=10. ∴AC=2222610-=-BC AB =8.∴AD=AC-CD=8-6=2.8.如图28-1-1-6，在△ABC 中，AB=AC,AD ⊥B C 于D 点，BE ⊥AC 于E 点,AD=BC,BE=4.求:（1）tanC 的值；（2）AD 的长.精品文档图28-1-1-6解：（1）∵AB=AC,AD ⊥BC,∴AD ＝BC ＝2DC. ∴tanC=2.（2）∵tanC=2，BE ⊥AC,BE=4,∴EC=2.∵BC 2=BE 2+EC 2, ∴BC=52.∴AD=52.第2课时作业设计（答案）一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．A 9．B 10．A 11．A二、12．90° 1314．151617三、18．（1）2(2)(3)1;(4)424- （5）2； （6）0。

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